段考詳解範圍：數與式（實數與循環小數、根式、絕對值、算幾不等式）、指數與常用對數

苑裡高中 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 苑裡高中 113 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 苑裡高中 113 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題要由整數解恰有 13 個推出 log k 大於 6 且不超過 7，兩個端點一個不含一個含；第 7 題的 (E) 要先因式分解再找範圍，(C)、(D) 要留意 x 可以是 0 或負數；第 14 題保證當選要用有效票除以 7 再加 1 票，不是除以 6；第 20 題不能把兩個 PH 值直接平均，要換回濃度算總量；第 21 題兩個 24 位數相加會進位成 25 位。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 21 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

單一選擇題 5 題與填充題 12 題（15 格）合併計分，共 20 格、80 分，依答對格數計分；多重選擇題 4 題（每題 5 分，共 20 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對

一、單一選擇題：與填充題合併計分　計分方式：單一選擇 5 題與填充 15 格合計 20 格，答對 1～20 格所得分數依序為 10、18、24、30、34、38、42、46、50、54、57、60、63、66、69、72、74、76、78、80 分。

將

\frac{5}{7}

化為小數，則小數點後第

200

位數字為何？

(A) $1$
(B) $2$
(C) $4$
(D) $7$
(E) $8$

試問有多少個整數

x

滿足不等式

∣ x - 10∣ \leq ∣ x - 60∣ \leq ∣ x + 10∣

？

(A) $8$ 個
(B) $9$ 個
(C) $10$ 個
(D) $11$ 個
(E) $20$ 個

若

x

、

y

皆為正數，

x y = 24

，則

2 x + 3 y

的最小值為多少？

(A) $20$
(B) $24$
(C) $28$
(D) $30$
(E) $32$

已知

lo g 3 = 0.4771

，

lo g a = 2.4771

，則

a

可能是下列哪一個數？

(A) $3$
(B) $30$
(C) $300$
(D) $3000$
(E) $30000$

已知

k

為正整數，若不等式

∣ x - 2∣ < lo g k

的整數解恰有

13

個，則符合條件的

k

值有幾個？

(A) $9 \times 1 0^{4}$ 個
(B) $9 \times 1 0^{5}$ 個
(C) $9 \times 1 0^{6}$ 個
(D) $9 \times 1 0^{7}$ 個
(E) $9 \times 1 0^{8}$ 個

二、多重選擇題：每題 5 分（答錯一個扣 2 分，扣至 0 分為止），共 20 分　〔原卷多重選擇題另編第 1～4 題，即本頁第 6～9 題〕

下列哪些有理數可以化為有限小數？

(A) $\frac{97}{400}$
(B) $\frac{17}{60}$
(C) $\frac{105}{56}$
(D) $\frac{429}{220}$
(E) $\frac{735}{98}$

已知

x

、

y

均為實數，且

- 1 \leq x \leq 3

，

2 \leq y \leq 5

，則下列選項何者為真？

(A) $3 \leq x + 2 y \leq 13$
(B) $- 7 \leq 2 x - y \leq 4$
(C) $2 \leq x^{2} y \leq 45$
(D) $\frac{- 1}{2} \leq \frac{x}{y} \leq \frac{3}{5}$
(E) $- 21 \leq x y + 2 x - 2 y - 4 \leq 13$

已知

a = 5^{0.2}

，

b = 5^{0.3}

，請選出正確的選項：

(A) $a^{5} = 5$
(B) $b^{10} = 125$
(C) $a + b = 5^{0.5}$
(D) $ab = 5$
(E) $a^{3} = b^{2}$

設

a

、

b

、

c

為實數且滿足

lo g a = 1.2

、

lo g b = 2.4

、

lo g c = 3.6

，試選出正確的選項。（已知

1 0^{0.3010} \approx 2

，

1 0^{0.4771} \approx 3

，

1 0^{0.6990} \approx 5

）

(A) $10 < a < 20$
(B) $200 < b < 300$
(C) $4000 < c < 5000$
(D) $b = 2 a$
(E) $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等差數列

三、填充題：與單一選擇題合併計分　〔原卷填充題另編第 1～12 題，即本頁第 10～21 題；第 15 題（原卷填充 6）的 (1)～(4) 各佔一格，計分表見第一大題〕

