段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

新莊高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 新莊高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 新莊高中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要先把 20 弳換成最小正同界角，再跟六十度比大小，才能判斷後三個選項；第 3 題的值域因為角度範圍不含最高點，極值要回到兩個端點算；第 6 題三個負的正弦值要換成銳角再比，加上負號後順序會反過來；第 15 題只把兩個角的範圍相減分不出第三或第四象限，要用差角公式算出正弦與餘弦的正負。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

多選題 4 題（24 分）、填充題 10 題（60 分）、綜合題 4 題（16 分，含一個 3 小題的題組）

一、多選題（占 24 分）｜說明：第 1 題至第 4 題，每題 6 分。（6－4－2－0）

如圖所示，此圖可為下方哪些函數的圖形？

(1) $y = sin (x - \frac{3 π}{2})$
(2) $y = sin (x + \frac{7 π}{2})$
(3) $y = sin (x + \frac{9 π}{2})$
(4) $y = cos (x - \frac{π}{2})$
(5) $y = cos (x + \frac{5 π}{2})$

載入中...

設

θ = 20

弳，請選出正確的選項。

(1) $θ$ 為第一象限角
(2) $θ$ 的最小正同界角為 $20 - 6 π$
(3) $cos θ < \frac{1}{2}$
(4) $\frac{2}{2} < sin θ < \frac{3}{2}$
(5) $tan θ < \frac{3}{3}$

關於函數

f (x) = sin x + cos x

，下列哪些敘述是正確的？

(1) 若將 $g (x) = sin x$ 的圖形先鉛直伸縮 $2$ 倍，再往右平移 $\frac{π}{4}$ 個單位，可以得到 $f (x)$ 的圖形
(2) 函數 $f (x)$ 的最大值為 $2 + \frac{π}{4}$
(3) 函數 $f (x)$ 的週期為 $π$
(4) 在 $\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{5 π}{6}$ 範圍內，函數 $f (x)$ 的值域為 $[\frac{1 - 3}{2}, \frac{1 + 3}{2}]$
(5) 函數 $y = f (x)$ 的圖形線對稱於 $x = \frac{5 π}{4}$

圖為函數

y = f (x) = a sin (b x - c) + d

一個週期的圖形，其中

a

、

b

、

c

、

d

皆為實數且

a > 0

、

b > 0

、

0 < c < 2 π

，選出正確的選項。

(1) $a = 4$
(2) $b = 2$
(3) $c = π$
(4) $c = \frac{π}{2}$
(5) $d = - 2$

載入中...

二、填充題（占 60 分）｜說明：第 5 題至第 14 題，每題 6 分。

sin \frac{3}{2} π + tan \frac{2}{3} π + sin \frac{7}{6} π + cos (- \frac{1}{6} π) =

____。

已知

a = sin 4

，

b = sin 5

，

c = sin 6

，

d = sin 7

，則將

a

，

b

，

c

，

d

之值由小到大排序為 ____。

在

- 2 π \leq x \leq 2 π

範圍內，不等式

cos x \geq \frac{1}{2}

的解為 ____。

如圖，在

△ A B C

中，

∠ C = 9 0^{\circ}

且

∠ B A D = ∠ D A C = θ

。已知

\overline{A C} = 4

，

\overline{C D} = 2

，則

\overline{B D}

的長度為 ____。

載入中...

已知

π < θ < \frac{3 π}{2}

且

cos θ = - \frac{3}{5}

，則數對

(cos 2 θ, cos \frac{θ}{2}) =

____。

y = 2 sin x - 23 cos x = r sin (x + θ)

，其中

r > 0

且

0 < θ < 2 π

，則數對

(r, θ) =

____。

在

△ A B C

中，設

cos A = \frac{3}{5}

且

tan B = 2

，則

sin C =

____。

在

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

範圍內，函數

y = - 3 sin x + cos x + 5

的最小值為

m

，且其對應的

x

值為

θ

，則數對

(m, θ) =

____。

如圖，已知扇形的圓心角

∠ A = 4 5^{\circ}

，半徑

\overline{A B} = 65

，且四邊形

D E F G

為其內接正方形，則鋪色區域的面積為 ____。

載入中...

