段考詳解範圍：指數與對數函數（對數律、換底公式、指數與對數函數的圖形、指數與對數的方程式及不等式、常用對數的應用）

新竹高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

多選題 3 題（18 分）、填充題 12 題（72 分）、計算題 1 題（10 分）

一、多選題（占 18 分；第 1 題至第 3 題，每題 6 分，6－4－2－0）

設

x

，

y

，

z

均為不等於

1

的正數。請問下列關於指數、對數這兩種運算的敘述，哪些是正確的？

(1) $lo g_{a} x \cdot lo g_{a} y = lo g_{a} (x y)$
(2) $lo g_{a} (x + y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$
(3) $lo g_{a} (x^{y}) = y lo g_{a} x$
(4) $\frac{lo g _{x} a}{lo g _{y} a} = lo g_{x} y$
(5) 若 $a^{x} = y$ ，則 $a = y^{\frac{1}{x}}$

設

a > 0

且

a \neq = 1

，下列哪些選項可能是函數

y = lo g_{a} x

與

y = a^{- x}

的圖形？

載入中...

設

a > 1 > b > 0

，關於下列不等式，選出正確的選項：

(1) $(- a)^{7} > (- a)^{9}$
(2) $b^{- 9} > b^{- 7}$
(3) $lo g_{10} \frac{1}{a} > lo g_{10} \frac{1}{b}$
(4) $lo g_{a} 1 > lo g_{b} 1$
(5) $lo g_{a} b \geq lo g_{b} a$

二、填充題（占 72 分；第 4 題至第 15 題，每題 6 分）

解不等式

2^{x + 1} + 2^{2 - x} - 6 < 0

為 ____。

求

(lo g_{2} 7 + lo g_{4} \frac{1}{7}) (lo g_{7} 2 + lo g_{49} \frac{1}{8})

的值為 ____。

解不等式

lo g_{2} (lo g_{\frac{1}{2}} x) < 1

為 ____。

坐標平面上，直線

x + y = 6

與

y = 2^{x}

、

y = lo g_{2} x

的圖形分別交於

A (x_{1}, y_{1})

、

B (x_{2}, y_{2})

兩點，則數對

(x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}) =

____。

若

1 0^{0.6}

介在兩連續整數

n

和

n + 1

之間，則

n =

____。

求

2^{106} + 3^{66}

是 ____ 位數字。

已知正整數

n

滿足

2^{n}

是一個最高位數字為

2

的

12

位數，求

n

的值為 ____。

右圖為某種農藥在農作物上的單位面積之殘留藥量（

y

毫克）與用藥時間（

x

天）的關係圖。設其關係為指數函數

y = k \cdot a^{x}

，

k

是常數。若單位面積之殘留藥量小於

50

毫克方可食用，則用藥 ____ 天才可以食用。（所求為整數天）

載入中...

解方程式

6^{x} - 2^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 4 = 0

為 ____。

設

a = lo g_{10} 3

，

b = lo g_{10} 5

，將

lo g_{2} 45

用

a

，

b

表示為 ____。

比較

a = lo g_{\frac{1}{3}} 4

，

b = lo g_{16} 9

，

c = lo g_{\frac{1}{4}} 3

，

d = lo g_{2} 1.7

的大小關係為 ____。

聲音的強度是每平方公尺多少瓦特（

W / m^{2}

）來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為

I_{0} = 1 0^{- 12}

（

W / m^{2}

）。當測得的聲音強度為

I

（

W / m^{2}

）時，所產生的噪音分貝數

d

為

d (I) = 10 \cdot lo g \frac{I}{I _{0}}

。若新車要求聲音強度產生噪音需不得超過

60

分貝，那汽車製造廠需將聲音強度降低為 ____（

W / m^{2}

）以下才能合乎要求。

三、計算題（占 10 分；第 16 題）

設

\frac{1}{10} \leq x \leq 1000

，請求出

f (x) = 3^{l o g x} \cdot x^{l o g 3} - 18 \cdot 3^{l o g (10 x)}

之最大值與最小值，並問產生最大值、最小值之

x

各為何？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)(4)(5)

第 2 題(1)(3)

第 3 題(1)(2)

第 4 題

0 < x < 1

第 5 題

- \frac{1}{4}

第 6 題

\frac{1}{4} < x < 1

第 7 題

(6, 6)

第 8 題

3

第 9 題

33

第 10 題

38

第 11 題

3

第 12 題

x = 2

或

x = 0

第 13 題

\frac{2 a + b}{1 - b}

第 14 題

b > d > c > a

第 15 題

1 0^{- 6}

第 16 題

x = \frac{1}{10}

時有最大值

\frac{1}{9} - 63

；

x = 10010

時有最小值

- 243

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題 1～3：對數律、圖形配對、比大小

第 1 題答案 (3)(4)(5)。(1) 錯：對數律是「相加」變成真數相乘，

lo g_{a} x + lo g_{a} y = lo g_{a} (x y)

