段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

中山女高 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 5 題（35 分）、多選題 3 題（15 分）、填充題 10 題（50 分）

一、單選題（占 35 分）　說明：第 1 題至第 5 題，每題 7 分。

已知一扇形的面積為

4

，周長為

8

，則其半徑長為？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

函數

f (x) = 3 sin (x - \frac{π}{6})

在下列哪一個區間中「遞增」？

(1) $(0, \frac{π}{2})$
(2) $(\frac{π}{2}, π)$
(3) $(π, \frac{3 π}{2})$
(4) $(\frac{3 π}{2}, 2 π)$
(5) $(\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$

當

x

介於

0

與

2 π

之間，直線

x + y = 1

與函數

y = tan x

的圖形共有幾個交點？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $0$

坐標平面上，二直線

L_{1} : 2 x + y + 3 = 0

與

L_{2} : x - y - 2 = 0

，若其銳夾角為

θ

，則

tan θ =

？

(1) $\frac{1}{3}$
(2) $\frac{1}{2}$
(3) $1$
(4) $2$
(5) $3$

設函數

f (x) = 9 cos x - 40 sin x

，在

0 \leq x < 2 π

的範圍中當

x = θ

時

f (x)

有最大值，請選出正確的選項：

(1) $0 < θ < \frac{π}{2}$
(2) $\frac{π}{2} < θ < π$
(3) $π < θ < \frac{3 π}{2}$
(4) $\frac{3 π}{2} < θ < 2 π$
(5) $θ = \frac{k π}{2}$ ， $k$ 為整數

二、多選題（占 15 分）　說明：第 6 題至第 8 題，每題 5 分。（5－3－1－0）

關於函數

f (x) = sin x + cos x

的圖形，則下列哪些選項中的敘述是正確的？

(1) 週期是 $π$
(2) 振幅是 $2$
(3) $y = f (x)$ 的圖形與 $y$ 軸交點 $(0, 1)$
(4) $f (x)$ 為奇函數（即 $y = f (x)$ 的圖形對稱於原點）
(5) $f (x)$ 為偶函數（即 $y = f (x)$ 的圖形對稱 $y$ 軸）

當

0 < x < \frac{π}{2}

時，下列哪些選項中的不等式恆成立？

(1) $sin 2 x > 0$
(2) $cos 2 x > 0$
(3) $cos^{2} x - sin^{2} x \leq \frac{1}{2}$
(4) $sin x cos x \leq \frac{1}{2}$
(5) $sin x + cos x \leq \frac{3}{2}$

將

y = sin 3 x

的圖形向左平移

\frac{π}{2}

單位長所得的新圖形會與下列哪些選項中的函數圖形相同？

(1) $y = sin (3 x - \frac{π}{2})$
(2) $y = sin (3 x + \frac{π}{2})$
(3) $y = sin (3 x - \frac{3}{2} π)$
(4) $y = sin (3 x + \frac{3}{2} π)$
(5) $y = cos (3 x)$

三、填充題（占 50 分）　說明：第 9 題至第 18 題，每題 5 分。

如圖，正方形

A B C D

的邊長為

1

，分別以

A

、

B

為圓心，邊長

1

為半徑，在正方形內畫圓弧，兩圓弧的交點為

P

，求兩圓弧

A P ⌢

與

B P ⌢

及

\overline{A B}

所圍陰影區域面積為 ____。

載入中...

設

a > 0

，

A (a)

表示

x

軸、

y

軸、直線

x = a

與函數

y = sin (π x) + 1

的圖形所圍成區域的面積，求

A (\frac{3}{2}) - A (\frac{1}{2}) =

____。

已知

cos (α - β) = \frac{1}{2}

，

cos (α + β) = \frac{1}{3}

，求

tan α tan β =

____。

設

y = 3 sin x - cos x + 1

且

0 \leq x < 2 π

，則在

x = θ

時，

y

有最小值

m

，求

(θ, m) =

____。

坐標平面上，以原點

O

為圓心的圓上有三個相異點

A (1, 0)

，

B

，

C

，且

\overline{A B} = \overline{B C}

，已知銳角三角形

O A C

的面積為

\frac{12}{25}

，求

△ O A B

的面積為 ____。

求方程式

sin x = sin 9

的最小正實數解為 ____。

若

θ = 1 8^{\circ}

，則

5 θ = 9 0^{\circ}

。已知

sin 1 8^{\circ} = \frac{5 - 1}{4}

，求

sin 5 4^{\circ} =

____。

函數

f (x) = sin (a x + \frac{π}{4}) + b

，已知

a > 0

且

f (x)

的週期為

T

，若

π < T < 2 π

，且

y = f (x)

的圖形關於點

(π, 1)

對稱，即點

(π, 1)