有一扇形的周長為

21

、面積為

27

，則此扇形由兩半徑所夾的角度為 ____ 弳。（有兩解）

三、綜合題（占 16 分）｜說明：第 15 題至第 18 題。

已知

α

、

β

為廣義角，其中

α

為第三象限角，

β

為第四象限角，且

sin α = - \frac{4}{5}

，

cos β = \frac{2}{3}

，則

α - β

可位於第幾象限？請說明你是如何判斷的，未正確說明不給分。（6 分）

第 16～18 題題組（第 16～18 題）　如圖的摩天輪，其直徑為

\overline{B C}

，設立在地面的基座

\overline{A D}

上。摩天輪垂直地面且最低點離地面是

\overline{A B}

。小明在距離基座

A

的

120

公尺處

D

點測得摩天輪最高點的仰角為

\frac{π}{4}

（小明的身高不計），摩天輪的最高點與最低點的視角為

∠ B D C

，且

tan ∠ B D C = \frac{3}{7}

，此摩天輪以等速繞軌道轉動，且每

24

分鐘轉一圈。小明從最低點坐上摩天輪車廂，設轉動

t

分鐘後，小明的車廂距離地面高度為

y

（公尺），已知

y = a sin (b t + c) + d

（其中

a

，

b

，

d

為正數，

∣ c ∣ < π

）可用來描述所在的車廂高度。試回答下列問題：

\overline{A B}

的長度為多少公尺？（單選題，2 分）

(1) $30$
(2) $36$
(3) $42$
(4) $48$
(5) $54$

載入中...

試求

a

，

b

，

c

，

d

的值。（非選擇題，4 分）

小明搭乘摩天輪運轉一圈，則他所坐的車廂離地面高度在

66

公尺以上時所經歷的時間為何？（非選擇題，4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(3)

第 2 題(1)(2)(3)

第 3 題(4)(5)

第 4 題(1)(4)(5)

第 5 題

- \frac{3 + 3}{2}

第 6 題

b < a < c < d

第 7 題

- 2 π \leq x \leq - \frac{5 π}{3}

或

- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{3}

或

\frac{5 π}{3} \leq x \leq 2 π

第 8 題

\frac{10}{3}

第 9 題

(- \frac{7}{25}, - \frac{5}{5})

第 10 題

(4, \frac{5 π}{3})

第 11 題

\frac{2 5}{5}

第 12 題

(3, \frac{2 π}{3})

第 13 題

\frac{45 π}{2} - 54

第 14 題

\frac{3}{2}

或

\frac{8}{3}

第 15 題第四象限

第 16 題(4)

第 17 題

a = 36

，

b = \frac{π}{12}

，

c = - \frac{π}{2}

，

d = 84

第 18 題

16

分鐘

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題（第 1～4 題）：辨認圖形、弧度角的位置、疊合後的性質、讀圖定係數

第 1 題答案 (1)(3)。圖形通過

(0, 1)

，在

x = π

到最低點

- 1

，週期

2 π

，是

y = cos x

的圖形。把各選項的角加減

2 π

的整數倍後化簡：(1)

sin (x - \frac{3 π}{2}) = sin (x + \frac{π}{2}) = cos x

，對。(2)

sin (x + \frac{7 π}{2}) = sin (x - \frac{π}{2}) = - cos x

，錯。(3)

sin (x + \frac{9 π}{2}) = sin (x + \frac{π}{2}) = cos x

，對。(4)

cos (x - \frac{π}{2}) = sin x

，錯。(5)

cos (x + \frac{5 π}{2}) = cos (x + \frac{π}{2}) = - sin x

，錯。

也可以直接代

x = 0

檢查函數值是不是

1

：五個選項依序是

1

、

- 1

、

1

、

0

、

0

，只有 (1)(3) 通過。

第 2 題答案 (1)(2)(3)。

6 π \approx 18.85

，所以

20 - 6 π \approx 1.15

，介於

0

與

2 π

之間，是

θ

的最小正同界角，(2) 對。再比大小：

\frac{π}{3} \approx 1.047

、

\frac{π}{2} \approx 1.571

，所以

\frac{π}{3} < 20 - 6 π < \frac{π}{2}

，

θ

是第一象限角，(1) 對。同界角的三角函數值相同，而這個角比

\frac{π}{3}

大、比

\frac{π}{2}

小：(3)