；兩個對數相乘沒有這個關係，例如

a = 2

、

x = y = 8

時左邊

= 3 \times 3 = 9

，右邊

= lo g_{2} 64 = 6

。(2) 錯：

lo g_{a} x + lo g_{a} y

等於

lo g_{a} (x y)

，不是

lo g_{a} (x + y)

；例如

a = 2

、

x = y = 4

時左邊

= lo g_{2} 8 = 3

，右邊

= 2 + 2 = 4

。(3) 對：這是對數律

lo g_{a} x^{r} = r lo g_{a} x

，取

r = y

。(4) 對：用換底公式換成常用對數，

\frac{lo g _{x} a}{lo g _{y} a} = \frac{lo g a}{lo g x} \div \frac{lo g a}{lo g y} = \frac{lo g y}{lo g x} = lo g_{x} y

。(5) 對：

x > 0

，兩邊同取

\frac{1}{x}

次方，

(a^{x})^{\frac{1}{x}} = y^{\frac{1}{x}}

，即

a = y^{\frac{1}{x}}

。

流傳版本題幹寫「

x

，

y

，

z

」，選項裡的底數是

a

；這裡把

a

也當作不等於

1

的正數（(4) 需要

a \neq = 1

，分母

lo g_{y} a

才不為

0

）。

第 2 題答案 (1)(3)。先看兩個函數各自一定經過的點：

y = a^{- x} = (\frac{1}{a})^{x}

過

(0, 1)

而且整條在

x

軸上方；

y = lo g_{a} x

過

(1, 0)

。再看增減：

a > 1

時，

lo g_{a} x

遞增，而底數

\frac{1}{a} < 1

，

a^{- x}

遞減，是 (1)。

0 < a < 1

時，

lo g_{a} x

遞減，而底數

\frac{1}{a} > 1

，

a^{- x}

遞增，是 (3)。所以兩條曲線必定一條遞增、一條遞減：(2) 兩條都遞減、(5) 兩條都遞增，都不可能；(4) 有一條曲線過

(0, - 1)

、落在

x

軸下方，不會是

a^{- x}

。

題目給的是

a^{- x}

不是

a^{x}

，它的增減方向和

lo g_{a} x

相反；看成

a^{x}

會選到 (2)(5)。

第 3 題答案 (1)(2)。(1) 對：奇數次方保留負號，

(- a)^{7} = - a^{7}

，

(- a)^{9} = - a^{9}

；

a > 1

時

a^{7} < a^{9}

，同乘

- 1

得

- a^{7} > - a^{9}

。(2) 對：

0 < b < 1

，

y = b^{x}

是遞減函數，而

- 9 < - 7

，所以

b^{- 9} > b^{- 7}

。(3) 錯：

a > 1 > b > 0

得

\frac{1}{a} < 1 < \frac{1}{b}

，

lo g_{10} x

遞增，所以

lo g_{10} \frac{1}{a} < 0 < lo g_{10} \frac{1}{b}

。(4) 錯：

lo g_{a} 1 = 0 = lo g_{b} 1

，兩者相等。(5) 錯：不是恆成立，例如

a = 2

、

b = \frac{1}{4}

時

lo g_{a} b = - 2

，

lo g_{b} a = - \frac{1}{2}

，

- 2 < - \frac{1}{2}

。

(5) 令

t = lo g_{a} b

，因為

0 < b < 1 < a

，

t < 0

，而

lo g_{b} a = \frac{1}{t}

。

t \geq \frac{1}{t}

兩邊同乘負數

t

得

t^{2} \leq 1

，即

- 1 \leq t < 0

；

t < - 1

時（例如上面的反例）就不成立。

02填充 4～7：指數不等式、換底求值、對數不等式、圖形對稱

第 4 題令

t = 2^{x}

，

t > 0

。

2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x} = 2 t

，

2^{2 - x} = \frac{4}{2 ^{x}} = \frac{4}{t}

，不等式成為

2 t + \frac{4}{t} - 6 < 0

。兩邊同乘正數

t

：

2 t^{2} - 6 t + 4 < 0

，

t^{2} - 3 t + 2 < 0

，

(t - 1) (t - 2) < 0

，得

1 < t < 2

。即

2^{0} < 2^{x} < 2^{1}

，底數

2 > 1

，所以

0 < x < 1

。

第 5 題把底數

4

、

49

換成

2

、

7

：

lo g_{4} \frac{1}{7} = \frac{lo g _{2} 7 ^{- 1}}{lo g _{2} 2 ^{2}} = - \frac{1}{2} lo g_{2} 7

；

lo g_{49} \frac{1}{8} = \frac{lo g _{7} 2 ^{- 3}}{lo g _{7} 7 ^{2}} = - \frac{3}{2} lo g_{7} 2

。第一個括號

= lo g_{2} 7 - \frac{1}{2} lo g_{2} 7 = \frac{1}{2} lo g_{2} 7

；第二個括號

= lo g_{7} 2 - \frac{3}{2} lo g_{7} 2 = - \frac{1}{2} lo g_{7} 2

。相乘：

- \frac{1}{4} \cdot lo g_{2} 7 \cdot lo g_{7} 2 = - \frac{1}{4}

。

由換底公式

lo g_{2} 7 \cdot lo g_{7} 2 = \frac{lo g 7}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 2}{lo g 7} = 1