可為其對稱中心，則

(a, b) =

____。

a

，

b

為實數，方程式

3 sin x + cos x = k

在

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

的範圍內有兩個相異的實數解，則

a \leq k < b

，求數對

(a, b) =

____。

設

0 \leq x < 2 π

，不等式

sin x < sin \frac{x}{2}

且

cos x < cos \frac{x}{2}

的解為

aπ < x < bπ

，其中

a

，

b

為實數，則

b - a =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(1)

第 3 題(3)

第 4 題(5)

第 5 題(4)

第 6 題(2)(3)

第 7 題(1)(4)(5)

第 8 題(1)(4)

第 9 題

\frac{π}{3} - \frac{3}{4}

第 10 題

1

第 11 題

\frac{1}{5}

第 12 題

(\frac{5 π}{3}, - 1)

第 13 題

\frac{3}{10}

第 14 題

3 π - 9

第 15 題

\frac{1 + 5}{4}

第 16 題

(\frac{7}{4}, 1)

第 17 題

(3, 2)

第 18 題

\frac{2}{3}

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

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01單選題 1～5：扇形、遞增區間、交點個數、夾角、疊合

第 1 題答案 (2)。設半徑

r

、圓心角

θ

（弧度）。周長

2 r + r θ = 8

，所以弧長

r θ = 8 - 2 r

；面積

\frac{1}{2} r \cdot r θ = 4

，代入得

\frac{1}{2} r (8 - 2 r) = 4

，即

r^{2} - 4 r + 4 = 0

，

(r - 2)^{2} = 0

，

r = 2

（此時

θ = 2

）。

面積用

\frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長，直接把弧長換成

8 - 2 r

，不必先求圓心角。

第 2 題答案 (1)。

y = sin t

在

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

遞增。令

t = x - \frac{π}{6}

，得

- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{2 π}{3}

；加上週期

2 π

，下一段是

\frac{5 π}{3} \leq x \leq \frac{8 π}{3}

。(1)

(0, \frac{π}{2})

整段落在

[- \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]

內，遞增。(2)(3) 落在

\frac{2 π}{3}

到

\frac{5 π}{3}

的遞減段。(4) 在

x = \frac{5 π}{3}

才由遞減轉為遞增，(5) 在

x = \frac{2 π}{3}

由遞增轉為遞減，都不是整段遞增。

係數

3

是正的，只改變振幅，不影響遞增、遞減的區間。

第 3 題答案 (3)。直線是

y = 1 - x

，遞減；

y = tan x

在

0 < x < 2 π

分成三段，每段都遞增。

0 < x < \frac{π}{2}

：

tan x

由

0

增到無限大，直線由

1

降到

1 - \frac{π}{2}

，一開始直線在上、後來在下，恰交

1

點。

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

：

tan x

由負無限大增到正無限大，恰交

1

點。

\frac{3 π}{2} < x < 2 π

：

tan x

由負無限大增到

0

，而直線在這段的值介於

1 - 2 π

與

1 - \frac{3 π}{2}

之間，都是負的，到右端時

tan x

接近

0

已在直線上方，恰交

1

點。共

3

個交點。

最後一段最容易漏：直線在那裡的高度大約是

- 3.7

到

- 5.3

，正切圖形由下往上一定會穿過它。

第 4 題答案 (5)。

L_{1}

的斜率

m_{1} = - 2

，

L_{2}

的斜率

m_{2} = 1

。設兩直線的斜角為

θ_{1}

、

θ_{2}

，由正切的差角公式

tan (θ_{1} - θ_{2}) = \frac{m _{1} - m _{2}}{1 + m _{1} m _{2}} = \frac{- 2 - 1}{1 + ( - 2 ) ( 1 )} = \frac{- 3}{- 1} = 3

。值為正，就是銳夾角的正切，

tan θ = 3

。

算出來若是負的，表示算到鈍夾角，取絕對值就是銳夾角的正切。

第 5 題答案 (4)。

9^{2} + 4 0^{2} = 41

。取銳角

φ

使

cos φ = \frac{9}{41}

、

sin φ = \frac{40}{41}

，則

f (x) = 41 (cos x cos φ - sin x sin φ) = 41 cos (x + φ)

