段考詳解範圍：多項式函數（簡單多項式函數及其圖形、多項式的運算與應用、多項式不等式）

苑裡高中 113 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 苑裡高中 113 上 高一第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 苑裡高中 113 上 高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要把除以 x−b/a 改寫成除以 ax−b，商式要乘 1/a 而餘式不變；第 8 題要先由判別式小於 0 與 f(−1) 為負推出 f 恆負，再看出對稱軸在 1 的右邊但位置不固定，所以只有 (E) 不一定成立；第 9 題的偶次方因式讓 x＝1 成為解，容易漏算；第 14 題的除式不能分解，要設餘式再用除法原理比較係數；第 16 題的頂點不在範圍內，最小值不是頂點的值。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

多選題 4 題（每題 5 分，共 20 分）；單選與填充題 20 題（單選 5 題、填充 15 題，第 23 題 2 格、第 24 題 4 格，合計 24 格）依答對格數給分，共 80 分（答案卷注意事項：答案須化至最簡，全對才給分；給分對照表空白，未印每格分數）。原卷兩個大題各自從 1 編號，本頁第 5～24 題即原卷第二大題第 1～20 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多選題（每題 5 分，錯一個選項扣 2 分，扣至 0 分為止，共 20 分。）

若

de g f (x) = de g g (x) = 3

，則下列選項哪些是正確的？

(A) $de g (f (x) + g (x)) = 3$
(B) $de g (f (x) - g (x)) \leq 2$
(C) $de g (f (x) \times g (x)) = 6$
(D) $de g (f (x) \times g (x)) = 9$
(E) $de g f (x^{3}) = 9$

設多項式

f (x)

除以

x - \frac{b}{a}

，得商式為

q (x)

，餘式為

r

，則下列選項哪些是正確的？

(A) $f (x)$ 除以 $a x - b$ 之餘式為 $r$
(B) $f (x)$ 除以 $a x - b$ 之餘式為 $a r$
(C) $f (x)$ 除以 $a x - b$ 之商式為 $\frac{1}{a} q (x)$
(D) $f (\frac{x}{a})$ 除以 $x - b$ 之餘式為 $r$
(E) $x \cdot f (x)$ 除以 $a x - b$ 之餘式為 $\frac{b r}{a}$

若

a, b \in R

，且

f (x) = a (x - 1)^{2} + b

滿足

f (4) < 0

，

f (5) > 0

，則下列選項哪些是正確的？

(A) $a < 0$
(B) $b < 0$
(C) $a + b < 0$
(D) $f (- 2) < 0$
(E) $f (- 3) < 0$

關於三次函數

f (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} + 27 x - 15 = 2 (x - h)^{3} + p (x - h) + k

的圖形，下列選項哪些是正確的？

(A) 當 $∣ x ∣$ 很大時， $y = f (x)$ 的圖形很接近 $y = 2 x^{3}$
(B) $y = f (x)$ 圖形可由 $y = 2 x^{3}$ 適當平移得到
(C) 對稱中心為 $(2, 7)$
(D) $p = 3$
(E) 將 $y = 2 x^{3}$ 的圖形向右平移 $2$ 單位再向上平移 $7$ 單位得 $y = f (x)$

二、單選與填充題（依答對格數給分，共 80 分）

若

f (x) = (2 x^{3} - x^{2} - x + 1)^{2023}

，則

f (x)

除以

x + 1

的餘式為

(A) $- 2^{2023}$
(B) $- 1$
(C) $0$
(D) $1$
(E) $2^{2023}$

設二次函數

f (x) = 3 x^{2} + 6 x + k

，有最小值為

- 2

，則

k =

(A) $1$
(B) $3$
(C) $- 2$
(D) $- 5$
(E) $- 7$

函數

f (x) = a x^{2} + b x + c

的圖形如圖所示，則

a

、

b

、

c

、

b^{2} - 4 a c

、

a - b + c

五個數中有幾個數是正數？（圖形開口向下，與

x

軸交於

(- 3, 0)

、

(5, 0)

）

(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$
(E) $5$

載入中...