。

第 6 題外層：真數

lo g_{\frac{1}{2}} x

必須為正；又

1 = lo g_{2} 2

，底數

2 > 1

，所以

0 < lo g_{\frac{1}{2}} x < 2

。內層：

0 = lo g_{\frac{1}{2}} 1

，

2 = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}

，即

lo g_{\frac{1}{2}} 1 < lo g_{\frac{1}{2}} x < lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}

；底數

\frac{1}{2} < 1

，不等號反向，得

\frac{1}{4} < x < 1

（此範圍內

x > 0

，內層真數也為正）。

外層的真數條件

lo g_{\frac{1}{2}} x > 0

不能漏；漏掉的話只會得到

x > \frac{1}{4}

。

第 7 題

A

是

y = 2^{x}

與

y = 6 - x

的交點：

2^{x}

遞增、

6 - x

遞減，交點最多一個；

x = 2

時兩邊都是

4

，所以

A (2, 4)

。

B

是

y = lo g_{2} x

與

y = 6 - x

的交點：同樣最多一個；

x = 4

時兩邊都是

2

，所以

B (4, 2)

。故

(x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}) = (2 + 4, 4 + 2) = (6, 6)

。

y = 2^{x}

與

y = lo g_{2} x

的圖形對稱於直線

y = x

，直線

x + y = 6

把

x

、

y

對調後還是自己，所以

B

就是

A

的兩個坐標對調：

x_{2} = y_{1}

、

y_{2} = x_{1}

。於是

x_{1} + x_{2} = x_{1} + y_{1} = 6

，

y_{1} + y_{2} = 6

，不必真的解出交點。

指數、對數不等式先看底數比

1

大還是小，決定不等號要不要反向；對數另外要寫真數為正。

03填充 8～11：估計、位數、最高位數字、衰退模型

第 8 題

1 0^{0.6} = 1 0^{\frac{3}{5}}

，把它

5

次方得

1 0^{3} = 1000

。因為

3^{5} = 243 < 1000 < 1024 = 4^{5}

，所以

3 < 1 0^{0.6} < 4

，

n = 3

。

另一個看法：

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 4 = 2 lo g 2 \approx 0.6020

