段考詳解範圍：週期性數學模型（弧度量、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期、圖形的平移與對稱、摩天輪模型）

苑裡高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單一選擇題 5 題與填充題 11 題合併計分，原卷未印這兩大題各題的配分；多重選擇題 4 題，每題 5 分，答錯一個扣 2 分，扣至 0 分為止，共 20 分。本頁題號全卷連續：第 1～5 題是單一選擇題，第 6～9 題是多重選擇題第 1～4 題，第 10～20 題是填充題第 1～11 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單一選擇題：與填充題合併計分

試求

cos (- \frac{π}{3})

的值為下列哪一個選項？

(A) $\frac{3}{2}$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) $\frac{- 1}{2}$
(D) $\frac{- 2}{2}$
(E) $\frac{- 3}{2}$

周長為

20

的扇形，在半徑為多少時，面積最大？

(A) $2$
(B) $3$
(C) $4$
(D) $5$
(E) $6$

設

a = cos (π^{2})

，請選出正確的選項。

(A) $- 1 < a < - \frac{3}{2}$
(B) $- \frac{3}{2} < a < - \frac{2}{2}$
(C) $\frac{- 2}{2} < a < - \frac{1}{2}$
(D) $\frac{- 1}{2} < a < 0$
(E) $\frac{3}{2} < a < 1$

把

y = sin x

的圖形向右平移

\frac{π}{2}

個單位，所得新圖形為下列哪一個函數的圖形？

(A) $y = sin x$
(B) $y = - sin x$
(C) $y = sin (x + \frac{π}{2})$
(D) $y = cos x$
(E) $y = - cos x$

下圖可能為下列哪一函數的圖形？

(A) $y = 2 sin (x + \frac{5 π}{6})$
(B) $y = 2 sin (x - \frac{5 π}{6})$
(C) $y = 2 sin (x + \frac{π}{3})$
(D) $y = 2 sin (x - \frac{π}{3})$
(E) $y = - 2 sin (x + \frac{π}{3})$

載入中...

二、多重選擇題：每題 5 分（答錯一個扣 2 分，扣至 0 分為止），共 20 分

設

\frac{3 π}{2} \leq θ \leq 2 π

，

cos θ = \frac{4}{5}

，則下列哪些選項是正確的？

(A) $cos (π + θ) = \frac{4}{5}$
(B) $cos (θ + \frac{π}{2}) = \frac{3}{5}$
(C) $tan θ = - \frac{3}{4}$
(D) $tan (θ - π) = \frac{3}{4}$
(E) $cos (\frac{3 π}{2} - θ) = \frac{3}{5}$

設

a > 0

，令

A (a)

表示

x

軸、

y

軸、直線

x = a

與函數

y = sin x + 2

的圖形所圍成的面積。下列選項哪些是正確的？

(A) $A (a + 2 π) = A (a) + 4 π$ 恆成立
(B) $A (2 π) = 2 A (π)$
(C) $A (4 π) = 2 A (2 π)$
(D) $A (3 π) - A (\frac{5 π}{2}) > A (2 π) - A (\frac{3 π}{2})$
(E) $A (5 π) - A (4 π) = A (2 π) - A (π)$

下列五個函數，哪些選項的週期是

π

。

(A) $y = sin x$
(B) $y = sin \frac{x}{2}$
(C) $y = sin 2 x$
(D) $y = ∣ sin x ∣$
(E) $y = sin (x) + \frac{1}{2}$

關於函數

y = 3 sin 2 x

，則下列選項哪些正確？

(A) $- 3 \leq y \leq 3$
(B) $y = 3 sin 2 x$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 時有最大值
(C) 此函數圖形的振幅為 $2$
(D) $(\frac{π}{2}, 0)$ 可為此函數圖形的對稱中心
(E) 此函數的圖形對稱於直線 $x = \frac{7 π}{4}$

三、填充題：與單一選擇題合併計分

如下圖，以邊長為

2

的正方形之四邊分別為直徑，在正方形內作半圓，則斜線部分的面積為 ____。

載入中...