。最大值

41

發生在

x + φ = 2 π

，即

θ = 2 π - φ

；因為

0 < φ < \frac{π}{2}

，所以

\frac{3 π}{2} < θ < 2 π

。

檢查：此時

cos θ = \frac{9}{41} > 0

、

sin θ = - \frac{40}{41} < 0

，確實在第四象限，而且兩者都不是

0

，所以 (5) 不對。

02多選題 6～8：疊合後的圖形、倍角不等式、平移

第 6 題答案 (2)(3)。疊合：

f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

。(1) 錯：週期是

2 π

。(2) 對：振幅

2

。(3) 對：

f (0) = sin 0 + cos 0 = 1

。(4) 錯：奇函數必須

f (0) = 0

，但

f (0) = 1

。(5) 錯：

f (\frac{π}{2}) = 1

，

f (- \frac{π}{2}) = - 1

，兩者不相等。

第 7 題答案 (1)(4)(5)。

0 < x < \frac{π}{2}

時

0 < 2 x < π

。(1) 對：

sin 2 x > 0

。(2) 錯：

x = \frac{π}{3}

時

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

。(3) 錯：左邊是

cos 2 x

，

x = \frac{π}{12}

時

cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2} > \frac{1}{2}

。(4) 對：

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x \leq \frac{1}{2}

。(5) 對：

sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4}) \leq 2

，而

(2)^{2} = 2 < \frac{9}{4}

，所以

2 < \frac{3}{2}

。

「恆成立」只要找到一個反例就不成立；(2)(3) 各舉一個角代入即可。

第 8 題答案 (1)(4)。向左平移

\frac{π}{2}

是把

x

換成

x + \frac{π}{2}

：

y = sin 3 (x + \frac{π}{2}) = sin (3 x + \frac{3 π}{2})

，就是 (4)。又

sin (3 x + \frac{3 π}{2}) = - cos 3 x

。(1)

sin (3 x - \frac{π}{2}) = - cos 3 x

，相同（角度差

2 π

）。(2)

sin (3 x + \frac{π}{2}) = cos 3 x

，不同。(3)

sin (3 x - \frac{3 π}{2}) = sin (3 x + \frac{π}{2}) = cos 3 x

，不同。(5)

cos 3 x

，不同。

平移是對

x

加減，括號要包住整個

x + \frac{π}{2}

再乘

3

，寫成

sin (3 x + \frac{π}{2})

就少乘了。

看到

a sin x + b cos x

先疊合，週期、振幅、極值、範圍一次看完；判斷兩個式子是不是同一個圖形，都化成

\pm sin

或

\pm cos

再比。

03填充 9～13：扇形面積、對稱性、和差角、疊合、半角

第 9 題

\overline{A P} = \overline{B P} = \overline{A B} = 1

，所以

△ A B P

是正三角形，

∠ P A B = ∠ P B A = \frac{π}{3}

。陰影區域可看成「以

A

為圓心的扇形

A B P

」與「以

B

為圓心的扇形

B A P

」疊在一起，兩個扇形重疊的部分正好是

△ A B P

。每個扇形面積

\frac{1}{2} \cdot 1^{2} \cdot \frac{π}{3} = \frac{π}{6}

，正三角形面積

\frac{3}{4}

。陰影面積

= \frac{π}{6} + \frac{π}{6} - \frac{3}{4} = \frac{π}{3} - \frac{3}{4}

。

載入中...

兩個扇形相加時三角形被算了兩次，要減掉一次。

第 10 題

y = sin (π x) + 1 \geq 0

，所以

A (\frac{3}{2}) - A (\frac{1}{2})

就是圖形下方、

x

軸上方，介於

x = \frac{1}{2}

與

x = \frac{3}{2}

之間的面積。令

x = 1 + t

：

y = 1 - sin (π t)

；令

x = 1 - t

：

y = 1 + sin (π t)

。兩個高度的和恆為

2

，表示圖形對稱於點

(1, 1)

。因此在

\frac{1}{2} \leq x \leq 1

這段比

y = 1

高出的部分，繞點

(1, 1)

轉半圈後，正好補滿

1 \leq x \leq \frac{3}{2}

這段比

y = 1

低的缺口。面積等於寬

1

、高

1

的長方形，為

1

。

這個範圍不需要算曲線下的面積，靠對稱中心把圖形補成長方形即可。

第 11 題

cos α cos β + sin α sin β = \frac{1}{2}

，

cos α cos β - sin α sin β = \frac{1}{3}

。兩式相加除以

2

：

cos α cos β = \frac{5}{12}

；相減除以

2

：

sin α sin β = \frac{1}{12}

。所以

tan α tan β = \frac{sin α sin β}{cos α cos β} = \frac{1/12}{5/12} = \frac{1}{5}

。

第 12 題

3 sin x - cos x = 2 (sin x cos \frac{π}{6} - cos x sin \frac{π}{6}) = 2 sin (x - \frac{π}{6})

，所以

y = 2 sin (x - \frac{π}{6}) + 1

。

0 \leq x < 2 π

時

- \frac{π}{6} \leq x - \frac{π}{6} < \frac{11 π}{6}

，在

x - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}

時正弦取到

- 1

，即

θ = \frac{5 π}{3}

，

m = 2 (- 1) + 1 = - 1

。答案

(\frac{5 π}{3}, - 1)

。

最後的

+ 1

不要漏；最小值是

- 2 + 1 = - 1

。

第 13 題圓過

A (1, 0)

