段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、無窮等比級數、函數的概念與奇偶性、合成函數與反函數、函數的極限、連續函數）

苑裡高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

第壹部份基礎題型：單選題 2 題，每題 5 分，共 10 分；多選題 3 題，每題 5 分，共 15 分；填充題 8 題共 16 格，依答對格數給分，全對 75 分；計算題 1 題，共 5 分。第二部份進階題型 2 題，每題 3 分，共 6 分。卷頭註明本試題最高以 100 分計算。答案已與學校公布的答案逐題核對

第壹部份基礎題型　一、單選題（每題 5 分，共 10 分）

試問

n \to \infty lim \frac{3 n ^{2} - 4 n + 1}{4 n ^{2} + 5 n - 3}

的值為何？

(A) $\frac{3}{4}$
(B) $\frac{1}{3}$
(C) $- \frac{4}{5}$
(D) $0$
(E) 不存在

下列哪個函數的定義域與其他

4

個不同？

(A) $f_{1} (x) = 3 x + 5$
(B) $f_{2} (x) = sin x$
(C) $f_{3} (x) = \frac{5 x + 1}{2 x - 4}$
(D) $f_{4} (x) = x^{2} + 2 x + 7$
(E) $f_{5} (x) = lo g (x^{2} - x + 2)$

二、多選題（每題 5 分，錯一個選項扣 2 分。扣至該題 0 分為止，共 15 分）

下列關於數列的敘述，哪些是正確的？

(A) 若數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂於 $0$ ，則數列 $⟨ a_{n}^{2} ⟩$ 收斂於 $0$
(B) 若數列 $⟨ a_{n}^{2} ⟩$ 收斂於 $1$ ，則數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂於 $1$
(C) 若數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 、 $⟨ b_{n} ⟩$ 均為收斂數列，則 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 為收斂數列
(D) 若 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 為收斂數列，則 $⟨ a_{n} ⟩$ 、 $⟨ b_{n} ⟩$ 均為收斂數列
(E) 若數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 、 $⟨ b_{n} ⟩$ 均為收斂數列，則 $⟨ \frac{a _{n}}{b _{n}} ⟩$ 為收斂數列

已知函數

f (x) = x^{3} + 5

，

g (x) = sin x

，

h (x) = 3 x^{4} + 5

，選出正確的選項。

(A) $f (x)$ 為偶函數
(B) $f (x)$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(C) $g (x)$ 的圖形對稱於原點
(D) $h (x)$ 為偶函數
(E) $h (x)$ 為奇函數

下列哪些極限值存在？

(A) $x \to 1 lim \frac{3 x + 5}{4 x - 1}$
(B) $x \to 2 lim \frac{x ^{2} + x - 6}{x - 2}$
(C) $x \to 3 lim [x]$
(D) $x \to 4.5 lim [x]$
(E) $x \to 0 lim \frac{∣ x ∣}{x}$

三、填充題（答對格數 1～16 格依序得 7、14、20、26、31、36、40、44、48、52、56、60、64、68、72、75 分）

【填充 1，格（1）】

⟨ a_{n} ⟩

為無窮等比數列，

a_{1} = 0. \overline{6}

，

a_{2} = 0. \overline{3}

，則

n = 1 \sum \infty a_{n} =

＿＿＿。

填充第 2 題（第 7～13 題）　求下列各極限（若不存在，則寫「不存在」）。

【填充 2-i，格（2）】

n \to \infty lim \frac{9875 n ^{2} + 5934 n + 9014}{4 n ^{3} + 5 n - 4} =

＿＿＿。

【填充 2-ii，格（3）】

n \to \infty lim \frac{n ^{2} - 54 n - 12}{24698 n + 1903} =

＿＿＿。

【填充 2-iii，格（4）】

n \to \infty lim (\frac{2 n ^{2}}{3 n + 1} - \frac{2 n ^{2}}{3 n - 1}) =

＿＿＿。

【填充 2-iv，格（5）】

x \to 2 lim (x^{3} + 2 x - 7) =

＿＿＿。

【填充 2-v，格（6）】

x \to 2 lim \frac{2 x ^{2} - x - 6}{x - 2} =

＿＿＿。

【填充 2-vi，格（7）】

x \to - 3 lim (\frac{3 x}{x + 3} + \frac{16 x + 3}{x ^{2} + x - 6}) =

＿＿＿。

【填充 2-vii，格（8）】

x \to 4 lim \frac{x ^{2} + 2 x - 9 - 15}{x - 4} =

＿＿＿。

【填充 3，格（9）】求

n = 1 \sum 10 (n + 2) (n + 3) =

＿＿＿。

【填充 4，格（10）】已知函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ b, \frac{x ^{2} + a}{x + 3}, 當 x = - 3 當 x \neq = - 3