若

a = cos 1

、

b = cos 2

、

c = cos 3

、

d = cos 4

，則

a

、

b

、

c

、

d

四者的大小關係為 ____。

時鐘在

5

點

48

分時，時針與分針所夾的較小的夾角為 ____ 弳。

求下列各函數之週期： (1)

y = sin (3 x + 4)

　答：____ (2)

y = sin \frac{2 x}{3} + sin \frac{3 x}{4}

　答：____ (3)

y = ∣ sin 2 x ∣ + sin (2 x - \frac{π}{2})

　答：____

方程式

sin ∣ x ∣ = \frac{1}{2}

在

- π \leq x \leq π

時有 ____ 個實數解。

把函數

y = sin 2 x

的圖形向左平移 ____ 單位，就可以得到

y = sin (2 x + \frac{π}{4})

的圖形。

下圖是函數

y = a sin (b x) + c

一個週期的圖形，其中

a

，

b > 0

，求數對

(a, b, c) =

____。

載入中...

試求下列各式之值： (1)

3 tan \frac{5 π}{6} + sin \frac{3 π}{2} - cos (- \frac{2 π}{3}) =

____。 (2)

\frac{7 π}{12}

弳

=

____ 度。（將弳度量化為度度量）

一扇形之圓心角為

6 0^{\circ}

，若此扇形的面積為

6 π

，則此扇形之內切圓面積為 ____。

一圓形摩天輪，中心軸高

30

公尺，直徑

50

公尺，逆時針方向運轉一圈需時

24

分鐘。當摩天輪開始運轉時，一位同學恰坐在離地最近的位置上，

x

分鐘後，這位同學離地的高度（公尺）可表為

y = a sin (b x - \frac{π}{2}) + c

其中

a > 0

且

b > 0

，則： (1) 序組

(a, b, c) =

____ (1) 坐

16

分鐘後，此時這位同學離地面高度 ____ 公尺。（卷面兩個小題都印作 (1)）

如附圖，直圓錐底面直徑

\overline{B C} = 4

，且

\overline{A B} = 12

，若一隻螞蟻由

C

點沿錐面繞一圈到

D

點，已知

\overline{A D} = 6

，求這隻螞蟻所走的最短路徑長為 ____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(D)

第 3 題(A)

第 4 題(E)

第 5 題(D)

第 6 題(B)(C)(E)

第 7 題(A)(C)(D)

第 8 題(C)(D)

第 9 題(A)(D)(E)

第 10 題

2 π - 4

第 11 題

a > b > d > c

第 12 題

\frac{19 π}{30}

第 13 題(1)

\frac{2 π}{3}

　(2)

24 π

　(3)

\frac{π}{4}

第 14 題

4

第 15 題

\frac{π}{8}

第 16 題

(1, 3, 2)

第 17 題(1)

- \frac{3}{2}

　(2)

105

第 18 題

4 π

第 19 題第一小題

(25, \frac{π}{12}, 30)

　第二小題

\frac{85}{2}

第 20 題

63

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單一選擇題：負角的餘弦、扇形面積的最大值、估計餘弦值

第 1 題答案 (B)。負角的餘弦值與正角相同：

cos (- θ) = cos θ

（兩個角的終邊對稱於

x

軸，

x

坐標相同）。所以

cos (- \frac{π}{3}) = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

。

- \frac{π}{3}

是第四象限角，餘弦為正；正弦才會變號，

sin (- \frac{π}{3}) = - \frac{3}{2}

。

第 2 題答案 (D)。設半徑為

r

、弧長為

s

。周長是兩條半徑加弧長：

2 r + s = 20

，所以

s = 20 - 2 r

（

0 < r < 10

）。扇形面積

= \frac{1}{2} r s = \frac{1}{2} r (20 - 2 r) = 10 r - r^{2} = - (r - 5)^{2} + 25

。

r = 5

時面積最大，最大值為

25

。

此時弧長

s = 10

，圓心角

θ = \frac{s}{r} = 2

弳，在

0

與

2 π

之間，是合理的扇形。

第 3 題答案 (A)。先估計

π^{2}

這個弧度角落在哪裡。令

δ = π^{2} - 3 π = π (π - 3)

