段考詳解範圍：三角函數（弧度量與同界角、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期、週期性數學模型）

安康高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 25 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

是非題 5 題（10 分）、單選題 5 題（25 分）、多選題 5 題（25 分）、填充題 8 格（32 分）、計算題 2 題（8 分）

一、是非題（每題 2 分）

半徑為

1

，弧長為

3

的扇形之圓心角為

3

弳。

廣義角

π

與

- π

互為同界角。

函數

y = 2 sin 3 x

，圖形對稱於原點。

函數

y = 2 sin 3 x

，與

y = 1

的圖形有無限多個交點。

y = sin 2 x

的週期為

4 π

。

二、單選題（每題 5 分）（本頁第 6～10 題依序為原卷單選第 1～5 題）

將一繩長為

100

公分的繩子一端固定在

A

點上，將此繩子逆時針纏繞在如圖的圓形輪上，輪子的半徑是

5

公分，輪子的圓心在

O

點，且繩子的另一端點為

B

，則

B

點在什麼位置？

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) $x$ 軸或 $y$ 軸

載入中...

若

\frac{55 π}{12} < θ < \frac{59 π}{12}

，則角

θ

位於第幾象限？

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) 以上皆非

點

P (cos 10, sin 10)

位在第幾象限？

(A) 一
(B) 二
(C) 三
(D) 四

比較

a = sin 11 0^{\circ}

、

b = sin 17 0^{\circ}

、

c = sin 23 0^{\circ}

的大小關係為

(A) $a > b > c$
(B) $c > b > a$
(C) $b > a > c$
(D) $b > c > a$
(E) $a > c > b$

下列何者的圖形可由

y = sin x

的圖形向右平移

\frac{π}{4}

單位，再向上平移

2

單位後得到？

(A) $y = sin (x + \frac{π}{4}) + 2$
(B) $y = sin (x - \frac{π}{4}) - 2$
(C) $y = sin (x + \frac{π}{4}) - 2$
(D) $y = sin (x - \frac{π}{4}) + 2$
(E) $y = 2 sin (x - \frac{π}{4})$

三、多選題（每題 5 分，錯一個選項扣 2 分，扣至該題 0 分）（本頁第 11～15 題依序為原卷多選第 1～5 題）

下列哪些敘述是正確的？

(A) $sin 3 > 0$
(B) $cos 3 > 0$
(C) $sin 3 > \frac{1}{2}$
(D) $∣ cos 3∣ > \frac{1}{2}$
(E) $∣ sin 3∣ < ∣ cos 3∣$

設函數

f (x) = 2 sin 3 x

，請問下列選項何者正確？

(A) $- 2 \leq f (x) \leq 2$
(B) $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 時有最大值
(C) $f (x)$ 的圖形對稱於直線 $x = \frac{π}{6}$
(D) $f (x)$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$
(E) $f (3) > 0$

有關

y = f (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{6}) + 1

（

x

為實數）的圖形，下列何者正確？

(A) 週期為 $π$
(B) $- 2 \leq f (x) \leq 2$
(C) $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{3}$ 時有最大值
(D) 其圖形對稱於 $y$ 軸
(E) 與直線 $y + 1 = 0$ 之交點有無限多個

設函數

y = sin (x - \frac{π}{4})

的圖形可由

y = sin x

的圖形往右平移

h

單位後得到。選出所有

h

可能的值。

(A) $- \frac{π}{4}$
(B) $\frac{π}{4}$
(C) $\frac{9 π}{4}$
(D) $- \frac{7 π}{4}$

試問

y = sin (x + \frac{3 π}{4})

的圖形如何由

y = sin x

的圖形平移得到？選出所有正確的選項。

(A) 往左平移 $\frac{3 π}{4}$ 單位
(B) 往右平移 $\frac{3 π}{4}$ 單位
(C) 往左平移 $\frac{5 π}{4}$ 單位
(D) 往右平移 $\frac{5 π}{4}$ 單位

四、填充題（每格 4 分）（本頁第 16～23 題依序為原卷答案格 A～H）

已知

y = 4 cos^{2} x + 4 sin x + 3

，且

\frac{π}{4} \leq x \leq \frac{2 π}{3}

，則

y

值的範圍為 ____。

圖是函數

y = a sin (b x + c)

（

a > 0

，

b > 0

，

∣ c ∣ < π

）在一個週期內的圖形，求

a + b + c =

____。

載入中...

f (x) = sin (1 + π x)

，則

f (x)

的週期為 ____。

一隻牛被拴在底座為

3

公尺的正三角形建築物上，且繩子綁在

A

點處，若此繩長為

4

公尺，則此牛在建築物外可活動範圍的面積為 ____ 平方公尺。

載入中...