，而

0.4771 < 0.6 < 0.6020

，所以

3 < 1 0^{0.6} < 4

。

第 9 題取

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

。

lo g 2^{106} = 106 \times 0.3010 = 31.906

，所以

2^{106} = 1 0^{0.906} \times 1 0^{31}

；而

lo g 8 = 0.9030 < 0.906 < 0.9542 = lo g 9

，得

8 \times 1 0^{31} < 2^{106} < 9 \times 1 0^{31}

。

lo g 3^{66} = 66 \times 0.4771 = 31.4886

；而

lo g 3 = 0.4771 < 0.4886 < 0.6020 = lo g 4

，得

3 \times 1 0^{31} < 3^{66} < 4 \times 1 0^{31}

。兩式相加：

11 \times 1 0^{31} < 2^{106} + 3^{66} < 13 \times 1 0^{31}

，也就是介於

1.1 \times 1 0^{32}

與

1.3 \times 1 0^{32}

之間，是

33

位數。

2^{106}

與

3^{66}

各自都是

32

位數，但最高位數字相加超過

10

會進位，所以要連最高位數字一起估，不能只看各自的位數。

第 10 題最高位數字是

2

的

12

位數，就是

2 \times 1 0^{11} \leq 2^{n} < 3 \times 1 0^{11}

。取常用對數：

11 + lo g 2 \leq n lo g 2 < 11 + lo g 3

，即

11.3010 \leq 0.3010 n < 11.4771

。兩邊除以

0.3010

：

37.5 \dots \leq n < 38.1 \dots

，整數

n = 38

。

驗算：

2^{38} = 274877906944

，是

12

位數，最高位數字是

2

。

第 11 題由圖，

x = 0

時

y = 405

：

k \cdot a^{0} = 405

，

k = 405

。

x = \frac{1}{2}

時

y = 270

：

405 \cdot a^{\frac{1}{2}} = 270

，

a^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}

，

a = \frac{4}{9}

。所以

y = 405 (\frac{4}{9})^{x}

，底數小於

1

，是遞減函數。

x = 2

時

y = 405 \times \frac{16}{81} = 80

，還大於

50

；

x = 3

時

y = 405 \times \frac{64}{729} = \frac{320}{9} \approx 35.6 < 50

。所以用藥

3

天才可以食用。

位數問題先寫成「介於

10

的幾次方之間」，再取常用對數；最高位數字看對數的小數部分落在哪兩個

lo g

值之間。

04填充 12～15：分組分解、換底表示、比大小、分貝

第 12 題

6^{x} = 2^{x} \cdot 3^{x}

，前兩項提出

2^{x}

、後兩項提出

- 4

：

2^{x} (3^{x} - 1) - 4 (3^{x} - 1) = 0

，即

(2^{x} - 4) (3^{x} - 1) = 0

。所以

2^{x} = 4

或

3^{x} = 1

，得

x = 2

或

x = 0

。

驗算：

x = 2

時

36 - 4 - 36 + 4 = 0

；

x = 0

時

1 - 1 - 4 + 4 = 0

。

第 13 題用換底公式換成常用對數：

lo g_{2} 45 = \frac{lo g 45}{lo g 2}

。分子：

45 = 3^{2} \times 5

，

lo g 45 = 2 lo g 3 + lo g 5 = 2 a + b

。分母：

2 = \frac{10}{5}

，

lo g 2 = lo g 10 - lo g 5 = 1 - b

。所以

lo g_{2} 45 = \frac{2 a + b}{1 - b}

。

題目沒有給

lo g 2

，要靠

lo g 2 + lo g 5 = lo g 10 = 1

把它換成

1 - b

。

第 14 題先分正負。

a = lo g_{\frac{1}{3}} 4 = \frac{lo g 4}{lo g \frac{1}{3}} = - lo g_{3} 4

，

c = lo g_{\frac{1}{4}} 3 = - lo g_{4} 3

，兩個都是負的；

b

、

d

的底數與真數都大於

1

，兩個都是正的。比

a

、

c

：

4 > 3

，所以

lo g_{3} 4 > 1

，

a < - 1

；

3 < 4

，所以

0 < lo g_{4} 3 < 1

，

- 1 < c < 0

；得

c > a

。比

b

、

d

：

b = lo g_{16} 9 = \frac{lo g 3 ^{2}}{lo g 4 ^{2}} = lo g_{4} 3 = \frac{lo g 3}{2 lo g 2} = lo g_{2} 3

；而

1. 7^{2} = 2.89 < 3

，所以

1.7 < 3

，底數

2 > 1

，得

d = lo g_{2} 1.7 < lo g_{2} 3 = b

。綜合：

b > d > 0 > c > a

，即

b > d > c > a

。

b

與

c

剛好差一個負號（

b = lo g_{4} 3

，

c = - lo g_{4} 3

）；

b

與

d

很接近（約

0.79

與

0.77

），要化成同底、比真數

3

與

1.7

才分得出來。

第 15 題噪音不得超過

60

分貝：

10 \cdot lo g \frac{I}{I _{0}} \leq 60

，

lo g \frac{I}{I _{0}} \leq 6

。常用對數是遞增函數，所以

\frac{I}{I _{0}} \leq 1 0^{6}

，

I \leq 1 0^{6} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 6}

。聲音強度要降到

1 0^{- 6}

（

W / m^{2}

）以下。

幾個對數比大小時，先分出正負，再各自和

1

、

- 1

比，最後才把靠得近的兩個化成同底。

05計算題 16：代換後求二次函數的極值

第 16 題先把三個指數式都寫成

3^{l o g x}

。

x^{l o g 3}

：取常用對數得

lo g 3 \cdot lo g x

，和

3^{l o g x}

取常用對數的結果

lo g x \cdot lo g 3

相同，所以

x^{l o g 3} = 3^{l o g x}

。

3^{l o g (10 x)} = 3^{\frac{1}{2} + l o g x} = 3 \cdot 3^{l o g x}

。令

t = 3^{l o g x}

，則

f = t^{2} - 183 t = (t - 93)^{2} - 243

。

t

的範圍：

\frac{1}{10} \leq x \leq 1000

即

- 1 \leq lo g x \leq 3

，

3^{- 1} \leq t \leq 3^{3}

，所以

\frac{1}{3} \leq t \leq 27

。頂點

t = 93 \approx 15.6

在範圍內，最小值為

- 243

；此時

3^{l o g x} = 93 = 3^{\frac{5}{2}}

，

lo g x = \frac{5}{2}

，

x = 1 0^{\frac{5}{2}} = 10010

。開口向上，最大值在離頂點較遠的端點：

93 - \frac{1}{3} \approx 15.3

，

27 - 93 \approx 11.4

，所以取

t = \frac{1}{3}

，即

x = \frac{1}{10}

，最大值

= \frac{1}{9} - 183 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} - 63

。

流傳版本的參考答案把最小值寫成

- 234

；但

(93)^{2} = 81 \times 3 = 243

，配方後的常數是

- 243

。兩個

x

值與最大值都和參考答案一致。另一個端點

t = 27

（

x = 1000

）時

f = 729 - 4863 \approx - 112.8

，不是最大值也不是最小值。

x^{l o g 3}

與

3^{l o g x}

相等，可以用同一個

t

代換；代換後要把

x

的範圍換成

t

的範圍，再比較頂點與兩個端點。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

新竹高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

新竹高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題選項 (5) 的兩個對數互為倒數而且都是負數、第 9 題兩個 32 位數相加會進位成 33 位、第 14 題有兩個對數的值很接近要化成同底才比得出來，以及第 16 題代換後要換成新變數的範圍再比較頂點與端點。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自新竹高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A（社會組），由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（對數律、換底公式、指數與對數函數的圖形、指數與對數的方程式及不等式、常用對數的應用）

