段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形與週期、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

北一女中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

單選題 3 題（15 分）、多選題 4 題（40 分）、填充題 7 題（45 分）；本次考試可使用學校指定型號的計算機（E-More FX-127、FuhBao FX-180、Canon F-502G、CASIO FX-82Solar）

壹、單選題（共 15 分）｜每題有五個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或作答多於一個選項者，該題以零分計算。

智慧綠園使用「窗邊照度」來自動控制電動窗簾。小綠以晴天的經驗數據，將窗邊照度

I (t)

（單位：lux）設為

I (t) = 600 + 400 sin (\frac{π}{12} (t - 9))

，其中

t

以小時為單位，

0 \leq t < 24

。窗簾策略：當

I (t) \geq 900

時自動將窗簾轉為半閉，以免眩光；否則全開。則在晴天時，窗簾「半閉」的時間為下列何者？

(A) $11 : 23 \sim 18 : 37$
(B) $11 : 52 \sim 16 : 08$
(C) $12 : 08 \sim 17 : 52$
(D) $12 : 15 \sim 17 : 45$
(E) 不存在

承上題，若為陰天時，窗邊照度為

I_{0} (t) = 600 + 0.7 \times 400 sin (\frac{π}{12} (t - 9))

，則在陰天時，窗簾「半閉」的時間為下列何者？

(A) $11 : 23 \sim 18 : 37$
(B) $11 : 52 \sim 16 : 08$
(C) $12 : 08 \sim 17 : 52$
(D) $12 : 15 \sim 17 : 45$
(E) 不存在

若實數

x

滿足

0 < x < \frac{π}{4}

，定義

a = sin x

、

b = sin (x^{\circ})

、

c = tan \frac{x}{2}

，則

a

、

b

、

c

的大小關係為下列何者？

(A) $a > b > c$
(B) $a > c > b$
(C) $c > a > b$
(D) $b > a > c$
(E) $b > c > a$

貳、多選題（共 40 分）｜每題有五個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，每個選項 2 分；所有選項均未作答者，該題以 0 分計算。（原卷題號 1～4，本頁接續編為第 4～7 題）

下圖為

y = sin x

、

y = sin 2 x

、

y = 2 sin x

、

y = 1 + sin x

、

y = sin (2 + x)

的部分圖形，請問下列選項哪些是正確的？

(A) $p (x)$ 的週期是 $r (x)$ 的一半
(B) $g (x)$ 的圖形可由 $r (x)$ 向上平移 $1$ 單位得到
(C) $g (x) = 1 + sin x$
(D) $f (x) = sin (2 + x)$
(E) 當 $0 \leq x \leq π$ 時， $sin 2 x = sin (2 + x)$ 恰有 $3$ 解

載入中...

已知函數

f (x) = 3 cos (2 x - π) - 1

，請問函數

y = cos x

的圖形，經由以下哪些平移量與伸縮量即可得函數

y = f (x)

的圖形，其中，水平伸縮以

y

軸為中心，鉛直伸縮以

x

軸為中心。

(A) 先向右平移 $\frac{π}{2}$ ，再水平伸縮為 $\frac{1}{2}$ 倍，鉛直伸縮為 $3$ 倍，最後向下平移 $1$
(B) 先水平伸縮為 $\frac{1}{2}$ 倍，鉛直伸縮為 $3$ 倍，再向右平移 $\frac{π}{2}$ ，最後向上平移 $1$
(C) 先向右平移 $π$ ，再水平伸縮為 $\frac{1}{2}$ 倍，鉛直伸縮為 $3$ 倍，最後向下平移 $1$
(D) 先向左平移 $\frac{π}{2}$ ，再水平伸縮為 $\frac{1}{2}$ 倍，鉛直伸縮為 $3$ 倍，最後向上平移 $1$
(E) 先向左平移 $π$ ，再水平伸縮為 $\frac{1}{2}$ 倍，鉛直伸縮為 $3$ 倍，最後向下平移 $1$

若

0 \leq x \leq π

，設函數

y = f (x) = sin x + cos x - 3 sin 2 x

，

t = sin x + cos x

，則下列敘述哪些是正確的？

(A) $t = 2 sin (x + \frac{π}{4})$
(B) $t$ 的最大範圍為 $[- 2, 2]$
(C) 以 $t$ 表示 $y$ 時， $y = - 3 t^{2} + t + 3$
(D) $f (x)$ 的最大值為 $\frac{37}{12}$
(E) $f (x)$ 的最小值為 $- 1$

已知

f (x) = a sin (b x + c) + d

，其中

a > 0

且

b > 0

，若

f (x)

滿足以下條件：①

f (1) = f (3) = f (13) = - 3

　②

f (2) = - 23

　③ 當

1 < x < 3

時，

f (x) < - 3

　④ 當

3 < x < 13

時，

f (x) > - 3

。請問下列選項哪些是正確的？

(A) $b = \frac{π}{6}$
(B) $c = \frac{7 π}{6}$
(C) $a = 23$
(D) $d = 0$
(E) $f (8) = 23$

參、填充題（共 45 分）｜第 A 至 G 題，每一個「○」代表一個字元，可填入 0～9 的一位數字，或符號「−」或「±」，答案皆需化簡為最簡分數或最簡根式；未完全答對不給分。答對 1～5 題每題 7 分（7、14、21、28、35 分），答對 6 題 40 分，7 題全對 45 分。（原卷題號 A～G，本頁編為第 8～14 題）

