苑裡高中 114 上
高二第三次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (A)(C)(D)(E)。

① $D$ 在直線 $AP$ 上，設 $\overrightarrow{AD}=t\overrightarrow{AP}=\frac{2t}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{4t}{7}\overrightarrow{AC}$。

② $D$ 又在 $\overline{BC}$ 上，兩個係數和為 $1$：$\frac{6t}{7}=1$，$t=\frac{7}{6}$。

③ 代回得 $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，所以 $\overline{BD}:\overline{DC}=2:1$；又 $\overline{AP}:\overline{AD}=6:7$。

(A) 正確。 由 ②，$\overrightarrow{AD}=\frac{7}{6}\overrightarrow{AP}$。

(B) 錯誤。 由 ③，$\overline{BD}:\overline{CD}=2:1$，不是 $1:2$。

(C) 正確。 就是 ③ 的結果。

(D) 正確。 $△ABP=\frac{6}{7}△ABD=\frac{6}{7}\times \frac{2}{3}△ABC=\frac{4}{7}△ABC$；$△ACP=\frac{6}{7}\times \frac{1}{3}△ABC=\frac{2}{7}△ABC$。兩者的比是 $4:2=2:1$。

(E) 正確。 由 (D) 的計算，$△ABP:△ABC=4:7$。

答案 (A)(B)(E)。判斷方法：寫成 $\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，係數和 $x+y=1$ 時 $P$ 在直線 $AB$ 上。

(A) 正確。 $\overrightarrow{AP}=-3\overrightarrow{AB}$，兩向量平行且有共同起點 $A$，所以 $A$、$P$、$B$ 共線。

(B) 正確。 係數和 $\frac{2}{5}+\frac{3}{5}=1$，$P$ 在直線 $AB$ 上（而且是 $\overline{AB}$ 上的分點）。

(C) 錯誤。 移項得 $\overrightarrow{OP}=-\frac{4}{7}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{7}\overrightarrow{OB}$，係數和 $-\frac{1}{7}\ne 1$，$O$ 不在直線 $AB$ 上時 $P$ 就不在直線 $AB$ 上，不能確定三點共線。

(D) 錯誤。 $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PB}$ 是首尾相接的恆等式，任何點 $P$ 都成立，推不出共線。

(E) 正確。 $\overrightarrow{OP}=\frac{9}{7}\overrightarrow{OA}-\frac{2}{7}\overrightarrow{OB}$，係數和 $\frac{9}{7}-\frac{2}{7}=1$，$P$ 在直線 $AB$ 上（在 $A$ 的外側）。

答案 (D)(E)。

(A) 錯誤。 左邊是與 $\overrightarrow{c}$ 平行的向量，右邊是與 $\overrightarrow{a}$ 平行的向量。例如 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}=(1,0)$，$\overrightarrow{c}=(0,1)$：左邊 $=1\times (0,1)=(0,1)$，右邊 $=(1,0)\times 0=(0,0)$，不相等。

(B) 錯誤。 實數 $0$ 乘以向量得到的是零向量 $\overrightarrow{0}$，不是數字 $0$。

(C) 錯誤。 例如 $\overrightarrow{a}=(1,0)$，$\overrightarrow{b}=(0,1)$，$\overrightarrow{c}=(0,2)$：兩個內積都是 $0$，但 $\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{c}$。

(D) 正確。 兩邊平方：${\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2$，得 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$。兩向量都不是零向量，所以 $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$（平行四邊形的兩條對角線等長，就是長方形）。

(E) 正確。 設夾角為 $\theta$，面積 $=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\sin \theta$。

$$\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\sin \theta =\sqrt{{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2(1-{\cos }^2\theta )}=\sqrt{{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}{)}^2}$$

答案 (A)(B)(E)。以正立方體 $ABCD\text{-}EFGH$ 為例（$ABCD$ 為底面，$E$、$F$、$G$、$H$ 依序在 $A$、$B$、$C$、$D$ 的正上方）。

