段考詳解範圍：三角函數與指數函數（弧度量與同界角、弧長與扇形面積、弧度角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期、週期性數學模型、指數函數的圖形與指數方程式）

苑裡高中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 3 題，每題 3 分，共 9 分；多選題 3 題，每題 5 分，錯一個選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 15 分；基礎概念填空題 9 格，每格 2 分，共 18 分；填充題 10 題，每題 5 分，共 50 分；計算題 1 題，共 8 分。合計 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題：每題 3 分，共 9 分

a = sin 1

，

b = sin 2

，

c = sin 3

，

d = sin 4

，

e = sin 5

，最大值為

(1) $a$
(2) $b$
(3) $c$
(4) $d$
(5) $e$

把

y = sin x

的圖形向左平移

\frac{π}{4}

，再向上平移

2

單位，可得下列哪個函數的圖形？

(1) $y = sin (x - \frac{π}{4}) + 2$
(2) $y = sin (x + \frac{π}{4}) + 2$
(3) $y = sin (x + \frac{π}{4}) - 2$
(4) $y = sin (x - \frac{π}{4}) - 2$
(5) $y = sin (x + 2) + \frac{π}{4}$

12

弳為第幾象限角？

(1) 一
(2) 二
(3) 三
(4) 四

二、多選題：每題 5 分，錯一個選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 15 分

下列哪些可能為函數

y = a^{x}

的圖形？

載入中...

如右圖，為

y = a sin (b x + c) + d

一周期的圖形，

x

的單位為時間。已知

a < 0

，

b > 0

，

0 < c < 2 π

，下列敘述哪些是正確的？

(1) $a = - 4$
(2) $b = 3$
(3) $c = π$
(4) $d = - 1$
(5) 頻率 $= \frac{3}{2 π}$

載入中...

下列哪些為

\frac{1}{3} π

的同界角？

(1) $- \frac{5}{3} π$
(2) $- \frac{2}{3} π$
(3) $\frac{4}{3} π$
(4) $\frac{7}{3} π$
(5) $\frac{10}{3} π$

三、基礎概念填空題：每格 2 分，共 18 分

求下表中 (1)～(9) 各格的三角函數值。

sin cos tan \frac{π}{3} (1) (2) (3) \frac{3}{4} π (4) (5) (6) \frac{11}{6} π (7) (8) (9)

四、填充題：每題 5 分，共 50 分

6

弳的最大負同界角為 ____。

已知扇形的半徑為

5

，弧長為

20

，則該扇形的面積為 ____。

求

sin \frac{π}{4} \cdot cos \frac{4}{3} π + tan \frac{11}{6} π \cdot sin \frac{8}{3} π =

____。

y = 3 sin (x - \frac{π}{4}) + 1

的其中一條對稱軸方程式為

x = k

（

0 < k < π

），則

k =

____。

sin x = \frac{x}{8}

共有 ____ 個實數解。

已知

0 \leq x \leq 2 π

，則不等式

sin x \leq - \frac{3}{2}

的解為：____。

解方程式：

3^{x + 1} = 9^{2 x + 5}

：____。

解方程式：

2 \cdot 4^{x} - 7 \cdot 2^{x} - 4 = 0

：____。

如右圖為

y = a^{x}

、

y = b^{x}

、

y = c^{x}

、

y = d^{x}

的圖形，則

a

、

b

、

c

、

d

的大小關係為 ____。

載入中...

如右圖正方形

A B C D

，邊長為

10

，分別以

B

、

D

為圓心，以

10

為半徑畫弧，求鋪色區域面積為 ____。

載入中...

五、計算題：共 8 分

小明搭摩天輪，已知他是由摩天輪最低點搭上去的，

x

分鐘後，小明離地高度

y

（公尺）可以表示為

y = 15 sin (\frac{π}{9} x - \frac{π}{2}) + 17

，回答以下問題： i. 摩天輪半徑為？公尺（2 分） ii. 小明於幾分鐘後到達最高點？（2 分） iii. 旋轉

6

分鐘後，小明離地面多少公尺高？小明搭上摩天輪幾分鐘後第

2

次到達一樣高度？（4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(2)

第 3 題(4)

第 4 題(1)(3)

第 5 題(2)(3)(4)(5)

第 6 題(1)(4)

第 7 題(1)

\frac{3}{2}

　(2)

\frac{1}{2}

　(3)

3

　(4)

\frac{2}{2}

　(5)

- \frac{2}{2}

　(6)

- 1

　(7)

- \frac{1}{2}

　(8)

\frac{3}{2}

　(9)

- \frac{1}{3}

第 8 題

6 - 2 π

第 9 題

50

第 10 題

\frac{- 2 - 2}{4}

第 11 題

\frac{3}{4} π

第 12 題

7

第 13 題

\frac{4}{3} π \leq x \leq \frac{5}{3} π

第 14 題

x = - 3

第 15 題

x = 2

第 16 題

b < a < d < c

第 17 題

50 π - 100

第 18 題i.

15

公尺　ii.

9

分鐘後　iii.