設

a

，

b

，

c

為實數，二次函數

f (x) = a x^{2} + b x + c

滿足

f (- 1) = - 3

，

f (3) = - 1

且

b^{2} - 4 a c < 0

，則下列選項中的敘述何者錯誤？

(A) $a < 0$
(B) $c < 0$
(C) $f (- 3) < f (- 2)$
(D) $f (0) < f (1)$
(E) $f (4) < f (5)$

不等式

x^{33} (x - 1)^{20} (x - 6) (x^{2} - 2 x - 4) (x^{2} - 2 x + 5) \leq 0

的整數解有多少個？

(A) $5$
(B) $6$
(C) $7$
(D) $8$
(E) $9$

設

a

，

b

為實數且

f (x) = a (x^{2} + x) + b (x^{3} - x^{2} + 4) + 2 x^{3} + a

為一次多項式，則

a + b =

＿＿＿＿。

多項式

(1 + 2 x + 3 x^{2} + \dots\dots + 9 x^{8} + 10 x^{9})^{2}

展開後

x^{4}

項係數為＿＿＿＿。

若

f (x) = 2 x^{5} - 39 x^{4} + 90 x^{3} - 83 x^{2} - 36 x + 39

，試求

f (17) =

＿＿＿＿。

若

f (x)

除以

x^{2} - 3 x - 4

的餘式為

3 x + 2

，

g (x)

除以

x^{2} - 6 x + 8

的餘式為

- x + 6

，則

f (x) \times g (x)

除以

x - 4

的餘式為＿＿＿＿。

設實係數多項式

(x + 1) \cdot f (x)

除以

x^{2} - 2 x + 2

的餘式為

11 x - 19

，則

f (x)

除以

x^{2} - 2 x + 2

的餘式為＿＿＿＿。

多項式

f (x)

除以

(x - 1)^{2}

的餘式為

3 x + 1

，除以

(x - 2)^{2}

的餘式為

x + 3

，試求

f (x)

除以

(x - 1) (x - 2)

之餘式為＿＿＿＿。

已知二次函數

f (x) = 3 x^{2} - 12 x + 8

，在

3 \leq x \leq 5

的範圍內

f (x)

的最大值為

M

，最小值為

m

，求

M + m =

＿＿＿＿。

若將二次函數

y = f (x)

之圖形向右平移

2

單位，再向下平移

3

單位，所得圖形之方程式為

y = x^{2} + 2 x + 2

，則原來之二次函數

f (x) =

＿＿＿＿。（以

f (x) = a x^{2} + b x + c

的形式表示）

若函數

y = x^{2} - 4 x - 5

的頂點為

P

，與

x

軸的交點為

Q

與

R

，則

△ P QR

的面積為＿＿＿＿。

設

m

為實數，已知二次函數

y = m x^{2} + 2 x + m

的圖形恆在一次函數

y = 2 x + 3

圖形的上方，試求

m

的範圍為＿＿＿＿。

設

f (x)

為三次多項式，且

f (2) = f (- 1) = f (4) = 3

，又

f (1) = 15

，則

f (0) =

＿＿＿＿。

設

f (x)

為二次多項式函數，若

f (x) > 0

之解為

- 9 < x < 3

，則

f (3 x) \leq 0

之解為＿＿＿＿。

設

\overline{A B} = 10

，且

P

為

\overline{A B}

上之任一點，以

\overline{A P}

為斜邊作等腰直角三角形，以

\overline{B P}

為一邊作正方形，試求三角形與正方形面積和的最小值為＿＿＿＿。

設多項式

f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + a x + b

有一個因式

x^{2} - 4 x + 2

，求： (1) 數對

(a, b) =

＿＿＿＿。 (2)

f (x) \geq 0

的解為＿＿＿＿。

設函數

f (x) = x^{3} + 2 x - 1 = a (x + 1)^{3} + b (x + 1)^{2} + c (x + 1) + d

， (1)

y = f (x)

函數圖形的對稱中心為＿＿＿＿。 (2) 數對

(a, b, c, d) =

＿＿＿＿。 (3) 函數

f (x)

在

x = - 1

附近的一次近似為函數

g (x)

，則

g (x) =

＿＿＿＿。 (4) 求

f (- 0.998) =

＿＿＿＿。（四捨五入取到小數點後第二位）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)(E)

第 2 題(A)(C)(D)(E)

第 3 題(B)(C)(D)

第 4 題(A)(C)(D)

第 5 題(B)

第 6 題(A)

第 7 題(D)

第 8 題(E)

第 9 題(B)