圖中，

\overline{A B} = 43

，

\overline{A D} = 23

，在矩形

A B C D

中，以

A

為圓心，

4

及

43

為半徑作兩弧，則圖中鋪色部分的面積為 ____。

載入中...

小夫家養了一隻貓咪，根據動物醫學中心研究發現，貓咪的體能模式為

P = 40 sin ω t + 60

，常數

ω > 0

，

P %

表能量的百分比，

t

表示出生後的天數（

t

是正整數），如果小貓的體能週期是

40

天，則在一個週期中，最多有 ____ 天能量的百分比

> 80%

。

試問

12

弳是第 ____ 象限角。

設

θ

是

12

弳的同界角，且

0 \leq θ < 2 π

，問：

θ

為 ____ 弳。

五、計算題（每題 4 分，請寫出計算過程才予以計分）（本頁第 24、25 題依序為原卷計算第 1、2 題）

遊樂區中有一圓形摩天輪，中心軸高

22

公尺，直徑

40

公尺，逆時針方向運轉一圈需時

15

分鐘。當摩天輪開始運轉時，阿美恰坐在離地最近的位置上，

x

分鐘後，阿美離地的高度可表為

y = a sin (b x - \frac{π}{2}) + c

，

a > 0

且

b > 0

。求實數數對

(a, b, c)

的值。

載入中...

如圖所示，直線

y = \frac{1}{2}

與

y = sin x

的圖形在

0 \leq x \leq 2 π

的範圍內有

A

，

B

兩個交點。在

0 \leq x \leq 2 π

中，試求不等式

sin x \leq \frac{1}{2}

的解。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

第 6 題(A)

第 7 題(B)

第 8 題(C)

第 9 題(A)

第 10 題(D)

第 11 題(A)(D)(E)

第 12 題(A)(C)(D)(E)

第 13 題(A)(C)(E)

第 14 題(B)(C)(D)

第 15 題(A)(D)

第 16 題

7 \leq y \leq 5 + 22

第 17 題

3

第 18 題

2

第 19 題

14 π

第 20 題

43 + \frac{4}{3} π

第 21 題

13

第 22 題四

第 23 題

12 - 2 π

第 24 題

(a, b, c) = (20, \frac{2 π}{15}, 22)

第 25 題

0 \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6} \leq x \leq 2 π

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，系統會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非 1～5：弧度的定義、同界角、正弦函數的圖形

第 1 題1弧長

s

、半徑

r

、圓心角

θ

（弳）的關係是

s = r θ

。

3 = 1 \times θ

，所以

θ = 3

弳。

弳就是「弧長是半徑的幾倍」。

3

弳約

17 2^{\circ}

，比半圓的

π \approx 3.14

弳略小，是合理的扇形。

第 2 題1兩個角相差

2 π

的整數倍時，終邊相同，互為同界角。

π - (- π) = 2 π

，所以

π

與

- π

互為同界角。

兩個角的終邊都落在

x

軸的負向：一個逆時針轉半圈，一個順時針轉半圈。

第 3 題1設

f (x) = 2 sin 3 x

。

f (- x) = 2 sin (- 3 x) = - 2 sin 3 x = - f (x)

，所以點

(x, y)

在圖形上時，點

(- x, - y)