在

x = - 3

處連續，求數對

(a, b) =

＿＿＿。

填充第 5 題（第 16～17 題）　苗栗縣內計程車費率規定：前

1.25

公里內（含

1.25

公里），基本收費

100

元，以後每

200

公尺加收

5

元，但沒有達到

200

公尺，則以

200

公尺計算。若行程

x

（公里）、計費

f (x)

（元）可用函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ a, 100 - 5 \times [\frac{b - 20 x}{4}], 當 0 < x \leq 1.25 x > 1.25

表示，其中

[]

為高斯符號。

【填充 5-i，格（11）】求數對

(a, b) =

＿＿＿。

【填充 5-ii，格（12）】若以

300

元搭計程車，則最多可搭乘＿＿＿公里。

【填充 6，格（13）】已知

f (x)

為三次多項式，

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{2 x ^{2} - x - 1} = 4

，

x \to - 3 lim \frac{f ( x )}{x ^{2} + 4 x + 3} = - 2

，則

x \to - 2 lim \frac{f ( x )}{x ^{2} + 7 x + 10} =

＿＿＿。

【填充 7，格（14）】設函數

f (x) = lo g_{a} (x - 5)

，其中

x > 5

，兩函數

y = f (x)

、

y = g (x)

的圖形對稱於直線

x - y = 0

，且

y = g (x)

的圖形過點

(\frac{1}{2}, 7)

，則函數

g (x) =

＿＿＿。

填充第 8 題（第 20～21 題）　如圖，正方形

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

的邊長為

10

，在其內部做一內切圓，再於此內切圓做內接正方形

A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}

，接著做正方形

A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}

的內切圓，…依此類推，得到一連串的正方形與圓形。

【填充 8-i，格（15）】所有正方形的面積總和為＿＿＿。

載入中...

【填充 8-ii，格（16）】所有圓形的周長總和為＿＿＿。

四、計算題（共 5 分）

函數

f (x) = x - 1

，

g (x) = x - 3

，求函數

(f \circ g) (x) = ?

，並求其定義域。

第二部份進階題型（每題 3 分，共 6 分）

【進階 1】令多項式

3 (x + 1)^{n}

除以

(3 x - 2)^{n}

所得餘式的常數項為

r_{n}

，則

n \to \infty lim r_{n} =

＿＿＿。

【進階 2】已知當

0 < x < \frac{π}{2}

時，

cos x \leq \frac{sin x}{x} \leq \frac{1}{cos x}

，求

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} =

＿＿＿。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(C)

第 3 題(A)(C)

第 4 題(C)(D)

第 5 題(A)(B)(D)

第 6 題

\frac{4}{3}

第 7 題

0

第 8 題不存在

第 9 題

- \frac{4}{9}

第 10 題

5

第 11 題

7

第 12 題

\frac{8}{5}

第 13 題

10

第 14 題

720

第 15 題

(- 9, - 6)

第 16 題

(100, 25)

第 17 題

9.25

第 18 題

- 1

第 19 題

4^{x} + 5

第 20 題

200

第 21 題

20 π + 102 π

第 22 題

(f \circ g) (x) = x - 3 - 1

，定義域為

x \geq 4

（即

[4, \infty)

）

第 23 題

3

第 24 題

1

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：分式型數列的極限、函數的定義域

第 1 題答案 (A)。分子、分母同除以

n^{2}

：

\frac{3 n ^{2} - 4 n + 1}{4 n ^{2} + 5 n - 3} = \frac{3 - \frac{4}{n} + \frac{1}{n ^{2}}}{4 + \frac{5}{n} - \frac{3}{n ^{2}}}