，半徑為

1

。設

∠ A O C = φ

，

△ O A C

的面積

\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot sin φ = \frac{12}{25}

，

sin φ = \frac{24}{25}

；三角形是銳角三角形，

φ

為銳角，

cos φ = \frac{7}{25}

。弦

\overline{A B} = \overline{B C}

表示

B

把弧

A C

平分：

B

在劣弧上時

∠ A O B = \frac{φ}{2}

，在優弧上時

∠ A O B = π - \frac{φ}{2}

，兩種情形的正弦值都是

sin \frac{φ}{2}

。由半角公式

sin \frac{φ}{2} = \frac{1 - cos φ}{2} = \frac{9}{25} = \frac{3}{5}

。

△ O A B

的面積

= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{10}

。

B

有兩個可能的位置，但

sin (π - \frac{φ}{2}) = sin \frac{φ}{2}

，面積相同，答案只有一個。

04填充 14～18：弧度的位置、二倍角、對稱中心、解的個數、聯立不等式

第 14 題這裡的

9

是

9

弧度。

sin x = sin 9

的解是

x = 9 + 2 k π

或

x = (π - 9) + 2 k π

（

k

為整數）。因為

2 π \approx 6.28

、

3 π \approx 9.42

：第一類的最小正解是

9 - 2 π \approx 2.72

；第二類的最小正解是

π - 9 + 2 π = 3 π - 9 \approx 0.42

。比較後最小正實數解為

3 π - 9

。

3 π - 9

介於

0

與

\frac{π}{2}

之間，比它更小的正數正弦值都比較小，不會再有解。

第 15 題

5 4^{\circ} + 3 6^{\circ} = 9 0^{\circ}

，所以

sin 5 4^{\circ} = cos 3 6^{\circ}

。由二倍角公式

cos 3 6^{\circ} = 1 - 2 sin^{2} 1 8^{\circ} = 1 - 2 \cdot \frac{( 5 - 1 ) ^{2}}{16} = 1 - \frac{6 - 2 5}{8} = 1 - \frac{3 - 5}{4} = \frac{1 + 5}{4}

。

5 4^{\circ} = 3 \times 1 8^{\circ}

，也可以用三倍角公式，但換成

cos 3 6^{\circ}

只要一次二倍角。

第 16 題週期

T = \frac{2 π}{a}

，由

π < \frac{2 π}{a} < 2 π

得

1 < a < 2

。

y = sin (a x + \frac{π}{4}) + b

的對稱中心都在中線

y = b

上，而且是

sin (a x + \frac{π}{4}) = 0

的點。所以

b = 1

，且

aπ + \frac{π}{4} = k π

（

k

為整數），

a = k - \frac{1}{4}

。配合

1 < a < 2

，只有

k = 2

，

a = \frac{7}{4}

。答案

(\frac{7}{4}, 1)

。

對稱中心是圖形與中線的交點，不是最高點或最低點（那些是對稱軸的位置）。

第 17 題

3 sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{6})

。令

t = x + \frac{π}{6}

，

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

時

\frac{π}{6} \leq t \leq \frac{2 π}{3}

。

2 sin t

在

t

由

\frac{π}{6}

到

\frac{π}{2}

時由

1

增到

2

，再由

\frac{π}{2}

到

\frac{2 π}{3}

時由

2

降到

3

。水平線

y = k

要與這段圖形交於兩點，必須上升段與下降段各交一點：

3 \leq k < 2

。（

k = 3

時

x = \frac{π}{6}

、

\frac{π}{2}

兩解；

k = 2

時只有

x = \frac{π}{3}

一解。）所以

(a, b) = (3, 2)

。

兩個端點的高度不同（

1

與

3

），下界要取較高的那個

3

，而且取得到。

第 18 題

x = 0

時

sin 0 < sin 0

不成立，以下看

0 < x < 2 π

，此時

0 < \frac{x}{2} < π

，

sin \frac{x}{2} > 0

。第一式：

2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} < sin \frac{x}{2}

，兩邊同除以正數

sin \frac{x}{2}

，得

cos \frac{x}{2} < \frac{1}{2}

，即

\frac{x}{2} > \frac{π}{3}

，

x > \frac{2 π}{3}

。第二式：令

c = cos \frac{x}{2}

，

2 c^{2} - 1 < c

，

(2 c + 1) (c - 1) < 0

，

- \frac{1}{2} < c < 1

，即

0 < \frac{x}{2} < \frac{2 π}{3}

，

x < \frac{4 π}{3}

。兩式同時成立：

\frac{2 π}{3} < x < \frac{4 π}{3}

，

a = \frac{2}{3}

、

b = \frac{4}{3}

，

b - a = \frac{2}{3}

。

除以

sin \frac{x}{2}

之前要先確認它是正的，不等號才不會變向。

弧度制的題目先估出角落在哪兩個

π

的倍數之間；解的個數與不等式都先換成單一個三角函數，再看圖形或單位圓。

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中山女高 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 10 題要用圖形的對稱中心把面積補成長方形、第 13 題 B 點有兩個可能位置但面積相同、第 14 題要先判斷九弧度落在哪兩個圓周率倍數之間，以及第 18 題兩個不等式各自解完再取共同範圍。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自中山女高 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

中山女高 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 5 題（35 分）、多選題 3 題（15 分）、填充題 10 題（50 分）