第 10 題

- 4

第 11 題

35

第 12 題

5

第 13 題

28

第 14 題

6 x - 7

第 15 題

x + 3

第 16 題

22

第 17 題

x^{2} + 6 x + 13

第 18 題

27

第 19 題

m > 3

第 20 題

19

第 21 題

x \geq 1

或

x \leq - 3

第 22 題

20

第 23 題(1)

(6, - 2)

　(2)

x \geq 2 + 2

或

2 - 2 \leq x \leq 1

第 24 題(1)

(0, - 1)

　(2)

(1, - 3, 5, - 4)

　(3)

5 x + 1

　(4)

- 3.99

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題（第 1～4 題）：次數、除法原理、二次函數與三次函數

第 1 題

(A) 錯誤：三次項可能互相消掉，例如 $f (x) = x^{3}$ 、 $g (x) = - x^{3} + x$ ， $f (x) + g (x) = x$ 是一次。

(B) 錯誤：三次項也可能消不掉，例如 $f (x) = 2 x^{3}$ 、 $g (x) = x^{3}$ ， $f (x) - g (x) = x^{3}$ 是三次。

(D) 錯誤：由 (C) 知次數是 $6$ ，不是 $3 \times 3 = 9$ 。

(E) 正確： $f (x)$ 的最高次項 $p x^{3}$ 換成 $p (x^{3})^{3} = p x^{9}$ ，其他項的次數都比較低，所以 $de g f (x^{3}) = 9$ 。

答案 (C)(E)。

相乘時次數相加；把

x

換成

x^{3}

時次數才是相乘。

第 2 題

由除法原理（題意隱含 $a \neq = 0$ ）： $f (x) = (x - \frac{b}{a}) q (x) + r = (a x - b) \cdot \frac{1}{a} q (x) + r$ 。

(A) 正確：上式就是 $f (x)$ 除以 $a x - b$ 的結果，餘式是常數 $r$ ，次數比除式低。

(B) 錯誤：餘式是 $r$ 不是 $a r$ （ $a \neq = 1$ 且 $r \neq = 0$ 時兩者不同，所以不一定成立）。

(D) 正確：把 $x$ 換成 $\frac{x}{a}$ ： $f (\frac{x}{a}) = (\frac{x}{a} - \frac{b}{a}) q (\frac{x}{a}) + r = (x - b) \cdot \frac{1}{a} q (\frac{x}{a}) + r$ ，所以除以 $x - b$ 的餘式是 $r$ 。也可以用餘式定理：餘式是 $f (\frac{b}{a}) = r$ 。

(E) 正確：由餘式定理， $x \cdot f (x)$ 除以 $a x - b$ 的餘式是 $x = \frac{b}{a}$ 時的值 $\frac{b}{a} \cdot f (\frac{b}{a}) = \frac{b}{a} \cdot r = \frac{b r}{a}$ 。

答案 (A)(C)(D)(E)。

除式乘上

a

，商式就要除以

a

，餘式不變。

第 3 題

$f (x) = a (x - 1)^{2} + b$ 的圖形對稱於 $x = 1$ 。 $f (4) = 9 a + b < 0$ ， $f (5) = 16 a + b > 0$ ，兩式相減得 $7 a > 0$ ，所以 $a > 0$ 。

(A) 錯誤： $a > 0$ 。

(B) 正確： $b < - 9 a < 0$ 。

(D) 正確： $- 2$ 與 $4$ 對稱於 $x = 1$ ， $f (- 2) = f (4) < 0$ 。

(E) 錯誤： $- 3$ 與 $5$ 對稱於 $x = 1$ ， $f (- 3) = f (5) > 0$ 。

答案 (B)(C)(D)。

第 4 題

對稱中心的 $x$ 坐標是 $h = - \frac{- 12}{3 \times 2} = 2$ ， $k = f (2) = 16 - 48 + 54 - 15 = 7$ 。展開 $2 (x - 2)^{3} = 2 x^{3} - 12 x^{2} + 24 x - 16$ ，與 $f (x)$ 相減得 $3 x + 1 = 3 (x - 2) + 7$ ，所以 $f (x) = 2 (x - 2)^{3} + 3 (x - 2) + 7$ ， $p = 3$ 。