\frac{49}{2}

公尺；

12

分鐘後

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：比較正弦值、圖形平移、弧度角的象限

第 1 題答案 (2)。

π \approx 3.14

，所以

1

、

2

、

3

都在

0

與

π

之間，正弦值為正；

4

、

5

在

π

與

2 π \approx 6.28

之間，正弦值為負。最大值只需比較

sin 1

、

sin 2

、

sin 3

。用

sin (π - θ) = sin θ

把角換到

0

與

\frac{π}{2}

之間：

sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.14

，

sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.14

。正弦函數在

0

到

\frac{π}{2} \approx 1.57

之間遞增，而

0.14 < 1 < 1.14 < 1.57

，所以

sin 3 < sin 1 < sin 2

，最大的是

b

。

這裡的

1

、

2

、…、

5

沒有度的記號，單位是弧度。數值約為

sin 1 \approx 0.84

、

sin 2 \approx 0.91

、

sin 3 \approx 0.14

、

sin 4 \approx - 0.76

、

sin 5 \approx - 0.96

。

第 2 題答案 (2)。向左平移

\frac{π}{4}

是把

x

換成

x + \frac{π}{4}

，得

y = sin (x + \frac{π}{4})

；再向上平移

2

單位是整個函數值加

2

，得

y = sin (x + \frac{π}{4}) + 2

。

向左平移是「

x

加」，向右平移才是「

x

減」。

第 3 題答案 (4)。

2 π \approx 6.28

，

12 - 2 π \approx 5.72

，所以

12

弳與約

5.72

弳的角同界。

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

2 π \approx 6.28

，而

4.71 < 5.72 < 6.28

，介於

\frac{3 π}{2}

與

2 π

之間，是第四象限角。

12

沒有超過

4 π \approx 12.57

，只能減一次

2 π

。

弧度角先用 π 約等於 3.14 判斷落在哪一段，再用正弦在那一段的正負與增減來比較。

02多選題：指數函數的圖形、由圖形決定正弦型函數、同界角

第 4 題答案 (1)(3)。

y = a^{x}

（

a > 0

）的函數值恆為正，圖形整個在

x

軸上方，並且通過

(0, 1)

；

a > 1

時由左往右上升，

0 < a < 1

時由左往右下降，往一邊越來越貼近

x

軸但不會碰到。(1) 對：圖形在

x

軸上方、由左往右上升，左邊貼近

x

軸，是

a > 1

的樣子。(2) 錯：圖形有一部分在

x

軸下方，與

y

軸交在原點下方。(3) 對：圖形在

x

軸上方、由左往右下降，右邊貼近

x

軸，是

0 < a < 1

的樣子。(4) 錯：圖形穿過

x

軸到下方，與

y

軸交在原點下方。(5) 錯：圖形只出現在

y

軸右邊，而且穿過

x

軸；

y = a^{x}

對每個實數

x

都有定義，而且函數值恆為正。

第 5 題答案 (2)(3)(4)(5)。由圖，最高點是

(\frac{π}{6}, 1)

、最低點是

(\frac{π}{2}, - 3)

，最大值

1

、最小值

- 3

。中心線

d = \frac{1 + ( - 3 )}{2} = - 1

；振幅

= \frac{1 - ( - 3 )}{2} = 2

，又

a < 0

，所以

a = - 2

。相鄰的最高點與最低點相隔半個週期：

\frac{π}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

，所以週期是

\frac{2 π}{3}

；

b > 0

，由

\frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{3}

得

b = 3

。到這裡

y = - 2 sin (3 x + c) - 1

。把最高點

(\frac{π}{6}, 1)

代入：

- 2 sin (\frac{π}{2} + c) - 1 = 1

，

sin (\frac{π}{2} + c) = - 1

，所以

\frac{π}{2} + c = \frac{3 π}{2} + 2 nπ

（

n

為整數），

c = π + 2 nπ

；

0 < c < 2 π

，所以

c = π

。(1) 錯：

a = - 2

。(2) 對。(3) 對。(4) 對。(5) 對：頻率是週期的倒數，

1 \div \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2 π}

。

檢查：

y = - 2 sin (3 x + π) - 1

在

x = 0

時為

- 2 sin π - 1 = - 1

，在

x = \frac{π}{2}

時為

- 2 sin \frac{5 π}{2} - 1 = - 3

，與圖上的點相符。振幅是正數

2

，不是最高點到最低點的落差

4

。

第 6 題答案 (1)(4)。同界角相差

2 π

的整數倍，也就是與

\frac{1}{3} π

的差要是

2 π = \frac{6}{3} π

的整數倍。(1) 對：

- \frac{5}{3} π - \frac{1}{3} π = - 2 π

。(2) 錯：

- \frac{2}{3} π - \frac{1}{3} π = - π

。(3) 錯：

\frac{4}{3} π - \frac{1}{3} π = π

。(4) 對：

\frac{7}{3} π - \frac{1}{3} π = 2 π

。(5) 錯：

\frac{10}{3} π - \frac{1}{3} π = 3 π

，不是

2 π

的整數倍。

相差

π

或

3 π

的角，終邊方向相反，不是同界角。

正弦型函數看圖：最大值與最小值的平均是中心線、差的一半是振幅，相鄰最高點與最低點相隔半個週期。

03基礎概念填空題：三個弧度角的正弦、餘弦、正切值

第 7 題

\frac{π}{3} = 6 0^{\circ}

是第一象限角：(1)

