段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

苑裡高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 苑裡高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 苑裡高中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 5 題要把方程式化成單一餘弦再數解，不能把和角直接拆成兩個正弦相加；多選第 2 題（本頁第 7 題）要用餘弦圖形的對稱性比較面積；多選第 3 題（第 8 題）的選項 D 有一個解落在範圍外、要改取下一圈；填充第 5 題（第 14 題）左右兩邊交點個數不同，要一段一段數。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題、多選題 4 題（每題 5 分，共 20 分）、填充題 11 題（15 格）；單選題與填充題合併計分，原卷未印各題配分

一、單一選擇題：與填充題合併計分

試求

cos (- \frac{π}{3})

的值為下列哪一個選項？

(A) $\frac{3}{2}$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) $\frac{- 1}{2}$
(D) $\frac{- 2}{2}$
(E) $\frac{- 3}{2}$

周長為

20

的扇形，在半徑為多少時，面積最大？

(A) $2$
(B) $3$
(C) $4$
(D) $5$
(E) $6$

設

9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ} < β < 27 0^{\circ}

，且

sin α = \frac{4}{5}

，

cos β = - \frac{5}{13}

，則

cos (α - β)

的值為下列哪一選項？

(A) $\frac{63}{65}$
(B) $\frac{33}{65}$
(C) $\frac{16}{65}$
(D) $\frac{- 33}{65}$
(E) $\frac{- 63}{65}$

把

y = cos x

的圖形向右平移

\frac{π}{2}

個單位，所得新圖形為下列哪一個函數的圖形？

(A) $y = sin x$
(B) $y = - sin x$
(C) $y = cos x$
(D) $y = - cos x$
(E) $y = (cos x) + \frac{π}{2}$

試問有多少個實數

x

滿足

sin (x + \frac{π}{6}) = sin x + sin \frac{π}{6}

且

0 \leq x < 2 π

？

(A) $1$ 個
(B) $2$ 個
(C) $3$ 個
(D) $4$ 個
(E) $5$ 個（含）以上

二、多重選擇題：每題 5 分（答錯一個扣 2 分，扣至 0 分為止），共 20 分（原卷題號 1～4，本頁接續編為第 6～9 題）

設

\frac{π}{2} \leq θ \leq π

，

sin θ = \frac{4}{5}

，則下列哪些選項是正確的？

(A) $cos (π + θ) = \frac{3}{5}$
(B) $cos (θ + \frac{π}{2}) = - \frac{4}{5}$
(C) $sin (\frac{7 π}{2} - θ) = - \frac{3}{5}$
(D) $tan (θ - π) = \frac{3}{4}$
(E) $tan (θ - \frac{3 π}{2}) = \frac{3}{4}$

設

a > 0

，令

A (a)

表示

x

軸、

y

軸、直線

x = a

與函數

y = cos x + 2

的圖形所圍成的面積。下列選項哪些是正確的？

(A) $A (a + 2 π) = A (a)$ 恆成立
(B) $A (2 π) = 2 A (π)$
(C) $A (4 π) = 2 A (2 π)$
(D) $A (3 π) - A (\frac{5 π}{2}) > A (2 π) - A (\frac{3 π}{2})$
(E) $A (5 π) - A (4 π) = A (2 π) - A (π)$

令

f (x) = sin x + 3 cos x

，試選出正確的選項。

(A) 鉛直線 $x = \frac{π}{6}$ 為 $y = f (x)$ 圖形的對稱軸
(B) 若鉛直線 $x = a$ 和 $x = b$ 均為 $y = f (x)$ 圖形的對稱軸，則 $f (a) = f (b)$
(C) 在區間 $[0, 2 π)$ 中恰有兩個實數 $x$ 滿足 $f (x) = 3$
(D) 在區間 $[0, 2 π)$ 中滿足 $f (x) = \frac{1}{2}$ 的所有實數 $x$ 之和超過 $2 π$
(E) $y = f (x)$ 的圖形可由 $y = 4 sin^{2} \frac{x}{2}$ 的圖形經適當（左右、上下）平移得到

若

θ

為第四象限角，且

sin θ + cos θ = \frac{1}{5}

，試選出正確的選項。

(A) $sin 2 θ = - \frac{24}{25}$
(B) $sin θ - cos θ = - \frac{7}{5}$
(C) $cos 3 θ = \frac{44}{125}$
(D) $tan θ = - \frac{4}{3}$
(E) $tan \frac{θ}{2} = - \frac{1}{3}$