也在圖形上，圖形對稱於原點。

y = sin x

的圖形對稱於原點；以原點為中心做左右壓縮、上下伸長，不會改變這個對稱性。

第 4 題1

y = 2 sin 3 x

的值在

- 2

與

2

之間來回，

1

介於其間，所以每一個週期（長

\frac{2 π}{3}

）裡圖形都會穿過直線

y = 1

兩次。

x

是所有實數，週期有無限多個，交點也就有無限多個。

例如

3 x = \frac{π}{6}

，即

x = \frac{π}{18}

就是一個交點；再加上週期

\frac{2 π}{3}

的整數倍都是交點。

第 5 題2

y = sin b x

（

b > 0

）的週期是

\frac{2 π}{b}

。

b = 2

，週期

= \frac{2 π}{2} = π

，不是

4 π

。

x

的係數變大，圖形左右壓縮，週期變短；週期

4 π

的是

y = sin \frac{x}{2}

。

y = a sin b x

：值的範圍是

- ∣ a ∣

到

∣ a ∣

，週期是

\frac{2 π}{∣ b ∣}

。

02單選 6～8（原卷單選 1～3）：弧度角落在第幾象限

第 6 題答案 (A)。繩子貼著輪緣繞，繞過的弧長就是繩長

100

公分。由

s = r θ

：

100 = 5 θ

，

θ = 20

弳，也就是

B

點是由

A

點（在

x

軸正向上）逆時針轉

20

弳的位置。一圈是

2 π \approx 6.28

弳，三圈是

6 π \approx 18.85

弳，

20 - 6 π \approx 1.15

弳。因為

0 < 1.15 < \frac{π}{2} \approx 1.57

，所以

B

點在第一象限。

採用的讀法：繩子全部貼著輪緣纏繞，

B

點在輪緣上，以

O

為原點、

A

在

x

軸正向。本卷來源無參考答案，以校方答案為準。

第 7 題答案 (B)。

\frac{55 π}{12} = 4 π + \frac{7 π}{12}

，

\frac{59 π}{12} = 4 π + \frac{11 π}{12}

。減去

4 π

（兩圈）後，

θ

的同界角介於

\frac{7 π}{12}

與

\frac{11 π}{12}

之間。而

\frac{π}{2} = \frac{6 π}{12} < \frac{7 π}{12}

、

\frac{11 π}{12} < π = \frac{12 π}{12}

，整段都在

\frac{π}{2}

與

π

之間，所以

θ

是第二象限角。

把分母統一成

12

再比：

4 π = \frac{48 π}{12}

，

55 - 48 = 7

，

59 - 48 = 11

。

第 8 題答案 (C)。這裡的

10

是

10

弳。

10 - 2 π \approx 10 - 6.28 = 3.72

，與

10

弳是同界角。

π \approx 3.14 < 3.72 < \frac{3 π}{2} \approx 4.71

，所以

10

弳是第三象限角，

cos 10 < 0

且

sin 10 < 0

，點

P

在第三象限。

沒有寫度的記號就是弳。若當成

1 0^{\circ}

會誤判成第一象限。

弧度角先減去

2 π

的整數倍，再用

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

判斷落在哪一個象限。

03單選 9、10（原卷單選 4、5）：正弦值比大小、圖形的平移

第 9 題答案 (A)。都換成銳角的正弦值：

a = sin 11 0^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 11 0^{\circ}) = sin 7 0^{\circ}

；

b = sin 17 0^{\circ} = sin 1 0^{\circ}

；

c = sin 23 0^{\circ} = sin (18 0^{\circ} + 5 0^{\circ}) = - sin 5 0^{\circ} < 0

。銳角愈大正弦值愈大，所以

sin 7 0^{\circ} > sin 1 0^{\circ} > 0 > c

，即

a > b > c

。

23 0^{\circ}

是第三象限角，正弦值為負，三個數裡它最小。

第 10 題答案 (D)。向右平移

\frac{π}{4}

單位是把

x

換成

x - \frac{π}{4}

，得

y = sin (x - \frac{π}{4})

；再向上平移

2

單位是整個函數值加

2

，得

y = sin (x - \frac{π}{4}) + 2

。

可以用一個點檢查：

y = sin x

上的原點

(0, 0)

平移後到

(\frac{π}{4}, 2)