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

，(2)

cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

，(3)

tan \frac{π}{3} = 3

。

\frac{3}{4} π = 13 5^{\circ}

是第二象限角，與

x

軸的夾角是

\frac{π}{4}

，正弦為正、餘弦與正切為負：(4)

sin \frac{3}{4} π = \frac{2}{2}

，(5)

cos \frac{3}{4} π = - \frac{2}{2}

，(6)

tan \frac{3}{4} π = - 1

。

\frac{11}{6} π = 33 0^{\circ}

是第四象限角，與

x

軸的夾角是

\frac{π}{6}

，餘弦為正、正弦與正切為負：(7)

sin \frac{11}{6} π = - \frac{1}{2}

，(8)

cos \frac{11}{6} π = \frac{3}{2}

，(9)

tan \frac{11}{6} π = - \frac{1}{3}

。

(9) 有理化後是

- \frac{3}{3}

，與

- \frac{1}{3}

是同一個數；學校答案寫

- \frac{1}{3}

。

先把弧度換成熟悉的度數、找出與 x 軸的夾角，數值照特殊角，正負號看象限。

04填充題：最大負同界角、扇形面積、三角函數值的計算

第 8 題

6

弳的同界角是

6 + 2 nπ

（

n

為整數）。

2 π \approx 6.28

，所以

6 - 2 π \approx - 0.28

是負的；再加回

2 π

就是

6

，已經是正的。負的同界角中最大的是

6 - 2 π

。

6

弳是弧度，不是

6^{\circ}

，也不是

6 π

。

第 9 題扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \times 5 \times 20 = 50

。

也可以先求圓心角：

θ = \frac{20}{5} = 4

（弳），面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 25 \times 4 = 50

。

第 10 題逐項求值。

sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}

。

\frac{4}{3} π

是第三象限角，與

x

軸夾

\frac{π}{3}

，

cos \frac{4}{3} π = - \frac{1}{2}

。

\frac{11}{6} π

是第四象限角，與

x

軸夾

\frac{π}{6}

，

tan \frac{11}{6} π = - \frac{1}{3}

。

\frac{8}{3} π = 2 π + \frac{2}{3} π

，與

\frac{2}{3} π

同界，

sin \frac{8}{3} π = sin \frac{2}{3} π = \frac{3}{2}

。原式

= \frac{2}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) + (- \frac{1}{3}) \cdot \frac{3}{2} = - \frac{2}{4} - \frac{1}{2} = \frac{- 2 - 2}{4}

。

超過一圈的角先減去 2π 的整數倍，再看象限決定正負號。

05填充題：對稱軸、交點個數、正弦不等式

第 11 題正弦型函數圖形的對稱軸是通過最高點或最低點的鉛直線。

y = 3 sin (x - \frac{π}{4}) + 1

在

x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + nπ

（

n

為整數）時到達最高點或最低點，即

x = \frac{3}{4} π + nπ

。在

0 < k < π

的範圍內只有

n = 0

的

k = \frac{3}{4} π

。

n = - 1

時

x = - \frac{π}{4}

，

n = 1

時

x = \frac{7}{4} π

，都不在範圍內。

第 12 題實數解的個數就是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{8}

的交點個數。

sin x

的值在

- 1

與

1

之間，所以只需看

- 1 \leq \frac{x}{8} \leq 1

，即

- 8 \leq x \leq 8

。先看

x \geq 0

：

x = 0

是一個交點。在

0 < x \leq π

：

x = \frac{π}{2}

時

sin x = 1

比直線的

\frac{π}{16} \approx 0.20

高，

x = π

時

sin x = 0

比直線的

\frac{π}{8} \approx 0.39

低；由圖形，

0 < x \leq \frac{π}{2}

時

y = sin x

都在直線上方，過了

\frac{π}{2}

之後

sin x

一路下降而直線一路上升，所以恰有

1

個交點。在

π < x < 2 π

：

sin x < 0

而直線為正，沒有交點。在

2 π \leq x \leq 8

：

x = 2 π \approx 6.28

時

sin x = 0

比直線的

0.79

低；

x = \frac{5 π}{2} \approx 7.85

時

sin x = 1

比直線的

\frac{7.85}{8} \approx 0.98

高；

x = 8

時直線的值是

1

，而

sin 8 < 1

，直線又在上方。

y = sin x

從

2 π

上升到

\frac{5 π}{2}

的這一段與直線交一次，過了最高點下降的這一段再交一次，有

2

個交點。

x > 8

時直線的值大於

1

，沒有交點。所以

x > 0

有

3

個交點。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

3

個。共

3 + 3 + 1 = 7

個。

關鍵在

8

比

\frac{5 π}{2} \approx 7.85

大一點：直線到

x = 8

才升到

1

，所以第二個山峰（最高點在

x = \frac{5 π}{2}

）比直線高，會被切到兩次。別忘了

x = 0

。

第 13 題在

0 \leq x \leq 2 π

內，

sin x = - \frac{3}{2}

的解是與

x

軸夾

\frac{π}{3}

的第三、四象限角：

x = π + \frac{π}{3} = \frac{4}{3} π

與

x = 2 π - \frac{π}{3} = \frac{5}{3} π

。看

y = sin x

的圖形：從

\frac{4}{3} π

到

\frac{5}{3} π

這一段，圖形先降到最低點

(\frac{3 π}{2}, - 1)

