段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數及其圖形、對數與對數律、換底公式、常用對數、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

苑裡高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 苑裡高中 112 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 苑裡高中 112 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

填充 C 題底數三分之一小於 1，不等號要反向；填充 E 題底數不可等於 1，要排除 x 等於 2；填充 K 題要與真數條件 x 大於 3 取交集；填充 M 題 a 可以是負數與 0，範圍要從負 3 到 9；多選第 2 題要算出直線 AC 在 x 等於 0 的高度才能判斷 B 在下方。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

單一選擇題 4 題，每題 4 分，共 16 分；多重選擇題 3 題，每題 6 分，每錯一個選項扣 2 分，錯三個選項以上者則該題扣 6 分，共 18 分；填充題 A～N 共 14 題（H 題兩格），共 60 分，答對格數之分數計算依答案卷上之配分說明；計算題 2 小題，每小題 4 分，共 8 分。本頁題號全卷連續：第 1～4 題是單選題，第 5～7 題是多選題第 1～3 題，第 8～21 題是填充題 A～N，第 22 題是計算題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單一選擇題（每題 4 分，共 16 分）

下列哪一個數最小？

(A) $(0.5)^{- 2}$
(B) $(0.5)^{- 5}$
(C) $(0.5)^{- 3}$
(D) $(0.5)^{- 1.5}$
(E) $(0.5)^{- 0.5}$

試求

\frac{lo g 64}{lo g 12 - lo g 6} =

？

(A) $2$
(B) $3$
(C) $4$
(D) $5$
(E) $6$

設下列選項中有一個是

y = lo g_{0.6} x

的圖形，選出正確的選項？

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)
(E) 以上皆非

載入中...

某物質的半衰期為

90

天，若在一開始，質量為

16

公斤，則一年後，該物質的質量約為多少公克？請選出最接近的選項。

(A) $2000$
(B) $1000$
(C) $500$
(D) $250$
(E) $125$

二、多重選擇題（每題 6 分，共 18 分）

請問下列哪些選項是正確的？

(A) 若點 $(- 100, k)$ 在 $y = 2^{x}$ 的圖形上，則 $k > 0$
(B) 指數函數 $y = (0.99)^{x}$ 的圖形與 $y = 100$ 不相交
(C) 對數函數 $y = lo g x$ 的圖形是凹口向上
(D) 對數函數 $y = lo g x$ 的圖形與指數函數 $y = 1 0^{x}$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
(E) $lo g 0.9 < lo g 0.8$

坐標平面上，在函數圖形上，

y = 2^{x}

標示

A

、

B

、

C

、

D

四個點，其

x

坐標分別為

- 1

、

0

、

1

、

2

。請選出正確的選項。

(A) 點 $B$ 落在直線 $A C$ 上方
(B) 在直線 $A B$ 、直線 $B C$ 、直線 $C D$ 中，以直線 $C D$ 的斜率最大
(C) $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四個點，以點 $A$ 最靠近 $x$ 軸
(D) 直線 $y = 2 x$ 與 $y = 2^{x}$ 的圖形有兩個交點
(E) 點 $A$ 與點 $C$ 對稱於 $y$ 軸

已知

(a, b)

是對數函數

y = lo g x

圖形上一點，問：下列哪些選項中的點也會在

y = lo g x

的圖形上？

(A) $(0, 1)$
(B) $(1, 0)$
(C) $(10 a, b + 1)$
(D) $(\frac{1}{a}, 1 - b)$
(E) $(a^{2}, 2 b)$

三、填充題（共 60 分）

解下列方程式

2 5^{x + 1} = (\frac{5}{5})^{3}

，則

x =

____。

利用指數函數嚴格遞增（減）的特性，比較

a = (0.09)^{0.5}

，

b = 0.3

，

c = (\frac{10}{3})^{- \frac{3}{2}}

三數的大小關係 ____。

解不等式

(\frac{1}{3})^{x^{2} - x} \leq (\frac{1}{9})^{2 x + 3}

，則

x

之範圍為 ____。

鉛製容器中有兩種質量相同的放射性物質甲與乙，且甲的半衰期為

40

小時。已知經過

120

小時後甲的質量為乙的兩倍，求乙的半衰期為 ____ 小時。（即質量變成原來的一半所花的時間）

lo g_{(x - 1)} (5 - 2 x)