設

x

、

y

均為有理數，且已知

(2 + 5) x + (1 - 5) y = 8 + 5

，則數對

(x, y) =

＿＿＿＿。

設

a = 4 - 3

，

b = 12 - 7

，

c = 14 - 5

，試問

a

、

b

、

c

的大小關係為＿＿＿＿。

設

x

、

y

為整數，滿足

2∣ x + 3∣ + 5∣ y - 4∣ = 24

，求數對

(x, y)

共有＿＿＿＿組解。

設

a

、

b

皆為實數，且不等式

∣ a x - 4∣ \geq b

之解為

x \geq 15

或

x \leq 1

，則數對

(a, b) =

＿＿＿＿。

某地區議員選舉，欲從

12

位候選員選出

6

位，設該地區有投票權之民眾為

96000

人，每人都可圈選

1

人，若該日之投票率為

7

成，廢票

840

票，則要當選該地區議員至少要得＿＿＿＿票才能保證當選。

化簡下列各式：(1)

\frac{3 2}{5 - 2} - \frac{3 2}{5 + 2} =

＿＿＿＿。　(2)

14 + 248 - 8 - 43 =

＿＿＿＿。　(3)

1 6^{- \frac{3}{2}} \times 25 6^{- \frac{1}{4}} \times 64 =

＿＿＿＿。　(4)

1 0^{l o g 3} - lo g 100 + lo g 1010 =

＿＿＿＿。

已知

x > 3

，試求

x + \frac{1}{x - 3} + 5

的最小值為＿＿＿＿。

設

6 7^{x} = 27

，

60 3^{y} = 81

，試求

\frac{3}{x} - \frac{4}{y} =

＿＿＿＿。

設

a > 0

，

a^{2 x} = 4

，求

\frac{a ^{x} + a ^{- x}}{a ^{3 x} - a ^{- 5 x}} =

＿＿＿＿。

lo g 54321

的整數部份為＿＿＿＿。

PH 值（氫離子濃度指數）是溶液中氫離子濃度的一種標度，例如：

PH = 5

的溶液其氫離子濃度為

1 0^{- 5}

（莫耳／升）；現在取

PH = 2.5

的鹽酸

30

毫升與

PH = 4.5

的硝酸

300

毫升，假設體積可加成，則兩種溶液混合後的氫離子濃度為＿＿＿＿（莫耳／升）。

已知

1000

是四位正整數，試問

3^{50} + 2^{78}

是＿＿＿＿位正整數。（

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 7 \approx 0.8451

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(D)

第 3 題(B)

第 4 題(C)

第 5 題(C)

第 6 題(A)(C)(D)(E)

第 7 題(A)(B)(E)

第 8 題(A)(B)(D)(E)

第 9 題(A)(B)

第 10 題

(3, 2)

第 11 題

a > c > b

第 12 題

10

第 13 題

(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})

第 14 題

9481

第 15 題(1)

4

　(2)

32

　(3)

\frac{1}{4}

　(4)

\frac{5}{2}

第 16 題

10

第 17 題

- 2

第 18 題

\frac{16}{51}

第 19 題

4

第 20 題

1 0^{- 3.5}

第 21 題

25

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單一選擇題（第 1～5 題）：循環節、絕對值、算幾不等式與 log