再升回來，都在水平線

y = - \frac{3}{2}

的下方（端點在線上）；其餘部分都在這條線的上方。所以解為

\frac{4}{3} π \leq x \leq \frac{5}{3} π

。

不等號含等號，兩個端點要包含。

方程式的解數與不等式的解，都可以畫出正弦函數的圖形，看它與直線的交點和上下關係。

06填充題：指數方程式

第 14 題化成同底：

9^{2 x + 5} = (3^{2})^{2 x + 5} = 3^{4 x + 10}

，原式為

3^{x + 1} = 3^{4 x + 10}

。底數相同，指數相等：

x + 1 = 4 x + 10

，

- 3 x = 9

，

x = - 3

。

代回檢查：左邊

3^{- 2} = \frac{1}{9}

，右邊

9^{- 1} = \frac{1}{9}

。

第 15 題

4^{x} = (2^{x})^{2}

。令

t = 2^{x}

（

t > 0

），方程式變成

2 t^{2} - 7 t - 4 = 0

，分解為

(2 t + 1) (t - 4) = 0

，

t = - \frac{1}{2}

或

t = 4

。

t > 0

，所以只取

t = 4

，即

2^{x} = 2^{2}

，

x = 2

。

代回檢查：

2 \cdot 16 - 7 \cdot 4 - 4 = 0

。

2^{x}

恆為正，

t = - \frac{1}{2}

要捨去。

指數方程式先化成同底數；出現 4 的 x 次方與 2 的 x 次方時，令 t 等於 2 的 x 次方換成二次方程式，記得 t 要大於 0。

07填充題：由圖形比較底數、葉形面積

第 16 題四個圖形都通過

(0, 1)

。

y = a^{x}

、

y = b^{x}

由左往右下降，底數小於

1

；

y = c^{x}

、

y = d^{x}

由左往右上升，底數大於

1

，所以

a

、

b

都小於

c

、

d

。在

y

軸右邊畫鉛直線

x = 1

，它與各圖形交點的

y

坐標就是底數本身：

y = c^{x}

在

y = d^{x}

的上方，所以

c > d

；

y = a^{x}

在

y = b^{x}

的上方（在

y

軸右邊，

y = b^{x}

更貼近

x

軸），所以

a > b

。合起來

b < a < d < c

。

也可以看

y

軸左邊：

x = - 1

時

y

坐標是底數的倒數，

y = b^{x}

在

y = a^{x}

的上方，所以

\frac{1}{b} > \frac{1}{a}

，同樣得到

b < a

。

第 17 題以

B

為圓心、半徑

10

的圓弧從

A

到

C

，扇形

B A C

是四分之一圓（圓心角

\frac{π}{2}

），面積

\frac{1}{2} \cdot 1 0^{2} \cdot \frac{π}{2} = 25 π

。連

\overline{A C}

，直角三角形

A B C

的面積是

\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50

，所以弦

\overline{A C}

與這段圓弧之間的弓形面積是

25 π - 50

。以

D

為圓心的圓弧同樣得到一個面積

25 π - 50

的弓形。鋪色區域正好是這兩個弓形以

\overline{A C}

為界拼起來的，面積

= 2 (25 π - 50) = 50 π - 100

。

另一種算法：兩個四分之一圓的面積和

50 π

蓋住整個正方形（面積

100

），其中鋪色區域被算了兩次，所以鋪色面積

= 50 π - 100

。

不規則的區域拆成扇形與三角形的加減；比較底數時畫鉛直線 x 等於 1，交點的高度就是底數。

08計算題：摩天輪的高度

第 18 題

y = 15 sin (\frac{π}{9} x - \frac{π}{2}) + 17

。i. 正弦的值在

- 1

與

1

之間，所以最高

15 + 17 = 32

公尺、最低

- 15 + 17 = 2

公尺。最高點與最低點的高度差是摩天輪的直徑，

32 - 2 = 30

，半徑為

15

公尺（就是振幅）。ii. 到達最高點時

sin (\frac{π}{9} x - \frac{π}{2}) = 1

。

x = 0

時角度是

- \frac{π}{2}

（最低點），之後角度逐漸變大，第一次等於

\frac{π}{2}

時到達最高點：

\frac{π}{9} x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2}

，

\frac{π}{9} x = π

，

x = 9

。小明於

9

分鐘後到達最高點。iii.

x = 6

時，

\frac{π}{9} \cdot 6 - \frac{π}{2} = \frac{2 π}{3} - \frac{π}{2} = \frac{π}{6}

，

y = 15 sin \frac{π}{6} + 17 = 15 \cdot \frac{1}{2} + 17 = \frac{49}{2}

，離地面

\frac{49}{2}

（即

24.5

）公尺。再次到達同樣高度，要

sin (\frac{π}{9} x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{2}

。角度從

- \frac{π}{2}

開始變大，第一次使正弦值為

\frac{1}{2}

的是

\frac{π}{6}

（

x = 6

），第二次是

\frac{5 π}{6}

：

\frac{π}{9} x - \frac{π}{2} = \frac{5 π}{6}

，

\frac{π}{9} x = \frac{4 π}{3}

，

x = 12

。所以搭上摩天輪

12

分鐘後第

2

次到達一樣高度。

週期是

2 π \div \frac{π}{9} = 18

分鐘，上升

9

分鐘、下降

9

分鐘。

x = 6

是到最高點前

3

分鐘，同樣高度的另一個時刻是過最高點後

3

分鐘，

9 + 3 = 12

，與上面的結果相同。

摩天輪模型：振幅是半徑，中心線是輪心高度；同一圈裡同樣高度的兩個時刻對稱於到達最高點的時刻。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