在

△ A B C

中，已知

cos A = \frac{15}{17}

、

cos B = \frac{45}{53}

，則

cos C = \frac{◯ ◯ ◯ ◯}{◯ ◯ ◯}

。

在

- π \leq x \leq 3 π

範圍，方程式

cos x = \frac{11}{15}

所有解的和為

◯ π

。

已知

\frac{5}{2} π < θ < 3 π

且

5 cos^{2} θ - 6 sin θ + 3 = 0

，則

cos \frac{θ}{2} = \frac{◯ ◯}{◯}

。

方程式

5 π sin ∣ x ∣ + x = 0

有

◯ ◯

個實數解。

將十二個大小相同的正方形排成一個矩形，如圖所示，則

tan ∠ A O B = ◯ ◯

。

載入中...

有一邊長為

3

的正六邊形木板

A_{0} A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}

。初始時將此木板置於

x y

平面上，此時

A_{0} (0, 0)

、

A_{1} (3, 0)

；將此正六邊形木板沿

x

軸正向滾動（無滑動），過程中只觀察頂點

A_{0}

的軌跡。當

A_{3}

第一次落到

x

軸時，

A_{0}

的軌跡長度

s = π (◯ + ◯)

。

如圖，圓

Γ

以

\overline{A B}

為直徑、

O

為圓心。點

P

在圓

Γ

的上半圓上，點

C

在直徑

\overline{A B}

的延長線上。若

\overline{O A} = \overline{O B} = \overline{B C} = 2

，在線段

\overline{C P}

的外側作正方形

C P D E

，則四邊形

O C D P

的面積最大值為

◯ ◯ + ◯ ◯

。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(E)

第 3 題(B)

第 4 題(A)(C)(D)(E)

第 5 題(C)(E)

第 6 題(A)(C)(D)

第 7 題(A)(C)(D)(E)

第 8 題

\frac{- 451}{901}

第 9 題

4 π

第 10 題

- \frac{5}{5}

第 11 題

10

第 12 題

- 7

第 13 題

π (1 + 3)

第 14 題

10 + 45

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～3 題）：正弦不等式、值域、弧度與度

第 1 題答案 (D)。

I (t) \geq 900

即

sin (\frac{π}{12} (t - 9)) \geq \frac{3}{4}

。

\frac{π}{12}

弧度是

1 5^{\circ}

，令角度

α = 1 5^{\circ} \times (t - 9)

；

0 \leq t < 24

時

- 13 5^{\circ} \leq α < 22 5^{\circ}

。用計算機得

sin 48.5 9^{\circ} \approx \frac{3}{4}

，在這個範圍內

sin α \geq \frac{3}{4}

的解是

48.5 9^{\circ} \leq α \leq 131.4 1^{\circ}

。除以

15

：

3.24 \leq t - 9 \leq 8.76

，即

t

約從

12.24

到

17.76

，也就是約

12 : 14

到

17 : 46

，最接近的選項是

12 : 15 \sim 17 : 45

。

可以代端點檢查：

12 : 15

時

α = 48.7 5^{\circ}

，

sin α \approx 0.752 \geq 0.75

；(C) 的

12 : 08

時

α = 4 7^{\circ}

，

sin α \approx 0.731

，還沒到

900

。

第 2 題答案 (E)。

I_{0} (t) = 600 + 280 sin (\frac{π}{12} (t - 9))

，正弦值最大是

1

，所以

I_{0} (t)

最大是

880 < 900

。陰天時照度到不了

900

，窗簾不會轉為半閉。

振幅從

400

變成

280

，先看最大值夠不夠，不必解不等式。

第 3 題答案 (B)。先比

a

、

c

：

a = sin x = 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}

，

c = \frac{sin \frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2}}

，所以

\frac{a}{c} = 2 cos^{2} \frac{x}{2} = 1 + cos x > 1

，得

a > c

。再比

c

、

b

：

0 < cos \frac{x}{2} < 1

，所以

c = \frac{sin \frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2}} > sin \frac{x}{2}

。而

x^{\circ} = \frac{π}{180} x

弧度

\approx 0.0175 x

弧度，比

\frac{x}{2}

弧度小；兩個角都在

0

到

\frac{π}{2}

之間，正弦在這段遞增，所以

sin \frac{x}{2} > sin (x^{\circ}) = b

。合起來

a > c > b

。

sin x

的

x

是弧度，

sin (x^{\circ})

的

x

是度；同一個數當成度，角度只有當成弧度時的

\frac{π}{180}

倍。

02多選 1、2（第 4、5 題）：讀圖與圖形的平移伸縮

第 4 題答案 (A)(C)(D)(E)。先認圖：

r

與

q

同時過

x

軸，

r

的振幅是

q

的兩倍，所以

r (x) = 2 sin x

、

q (x) = sin x

；

p

的週期只有一半，

p (x) = sin 2 x

；

g

的圖形整個在

x

軸上方、最低點剛好碰到

x

軸，

g (x) = 1 + sin x

；剩下的

f (x) = sin (2 + x)

，是

y = sin x

向左平移

2

。(A) 對：

p

的週期

π

，

r

的週期

2 π

。(B) 錯：

r (x)

向上平移

1

是

1 + 2 sin x

，不是

g

；要由

q (x)