(A) 正確： $∣ x ∣$ 很大時，最高次項 $2 x^{3}$ 遠大於其他各項 $- 12 x^{2} + 27 x - 15$ ， $f (x)$ 與 $2 x^{3}$ 的比值接近 $1$ ；這就是課本說的三次函數整體特徵：從遠處看， $y = f (x)$ 的圖形和 $y = 2 x^{3}$ 很像（兩者的差 $- 12 x^{2} + \dots$ 本身並不小，所以「接近」指的是整體形狀）。

(B) 錯誤： $p = 3 \neq = 0$ ， $y = f (x)$ 是 $y = 2 x^{3} + 3 x$ 平移得到，不是 $y = 2 x^{3}$ 平移得到。

(D) 正確： $p = 3$ 。

(E) 錯誤： $y = 2 x^{3}$ 向右 $2$ 、向上 $7$ 得到 $y = 2 (x - 2)^{3} + 7$ ，少了 $3 (x - 2)$ 這一項。

答案 (A)(C)(D)。

只有

p = 0

時，三次函數的圖形才是

y = a x^{3}

平移得到的。

三次函數寫成

a (x - h)^{3} + p (x - h) + k

時，

(h, k)

是對稱中心，

h = - \frac{b}{3 a}

；

p

決定它是不是

y = a x^{3}

的平移。

02單選題（第 5～9 題，原卷第二大題 1～5）：餘式定理、二次函數與高次不等式

第 5 題由餘式定理，餘式是

f (- 1) = (2 (- 1)^{3} - (- 1)^{2} - (- 1) + 1)^{2023} = (- 2 - 1 + 1 + 1)^{2023} = (- 1)^{2023} = - 1

，選 (B)。

第 6 題配方：

f (x) = 3 (x^{2} + 2 x) + k = 3 (x + 1)^{2} + k - 3

。開口向上，最小值是

k - 3 = - 2

，所以

k = 1

，選 (A)。

第 7 題

圖形開口向下，所以 $a < 0$ 。與 $x$ 軸交於 $- 3$ 、 $5$ ，可寫成 $f (x) = a (x + 3) (x - 5) = a (x^{2} - 2 x - 15)$ ，所以 $b = - 2 a > 0$ ， $c = - 15 a > 0$ 。

與 $x$ 軸有兩個交點， $b^{2} - 4 a c > 0$ 。

$a - b + c = f (- 1)$ ，而 $- 1$ 在 $- 3$ 與 $5$ 之間，圖形在 $x$ 軸上方，所以 $f (- 1) > 0$ （實際上 $f (- 1) = - 12 a$ ）。

正數有 $b$ 、 $c$ 、 $b^{2} - 4 a c$ 、 $a - b + c$ 共 $4$ 個，選 (D)。

c

是圖形與

y

軸交點的

y

坐標；

a - b + c

就是

f (- 1)

，看

x = - 1

時圖形在

x

軸的哪一側。

第 8 題

$b^{2} - 4 a c < 0$ 表示圖形與 $x$ 軸沒有交點， $f (x)$ 恆正或恆負； $f (- 1) = - 3 < 0$ ，所以 $f (x)$ 恆負，開口向下： $a < 0$ ，(A) 對； $c = f (0) < 0$ ，(B) 對。

開口向下時，離對稱軸越遠函數值越小。 $f (- 1) = - 3 < f (3) = - 1$ ，表示 $3$ 比 $- 1$ 離對稱軸近，所以對稱軸 $x = h$ 在 $- 1$ 與 $3$ 的中點 $1$ 的右邊： $h > 1$ 。

在對稱軸左邊， $x$ 越大函數值越大。 $- 3 < - 2 < 1 < h$ ，所以 $f (- 3) < f (- 2)$ ，(C) 對； $0 < 1 < h$ ，所以 $f (0) < f (1)$ ，(D) 對。

(E) 不一定： $f (4) < f (5)$ 要 $5$ 比 $4$ 離對稱軸近，即 $h > 4.5$ ，但 $h$ 不一定這麼大。例如 $f (x) = - 0.1 x^{2} + 0.7 x - 2.2$ ： $f (- 1) = - 3$ 、 $f (3) = - 1$ ， $b^{2} - 4 a c = 0.49 - 0.88 < 0$ 都符合，對稱軸 $x = 3.5$ ，而 $f (4) = - 1$ 、 $f (5) = - 1.2$ ， $f (4) > f (5)$ 。所以錯誤的敘述是 (E)。