一、單選題（占 35 分）　說明：第 1 題至第 5 題，每題 7 分。

已知一扇形的面積為

4

，周長為

8

，則其半徑長為？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

函數

f (x) = 3 sin (x - \frac{π}{6})

在下列哪一個區間中「遞增」？

(1) $(0, \frac{π}{2})$
(2) $(\frac{π}{2}, π)$
(3) $(π, \frac{3 π}{2})$
(4) $(\frac{3 π}{2}, 2 π)$
(5) $(\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$

當

x

介於

0

與

2 π

之間，直線

x + y = 1

與函數

y = tan x

的圖形共有幾個交點？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $0$

坐標平面上，二直線

L_{1} : 2 x + y + 3 = 0

與

L_{2} : x - y - 2 = 0

，若其銳夾角為

θ

，則

tan θ =

？

(1) $\frac{1}{3}$
(2) $\frac{1}{2}$
(3) $1$
(4) $2$
(5) $3$

設函數

f (x) = 9 cos x - 40 sin x

，在

0 \leq x < 2 π

的範圍中當

x = θ

時

f (x)

有最大值，請選出正確的選項：

(1) $0 < θ < \frac{π}{2}$
(2) $\frac{π}{2} < θ < π$
(3) $π < θ < \frac{3 π}{2}$
(4) $\frac{3 π}{2} < θ < 2 π$
(5) $θ = \frac{k π}{2}$ ， $k$ 為整數

二、多選題（占 15 分）　說明：第 6 題至第 8 題，每題 5 分。（5－3－1－0）

關於函數

f (x) = sin x + cos x

的圖形，則下列哪些選項中的敘述是正確的？

(1) 週期是 $π$
(2) 振幅是 $2$
(3) $y = f (x)$ 的圖形與 $y$ 軸交點 $(0, 1)$
(4) $f (x)$ 為奇函數（即 $y = f (x)$ 的圖形對稱於原點）
(5) $f (x)$ 為偶函數（即 $y = f (x)$ 的圖形對稱 $y$ 軸）

當

0 < x < \frac{π}{2}

時，下列哪些選項中的不等式恆成立？

(1) $sin 2 x > 0$
(2) $cos 2 x > 0$
(3) $cos^{2} x - sin^{2} x \leq \frac{1}{2}$
(4) $sin x cos x \leq \frac{1}{2}$
(5) $sin x + cos x \leq \frac{3}{2}$

將

y = sin 3 x

的圖形向左平移

\frac{π}{2}

單位長所得的新圖形會與下列哪些選項中的函數圖形相同？

(1) $y = sin (3 x - \frac{π}{2})$
(2) $y = sin (3 x + \frac{π}{2})$
(3) $y = sin (3 x - \frac{3}{2} π)$
(4) $y = sin (3 x + \frac{3}{2} π)$
(5) $y = cos (3 x)$

三、填充題（占 50 分）　說明：第 9 題至第 18 題，每題 5 分。

如圖，正方形

A B C D

的邊長為

1

，分別以

A

、

B

為圓心，邊長

1

為半徑，在正方形內畫圓弧，兩圓弧的交點為

P

，求兩圓弧

A P ⌢

與

B P ⌢

及

\overline{A B}

所圍陰影區域面積為 ____。

載入中...

設

a > 0

，

A (a)

表示

x

軸、

y

軸、直線

x = a

與函數

y = sin (π x) + 1

的圖形所圍成區域的面積，求

A (\frac{3}{2}) - A (\frac{1}{2}) =

____。

已知

cos (α - β) = \frac{1}{2}

，

cos (α + β) = \frac{1}{3}

，求

tan α tan β =

____。

設

y = 3 sin x - cos x + 1

且

0 \leq x < 2 π

，則在

x = θ

時，

y

有最小值

m

，求

(θ, m) =

____。

坐標平面上，以原點

O

為圓心的圓上有三個相異點

A (1, 0)

，

B

，

C

，且

\overline{A B} = \overline{B C}

，已知銳角三角形

O A C

的面積為

\frac{12}{25}

，求

△ O A B

的面積為 ____。

求方程式

sin x = sin 9

的最小正實數解為 ____。

若

θ = 1 8^{\circ}

，則

5 θ = 9 0^{\circ}

。已知

sin 1 8^{\circ} = \frac{5 - 1}{4}

，求

sin 5 4^{\circ} =

____。

函數

f (x) = sin (a x + \frac{π}{4}) + b

，已知

a > 0

且

f (x)

的週期為

T

，若

π < T < 2 π

，且

y = f (x)

的圖形關於點

(π, 1)

對稱，即點

(π, 1)

可為其對稱中心，則

(a, b) =

____。

a

，

b

為實數，方程式

3 sin x + cos x = k

在

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

的範圍內有兩個相異的實數解，則

a \leq k < b

，求數對

(a, b) =

____。

設

0 \leq x < 2 π

，不等式

sin x < sin \frac{x}{2}

且

cos x < cos \frac{x}{2}

的解為

aπ < x < bπ

，其中

a

，

b

為實數，則

b - a =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(1)