，代入 (D)：

sin 0 + 2 = 2

，符合。向右平移時括號內是減；(E) 的

2

乘在前面是把振幅放大，不是向上平移。

左右平移改的是

x

（向右

h

單位就把

x

換成

x - h

），上下平移改的是整個函數值。

04多選 11～13（原卷多選 1～3）：sin 3 與 cos 3 的估計、正弦函數的性質

第 11 題答案 (A)(D)(E)。

\frac{5 π}{6} \approx 2.62 < 3 < π \approx 3.14

，所以

3

弳是第二象限角，而且很接近

π

。在第二象限，角愈大正弦值愈小、餘弦值也愈小，所以

0 = sin π < sin 3 < sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

，

- 1 = cos π < cos 3 < cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}

。(A) 對：

sin 3 > 0

。(B) 錯：

cos 3 < 0

。(C) 錯：

sin 3 < \frac{1}{2}

。(D) 對：

∣ cos 3∣ > \frac{3}{2} > \frac{1}{2}

。(E) 對：

∣ sin 3∣ < \frac{1}{2} < \frac{3}{2} < ∣ cos 3∣

。

實際數值

sin 3 \approx 0.141

、

cos 3 \approx - 0.990

。不必算出數值，只要把

3

夾在

\frac{5 π}{6}

與

π

之間就夠判斷。

第 12 題答案 (A)(C)(D)(E)。(A) 對：

- 1 \leq sin 3 x \leq 1

，乘以

2

得

- 2 \leq f (x) \leq 2

。(B) 錯：

f (\frac{π}{2}) = 2 sin \frac{3 π}{2} = - 2

，是最小值。(C) 對：

f (\frac{π}{6}) = 2 sin \frac{π}{2} = 2

是最大值，正弦型圖形對稱於通過最高點（或最低點）的鉛直線，所以對稱於直線

x = \frac{π}{6}

。(D) 對：週期

= \frac{2 π}{3}

。(E) 對：

f (3) = 2 sin 9

，

9 - 2 π \approx 2.72

，而

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 2.72 < π \approx 3.14

，

9

弳是第二象限角，

sin 9 > 0

。

判斷是否對稱於某條鉛直線

x = k

，只要看

f (k)

是不是最大值或最小值。(B) 的

x = \frac{π}{2}

也是對稱軸，但那裡是最低點。

第 13 題答案 (A)(C)(E)。(A) 對：

x

的係數是

2

，週期

= \frac{2 π}{2} = π

。(B) 錯：

- 2 \leq 2 sin (2 x - \frac{π}{6}) \leq 2

，再加

1

，得

- 1 \leq f (x) \leq 3

。(C) 對：

f (\frac{π}{3}) = 2 sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6}) + 1 = 2 sin \frac{π}{2} + 1 = 3

，是最大值。(D) 錯：

f (\frac{π}{3}) = 3

，但

f (- \frac{π}{3}) = 2 sin (- \frac{5 π}{6}) + 1 = 2 \times (- \frac{1}{2}) + 1 = 0

，兩者不相等，圖形不對稱於

y

軸。(E) 對：

y + 1 = 0

即

y = - 1

，正好是

f (x)

的最小值；每一個週期圖形的最低點都碰到這條直線一次，

x

是所有實數，所以交點有無限多個。

(B) 是把向上平移的

+ 1

漏掉了。(E) 的直線與圖形相切於每個最低點（例如

x = - \frac{π}{6}

），每個週期一個交點。

y = a sin (b x + c) + d

（

a > 0

）：範圍是

d - a

到

d + a

，週期是

\frac{2 π}{∣ b ∣}

，對稱軸通過最高點或最低點。

05多選 14、15（原卷多選 4、5）：平移量相差一個週期的整數倍

第 14 題答案 (B)(C)(D)。

y = sin x

的圖形往右平移

h

單位得到

y = sin (x - h)

。要與

y = sin (x - \frac{π}{4})

是同一個圖形，

h

與

\frac{π}{4}

必須相差週期

2 π

的整數倍：

h = \frac{π}{4} + 2 k π

（

k

為整數）。

k = 0

得

\frac{π}{4}

，(B) 對；

k = 1

得

\frac{9 π}{4}

，(C) 對；

k = - 1

得

- \frac{7 π}{4}

，(D) 對。(A) 錯：

h = - \frac{π}{4}

得到

y = sin (x + \frac{π}{4})

，例如

x = \frac{π}{4}

時它的值是

1

，而

sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{4}) = 0

，圖形不同。

採用的讀法：

h

為負時，「往右平移

h

單位」表示往左平移

∣ h ∣

單位（選項裡有兩個負數，題目是把

h

當成可正可負的平移量）。(D) 就是往左平移

\frac{7 π}{4}

：

sin (x + \frac{7 π}{4}) = sin (x - \frac{π}{4} + 2 π) = sin (x - \frac{π}{4})

。若只接受正的

h

，答案會是 (B)(C)。本卷來源無參考答案，以校方答案為準。

第 15 題答案 (A)(D)。(A) 對：往左平移

\frac{3 π}{4}

單位是把

x

換成

x + \frac{3 π}{4}

，得到

y = sin (x + \frac{3 π}{4})