新竹高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

多選題 3 題（18 分）、填充題 12 題（72 分）、計算題 1 題（10 分）

一、多選題（占 18 分；第 1 題至第 3 題，每題 6 分，6－4－2－0）

設

x

，

y

，

z

均為不等於

1

的正數。請問下列關於指數、對數這兩種運算的敘述，哪些是正確的？

(1) $lo g_{a} x \cdot lo g_{a} y = lo g_{a} (x y)$
(2) $lo g_{a} (x + y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$
(3) $lo g_{a} (x^{y}) = y lo g_{a} x$
(4) $\frac{lo g _{x} a}{lo g _{y} a} = lo g_{x} y$
(5) 若 $a^{x} = y$ ，則 $a = y^{\frac{1}{x}}$

設

a > 0

且

a \neq = 1

，下列哪些選項可能是函數

y = lo g_{a} x

與

y = a^{- x}

的圖形？

載入中...

設

a > 1 > b > 0

，關於下列不等式，選出正確的選項：

(1) $(- a)^{7} > (- a)^{9}$
(2) $b^{- 9} > b^{- 7}$
(3) $lo g_{10} \frac{1}{a} > lo g_{10} \frac{1}{b}$
(4) $lo g_{a} 1 > lo g_{b} 1$
(5) $lo g_{a} b \geq lo g_{b} a$

二、填充題（占 72 分；第 4 題至第 15 題，每題 6 分）

解不等式

2^{x + 1} + 2^{2 - x} - 6 < 0

為 ____。

求

(lo g_{2} 7 + lo g_{4} \frac{1}{7}) (lo g_{7} 2 + lo g_{49} \frac{1}{8})

的值為 ____。

解不等式

lo g_{2} (lo g_{\frac{1}{2}} x) < 1

為 ____。

坐標平面上，直線

x + y = 6

與

y = 2^{x}

、

y = lo g_{2} x

的圖形分別交於

A (x_{1}, y_{1})

、

B (x_{2}, y_{2})

兩點，則數對

(x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}) =

____。

若

1 0^{0.6}

介在兩連續整數

n

和

n + 1

之間，則

n =

____。

求

2^{106} + 3^{66}

是 ____ 位數字。

已知正整數

n

滿足

2^{n}

是一個最高位數字為

2

的

12

位數，求

n

的值為 ____。

右圖為某種農藥在農作物上的單位面積之殘留藥量（

y

毫克）與用藥時間（

x

天）的關係圖。設其關係為指數函數

y = k \cdot a^{x}

，

k

是常數。若單位面積之殘留藥量小於

50

毫克方可食用，則用藥 ____ 天才可以食用。（所求為整數天）

載入中...

解方程式

6^{x} - 2^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 4 = 0

為 ____。

設

a = lo g_{10} 3

，

b = lo g_{10} 5

，將

lo g_{2} 45

用

a

，

b

表示為 ____。

比較

a = lo g_{\frac{1}{3}} 4

，

b = lo g_{16} 9

，

c = lo g_{\frac{1}{4}} 3

，

d = lo g_{2} 1.7

的大小關係為 ____。

聲音的強度是每平方公尺多少瓦特（

W / m^{2}

）來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為

I_{0} = 1 0^{- 12}

（

W / m^{2}

）。當測得的聲音強度為

I

（

W / m^{2}

）時，所產生的噪音分貝數

d

為

d (I) = 10 \cdot lo g \frac{I}{I _{0}}

。若新車要求聲音強度產生噪音需不得超過

60

分貝，那汽車製造廠需將聲音強度降低為 ____（

W / m^{2}

）以下才能合乎要求。

三、計算題（占 10 分；第 16 題）

設

\frac{1}{10} \leq x \leq 1000

，請求出

f (x) = 3^{l o g x} \cdot x^{l o g 3} - 18 \cdot 3^{l o g (10 x)}

之最大值與最小值，並問產生最大值、最小值之

x

各為何？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)(4)(5)

第 2 題(1)(3)

第 3 題(1)(2)

第 4 題

0 < x < 1

第 5 題

- \frac{1}{4}

第 6 題

\frac{1}{4} < x < 1

第 7 題

(6, 6)

第 8 題

3

第 9 題

33

第 10 題

38

第 11 題

3

第 12 題

x = 2

或

x = 0

第 13 題

\frac{2 a + b}{1 - b}

第 14 題

b > d > c > a

第 15 題

1 0^{- 6}

第 16 題

x = \frac{1}{10}

時有最大值

\frac{1}{9} - 63

；

x = 10010

時有最小值

- 243

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題 1～3：對數律、圖形配對、比大小

第 1 題答案 (3)(4)(5)。(1) 錯：對數律是「相加」變成真數相乘，

lo g_{a} x + lo g_{a} y = lo g_{a} (x y)

；兩個對數相乘沒有這個關係，例如

a = 2

、

x = y = 8

時左邊

= 3 \times 3 = 9

，右邊

= lo g_{2} 64 = 6

。(2) 錯：

lo g_{a} x + lo g_{a} y

等於

lo g_{a} (x y)