苑裡高中 112 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 112 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 5 題數交點時，8 比二分之五 π 大一點，第二個山峰會被直線切到兩次，還要加上原點與負的那一邊，共 7 個；多選第 2 題的振幅是 2 不是 4，c 要代入最高點再用範圍決定；單選第 1 題的 1 到 5 是弧度，要先用 π 約 3.14 判斷正負再比較；計算題第三小題第 2 次到達同樣高度是 12 分鐘後，不是再過 12 分鐘。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自苑裡高中 112 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

苑裡高中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

一、單選題：每題 3 分，共 9 分

a = sin 1

，

b = sin 2

，

c = sin 3

，

d = sin 4

，

e = sin 5

，最大值為

(1) $a$
(2) $b$
(3) $c$
(4) $d$
(5) $e$

把

y = sin x

的圖形向左平移

\frac{π}{4}

，再向上平移

2

單位，可得下列哪個函數的圖形？

(1) $y = sin (x - \frac{π}{4}) + 2$
(2) $y = sin (x + \frac{π}{4}) + 2$
(3) $y = sin (x + \frac{π}{4}) - 2$
(4) $y = sin (x - \frac{π}{4}) - 2$
(5) $y = sin (x + 2) + \frac{π}{4}$

12

弳為第幾象限角？

(1) 一
(2) 二
(3) 三
(4) 四

二、多選題：每題 5 分，錯一個選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 15 分

下列哪些可能為函數

y = a^{x}

的圖形？

載入中...

如右圖，為

y = a sin (b x + c) + d

一周期的圖形，

x

的單位為時間。已知

a < 0

，

b > 0

，

0 < c < 2 π

，下列敘述哪些是正確的？

(1) $a = - 4$
(2) $b = 3$
(3) $c = π$
(4) $d = - 1$
(5) 頻率 $= \frac{3}{2 π}$

載入中...

下列哪些為

\frac{1}{3} π

的同界角？

(1) $- \frac{5}{3} π$
(2) $- \frac{2}{3} π$
(3) $\frac{4}{3} π$
(4) $\frac{7}{3} π$
(5) $\frac{10}{3} π$

三、基礎概念填空題：每格 2 分，共 18 分

求下表中 (1)～(9) 各格的三角函數值。

sin cos tan \frac{π}{3} (1) (2) (3) \frac{3}{4} π (4) (5) (6) \frac{11}{6} π (7) (8) (9)

四、填充題：每題 5 分，共 50 分

6

弳的最大負同界角為 ____。

已知扇形的半徑為

5

，弧長為

20

，則該扇形的面積為 ____。

求

sin \frac{π}{4} \cdot cos \frac{4}{3} π + tan \frac{11}{6} π \cdot sin \frac{8}{3} π =

____。

y = 3 sin (x - \frac{π}{4}) + 1

的其中一條對稱軸方程式為

x = k

（

0 < k < π

），則

k =

____。

sin x = \frac{x}{8}

共有 ____ 個實數解。

已知

0 \leq x \leq 2 π

，則不等式

sin x \leq - \frac{3}{2}

的解為：____。

解方程式：

3^{x + 1} = 9^{2 x + 5}

：____。

解方程式：

2 \cdot 4^{x} - 7 \cdot 2^{x} - 4 = 0

：____。

如右圖為

y = a^{x}

、

y = b^{x}

、

y = c^{x}

、

y = d^{x}

的圖形，則

a

、

b

、

c

、

d

的大小關係為 ____。

載入中...

如右圖正方形

A B C D

，邊長為

10

，分別以

B

、

D

為圓心，以

10

為半徑畫弧，求鋪色區域面積為 ____。

載入中...

五、計算題：共 8 分

小明搭摩天輪，已知他是由摩天輪最低點搭上去的，

x

分鐘後，小明離地高度

y

（公尺）可以表示為

y = 15 sin (\frac{π}{9} x - \frac{π}{2}) + 17

，回答以下問題： i. 摩天輪半徑為？公尺（2 分） ii. 小明於幾分鐘後到達最高點？（2 分） iii. 旋轉

6

分鐘後，小明離地面多少公尺高？小明搭上摩天輪幾分鐘後第

2

次到達一樣高度？（4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(2)

第 3 題(4)

第 4 題(1)(3)

第 5 題(2)(3)(4)(5)

第 6 題(1)(4)

第 7 題(1)

\frac{3}{2}

　(2)

\frac{1}{2}

　(3)

3

　(4)

\frac{2}{2}

　(5)

- \frac{2}{2}

　(6)

- 1

　(7)

- \frac{1}{2}

　(8)

\frac{3}{2}

　(9)

- \frac{1}{3}

第 8 題

6 - 2 π

第 9 題

50

第 10 題

\frac{- 2 - 2}{4}

第 11 題

\frac{3}{4} π

第 12 題

7

第 13 題

\frac{4}{3} π \leq x \leq \frac{5}{3} π

第 14 題

x = - 3

第 15 題

x = 2

第 16 題

b < a < d < c

第 17 題

50 π - 100

第 18 題i.

15

公尺　ii.

9

分鐘後　iii.