。

π \approx 3.14

，所以

δ \approx 3.14 \times 0.14 \approx 0.44

。要確定

δ

比

\frac{π}{6}

小，用

3.14 < π < 3.15

夾住：

δ < 3.15 \times 0.15 = 0.4725

，而

\frac{π}{6} > \frac{3.14}{6} > 0.52

，所以

0 < δ < \frac{π}{6}

成立。

π^{2} = 3 π + δ

，而

3 π = 2 π + π

，所以

π^{2}

與

π + δ

是同界角，得

a = cos (π + δ) = - cos δ

餘弦在

0

到

\frac{π}{2}

之間遞減，因此

cos \frac{π}{6} < cos δ < cos 0

，也就是

cos δ

介於

\frac{3}{2}

與

1

之間。各項乘以

- 1

，得到

a

介於

- 1

與

- \frac{3}{2}

之間，即選項 (A)。

π^{2} \approx 9.87

，

3 π \approx 9.42

，

a \approx - 0.90

，而

- \frac{3}{2} \approx - 0.87

。

π^{2}

是「

π^{2}

弳」，不是

π

的整數倍，不能當成特殊角。

不是特殊角的弧度角，先用 π 約等於 3.14 找出它比 π 的整數倍多多少，再用餘弦的增減夾出範圍。

02單一選擇題：圖形的平移、由圖形判斷函數

第 4 題答案 (E)。向右平移

\frac{π}{2}

是把

x

換成

x - \frac{π}{2}

，新圖形是

y = sin (x - \frac{π}{2})

的圖形。用負角與餘角的關係化簡：

sin (x - \frac{π}{2}) = - sin (\frac{π}{2} - x) = - cos x

。

用圖形檢查：

y = sin x

的最高點

(\frac{π}{2}, 1)

右移後到

(π, 1)

，原點右移後到

(\frac{π}{2}, 0)

，

(- \frac{π}{2}, - 1)

右移後到

(0, - 1)

；

y = - cos x

正好通過這三點。(C) 是向左平移

\frac{π}{2}

，得到的是

y = cos x

。

第 5 題答案 (D)。從圖上讀出三件事：最高點是

(\frac{5 π}{6}, 2)

；圖形通過

(\frac{π}{3}, 0)

，而且在這一點由下往上穿過

x

軸；與

y

軸交於

(0, - 3)

。

y = 2 sin x

的圖形在原點由下往上穿過

x

軸，把它向右平移

\frac{π}{3}

就得到在

(\frac{π}{3}, 0)

往上穿過

x

軸的圖形，即

y = 2 sin (x - \frac{π}{3})

。檢查：

x = \frac{5 π}{6}

時

y = 2 sin \frac{π}{2} = 2

；

x = 0

時

y = 2 sin (- \frac{π}{3}) = - 3

，都與圖相符。其他選項用

x = 0

的值就能排除大半：(A)

2 sin \frac{5 π}{6} = 1

，(B)

2 sin (- \frac{5 π}{6}) = - 1

，(C)

2 sin \frac{π}{3} = 3

，都不是

- 3

。(E) 在

x = 0

時是

- 2 sin \frac{π}{3} = - 3

，但

x = \frac{5 π}{6}

時是

- 2 sin \frac{7 π}{6} = 1

，不是

2

。

向右平移是 x 減、向左平移是 x 加；看圖選函數時，把圖上標出的點逐一代入檢查最穩。

03多重選擇題第 1 題：第四象限角的換算

第 6 題答案 (B)(C)(E)。

θ

在

\frac{3 π}{2}

與

2 π

之間，是第四象限角，正弦為負。由

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

得

sin^{2} θ = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}

，所以

sin θ = - \frac{3}{5}

，

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = - \frac{3}{4}

。 (A) 錯誤。多轉半圈，終邊反向，餘弦變號：

cos (π + θ) = - cos θ = - \frac{4}{5}

。 (B) 正確。

cos (θ + \frac{π}{2}) = - sin θ = \frac{3}{5}

。 (C) 正確。上面已算出

tan θ = - \frac{3}{4}

。 (D) 錯誤。

θ - π

與

θ

的終邊反向，正弦、餘弦都變號，正切不變：

tan (θ - π) = tan θ = - \frac{3}{4}

。 (E) 正確。

\frac{3 π}{2} - θ = π + (\frac{π}{2} - θ)

