段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

新化高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 新化高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 25 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 新化高中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 5 題（本頁第 10 題）的半角餘弦要注意有向角不限範圍、正負不一定；填充第 4 題（第 14 題）數交點時要逐段確認直線有沒有超過正弦曲線的高度；填充第 8 題（第 18 題）要看清楚角的頂點；填充第 13 題（第 23 題）要用差角公式先求夾角的正弦。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 25 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

單一選擇題 5 題、多重選擇題 5 題、填充題 15 題（流傳版本未印配分）

一、單一選擇題（原卷題號 1～5）

點

A (cos 4, tan 4)

落在？

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) 坐標軸上

沖積扇是山地河流出口處的堆積地貌，外形如同摺扇，故名為沖積扇。假設某一地區的沖積扇平原其扇形面積恰為

150 π

（平方公里），且其半徑

20

公里，則其扇形的夾角為？

(A) $\frac{π}{6}$
(B) $\frac{π}{4}$
(C) $\frac{π}{3}$
(D) $\frac{2 π}{3}$
(E) $\frac{3 π}{4}$

下列函數中，有幾個函數的週期等於

π

？

f_{1} (x) = sin x

，

f_{2} (x) = cos 2 x + 1

，

f_{3} (x) = tan \frac{x}{2}

，

f_{4} (x) = sin x cos x

，

f_{5} (x) = sin^{2} x

。

(A) $0$ 個
(B) $1$ 個
(C) $2$ 個
(D) $3$ 個
(E) $4$ 個

下列哪一個數值最接近

2

？

(A) $cos 5 9^{\circ} + 3 sin 5 9^{\circ}$
(B) $cos 6 9^{\circ} + 3 sin 6 9^{\circ}$
(C) $cos 7 9^{\circ} + 3 sin 7 9^{\circ}$
(D) $cos 8 9^{\circ} + 3 sin 8 9^{\circ}$
(E) $cos 9 9^{\circ} + 3 sin 9 9^{\circ}$

令

a = sin (π^{2})

，試問下列哪一個選項是對的？

(A) $a = - 1$
(B) $- 1 < a < - \frac{1}{2}$
(C) $- \frac{1}{2} < a < 0$
(D) $0 < a < \frac{1}{2}$

二、多重選擇題（原卷題號 1～5，本頁接續編為第 6～10 題）

關於函數

y = - 5 cos (3 x - \frac{π}{4}) - 2

的敘述，則下列選項哪些正確？

(A) 振幅為 $5$
(B) 週期為 $6 π$
(C) 最大值為 $3$
(D) 值域為 $[- 7, 3]$
(E) $y = - 5 cos (3 x - \frac{π}{4}) - 2$ 的圖形是以 $y = - 5 cos 3 x - 2$ 的圖形向右平移 $\frac{π}{4}$ 而得

關於函數

f (x) = 3 sin x + cos x

圖形的敘述，則下列選項哪些正確？

(A) 振幅為 $2$
(B) 週期為 $π$
(C) 與 $y$ 軸恰相交於一點
(D) 對稱於原點
(E) 對稱於直線 $x = \frac{π}{3}$

如圖，

△ A B C

與

△ E C D

為直角三角形，且

B

、

C

、

D

三點共線，若

\overline{A B} = 1

、

\overline{B C} = 2

、

\overline{C D} = 2

、

\overline{D E} = 3

，

∠ A C B = α

、

∠ E C D = β

，則下列選項哪些正確？

(A) $tan α = \frac{1}{2}$ 、 $tan β = \frac{3}{2}$
(B) $tan (α + β) = 8$
(C) $tan ∠ A C E = 8$
(D) $sin ∠ A C E = \frac{1}{8}$
(E) $△ A C E$ 的面積 $= 4$

載入中...