向上平移

1

才是。(C)、(D) 對。(E) 對：

sin 2 x = sin (2 + x)

時，

2 x = 2 + x + 2 k π

或

2 x = π - (2 + x) + 2 k π

（

k

為整數）。前者

x = 2 + 2 k π

，在

[0, π]

內只有

x = 2

；後者

x = \frac{π - 2 + 2 k π}{3}

，

k = 0

得

x \approx 0.38

，

k = 1

得

x \approx 2.47

，

k = 2

就超過

π

。共

3

解。

(E) 也可以直接在圖上數

p

（細實線）與

f

（粗實線）在

0

到

π

之間的交點，一樣是

3

個。

第 5 題答案 (C)(E)。向右平移

h

是把

x

換成

x - h

；水平伸縮為

\frac{1}{2}

倍是把

x

換成

2 x

。(A)

cos x \to cos (x - \frac{π}{2}) \to cos (2 x - \frac{π}{2})

，角度不對。(B) 先伸縮得

3 cos 2 x

，再向右平移

\frac{π}{2}

得

3 cos (2 (x - \frac{π}{2})) = 3 cos (2 x - π)

，但最後向上平移

1

得到

+ 1

，不對。(C)

cos x \to cos (x - π) \to cos (2 x - π) \to 3 cos (2 x - π) \to 3 cos (2 x - π) - 1

，對。(D) 得

3 cos (2 x + \frac{π}{2}) + 1

，不對。(E)

cos x \to cos (x + π) \to cos (2 x + π)

，而

2 x + π

與

2 x - π

相差

2 π

，餘弦值相同，所以也得到

3 cos (2 x - π) - 1

，對。

先平移再水平伸縮，平移量是

π

；先水平伸縮再平移，平移量才是

\frac{π}{2}

。順序不同，平移量就不同。

03多選 3、4（第 6、7 題）：疊合求極值、由條件定係數

第 6 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對：

sin x + cos x = 2 (sin x cos \frac{π}{4} + cos x sin \frac{π}{4}) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

。(B) 錯：

0 \leq x \leq π

時

\frac{π}{4} \leq x + \frac{π}{4} \leq \frac{5 π}{4}

，正弦值在

- \frac{2}{2}

到

1

之間，所以

- 1 \leq t \leq 2

。(C) 對：

t^{2} = 1 + 2 sin x cos x = 1 + sin 2 x

，

sin 2 x = t^{2} - 1

，

y = t - 3 (t^{2} - 1) = - 3 t^{2} + t + 3

。(D) 對：

y = - 3 (t - \frac{1}{6})^{2} + \frac{37}{12}

，

t = \frac{1}{6}

在

[- 1, 2]

內，最大值

\frac{37}{12}

。(E) 錯：開口向下，最小值在離

\frac{1}{6}

較遠的端點

t = 2

（即

x = \frac{π}{4}

），

y = - 6 + 2 + 3 = 2 - 3 \approx - 1.59

，比

t = - 1

時的

- 1

還小。

t

的範圍要跟著

x

的範圍算，不是直接寫

\pm 2

；最小值要兩個端點都代。

第 7 題答案 (A)(C)(D)(E)。由 ③④，從

x = 1

到

x = 13

之間，

f (x) < - 3

恰好只有

1 < x < 3

一段、

f (x) > - 3

恰好只有

3 < x < 13

一段，而

f (1) = f (13) = - 3

，所以一個週期是

13 - 1 = 12

，

b = \frac{2 π}{12} = \frac{π}{6}

，(A) 對。圖形在

1 < x < 3

低於

- 3

，對稱軸在中間

x = 2

，所以

x = 2

是最低點：

d - a = - 23

。

x = 1

離最低點

1

，角度差

\frac{π}{6}

，所以

f (1) = d - a cos \frac{π}{6} = d - \frac{3}{2} a = - 3

。兩式相減：

(1 - \frac{3}{2}) a = 23 - 3 = 3 (2 - 3)

，得

a = 23

，

d = 0

，(C)(D) 對。最高點在最低點後半個週期

x = 8

，

f (8) = d + a = 23

，(E) 對。(B)：

x = 2

是最低點表示

\frac{π}{6} \cdot 2 + c = \frac{3 π}{2} + 2 k π

，

c = \frac{7 π}{6} + 2 k π

（

k

為整數），例如

c = - \frac{5 π}{6}

也可以，

c

不一定是

\frac{7 π}{6}

，所以 (B) 不選。

a

、

b

、

d

都被條件唯一決定，只有

c

可以差

2 π

的整數倍。

04填充 A～D（第 8～11 題）：和角、對稱、半角、數交點

第 8 題

A

、

B

是三角形的內角，正弦為正：

sin A = 1 - (\frac{15}{17})^{2} = \frac{8}{17}

，

sin B = 1 - (\frac{45}{53})^{2} = \frac{28}{53}

。

C = π - (A + B)

，所以

cos C = - cos (A + B) = - (cos A cos B - sin A sin B) = - \frac{15 \times 45 - 8 \times 28}{17 \times 53} = - \frac{675 - 224}{901} = \frac{- 451}{901}