由

f (- 1)

、

f (3)

算得

b = \frac{1}{2} - 2 a

，對稱軸

h = 1 - \frac{1}{4 a}

；再由判別式小於

0

可得

h

約在

1.54

與

8.46

之間，跨過

4.5

，所以 (E) 不一定成立。

第 9 題

$x^{2} - 2 x + 5 = (x - 1)^{2} + 4 > 0$ ，不影響正負。 $(x - 1)^{20} \geq 0$ ，等於 $0$ 時（ $x = 1$ ）不等式成立。 $x^{33}$ 與 $x$ 同號。所以 $x \neq = 1$ 時，不等式等同於 $x (x - 6) (x^{2} - 2 x - 4) \leq 0$ 。

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$ 的根是 $1 \pm 5$ ，約為 $- 1.24$ 與 $3.24$ 。四個根由小到大為 $1 - 5$ 、 $0$ 、 $1 + 5$ 、 $6$ ，最高次項係數為正，由右往左正負交替：解為 $1 - 5 \leq x \leq 0$ 或 $1 + 5 \leq x \leq 6$ 。

整數解有 $- 1$ 、 $0$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ ，再加上 $x = 1$ ，共 $6$ 個，選 (B)。

偶次方因式

(x - 1)^{20}

雖然不改變正負，但讓

x = 1

成為解，不要漏掉。

解高次不等式：先拿掉恆正的因式、把奇次方換成一次方、偶次方另外看等號，再用數線上正負交替判斷。

03填充第 10～15 題（原卷第二大題 6～11）：多項式的運算、餘式定理與除法原理

第 10 題整理：

f (x) = (b + 2) x^{3} + (a - b) x^{2} + a x + (4 b + a)

。一次多項式要三次項與二次項係數為

0

：

b + 2 = 0

，

a - b = 0

，得

b = - 2

、

a = - 2

；此時一次項係數

a = - 2 \neq = 0

，確實是一次。

a + b = - 4

。

第 11 題

x^{4}

項由第一個括號的

(i + 1) x^{i}

乘第二個括號的

(j + 1) x^{j}

（

i + j = 4

）得到：

1 \times 5 + 2 \times 4 + 3 \times 3 + 4 \times 2 + 5 \times 1 = 5 + 8 + 9 + 8 + 5 = 35

。

第 12 題

用綜合除法， $f (x)$ 除以 $x - 17$ 的餘式就是 $f (17)$ ：

$1722 - 39 34 - 5 90 - 85 5 - 83 852 - 36 34 - 2 39 - 34 5$

所以 $f (17) = 5$ 。

直接代

17

要算

1 7^{5}

，數字很大；綜合除法每一步只乘

17

一次。

第 13 題

x^{2} - 3 x - 4 = (x - 4) (x + 1)

，所以

f (4) = 3 \times 4 + 2 = 14

。

x^{2} - 6 x + 8 = (x - 2) (x - 4)

，所以

g (4) = - 4 + 6 = 2

。由餘式定理，

f (x) \times g (x)

除以

x - 4

的餘式是

f (4) g (4) = 14 \times 2 = 28

。

第 14 題

設 $f (x) = (x^{2} - 2 x + 2) q (x) + p x + s$ 。則 $(x + 1) f (x) = (x^{2} - 2 x + 2) (x + 1) q (x) + (x + 1) (p x + s)$ ，所以 $(x + 1) f (x)$ 除以 $x^{2} - 2 x + 2$ 的餘式就是 $(x + 1) (p x + s) = p x^{2} + (p + s) x + s$ 除以 $x^{2} - 2 x + 2$ 的餘式。

$p x^{2} + (p + s) x + s = p (x^{2} - 2 x + 2) + (3 p + s) x + (s - 2 p)$ ，餘式是 $(3 p + s) x + (s - 2 p)$ 。

比較係數： $3 p + s = 11$ ， $s - 2 p = - 19$ ，相減得 $5 p = 30$ ， $p = 6$ ， $s = - 7$ 。所求餘式為 $6 x - 7$ 。

驗算：

(x + 1) (6 x - 7) = 6 x^{2} - x - 7 = 6 (x^{2} - 2 x + 2) + 11 x - 19

。

第 15 題

由除法原理 $f (x) = (x - 1)^{2} A (x) + 3 x + 1$ ，所以 $f (1) = 4$ ； $f (x) = (x - 2)^{2} B (x) + x + 3$ ，所以 $f (2) = 5$ 。