第 1 題直接除：

\frac{5}{7} = 0.714285714285 \dots = 0. \overline{714285}

，循環節有

6

位。

200 = 6 \times 33 + 2

，所以第

200

位和第

2

位相同，是

1

，選 (A)。

餘數是

2

就看循環節的第

2

個數字；如果餘數是

0

，要看循環節的最後一個數字。

第 2 題

∣ x - 10∣ \leq ∣ x - 60∣

表示

x

到

10

的距離不超過到

60

的距離，

10

和

60

的中點是

35

，所以

x \leq 35

。

∣ x - 60∣ \leq ∣ x + 10∣

表示

x

到

60

的距離不超過到

- 10

的距離，

- 10

和

60

的中點是

25

，所以

x \geq 25

。兩個條件要同時成立：

25 \leq x \leq 35

，整數有

35 - 25 + 1 = 11

個，選 (D)。

兩端

25

和

35

都算（不等式有等號），所以是

11

個不是

10

個。

第 3 題

2 x

、

3 y

都是正數，由算幾不等式

\frac{2 x + 3 y}{2} \geq 2 x \cdot 3 y = 6 x y = 144 = 12

，所以

2 x + 3 y \geq 24

。等號在

2 x = 3 y = 12

，即

x = 6

、

y = 4

時成立（此時

x y = 24

符合條件），最小值是

24

，選 (B)。

第 4 題

lo g 3 = 0.4771

表示

1 0^{0.4771} = 3

。

lo g a = 2.4771

表示

a = 1 0^{2.4771} = 1 0^{2} \times 1 0^{0.4771} = 100 \times 3 = 300

，選 (C)。

第 5 題

∣ x - 2∣ < lo g k

的解是到

2

的距離小於

lo g k

的點，整數解以

2

為中心左右對稱：

2

、

2 \pm 1

、

2 \pm 2

、…。恰有

13

個表示剛好取到

2 \pm 6

（共

1 + 2 \times 6 = 13

個），而

2 \pm 7

不能取到，所以

6 < lo g k \leq 7

，也就是

1 0^{6} < k \leq 1 0^{7}

。這個範圍內的正整數有

1 0^{7} - 1 0^{6} = 9 \times 1 0^{6}

個，選 (C)。

不等式是「小於」，所以

lo g k = 6

時

2 \pm 6

取不到（只有

11

個解），

lo g k = 7

時

2 \pm 7

也取不到（仍是

13

個解）；兩個端點一個不含、一個含。

∣ x - p ∣ \leq ∣ x - q ∣

這種「兩個絕對值比大小」的式子，直接讀成「到

p

比到

q

近」，分界點就是

p

、

q

的中點。

02多重選擇題（第 6～9 題）：有限小數、範圍運算、指數律與 log 的估計

第 6 題先約成最簡分數，分母的質因數只有

2

和

5

才能化為有限小數。(A)

\frac{97}{400}

已是最簡，

400 = 2^{4} \times 5^{2}

，可以。(B)

\frac{17}{60}

已是最簡，

60 = 2^{2} \times 3 \times 5

含有

3

，不可以。(C)

\frac{105}{56} = \frac{15}{8}

，

8 = 2^{3}

，可以。(D)

\frac{429}{220} = \frac{39}{20}

（同除以

11

），

20 = 2^{2} \times 5

，可以。(E)

\frac{735}{98} = \frac{15}{2}

（同除以

49

），可以。答案 (A)(C)(D)(E)。

一定要先約分再看分母：(C)(D)(E) 原來的分母分別含有

7

、

11

、

7

，約分後才消掉。

第 7 題(A) 對：

4 \leq 2 y \leq 10

，和

- 1 \leq x \leq 3

相加得

3 \leq x + 2 y \leq 13

。(B) 對：

- 2 \leq 2 x \leq 6

，

- 5 \leq - y \leq - 2

，相加得

- 7 \leq 2 x - y \leq 4

。(C) 錯：

x

可以是

0

，這時

x^{2} y = 0 < 2

；正確的範圍是

0 \leq x^{2} y \leq 45

。(D) 錯：取

x = 3

、

y = 2

，

\frac{x}{y} = \frac{3}{2} > \frac{3}{5}

；正確的範圍是

- \frac{1}{2} \leq \frac{x}{y} \leq \frac{3}{2}

。(E) 對：

x y + 2 x - 2 y - 4 = (x - 2) (y + 2)

，其中

- 3 \leq x - 2 \leq 1

、

4 \leq y + 2 \leq 7

，乘積最小是

(- 3) \times 7 = - 21

，最大是

1 \times 7 = 7

，所以

- 21 \leq x y + 2 x - 2 y - 4 \leq 7

，當然也滿足

\leq 13

。答案 (A)(B)(E)。

(E) 右邊的

13

不是這個式子真正的最大值（最大值是

7

），但「

- 21 \leq

該式

\leq 13

」這個不等式對範圍內所有的

x

、

y

都成立，所以敘述為真；原卷答案也選 (E)。(C)(D) 則是範圍內真的有

x

、

y

讓不等式不成立。

第 8 題(A)

a^{5} = 5^{0.2 \times 5} = 5^{1} = 5

，對。(B)

b^{10} = 5^{0.3 \times 10} = 5^{3} = 125

，對。(C) 錯：指數相加是底數相同的數「相乘」時才用的，

a + b

不能這樣合併。由算幾不等式

a + b \geq 2 ab = 2 \times 5^{0.25}

；而

5^{0.5} = 5^{0.25} \times 5^{0.25}

，其中

5^{0.25} < 2

（因為

2^{4} = 16 > 5

），所以

5^{0.5} < 2 \times 5^{0.25} \leq a + b

，兩者不相等。（數值上

a \approx 1.38

、

b \approx 1.62

，

a + b \approx 3.00

，

5 \approx 2.24

。）(D)