。

451 = 11 \times 41

、

901 = 17 \times 53

，已是最簡分數；負號佔分子的第一格。

第 9 題設

α

是

0

到

\frac{π}{2}

之間滿足

cos α = \frac{11}{15}

的角。

cos x = \frac{11}{15}

的解是

x = \pm α + 2 k π

（

k

為整數）。落在

- π \leq x \leq 3 π

的有

- α

、

α

、

2 π - α

、

2 π + α

四個，和為

4 π

。

不用求出

α

：解兩兩對稱於

x = 0

和

x = 2 π

，相加時

α

全部消掉。

第 10 題把

cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ

代入：

5 - 5 sin^{2} θ - 6 sin θ + 3 = 0

，

5 sin^{2} θ + 6 sin θ - 8 = 0

，

(5 sin θ - 4) (sin θ + 2) = 0

，得

sin θ = \frac{4}{5}

。

\frac{5}{2} π < θ < 3 π

與第二象限角同界，

cos θ < 0

，所以

cos θ = - \frac{3}{5}

。半角公式：

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{1}{5}

。又

\frac{5}{4} π < \frac{θ}{2} < \frac{3}{2} π

在第三象限，餘弦為負，

cos \frac{θ}{2} = - \frac{1}{5} = - \frac{5}{5}

。

象限要判斷兩次：一次定

cos θ

的正負，一次定

cos \frac{θ}{2}

的正負。

第 11 題改寫成

sin ∣ x ∣ = - \frac{x}{5 π}

，數

y = sin ∣ x ∣

與直線

y = - \frac{x}{5 π}

的交點；因為正弦值介於

- 1

與

1

之間，只需看

- 5 π \leq x \leq 5 π

。

x = 0

是一個解。

x > 0

時是

sin x = - \frac{x}{5 π}

，右邊為負，只在正弦為負的

(π, 2 π)

、

(3 π, 4 π)

兩段才可能；直線在這兩段的值分別在

- 0.2 \sim - 0.4

、

- 0.6 \sim - 0.8

，都碰不到谷底

- 1

，每段各交

2

點，共

4

個。

x < 0

時令

u = - x > 0

，是

sin u = \frac{u}{5 π}

：

(0, π)

內

1

個，

(2 π, 3 π)

內

2

個，

(4 π, 5 π)

內直線值在

0.8 \sim 1

、峰頂

u = \frac{9}{2} π

時直線值

0.9 < 1

，交

2

個，共

5

個。合計

1 + 4 + 5 = 10

個。

y = sin ∣ x ∣

對

y

軸對稱，但直線不對稱，左右兩邊的交點個數不一樣（左

5

、右

4

），不能只算一邊再乘

2

。

05填充 E～G（第 12～14 題）：正切和角、弧長、疊合求面積最大值

第 12 題設小正方形邊長

1

，

A (0, 0)

、

B (4, 0)

、

C (4, 3)

、

D (1, 3)

。在

△ O A B

中，

∠ O A B

是

\overline{A C}

與

\overline{A B}

的夾角，

tan ∠ O A B = \frac{3}{4}

；

∠ O B A

是

\overline{B D}

與

\overline{B A}

的夾角，

D

在

B

的左

3

、上

3

，

tan ∠ O B A = 1

。

∠ A O B = 18 0^{\circ} - (∠ O A B + ∠ O B A)

，所以

tan ∠ A O B = - tan (∠ O A B + ∠ O B A) = - \frac{\frac{3}{4} + 1}{1 - \frac{3}{4} \times 1} = - \frac{\frac{7}{4}}{\frac{1}{4}} = - 7

。

∠ A O B

是鈍角，正切是負的；答案兩格填「

-

」和「

7

」。

第 13 題正六邊形每次以著地的右端頂點為圓心順時針轉

6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

（外角），下一個頂點就落到

x

軸。第一次以

A_{1}

為圓心轉

\frac{π}{3}

，

A_{2}

落地；

A_{0}

到

A_{1}

的距離是邊長

3

，走的弧長

3 \times \frac{π}{3} = π

。第二次以

A_{2}

為圓心轉

\frac{π}{3}

，

A_{3}

落地；

A_{0}

到

A_{2}

的距離是短對角線

33

，弧長

33 \times \frac{π}{3} = 3 π

。合計

s = π + 3 π = π (1 + 3)

。

每一段的半徑是

A_{0}

到當時旋轉中心的距離：先是邊長

3

，再是

\overline{A_{0} A_{2}} = 33

（頂角

12 0^{\circ}

、兩腰

3

的等腰三角形的底邊）。

第 14 題設

∠ P O C = θ

（

0 < θ < π

），

\overline{O P} = 2

，

\overline{O C} = 4

。四邊形

O C D P

被

\overline{C P}

分成

△ O C P

與

△ C P D

。

△ O C P

面積

= \frac{1}{2} \times 2 \times 4 sin θ = 4 sin θ

。

△ C P D

是正方形的一半，面積

= \frac{1}{2} \overline{C P}^{2}

；由餘弦定理

\overline{C P}^{2} = 4 + 16 - 16 cos θ = 20 - 16 cos θ

，所以是

10 - 8 cos θ

。總面積

= 10 + 4 sin θ - 8 cos θ = 10 + 45 sin (θ - φ)

，其中

cos φ = \frac{1}{5}

、

sin φ = \frac{2}{5}

。當

θ - φ = \frac{π}{2}

時最大，最大值

10 + 45

。

要確認取得到：

φ

約

63. 4^{\circ}

，

θ = φ + 9 0^{\circ}

約

153. 4^{\circ}

，在

0^{\circ}

到

18 0^{\circ}

之間，

P

確實在上半圓上。

求極值的題先把式子整理成單一正弦（疊合）或二次函數，再回頭檢查角度或變數的範圍取不取得到。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