。當

n \to \infty

時

\frac{1}{n}

、

\frac{1}{n ^{2}}

都趨近

0

，所以極限為

\frac{3 - 0 + 0}{4 + 0 - 0} = \frac{3}{4}

。

分子、分母次數相同時，極限等於最高次項係數的比。

第 2 題答案 (C)。逐一看定義域：(A) 一次函數，定義域為全體實數。(B)

sin x

的定義域為全體實數。(C) 分母不可為

0

，

2 x - 4 \neq = 0

，定義域為

x \neq = 2

的實數。(D) 根號內

x^{2} + 2 x + 7 = (x + 1)^{2} + 6 > 0

恆成立，定義域為全體實數。(E) 真數

x^{2} - x + 2 = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{7}{4} > 0

恆成立，定義域為全體實數。只有 (C) 不是全體實數。

根號與對數不一定會限制定義域，要把裡面的式子配方（或看判別式）才知道。

定義域看三件事：分母不為 0、偶次根號內不為負、對數的真數為正。

02多選題：收斂數列的性質、奇偶函數、函數極限是否存在

第 3 題答案 (A)(C)。(A) 正確：

n \to \infty lim a_{n}^{2} = n \to \infty lim a_{n} \cdot n \to \infty lim a_{n} = 0 \cdot 0 = 0

。(B) 錯誤：取

a_{n} = (- 1)^{n}

，則

a_{n}^{2} = 1

收斂於

1

，但

⟨ a_{n} ⟩

在

- 1

、

1

之間跳動，發散。（取

a_{n} = - 1

也是反例，它收斂於

- 1

而不是

1

。）(C) 正確：兩個收斂數列的和仍收斂，且極限為兩極限的和。(D) 錯誤：取

a_{n} = n

、

b_{n} = - n

，則

a_{n} + b_{n} = 0

收斂，但

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

都發散。(E) 錯誤：取

a_{n} = 1

、

b_{n} = \frac{1}{n}

，兩者都收斂，但

\frac{a _{n}}{b _{n}} = n

發散；商的極限性質要另外加上「分母的極限不為

0

」。

第 4 題答案 (C)(D)。偶函數滿足

F (- x) = F (x)

，圖形對稱於

y

軸；奇函數滿足

F (- x) = - F (x)

，圖形對稱於原點。(A)(B) 錯誤：

f (- x) = - x^{3} + 5

，例如

f (1) = 6

、

f (- 1) = 4

，

f (- 1) \neq = f (1)

，不是偶函數，圖形不對稱於

y

軸。(C) 正確：

g (- x) = sin (- x) = - sin x = - g (x)

，是奇函數，圖形對稱於原點。(D) 正確：

h (- x) = 3 (- x)^{4} + 5 = 3 x^{4} + 5 = h (x)

，是偶函數。(E) 錯誤：

h (- 1) = 8

，而

- h (1) = - 8

，兩者不相等，不是奇函數。

f (x) = x^{3} + 5

是奇函數

x^{3}

往上平移

5

，圖形對稱於點

(0, 5)

，既不是奇函數也不是偶函數。

第 5 題答案 (A)(B)(D)。

[x]

是高斯符號，表示不大於

x

的最大整數。(A) 存在：分母在

x = 1

不為

0

，直接代入得

\frac{8}{3}

。(B) 存在：

x \neq = 2

時

\frac{x ^{2} + x - 6}{x - 2} = \frac{( x - 2 ) ( x + 3 )}{x - 2} = x + 3

，極限為

5

。(C) 不存在：

x

從左邊接近

3

時

[x] = 2

，從右邊接近

3

時

[x] = 3

，左、右極限不相等。(D) 存在：

x

在

4.5

附近（

4 < x < 5

）時

[x] = 4

，極限為

4

。(E) 不存在：

x > 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = 1

，

x < 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = - 1

，右極限

1

、左極限

- 1

不相等。

要說一個敘述錯，舉一個反例就夠；函數的極限存在，要左極限與右極限都存在而且相等。

03填充 1：循環小數與無窮等比級數

第 6 題答案

\frac{4}{3}

。循環小數化成分數：

a_{1} = 0. \overline{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

，

a_{2} = 0. \overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

。公比

r = \frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{1}{2}

，

∣ r ∣ < 1

，級數收斂，和為

\frac{a _{1}}{1 - r} = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{4}{3}

。

放大看卷面，兩個數的循環節都只有小數點後那一位（橫線只蓋在

6

、

3

上）。

04填充 2：七個極限

第 7 題答案

0

。分子、分母同除以分母的最高次

n^{3}

：

\frac{\frac{9875}{n} + \frac{5934}{n ^{2}} + \frac{9014}{n ^{3}}}{4 + \frac{5}{n ^{2}} - \frac{4}{n ^{3}}} \to \frac{0}{4} = 0