ab = 5^{0.2 + 0.3} = 5^{0.5} = 5

，對。(E)

a^{3} = 5^{0.6}

，

b^{2} = 5^{0.6}

，相等，對。答案 (A)(B)(D)(E)。

第 9 題

a = 1 0^{1.2} = 10 \times 1 0^{0.2}

，

b = 1 0^{2.4} = 100 \times 1 0^{0.4}

，

c = 1 0^{3.6} = 1000 \times 1 0^{0.6}

。(A) 對：

0 < 0.2 < 0.3010

，所以

1 < 1 0^{0.2} < 2

，

10 < a < 20

。(B) 對：

0.3010 < 0.4 < 0.4771

，所以

2 < 1 0^{0.4} < 3

，

200 < b < 300

。(C) 錯：

1 0^{0.6020} = (1 0^{0.3010})^{2} \approx 4

，而

0.4771 < 0.6 < 0.6020

，所以

3 < 1 0^{0.6} < 4

，

3000 < c < 4000

。(D) 錯：

2 a < 40

，但

b > 200

。（其實

b = 1 0^{2.4} = (1 0^{1.2})^{2} = a^{2}

。）(E) 錯：

b - a < 300

，但

c - b > 3000 - 300 = 2700

，兩個差不相等；

a

、

b

、

c

是每次乘

1 0^{1.2}

，成等比數列。答案 (A)(B)。

lo g a

、

lo g b

、

lo g c

是

1.2

、

2.4

、

3.6

成等差，對應的

a

、

b

、

c

是成等比，不是成等差。

用

1 0^{0.3010} \approx 2

、

1 0^{0.4771} \approx 3

估計

10

的小數次方時，把指數夾在兩個已知的指數之間，數值就夾在對應的兩個數之間。

03填充第 10～14 題（原卷填充 1～5）：實數、根式比大小、絕對值與保證當選

第 10 題展開後把有理數部分和

5

的部分分開：

(2 x + y) + (x - y) 5 = 8 + 5

。因為

x

、

y

是有理數，兩邊的有理數部分和

5

的係數要分別相等：

2 x + y = 8

，

x - y = 1

。兩式相加得

3 x = 9

，

x = 3

，

y = 2

。所以

(x, y) = (3, 2)

。

驗算：

3 (2 + 5) + 2 (1 - 5) = 6 + 35 + 2 - 25 = 8 + 5

。

第 11 題把

a

寫成

16 - 3

。比較

a

和

c

：

16 > 14

，而且

3 < 5

，被減的比較大、減掉的比較小，所以

a > c

。比較

c

和

b

：

14 > 12

，而且

5 < 7

，所以

c > b

。因此

a > c > b

。

數值約為

a \approx 2.27

、

c \approx 1.51

、

b \approx 0.82

。

第 12 題

2∣ x + 3∣

和

24

都是偶數，所以

5∣ y - 4∣

是偶數，

∣ y - 4∣

必須是偶數；又

5∣ y - 4∣ \leq 24

，所以

∣ y - 4∣ = 0

、

2

或

4

。

∣ y - 4∣ = 0

時

∣ x + 3∣ = 12

：

y

有

1

個、

x

有

2

個，共

2

組。

∣ y - 4∣ = 2

時

∣ x + 3∣ = 7

：

y

有

2

個、

x

有

2

個，共

4

組。

∣ y - 4∣ = 4

時

∣ x + 3∣ = 2

：

y

有

2

個、

x

有

2

個，共

4

組。合計

2 + 4 + 4 = 10

組。

絕對值等於正數時有兩個解，等於

0

時只有一個解，所以第一種情形是

2

組不是

4

組。

第 13 題解是

x \leq 1

或

x \geq 15

，

1

和

15

的中點是

8

、到中點的距離是

7

，所以解可以寫成

∣ x - 8∣ \geq 7

。兩邊同乘

\frac{1}{2}

得

\frac{1}{2} x - 4 \geq \frac{7}{2}

，和

∣ a x - 4∣ \geq b

對照，得

a = \frac{1}{2}

、

b = \frac{7}{2}

，即

(a, b) = (\frac{1}{2}, \frac{7}{2})