北一女中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

北一女中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 3 題（本頁第 6 題）t 的範圍要跟著 x 的範圍算、最小值要比兩個端點；多選第 4 題（第 7 題）c 可以再加減整圈、不是唯一；填充 D（第 11 題）左右兩邊交點個數不同；填充 G（第 14 題）要把面積拆成三角形加半個正方形再疊合。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自北一女中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形與週期、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

北一女中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

智慧綠園使用「窗邊照度」來自動控制電動窗簾。小綠以晴天的經驗數據，將窗邊照度

I (t)

（單位：lux）設為

I (t) = 600 + 400 sin (\frac{π}{12} (t - 9))

，其中

t

以小時為單位，

0 \leq t < 24

。窗簾策略：當

I (t) \geq 900

時自動將窗簾轉為半閉，以免眩光；否則全開。則在晴天時，窗簾「半閉」的時間為下列何者？

(A) $11 : 23 \sim 18 : 37$
(B) $11 : 52 \sim 16 : 08$
(C) $12 : 08 \sim 17 : 52$
(D) $12 : 15 \sim 17 : 45$
(E) 不存在

承上題，若為陰天時，窗邊照度為

I_{0} (t) = 600 + 0.7 \times 400 sin (\frac{π}{12} (t - 9))

，則在陰天時，窗簾「半閉」的時間為下列何者？

(A) $11 : 23 \sim 18 : 37$
(B) $11 : 52 \sim 16 : 08$
(C) $12 : 08 \sim 17 : 52$
(D) $12 : 15 \sim 17 : 45$
(E) 不存在

若實數

x

滿足

0 < x < \frac{π}{4}

，定義

a = sin x

、

b = sin (x^{\circ})

、

c = tan \frac{x}{2}

，則

a

、

b

、

c

的大小關係為下列何者？

(A) $a > b > c$
(B) $a > c > b$
(C) $c > a > b$
(D) $b > a > c$
(E) $b > c > a$

下圖為

y = sin x

、

y = sin 2 x

、

y = 2 sin x

、

y = 1 + sin x

、

y = sin (2 + x)

的部分圖形，請問下列選項哪些是正確的？

(A) $p (x)$ 的週期是 $r (x)$ 的一半
(B) $g (x)$ 的圖形可由 $r (x)$ 向上平移 $1$ 單位得到
(C) $g (x) = 1 + sin x$
(D) $f (x) = sin (2 + x)$
(E) 當 $0 \leq x \leq π$ 時， $sin 2 x = sin (2 + x)$ 恰有 $3$ 解

載入中...

已知函數

f (x) = 3 cos (2 x - π) - 1

，請問函數

y = cos x

的圖形，經由以下哪些平移量與伸縮量即可得函數

y = f (x)

的圖形，其中，水平伸縮以

y

軸為中心，鉛直伸縮以

x

軸為中心。

(A) 先向右平移 $\frac{π}{2}$ ，再水平伸縮為 $\frac{1}{2}$ 倍，鉛直伸縮為 $3$ 倍，最後向下平移 $1$
(B) 先水平伸縮為 $\frac{1}{2}$ 倍，鉛直伸縮為 $3$ 倍，再向右平移 $\frac{π}{2}$ ，最後向上平移 $1$
(C) 先向右平移 $π$ ，再水平伸縮為 $\frac{1}{2}$ 倍，鉛直伸縮為 $3$ 倍，最後向下平移 $1$
(D) 先向左平移 $\frac{π}{2}$ ，再水平伸縮為 $\frac{1}{2}$ 倍，鉛直伸縮為 $3$ 倍，最後向上平移 $1$
(E) 先向左平移 $π$ ，再水平伸縮為 $\frac{1}{2}$ 倍，鉛直伸縮為 $3$ 倍，最後向下平移 $1$

若

0 \leq x \leq π

，設函數

y = f (x) = sin x + cos x - 3 sin 2 x

，

t = sin x + cos x

，則下列敘述哪些是正確的？

(A) $t = 2 sin (x + \frac{π}{4})$
(B) $t$ 的最大範圍為 $[- 2, 2]$
(C) 以 $t$ 表示 $y$ 時， $y = - 3 t^{2} + t + 3$
(D) $f (x)$ 的最大值為 $\frac{37}{12}$
(E) $f (x)$ 的最小值為 $- 1$

已知

f (x) = a sin (b x + c) + d

，其中

a > 0

且

b > 0

，若

f (x)

滿足以下條件：①

f (1) = f (3) = f (13) = - 3

　②

f (2) = - 23

　③ 當

1 < x < 3

時，

f (x) < - 3

　④ 當

3 < x < 13

時，

f (x) > - 3

。請問下列選項哪些是正確的？

(A) $b = \frac{π}{6}$
(B) $c = \frac{7 π}{6}$
(C) $a = 23$
(D) $d = 0$
(E) $f (8) = 23$

在

△ A B C

中，已知

cos A = \frac{15}{17}

、

cos B = \frac{45}{53}

，則

cos C = \frac{◯ ◯ ◯ ◯}{◯ ◯ ◯}

。

在

- π \leq x \leq 3 π

範圍，方程式

cos x = \frac{11}{15}

所有解的和為

◯ π

。

已知

\frac{5}{2} π < θ < 3 π

且

5 cos^{2} θ - 6 sin θ + 3 = 0

，則

cos \frac{θ}{2} = \frac{◯ ◯}{◯}

。

方程式

5 π sin ∣ x ∣ + x = 0

有

◯ ◯

個實數解。

將十二個大小相同的正方形排成一個矩形，如圖所示，則

tan ∠ A O B = ◯ ◯

。

載入中...