離岸風力發電是綠能的一種，風力發電機的機組正面示意圖如右。葉片的長度

\overline{O A} = \overline{O B} = \overline{O C} = 1.5

公尺，支架的高度

\overline{O H} = 4.5

公尺。設葉片轉動時，葉片的末端距離地面的高度

y

（公尺）與轉動的時間

t

（秒）的關係式為

y = f (t) = a sin (b t + \frac{π}{2}) + c

，其中

a

、

b

、

c

為常數，

a > 0

，

b > 0

。若任一葉片（如

\overline{O A}

）轉動一圈均需要

3

秒，則下列選項哪些正確？

(A) $a = \frac{3}{2}$
(B) $c = \frac{9}{2}$
(C) $c = \frac{11}{2}$
(D) $b = \frac{π}{3}$
(E) $b = \frac{2 π}{3}$

載入中...

若有向角

θ

的始邊為

x

軸正向，終邊上一點

P

的坐標為

P (- 4, 3)

，則下列選項哪些正確？

(A) $cos θ = - \frac{4}{5}$
(B) $cos 2 θ = \frac{7}{25}$
(C) $cos \frac{θ}{2} = \frac{1}{10}$
(D) $tan \frac{θ}{2} = 3$
(E) $cos (9 0^{\circ} + θ) = \frac{3}{5}$

三、填充題（原卷題號 1～15，本頁接續編為第 11～25 題）

求

sin π + cos \frac{7 π}{6} + tan \frac{5 π}{3} =

____。

設

f (x) = - sin x + 3 cos x

。將

f (x)

化成

r sin (x + a)

的形式，其

r > 0

，

0 \leq a < 2 π

。則數對

(r, a) =

____。

設

α + β = 4 5^{\circ}

，試求

(1 + tan α) (1 + tan β)

的值為 ____。

方程式

10 sin x = x

共有 ____ 個實根。

將

y = sin x

的圖形先以

y

軸為基準線，水平伸縮為原來的

\frac{1}{2}

倍，再往左平移

\frac{π}{6}

單位，得到新函數

y = sin (a x + b)

，其中

a

為正實數，且

0 < b < π

，則數對

(a, b) =

____。

如圖，一直圓錐的底為半徑

\overline{B H} = 3

的圓，高為

\overline{A H} = 4

，將此直圓錐沿一斜高

\overline{A B}

剪開成扇形，則此扇形的面積為 ____。

載入中...

△ A B C

中，已知

sin A = \frac{1}{10}

、

cos B = - \frac{1}{5}

，則

∠ C =

____。

如右圖，每一小方格皆是邊長為

1

的正方形，若

∠ B A C = α

，

∠ D C E = β

，則

tan (α + β) =

____。

載入中...

設正三角形

A B C

的邊長為

1

，分別以

A

、

B

、

C

為圓心，

1

為半徑畫出

B C

弧、

A C

弧、

A B

弧，如附圖所示，則塗色部分的面積為 ____。

載入中...

在

0 \leq x < 2 π

範圍內，則不等式

sin x \leq - \frac{2}{2}

的解為 ____。

試求

y = sin^{2} x - 4 sin x cos x + 3 cos^{2} x

的最大值為 ____。

在

- 2 π \leq x \leq 2 π

的範圍內，

y = sin x

與

y = - \frac{3}{2}

的圖形有若干個交點

(x, y)

；試求所有交點的

x

坐標之總和為 ____。

設四邊形

A B C D

中，

\overline{A B} = 16

、

\overline{B C} = 25

、

\overline{C D} = 15

，

∠ B D C = 9 0^{\circ}

、

∠ A B C

及

∠ B C D

皆為銳角，而

sin ∠ A B C = \frac{24}{25}

，求

△ A B D

面積為 ____。

載入中...

如右圖，欲在一半徑

100

公尺的圓上建造一座通過圓心

O

的「

I

」字型木橋。已知

\overline{A B} = \overline{C D}

且

\overline{A B}

與

\overline{C D}

皆與

\overline{E F}

垂直。試求

\overline{A B} + \overline{C D} + \overline{E F}

的最大值為 ____。

載入中...