，所以

cos (\frac{3 π}{2} - θ) = - cos (\frac{π}{2} - θ) = - sin θ = \frac{3}{5}

。

(B) 也可以從位置判斷：

θ + \frac{π}{2}

比

2 π

多出一個銳角，是第一象限角，餘弦為正，所以是

+ \frac{3}{5}

。換算時「加減

π

函數名稱不變、加減

\frac{π}{2}

正弦餘弦互換」，正負號再看象限。

先由象限定出正弦的正負，再做換算；每個換算的正負號都可以用角所在的象限檢查。

04多重選擇題第 2 題：用週期與對稱比較面積

第 7 題答案 (A)(C)(D)。

y = sin x + 2

的值在

1

與

3

之間，圖形都在

x

軸上方，是

y = sin x

的圖形向上平移

2

。把圖形下方的面積拆成兩部分：高度

2

的長方形，加上

y = sin x

相對於水平線

y = 2

多出來（在線上方）或缺掉（在線下方）的部分。設

y = sin x

在

0 \leq x \leq π

這個「山」與

x

軸圍成的面積為

H

（

H > 0

，不必知道它是多少）。

π \leq x \leq 2 π

的「谷」與山全等，所以這一段缺掉

H

。山與谷又各自左右對稱，半個山多

\frac{H}{2}

，半個谷缺

\frac{H}{2}

。於是：

x

從

0

到

π

這一段的面積是

2 π + H

，從

π

到

2 π

這一段是

2 π - H

，一整個週期合計

4 π

。 (A) 正確。

A (a + 2 π) - A (a)

是

x

從

a

到

a + 2 π

這一段的面積，寬度正好一個週期，不論從哪裡開始，多出的山與缺掉的谷都恰好抵消，面積是

2 \times 2 π = 4 π

。 (B) 錯誤。

A (2 π) = 4 π

，而

2 A (π) = 2 (2 π + H)

等於

4 π + 2 H

，比

4 π

大。 (C) 正確。

A (4 π)