。係數再大，分子的次數比分母低，極限就是

0

。

第 8 題答案「不存在」。分子、分母同除以

n

：

\frac{n - 54 - \frac{12}{n}}{24698 + \frac{1903}{n}}

。分母趨近

24698

，分子隨

n

增大而無限增大，所以這個數列發散，極限不存在。

分子的次數比分母高時數列發散；分母的係數很大並不會讓極限變成

0

。

第 9 題答案

- \frac{4}{9}

。兩項各自都發散，不能分開取極限，要先通分：

\frac{2 n ^{2}}{3 n + 1} - \frac{2 n ^{2}}{3 n - 1} = \frac{2 n ^{2} [ ( 3 n - 1 ) - ( 3 n + 1 ) ]}{( 3 n + 1 ) ( 3 n - 1 )} = \frac{- 4 n ^{2}}{9 n ^{2} - 1}

。分子、分母同除以

n^{2}

，得

\frac{- 4}{9 - \frac{1}{n ^{2}}} \to - \frac{4}{9}

。

第 10 題答案

5

。多項式函數在每一點的極限等於函數值：

2^{3} + 2 \cdot 2 - 7 = 5

。

第 11 題答案

7

。代入

x = 2

分子、分母都是

0

，先因式分解：

2 x^{2} - x - 6 = (2 x + 3) (x - 2)

。

x \neq = 2

時原式

= 2 x + 3

，所以極限為

2 \cdot 2 + 3 = 7

。

第 12 題答案

\frac{8}{5}

。

x^{2} + x - 6 = (x + 3) (x - 2)

，通分：

\frac{3 x}{x + 3} + \frac{16 x + 3}{( x + 3 ) ( x - 2 )} = \frac{3 x ( x - 2 ) + 16 x + 3}{( x + 3 ) ( x - 2 )} = \frac{3 x ^{2} + 10 x + 3}{( x + 3 ) ( x - 2 )} = \frac{( 3 x + 1 ) ( x + 3 )}{( x + 3 ) ( x - 2 )}

。

x \neq = - 3

時約去

x + 3

得

\frac{3 x + 1}{x - 2}

，代入

x = - 3

：

\frac{- 8}{- 5} = \frac{8}{5}

。

兩項在

x \to - 3

時各自的極限都不存在，一定要先通分。

第 13 題答案

10

。先看絕對值裡面的正負：

x = 4

時

x^{2} + 2 x - 9 = 15 > 0

，所以

x

在

4

附近時

x^{2} + 2 x - 9 > 0

，絕對值可以直接拿掉。原式

= \frac{x ^{2} + 2 x - 9 - 15}{x - 4} = \frac{x ^{2} + 2 x - 24}{x - 4} = \frac{( x + 6 ) ( x - 4 )}{x - 4} = x + 6

（

x \neq = 4

），極限為

10

。

分式型的極限先比次數；出現 0 比 0 或兩項各自發散時，先因式分解或通分，把造成 0 的因式約掉再代入。

05填充 3、4：Σ 的計算、在一點連續

第 14 題答案

720

。展開

(n + 2) (n + 3) = n^{2} + 5 n + 6

，所以

n = 1 \sum 10 (n^{2} + 5 n + 6) = n = 1 \sum 10 n^{2} + 5 n = 1 \sum 10 n + 6 \times 10 = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} + 5 \cdot \frac{10 \cdot 11}{2} + 60 = 385 + 275 + 60 = 720

。

第 15 題答案

(a, b) = (- 9, - 6)

。在

x = - 3

連續，表示

x \to - 3 lim f (x) = f (- 3) = b

。

x \to - 3

時分母

x + 3 \to 0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

：

(- 3)^{2} + a = 0

，得

a = - 9

。此時

x \neq = - 3

的

f (x) = \frac{x ^{2} - 9}{x + 3} = x - 3

，極限為

- 6

，所以

b = - 6

。

若分子不趨近

0

，

\frac{x ^{2} + a}{x + 3}

在

x = - 3

附近會無限增大，極限不存在，就不可能連續。

06填充 5：計程車費率與高斯符號

第 16 題答案

(a, b) = (100, 25)

。前

1.25

公里收基本費，所以

a = 100

。超過

1.25

公里後，超出的距離是

x - 1.25

公里，每

0.2

公里算一段，段數為

\frac{x - 1.25}{0.2} = 5 x - 6.25

，不足一段以一段計，所以實際加收的段數

k

是「不小於

5 x - 6.25

的最小整數」。因為「不小於

t

的最小整數」等於

- [- t]