在坐標平面上，一個以原點

O

為圓心的圓上有

A

、

B

、

C

三個相異點，已知點

A

的坐標為

(7, 0)

，點

B

在第一象限且

x

坐標為

2

，且

\overline{A B} = \overline{B C}

，則

\overline{A C} =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(E)

第 3 題(D)

第 4 題(A)

第 5 題(C)

第 6 題(A)(C)(D)

第 7 題(A)(C)(E)

第 8 題(A)(B)(E)

第 9 題(A)(B)(E)

第 10 題(A)(B)(D)

第 11 題

- \frac{3 3}{2}

第 12 題

(2, \frac{2 π}{3})

第 13 題

2

第 14 題

7

第 15 題

(2, \frac{π}{3})

第 16 題

15 π

第 17 題

4 5^{\circ}

第 18 題

1

第 19 題

\frac{π - 3}{2}

第 20 題

\frac{5 π}{4} \leq x \leq \frac{7 π}{4}

第 21 題

2 + 5

第 22 題

2 π

第 23 題

96

第 24 題

2005

第 25 題

23

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～5 題）：弧度與象限、扇形面積、週期、疊合、估計正弦值

第 1 題答案 (B)。

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，所以

π < 4 < \frac{3 π}{2}

，

4

弳是第三象限角。第三象限角的餘弦為負、正切為正，即

cos 4 < 0

、

tan 4 > 0

，點

A

的

x

坐標為負、

y

坐標為正，落在第二象限。

這裡的

4

沒有度的記號，是

4

弳（約

22 9^{\circ}

），不是

4^{\circ}

。

第 2 題答案 (E)。設夾角為

θ

弳，扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 2 0^{2} \times θ = 200 θ = 150 π

，所以

θ = \frac{3 π}{4}

。

第 3 題答案 (D)。

f_{1} (x) = sin x

的週期是

2 π

。

f_{2} (x) = cos 2 x + 1

的週期是

\frac{2 π}{2} = π

（上下平移不影響週期）。

f_{3} (x) = tan \frac{x}{2}

的週期是

\frac{π}{1/2} = 2 π

。

f_{4} (x) = sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

，週期

π

。

f_{5} (x) = sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

，週期

π

。週期等於

π

的有

f_{2}

、

f_{4}

、

f_{5}

共

3

個。

正切函數

tan k x

的週期是

\frac{π}{∣ k ∣}

，不是

\frac{2 π}{∣ k ∣}

。

第 4 題答案 (A)。

cos x + 3 sin x = 2 (\frac{1}{2} cos x + \frac{3}{2} sin x) = 2 (sin 3 0^{\circ} cos x + cos 3 0^{\circ} sin x) = 2 sin (x + 3 0^{\circ})

。五個選項依序是

2 sin 8 9^{\circ}

、

2 sin 9 9^{\circ}

、

2 sin 10 9^{\circ}

、

2 sin 11 9^{\circ}

、

2 sin 12 9^{\circ}

。

2 sin θ

在

θ = 9 0^{\circ}

時等於

2

，角度離

9 0^{\circ}

越近值越接近

2

；

8 9^{\circ}

只差

1^{\circ}

，是五個之中最近的。

第 5 題答案 (C)。

π^{2} - 3 π = π (π - 3)

。因為

0 < π - 3 < \frac{1}{6}

，所以

0 < π^{2} - 3 π < \frac{π}{6}

。令

φ = π^{2} - 3 π

，則

a = sin (3 π + φ) = sin (π + φ) = - sin φ

。由

0 < φ < \frac{π}{6}

得

0 < sin φ < \frac{1}{2}

，所以

- \frac{1}{2} < a < 0

。

π^{2} \approx 9.87

，介於

3 π \approx 9.42

與

\frac{19 π}{6} \approx 9.95

之間，

a \approx - 0.43

。流傳版本這一題只印了 (A)～(D) 四個選項，本頁照印。

02多選題（第 6～10 題）：圖形的性質、疊合、正切和角、圓周運動、半角

第 6 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對：振幅是

∣ - 5∣ = 5

。(B) 錯：週期是

\frac{2 π}{3}

。(C) 對：

cos

的值在

- 1

到

1

之間，

- 5 cos (\dots)