，不是

lo g_{a} (x + y)

；例如

a = 2

、

x = y = 4

時左邊

= lo g_{2} 8 = 3

，右邊

= 2 + 2 = 4

。(3) 對：這是對數律

lo g_{a} x^{r} = r lo g_{a} x

，取

r = y

。(4) 對：用換底公式換成常用對數，

\frac{lo g _{x} a}{lo g _{y} a} = \frac{lo g a}{lo g x} \div \frac{lo g a}{lo g y} = \frac{lo g y}{lo g x} = lo g_{x} y

。(5) 對：

x > 0

，兩邊同取

\frac{1}{x}

次方，

(a^{x})^{\frac{1}{x}} = y^{\frac{1}{x}}

，即

a = y^{\frac{1}{x}}

。

流傳版本題幹寫「

x

，

y

，

z

」，選項裡的底數是

a

；這裡把

a

也當作不等於

1

的正數（(4) 需要

a \neq = 1

，分母

lo g_{y} a

才不為

0

）。

第 2 題答案 (1)(3)。先看兩個函數各自一定經過的點：

y = a^{- x} = (\frac{1}{a})^{x}

過

(0, 1)

而且整條在

x

軸上方；

y = lo g_{a} x

過

(1, 0)

。再看增減：

a > 1

時，

lo g_{a} x

遞增，而底數

\frac{1}{a} < 1

，

a^{- x}

遞減，是 (1)。

0 < a < 1

時，

lo g_{a} x

遞減，而底數

\frac{1}{a} > 1

，

a^{- x}

遞增，是 (3)。所以兩條曲線必定一條遞增、一條遞減：(2) 兩條都遞減、(5) 兩條都遞增，都不可能；(4) 有一條曲線過

(0, - 1)

、落在

x

軸下方，不會是

a^{- x}

。

題目給的是

a^{- x}

不是

a^{x}

，它的增減方向和

lo g_{a} x

相反；看成

a^{x}

會選到 (2)(5)。

第 3 題答案 (1)(2)。(1) 對：奇數次方保留負號，

(- a)^{7} = - a^{7}

，

(- a)^{9} = - a^{9}

；

a > 1

時

a^{7} < a^{9}

，同乘

- 1

得

- a^{7} > - a^{9}

。(2) 對：

0 < b < 1

，

y = b^{x}

是遞減函數，而

- 9 < - 7

，所以

b^{- 9} > b^{- 7}

。(3) 錯：

a > 1 > b > 0

得

\frac{1}{a} < 1 < \frac{1}{b}

，

lo g_{10} x

遞增，所以

lo g_{10} \frac{1}{a} < 0 < lo g_{10} \frac{1}{b}

。(4) 錯：

lo g_{a} 1 = 0 = lo g_{b} 1

，兩者相等。(5) 錯：不是恆成立，例如

a = 2

、

b = \frac{1}{4}

時

lo g_{a} b = - 2

，

lo g_{b} a = - \frac{1}{2}

，

- 2 < - \frac{1}{2}

。

(5) 令

t = lo g_{a} b

，因為

0 < b < 1 < a

，

t < 0

，而

lo g_{b} a = \frac{1}{t}

。

t \geq \frac{1}{t}

兩邊同乘負數

t

得

t^{2} \leq 1

，即

- 1 \leq t < 0

；

t < - 1

時（例如上面的反例）就不成立。

02填充 4～7：指數不等式、換底求值、對數不等式、圖形對稱

第 4 題令

t = 2^{x}

，

t > 0

。

2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x} = 2 t

，

2^{2 - x} = \frac{4}{2 ^{x}} = \frac{4}{t}

，不等式成為

2 t + \frac{4}{t} - 6 < 0

。兩邊同乘正數

t

：

2 t^{2} - 6 t + 4 < 0

，

t^{2} - 3 t + 2 < 0

，

(t - 1) (t - 2) < 0

，得

1 < t < 2

。即

2^{0} < 2^{x} < 2^{1}

，底數

2 > 1

，所以

0 < x < 1

。

第 5 題把底數

4

、

49

換成

2

、

7

：

lo g_{4} \frac{1}{7} = \frac{lo g _{2} 7 ^{- 1}}{lo g _{2} 2 ^{2}} = - \frac{1}{2} lo g_{2} 7

；

lo g_{49} \frac{1}{8} = \frac{lo g _{7} 2 ^{- 3}}{lo g _{7} 7 ^{2}} = - \frac{3}{2} lo g_{7} 2

。第一個括號

= lo g_{2} 7 - \frac{1}{2} lo g_{2} 7 = \frac{1}{2} lo g_{2} 7

；第二個括號

= lo g_{7} 2 - \frac{3}{2} lo g_{7} 2 = - \frac{1}{2} lo g_{7} 2

。相乘：

- \frac{1}{4} \cdot lo g_{2} 7 \cdot lo g_{7} 2 = - \frac{1}{4}

。

由換底公式

lo g_{2} 7 \cdot lo g_{7} 2 = \frac{lo g 7}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 2}{lo g 7} = 1