(A) 正確。 過一點與已知直線垂直的平面恰有一個：在這一點作兩條與已知直線垂直、且彼此相交的直線，它們決定的平面就是所求，而且這樣的平面只有一個（空間概念中的基本性質）。

(B) 正確。 歪斜線恰有一條公垂線；兩直線相交時，過交點且垂直於兩線所在平面的直線就是公垂線；兩直線平行時公垂線有無限多條。三種情形都有公垂線。

(C) 錯誤。 不相交的兩直線可能歪斜。例如 $\overleftrightarrow{AB}$ 與 $\overleftrightarrow{CG}$ 不相交，也不平行。

(D) 錯誤。 過平面外一點、與平面平行的直線有無限多條：它們都落在過該點且與已知平面平行的那個平面上。

(E) 正確。 設兩平面的交線為 $L$，任何與 $L$ 垂直的平面都同時垂直 $E_1$ 及 $E_2$。例如底面 $ABCD$ 與側面 $BCGF$ 互相垂直，正面 $ABFE$ 同時垂直這兩個面。

答案 (B)。

① 正六邊形中 $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OE}$，所以 $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OE}$。

② 代入 $\overrightarrow{OP}=\alpha \overrightarrow{OC}+\beta \overrightarrow{OE}$，得 $\overrightarrow{OP}=\alpha \overrightarrow{OD}+(\beta -\alpha )\overrightarrow{OE}$。

③ $P$ 在 $△ODE$ 內部的條件：$\overrightarrow{OD}$、$\overrightarrow{OE}$ 的係數都大於 $0$，且係數和小於 $1$，即 $\alpha >0$、$\beta -\alpha >0$、$\beta <1$。

④ 逐項檢查：(A) $\beta =1$，在直線 $DE$ 上（其實 $P=D$），不在內部；(B) $\alpha =\frac{1}{4}$，$\beta -\alpha =\frac{1}{4}$，$\beta =\frac{1}{2}<1$，符合；(C)(E) $\alpha <0$；(D) $\beta -\alpha =-\frac{3}{4}<0$。

所以答案是 (B)，此時 $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OE}$。

答案 (E)。設邊長為 $1$（邊長是 $k$ 時三數都乘 $k^2$，大小關係不變）。

① $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{v}$ 等於 $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ 乘以 $\overrightarrow{v}$ 在 $\overrightarrow{AB}$ 方向的正射影長（同向為正）。

② $p=1\times 1=1$。

③ $\angle BAC=30^{\circ }$，$\overline{AC}=\sqrt{3}$，正射影長 $\sqrt{3}\cos 30^{\circ }=\frac{3}{2}$，$q=\frac{3}{2}$。

④ $\angle BAD=60^{\circ }$，$\overline{AD}=2$，正射影長 $2\cos 60^{\circ }=1$，$r=1$。

所以 $p=r<q$。

答案 (D)。

① 分量對應：$5m+n=18$，$m-2n=8$。

② 第一式乘 $2$ 加第二式：$11m=44$，$m=4$；代回 $n=18-20=-2$。

③ $m+n=4+(-2)=2$。

答案 (A)。

① $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2\times 3\times \cos 120^{\circ }=-3$。

② ${\left|3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right|}^2=9{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+12\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+4{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2=36-36+36=36$。

③ 所以 $\left|3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right|=6$。

答案 (E)。逐項用行列式的性質。

(A) 行列互換，值不變：$\left|\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right|=ad-bc=24$，不是 $-24$。

(B) $\left|\begin{array}{cc}a& -b\\ -c& d\end{array}\right|=ad-(-b)(-c)=ad-bc=24$，不是 $48$。

(C) 兩列各提出 $\frac{1}{2}$：值是 $\frac{1}{4}\times 24=6$，不是 $12$。

(D) 第二行減去第一行的 $\frac{1}{3}$ 倍，值不變，仍是 $24$，不是 $8$。

(E) 第二行減去第一行得 $\left|\begin{array}{cc}a+2b& b\\ c+2d& d\end{array}\right|$，再把第一行減去第二行的 $2$ 倍得 $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=24$。正確。