有意義，求

x

的範圍 ____。

做某項試驗共有三種可能的結果，其發生的機率分別為

lo g_{4} k

、

lo g_{8} k

、

lo g_{64} k

、求實數

k

的值 ____。

設

x = lo g 5

，求

10 0^{x} - 0. 1^{x} =

____。

(1)

lo g \frac{4}{7} + \frac{1}{2} lo g 49 - \frac{4}{3} lo g 8 =

____。 (2)

lo g_{2} 3 \times lo g_{7} 8 \times lo g_{3} 7 =

____。

解方程式

lo g x + lo g (x - 5) = lo g 2 + lo g 3

，得

x =

____。

下圖為

y = lo g_{4} x

的圖形。設

P

、

Q

分別為直線

x = 8

、

y = \frac{1}{2}

與

y = lo g_{4} x

的交點，求直線

P Q

的斜率 ____。

載入中...

解不等式

lo g (x - 1) + lo g (x - 3) < 3 lo g 2

，得

x

的範圍為 ____。

比較

a = 1

，

b = \frac{1}{2} lo g 25

，

c = 2 lo g 3

三數的大小關係 ____。

在坐標平面上，

Γ

是邊長為

4

的正方形，其中心位在點

(1, 1)

，且各邊與坐標軸平行。已知函數

y = a \times 3^{x}

的圖形與

Γ

相交，其中

a

為實數，則

a

的最大可能範圍為 ____。

宗哥來國苑教書已經

22

年了，好不容易累積了一筆資產，為了想要早日財富自由退休，決定將所有資產 all in ETF 當存股族。假設 ETF 每年年化報酬有

10%

的獲利。將此獲利再投入 EFF，希望利用複利讓資產翻倍再翻倍，屆時才能安心退休，則宗哥至少需要再教 ____ 幾年（取整數）才能退休。（已知

lo g 1.1 \approx 0.0414

，

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）。

四、計算題（8 分）

音量

s

（分貝）與聲音強度

w

（瓦特）的關係式如下：

s = 10 lo g (\frac{w}{1 0 ^{- 12}})

《琵琶行》中提到「大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私語」。設急雨的音量為

60

分貝，私語的音量為

40

分貝。試回答下列問題：（分） (1) 「小弦切切」的聲音強度為多少瓦特？（4 分） (2) 試問「大弦嘈嘈」的聲音強度為「小弦切切」聲音強度的幾倍？（4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(E)

第 3 題(D)

第 4 題(B)

第 5 題(A)(D)

第 6 題(B)(C)(D)

第 7 題(B)(C)(E)

第 8 題

- \frac{7}{4}

第 9 題

b > a > c

第 10 題

x \leq - 1

或

x \geq 6

第 11 題

30

第 12 題

1 < x < \frac{5}{2}

，但

x \neq = 2

第 13 題

2

第 14 題

\frac{124}{5}

第 15 題(1)

0

　(2)

6

第 16 題

6

第 17 題

\frac{1}{6}

第 18 題

3 < x < 5

第 19 題

b < c < a

第 20 題

- 3 \leq a \leq 9

第 21 題

15

第 22 題(1)

1 0^{- 8}

瓦特　(2)

100

倍

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單一選擇題：比較指數大小、對數律、對數函數圖形、半衰期

第 1 題答案 (E)。

0.5 = \frac{1}{2} = 2^{- 1}

，所以

(0.5)^{- t} = 2^{t}

。五個數依序是

2^{2}

、

2^{5}

、

2^{3}

、

2^{1.5}

、

2^{0.5}

。底數

2 > 1

，

y = 2^{x}

嚴格遞增，指數越小值越小。

5 \approx 2.24

、

3 \approx 1.73

，五個指數中最小的是

0.5

，所以最小的是

(0.5)^{- 0.5}

。

由小到大是

(0.5)^{- 0.5} < (0.5)^{- 1.5} < (0.5)^{- 3} < (0.5)^{- 2} < (0.5)^{- 5}

。

第 2 題答案 (E)。分母

lo g 12 - lo g 6 = lo g \frac{12}{6} = lo g 2

；分子

lo g 64 = lo g 2^{6} = 6 lo g 2

。所以原式

= \frac{6 lo g 2}{lo g 2} = 6

。

第 3 題答案 (D)。

y = lo g_{0.6} x

是對數函數：定義域是

x > 0

，圖形整個在

y

軸右邊，並且通過

(1, 0)