。(D) 對：往右平移

\frac{5 π}{4}

單位得

y = sin (x - \frac{5 π}{4})

，而

- \frac{5 π}{4} + 2 π = \frac{3 π}{4}

，所以

sin (x - \frac{5 π}{4}) = sin (x + \frac{3 π}{4})

，是同一個圖形。(B) 錯：往右平移

\frac{3 π}{4}

得

y = sin (x - \frac{3 π}{4})

，

x = 0

時是

- \frac{2}{2}

，而題目的函數在

x = 0

時是

sin \frac{3 π}{4} = \frac{2}{2}

。(C) 錯：往左平移

\frac{5 π}{4}

得

y = sin (x + \frac{5 π}{4})

，

x = 0

時是

- \frac{2}{2}

，也不同。

往左

\frac{3 π}{4}

與往右

\frac{5 π}{4}

合起來剛好是一個週期：

\frac{3 π}{4} + \frac{5 π}{4} = 2 π

。

y = sin x

的週期是

2 π

：往左平移

d

單位與往右平移

2 π - d

單位得到同一個圖形。

06填充 16～18（原卷答案格 A～C）：二次函數求範圍、讀圖、週期

第 16 題用

cos^{2} x = 1 - sin^{2} x

把式子都換成

sin x

：

y = 4 (1 - sin^{2} x) + 4 sin x + 3 = - 4 sin^{2} x + 4 sin x + 7

。令

t = sin x

，配方得

y = - 4 (t - \frac{1}{2})^{2} + 8

。再看

t

的範圍：

x

從

\frac{π}{4}

到

\frac{2 π}{3}

，

sin x

先從

\frac{2}{2}

上升到

1

（

x = \frac{π}{2}

），再下降到

\frac{3}{2}

，所以

\frac{2}{2} \leq t \leq 1

。這一段都在頂點

t = \frac{1}{2}

的右邊，

y

隨

t

增加而減少：

t = \frac{2}{2}

時

y = - 4 \times \frac{1}{2} + 4 \times \frac{2}{2} + 7 = 5 + 22

（最大）；

t = 1

時

y = - 4 + 4 + 7 = 7

（最小）。所以

7 \leq y \leq 5 + 22

。

t

的範圍不能只代兩個端點：

\frac{π}{2}

在區間裡面，

sin x

的最大值是

1

，不是

\frac{3}{2}

。另外頂點

t = \frac{1}{2}

不在

t

的範圍內，

y

取不到

8

。

第 17 題最高

3

、最低

- 3

，且

a > 0

，所以

a = 3

。圖形是一個完整的週期，從

x = 1

到

x = 9

，週期

= 9 - 1 = 8

；由

\frac{2 π}{b} = 8

得

b = \frac{π}{4}

。圖形在

x = 1

通過

x

軸並往上升，這相當於

y = sin θ

在

θ = 0

（或再加

2 π

的整數倍）的位置，所以

\frac{π}{4} \times 1 + c = 2 k π

，

c = - \frac{π}{4} + 2 k π

；在

∣ c ∣ < π

的範圍內只有

c = - \frac{π}{4}

。

a + b + c = 3 + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 3

。

也可以看成

y = 3 sin \frac{π}{4} x

的圖形往右平移

1

單位：

y = 3 sin \frac{π}{4} (x - 1) = 3 sin (\frac{π}{4} x - \frac{π}{4})

。平移量

1

要乘上

b

才是

c

的大小。

第 18 題

f (x) = sin (π x + 1)

，

x

的係數是

π

，週期

= \frac{2 π}{π} = 2

。

括號裡的常數

1

只讓圖形左右平移，不影響週期。驗算：

f (x + 2) = sin (π x + 2 π + 1) = sin (π x + 1) = f (x)

。

由圖形決定

y = a sin (b x + c)

：最高最低定

a

，一個週期的長度定

b

，圖形通過

x

軸往上升的那一點定

c

。

07填充 19、20（原卷答案格 D、E）：拆成扇形與三角形求面積

第 19 題把正三角形的另外兩個頂點叫做

B

、

C

。正三角形在

A

點的內角是

6 0^{\circ}

，牛不能走進建築物，所以繩子拉直時能掃過的是以

A

為圓心、半徑

4

、圓心角

36 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 30 0^{\circ} = \frac{5 π}{3}