① $M$ 是 $\overline{AC}$ 中點：$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$。

② $N$ 是 $\overline{BM}$ 中點：$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$。

③ $x=\frac{1}{2}$，$y=\frac{1}{4}$，所以 $x+y=\frac{3}{4}$。

① 設中心 $O$ 為原點、邊長 $1$，依圖 $A\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$B(-1,0)$，$C\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$E(1,0)$。

② $\overrightarrow{AB}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$\overrightarrow{AC}=(0,-\sqrt{3})$，$\overrightarrow{AE}=\left(\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。

③ 比較 $x$ 分量：$-\frac{1}{2}m=\frac{3}{2}$，$m=-3$。

④ 比較 $y$ 分量：$-\frac{\sqrt{3}}{2}m-\sqrt{3}n=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入 $m=-3$ 得 $n=2$。

所以 $m-n=-3-2=-5$。

① $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{9+16}=5$。

② 同方向、長度為 $3$ 的向量是 $\frac{3}{5}\overrightarrow{a}=\frac{3}{5}(-3,4)$。

所以答案是 $\left(-\frac{9}{5},\frac{12}{5}\right)$。

(1) 垂直時內積為 $0$：$2x+1\times 4=0$，$x=-2$。

(2) $\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=(2-2x,-7)$，$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(4+x,6)$。

兩向量平行：$(2-2x)\times 6-(-7)(4+x)=0$，整理得 $40-5x=0$，$x=8$。

① $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，且 $\overline{AD}=\overline{BC}=6$。

② $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB})\cdot (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})={\left|\overrightarrow{AD}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{AB}\right|}^2$。

③ $=36-16=20$，與夾角無關。

① 以 $B$ 為原點，$\overrightarrow{BC}$ 方向為 $x$ 軸：$B(0,0)$，$A(0,2)$，$D(4,2)$，$C(4,0)$。

② $M(0,1)$；$\overline{AP}=1$，$P(1,2)$；$\overline{BQ}=3$，$Q(3,0)$。

③ $\overrightarrow{MP}=(1,1)$，$\overrightarrow{MQ}=(3,-1)$，內積 $=3-1=2$。

④ $\cos \angle PMQ=\frac{2}{\sqrt{2}\times \sqrt{10}}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

① $\overrightarrow{OA}=(-2,11)$，$\overrightarrow{OB}=(3,-4)$。

② $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=-6-44=-50$，${\left|\overrightarrow{OB}\right|}^2=25$。

(1) 正射影 $=\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}{{\left|\overrightarrow{OB}\right|}^2}\overrightarrow{OB}=-2(3,-4)=(-6,8)$。

(2) 投影點 $H$ 滿足 $\overrightarrow{OH}=(-6,8)$，所以 $H=(1-6,1+8)=(-5,9)$。

① 以 $A$ 為原點、$\overrightarrow{AB}$ 方向為 $x$ 軸正向：$\overrightarrow{AB}=(6,0)$。

② 圖中 $\overrightarrow{BC}$ 與 $\overrightarrow{AB}$ 延長方向夾 $120^{\circ }$，所以 $\overrightarrow{BC}=4(\cos 120^{\circ },\sin 120^{\circ })=(-2,2\sqrt{3})$。

③ 圖中 $\overrightarrow{CD}$ 與 $\overrightarrow{BC}$ 延長方向再轉 $60^{\circ }$，方向角 $180^{\circ }$，$\overrightarrow{CD}=(-1,0)$。

④ $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=(3,2\sqrt{3})$。

所以 $\overline{AD}=\sqrt{9+12}=\sqrt{21}$。

① 柯西不等式：$\left[x^2+(3y{)}^2\right]\left[1^2+(-1{)}^2\right]\ge (x-3y{)}^2=16$。

② 所以 $x^2+9y^2\ge 8$。

③ 等號成立時 $\frac{x}{1}=\frac{3y}{-1}$，即 $x=-3y$。代入 $x-3y=-4$：$2x=-4$，$x=-2$，$y=\frac{2}{3}$。