；底數

0.6

介於

0

與

1

之間，所以由左往右下降。圖 (A)、圖 (B) 在

y

軸兩邊都有圖形，而且整個在

x

軸上方，是指數函數的樣子。圖 (C) 只在

y

軸右邊、穿過

x

軸，但由左往右上升，是底數大於

1

的對數函數。圖 (D) 只在

y

軸右邊、穿過

x

軸，由左往右下降，符合

y = lo g_{0.6} x

。

第 4 題答案 (B)。

16

公斤

= 16000

公克。每經過

90

天質量變為一半，一年（

365

天）後質量為

16000 \times (\frac{1}{2})^{\frac{365}{90}}

公克。

360

天恰為

4

個半衰期，

16000 \times (\frac{1}{2})^{4} = 1000

；一年比

360

天多

5

天，質量比

1000

公克再少一些。用常用對數估計：

lo g (16000 \times 2^{- \frac{365}{90}}) = lo g 16 + 3 - \frac{365}{90} lo g 2 \approx 1.2041 + 3 - 1.2208 = 2.9833

，質量約

1 0^{2.9833} \approx 962

公克，最接近

1000

。

化成同底數後只比指數；對數函數的圖形只在 y 軸右邊、通過 (1,0)，底數小於 1 時由左往右下降。

02多重選擇題：指數與對數函數圖形的性質

第 5 題

答案 (A)(D)。

(A) 正確。 $k = 2^{- 100}$ ，指數函數的值恆為正，所以 $k > 0$ 。

(B) 錯誤。 $y = (0.99)^{x}$ 的值域是所有正數， $100$ 是正數，所以有 $x$ 使 $(0.99)^{x} = 100$ （ $x = lo g_{0.99} 100$ ，是負數），兩圖形相交。

(D) 正確。 $y = lo g x$ 與 $y = 1 0^{x}$ 互為反函數， $(p, q)$ 在 $y = 1 0^{x}$ 上等價於 $(q, p)$ 在 $y = lo g x$ 上，兩圖形對稱於直線 $y = x$ 。

(E) 錯誤。 $y = lo g x$ 嚴格遞增， $0.9 > 0.8$ ，所以 $lo g 0.9 > lo g 0.8$ 。

(B) 只要水平線在

x

軸上方，就會與任一個指數函數

y = a^{x}

（

a > 0

，

a \neq = 1

）的圖形交於一點。

第 6 題

答案 (B)(C)(D)。四點為 $A (- 1, \frac{1}{2})$ 、 $B (0, 1)$ 、 $C (1, 2)$ 、 $D (2, 4)$ 。

(A) 錯誤。 直線 $A C$ 的斜率 $\frac{2 - \frac{1}{2}}{1 - ( - 1 )} = \frac{3}{4}$ ，在 $x = 0$ 時的 $y$ 坐標是 $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \times 1 = \frac{5}{4}$ ；點 $B$ 的 $y$ 坐標 $1 < \frac{5}{4}$ ， $B$ 在直線 $A C$ 下方。

(B) 正確。 斜率依序為 $A B$ ： $\frac{1 - \frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}$ ， $B C$ ： $\frac{2 - 1}{1} = 1$ ， $C D$ ： $\frac{4 - 2}{1} = 2$ ，以 $C D$ 最大。

(D) 正確。 $x = 1$ 時 $2 x = 2 = 2^{1}$ ， $x = 2$ 時 $2 x = 4 = 2^{2}$ ，所以 $(1, 2)$ 、 $(2, 4)$ 都是交點。 $x < 1$ 時， $x \leq 0$ 的部分 $2 x \leq 0 < 2^{x}$ ； $0 < x < 1$ 時直線在 $y = 2^{x}$ 下方（例如 $x = \frac{1}{2}$ 時 $2 x = 1 < 2$ ）； $x > 2$ 時 $2^{x}$ 每增加 $1$ 就加倍，增加得比直線快。由圖形看，兩者恰有這兩個交點。