在

- 5

到

5

之間，再減

2

得

- 7 \leq y \leq 3

，最大值

3

。(D) 對：值域為

[- 7, 3]

。(E) 錯：

3 x - \frac{π}{4} = 3 (x - \frac{π}{12})

，是把

y = - 5 cos 3 x - 2

的圖形向右平移

\frac{π}{12}

。

平移量要先把

x

的係數提出來再看。

第 7 題答案 (A)(C)(E)。疊合：

f (x) = 2 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{π}{6})

。(A) 對：振幅

2

。(B) 錯：週期

2 π

。(C) 對：

x = 0

時只對應一個函數值

f (0) = 1

，圖形與

y

軸恰交於

(0, 1)

一點。(D) 錯：圖形若對稱於原點必須通過原點，但

f (0) = 1 \neq = 0

。(E) 對：

f (\frac{π}{3}) = 2 sin \frac{π}{2} = 2

是最大值，正弦型函數的圖形對稱於通過最高點的鉛直線，所以對稱於

x = \frac{π}{3}

。

第 8 題答案 (A)(B)(E)。(A) 對：直角三角形

A B C

中

tan α = \frac{A B}{B C} = \frac{1}{2}

；直角三角形

E C D

中

tan β = \frac{D E}{C D} = \frac{3}{2}

。(B) 對：

tan (α + β) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}{1 - \frac{1}{2} \times \frac{3}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{4}} = 8

。(C) 錯：

B

、

C

、

D

共線，

∠ A C E = 18 0^{\circ} - (α + β)

，所以

tan ∠ A C E = - tan (α + β) = - 8

。(D) 錯：

sin ∠ A C E = sin (α + β)

；

α + β

的正切是

8

且

0^{\circ} < α + β < 18 0^{\circ}

，所以是銳角，

sin (α + β) = \frac{8}{1 ^{2} + 8 ^{2}} = \frac{8}{65}

。(E) 對：

\overline{C A} = 1^{2} + 2^{2} = 5

、

\overline{C E} = 2^{2} + 3^{2} = 13

，面積

= \frac{1}{2} \times 5 \times 13 \times \frac{8}{65} = 4

。

(E) 也可以用梯形

A B D E

的面積

\frac{1}{2} (1 + 3) \times 4 = 8

減去兩個直角三角形的面積

1

與

3

，得

4

。

第 9 題答案 (A)(B)(E)。葉片末端繞

O

作半徑

1.5

的圓周運動，

O

離地

4.5

公尺，所以末端高度在

4.5 - 1.5 = 3

與

4.5 + 1.5 = 6

之間。

y = a sin (b t + \frac{π}{2}) + c

（

a > 0

）的最大值是

c + a

、最小值是

c - a

，由

c + a = 6

、

c - a = 3

得

a = \frac{3}{2}

、

c = \frac{9}{2}

。轉一圈

3

秒就是週期

3

：

\frac{2 π}{b} = 3

，

b = \frac{2 π}{3}

。所以 (A)(B)(E) 對，(C)(D) 錯。

c

是高度的中心值，也就是軸心

O

的高度；

a

是葉片長。

第 10 題答案 (A)(B)(D)。

\overline{O P} = (- 4)^{2} + 3^{2} = 5

，所以

cos θ = - \frac{4}{5}

、

sin θ = \frac{3}{5}

。(A) 對。(B) 對：

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{32}{25} - 1 = \frac{7}{25}

。(C) 錯：

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{1}{10}

，所以

cos \frac{θ}{2} = \pm \frac{1}{10}

；

θ

是有向角，可寫成

θ_{0} + 2 k π

（

θ_{0}

是

\frac{π}{2}

與

π

之間的那一個，

k

為整數），

\frac{θ}{2} = \frac{θ _{0}}{2} + k π

，

k

為奇數時

\frac{θ}{2}

在第三象限、餘弦為負，所以不一定等於

\frac{1}{10}

。(D) 對：

tan \frac{θ}{2} = \frac{sin θ}{1 + cos θ} = \frac{3/5}{1/5} = 3

，這個式子只用到

sin θ

、

cos θ

，不論

k

是多少都成立。(E) 錯：

cos (9 0^{\circ} + θ) = - sin θ = - \frac{3}{5}

。

(D) 的式子來自

tan \frac{θ}{2} = \frac{sin \frac{θ}{2}}{cos \frac{θ}{2}} = \frac{2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2}}{2 cos ^{2} \frac{θ}{2}} = \frac{sin θ}{1 + cos θ}