是兩個週期的面積

8 π

，正好是

A (2 π) = 4 π

的兩倍。 (D) 正確。左邊是

x

從

\frac{5 π}{2}

到

3 π

的面積，這一段與

\frac{π}{2}

到

π

的圖形相同，是半個山，面積是長方形

\frac{π}{2} \times 2 = π

再加

\frac{H}{2}

。右邊是

x

從

\frac{3 π}{2}

到

2 π

的面積，是半個谷，面積是

π

再減

\frac{H}{2}

。所以左邊比較大。 (E) 錯誤。左邊是

4 π

到

5 π

的面積，與

0

到

π

相同，是

2 π + H

；右邊是

π

到

2 π

的面積

2 π - H

，兩邊不相等。

這題不需要算出

H

，只要知道

H > 0

與正弦圖形的對稱性。寬度同樣是

π

的兩段，圖形在中心線

y = 2

上方的那一段面積比較大。

週期函數圖形下的面積，整個週期的部分直接算長方形，剩下的用山與谷的對稱來比較。

05多重選擇題第 3、4 題：函數的週期、正弦型函數的性質

第 8 題答案 (C)(D)。

y = sin k x

（

k > 0

）的週期是

\frac{2 π}{k}

。 (A) 錯誤。

y = sin x

的週期是

2 π

。 (B) 錯誤。週期是

2 π \div \frac{1}{2} = 4 π

。 (C) 正確。週期是

\frac{2 π}{2} = π

。 (D) 正確。加絕對值就是把

y = sin x

在

x

軸下方的谷往上翻成山，每個山都一樣，寬度是

π

；用式子看是

∣ sin (x + π) ∣ = ∣ - sin x ∣ = ∣ sin x ∣

，而一個山之內函數值由

0

升到

1

再降回

0

，沒有更短的週期。 (E) 錯誤。

y = sin x + \frac{1}{2}

的值在

- \frac{1}{2}

與

\frac{3}{2}

之間，中心線是

y = \frac{1}{2}

而不是

x

軸，翻上來的部分比原來的山矮，高矮兩種山交替出現。例如

x = \frac{π}{2}

時

y = \frac{3}{2}

，

x = \frac{π}{2} + π = \frac{3 π}{2}

時

y = - 1 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

，兩個值不同，所以

π

不是週期；它的週期是

2 π

。

加絕對值後週期減半，只發生在圖形的中心線就是

x

軸的時候。

第 9 題答案 (A)(D)(E)。 (A) 正確。

- 1 \leq sin 2 x \leq 1

，乘以

3

得

- 3 \leq y \leq 3

。 (B) 錯誤。

x = \frac{π}{2}

時

y = 3 sin π = 0

，不是最大值

3

。最大值發生在

2 x = \frac{π}{2} + 2 nπ

，即

x = \frac{π}{4} + nπ

（

n

為整數）。 (C) 錯誤。振幅是

3

；

2

是

x

的係數，決定的是週期

\frac{2 π}{2} = π

。 (D) 正確。正弦型函數的圖形以它與中心線的每個交點為對稱中心。這裡中心線是

x

軸，

x = \frac{π}{2}

時

y = 0

，所以

(\frac{π}{2}, 0)

是對稱中心。 (E) 正確。對稱軸是通過最高點或最低點的鉛直線。

x = \frac{7 π}{4}

時

2 x = \frac{7 π}{2}

，與

\frac{3 π}{2}

同界，

y = 3 sin \frac{3 π}{2} = - 3

是最低點，所以圖形對稱於直線

x = \frac{7 π}{4}

。

對稱中心在

x = \frac{nπ}{2}

，對稱軸在

x = \frac{π}{4} + \frac{nπ}{2}

（

n

為整數），兩者交錯出現。

正弦型函數：對稱軸通過最高點或最低點，對稱中心是圖形與中心線的交點。

06填充題第 1～3 題：花瓣面積、比較餘弦值、時鐘的夾角

第 10 題每個半圓的半徑是

1

，面積是

\frac{1}{2} π \cdot 1^{2} = \frac{π}{2}

，四個半圓的面積和是

2 π

。四個半圓合起來蓋滿整個正方形（面積

2 \times 2 = 4

）：沒畫斜線的地方只被一個半圓蓋到，斜線的四片花瓣各被相鄰的兩個半圓蓋到，算了兩次。所以四個半圓的面積和

=

正方形面積

+

斜線面積，斜線面積

= 2 π - 4

。

也可以一片一片算：一片花瓣由兩個全等的弓形拼成，每個弓形是半徑

1

、圓心角

\frac{π}{2}

的扇形減去直角三角形，面積

\frac{π}{4} - \frac{1}{2}

；四片共八個弓形，

8 (\frac{π}{4} - \frac{1}{2}) = 2 π - 4

。

第 11 題這裡的

1

、

2

、

3

、

4

都是弧度。

π \approx 3.14

，所以

1

、

2

、

3

都在

0

與

π

之間；餘弦在

0

到

π

之間遞減，因此

cos 1 > cos 2 > cos 3

。

4

超過

π

，用

cos θ = cos (2 π - θ)