(E) 錯誤。 對稱於 $y$ 軸的兩點 $y$ 坐標要相同，而 $A$ 、 $C$ 的 $y$ 坐標 $\frac{1}{2} \neq = 2$ 。

(A) 也可以由圖形看：

y = 2^{x}

的圖形凹口向上，弦

A C

在曲線上方，所以曲線上的

B

在直線

A C

下方。

第 7 題

答案 (B)(C)(E)。 $(a, b)$ 在圖形上，表示 $a > 0$ 且 $b = lo g a$ 。

(A) 錯誤。 真數必須為正， $lo g 0$ 沒有意義， $(0, 1)$ 不在圖形上。

(B) 正確。 $lo g 1 = 0$ 。

(D) 錯誤。 $lo g \frac{1}{a} = - lo g a = - b$ ，而 $- b \neq = 1 - b$ 。

(E) 正確。 $a > 0$ ， $lo g a^{2} = 2 lo g a = 2 b$ 。

判斷一個點在不在 y=log x 上，就把它的 x 坐標取對數，用對數律化成 b 的式子，看是否等於它的 y 坐標。

03填充題 A～D：指數方程式、比大小、指數不等式、半衰期

第 8 題化成以

5

為底：

2 5^{x + 1} = 5^{2 x + 2}

；

\frac{5}{5} = \frac{5 ^{\frac{1}{2}}}{5} = 5^{- \frac{1}{2}}

，所以右邊

= 5^{- \frac{3}{2}}

。底數相同，指數相等：

2 x + 2 = - \frac{3}{2}

，

x = - \frac{7}{4}

。

代回檢查：左邊

2 5^{- \frac{3}{4}} = 5^{- \frac{3}{2}}

，與右邊相同。

第 9 題都化成以

0.3

為底：

a = (0.09)^{0.5} = (0. 3^{2})^{0.5} = 0. 3^{1}

；

b = 0.3 = 0. 3^{\frac{1}{2}}

；

c = (\frac{10}{3})^{- \frac{3}{2}} = (\frac{3}{10})^{\frac{3}{2}} = 0. 3^{\frac{3}{2}}

。底數

0.3

介於

0

與

1

之間，

y = 0. 3^{x}

嚴格遞減，指數越大值越小。指數

\frac{1}{2} < 1 < \frac{3}{2}

，所以

b > a > c

。

數值約為

a = 0.3

、

b \approx 0.548

、

c \approx 0.164

。

第 10 題

(\frac{1}{9})^{2 x + 3} = (\frac{1}{3})^{4 x + 6}

，原式為

(\frac{1}{3})^{x^{2} - x} \leq (\frac{1}{3})^{4 x + 6}

。底數

\frac{1}{3}

介於

0

與

1

之間，

y = (\frac{1}{3})^{x}

嚴格遞減，所以不等號要反向：

x^{2} - x \geq 4 x + 6

，

x^{2} - 5 x - 6 \geq 0

，

(x - 6) (x + 1) \geq 0

，得

x \leq - 1

或

x \geq 6

。

底數小於

1

時，比較指數要把不等號反過來，這是最常錯的地方。原卷此題題幹後方另印了一個與本題無關的分段函數

f (x)

，應為誤植，本頁略去。

第 11 題甲的半衰期

40

小時，

120

小時是

3

個半衰期，甲剩下原來的

(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}

。甲是乙的兩倍，所以乙剩下原來的

\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{4}

，表示

120

小時內乙經過了

4

個半衰期，乙的半衰期為

120 \div 4 = 30

小時。

兩種物質一開始質量相同，所以可以直接比較「剩下原來的幾分之幾」。

指數不等式先化成同底數：底數大於 1 不等號不變，底數介於 0 與 1 之間不等號反向。

04填充題 E～H：對數的限制、換底公式、指對互換、對數律

第 12 題

lo g_{(x - 1)} (5 - 2 x)