。(C) 若把

θ

限定在

0

到

2 π

之間才會成立，題目沒有這個限制。

看函數圖形的性質，先把式子整理成

a sin (k (x - h)) + c

的樣子再讀振幅、週期、平移量；半角的正負要看半角落在哪個象限。

03填充 1～5（第 11～15 題）：特殊角、疊合、正切和角、交點個數、伸縮平移

第 11 題

sin π = 0

。

cos \frac{7 π}{6} = cos (π + \frac{π}{6}) = - cos \frac{π}{6} = - \frac{3}{2}

。

tan \frac{5 π}{3} = tan (2 π - \frac{π}{3}) = - tan \frac{π}{3} = - 3

。三者相加：

0 - \frac{3}{2} - 3 = - \frac{3 3}{2}

。

第 12 題

r = (- 1)^{2} + (3)^{2} = 2

。

f (x) = 2 (- \frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x)

，要寫成

2 (sin x cos a + cos x sin a)

，需要

cos a = - \frac{1}{2}

、

sin a = \frac{3}{2}

；在

0 \leq a < 2 π

內

a = \frac{2 π}{3}

。所以

(r, a) = (2, \frac{2 π}{3})

。

cos a

對的是

sin x

的係數、

sin a

對的是

cos x

的係數；

cos a < 0

、

sin a > 0

，

a

在第二象限。

第 13 題

tan (α + β) = tan 4 5^{\circ} = 1

，即

\frac{tan α + tan β}{1 - tan α tan β} = 1

，所以

tan α + tan β = 1 - tan α tan β

，移項得

tan α + tan β + tan α tan β = 1

。因此

(1 + tan α) (1 + tan β) = 1 + tan α + tan β + tan α tan β = 1 + 1 = 2

。

第 14 題實根個數就是

y = 10 sin x

與

y = x

兩圖形的交點個數。

x = 0

是一個根。先看

x > 0

：

∣10 sin x ∣ \leq 10

，所以

x > 10

時沒有交點。在

0 < x < π

：

x

接近

0

時

10 sin x

比

x

大（例如

x = \frac{π}{2}

時

10 > \frac{π}{2}

），到

x = π

時

10 sin π = 0 < π

，圖形在這一段先在直線上方、後在下方，交

1

次。在

π \leq x \leq 2 π

：

sin x \leq 0 < x

，沒有交點。在

2 π < x < 3 π

：兩端

10 sin x = 0

都比

x

小，中間

x = \frac{5 π}{2} \approx 7.85

時

10 sin x = 10 > 7.85

，上升段與下降段各交

1

次，共

2

次。在

3 π \leq x \leq 10

：因為

4 π \approx 12.57 > 10

，這一段

sin x \leq 0

，沒有交點。所以正根有

3

個。

y = 10 sin x

與

y = x

的圖形都對稱於原點，負根也有

3

個。合計

3 + 3 + 1 = 7

個。

關鍵是直線

y = x

在

x = 10

才升到正弦曲線的最高高度

10

，而

3 π < 10 < 4 π

，所以正的那一側只有兩個「山峰」碰得到直線。

第 15 題水平伸縮為

\frac{1}{2}

倍：把

x

換成

2 x

，得

y = sin 2 x

。再往左平移

\frac{π}{6}

：把

x

換成

x + \frac{π}{6}

，得

y = sin (2 (x + \frac{π}{6})) = sin (2 x + \frac{π}{3})

。所以

(a, b) = (2, \frac{π}{3})