設 $f (x)$ 除以 $(x - 1) (x - 2)$ 的餘式為 $ux + v$ ，則 $f (1) = u + v = 4$ ， $f (2) = 2 u + v = 5$ ，得 $u = 1$ 、 $v = 3$ ，餘式為 $x + 3$ 。

只用到

f (1)

與

f (2)

兩個值；除式是二次，餘式最多一次，兩個條件就能決定。

求餘式先問「除式的根是多少」：除式能分解就用餘式定理代值；分解不了就設餘式、用除法原理比較係數。

04填充第 16～22 題（原卷第二大題 12～18）：二次函數的圖形、平移、恆正與極值

第 16 題配方：

f (x) = 3 (x - 2)^{2} - 4

，對稱軸

x = 2

，開口向上。

3 \leq x \leq 5

整段在對稱軸右邊，

f (x)

隨

x

增大而增大：

m = f (3) = 3 - 4 = - 1

，

M = f (5) = 27 - 4 = 23

。

M + m = 22

。

頂點

x = 2

不在範圍內，所以最小值不是

- 4

。

第 17 題倒回去做：把

y = x^{2} + 2 x + 2

先向上平移

3

單位，再向左平移

2

單位。向上

3

：

y = x^{2} + 2 x + 5

；向左

2

：把

x

換成

x + 2

，

y = (x + 2)^{2} + 2 (x + 2) + 5 = x^{2} + 6 x + 13

。所以

f (x) = x^{2} + 6 x + 13

。

驗算：

f (x) = (x + 3)^{2} + 4

，頂點

(- 3, 4)

，向右

2

、向下

3

到

(- 1, 1)

，正是

y = (x + 1)^{2} + 1

的頂點。

第 18 題

y = x^{2} - 4 x - 5 = (x - 2)^{2} - 9

，頂點

P (2, - 9)

。

x^{2} - 4 x - 5 = (x + 1) (x - 5) = 0

，

Q

、

R

為

(- 1, 0)

、

(5, 0)

，

\overline{QR} = 6

。高是

P

到

x

軸的距離

9

，面積

= \frac{1}{2} \times 6 \times 9 = 27

。

第 19 題

圖形恆在上方：對所有實數 $x$ ， $m x^{2} + 2 x + m > 2 x + 3$ ，即 $m x^{2} + (m - 3) > 0$ 恆成立。

$m = 0$ 時變成 $- 3 > 0$ ，不成立。 $m \neq = 0$ 時，二次式恆正要開口向上且判別式小於 $0$ ： $m > 0$ ，且 $0^{2} - 4 m (m - 3) < 0$ ，即 $m (m - 3) > 0$ ；配合 $m > 0$ 得 $m > 3$ 。所以 $m > 3$ 。

也可以直接看：

m x^{2} + (m - 3)

在

x = 0

時是

m - 3

，要大於

0

；又要開口向上

m > 0

。

第 20 題

$f (x) - 3$ 是三次多項式，且 $x = 2$ 、 $- 1$ 、 $4$ 都使它為 $0$ ，由因式定理 $f (x) - 3 = k (x - 2) (x + 1) (x - 4)$ 。

$f (1) = 15$ ： $k (- 1) (2) (- 3) + 3 = 6 k + 3 = 15$ ， $k = 2$ 。

$f (0) = 2 \times (- 2) \times 1 \times (- 4) + 3 = 16 + 3 = 19$ 。

第 21 題

$f (x) > 0$ 的解是 $- 9 < x < 3$ ，所以 $f (x) = a (x + 9) (x - 3)$ 且 $a < 0$ ； $f (t) \leq 0$ 的解是 $t \leq - 9$ 或 $t \geq 3$ 。

令 $t = 3 x$ ： $3 x \leq - 9$ 或 $3 x \geq 3$ ，即 $x \leq - 3$ 或 $x \geq 1$ 。

第 22 題

設 $\overline{A P} = x$ （ $0 \leq x \leq 10$ ），則 $\overline{B P} = 10 - x$ 。斜邊 $x$ 的等腰直角三角形，兩股都是 $\frac{x}{2}$ ，面積 $\frac{1}{2} \cdot \frac{x ^{2}}{2} = \frac{x ^{2}}{4}$ 。正方形面積 $(10 - x)^{2}$ 。