三、填充題：與單一選擇題合併計分（原卷題號 1～11，本頁編為第 10～20 題）

已知圓錐體積

= \frac{1}{3} \times

底面積

\times

高，今有一圓錐之高為

5

，體積為

\frac{4 5 π}{3}

，若將此圓錐體剪開成一扇形，則此扇形的圓心角為 ____。

若

a = cos 1

、

b = cos 2

、

c = cos 3

、

d = cos 4

，則

a

、

b

、

c

、

d

四者的大小關係為 ____。

時鐘在

5

點

48

分時，時針與分針所夾的較小的夾角為 ____ 弳。

求下列各函數之週期：(1)

y = sin (3 x + 4)

　答：____　(2)

y = sin \frac{2 x}{3} + tan \frac{3 x}{4}

　答：____　(3)

y = ∣ sin 2 x ∣ + ∣ cos 2 x ∣

　答：____。

方程式

cos x = \frac{x}{7}

有 ____ 個實數解。

函數

y = a cos (b x) + c

的部分圖形如圖，若

a

、

b

、

c > 0

，試求序組

(a, b, c) =

____。

載入中...

將函數

y = cos x

的圖形先以

x

軸為中心沿鉛直方向伸縮為

2

倍，再以

y

軸為中心沿水平方向伸縮為

\frac{1}{3}

倍，再向左平移

\frac{π}{3}

單位，向上平移

4

單位可得

y = a cos (b x + c) + d

的圖形，且

0 < c < 2 π

，則序組

(a, b, c, d) =

____。

試求下列各式之值：(1)

cos 52. 5^{\circ} \times cos 7. 5^{\circ} - sin 52. 5^{\circ} \times sin 7. 5^{\circ} =

____。(2)

sin 31 0^{\circ} \times cos 10 0^{\circ} - cos 13 0^{\circ} \times sin 28 0^{\circ} =

____。

若

tan (α + β) = 3

，

tan (α - β) = 2

，則

tan (2 β) =

____。

(1) 設

0 \leq x < 2 π

，若

f (x) = 3 sin x - 4 cos x

最大值為

M

，最小值為

m

，則數對

(M, m) =

____。(2) 設

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

，若

f (x) = 3 sin x - 4 cos x

最大值為

M

，最小值為

m

，則數對

(M, m) =

____。

設

x + y = \frac{π}{3}

，則

sin x + 4 sin y

之最大值為

M

，最小值為

m

，試求數對

(M, m) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(D)

第 3 題(D)

第 4 題(A)

第 5 題(B)

第 6 題(A)(B)(E)

第 7 題(B)(C)(E)

第 8 題(A)(C)(D)(E)

第 9 題(A)(B)(E)

第 10 題

\frac{4 π}{3}

第 11 題

a > b > d > c

第 12 題

\frac{19 π}{30}

第 13 題(1)

\frac{2 π}{3}

　(2)

12 π

　(3)

\frac{π}{4}

第 14 題

5

第 15 題

(5, 2, 3)

第 16 題

(2, 3, π, 4)

第 17 題(1)

\frac{1}{2}

　(2)

- \frac{1}{2}

第 18 題

\frac{1}{7}

第 19 題(1)

(5, - 5)

　(2)

(3, - 4)

第 20 題

(13, - 13)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：特別角、扇形、差角公式、平移、解方程式

第 1 題答案 (B)。餘弦函數滿足

cos (- θ) = cos θ

，所以

cos (- \frac{π}{3}) = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

。

第 2 題答案 (D)。設半徑

r

、圓心角

θ

（弧度），弧長為

r θ

。周長

2 r + r θ = 20

，得

r θ = 20 - 2 r

。面積

= \frac{1}{2} r \cdot r θ = \frac{1}{2} r (20 - 2 r) = 10 r - r^{2} = 25 - (r - 5)^{2}

，所以

r = 5

時面積最大，最大值為

25

。

此時弧長

10

、圓心角

θ = 2

弧度，小於

2 π

，確實是扇形。

第 3 題答案 (D)。

α

在第二象限，

cos α = - 1 - (\frac{4}{5})^{2} = - \frac{3}{5}

；

β

在第三象限，

sin β = - 1 - (\frac{5}{13})^{2} = - \frac{12}{13}

。

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β = (- \frac{3}{5}) (- \frac{5}{13}) + \frac{4}{5} (- \frac{12}{13}) = \frac{15 - 48}{65} = \frac{- 33}{65}