，符合

0 < b < π

。

先伸縮再平移時，平移是對

x

本身做的，

b

是

2 \times \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

，不是

\frac{π}{6}

。

04填充 6～10（第 16～20 題）：圓錐展開、三角形內角、方格圖、弧形面積、正弦不等式

第 16 題斜高

\overline{A B} = 3^{2} + 4^{2} = 5

。沿斜高剪開後，側面展開成半徑為

5

的扇形，扇形的弧長等於底圓周長

2 π \times 3 = 6 π

。扇形面積

= \frac{1}{2} \times 半徑 \times 弧長 = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 π = 15 π

。

扇形的圓心角是

\frac{6 π}{5}

弳，用

\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 25 \times \frac{6 π}{5}

算也是

15 π

。

第 17 題

cos B < 0

，所以

B

是鈍角，

sin B = 1 - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}

。三角形最多一個鈍角，

A

是銳角，

cos A = 1 - \frac{1}{10} = \frac{3}{10}

。

C = 18 0^{\circ} - (A + B)

，所以

cos C = - cos (A + B) = - (cos A cos B - sin A sin B) = - (- \frac{3}{50} - \frac{2}{50}) = \frac{5}{50} = \frac{1}{2}

。

C

是三角形的內角，所以

∠ C = 4 5^{\circ}

。

以弧度表示是

\frac{π}{4}

。

第 18 題題幹照原卷；依答案以

∠ B C A = α

說明。直角三角形

A B C

的直角在

B

，

\overline{A B} = 1

、

\overline{B C} = 3

，所以

tan ∠ B C A = \frac{A B}{B C} = \frac{1}{3}

。直角三角形

C D E

的直角在

D

，

\overline{C D} = 2

、

\overline{D E} = 1

，所以

tan β = tan ∠ D C E = \frac{D E}{C D} = \frac{1}{2}

。

tan (α + β) = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1

。

流傳版本題幹印作

∠ B A C = α

。照字面，頂點在

A

的那個角正切是

\frac{B C}{A B} = 3

，算出

tan (α + β) = \frac{3 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{3}{2}} = - 7

，與流傳版本的參考答案

1

不合；參考答案對應的是頂點在

C

的

∠ B C A

，所以本頁答案寫

1

，並以

∠ B C A = α

說明。以

∠ B C A

來看，

α + β = 4 5^{\circ}

。

第 19 題塗色部分可以看成正三角形

A B C

加上三個全等的弓形。以

A

為圓心的扇形

A B C

圓心角

\frac{π}{3}

、半徑

1

，面積

\frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{π}{6}

。正三角形面積

\frac{3}{4}

。一個弓形面積

= \frac{π}{6} - \frac{3}{4}

。所求

= \frac{3}{4} + 3 (\frac{π}{6} - \frac{3}{4}) = \frac{π}{2} - \frac{3}{2} = \frac{π - 3}{2}

。

也可以想成三個扇形相加

\frac{π}{2}

，其中正三角形被算了三次，要扣掉兩次。

第 20 題在

0 \leq x < 2 π

內，

sin x = - \frac{2}{2}

的解是

x = \frac{5 π}{4}

與

x = \frac{7 π}{4}

。

y = sin x

的圖形在這兩個角之間位於直線

y = - \frac{2}{2}

的下方（最低到

x = \frac{3 π}{2}

時的

- 1

），其餘部分在上方，所以解為

\frac{5 π}{4} \leq x \leq \frac{7 π}{4}

。

05填充 11～15（第 21～25 題）：降次後疊合、解的和、差角求面積、木橋最大值、圓上的等弦

第 21 題用

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

、

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

、

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

代入：

y = \frac{1 - cos 2 x}{2} - 2 sin 2 x + \frac{3 ( 1 + cos 2 x )}{2} = 2 + cos 2 x - 2 sin 2 x