有一邊長為

3

的正六邊形木板

A_{0} A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}

。初始時將此木板置於

x y

平面上，此時

A_{0} (0, 0)

、

A_{1} (3, 0)

；將此正六邊形木板沿

x

軸正向滾動（無滑動），過程中只觀察頂點

A_{0}

的軌跡。當

A_{3}

第一次落到

x

軸時，

A_{0}

的軌跡長度

s = π (◯ + ◯)

。

如圖，圓

Γ

以

\overline{A B}

為直徑、

O

為圓心。點

P

在圓

Γ

的上半圓上，點

C

在直徑

\overline{A B}

的延長線上。若

\overline{O A} = \overline{O B} = \overline{B C} = 2

，在線段

\overline{C P}

的外側作正方形

C P D E

，則四邊形

O C D P

的面積最大值為

◯ ◯ + ◯ ◯

。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(E)

第 3 題(B)

第 4 題(A)(C)(D)(E)

第 5 題(C)(E)

第 6 題(A)(C)(D)

第 7 題(A)(C)(D)(E)

第 8 題

\frac{- 451}{901}

第 9 題

4 π

第 10 題

- \frac{5}{5}

第 11 題

10

第 12 題

- 7

第 13 題

π (1 + 3)

第 14 題

10 + 45

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～3 題）：正弦不等式、值域、弧度與度

第 1 題答案 (D)。

I (t) \geq 900

即

sin (\frac{π}{12} (t - 9)) \geq \frac{3}{4}

。

\frac{π}{12}

弧度是

1 5^{\circ}

，令角度

α = 1 5^{\circ} \times (t - 9)

；

0 \leq t < 24

時

- 13 5^{\circ} \leq α < 22 5^{\circ}

。用計算機得

sin 48.5 9^{\circ} \approx \frac{3}{4}

，在這個範圍內

sin α \geq \frac{3}{4}

的解是

48.5 9^{\circ} \leq α \leq 131.4 1^{\circ}

。除以

15

：

3.24 \leq t - 9 \leq 8.76

，即

t

約從

12.24

到

17.76

，也就是約

12 : 14

到

17 : 46

，最接近的選項是

12 : 15 \sim 17 : 45

。

可以代端點檢查：

12 : 15

時

α = 48.7 5^{\circ}

，

sin α \approx 0.752 \geq 0.75

；(C) 的

12 : 08

時

α = 4 7^{\circ}

，

sin α \approx 0.731

，還沒到

900

。

第 2 題答案 (E)。

I_{0} (t) = 600 + 280 sin (\frac{π}{12} (t - 9))

，正弦值最大是

1

，所以

I_{0} (t)

最大是

880 < 900

。陰天時照度到不了

900

，窗簾不會轉為半閉。

振幅從

400

變成

280

，先看最大值夠不夠，不必解不等式。

第 3 題答案 (B)。先比

a

、

c

：

a = sin x = 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}

，

c = \frac{sin \frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2}}

，所以

\frac{a}{c} = 2 cos^{2} \frac{x}{2} = 1 + cos x > 1

，得

a > c

。再比

c

、

b

：

0 < cos \frac{x}{2} < 1

，所以

c = \frac{sin \frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2}} > sin \frac{x}{2}

。而

x^{\circ} = \frac{π}{180} x

弧度

\approx 0.0175 x

弧度，比

\frac{x}{2}

弧度小；兩個角都在

0

到

\frac{π}{2}

之間，正弦在這段遞增，所以

sin \frac{x}{2} > sin (x^{\circ}) = b

。合起來

a > c > b

。

sin x

的

x

是弧度，

sin (x^{\circ})

的

x

是度；同一個數當成度，角度只有當成弧度時的

\frac{π}{180}

倍。

02多選 1、2（第 4、5 題）：讀圖與圖形的平移伸縮

第 4 題答案 (A)(C)(D)(E)。先認圖：

r

與

q

同時過

x

軸，

r

的振幅是

q

的兩倍，所以

r (x) = 2 sin x

、

q (x) = sin x

；

p

的週期只有一半，

p (x) = sin 2 x

；

g

的圖形整個在

x

軸上方、最低點剛好碰到

x

軸，

g (x) = 1 + sin x

；剩下的

f (x) = sin (2 + x)

，是

y = sin x

向左平移

2

。(A) 對：

p

的週期

π

，

r

的週期

2 π

。(B) 錯：

r (x)

向上平移

1

是

1 + 2 sin x

，不是

g

；要由

q (x)

向上平移

1

才是。(C)、(D) 對。(E) 對：

sin 2 x = sin (2 + x)

時，

2 x = 2 + x + 2 k π

或

2 x = π - (2 + x) + 2 k π

（

k

為整數）。前者

x = 2 + 2 k π

，在

[0, π]