換回

0

與

π

之間：

cos 4 = cos (2 π - 4) \approx cos 2.28

。

2 < 2.28 < 3

，所以

cos 2 > cos 4 > cos 3

。合起來

a > b > d > c

。

數值約為

cos 1 \approx 0.54

、

cos 2 \approx - 0.42

、

cos 4 \approx - 0.65

、

cos 3 \approx - 0.99

。

3

最接近

π

，餘弦最接近

- 1

。

第 12 題從

12

的位置順時針量。分針每分鐘走

6^{\circ}

，

48

分時在

48 \times 6^{\circ} = 28 8^{\circ}

。時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

5

點

48

分時在

5 \times 3 0^{\circ} + 48 \times 0. 5^{\circ} = 17 4^{\circ}

。兩針相差

28 8^{\circ} - 17 4^{\circ} = 11 4^{\circ}

，小於

18 0^{\circ}

，就是較小的夾角。化成弧度：

114 \times \frac{π}{180} = \frac{19 π}{30}

弳。

時針不是停在

5

上，

48

分鐘裡它又走了

2 4^{\circ}

。

重疊區域的面積用「各塊面積和減去整體」來算；比較餘弦值先把角換到 0 與 π 之間。

07填充題第 4 題：三個函數的週期

第 13 題(1)

y = sin (3 x + 4)

：

x

的係數是

3

，週期

= \frac{2 π}{3}

。式中的

+ 4

只讓圖形左右平移，不影響週期。 (2)

sin \frac{2 x}{3}

的週期是

2 π \div \frac{2}{3} = 3 π

，

sin \frac{3 x}{4}

的週期是

2 π \div \frac{3}{4} = \frac{8 π}{3}

。兩項相加後要重複，必須兩項同時回到原狀，所以找兩個週期的最小公倍數：設

3 π \times m = \frac{8 π}{3} \times n

（

m

、

n

為正整數），得

9 m = 8 n

，最小的是

m = 8

、

n = 9

。週期

= 3 π \times 8 = 24 π

。 (3) 先化簡第二項：

sin (2 x - \frac{π}{2}) = - sin (\frac{π}{2} - 2 x) = - cos 2 x

，所以

y = ∣ sin 2 x ∣ + ∣ cos 2 x ∣

。把

x

換成

x + \frac{π}{4}

，角度

2 x

增加

\frac{π}{2}

：

sin (2 x + \frac{π}{2}) = ∣ cos 2 x ∣

，

cos (2 x + \frac{π}{2}) = ∣ - sin 2 x ∣ = ∣ sin 2 x ∣

，兩項互換、和不變，所以

\frac{π}{4}

是一個週期。再確認沒有更短的：令

s = ∣ sin 2 x ∣

、

c = ∣ cos 2 x ∣

，則

s^{2} + c^{2} = 1

，

(s + c)^{2} = 1 + 2 sc

。所以

y = 1

恰好發生在

sc = 0

，也就是

sin 2 x = 0

或

cos 2 x = 0

，即

x

是

\frac{π}{4}

的整數倍的時候；其他地方

y > 1

。

x = 0

時

y = 1

，下一次回到

1

是

x = \frac{π}{4}

，所以週期不會比

\frac{π}{4}

短。週期

= \frac{π}{4}

。

(3) 單看每一項，

∣ sin 2 x ∣

與

∣ cos 2 x ∣

的週期都是

\frac{π}{2}

，但兩項的圖形只差

\frac{π}{4}

的平移，相加後週期變成

\frac{π}{4}

；這種情形不能只取兩項週期的最小公倍數。

週期由 x 的係數決定；兩項相加先找共同的週期，再檢查會不會有更短的。

08填充題第 5～7 題：解的個數、平移量、由圖形求係數

第 14 題令

t = ∣ x ∣

。

- π \leq x \leq π

時

0 \leq t \leq π

。在

0 \leq t \leq π

內，

sin t = \frac{1}{2}

的解是

t = \frac{π}{6}

與

t = π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}

。

∣ x ∣ = \frac{π}{6}

得

x = \pm \frac{π}{6}

，

∣ x ∣ = \frac{5 π}{6}

得

x = \pm \frac{5 π}{6}

，共

4

個實數解。

y = sin ∣ x ∣

的圖形是把

y = sin x

在

y

軸右邊的部分對

y

軸鏡射到左邊，左右各有一個山，水平線

y = \frac{1}{2}

與每個山交於兩點。如果沒有絕對值，

sin x = \frac{1}{2}

在同一範圍只有

2

個解。

第 15 題把

x

的係數提出來：

sin (2 x + \frac{π}{4}) = sin 2 (x + \frac{π}{8})