。

第 4 題答案 (A)。向右平移

\frac{π}{2}

是把

x

換成

x - \frac{π}{2}

，得

y = cos (x - \frac{π}{2}) = cos x cos \frac{π}{2} + sin x sin \frac{π}{2} = sin x

。

第 5 題答案 (B)。原式即

sin (x + \frac{π}{6}) - sin x = \frac{1}{2}

。令

t = x + \frac{π}{12}

，則左邊

= sin (t + \frac{π}{12}) - sin (t - \frac{π}{12})

，用和差角公式展開後相減得

2 cos t sin \frac{π}{12}

。又

sin \frac{π}{12} = sin (4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}) = \frac{6 - 2}{4}

，所以

cos t = \frac{1}{4 sin \frac{π}{12}} = \frac{1}{6 - 2} = \frac{6 + 2}{4} = cos \frac{π}{12}

。

0 \leq x < 2 π

時

\frac{π}{12} \leq t < \frac{25 π}{12}

，在這個範圍內

t = \frac{π}{12}

或

t = 2 π - \frac{π}{12} = \frac{23 π}{12}

，即

x = 0

或

x = \frac{11 π}{6}

，共

2

個。

代回檢查：

x = 0

時兩邊都是

\frac{1}{2}

；

x = \frac{11 π}{6}

時左邊

sin 2 π = 0

，右邊

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0

。注意

sin (A + B)

一般不等於

sin A + sin B

，只有特定的

x

才會成立。

已知一個三角函數值求其他值時，先由象限決定正負號，再代公式。

02多選題：化簡公式、圖形對稱與面積、疊合、倍角與半角

第 6 題答案 (A)(B)(E)。

θ

在第二象限，

cos θ = - \frac{3}{5}

，

tan θ = - \frac{4}{3}

。(A) 對：

cos (π + θ) = - cos θ = \frac{3}{5}

。(B) 對：

cos (θ + \frac{π}{2}) = - sin θ = - \frac{4}{5}

。(C) 錯：

\frac{7 π}{2} - θ

與

\frac{3 π}{2} - θ

相差

2 π

，

sin (\frac{3 π}{2} - θ) = - cos θ = \frac{3}{5}

，不是

- \frac{3}{5}

。(D) 錯：正切的週期是

π

，

tan (θ - π) = tan θ = - \frac{4}{3}

。(E) 對：

θ - \frac{3 π}{2}

與

θ + \frac{π}{2}

相差

2 π

，

tan (θ + \frac{π}{2}) = \frac{sin ( θ + \frac{π}{2} )}{cos ( θ + \frac{π}{2} )} = \frac{cos θ}{- sin θ} = \frac{- \frac{3}{5}}{- \frac{4}{5}} = \frac{3}{4}

。

第 7 題答案 (B)(C)(E)。

y = cos x + 2

的值在

1

到

3

之間，圖形恆在

x

軸上方，

A (a)

就是圖形在

0

到

a

之間與

x

軸所夾的面積。對任意整數

k

，

cos (k π + t) = - cos ((k + 1) π - t)

，所以在

k π \leq x \leq (k + 1) π

這一段，圖形對點

(k π + \frac{π}{2}, 2)

對稱，高於

y = 2

的部分恰好補上低於

y = 2

的部分，這一段的面積等於寬

π

、高

2

的長方形面積

2 π

。因此

A (nπ) = 2 nπ

（

n

為正整數）。(A) 錯：

A (a + 2 π) = A (a) + 4 π

。(B) 對：

A (2 π) = 4 π = 2 A (π)

。(C) 對：

A (4 π) = 8 π = 2 A (2 π)

。(D) 錯：左邊是

\frac{5 π}{2} \leq x \leq 3 π

這段的面積，此時

cos x \leq 0

，圖形不高於

y = 2

，面積小於

2 \times \frac{π}{2} = π

；右邊是

\frac{3 π}{2} \leq x \leq 2 π

這段的面積，此時

cos x \geq 0

，面積大於

π

；所以左邊小於右邊。(E) 對：兩邊各是一段寬

π

的面積，都等於

2 π

。

這題不需要算出

A (a)

的式子，只用到餘弦圖形的對稱性與「比長方形多或少」的比較。

第 8 題答案 (A)(C)(D)(E)。疊合：

f (x) = 2 (\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{π}{3})