\frac{49}{2}

公尺；

12

分鐘後

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：比較正弦值、圖形平移、弧度角的象限

第 1 題答案 (2)。

π \approx 3.14

，所以

1

、

2

、

3

都在

0

與

π

之間，正弦值為正；

4

、

5

在

π

與

2 π \approx 6.28

之間，正弦值為負。最大值只需比較

sin 1

、

sin 2

、

sin 3

。用

sin (π - θ) = sin θ

把角換到

0

與

\frac{π}{2}

之間：

sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.14

，

sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.14

。正弦函數在

0

到

\frac{π}{2} \approx 1.57

之間遞增，而

0.14 < 1 < 1.14 < 1.57

，所以

sin 3 < sin 1 < sin 2

，最大的是

b

。

這裡的

1

、

2

、…、

5

沒有度的記號，單位是弧度。數值約為

sin 1 \approx 0.84

、

sin 2 \approx 0.91

、

sin 3 \approx 0.14

、

sin 4 \approx - 0.76

、

sin 5 \approx - 0.96

。

第 2 題答案 (2)。向左平移

\frac{π}{4}

是把

x

換成

x + \frac{π}{4}

，得

y = sin (x + \frac{π}{4})

；再向上平移

2

單位是整個函數值加

2

，得

y = sin (x + \frac{π}{4}) + 2

。

向左平移是「

x

加」，向右平移才是「

x

減」。

第 3 題答案 (4)。

2 π \approx 6.28

，

12 - 2 π \approx 5.72

，所以

12

弳與約

5.72

弳的角同界。

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

2 π \approx 6.28

，而

4.71 < 5.72 < 6.28

，介於

\frac{3 π}{2}

與

2 π

之間，是第四象限角。

12

沒有超過

4 π \approx 12.57

，只能減一次

2 π

。

弧度角先用 π 約等於 3.14 判斷落在哪一段，再用正弦在那一段的正負與增減來比較。

02多選題：指數函數的圖形、由圖形決定正弦型函數、同界角

第 4 題答案 (1)(3)。

y = a^{x}

（

a > 0

）的函數值恆為正，圖形整個在

x

軸上方，並且通過

(0, 1)

；

a > 1

時由左往右上升，

0 < a < 1

時由左往右下降，往一邊越來越貼近

x

軸但不會碰到。(1) 對：圖形在

x

軸上方、由左往右上升，左邊貼近

x

軸，是

a > 1

的樣子。(2) 錯：圖形有一部分在

x

軸下方，與

y

軸交在原點下方。(3) 對：圖形在

x

軸上方、由左往右下降，右邊貼近

x

軸，是

0 < a < 1

的樣子。(4) 錯：圖形穿過

x

軸到下方，與

y

軸交在原點下方。(5) 錯：圖形只出現在

y

軸右邊，而且穿過

x

軸；

y = a^{x}

對每個實數

x

都有定義，而且函數值恆為正。

第 5 題答案 (2)(3)(4)(5)。由圖，最高點是

(\frac{π}{6}, 1)

、最低點是

(\frac{π}{2}, - 3)

，最大值

1

、最小值

- 3

。中心線

d = \frac{1 + ( - 3 )}{2} = - 1

；振幅

= \frac{1 - ( - 3 )}{2} = 2

，又

a < 0

，所以

a = - 2

。相鄰的最高點與最低點相隔半個週期：

\frac{π}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

，所以週期是

\frac{2 π}{3}

；

b > 0

，由

\frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{3}

得

b = 3

。到這裡

y = - 2 sin (3 x + c) - 1

。把最高點

(\frac{π}{6}, 1)

代入：

- 2 sin (\frac{π}{2} + c) - 1 = 1

，

sin (\frac{π}{2} + c) = - 1

，所以

\frac{π}{2} + c = \frac{3 π}{2} + 2 nπ

（

n

為整數），

c = π + 2 nπ

；

0 < c < 2 π

，所以

c = π

。(1) 錯：

a = - 2

。(2) 對。(3) 對。(4) 對。(5) 對：頻率是週期的倒數，

1 \div \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2 π}

。

檢查：

y = - 2 sin (3 x + π) - 1

在

x = 0

時為

- 2 sin π - 1 = - 1

，在

x = \frac{π}{2}

時為

- 2 sin \frac{5 π}{2} - 1 = - 3

，與圖上的點相符。振幅是正數

2

，不是最高點到最低點的落差

4

。

第 6 題答案 (1)(4)。同界角相差

2 π

的整數倍，也就是與

\frac{1}{3} π

的差要是

2 π = \frac{6}{3} π

的整數倍。(1) 對：

- \frac{5}{3} π - \frac{1}{3} π = - 2 π

。(2) 錯：

- \frac{2}{3} π - \frac{1}{3} π = - π

。(3) 錯：

\frac{4}{3} π - \frac{1}{3} π = π

。(4) 對：

\frac{7}{3} π - \frac{1}{3} π = 2 π

。(5) 錯：

\frac{10}{3} π - \frac{1}{3} π = 3 π

，不是

2 π

的整數倍。

相差

π

或

3 π

的角，終邊方向相反，不是同界角。

正弦型函數看圖：最大值與最小值的平均是中心線、差的一半是振幅，相鄰最高點與最低點相隔半個週期。

03基礎概念填空題：三個弧度角的正弦、餘弦、正切值

第 7 題

\frac{π}{3} = 6 0^{\circ}

是第一象限角：(1)