。這是把

y = sin 2 x

裡的

x

換成

x + \frac{π}{8}

，所以圖形向左平移

\frac{π}{8}

單位。

平移量要看「

x

本身」加了多少，不是括號裡加的

\frac{π}{4}

。

y = sin 2 x

的週期是

π

，再多移整數個週期圖形也會重合，題目要的是最小的平移量

\frac{π}{8}

。

第 16 題由圖，最大值是

3

、最小值是

1

。中心線

c = \frac{3 + 1}{2} = 2

；振幅

= \frac{3 - 1}{2} = 1

，又

a > 0

，所以

a = 1

。圖形是一個週期，從

x = 0

畫到

x = \frac{2 π}{3}

，所以週期是

\frac{2 π}{3}

；

b > 0

，由

\frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{3}

得

b = 3

。所以

(a, b, c) = (1, 3, 2)

。

檢查：

y = sin 3 x + 2

在

x = 0

時為

2

，先上升，

x = \frac{π}{2}

時為

sin \frac{3 π}{2} + 2 = 1

是最低點，與圖相符。也可以用最低點在四分之三個週期處來求：

\frac{3}{4} \times

週期

= \frac{π}{2}

，同樣得到週期

\frac{2 π}{3}

。

看圖求係數：最大值與最小值的平均是中心線，差的一半是振幅，一個週期的寬度決定 x 的係數。

09填充題第 8、9 題：三角函數值與單位換算、扇形的內切圓

第 17 題(1) 逐項求值。

\frac{5 π}{6}

是第二象限角，與

x

軸夾

\frac{π}{6}

，正切為負，

tan \frac{5 π}{6} = - \frac{1}{3}

，第一項乘上

3

後是

- 1

。第二項

sin \frac{3 π}{2} = - 1

。第三項用負角的餘弦值與正角相同，再看第二象限角

\frac{2 π}{3}

的餘弦為負：

cos (- \frac{2 π}{3}) = cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

合起來：

- 1 + (- 1) - (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}

(2)

π

弳等於

18 0^{\circ}

，所以

\frac{7 π}{12} 弳 = \frac{7}{12} \times 18 0^{\circ} = 10 5^{\circ}

(1) 最後一項前面是減號，減去

- \frac{1}{2}

等於加

\frac{1}{2}

。

第 18 題圓心角

6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

弳。設扇形半徑為

r

，由面積公式

\frac{1}{2} r^{2} \cdot \frac{π}{3} = 6 π

得

r^{2} = 36

，半徑

r = 6

。內切圓與兩條半徑、圓弧都相切。設扇形的頂點為

O

，內切圓的圓心為

P

、半徑為

ρ

。

P

到兩條半徑的距離相等，所以

P

在圓心角的角平分線上，

\overline{O P}

與每條半徑夾

3 0^{\circ}

。從

P

向一條半徑作垂線，得到

3 0^{\circ}

–

6 0^{\circ}

–

9 0^{\circ}

的直角三角形，斜邊是

\overline{O P}

、

3 0^{\circ}

的對邊是

ρ

，所以

\overline{O P}

的長是

2 ρ

。內切圓與圓弧內切，切點在

\overline{O P}

的延長線上，所以

\overline{O P} + ρ = r

，也就是

2 ρ + ρ = 6

，得到內切圓半徑

ρ = 2

。內切圓面積是

π \cdot 2^{2} = 4 π

。

扇形面積公式

\frac{1}{2} r^{2} θ

裡的

θ

要用弧度，

6 0^{\circ}

要先換成

\frac{π}{3}

。

扇形的內切圓：圓心在角平分線上，用半個圓心角的直角三角形把圓心到頂點的距離寫成半徑的倍數。

10填充題第 10、11 題：摩天輪的高度、圓錐面上的最短路徑

第 19 題第一小題：直徑

50

公尺，半徑

25

公尺，這是高度上下變動的幅度，所以振幅

a = 25

。中心軸高

30

公尺是高度的中心線，

c = 30

。轉一圈

24

分鐘就是週期：

\frac{2 π}{b} = 24

，

b = \frac{π}{12}

。所以

(a, b, c) = (25, \frac{π}{12}, 30)