。(A) 對：

f (\frac{π}{6}) = 2 sin \frac{π}{2} = 2

是最大值，過最高點的鉛直線是對稱軸。(B) 錯：對稱軸通過最高點或最低點，例如

a = \frac{π}{6}

、

b = \frac{7 π}{6}

時

f (a) = 2

、

f (b) = - 2

。(C) 對：令

u = x + \frac{π}{3}

，

\frac{π}{3} \leq u < \frac{7 π}{3}

；

sin u = \frac{3}{2}

的解是

u = \frac{π}{3}

、

\frac{2 π}{3}

（

\frac{7 π}{3}

不在範圍內），即

x = 0

、

\frac{π}{3}

，恰兩個。(D) 對：

f (x) = \frac{1}{2}

即

sin u = \frac{1}{4}

。設銳角

φ

滿足

sin φ = \frac{1}{4}

，因為

\frac{1}{4} < \frac{3}{2}

，所以

φ < \frac{π}{3}

；在

\frac{π}{3} \leq u < \frac{7 π}{3}

內的解是

u = π - φ

與

u = 2 π + φ

，兩個

x

的和為

(π - φ) + (2 π + φ) - \frac{2 π}{3} = \frac{7 π}{3} > 2 π

。(E) 對：由半角公式

4 sin^{2} \frac{x}{2} = 2 (1 - cos x) = 2 - 2 cos x

，而

- cos x = sin (x - \frac{π}{2})

，所以它是

y = 2 sin (x - \frac{π}{2}) + 2

；把這個圖形向左平移

\frac{5 π}{6}

、向下平移

2

就得到

y = 2 sin (x + \frac{π}{3})

。

(D) 要注意

u = φ

這個解小於

\frac{π}{3}

，不在範圍內，要改取

u = 2 π + φ

。

第 9 題答案 (A)(B)(E)。把

sin θ + cos θ = \frac{1}{5}

兩邊平方：

1 + 2 sin θ cos θ = \frac{1}{25}

，所以

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = - \frac{24}{25}

，(A) 對。

(sin θ - cos θ)^{2} = 1 - 2 sin θ cos θ = \frac{49}{25}

，第四象限

sin θ < 0 < cos θ

，所以

sin θ - cos θ = - \frac{7}{5}

，(B) 對。兩式相加減得

sin θ = - \frac{3}{5}

、

cos θ = \frac{4}{5}

。(C) 錯：

cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ = \frac{7}{25}

，

cos 3 θ = cos (2 θ + θ) = \frac{7}{25} \cdot \frac{4}{5} - (- \frac{24}{25}) (- \frac{3}{5}) = \frac{28 - 72}{125} = - \frac{44}{125}

。(D) 錯：

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = - \frac{3}{4}

。(E) 對：

tan \frac{θ}{2} = \frac{sin θ}{1 + cos θ} = \frac{- \frac{3}{5}}{\frac{9}{5}} = - \frac{1}{3}

。

(E) 用的式子來自倍角公式：

\frac{sin θ}{1 + cos θ} = \frac{2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2}}{2 cos ^{2} \frac{θ}{2}} = tan \frac{θ}{2}

，不必另外判斷

\frac{θ}{2}

的象限。

多選題逐項判斷前，先把共用的量（各三角函數值、疊合後的式子）算好，每個選項再代。

03填充題：弧度量的應用與弧度角比大小

第 10 題設底面半徑

r

：

\frac{1}{3} \cdot π r^{2} \cdot 5 = \frac{4 5 π}{3}

，得

r^{2} = 4

，

r = 2

。斜高（母線長）

= r^{2} + (5)^{2} = 4 + 5 = 3

。圓錐側面沿母線剪開後是半徑

3

的扇形，弧長等於底面圓周長

2 π \cdot 2 = 4 π

，所以圓心角

= \frac{4 π}{3}

（弧度）。

題幹的「剪開成一扇形」指的是把圓錐的側面沿一條母線剪開攤平。

第 11 題

π \approx 3.14

，所以

1

弧度在第一象限，

2

、

3

弧度在第二象限，

4

弧度在第三象限（

π < 4 < \frac{3 π}{2} \approx 4.71

）。只有

a = cos 1 > 0

，其餘皆負。餘弦在

0

到

π

遞減，所以

cos 2 > cos 3

，即

b > c

。再用

cos 4 = cos (2 π - 4)