要有意義：底數

x - 1 > 0

且

x - 1 \neq = 1

，真數

5 - 2 x > 0

。由

x - 1 > 0

得

x > 1

；由

x - 1 \neq = 1

得

x \neq = 2

；由

5 - 2 x > 0

得

x < \frac{5}{2}

。合起來

1 < x < \frac{5}{2}

，但

x \neq = 2

。

底數不可以是

1

，這一條最容易漏掉。

第 13 題三種結果的機率和為

1

：

lo g_{4} k + lo g_{8} k + lo g_{64} k = 1

。用換底公式化成以

2

為底：

lo g_{4} k = \frac{lo g _{2} k}{2}

，

lo g_{8} k = \frac{lo g _{2} k}{3}

，

lo g_{64} k = \frac{lo g _{2} k}{6}

。令

t = lo g_{2} k

，得

\frac{t}{2} + \frac{t}{3} + \frac{t}{6} = t = 1

，所以

k = 2^{1} = 2

。

檢查：三個機率依序是

\frac{1}{2}

、

\frac{1}{3}

、

\frac{1}{6}

，都介於

0

與

1

之間，和為

1

。

第 14 題

x = lo g 5

即

1 0^{x} = 5

。

10 0^{x} = (1 0^{x})^{2} = 25

；

0. 1^{x} = (1 0^{- 1})^{x} = (1 0^{x})^{- 1} = \frac{1}{5}

。所以

10 0^{x} - 0. 1^{x} = 25 - \frac{1}{5} = \frac{124}{5}

。

第 15 題

(1) $\frac{1}{2} lo g 49 = lo g 4 9^{\frac{1}{2}} = lo g 7$ ； $\frac{4}{3} lo g 8 = \frac{4}{3} lo g 2^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} lo g 2 = 2 lo g 2 = lo g 4$ 。原式 $= lo g \frac{4}{7} + lo g 7 - lo g 4 = lo g (\frac{4}{7} \times 7 \div 4) = lo g 1 = 0$ 。

(2) 用換底公式化成常用對數： $lo g_{2} 3 = \frac{lo g 3}{lo g 2} = \frac{lo g 3}{\frac{1}{2} lo g 2}$ ， $lo g_{7} 8 = \frac{lo g 8}{lo g 7} = \frac{3 lo g 2}{lo g 7}$ ， $lo g_{3} 7 = \frac{lo g 7}{lo g 3}$ 。三者相乘， $lo g 3$ 、 $lo g 7$ 約掉，得 $\frac{3 lo g 2}{\frac{1}{2} lo g 2} = 6$ 。

(2) 也可以先把順序換成

lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 7 \times lo g_{7} 8 = lo g_{2} 8

，再由

(2)^{6} = 8

得

6

。

對數連乘先用換底公式寫成分數，中間的對數會互相約掉；指對互換時把 x 等於 log 5 讀成 10 的 x 次方等於 5。

05填充題 I～L：對數方程式、對數函數圖形、對數不等式、比大小

第 16 題真數要為正：

x > 0

且

x - 5 > 0

，所以

x > 5

。原式化為

lo g x (x - 5) = lo g 6

，

y = lo g x

是一對一函數，所以

x (x - 5) = 6

，

x^{2} - 5 x - 6 = 0

，

(x - 6) (x + 1) = 0

，

x = 6

或

x = - 1

。只有

x = 6

滿足

x > 5

，所以

x = 6

。

x = - 1

代回時

lo g (- 1)

沒有意義，要捨去。

第 17 題

P

在直線

x = 8

上，又在

y = lo g_{4} x

上，所以

y = lo g_{4} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 4} = \frac{3}{2}

，

P (8, \frac{3}{2})

。

Q

在直線

y = \frac{1}{2}

上，由

lo g_{4} x = \frac{1}{2}

得

x = 4^{\frac{1}{2}} = 2

，

Q (2, \frac{1}{2})

。直線

P Q

的斜率

= \frac{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}{8 - 2} = \frac{1}{6}

。

題目附圖的比例是示意的，斜率要用坐標算，不能從圖上量。

第 18 題真數要為正：

x - 1 > 0

且

x - 3 > 0

，所以

x > 3

。

3 lo g 2 = lo g 8

，原式化為

lo g (x - 1) (x - 3) < lo g 8

。

y = lo g x

嚴格遞增，所以

(x - 1) (x - 3) < 8

，

x^{2} - 4 x - 5 < 0

，

(x - 5) (x + 1) < 0

，

- 1 < x < 5

。與

x > 3

取交集，得

3 < x < 5

。

只解

- 1 < x < 5

而忘了真數條件，是這題最常見的錯。

第 19 題都寫成常用對數：

a = 1 = lo g 10

，

b = \frac{1}{2} lo g 25 = lo g 2 5^{\frac{1}{2}} = lo g 5

，

c = 2 lo g 3 = lo g 9

。

y = lo g x

嚴格遞增，

5 < 9 < 10

，所以

lo g 5 < lo g 9 < lo g 10

，即

b < c < a

。

解對數方程式與不等式，先寫出真數為正的條件，最後與解出來的範圍取交集。

06填充題 M～N：指數函數圖形與正方形、複利

第 20 題

正方形 $Γ$ 的中心為 $(1, 1)$ 、邊長為 $4$ 、各邊與坐標軸平行，所以 $Γ$ 佔有 $- 1 \leq x \leq 3$ 、 $- 1 \leq y \leq 3$ 的範圍，四邊在 $x = - 1$ 、 $x = 3$ 、 $y = - 1$ 、 $y = 3$ 上。