。第二小題：

y = 25 sin (\frac{π}{12} x - \frac{π}{2}) + 30

。代入

x = 16

：

\frac{π}{12} \times 16 - \frac{π}{2} = \frac{4 π}{3} - \frac{π}{2} = \frac{5 π}{6}

。

y = 25 sin \frac{5 π}{6} + 30 = 25 \times \frac{1}{2} + 30 = \frac{85}{2}

（公尺），即

42.5

公尺。

檢查起點：

x = 0

時

y = 25 sin (- \frac{π}{2}) + 30 = 5

，正是最低點（

30 - 25 = 5

公尺），與「開始時坐在離地最近的位置」相符。

16

分鐘是過了最高點（第

12

分鐘）之後

4

分鐘，高度在

30

與

55

之間，

42.5

合理。

第 20 題把圓錐的側面沿母線

\overline{A C}

剪開攤平，得到一個扇形：半徑是母線長

12

，弧長是底圓的周長

2 π \times 2 = 4 π

（底面直徑

4

，半徑

2

）。扇形的圓心角

= \frac{弧長}{半徑} = \frac{4 π}{12} = \frac{π}{3}

。剪開後，原來的母線

\overline{A C}

變成扇形的兩條邊，記為

\overline{A C}

與

\overline{A C^{'}}

，

C

與

C^{'}

是同一點。螞蟻從

C

出發繞一圈回到這條母線上的

D

，在攤平的扇形上就是從一條邊上的

C

走到另一條邊

\overline{A C^{'}}

上的

D

（

\overline{A D} = 6

），最短路徑是線段

\overline{C D}

。三角形

A C C^{'}

中

\overline{A C} = \overline{A C^{'}} = 12

、夾角

\frac{π}{3}

，是邊長

12

的正三角形。

\overline{A D} = 6

，

D

是

\overline{A C^{'}}

的中點，

\overline{C D}

就是正三角形的高：

\overline{C D} = \frac{3}{2} \times 12 = 63

。

也可以對三角形

A C D

用餘弦定理：

\overline{C D}^{2} = 1 2^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 12 \cdot 6 \cdot cos \frac{π}{3} = 144 + 36 - 72 = 108

，

\overline{C D} = 63

。圓心角只有

\frac{π}{3}

，線段

\overline{C D}

整段都在扇形內，確實是錐面上走得到的路。

曲面上的最短路徑先攤平成平面，再連直線；圓錐側面攤開是扇形，圓心角等於底圓周長除以母線長。

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填充第 4 題第三小題兩項各自的週期是二分之 π，相加後卻是四分之 π，要先把第二項化成餘弦再檢查；多重選擇第 2 題不必算出面積，用一個週期的面積是 4π 加上山與谷的對稱就能比較；單一選擇第 3 題的 π 平方是弧度，要先看出它比 3π 多約 0.44；填充第 11 題要把圓錐側面攤成圓心角三分之 π 的扇形，最短路徑是正三角形的高。詳解逐題寫在本頁。

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03多重選擇題第 1 題：第四象限角的換算

04多重選擇題第 2 題：用週期與對稱比較面積

05多重選擇題第 3、4 題：函數的週期、正弦型函數的性質

06填充題第 1～3 題：花瓣面積、比較餘弦值、時鐘的夾角

07填充題第 4 題：三個函數的週期

08填充題第 5～7 題：解的個數、平移量、由圖形求係數

09填充題第 8、9 題：三角函數值與單位換算、扇形的內切圓

10填充題第 10、11 題：摩天輪的高度、圓錐面上的最短路徑

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