第 3 題(3)

第 4 題(5)

第 5 題(4)

第 6 題(2)(3)

第 7 題(1)(4)(5)

第 8 題(1)(4)

第 9 題

\frac{π}{3} - \frac{3}{4}

第 10 題

1

第 11 題

\frac{1}{5}

第 12 題

(\frac{5 π}{3}, - 1)

第 13 題

\frac{3}{10}

第 14 題

3 π - 9

第 15 題

\frac{1 + 5}{4}

第 16 題

(\frac{7}{4}, 1)

第 17 題

(3, 2)

第 18 題

\frac{2}{3}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題 1～5：扇形、遞增區間、交點個數、夾角、疊合

第 1 題答案 (2)。設半徑

r

、圓心角

θ

（弧度）。周長

2 r + r θ = 8

，所以弧長

r θ = 8 - 2 r

；面積

\frac{1}{2} r \cdot r θ = 4

，代入得

\frac{1}{2} r (8 - 2 r) = 4

，即

r^{2} - 4 r + 4 = 0

，

(r - 2)^{2} = 0

，

r = 2

（此時

θ = 2

）。

面積用

\frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長，直接把弧長換成

8 - 2 r

，不必先求圓心角。

第 2 題答案 (1)。

y = sin t

在

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

遞增。令

t = x - \frac{π}{6}

，得

- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{2 π}{3}

；加上週期

2 π

，下一段是

\frac{5 π}{3} \leq x \leq \frac{8 π}{3}

。(1)

(0, \frac{π}{2})

整段落在

[- \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]

內，遞增。(2)(3) 落在

\frac{2 π}{3}

到

\frac{5 π}{3}

的遞減段。(4) 在

x = \frac{5 π}{3}

才由遞減轉為遞增，(5) 在

x = \frac{2 π}{3}

由遞增轉為遞減，都不是整段遞增。

係數

3

是正的，只改變振幅，不影響遞增、遞減的區間。

第 3 題答案 (3)。直線是

y = 1 - x

，遞減；

y = tan x

在

0 < x < 2 π

分成三段，每段都遞增。

0 < x < \frac{π}{2}

：

tan x

由

0

增到無限大，直線由

1

降到

1 - \frac{π}{2}

，一開始直線在上、後來在下，恰交

1

點。

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

：

tan x

由負無限大增到正無限大，恰交

1

點。

\frac{3 π}{2} < x < 2 π

：

tan x

由負無限大增到

0

，而直線在這段的值介於

1 - 2 π

與

1 - \frac{3 π}{2}

之間，都是負的，到右端時

tan x

接近

0

已在直線上方，恰交

1

點。共

3

個交點。

最後一段最容易漏：直線在那裡的高度大約是

- 3.7

到

- 5.3

，正切圖形由下往上一定會穿過它。

第 4 題答案 (5)。

L_{1}

的斜率

m_{1} = - 2

，

L_{2}

的斜率

m_{2} = 1

。設兩直線的斜角為

θ_{1}

、

θ_{2}

，由正切的差角公式

tan (θ_{1} - θ_{2}) = \frac{m _{1} - m _{2}}{1 + m _{1} m _{2}} = \frac{- 2 - 1}{1 + ( - 2 ) ( 1 )} = \frac{- 3}{- 1} = 3

。值為正，就是銳夾角的正切，

tan θ = 3

。

算出來若是負的，表示算到鈍夾角，取絕對值就是銳夾角的正切。

第 5 題答案 (4)。

9^{2} + 4 0^{2} = 41

。取銳角

φ

使

cos φ = \frac{9}{41}

、

sin φ = \frac{40}{41}

，則

f (x) = 41 (cos x cos φ - sin x sin φ) = 41 cos (x + φ)

。最大值

41

發生在

x + φ = 2 π

，即

θ = 2 π - φ

；因為

0 < φ < \frac{π}{2}

，所以

\frac{3 π}{2} < θ < 2 π

。

檢查：此時

cos θ = \frac{9}{41} > 0

、

sin θ = - \frac{40}{41} < 0

，確實在第四象限，而且兩者都不是

0

，所以 (5) 不對。

02多選題 6～8：疊合後的圖形、倍角不等式、平移

第 6 題答案 (2)(3)。疊合：

f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

。(1) 錯：週期是

2 π

。(2) 對：振幅

2

。(3) 對：

f (0) = sin 0 + cos 0 = 1

。(4) 錯：奇函數必須

f (0) = 0

，但

f (0) = 1

。(5) 錯：

f (\frac{π}{2}) = 1

，

f (- \frac{π}{2}) = - 1

，兩者不相等。

第 7 題答案 (1)(4)(5)。

0 < x < \frac{π}{2}

時

0 < 2 x < π

。(1) 對：

sin 2 x > 0

。(2) 錯：

x = \frac{π}{3}

時

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

。(3) 錯：左邊是

cos 2 x

，

x = \frac{π}{12}

時

cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2} > \frac{1}{2}

。(4) 對：

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x \leq \frac{1}{2}

。(5) 對：

sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4}) \leq 2

，而

(2)^{2} = 2 < \frac{9}{4}

，所以

2 < \frac{3}{2}

。

「恆成立」只要找到一個反例就不成立；(2)(3) 各舉一個角代入即可。

第 8 題答案 (1)(4)。向左平移

\frac{π}{2}

是把

x

換成

x + \frac{π}{2}

：

y = sin 3 (x + \frac{π}{2}) = sin (3 x + \frac{3 π}{2})