。

cos 2 x - 2 sin 2 x

疊合後的振幅是

1^{2} + (- 2)^{2} = 5

，值在

- 5

到

5

之間，所以

y

的最大值是

2 + 5

。

最小值是

2 - 5

。先把二次式降成

2 x

的一次式，才能疊合。

第 22 題在

0 \leq x \leq 2 π

內，

sin x = - \frac{3}{2}

的解是

\frac{4 π}{3}

、

\frac{5 π}{3}

；各減

2 π

得到

- 2 π \leq x \leq 0

內的解

- \frac{2 π}{3}

、

- \frac{π}{3}

。四個交點的

x

坐標總和

= \frac{4 π}{3} + \frac{5 π}{3} - \frac{2 π}{3} - \frac{π}{3} = 2 π

。

每一組的兩個解對稱於圖形的最低點：一組對稱於

x = \frac{3 π}{2}

、和為

3 π

，另一組對稱於

x = - \frac{π}{2}

、和為

- π

。

第 23 題直角三角形

B D C

中，

\overline{B D} = 2 5^{2} - 1 5^{2} = 20

，

sin ∠ D B C = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}

、

cos ∠ D B C = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}

。

∠ A B C

是銳角且

sin ∠ A B C = \frac{24}{25}

，所以

cos ∠ A B C = \frac{7}{25}

。由圖，

∠ A B D = ∠ A B C - ∠ D B C

，

sin ∠ A B D = \frac{24}{25} \times \frac{4}{5} - \frac{7}{25} \times \frac{3}{5} = \frac{96 - 21}{125} = \frac{3}{5}

。

△ A B D

面積

= \frac{1}{2} \times \overline{A B} \times \overline{B D} \times sin ∠ A B D = \frac{1}{2} \times 16 \times 20 \times \frac{3}{5} = 96

。

第 24 題

E

、

F

分別是弦

\overline{A B}

、

\overline{C D}

的中點（圓心到弦的垂線平分弦）。設

∠ A O E = θ

（

0 < θ < \frac{π}{2}

），則

\overline{A E} = 100 sin θ

、

\overline{O E} = 100 cos θ

，所以

\overline{A B} = \overline{C D} = 200 sin θ

；兩弦等長，到圓心的距離相等，

\overline{E F} = 2 \overline{O E} = 200 cos θ

。總長

= 400 sin θ + 200 cos θ = 200 (2 sin θ + cos θ)

。

2 sin θ + cos θ

疊合後的振幅是

2^{2} + 1^{2} = 5

，所以最大值是

2005

。

最大值發生在

sin θ = \frac{2}{5}

、

cos θ = \frac{1}{5}

時，這個

θ

是銳角，在範圍內，所以最大值取得到。

第 25 題圓的半徑是

\overline{O A} = 7

。

B

在圓上且

x

坐標為

2

，在第一象限，所以

B = (2, 3)

。設

∠ A O B = φ

，則

cos φ = \frac{2}{7}

、

sin φ = \frac{3}{7}

。同圓中等弦對等圓心角，

\overline{A B} = \overline{B C}

且

C \neq = A

，所以

C

在

B

的另一側，

∠ B O C = φ

、

∠ A O C = 2 φ

。

cos 2 φ = 2 cos^{2} φ - 1 = \frac{8}{7} - 1 = \frac{1}{7}

。在

△ A O C

用餘弦定理：

\overline{A C}^{2} = 7 + 7 - 2 \times 7 \times 7 \times \frac{1}{7} = 12

，

\overline{A C} = 23

。

也可以用對稱：

A

、

C

對稱於直線

O B

，

\overline{A C}

是

A

到直線

O B

距離的兩倍，即

2 \times 7 sin φ = 23

。

求

a sin θ + b cos θ

型的極值先疊合；二次式先用倍角公式降次。應用題先選一個角當變數，把所有長度用它表示。

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03填充 1～5（第 11～15 題）：特殊角、疊合、正切和角、交點個數、伸縮平移

04填充 6～10（第 16～20 題）：圓錐展開、三角形內角、方格圖、弧形面積、正弦不等式

05填充 11～15（第 21～25 題）：降次後疊合、解的和、差角求面積、木橋最大值、圓上的等弦

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