，

2 π - 4 \approx 2.28

，而

2 < 2.28 < 3

，所以

cos 2 > cos 4 > cos 3

，即

b > d > c

。合起來

a > b > d > c

。

數值約為

a \approx 0.54

、

b \approx - 0.42

、

d \approx - 0.65

、

c \approx - 0.99

。

第 12 題從

12

的位置順時針量：分針每分鐘走

6^{\circ}

，

48

分時在

48 \times 6^{\circ} = 28 8^{\circ}

；時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

5

點

48

分時在

5 \times 3 0^{\circ} + 48 \times 0. 5^{\circ} = 17 4^{\circ}

。兩針夾角

28 8^{\circ} - 17 4^{\circ} = 11 4^{\circ}

，小於

18 0^{\circ}

，就是較小的夾角。化成弧度：

114 \times \frac{π}{180} = \frac{19 π}{30}

。

弧度角比大小時，先用 π 約等於 3.14 判斷象限，再化到同一段單調區間裡比較。

04填充題：週期、圖形交點、由圖形求係數、平移伸縮

第 13 題(1)

y = sin (3 x + 4)

的週期是

\frac{2 π}{3}

。(2)

sin \frac{2 x}{3}

的週期是

2 π \div \frac{2}{3} = 3 π

，

tan \frac{3 x}{4}

的週期是

π \div \frac{3}{4} = \frac{4 π}{3}

；兩者要同時重複，取

3 π = \frac{9 π}{3}

與

\frac{4 π}{3}

的最小公倍數

\frac{36 π}{3} = 12 π

。(3) 令

g (x) = ∣ sin 2 x ∣ + ∣ cos 2 x ∣

，

g (x + \frac{π}{4}) = sin (2 x + \frac{π}{2}) + cos (2 x + \frac{π}{2}) = ∣ cos 2 x ∣ + ∣ sin 2 x ∣ = g (x)

；又

g (x)^{2} = 1 + 2∣ sin 2 x cos 2 x ∣ = 1 + ∣ sin 4 x ∣

，而

∣ sin 4 x ∣

的週期是

\frac{π}{4}

，所以

g

的週期是

\frac{π}{4}

。

(2) 中

12 π

是

3 π

的

4

倍、

\frac{4 π}{3}

的

9

倍。(3) 兩項各自的週期是

\frac{π}{2}

，但相加後更短。

第 14 題畫

y = cos x

與直線

y = \frac{x}{7}

數交點。

∣ cos x ∣ \leq 1

，所以只需看

- 7 \leq x \leq 7

；

2 π \approx 6.28 < 7 < \frac{5 π}{2} \approx 7.85

。 $x > 0$ ：在

0 < x < \frac{π}{2}

，餘弦由

1

降到

0

、直線由

0

上升，交

1

點；在

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{3 π}{2}

，

cos x \leq 0

而直線為正，沒有交點；在

\frac{3 π}{2} < x < 2 π

，餘弦由

0

升到

1

，直線由約

0.67

升到約

0.90

，餘弦由下方超過直線，交

1

點；在

2 π < x \leq 7

，餘弦由

1

降到

cos 7 \approx 0.75

，直線由約

0.90

升到

1

，再交

1

點。 $x < 0$ ：直線為負，只可能在

cos x < 0

的

- \frac{3 π}{2} < x < - \frac{π}{2}

相交；兩端

cos x = 0

高於直線，中間

x = - π

時

cos x = - 1

低於直線的

- \frac{π}{7} \approx - 0.45

，左右各交

1

點，共

2

點；

- 7 \leq x \leq - \frac{3 π}{2}

時

cos x \geq 0

，沒有交點。

x = 0

不是解。合計

3 + 2 = 5

個。

關鍵是

x = 7

落在

2 π

與

\frac{5 π}{2}

之間，右邊最後一個波峰附近有兩個交點；左邊對應的波峰處直線是負的，沒有交點，所以左右個數不同。

第 15 題由圖，最大值

8

、最小值

- 2

。

a > 0

時最大值

a + c = 8

、最小值

- a + c = - 2

，解得

a = 5

、

c = 3

。

x = 0

是最高點，往右依序是最低點、最高點（

x = π

）、最低點（

x = \frac{3 π}{2}

）；從

x = 0

的最高點到

x = \frac{3 π}{2}

的最低點經過一個半週期，所以週期

= \frac{3 π}{2} \div \frac{3}{2} = π

，

b = \frac{2 π}{π} = 2

。

(a, b, c) = (5, 2, 3)

。

檢查：

5 cos (2 \cdot \frac{3 π}{2}) + 3 = 5 cos 3 π + 3 = - 2

，與圖上標的點相符。

第 16 題依序操作：鉛直伸縮

2

倍得

y = 2 cos x

；水平伸縮

\frac{1}{3}

倍是把

x

換成

3 x

，得

y = 2 cos 3 x

；向左平移

\frac{π}{3}

是把

x

換成

x + \frac{π}{3}

，得

y = 2 cos (3 (x + \frac{π}{3})) = 2 cos (3 x + π)