(1) 最小值為 $8$。

(2) $(x,y)=\left(-2,\frac{2}{3}\right)$。

① 第二列減去第一列（值不變）：

$$\left|\begin{array}{cc}2025& 2027\\ 2026& 2028\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}2025& 2027\\ 1& 1\end{array}\right|$$

② $=2025\times 1-2027\times 1=-2$。

① 把新方程組按 $a_1$、$b_1$ 整理：$a_1(2x+y)+b_1(-3y)=4c_1$；第二式同理。

② 兩邊除以 $4$：$a_1\cdot \frac{2x+y}{4}+b_1\cdot \frac{-3y}{4}=c_1$，$a_2\cdot \frac{2x+y}{4}+b_2\cdot \frac{-3y}{4}=c_2$。

③ 原方程組恰有一組解，表示 $\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|\ne 0$；所以 $\left(\frac{2x+y}{4},\frac{-3y}{4}\right)$ 只能是 $(1,2)$。

④ $\frac{-3y}{4}=2$，$y=-\frac{8}{3}$；$\frac{2x+y}{4}=1$，$2x=4+\frac{8}{3}=\frac{20}{3}$，$x=\frac{10}{3}$。

所以 $(m,n)=\left(\frac{10}{3},-\frac{8}{3}\right)$。

① 兩向量所決定的平行四邊形面積是 $\left|\left|\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\end{array}\right|\right|$，已知 $\left|x_1{y}_2-x_2{y}_1\right|=12$。

② $3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=(3x_1-2x_2,3y_1-2y_2)$，$2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}=(2x_1+3x_2,2y_1+3y_2)$。

③ 展開：

$$\left|\begin{array}{cc}3x_1-2x_2& 3y_1-2y_2\\ 2x_1+3x_2& 2y_1+3y_2\end{array}\right|=13(x_1{y}_2-x_2{y}_1)$$

④ 所求面積 $=13\times 12=156$。

① 摺起來後四條側稜都等於腰長 $8$，頂點 $V$ 在底面的正射影是正方形中心 $O$。

② 正方形對角線長 $4\sqrt{2}$，$\overline{OB}=2\sqrt{2}$。

③ 直角三角形 $VOB$ 中，$\overline{VO}=\sqrt{8^2-(2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$。

① $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}$（兩個向量同時反向，內積不變），夾角是 $\angle C$。

② 由餘弦定理，$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=\overline{CA}\overline{CB}\cos C=\frac{{\overline{CA}}^2+{\overline{CB}}^2-{\overline{AB}}^2}{2}$。

③ $=\frac{64+49-25}{2}=44$。

① 設 $\overline{AE}:\overline{AC}=t$，則 $\overrightarrow{AD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AE}=t\overrightarrow{AC}$。

② 重心：$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{5}{9}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3t}\overrightarrow{AE}$。

③ $D$、$G$、$E$ 共線，係數和為 $1$：$\frac{5}{9}+\frac{1}{3t}=1$，$\frac{1}{3t}=\frac{4}{9}$，$t=\frac{3}{4}$。

所以 $\overline{AE}:\overline{EC}=3:1$。

① 分點公式：$\overrightarrow{OM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{ON}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$。

② $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=2\times 4\times \cos 120^{\circ }=-4$，${\left|\overrightarrow{OA}\right|}^2=4$，${\left|\overrightarrow{OB}\right|}^2=16$。

③ 展開：

$$\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=\frac{2}{9}{\left|\overrightarrow{OA}\right|}^2+\frac{5}{9}\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+\frac{2}{9}{\left|\overrightarrow{OB}\right|}^2$$

④ $=\frac{8}{9}-\frac{20}{9}+\frac{32}{9}=\frac{20}{9}$。