，就是 (4)。又

sin (3 x + \frac{3 π}{2}) = - cos 3 x

。(1)

sin (3 x - \frac{π}{2}) = - cos 3 x

，相同（角度差

2 π

）。(2)

sin (3 x + \frac{π}{2}) = cos 3 x

，不同。(3)

sin (3 x - \frac{3 π}{2}) = sin (3 x + \frac{π}{2}) = cos 3 x

，不同。(5)

cos 3 x

，不同。

平移是對

x

加減，括號要包住整個

x + \frac{π}{2}

再乘

3

，寫成

sin (3 x + \frac{π}{2})

就少乘了。

看到

a sin x + b cos x

先疊合，週期、振幅、極值、範圍一次看完；判斷兩個式子是不是同一個圖形，都化成

\pm sin

或

\pm cos

再比。

03填充 9～13：扇形面積、對稱性、和差角、疊合、半角

第 9 題

\overline{A P} = \overline{B P} = \overline{A B} = 1

，所以

△ A B P

是正三角形，

∠ P A B = ∠ P B A = \frac{π}{3}

。陰影區域可看成「以

A

為圓心的扇形

A B P

」與「以

B

為圓心的扇形

B A P

」疊在一起，兩個扇形重疊的部分正好是

△ A B P

。每個扇形面積

\frac{1}{2} \cdot 1^{2} \cdot \frac{π}{3} = \frac{π}{6}

，正三角形面積

\frac{3}{4}

。陰影面積

= \frac{π}{6} + \frac{π}{6} - \frac{3}{4} = \frac{π}{3} - \frac{3}{4}

。

載入中...

兩個扇形相加時三角形被算了兩次，要減掉一次。

第 10 題

y = sin (π x) + 1 \geq 0

，所以

A (\frac{3}{2}) - A (\frac{1}{2})

就是圖形下方、

x

軸上方，介於

x = \frac{1}{2}

與

x = \frac{3}{2}

之間的面積。令

x = 1 + t

：

y = 1 - sin (π t)

；令

x = 1 - t

：

y = 1 + sin (π t)

。兩個高度的和恆為

2

，表示圖形對稱於點

(1, 1)

。因此在

\frac{1}{2} \leq x \leq 1

這段比

y = 1

高出的部分，繞點

(1, 1)

轉半圈後，正好補滿

1 \leq x \leq \frac{3}{2}

這段比

y = 1

低的缺口。面積等於寬

1

、高

1

的長方形，為

1

。

這個範圍不需要算曲線下的面積，靠對稱中心把圖形補成長方形即可。

第 11 題

cos α cos β + sin α sin β = \frac{1}{2}

，

cos α cos β - sin α sin β = \frac{1}{3}

。兩式相加除以

2

：

cos α cos β = \frac{5}{12}

；相減除以

2

：

sin α sin β = \frac{1}{12}

。所以

tan α tan β = \frac{sin α sin β}{cos α cos β} = \frac{1/12}{5/12} = \frac{1}{5}

。

第 12 題

3 sin x - cos x = 2 (sin x cos \frac{π}{6} - cos x sin \frac{π}{6}) = 2 sin (x - \frac{π}{6})

，所以

y = 2 sin (x - \frac{π}{6}) + 1

。

0 \leq x < 2 π

時

- \frac{π}{6} \leq x - \frac{π}{6} < \frac{11 π}{6}

，在

x - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}

時正弦取到

- 1

，即

θ = \frac{5 π}{3}

，

m = 2 (- 1) + 1 = - 1

。答案

(\frac{5 π}{3}, - 1)

。

最後的

+ 1

不要漏；最小值是

- 2 + 1 = - 1

。

第 13 題圓過

A (1, 0)