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

，(2)

cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

，(3)

tan \frac{π}{3} = 3

。

\frac{3}{4} π = 13 5^{\circ}

是第二象限角，與

x

軸的夾角是

\frac{π}{4}

，正弦為正、餘弦與正切為負：(4)

sin \frac{3}{4} π = \frac{2}{2}

，(5)

cos \frac{3}{4} π = - \frac{2}{2}

，(6)

tan \frac{3}{4} π = - 1

。

\frac{11}{6} π = 33 0^{\circ}

是第四象限角，與

x

軸的夾角是

\frac{π}{6}

，餘弦為正、正弦與正切為負：(7)

sin \frac{11}{6} π = - \frac{1}{2}

，(8)

cos \frac{11}{6} π = \frac{3}{2}

，(9)

tan \frac{11}{6} π = - \frac{1}{3}

。

(9) 有理化後是

- \frac{3}{3}

，與

- \frac{1}{3}

是同一個數；學校答案寫

- \frac{1}{3}

。

先把弧度換成熟悉的度數、找出與 x 軸的夾角，數值照特殊角，正負號看象限。

04填充題：最大負同界角、扇形面積、三角函數值的計算

第 8 題

6

弳的同界角是

6 + 2 nπ

（

n

為整數）。

2 π \approx 6.28

，所以

6 - 2 π \approx - 0.28

是負的；再加回

2 π

就是

6

，已經是正的。負的同界角中最大的是

6 - 2 π

。

6

弳是弧度，不是

6^{\circ}

，也不是

6 π

。

第 9 題扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \times 5 \times 20 = 50

。

也可以先求圓心角：

θ = \frac{20}{5} = 4

（弳），面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 25 \times 4 = 50

。

第 10 題逐項求值。

sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}

。

\frac{4}{3} π

是第三象限角，與

x

軸夾

\frac{π}{3}

，

cos \frac{4}{3} π = - \frac{1}{2}

。

\frac{11}{6} π

是第四象限角，與

x

軸夾

\frac{π}{6}

，

tan \frac{11}{6} π = - \frac{1}{3}

。

\frac{8}{3} π = 2 π + \frac{2}{3} π

，與

\frac{2}{3} π

同界，

sin \frac{8}{3} π = sin \frac{2}{3} π = \frac{3}{2}

。原式

= \frac{2}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) + (- \frac{1}{3}) \cdot \frac{3}{2} = - \frac{2}{4} - \frac{1}{2} = \frac{- 2 - 2}{4}

。

超過一圈的角先減去 2π 的整數倍，再看象限決定正負號。

05填充題：對稱軸、交點個數、正弦不等式

第 11 題正弦型函數圖形的對稱軸是通過最高點或最低點的鉛直線。

y = 3 sin (x - \frac{π}{4}) + 1

在

x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + nπ

（

n

為整數）時到達最高點或最低點，即

x = \frac{3}{4} π + nπ

。在

0 < k < π

的範圍內只有

n = 0

的

k = \frac{3}{4} π

。

n = - 1

時

x = - \frac{π}{4}

，

n = 1

時

x = \frac{7}{4} π

，都不在範圍內。

第 12 題實數解的個數就是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{8}

的交點個數。

sin x

的值在

- 1

與

1

之間，所以只需看

- 1 \leq \frac{x}{8} \leq 1

，即

- 8 \leq x \leq 8

。先看

x \geq 0

：

x = 0

是一個交點。在

0 < x \leq π

：

x = \frac{π}{2}

時

sin x = 1

比直線的

\frac{π}{16} \approx 0.20

高，

x = π

時

sin x = 0

比直線的

\frac{π}{8} \approx 0.39

低；由圖形，

0 < x \leq \frac{π}{2}

時

y = sin x

都在直線上方，過了

\frac{π}{2}

之後

sin x

一路下降而直線一路上升，所以恰有

1

個交點。在

π < x < 2 π

：

sin x < 0

而直線為正，沒有交點。在

2 π \leq x \leq 8

：

x = 2 π \approx 6.28

時

sin x = 0

比直線的

0.79

低；

x = \frac{5 π}{2} \approx 7.85

時

sin x = 1

比直線的

\frac{7.85}{8} \approx 0.98

高；

x = 8

時直線的值是

1

，而

sin 8 < 1

，直線又在上方。

y = sin x

從

2 π

上升到

\frac{5 π}{2}

的這一段與直線交一次，過了最高點下降的這一段再交一次，有

2

個交點。

x > 8

時直線的值大於

1

，沒有交點。所以

x > 0

有

3

個交點。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

3

個。共

3 + 3 + 1 = 7

個。

關鍵在

8

比

\frac{5 π}{2} \approx 7.85

大一點：直線到

x = 8

才升到

1

，所以第二個山峰（最高點在

x = \frac{5 π}{2}

）比直線高，會被切到兩次。別忘了

x = 0

。

第 13 題在

0 \leq x \leq 2 π

內，

sin x = - \frac{3}{2}

的解是與

x

軸夾

\frac{π}{3}

的第三、四象限角：

x = π + \frac{π}{3} = \frac{4}{3} π

與

x = 2 π - \frac{π}{3} = \frac{5}{3} π

。看

y = sin x

的圖形：從

\frac{4}{3} π

到

\frac{5}{3} π

這一段，圖形先降到最低點

(\frac{3 π}{2}, - 1)