。

第 6 題外層：真數

lo g_{\frac{1}{2}} x

必須為正；又

1 = lo g_{2} 2

，底數

2 > 1

，所以

0 < lo g_{\frac{1}{2}} x < 2

。內層：

0 = lo g_{\frac{1}{2}} 1

，

2 = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}

，即

lo g_{\frac{1}{2}} 1 < lo g_{\frac{1}{2}} x < lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}

；底數

\frac{1}{2} < 1

，不等號反向，得

\frac{1}{4} < x < 1

（此範圍內

x > 0

，內層真數也為正）。

外層的真數條件

lo g_{\frac{1}{2}} x > 0

不能漏；漏掉的話只會得到

x > \frac{1}{4}

。

第 7 題

A

是

y = 2^{x}

與

y = 6 - x

的交點：

2^{x}

遞增、

6 - x

遞減，交點最多一個；

x = 2

時兩邊都是

4

，所以

A (2, 4)

。

B

是

y = lo g_{2} x

與

y = 6 - x

的交點：同樣最多一個；

x = 4

時兩邊都是

2

，所以

B (4, 2)

。故

(x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}) = (2 + 4, 4 + 2) = (6, 6)

。

y = 2^{x}

與

y = lo g_{2} x

的圖形對稱於直線

y = x

，直線

x + y = 6

把

x

、

y

對調後還是自己，所以

B

就是

A

的兩個坐標對調：

x_{2} = y_{1}

、

y_{2} = x_{1}

。於是

x_{1} + x_{2} = x_{1} + y_{1} = 6

，

y_{1} + y_{2} = 6

，不必真的解出交點。

指數、對數不等式先看底數比

1

大還是小，決定不等號要不要反向；對數另外要寫真數為正。

03填充 8～11：估計、位數、最高位數字、衰退模型

第 8 題

1 0^{0.6} = 1 0^{\frac{3}{5}}

，把它

5

次方得

1 0^{3} = 1000

。因為

3^{5} = 243 < 1000 < 1024 = 4^{5}

，所以

3 < 1 0^{0.6} < 4

，

n = 3

。

另一個看法：

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 4 = 2 lo g 2 \approx 0.6020