，所以

k = - [6.25 - 5 x] = - [\frac{25 - 20 x}{4}]

，車資為

100 + 5 k = 100 - 5 \times [\frac{25 - 20 x}{4}]

，對照得

b = 25

。

檢查：

x = 1.3

時

[\frac{25 - 26}{4}] = [- 0.25] = - 1

，車資

105

元（超出

50

公尺算一段）；

x = 1.45

時

[\frac{25 - 29}{4}] = [- 1] = - 1

，車資仍是

105

元（剛好一段）。

第 17 題答案

9.25

公里。

300

元扣掉基本費

100

元，剩

200

元，最多可加收

200 \div 5 = 40

段。加收的段數是不小於

5 x - 6.25

的最小整數，它不超過

40

的條件是

5 x - 6.25 \leq 40

，解得

x \leq 9.25

。所以最多可搭

9.25

公里（即

1.25 + 40 \times 0.2

）。

用公式檢查：

x = 9.25

時

[\frac{25 - 185}{4}] = [- 40] = - 40

，車資

100 + 200 = 300

元；再多一點點就進到第

41

段，要

305

元。

「不足一段以一段計」是無條件進位；用高斯符號寫，不小於 t 的最小整數等於 −[−t]。

07填充 6、7：由極限決定多項式、對稱於 y＝x 的函數

第 18 題答案

- 1

。第一個極限的分母

2 x^{2} - x - 1 = (2 x + 1) (x - 1)

在

x \to 1

時趨近

0

，極限存在，所以

f (1) = 0

；第二個極限的分母

x^{2} + 4 x + 3 = (x + 1) (x + 3)

在

x \to - 3

時趨近

0

，所以

f (- 3) = 0

。

f (x)

是三次多項式，可設

f (x) = (x - 1) (x + 3) (p x + q)

。第一個條件：

x \to 1 lim \frac{( x + 3 ) ( p x + q )}{2 x + 1} = \frac{4 ( p + q )}{3} = 4

，得

p + q = 3

。第二個條件：

x \to - 3 lim \frac{( x - 1 ) ( p x + q )}{x + 1} = \frac{( - 4 ) ( - 3 p + q )}{- 2} = 2 (- 3 p + q) = - 2

，得

- 3 p + q = - 1

。解得

p = 1

、

q = 2

，所以

f (x) = (x - 1) (x + 3) (x + 2)

。所求的分母

x^{2} + 7 x + 10 = (x + 2) (x + 5)

，

x \to - 2 lim \frac{( x - 1 ) ( x + 3 ) ( x + 2 )}{( x + 2 ) ( x + 5 )} = \frac{( - 3 ) ( 1 )}{3} = - 1

。

第 19 題答案

g (x) = 4^{x} + 5

。兩圖形對稱於直線

y = x

，表示

g

是

f

的反函數。由

y = lo g_{a} (x - 5)

得

x - 5 = a^{y}

，即

x = a^{y} + 5

；把

x

、

y

對調，

g (x) = a^{x} + 5

。圖形過

(\frac{1}{2}, 7)

：

a^{\frac{1}{2}} + 5 = 7

，

a = 2

，

a = 4

。所以

g (x) = 4^{x} + 5

。

也可以直接用對稱：

g

的圖形過

(\frac{1}{2}, 7)

，

f

的圖形就過

(7, \frac{1}{2})

，

lo g_{a} 2 = \frac{1}{2}

，同樣得

a = 4

。

08填充 8：正方形與內切圓的無窮等比級數

第 20 題答案

200

。第一個正方形邊長

10

，面積

100

，它的內切圓半徑為

5

。第二個正方形內接於這個圓，對角線等於圓的直徑

10

，邊長為

\frac{10}{2} = 52

，面積

50

。每做一次，正方形的邊長都變成前一個的

\frac{1}{2}

倍，面積變成

\frac{1}{2}

倍，所以面積是首項

100

、公比

\frac{1}{2}

的無窮等比數列，總和為

\frac{100}{1 - \frac{1}{2}} = 200

。

第 21 題答案

20 π + 102 π

。每個圓是同一層正方形的內切圓，半徑是該正方形邊長的一半；正方形邊長每次乘以

\frac{1}{2}

，所以圓的半徑、周長也每次乘以

\frac{1}{2}

。第一個圓半徑

5

，周長

10 π

，周長總和為

\frac{10 π}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{10 2 π}{2 - 1} = 102 π (2 + 1) = 20 π + 102 π