。

為什麼只有這一組：

∣ a x - 4∣ = ∣ a ∣ \cdot x - \frac{4}{a}

，中心

\frac{4}{a}

必須是

8

，所以

a = \frac{1}{2}

；再由

\frac{b}{∣ a ∣} = 7

得

b = \frac{7}{2}

。

第 14 題投票人數

96000 \times 0.7 = 67200

人，扣掉廢票，有效票是

67200 - 840 = 66360

票。要選出

6

位，最壞的情形是票集中在

7

個人身上互相競爭。

66360 \div 7 = 9480

：如果只得

9480

票，可能

7

個人都剛好

9480

票而分不出前

6

名，不能保證當選；如果得到

9481

票，其他人不可能有

6

個人的票數都不少於

9481

（那樣

7

個人合計至少

9481 \times 7 = 66367

票，超過有效票數），所以一定在前

6

名。至少要

9481

票。

選

n

位時，保證當選的門檻是「有效票除以

n + 1

」再多

1

票（商不是整數時取大於商的最小整數）；除的是

7

不是

6

，也不是候選人數

12

。

由解回推絕對值不等式：先找兩個端點的中點和半徑，寫成

∣ x - 中點 ∣ \geq 半徑

，再乘上適當的數去對照題目給的形式。

04填充第 15 題（原卷填充 6）：四個化簡

第 15 題(1) 通分，公分母

(5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 = 3

：原式

= \frac{3 2 [ ( 5 + 2 ) - ( 5 - 2 ) ]}{3} = 2 \times 22 = 4

。(2)

14 + 248

：找和為

14

、積為

48

的兩數

8

和

6

，所以

14 + 248 = 8 + 6 = 22 + 6

。

8 - 43 = 8 - 212

：找和為

8

、積為

12

的兩數

6

和

2

，所以

8 - 43 = 6 - 2

。相減：

(22 + 6) - (6 - 2) = 32

。(3) 全部化成

2

的次方：

1 6^{- \frac{3}{2}} = (2^{4})^{- \frac{3}{2}} = 2^{- 6}

，

25 6^{- \frac{1}{4}} = (2^{8})^{- \frac{1}{4}} = 2^{- 2}

，

64 = 2^{6}

。原式

= 2^{- 6 - 2 + 6} = 2^{- 2} = \frac{1}{4}

。(4)

1 0^{l o g 3} = 3

（

lo g 3

就是「

10

的幾次方等於

3

」的那個次方）；

lo g 100 = 2

；

1010 = 1 0^{1.5}

，所以

lo g 1010 = 1.5

。原式

= 3 - 2 + 1.5 = \frac{5}{2}

。

(2) 的第二個根號要先把

43

改寫成

212

，根號前的係數是

2

才能套「和與積」；開出來要寫大的減小的

6 - 2

。

雙重根號

p \pm 2 q

：找兩個正數，和為

p

、積為

q

，答案是它們的平方根相加或相減（大減小）。

05填充第 16～18 題（原卷填充 7～9）：算幾不等式與指數式

第 16 題把

x

改寫成

(x - 3) + 3

：原式

= (x - 3) + \frac{1}{x - 3} + 8

。因為

x > 3

，

x - 3

和

\frac{1}{x - 3}

都是正數，由算幾不等式

(x - 3) + \frac{1}{x - 3} \geq 2 (x - 3) \cdot \frac{1}{x - 3} = 2

，所以原式

\geq 2 + 8 = 10

。等號在

x - 3 = \frac{1}{x - 3}

，即

x - 3 = 1

、

x = 4

時成立，最小值是

10

。

直接對

x

和

\frac{1}{x - 3}

用算幾不等式，乘積不是定值，求不出最小值；要先配出

x - 3

。

第 17 題

6 7^{x} = 27 = 3^{3}

，兩邊同取

\frac{1}{x}

次方得

67 = 3^{\frac{3}{x}}

。

60 3^{y} = 81 = 3^{4}

，同理

603 = 3^{\frac{4}{y}}

。兩式相除：

3^{\frac{3}{x} - \frac{4}{y}} = \frac{67}{603} = \frac{1}{9} = 3^{- 2}

（因為

603 = 9 \times 67

）。所以

\frac{3}{x} - \frac{4}{y} = - 2

。

要求的式子裡有

\frac{3}{x}

、

\frac{4}{y}

，所以把

27

、

81

寫成

3^{3}

、

3^{4}

，把底數統一成

3

。

第 18 題

a^{2 x} = (a^{x})^{2} = 4

，而

a > 0

時

a^{x} > 0

，所以

a^{x} = 2

。於是

a^{- x} = \frac{1}{2}

，

a^{3 x} = 2^{3} = 8

，

a^{- 5 x} = 2^{- 5} = \frac{1}{32}

。原式

= \frac{2 + \frac{1}{2}}{8 - \frac{1}{32}} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{255}{32}} = \frac{5}{2} \times \frac{32}{255} = \frac{80}{255} = \frac{16}{51}