內只有

x = 2

；後者

x = \frac{π - 2 + 2 k π}{3}

，

k = 0

得

x \approx 0.38

，

k = 1

得

x \approx 2.47

，

k = 2

就超過

π

。共

3

解。

(E) 也可以直接在圖上數

p

（細實線）與

f

（粗實線）在

0

到

π

之間的交點，一樣是

3

個。

第 5 題答案 (C)(E)。向右平移

h

是把

x

換成

x - h

；水平伸縮為

\frac{1}{2}

倍是把

x

換成

2 x

。(A)

cos x \to cos (x - \frac{π}{2}) \to cos (2 x - \frac{π}{2})

，角度不對。(B) 先伸縮得

3 cos 2 x

，再向右平移

\frac{π}{2}

得

3 cos (2 (x - \frac{π}{2})) = 3 cos (2 x - π)

，但最後向上平移

1

得到

+ 1

，不對。(C)

cos x \to cos (x - π) \to cos (2 x - π) \to 3 cos (2 x - π) \to 3 cos (2 x - π) - 1

，對。(D) 得

3 cos (2 x + \frac{π}{2}) + 1

，不對。(E)

cos x \to cos (x + π) \to cos (2 x + π)

，而

2 x + π

與

2 x - π

相差

2 π

，餘弦值相同，所以也得到

3 cos (2 x - π) - 1

，對。

先平移再水平伸縮，平移量是

π

；先水平伸縮再平移，平移量才是

\frac{π}{2}

。順序不同，平移量就不同。

03多選 3、4（第 6、7 題）：疊合求極值、由條件定係數

第 6 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對：

sin x + cos x = 2 (sin x cos \frac{π}{4} + cos x sin \frac{π}{4}) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

。(B) 錯：

0 \leq x \leq π

時

\frac{π}{4} \leq x + \frac{π}{4} \leq \frac{5 π}{4}

，正弦值在

- \frac{2}{2}

到

1

之間，所以

- 1 \leq t \leq 2

。(C) 對：

t^{2} = 1 + 2 sin x cos x = 1 + sin 2 x

，

sin 2 x = t^{2} - 1

，

y = t - 3 (t^{2} - 1) = - 3 t^{2} + t + 3

。(D) 對：

y = - 3 (t - \frac{1}{6})^{2} + \frac{37}{12}

，

t = \frac{1}{6}

在

[- 1, 2]

內，最大值

\frac{37}{12}

。(E) 錯：開口向下，最小值在離

\frac{1}{6}

較遠的端點

t = 2

（即

x = \frac{π}{4}

），

y = - 6 + 2 + 3 = 2 - 3 \approx - 1.59

，比

t = - 1

時的

- 1

還小。

t

的範圍要跟著

x

的範圍算，不是直接寫

\pm 2

；最小值要兩個端點都代。

第 7 題答案 (A)(C)(D)(E)。由 ③④，從

x = 1

到

x = 13

之間，

f (x) < - 3

恰好只有

1 < x < 3

一段、

f (x) > - 3

恰好只有

3 < x < 13

一段，而

f (1) = f (13) = - 3

，所以一個週期是

13 - 1 = 12

，

b = \frac{2 π}{12} = \frac{π}{6}

，(A) 對。圖形在

1 < x < 3

低於

- 3

，對稱軸在中間

x = 2

，所以

x = 2

是最低點：

d - a = - 23

。

x = 1

離最低點

1

，角度差

\frac{π}{6}

，所以

f (1) = d - a cos \frac{π}{6} = d - \frac{3}{2} a = - 3

。兩式相減：

(1 - \frac{3}{2}) a = 23 - 3 = 3 (2 - 3)

，得

a = 23

，

d = 0

，(C)(D) 對。最高點在最低點後半個週期

x = 8

，

f (8) = d + a = 23

，(E) 對。(B)：

x = 2

是最低點表示

\frac{π}{6} \cdot 2 + c = \frac{3 π}{2} + 2 k π

，

c = \frac{7 π}{6} + 2 k π

（

k

為整數），例如

c = - \frac{5 π}{6}

也可以，

c

不一定是

\frac{7 π}{6}

，所以 (B) 不選。

a

、

b

、

d

都被條件唯一決定，只有

c

可以差

2 π

的整數倍。

04填充 A～D（第 8～11 題）：和角、對稱、半角、數交點

第 8 題

A

、

B

是三角形的內角，正弦為正：

sin A = 1 - (\frac{15}{17})^{2} = \frac{8}{17}

，

sin B = 1 - (\frac{45}{53})^{2} = \frac{28}{53}

。

C = π - (A + B)

，所以

cos C = - cos (A + B) = - (cos A cos B - sin A sin B) = - \frac{15 \times 45 - 8 \times 28}{17 \times 53} = - \frac{675 - 224}{901} = \frac{- 451}{901}