再升回來，都在水平線

y = - \frac{3}{2}

的下方（端點在線上）；其餘部分都在這條線的上方。所以解為

\frac{4}{3} π \leq x \leq \frac{5}{3} π

。

不等號含等號，兩個端點要包含。

方程式的解數與不等式的解，都可以畫出正弦函數的圖形，看它與直線的交點和上下關係。

06填充題：指數方程式

第 14 題化成同底：

9^{2 x + 5} = (3^{2})^{2 x + 5} = 3^{4 x + 10}

，原式為

3^{x + 1} = 3^{4 x + 10}

。底數相同，指數相等：

x + 1 = 4 x + 10

，

- 3 x = 9

，

x = - 3

。

代回檢查：左邊

3^{- 2} = \frac{1}{9}

，右邊

9^{- 1} = \frac{1}{9}

。

第 15 題

4^{x} = (2^{x})^{2}

。令

t = 2^{x}

（

t > 0

），方程式變成

2 t^{2} - 7 t - 4 = 0

，分解為

(2 t + 1) (t - 4) = 0

，

t = - \frac{1}{2}

或

t = 4

。

t > 0

，所以只取

t = 4

，即

2^{x} = 2^{2}

，

x = 2

。

代回檢查：

2 \cdot 16 - 7 \cdot 4 - 4 = 0

。

2^{x}

恆為正，

t = - \frac{1}{2}

要捨去。

指數方程式先化成同底數；出現 4 的 x 次方與 2 的 x 次方時，令 t 等於 2 的 x 次方換成二次方程式，記得 t 要大於 0。

07填充題：由圖形比較底數、葉形面積

第 16 題四個圖形都通過

(0, 1)

。

y = a^{x}

、

y = b^{x}

由左往右下降，底數小於

1

；

y = c^{x}

、

y = d^{x}

由左往右上升，底數大於

1

，所以

a

、

b

都小於

c

、

d

。在

y

軸右邊畫鉛直線

x = 1

，它與各圖形交點的

y

坐標就是底數本身：

y = c^{x}

在

y = d^{x}

的上方，所以

c > d

；

y = a^{x}

在

y = b^{x}

的上方（在

y

軸右邊，

y = b^{x}

更貼近

x

軸），所以

a > b

。合起來

b < a < d < c

。

也可以看

y

軸左邊：

x = - 1

時

y

坐標是底數的倒數，

y = b^{x}

在

y = a^{x}

的上方，所以

\frac{1}{b} > \frac{1}{a}

，同樣得到

b < a

。

第 17 題以

B

為圓心、半徑

10

的圓弧從

A

到

C

，扇形

B A C

是四分之一圓（圓心角

\frac{π}{2}

），面積

\frac{1}{2} \cdot 1 0^{2} \cdot \frac{π}{2} = 25 π

。連

\overline{A C}

，直角三角形

A B C

的面積是

\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50

，所以弦

\overline{A C}

與這段圓弧之間的弓形面積是

25 π - 50

。以

D

為圓心的圓弧同樣得到一個面積

25 π - 50

的弓形。鋪色區域正好是這兩個弓形以

\overline{A C}

為界拼起來的，面積

= 2 (25 π - 50) = 50 π - 100

。

另一種算法：兩個四分之一圓的面積和

50 π

蓋住整個正方形（面積

100

），其中鋪色區域被算了兩次，所以鋪色面積

= 50 π - 100

。

不規則的區域拆成扇形與三角形的加減；比較底數時畫鉛直線 x 等於 1，交點的高度就是底數。

08計算題：摩天輪的高度

第 18 題

y = 15 sin (\frac{π}{9} x - \frac{π}{2}) + 17

。i. 正弦的值在

- 1

與

1

之間，所以最高

15 + 17 = 32

公尺、最低

- 15 + 17 = 2

公尺。最高點與最低點的高度差是摩天輪的直徑，

32 - 2 = 30

，半徑為

15

公尺（就是振幅）。ii. 到達最高點時

sin (\frac{π}{9} x - \frac{π}{2}) = 1

。

x = 0

時角度是

- \frac{π}{2}

（最低點），之後角度逐漸變大，第一次等於

\frac{π}{2}

時到達最高點：

\frac{π}{9} x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2}

，

\frac{π}{9} x = π

，

x = 9

。小明於

9

分鐘後到達最高點。iii.

x = 6

時，

\frac{π}{9} \cdot 6 - \frac{π}{2} = \frac{2 π}{3} - \frac{π}{2} = \frac{π}{6}

，

y = 15 sin \frac{π}{6} + 17 = 15 \cdot \frac{1}{2} + 17 = \frac{49}{2}

，離地面

\frac{49}{2}

（即

24.5

）公尺。再次到達同樣高度，要

sin (\frac{π}{9} x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{2}

。角度從

- \frac{π}{2}

開始變大，第一次使正弦值為

\frac{1}{2}

的是

\frac{π}{6}

（

x = 6

），第二次是

\frac{5 π}{6}

：

\frac{π}{9} x - \frac{π}{2} = \frac{5 π}{6}

，

\frac{π}{9} x = \frac{4 π}{3}

，

x = 12

。所以搭上摩天輪

12

分鐘後第

2

次到達一樣高度。

週期是

2 π \div \frac{π}{9} = 18

分鐘，上升

9

分鐘、下降

9

分鐘。

x = 6

是到最高點前

3

分鐘，同樣高度的另一個時刻是過最高點後

3

分鐘，

9 + 3 = 12

，與上面的結果相同。

摩天輪模型：振幅是半徑，中心線是輪心高度；同一圈裡同樣高度的兩個時刻對稱於到達最高點的時刻。

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03基礎概念填空題：三個弧度角的正弦、餘弦、正切值

04填充題：最大負同界角、扇形面積、三角函數值的計算

05填充題：對稱軸、交點個數、正弦不等式

06填充題：指數方程式

07填充題：由圖形比較底數、葉形面積

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