。

指數式求值時，先把條件化成「某一塊等於某個數」（例如

a^{x} = 2

），其他的次方都用這一塊去表示。

06填充第 19～21 題（原卷填充 10～12）：log 的整數部分、溶液混合與位數

第 19 題

1 0^{4} = 10000 \leq 54321 < 100000 = 1 0^{5}

，所以

54321 = 1 0^{4. \dots}

，

4 \leq lo g 54321 < 5

，整數部分是

4

。

54321

是

5

位數，

lo g

的整數部分是位數減

1

。

第 20 題氫離子的量（莫耳）＝濃度 × 體積（升）。鹽酸：

1 0^{- 2.5} \times 0.03

。硝酸：

1 0^{- 4.5} \times 0.3 = 1 0^{- 2.5} \times 1 0^{- 2} \times 0.3 = 1 0^{- 2.5} \times 0.003

。合計

1 0^{- 2.5} \times 0.033

莫耳。混合後體積

30 + 300 = 330

毫升

= 0.33

升，濃度

= \frac{1 0 ^{- 2.5} \times 0.033}{0.33} = 1 0^{- 2.5} \times 1 0^{- 1} = 1 0^{- 3.5}

（莫耳／升）。

不能把兩個 PH 值直接平均；要先換回濃度、算出氫離子的總量，再除以總體積。這裡把

1 0^{- 4.5}

寫成

1 0^{- 2.5} \times 1 0^{- 2}

之後就可以提出

1 0^{- 2.5}

。

第 21 題

3^{50} = (1 0^{0.4771})^{50} = 1 0^{23.855} = 1 0^{0.855} \times 1 0^{23}

。因為

1 0^{0.8451} \approx 7

、

1 0^{0.9030} = (1 0^{0.3010})^{3} \approx 8

，所以

7 < 1 0^{0.855} < 8

。

2^{78} = (1 0^{0.3010})^{78} = 1 0^{23.478} = 1 0^{0.478} \times 1 0^{23}

。因為

1 0^{0.4771} \approx 3

、

1 0^{0.6020} \approx 4

，所以

3 < 1 0^{0.478} < 4

。相加：

(7 + 3) \times 1 0^{23} < 3^{50} + 2^{78} < (8 + 4) \times 1 0^{23}

，即

1 0^{24} < 3^{50} + 2^{78} < 1.2 \times 1 0^{24}

。下界剛好壓在

1 0^{24}

上，再估細一點確認：

0.855

比

0.8451

多了約

0.01

，

1 0^{0.855}

約為

7.16

，比

7

多出

0.16

，所以和約為

(7.16 + 3) \times 1 0^{23} \approx 1.02 \times 1 0^{24}

，確實超過

1 0^{24}

。

1 0^{24}

是

25

位數，所以

3^{50} + 2^{78}

是

25

位正整數。

3^{50}

和

2^{78}

各自都是

24

位數，但相加之後進位成

25

位。兩數相加不能只看各自的位數，要估計最高位數字（這就是題目多給

lo g 7

的用意）。實際上

3^{50} \approx 7.18 \times 1 0^{23}

、

2^{78} \approx 3.02 \times 1 0^{23}

，和約為

1.02 \times 1 0^{24}

。

判斷位數時把數寫成

1 0^{小數} \times 1 0^{n}

：

n + 1

是位數，前面的

1 0^{小數}

決定最高位數字；遇到相加要再檢查最高位會不會進位。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 113 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題要由整數解恰有 13 個推出 log k 大於 6 且不超過 7，兩個端點一個不含一個含；第 7 題的 (E) 要先因式分解再找範圍，(C)、(D) 要留意 x 可以是 0 或負數；第 14 題保證當選要用有效票除以 7 再加 1 票，不是除以 6；第 20 題不能把兩個 PH 值直接平均，要換回濃度算總量；第 21 題兩個 24 位數相加會進位成 25 位。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自苑裡高中 113 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

苑裡高中 113 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

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03填充第 10～14 題（原卷填充 1～5）：實數、根式比大小、絕對值與保證當選

04填充第 15 題（原卷填充 6）：四個化簡

05填充第 16～18 題（原卷填充 7～9）：算幾不等式與指數式

06填充第 19～21 題（原卷填充 10～12）：log 的整數部分、溶液混合與位數

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苑裡高中 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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