的扇形，面積

= \frac{1}{2} \times 4^{2} \times \frac{5 π}{3} = \frac{40 π}{3}

。繩長

4

比邊長

3

多

1

：繩子貼著

\overline{A B}

到

B

點後還剩

1

公尺，可以繞過

B

再掃出一個以

B

為圓心、半徑

1

的扇形，圓心角是

B

點的外角

18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

，面積

= \frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{2 π}{3} = \frac{π}{3}

；

C

點那一側相同。總面積

= \frac{40 π}{3} + 2 \times \frac{π}{3} = 14 π

（平方公尺）。

載入中...

採用的讀法：「底座為

3

公尺的正三角形」指建築物的底面是邊長

3

公尺的正三角形，牛在平地上活動、不能進入建築物。兩個小扇形半徑只有

1

，而

B

、

C

相距

3

，彼此不重疊。本卷來源無參考答案，以校方答案為準。

第 20 題兩段弧都以

A

為圓心，鋪色部分是「矩形內、離

A

的距離在

4

與

43

之間」的區域，等於矩形內大弧以內的面積減去小弧以內的面積。大弧（半徑

43 = \overline{A B}

）從

B

畫到

\overline{D C}

上的

Q

點：直角三角形

A D Q

中

\overline{A D} = 23

、

\overline{A Q} = 43

，

\overline{D Q} = 48 - 12 = 6

，

cos ∠ D A Q = \frac{1}{2}

，

∠ D A Q = 6 0^{\circ}

，所以

∠ B A Q = 3 0^{\circ} = \frac{π}{6}

。大弧以內

=

扇形

A B Q + △ A D Q = \frac{1}{2} \times (43)^{2} \times \frac{π}{6} + \frac{1}{2} \times 23 \times 6 = 4 π + 63

。小弧（半徑

4

）從

\overline{A B}

上畫到

\overline{D C}

上的

P

點：

\overline{D P} = 16 - 12 = 2

，

cos ∠ D A P = \frac{2 3}{4} = \frac{3}{2}

，

∠ D A P = 3 0^{\circ}

，所以小弧所對的圓心角是

6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

。小弧以內

= \frac{1}{2} \times 4^{2} \times \frac{π}{3} + \frac{1}{2} \times 23 \times 2 = \frac{8 π}{3} + 23