cos θ < cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

，對。(4)

sin θ > sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

，超出範圍，錯。(5)

tan θ > tan \frac{π}{3} = 3

，比

\frac{3}{3}

大，錯。

1.15

弳約

65. 9^{\circ}

。只知道「第一象限」不夠判斷 (3)(4)(5)，要再跟

\frac{π}{3}

（

6 0^{\circ}

）比。

第 3 題答案 (4)(5)。疊合：

f (x) = 2 (\frac{2}{2} sin x + \frac{2}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

。(1) 錯：

sin x

鉛直伸縮

2

倍再往右平移

\frac{π}{4}

得到

2 sin (x - \frac{π}{4})

；要得到

f (x)

應往左平移。(2) 錯：最大值是

2

。(3) 錯：週期是

2 π

。(4) 對：

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

時

\frac{7 π}{12} \leq x + \frac{π}{4} \leq \frac{13 π}{12}

，這段落在

\frac{π}{2}

與

\frac{3 π}{2}

之間，正弦一路遞減，所以最大值在左端

f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

，最小值在右端

f (\frac{5 π}{6}) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}

，值域為

[\frac{1 - 3}{2}, \frac{1 + 3}{2}]

。(5) 對：

f (\frac{5 π}{4}) = 2 sin \frac{3 π}{2} = - 2

是最低點，通過最高點或最低點的鉛直線就是對稱軸。

(4) 的角度範圍沒有包含

\frac{π}{2}

，所以取不到

2

；極值要回到端點去算。

第 4 題答案 (1)(4)(5)。最大值

2

、最小值

- 6

：

a = \frac{2 - ( - 6 )}{2} = 4

，

d = \frac{2 + ( - 6 )}{2} = - 2

，(1)(5) 對。圖上從

x = π

到

x = 5 π

是一個週期，週期

4 π = \frac{2 π}{b}

，

b = \frac{1}{2}

，(2) 錯。

x = π

時圖形在中心線

y = - 2

上而且正要上升，相當於正弦的角為

0

（加

2 π

的整數倍）：

\frac{π}{2} - c = 2 k π

，

c = \frac{π}{2} - 2 k π

；

0 < c < 2 π

只有

c = \frac{π}{2}

，(4) 對、(3) 錯。

驗算：

y = 4 sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{2}) - 2

在

x = 2 π

時為

4 sin \frac{π}{2} - 2 = 2

，在

x = 4 π

時為

4 sin \frac{3 π}{2} - 2 = - 6

，與圖相符。若

c = π

，

x = π

時

y = 4 sin (- \frac{π}{2}) - 2 = - 6

，與圖不合。

02填充題（第 5～7 題）：弧度特別角、比較正弦值、餘弦不等式

第 5 題逐項求值：

sin \frac{3 π}{2} = - 1

；

tan \frac{2 π}{3} = - tan \frac{π}{3} = - 3

；

sin \frac{7 π}{6} = - sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}

；

cos (- \frac{π}{6}) = cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

。相加：

- 1 - 3 - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = - \frac{3 + 3}{2}