。

451 = 11 \times 41

、

901 = 17 \times 53

，已是最簡分數；負號佔分子的第一格。

第 9 題設

α

是

0

到

\frac{π}{2}

之間滿足

cos α = \frac{11}{15}

的角。

cos x = \frac{11}{15}

的解是

x = \pm α + 2 k π

（

k

為整數）。落在

- π \leq x \leq 3 π

的有

- α

、

α

、

2 π - α

、

2 π + α

四個，和為

4 π

。

不用求出

α

：解兩兩對稱於

x = 0

和

x = 2 π

，相加時

α

全部消掉。

第 10 題把

cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ

代入：

5 - 5 sin^{2} θ - 6 sin θ + 3 = 0

，

5 sin^{2} θ + 6 sin θ - 8 = 0

，

(5 sin θ - 4) (sin θ + 2) = 0

，得

sin θ = \frac{4}{5}

。

\frac{5}{2} π < θ < 3 π

與第二象限角同界，

cos θ < 0

，所以

cos θ = - \frac{3}{5}

。半角公式：

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{1}{5}

。又

\frac{5}{4} π < \frac{θ}{2} < \frac{3}{2} π

在第三象限，餘弦為負，

cos \frac{θ}{2} = - \frac{1}{5} = - \frac{5}{5}

。

象限要判斷兩次：一次定

cos θ

的正負，一次定

cos \frac{θ}{2}

的正負。

第 11 題改寫成

sin ∣ x ∣ = - \frac{x}{5 π}

，數

y = sin ∣ x ∣

與直線

y = - \frac{x}{5 π}

的交點；因為正弦值介於

- 1

與

1

之間，只需看

- 5 π \leq x \leq 5 π

。

x = 0

是一個解。

x > 0

時是

sin x = - \frac{x}{5 π}

，右邊為負，只在正弦為負的

(π, 2 π)

、

(3 π, 4 π)

兩段才可能；直線在這兩段的值分別在

- 0.2 \sim - 0.4

、

- 0.6 \sim - 0.8

，都碰不到谷底

- 1

，每段各交

2

點，共

4

個。

x < 0

時令

u = - x > 0

，是

sin u = \frac{u}{5 π}

：

(0, π)

內

1

個，

(2 π, 3 π)

內

2

個，

(4 π, 5 π)

內直線值在

0.8 \sim 1

、峰頂

u = \frac{9}{2} π

時直線值

0.9 < 1

，交

2

個，共

5

個。合計

1 + 4 + 5 = 10

個。

y = sin ∣ x ∣

對

y

軸對稱，但直線不對稱，左右兩邊的交點個數不一樣（左

5

、右

4

），不能只算一邊再乘

2

。

05填充 E～G（第 12～14 題）：正切和角、弧長、疊合求面積最大值

第 12 題設小正方形邊長

1

，

A (0, 0)

、

B (4, 0)

、

C (4, 3)

、

D (1, 3)

。在

△ O A B

中，

∠ O A B

是

\overline{A C}

與

\overline{A B}

的夾角，

tan ∠ O A B = \frac{3}{4}

；

∠ O B A

是

\overline{B D}

與

\overline{B A}

的夾角，

D

在

B

的左

3

、上

3

，

tan ∠ O B A = 1

。

∠ A O B = 18 0^{\circ} - (∠ O A B + ∠ O B A)

，所以

tan ∠ A O B = - tan (∠ O A B + ∠ O B A) = - \frac{\frac{3}{4} + 1}{1 - \frac{3}{4} \times 1} = - \frac{\frac{7}{4}}{\frac{1}{4}} = - 7

。

∠ A O B

是鈍角，正切是負的；答案兩格填「

-

」和「

7

」。

第 13 題正六邊形每次以著地的右端頂點為圓心順時針轉

6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

（外角），下一個頂點就落到

x

軸。第一次以

A_{1}

為圓心轉

\frac{π}{3}

，

A_{2}

落地；

A_{0}

到

A_{1}

的距離是邊長

3

，走的弧長

3 \times \frac{π}{3} = π

。第二次以

A_{2}

為圓心轉

\frac{π}{3}

，

A_{3}

落地；

A_{0}

到

A_{2}

的距離是短對角線

33

，弧長

33 \times \frac{π}{3} = 3 π

。合計

s = π + 3 π = π (1 + 3)

。

每一段的半徑是

A_{0}

到當時旋轉中心的距離：先是邊長

3

，再是

\overline{A_{0} A_{2}} = 33

（頂角

12 0^{\circ}

、兩腰

3

的等腰三角形的底邊）。

第 14 題設

∠ P O C = θ

（

0 < θ < π

），

\overline{O P} = 2

，

\overline{O C} = 4

。四邊形

O C D P

被

\overline{C P}

分成

△ O C P

與

△ C P D

。

△ O C P

面積

= \frac{1}{2} \times 2 \times 4 sin θ = 4 sin θ

。

△ C P D

是正方形的一半，面積

= \frac{1}{2} \overline{C P}^{2}

；由餘弦定理

\overline{C P}^{2} = 4 + 16 - 16 cos θ = 20 - 16 cos θ

，所以是

10 - 8 cos θ

。總面積

= 10 + 4 sin θ - 8 cos θ = 10 + 45 sin (θ - φ)

，其中

cos φ = \frac{1}{5}

、

sin φ = \frac{2}{5}

。當

θ - φ = \frac{π}{2}

時最大，最大值

10 + 45

。

要確認取得到：

φ

約

63. 4^{\circ}

，

θ = φ + 9 0^{\circ}

約

153. 4^{\circ}

，在

0^{\circ}

到

18 0^{\circ}

之間，

P

確實在上半圓上。

求極值的題先把式子整理成單一正弦（疊合）或二次函數，再回頭檢查角度或變數的範圍取不取得到。

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02多選 1、2（第 4、5 題）：讀圖與圖形的平移伸縮

03多選 3、4（第 6、7 題）：疊合求極值、由條件定係數

04填充 A～D（第 8～11 題）：和角、對稱、半角、數交點

05填充 E～G（第 12～14 題）：正切和角、弧長、疊合求面積最大值

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高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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