。鋪色面積

= (4 π + 63) - (\frac{8 π}{3} + 23) = 43 + \frac{4}{3} π

。

兩段弧都沒有畫滿四分之一圓，因為半徑

4

與

43

都比

\overline{A D} = 23

長，弧會先碰到下邊

\overline{D C}

。所以每一塊都是「扇形加一個直角三角形」，不能只用扇形面積相減。

P

、

Q

是本頁為了說明加上的點名。

以同一點為圓心的區域，先從圓心連到弧的端點，拆成扇形（

\frac{1}{2} r^{2} θ

）與三角形再加減。

08填充 21～23（原卷答案格 F～H）：週期模型、12 弳的象限與同界角

第 21 題週期

40

天：

\frac{2 π}{ω} = 40

，

ω = \frac{π}{20}

。

P > 80

即

40 sin \frac{π t}{20} + 60 > 80

，

sin \frac{π t}{20} > \frac{1}{2}

。在一個週期內（

0 < \frac{π t}{20} \leq 2 π

），正弦值大於

\frac{1}{2}

的角介於

\frac{π}{6}

與

\frac{5 π}{6}

之間：

\frac{π}{6} < \frac{π t}{20} < \frac{5 π}{6}

，同乘

\frac{20}{π}

得

\frac{10}{3} < t < \frac{50}{3}

，即

3.33 \dots < t < 16.66 \dots

。

t

是正整數，

t = 4, 5, \dots, 16

，共

16 - 4 + 1 = 13

天。

採用的讀法：

t

只取正整數，一個週期取連續

40

天；因為

40

是整數，不論從哪一天起算，連續

40

天裡都恰有

13

天，所以「最多」也是

13

。能量超過

80%

的時間長度是

\frac{50}{3} - \frac{10}{3} = \frac{40}{3}

天（三分之一個週期），但問的是整數天數。本卷來源無參考答案，以校方答案為準。

第 22 題

12 - 2 π \approx 12 - 6.28 = 5.72

，與

12

弳是同界角。

\frac{3 π}{2} \approx 4.71 < 5.72 < 2 π \approx 6.28

，所以

12

弳是第四象限角。

12

弳轉了一圈多、不到兩圈（兩圈是

4 π \approx 12.57

），只差約

0.57

弳就滿兩圈，所以停在第四象限。

第 23 題同界角相差

2 π

的整數倍：

θ = 12 - 2 k π

。

k = 1

時

θ = 12 - 2 π \approx 5.72

，在

0

與

2 π \approx 6.28

之間；

k = 2

時

12 - 4 π \approx - 0.57

已經是負的。所以

θ = 12 - 2 π

。

答案保留

π

，寫成

12 - 2 π

，不要寫成近似值

5.72

。

週期模型先由週期求出

ω

，再在一個週期內用正弦的圖形解不等式。

09計算 24、25（原卷計算 1、2）：摩天輪的高度模型、用圖形解不等式

第 24 題直徑

40

公尺，半徑

20

公尺；中心軸高

22

公尺，所以最高點離地

22 + 20 = 42

公尺，最低點離地

22 - 20 = 2

公尺。

y = a sin (b x - \frac{π}{2}) + c

（

a > 0

）的最大值是

c + a

、最小值是

c - a

：

c + a = 42

，

c - a = 2

，解得

a = 20

，

c = 22

。轉一圈

15

分鐘，週期

= \frac{2 π}{b} = 15

，

b = \frac{2 π}{15}

。所以

(a, b, c) = (20, \frac{2 π}{15}, 22)

。

檢查起點：

x = 0

時

y = 20 sin (- \frac{π}{2}) + 22 = - 20 + 22 = 2

，正是離地最近的位置；

x = 7.5

（半圈）時

y = 20 sin \frac{π}{2} + 22 = 42

，在最高點。

a

是半徑、

c

是中心軸的高度；高度只跟轉了多少角度有關，順時針或逆時針不影響。

第 25 題先求交點：在

0 \leq x \leq 2 π

中，

sin x = \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{π}{6}

與

x = π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}

，所以

A (\frac{π}{6}, \frac{1}{2})

、

B (\frac{5 π}{6}, \frac{1}{2})

。

sin x \leq \frac{1}{2}

就是

y = sin x

的圖形在直線

y = \frac{1}{2}

上或直線下方的部分：由圖，從

x = 0

到

A

點，以及從

B

點到

x = 2 π

。所以解為

0 \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6} \leq x \leq 2 π

。

不等式含等號，兩個交點

\frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

都要取；

A

、

B

之間圖形在直線上方，是

sin x > \frac{1}{2}

的部分。解有兩段，不要漏掉

x = 0

到

\frac{π}{6}

那一段。

圓周運動的高度模型：振幅是半徑，中心線是圓心的高度，週期是轉一圈的時間。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

安康高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 25 題的答案，是非題 5 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

安康高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 19 題（填充 D）：繩子比三角形的邊長多 1 公尺，牛可以繞過另外兩個頂點，要再加上兩個半徑 1 的小扇形。第 20 題（填充 E）：兩段弧都畫到矩形的下邊，鋪色部分要拆成扇形加直角三角形再相減。第 16 題（填充 A）：正弦值的範圍要看整段區間，最大值出現在區間中間，不是端點。第 14 題：平移量相差一個週期的整數倍時圖形相同，負的平移量也要檢查。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自安康高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

安康高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 25 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01是非 1～5：弧度的定義、同界角、正弦函數的圖形

02單選 6～8（原卷單選 1～3）：弧度角落在第幾象限

03單選 9、10（原卷單選 4、5）：正弦值比大小、圖形的平移

04多選 11～13（原卷多選 1～3）：sin 3 與 cos 3 的估計、正弦函數的性質

05多選 14、15（原卷多選 4、5）：平移量相差一個週期的整數倍

06填充 16～18（原卷答案格 A～C）：二次函數求範圍、讀圖、週期

07填充 19、20（原卷答案格 D、E）：拆成扇形與三角形求面積

08填充 21～23（原卷答案格 F～H）：週期模型、12 弳的象限與同界角

09計算 24、25（原卷計算 1、2）：摩天輪的高度模型、用圖形解不等式

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

安康高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

安康高中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

安康高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

安康高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

安康高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？