當 $a > 0$ ： $y = a \times 3^{x}$ 恆為正且嚴格遞增，在 $- 1 \leq x \leq 3$ 上最小值是 $x = - 1$ 時的 $\frac{a}{3}$ 。若 $\frac{a}{3} \leq 3$ ，即 $a \leq 9$ ，則點 $(- 1, \frac{a}{3})$ 落在左邊 $x = - 1$ 上 $0 < y \leq 3$ 的位置，圖形與 $Γ$ 相交；若 $a > 9$ ，在 $- 1 \leq x \leq 3$ 上 $y \geq \frac{a}{3} > 3$ ，整段在 $Γ$ 上方，不相交。

當 $a = 0$ ：圖形是直線 $y = 0$ ，穿過 $Γ$ ，相交。

當 $a < 0$ ： $y = a \times 3^{x}$ 恆為負且嚴格遞減，在 $- 1 \leq x \leq 3$ 上最接近 $0$ 的是 $x = - 1$ 時的 $\frac{a}{3}$ 。若 $\frac{a}{3} \geq - 1$ ，即 $a \geq - 3$ ，點 $(- 1, \frac{a}{3})$ 在左邊上，相交；若 $a < - 3$ ，整段 $y < - 1$ ，在 $Γ$ 下方，不相交。

合起來 $- 3 \leq a \leq 9$ 。

兩個端點都是圖形恰好通過正方形的頂點：

a = 9

時通過

(- 1, 3)

，

a = - 3

時通過

(- 1, - 1)

。

第 21 題每年獲利

10%

再投入，

n

年後資產變為原來的

(1.1)^{n}

倍。「翻倍再翻倍」是變成原來的

4

倍，要

(1.1)^{n} \geq 4

。兩邊取常用對數：

n lo g 1.1 \geq lo g 4 = 2 lo g 2

，

n \geq \frac{2 \times 0.3010}{0.0414} = \frac{0.6020}{0.0414} \approx 14.5

。

n

取整數，至少

15

年。

檢查：

(1.1)^{14} \approx 3.80 < 4

，

(1.1)^{15} \approx 4.18 \geq 4

。題目給的

lo g 3

這題用不到。題幹中的「EFF」照卷面原字，依題意指的是 ETF。

與正方形相交的題目，抓住曲線在正方形左右邊界上的高度；複利題寫成 1.1 的 n 次方，取對數解出 n 再取整數。

07計算題：分貝與聲音強度

第 22 題

(1) 私語的音量 $40$ 分貝： $40 = 10 lo g \frac{w}{1 0 ^{- 12}}$ ， $lo g \frac{w}{1 0 ^{- 12}} = 4$ ， $\frac{w}{1 0 ^{- 12}} = 1 0^{4}$ ，所以 $w = 1 0^{4} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 8}$ 。「小弦切切」的聲音強度為 $1 0^{- 8}$ 瓦特。

(2) 急雨的音量 $60$ 分貝： $60 = 10 lo g \frac{w}{1 0 ^{- 12}}$ ， $\frac{w}{1 0 ^{- 12}} = 1 0^{6}$ ， $w = 1 0^{- 6}$ 瓦特。 $\frac{1 0 ^{- 6}}{1 0 ^{- 8}} = 1 0^{2} = 100$ ，「大弦嘈嘈」的聲音強度是「小弦切切」的 $100$ 倍。

音量每多

10

分貝，聲音強度變成

10

倍；相差

20

分貝就是

1 0^{2} = 100

倍。

分貝公式先除以 10，再把對數改寫成 10 的次方；比較兩個強度時，指數相減就是倍數。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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苑裡高中 112 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 112 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

填充 C 題底數三分之一小於 1，不等號要反向；填充 E 題底數不可等於 1，要排除 x 等於 2；填充 K 題要與真數條件 x 大於 3 取交集；填充 M 題 a 可以是負數與 0，範圍要從負 3 到 9；多選第 2 題要算出直線 AC 在 x 等於 0 的高度才能判斷 B 在下方。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自苑裡高中 112 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

苑裡高中 112 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01單一選擇題：比較指數大小、對數律、對數函數圖形、半衰期

02多重選擇題：指數與對數函數圖形的性質

03填充題 A～D：指數方程式、比大小、指數不等式、半衰期

04填充題 E～H：對數的限制、換底公式、指對互換、對數律

05填充題 I～L：對數方程式、對數函數圖形、對數不等式、比大小

06填充題 M～N：指數函數圖形與正方形、複利

07計算題：分貝與聲音強度

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