。

\frac{2 π}{3}

在第二象限，正切為負；

\frac{7 π}{6}

在第三象限，正弦為負；餘弦是偶函數，負角不變號。

第 6 題先看位置：

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

2 π \approx 6.28

。

4

在第三象限，

5

、

6

在第四象限，正弦都是負的；

7

比

2 π

多約

0.72

，在第一象限，正弦為正，所以

d

最大。三個負的改用銳角表示：

sin 4 = - sin (4 - π) \approx - sin 0.86

，

sin 5 = - sin (2 π - 5) \approx - sin 1.28

，

sin 6 = - sin (2 π - 6) \approx - sin 0.28

。銳角的正弦隨角度遞增，

sin 0.28 < sin 0.86 < sin 1.28

，加上負號後順序反過來：

sin 5 < sin 4 < sin 6 < 0

。所以

b < a < c < d

。

負數比大小時，絕對值大的反而小。數值約為

b \approx - 0.959

、

a \approx - 0.757

、

c \approx - 0.279

、

d \approx 0.657

。

第 7 題在

- 2 π \leq x \leq 2 π

內，

cos x = \frac{1}{2}

的解是

x = \pm \frac{π}{3}

、

\pm \frac{5 π}{3}

。看

y = cos x

的圖形在直線

y = \frac{1}{2}

上方（含線上）的部分：中間以

x = 0

的最高點為中心的一段

- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{3}

；右邊靠近

x = 2 π

最高點的一段

\frac{5 π}{3} \leq x \leq 2 π

；左邊靠近

x = - 2 π

最高點的一段

- 2 π \leq x \leq - \frac{5 π}{3}

。三段合起來就是解。

兩端

x = \pm 2 π

處餘弦值是

1

，所以兩側各有一段，不要只寫中間那一段。

03填充題（第 8～11 題）：二倍角、半角、疊合、第三個角

第 8 題直角三角形

A C D

中

tan θ = \frac{C D}{A C} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

。

∠ B A C = 2 θ

，由二倍角公式

tan 2 θ = \frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}

。直角三角形

A B C

中

\overline{B C} = \overline{A C} tan 2 θ = 4 \times \frac{4}{3} = \frac{16}{3}

，所以

\overline{B D} = \frac{16}{3} - 2 = \frac{10}{3}

。

驗算：

\overline{A B} = 4^{2} + (\frac{16}{3})^{2} = \frac{20}{3}

，

\overline{A B} : \overline{A C} = 5 : 3

，而

\overline{B D} : \overline{D C} = \frac{10}{3} : 2 = 5 : 3

，符合角平分線分對邊的比。

第 9 題

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = 2 \times \frac{9}{25} - 1 = - \frac{7}{25}

。半角公式：

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{1 - \frac{3}{5}}{2} = \frac{1}{5}

。因為

π < θ < \frac{3 π}{2}

，所以

\frac{π}{2} < \frac{θ}{2} < \frac{3 π}{4}

，

\frac{θ}{2}

在第二象限，餘弦為負：

cos \frac{θ}{2} = - \frac{1}{5} = - \frac{5}{5}

。數對為

(- \frac{7}{25}, - \frac{5}{5})

。

半角公式只給出平方，正負號要由

\frac{θ}{2}

的象限決定；先把

θ

的範圍除以

2

。

第 10 題

r = 2^{2} + (23)^{2} = 16 = 4

。

2 sin x - 23 cos x = 4 (\frac{1}{2} sin x - \frac{3}{2} cos x) = 4 (sin x cos \frac{π}{3} - cos x sin \frac{π}{3}) = 4 sin (x - \frac{π}{3})

。題目要求

0 < θ < 2 π

，把

- \frac{π}{3}

加

2 π

換成同界角

\frac{5 π}{3}

，

(r, θ) = (4, \frac{5 π}{3})

。

也可以直接找

cos θ = \frac{1}{2}

、

sin θ = - \frac{3}{2}

的角：在第四象限，

θ = \frac{5 π}{3}

。

第 11 題

A

、

B

是三角形的內角。

cos A = \frac{3}{5} > 0

，

A

是銳角，

sin A = \frac{4}{5}

。

tan B = 2 > 0

，

B

是銳角，取鄰邊

1

、對邊

2

、斜邊

5

，得

sin B = \frac{2}{5}

、

cos B = \frac{1}{5}

。

C = π - (A + B)

，所以

sin C = sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B = \frac{4}{5} \times \frac{1}{5} + \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{10}{5 5} = \frac{2}{5} = \frac{2 5}{5}