，半徑為

1

。設

∠ A O C = φ

，

△ O A C

的面積

\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot sin φ = \frac{12}{25}

，

sin φ = \frac{24}{25}

；三角形是銳角三角形，

φ

為銳角，

cos φ = \frac{7}{25}

。弦

\overline{A B} = \overline{B C}

表示

B

把弧

A C

平分：

B

在劣弧上時

∠ A O B = \frac{φ}{2}

，在優弧上時

∠ A O B = π - \frac{φ}{2}

，兩種情形的正弦值都是

sin \frac{φ}{2}

。由半角公式

sin \frac{φ}{2} = \frac{1 - cos φ}{2} = \frac{9}{25} = \frac{3}{5}

。

△ O A B

的面積

= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{10}

。

B

有兩個可能的位置，但

sin (π - \frac{φ}{2}) = sin \frac{φ}{2}

，面積相同，答案只有一個。

04填充 14～18：弧度的位置、二倍角、對稱中心、解的個數、聯立不等式

第 14 題這裡的

9

是

9

弧度。

sin x = sin 9

的解是

x = 9 + 2 k π

或

x = (π - 9) + 2 k π

（

k

為整數）。因為

2 π \approx 6.28

、

3 π \approx 9.42

：第一類的最小正解是

9 - 2 π \approx 2.72

；第二類的最小正解是

π - 9 + 2 π = 3 π - 9 \approx 0.42

。比較後最小正實數解為

3 π - 9

。

3 π - 9

介於

0

與

\frac{π}{2}

之間，比它更小的正數正弦值都比較小，不會再有解。

第 15 題

5 4^{\circ} + 3 6^{\circ} = 9 0^{\circ}

，所以

sin 5 4^{\circ} = cos 3 6^{\circ}

。由二倍角公式

cos 3 6^{\circ} = 1 - 2 sin^{2} 1 8^{\circ} = 1 - 2 \cdot \frac{( 5 - 1 ) ^{2}}{16} = 1 - \frac{6 - 2 5}{8} = 1 - \frac{3 - 5}{4} = \frac{1 + 5}{4}

。

5 4^{\circ} = 3 \times 1 8^{\circ}

，也可以用三倍角公式，但換成

cos 3 6^{\circ}

只要一次二倍角。

第 16 題週期

T = \frac{2 π}{a}

，由

π < \frac{2 π}{a} < 2 π

得

1 < a < 2

。

y = sin (a x + \frac{π}{4}) + b

的對稱中心都在中線

y = b

上，而且是

sin (a x + \frac{π}{4}) = 0

的點。所以

b = 1

，且

aπ + \frac{π}{4} = k π

（

k

為整數），

a = k - \frac{1}{4}

。配合

1 < a < 2

，只有

k = 2

，

a = \frac{7}{4}

。答案

(\frac{7}{4}, 1)

。

對稱中心是圖形與中線的交點，不是最高點或最低點（那些是對稱軸的位置）。

第 17 題

3 sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{6})

。令

t = x + \frac{π}{6}

，

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

時

\frac{π}{6} \leq t \leq \frac{2 π}{3}

。

2 sin t

在

t

由

\frac{π}{6}

到

\frac{π}{2}

時由

1

增到

2

，再由

\frac{π}{2}

到

\frac{2 π}{3}

時由

2

降到

3

。水平線

y = k

要與這段圖形交於兩點，必須上升段與下降段各交一點：

3 \leq k < 2

。（

k = 3

時

x = \frac{π}{6}

、

\frac{π}{2}

兩解；

k = 2

時只有

x = \frac{π}{3}

一解。）所以

(a, b) = (3, 2)

。

兩個端點的高度不同（

1

與

3

），下界要取較高的那個

3

，而且取得到。

第 18 題

x = 0

時

sin 0 < sin 0

不成立，以下看

0 < x < 2 π

，此時

0 < \frac{x}{2} < π

，

sin \frac{x}{2} > 0

。第一式：

2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} < sin \frac{x}{2}

，兩邊同除以正數

sin \frac{x}{2}

，得

cos \frac{x}{2} < \frac{1}{2}

，即

\frac{x}{2} > \frac{π}{3}

，

x > \frac{2 π}{3}

。第二式：令

c = cos \frac{x}{2}

，

2 c^{2} - 1 < c

，

(2 c + 1) (c - 1) < 0

，

- \frac{1}{2} < c < 1

，即

0 < \frac{x}{2} < \frac{2 π}{3}

，

x < \frac{4 π}{3}

。兩式同時成立：

\frac{2 π}{3} < x < \frac{4 π}{3}

，

a = \frac{2}{3}

、

b = \frac{4}{3}

，

b - a = \frac{2}{3}

。

除以

sin \frac{x}{2}

之前要先確認它是正的，不等號才不會變向。

弧度制的題目先估出角落在哪兩個

π

的倍數之間；解的個數與不等式都先換成單一個三角函數，再看圖形或單位圓。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

中山女高 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

中山女高 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自中山女高 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

中山女高 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 18 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選題 1～5：扇形、遞增區間、交點個數、夾角、疊合

02多選題 6～8：疊合後的圖形、倍角不等式、平移

03填充 9～13：扇形面積、對稱性、和差角、疊合、半角

04填充 14～18：弧度的位置、二倍角、對稱中心、解的個數、聯立不等式

同一次段考的其他學校

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常見問題

中山女高 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

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02多選題 6～8：疊合後的圖形、倍角不等式、平移

03填充 9～13：扇形面積、對稱性、和差角、疊合、半角

04填充 14～18：弧度的位置、二倍角、對稱中心、解的個數、聯立不等式

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中山女高 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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