，而

0.4771 < 0.6 < 0.6020

，所以

3 < 1 0^{0.6} < 4

。

第 9 題取

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

。

lo g 2^{106} = 106 \times 0.3010 = 31.906

，所以

2^{106} = 1 0^{0.906} \times 1 0^{31}

；而

lo g 8 = 0.9030 < 0.906 < 0.9542 = lo g 9

，得

8 \times 1 0^{31} < 2^{106} < 9 \times 1 0^{31}

。

lo g 3^{66} = 66 \times 0.4771 = 31.4886

；而

lo g 3 = 0.4771 < 0.4886 < 0.6020 = lo g 4

，得

3 \times 1 0^{31} < 3^{66} < 4 \times 1 0^{31}

。兩式相加：

11 \times 1 0^{31} < 2^{106} + 3^{66} < 13 \times 1 0^{31}

，也就是介於

1.1 \times 1 0^{32}

與

1.3 \times 1 0^{32}

之間，是

33

位數。

2^{106}

與

3^{66}

各自都是

32

位數，但最高位數字相加超過

10

會進位，所以要連最高位數字一起估，不能只看各自的位數。

第 10 題最高位數字是

2

的

12

位數，就是

2 \times 1 0^{11} \leq 2^{n} < 3 \times 1 0^{11}

。取常用對數：

11 + lo g 2 \leq n lo g 2 < 11 + lo g 3

，即

11.3010 \leq 0.3010 n < 11.4771

。兩邊除以

0.3010

：

37.5 \dots \leq n < 38.1 \dots

，整數

n = 38

。

驗算：

2^{38} = 274877906944

，是

12

位數，最高位數字是

2

。

第 11 題由圖，

x = 0

時

y = 405

：

k \cdot a^{0} = 405

，

k = 405

。

x = \frac{1}{2}

時

y = 270

：

405 \cdot a^{\frac{1}{2}} = 270

，

a^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}

，

a = \frac{4}{9}

。所以

y = 405 (\frac{4}{9})^{x}

，底數小於

1

，是遞減函數。

x = 2

時

y = 405 \times \frac{16}{81} = 80

，還大於

50

；

x = 3

時

y = 405 \times \frac{64}{729} = \frac{320}{9} \approx 35.6 < 50

。所以用藥

3

天才可以食用。

位數問題先寫成「介於

10

的幾次方之間」，再取常用對數；最高位數字看對數的小數部分落在哪兩個

lo g

值之間。

04填充 12～15：分組分解、換底表示、比大小、分貝

第 12 題

6^{x} = 2^{x} \cdot 3^{x}

，前兩項提出

2^{x}

、後兩項提出

- 4

：

2^{x} (3^{x} - 1) - 4 (3^{x} - 1) = 0

，即

(2^{x} - 4) (3^{x} - 1) = 0

。所以

2^{x} = 4

或

3^{x} = 1

，得

x = 2

或

x = 0

。

驗算：

x = 2

時

36 - 4 - 36 + 4 = 0

；

x = 0

時

1 - 1 - 4 + 4 = 0

。

第 13 題用換底公式換成常用對數：

lo g_{2} 45 = \frac{lo g 45}{lo g 2}

。分子：

45 = 3^{2} \times 5

，

lo g 45 = 2 lo g 3 + lo g 5 = 2 a + b

。分母：

2 = \frac{10}{5}

，

lo g 2 = lo g 10 - lo g 5 = 1 - b

。所以

lo g_{2} 45 = \frac{2 a + b}{1 - b}

。

題目沒有給

lo g 2

，要靠

lo g 2 + lo g 5 = lo g 10 = 1

把它換成

1 - b

。

第 14 題先分正負。

a = lo g_{\frac{1}{3}} 4 = \frac{lo g 4}{lo g \frac{1}{3}} = - lo g_{3} 4

，

c = lo g_{\frac{1}{4}} 3 = - lo g_{4} 3

，兩個都是負的；

b

、

d

的底數與真數都大於

1

，兩個都是正的。比

a

、

c

：

4 > 3

，所以

lo g_{3} 4 > 1

，

a < - 1

；

3 < 4

，所以

0 < lo g_{4} 3 < 1

，

- 1 < c < 0

；得

c > a

。比

b

、

d

：

b = lo g_{16} 9 = \frac{lo g 3 ^{2}}{lo g 4 ^{2}} = lo g_{4} 3 = \frac{lo g 3}{2 lo g 2} = lo g_{2} 3

；而

1. 7^{2} = 2.89 < 3

，所以

1.7 < 3

，底數

2 > 1

，得

d = lo g_{2} 1.7 < lo g_{2} 3 = b

。綜合：

b > d > 0 > c > a

，即

b > d > c > a

。

b

與

c

剛好差一個負號（

b = lo g_{4} 3

，

c = - lo g_{4} 3

）；

b

與

d

很接近（約

0.79

與

0.77

），要化成同底、比真數

3

與

1.7

才分得出來。

第 15 題噪音不得超過

60

分貝：

10 \cdot lo g \frac{I}{I _{0}} \leq 60

，

lo g \frac{I}{I _{0}} \leq 6

。常用對數是遞增函數，所以

\frac{I}{I _{0}} \leq 1 0^{6}

，

I \leq 1 0^{6} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 6}

。聲音強度要降到

1 0^{- 6}

（

W / m^{2}

）以下。

幾個對數比大小時，先分出正負，再各自和

1

、

- 1

比，最後才把靠得近的兩個化成同底。

05計算題 16：代換後求二次函數的極值

第 16 題先把三個指數式都寫成

3^{l o g x}

。

x^{l o g 3}

：取常用對數得

lo g 3 \cdot lo g x

，和

3^{l o g x}

取常用對數的結果

lo g x \cdot lo g 3

相同，所以

x^{l o g 3} = 3^{l o g x}

。

3^{l o g (10 x)} = 3^{\frac{1}{2} + l o g x} = 3 \cdot 3^{l o g x}

。令

t = 3^{l o g x}

，則

f = t^{2} - 183 t = (t - 93)^{2} - 243

。

t

的範圍：

\frac{1}{10} \leq x \leq 1000

即

- 1 \leq lo g x \leq 3

，

3^{- 1} \leq t \leq 3^{3}

，所以

\frac{1}{3} \leq t \leq 27

。頂點

t = 93 \approx 15.6

在範圍內，最小值為

- 243

；此時

3^{l o g x} = 93 = 3^{\frac{5}{2}}

，

lo g x = \frac{5}{2}

，

x = 1 0^{\frac{5}{2}} = 10010

。開口向上，最大值在離頂點較遠的端點：

93 - \frac{1}{3} \approx 15.3

，

27 - 93 \approx 11.4

，所以取

t = \frac{1}{3}

，即

x = \frac{1}{10}

，最大值

= \frac{1}{9} - 183 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} - 63

。

流傳版本的參考答案把最小值寫成

- 234

；但

(93)^{2} = 81 \times 3 = 243

，配方後的常數是

- 243

。兩個

x

值與最大值都和參考答案一致。另一個端點

t = 27

（

x = 1000

）時

f = 729 - 4863 \approx - 112.8

，不是最大值也不是最小值。

x^{l o g 3}

與

3^{l o g x}

相等，可以用同一個

t

代換；代換後要把

x

的範圍換成

t

的範圍，再比較頂點與兩個端點。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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上傳考卷

常見問題

新竹高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

新竹高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自新竹高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A（社會組），由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

新竹高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

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對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選題 1～3：對數律、圖形配對、比大小

02填充 4～7：指數不等式、換底求值、對數不等式、圖形對稱

03填充 8～11：估計、位數、最高位數字、衰退模型

04填充 12～15：分組分解、換底表示、比大小、分貝

05計算題 16：代換後求二次函數的極值

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新竹高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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