。

sin (π - α) = sin α

，所以第三個角的正弦就是另外兩角和的正弦。答案剛好等於

sin B

，表示

C = B

或

C = π - B

；這裡是

C = B

。

04填充題（第 12～14 題）：範圍內的最小值、扇形面積

第 12 題疊合：

- 3 sin x + cos x = 2 (- \frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = 2 (sin x cos \frac{5 π}{6} + cos x sin \frac{5 π}{6}) = 2 sin (x + \frac{5 π}{6})

，所以

y = 2 sin (x + \frac{5 π}{6}) + 5

。

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{5 π}{6}

時

\frac{7 π}{6} \leq x + \frac{5 π}{6} \leq \frac{5 π}{3}

，這段包含

\frac{3 π}{2}

，正弦可以取到最小值

- 1

。此時

x + \frac{5 π}{6} = \frac{3 π}{2}

，

x = \frac{2 π}{3}

，

y = - 2 + 5 = 3

。

(m, θ) = (3, \frac{2 π}{3})

。

也可以疊合成餘弦：

y = 2 cos (x + \frac{π}{3}) + 5

，

\frac{2 π}{3} \leq x + \frac{π}{3} \leq \frac{7 π}{6}

包含

π

，結果相同。要先確認取到最小值的角落在範圍內。

第 13 題設正方形邊長為

s

。

∠ A = 4 5^{\circ}

且

\overline{G D} ⊥ \overline{A B}

，所以

△ A D G

是等腰直角三角形，

\overline{A D} = \overline{G D} = s

，於是

\overline{A E} = 2 s

。

F

在弧上，

\overline{A F}

是半徑；直角三角形

A E F

中

(2 s)^{2} + s^{2} = (65)^{2} = 180

，

s^{2} = 36

，

s = 6

。圓心角

4 5^{\circ} = \frac{π}{4}

，扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 180 \times \frac{π}{4} = \frac{45 π}{2}

。沒有鋪色的部分是

△ A D G

與正方形：

\frac{1}{2} \times 6 \times 6 + 6^{2} = 18 + 36 = 54

。鋪色面積

= \frac{45 π}{2} - 54

。

扇形面積公式的角要用弧度。

\frac{45 π}{2} \approx 70.69

，鋪色面積約

16.69

。

第 14 題設半徑

r

、圓心角

θ

弳。周長

2 r + r θ = 21

，面積

\frac{1}{2} r^{2} θ = 27

。由第一式

r θ = 21 - 2 r

，代入第二式：

\frac{1}{2} r (21 - 2 r) = 27

，

2 r^{2} - 21 r + 54 = 0

，

(2 r - 9) (r - 6) = 0

，

r = 6

或

r = \frac{9}{2}

。

r = 6

時

r θ = 9

，

θ = \frac{3}{2}

；

r = \frac{9}{2}

時

r θ = 12

，

θ = \frac{12}{\frac{9}{2}} = \frac{8}{3}

。兩個角都小於

2 π

，都合，所以角度為

\frac{3}{2}

或

\frac{8}{3}

弳。

扇形的周長是弧長加兩條半徑。驗算：

r = \frac{9}{2}

、

θ = \frac{8}{3}

時周長

9 + 12 = 21

，面積

\frac{1}{2} \times \frac{81}{4} \times \frac{8}{3} = 27

。

05綜合題（第 15～18 題）：判斷象限、摩天輪題組

第 15 題答案：第四象限。

α

在第三象限，

cos α < 0

：

cos α = - 1 - \frac{16}{25} = - \frac{3}{5}

。

β

在第四象限，

sin β < 0

：

sin β = - 1 - \frac{4}{9} = - \frac{5}{3}

。用差角公式算

α - β

的正弦與餘弦：

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β = (- \frac{4}{5}) \frac{2}{3} - (- \frac{3}{5}) (- \frac{5}{3}) = \frac{- 8 - 3 5}{15} < 0

；

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β = (- \frac{3}{5}) \frac{2}{3} + (- \frac{4}{5}) (- \frac{5}{3}) = \frac{4 5 - 6}{15}