。

周長是長度，公比是

\frac{1}{2}

；面積的公比才是

\frac{1}{2}

。答案也可寫成

(20 + 102) π

。

相似圖形一層一層縮小時，長度的公比是相似比，面積的公比是相似比的平方。

09計算題：合成函數與定義域

第 22 題

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = g (x) - 1 = x - 3 - 1

。定義域要同時滿足兩件事：①

x

要在

g

的定義域內：

x - 3 \geq 0

，即

x \geq 3

；②

g (x)

要在

f

的定義域內：

x - 3 - 1 \geq 0

，即

x - 3 \geq 1

，兩邊都不為負，平方得

x - 3 \geq 1

，即

x \geq 4

。由 ①② 得定義域為

x \geq 4

，即

[4, \infty)

。

學校的答案卷把這 5 分分成：寫出合成函數 2 分、求出定義域 3 分。

合成函數的定義域：先讓內層有意義，再讓內層的函數值落在外層的定義域裡。

10進階題型：除法原理與極限、夾擠定理

第 23 題答案

3

。被除式與除式都是

n

次，所以商是常數

c

、餘式

R (x)

的次數小於

n

：

3 (x + 1)^{n} = c (3 x - 2)^{n} + R (x)

。比較兩邊

x^{n}

的係數（

R (x)

沒有

x^{n}

項）：

3 = c \cdot 3^{n}

，得

c = \frac{3}{3 ^{n}}

。再代

x = 0

取常數項：

3 = c (- 2)^{n} + r_{n}

，所以

r_{n} = 3 - \frac{3}{3 ^{n}} (- 2)^{n} = 3 - 3 (- \frac{2}{3})^{n}

。因為

- \frac{2}{3} < 1

，

(- \frac{2}{3})^{n} \to 0

，所以

n \to \infty lim r_{n} = 3

。

例如

n = 1

：

3 (x + 1) = 1 \cdot (3 x - 2) + 5

，餘式

5

，而公式給

3 - 3 (- \frac{2}{3}) = 5

，相符。

第 24 題答案

1

。先看右極限：

0 < x < \frac{π}{2}

時

cos x \leq \frac{sin x}{x} \leq \frac{1}{cos x}

，而

x \to 0^{+} lim cos x = 1

、

x \to 0^{+} lim \frac{1}{cos x} = 1

，由夾擠定理得

x \to 0^{+} lim \frac{sin x}{x} = 1

。再看左極限：

\frac{sin ( - x )}{- x} = \frac{- sin x}{- x} = \frac{sin x}{x}

，所以

\frac{sin x}{x}

是偶函數，

x

從左邊接近

0

時的函數值與從右邊接近時相同，左極限也是

1

。左、右極限都是

1

，所以

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

。

題目給的不等式只管

x > 0

的一邊，

x < 0

的一邊要用偶函數補上，才是完整的

x \to 0

。

夾擠定理：被兩個極限相同的函數夾在中間，中間那個的極限也是同一個值。

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同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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苑裡高中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 5 題（本頁第 16、17 題）：不足 200 公尺以 200 公尺計是無條件進位，要把進位改寫成高斯符號前面帶負號的形式才能對出 b，再由段數最多 40 段反推最遠 9.25 公里。進階第 1 題（本頁第 23 題）：除式與被除式同次，商是常數，先比最高次項係數求商，再代 0 求餘式的常數項。填充第 6 題（本頁第 18 題）：分母趨近 0 而極限存在，分子也要趨近 0，由此得到三次多項式的兩個因式。填充 2 的第 ii 小題（本頁第 8 題）：分子次數比較高，數列發散，要寫不存在而不是 0。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自苑裡高中 113 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

苑裡高中 113 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題：分式型數列的極限、函數的定義域

02多選題：收斂數列的性質、奇偶函數、函數極限是否存在

03填充 1：循環小數與無窮等比級數

04填充 2：七個極限

05填充 3、4：Σ 的計算、在一點連續

06填充 5：計程車費率與高斯符號

07填充 6、7：由極限決定多項式、對稱於 y＝x 的函數

08填充 8：正方形與內切圓的無窮等比級數

09計算題：合成函數與定義域

10進階題型：除法原理與極限、夾擠定理

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高三第一次段考
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