；向上平移

4

得

y = 2 cos (3 x + π) + 4

。

c = π

滿足

0 < c < 2 π

，所以

(a, b, c, d) = (2, 3, π, 4)

。

平移是對

x

本身加減，所以要寫成

3 (x + \frac{π}{3})

，

c

是

π

而不是

\frac{π}{3}

。題幹沒有限定

a

、

b

的正負；因為

cos (- u) = cos u

，

y = 2 cos (- 3 x + π) + 4

也是同一個圖形，若允許

b < 0

還有

(2, - 3, π, 4)

這一組。原卷參考答案為

(2, 3, π, 4)

，即取

a > 0

、

b > 0

。

數交點個數時，先用值域把 x 的範圍框住，再一段一段比較兩個圖形的高低。

05填充題：和差角公式與疊合求極值

第 17 題(1) 這是

cos (A + B)

的展開式：原式

= cos (52. 5^{\circ} + 7. 5^{\circ}) = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。(2) 先化成銳角：

sin 31 0^{\circ} = - sin 5 0^{\circ}

，

cos 10 0^{\circ} = - cos 8 0^{\circ}

，

cos 13 0^{\circ} = - cos 5 0^{\circ}

，

sin 28 0^{\circ} = - sin 8 0^{\circ}

。原式

= sin 5 0^{\circ} cos 8 0^{\circ} - cos 5 0^{\circ} sin 8 0^{\circ} = sin (5 0^{\circ} - 8 0^{\circ}) = sin (- 3 0^{\circ}) = - \frac{1}{2}

。

第 18 題

2 β = (α + β) - (α - β)

，用正切的差角公式：

tan 2 β = \frac{tan ( α + β ) - tan ( α - β )}{1 + tan ( α + β ) tan ( α - β )} = \frac{3 - 2}{1 + 3 \times 2} = \frac{1}{7}

。

第 19 題疊合：

f (x) = 5 (\frac{3}{5} sin x - \frac{4}{5} cos x) = 5 sin (x - φ)

，其中

φ

是銳角，

cos φ = \frac{3}{5}

、

sin φ = \frac{4}{5}

。(1)

0 \leq x < 2 π

時

x - φ

走過完整一圈，

sin (x - φ)

取遍

- 1

到

1

，所以

(M, m) = (5, - 5)

。(2)

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

時

- φ \leq x - φ \leq \frac{π}{2} - φ

，這段落在

- \frac{π}{2}

與

\frac{π}{2}

之間，正弦遞增，所以最小值在

x = 0

：

f (0) = - 4

；最大值在

x = \frac{π}{2}

：

f (\frac{π}{2}) = 3

。

(M, m) = (3, - 4)

。

(2) 也可以直接看：

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

時

3 sin x

遞增、

- 4 cos x

也遞增，所以

f

遞增，極值在兩個端點。範圍受限時，極值不一定是

\pm 5

。

第 20 題

y = \frac{π}{3} - x

，

sin y = sin \frac{π}{3} cos x - cos \frac{π}{3} sin x = \frac{3}{2} cos x - \frac{1}{2} sin x

。所以

sin x + 4 sin y = sin x + 23 cos x - 2 sin x = - sin x + 23 cos x

。

x

可以是任意實數，疊合後振幅為

(- 1)^{2} + (23)^{2} = 13

，所以最大值

13

、最小值

- 13

，

(M, m) = (13, - 13)

。

兩個角有關係式時，先消去一個角，化成同一個角的正弦與餘弦，再疊合。

疊合後先看角的範圍：走滿一圈時極值是正負振幅，範圍受限時要看這段裡正弦的增減。

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單選第 5 題要把方程式化成單一餘弦再數解，不能把和角直接拆成兩個正弦相加；多選第 2 題（本頁第 7 題）要用餘弦圖形的對稱性比較面積；多選第 3 題（第 8 題）的選項 D 有一個解落在範圍外、要改取下一圈；填充第 5 題（第 14 題）左右兩邊交點個數不同，要一段一段數。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自苑裡高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

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01單選題：特別角、扇形、差角公式、平移、解方程式

02多選題：化簡公式、圖形對稱與面積、疊合、倍角與半角

03填充題：弧度量的應用與弧度角比大小

04填充題：週期、圖形交點、由圖形求係數、平移伸縮

05填充題：和差角公式與疊合求極值

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