面積和 $S = \frac{x ^{2}}{4} + (10 - x)^{2} = \frac{5}{4} x^{2} - 20 x + 100 = \frac{5}{4} (x - 8)^{2} + 20$ 。

$x = 8$ 在 $0$ 到 $10$ 之間，最小值為 $20$ 。

驗算：

x = 8

時三角形面積

16

，正方形邊長

2

、面積

4

，和為

20

。

二次函數在一段範圍內的極值：先配方找頂點，頂點在範圍內才取得到；不在就看兩端點。

05填充第 23、24 題（原卷第二大題 19、20）：因式與三次不等式、三次函數的展開與一次近似

第 23 題

(1) $f (x)$ 是三次、首項係數 $1$ ，有因式 $x^{2} - 4 x + 2$ ，另一個因式是 $x + t$ ： $(x^{2} - 4 x + 2) (x + t) = x^{3} + (t - 4) x^{2} + (2 - 4 t) x + 2 t$ 。比較 $x^{2}$ 項： $t - 4 = - 5$ ， $t = - 1$ 。所以 $a = 2 - 4 t = 6$ ， $b = 2 t = - 2$ ， $(a, b) = (6, - 2)$ 。

(2) $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 4 x + 2)$ ， $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ 的根是 $2 \pm 2$ ，約為 $0.59$ 與 $3.41$ 。三根由小到大為 $2 - 2$ 、 $1$ 、 $2 + 2$ ，最高次項係數為正，由右往左正負交替：

$f (x) \geq 0$ 的解為 $x \geq 2 + 2$ 或 $2 - 2 \leq x \leq 1$ 。

2 - 2 \approx 0.59 < 1

，所以

1

排在

2 - 2

與

2 + 2

之間。

第 24 題

(1) $f (x) = x^{3} + 2 x - 1$ 沒有 $x^{2}$ 項，對稱中心的 $x$ 坐標是 $0$ ， $f (0) = - 1$ ，對稱中心為 $(0, - 1)$ 。（ $y = x^{3} + 2 x$ 的圖形對稱於原點，再向下平移 $1$ 。）

(2) 令 $t = x + 1$ ， $x = t - 1$ ： $f = (t - 1)^{3} + 2 (t - 1) - 1 = t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 2 t - 2 - 1 = t^{3} - 3 t^{2} + 5 t - 4$ 。所以 $(a, b, c, d) = (1, - 3, 5, - 4)$ 。

(3) $x$ 接近 $- 1$ 時， $(x + 1)^{3}$ 、 $(x + 1)^{2}$ 比 $x + 1$ 小得多，一次近似取 $g (x) = 5 (x + 1) - 4 = 5 x + 1$ 。

(4) $x = - 0.998$ 時 $x + 1 = 0.002$ ： $f (- 0.998) = 0.00 2^{3} - 3 \times 0.00 2^{2} + 5 \times 0.002 - 4 = 0.000000008 - 0.000012 + 0.01 - 4 = - 3.990011992$ ，四捨五入到小數點後第二位為 $- 3.99$ 。

用一次近似

g (- 0.998) = 5 \times (- 0.998) + 1 = - 3.99

也得到同樣的結果；高次項只影響小數點後第五位。

把三次函數寫成

x - h

的升冪形式，常數項是

f (h)

、一次項係數決定在

x = h

附近的一次近似。

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第 2 題要把除以 x−b/a 改寫成除以 ax−b，商式要乘 1/a 而餘式不變；第 8 題要先由判別式小於 0 與 f(−1) 為負推出 f 恆負，再看出對稱軸在 1 的右邊但位置不固定，所以只有 (E) 不一定成立；第 9 題的偶次方因式讓 x＝1 成為解，容易漏算；第 14 題的除式不能分解，要設餘式再用除法原理比較係數；第 16 題的頂點不在範圍內，最小值不是頂點的值。詳解逐題寫在本頁。

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03填充第 10～15 題（原卷第二大題 6～11）：多項式的運算、餘式定理與除法原理

04填充第 16～22 題（原卷第二大題 12～18）：二次函數的圖形、平移、恆正與極值

05填充第 23、24 題（原卷第二大題 19、20）：因式與三次不等式、三次函數的展開與一次近似

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