，因為

45 = 80 > 36 = 6

，所以

cos (α - β) > 0

。正弦為負、餘弦為正，

α - β

在第四象限。

只把兩個角的範圍相減（例如取

18 0^{\circ} < α < 27 0^{\circ}

、

27 0^{\circ} < β < 36 0^{\circ}

，得

- 18 0^{\circ} < α - β < 0^{\circ}

）只能知道在第三或第四象限，分不出是哪一個；要算出正弦與餘弦的正負才能確定。

第 16 題答案 (4)。

\overline{C A}

垂直地面，仰角

∠ A D C = \frac{π}{4}

，所以

\overline{A C} = \overline{A D} tan \frac{π}{4} = 120

。

∠ A D B = ∠ A D C - ∠ B D C

，由正切的差角公式

tan ∠ A D B = \frac{1 - \frac{3}{7}}{1 + 1 \times \frac{3}{7}} = \frac{\frac{4}{7}}{\frac{10}{7}} = \frac{2}{5}

。直角三角形

A B D

中

\overline{A B} = \overline{A D} tan ∠ A D B = 120 \times \frac{2}{5} = 48

公尺。

驗算：

tan ∠ A D B = \frac{48}{120} = \frac{2}{5}

、

tan ∠ A D C = 1

，

tan ∠ B D C = \frac{1 - \frac{2}{5}}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{3}{7}

，與題目相符。

第 17 題直徑

\overline{B C} = 120 - 48 = 72

，半徑

36

，圓心離地

48 + 36 = 84

。車廂高度在

84

上下各擺動

36

，所以

a = 36

、

d = 84

。每

24

分鐘轉一圈，週期

\frac{2 π}{b} = 24

，

b = \frac{π}{12}

。

t = 0

時在最低點，

y = 48

：

36 sin c + 84 = 48

，

sin c = - 1

；在

∣ c ∣ < π

內只有

c = - \frac{π}{2}

。所以

a = 36

，

b = \frac{π}{12}

，

c = - \frac{π}{2}

，

d = 84

。

驗算：

t = 12

（轉半圈）時

y = 36 sin (π - \frac{π}{2}) + 84 = 120

，正是最高點。

c = \frac{3 π}{2}

也滿足

sin c = - 1

，但不在

∣ c ∣ < π

內。

第 18 題由上題

y = 36 sin (\frac{π}{12} t - \frac{π}{2}) + 84

。

y \geq 66

即

sin (\frac{π}{12} t - \frac{π}{2}) \geq - \frac{1}{2}

。轉一圈

0 \leq t \leq 24

時，角

\frac{π}{12} t - \frac{π}{2}

從

- \frac{π}{2}

走到

\frac{3 π}{2}

；在這段裡正弦不小於

- \frac{1}{2}

的範圍是

- \frac{π}{6} \leq \frac{π}{12} t - \frac{π}{2} \leq \frac{7 π}{6}

。各加

\frac{π}{2}

：

\frac{π}{3} \leq \frac{π}{12} t \leq \frac{5 π}{3}

，

4 \leq t \leq 20

。經歷的時間是

20 - 4 = 16

分鐘。

也可以用幾何看：

66

公尺比圓心低

18

公尺，剛好是半徑的一半，低於這條線的弧所對的圓心角是

2 \times 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

，佔一圈的

\frac{1}{3}

，即

8

分鐘；其餘

16

分鐘都在

66

公尺以上。

圓周運動的高度可以寫成正弦型函數：振幅是半徑、中心線是圓心高度、週期是轉一圈的時間，起點位置決定平移量。

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新莊高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要先把 20 弳換成最小正同界角，再跟六十度比大小，才能判斷後三個選項；第 3 題的值域因為角度範圍不含最高點，極值要回到兩個端點算；第 6 題三個負的正弦值要換成銳角再比，加上負號後順序會反過來；第 15 題只把兩個角的範圍相減分不出第三或第四象限，要用差角公式算出正弦與餘弦的正負。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自新莊高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

新莊高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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03填充題（第 8～11 題）：二倍角、半角、疊合、第三個角

04填充題（第 12～14 題）：範圍內的最小值、扇形面積

05綜合題（第 15～18 題）：判斷象限、摩天輪題組

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數學試題、答案與詳解

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