苑裡高中 114 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (5)。遞增函數是 $x$ 變大時函數值跟著變大，圖形由左往右一路上升。

圖 (1) 是斜率為負的直線，一路下降。

圖 (2) 對同一個 $x$（$x>0$）有上下兩個 $y$，不是函數。

圖 (3) 由左往右一路下降，是遞減函數。

圖 (4) 先上升、到頂點後下降，不是遞增函數。

圖 (5) 由左往右一路上升，中間只有一點的切線是水平的，仍然是遞增函數。

答案 (2)。切線斜率就是導數：

$$f^{\prime }(x)=3x^2-6x+6=3(x-1{)}^2+3$$

$(x-1{)}^2\ge 0$，所以 $x=1$ 時 $f^{\prime }(x)$ 最小，最小的切線斜率是 $3$。

答案 (3)。某點的導數就是圖形在那一點的切線斜率。

A、D、E 都在圖形下降的部分，切線斜率是負的；B 在圖形最低點附近，切線接近水平，斜率接近 $0$；C 在圖形上升的部分，切線斜率是正的，而且在兩個轉折點的中間，上升得最陡。

所以導數最大的是 C。

答案 (4)。$f(x)=x^2$ 的導函數是 $2x$。

(1) $(x^3{)}^{\prime }=3x^2$；(2) ${\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)}^{\prime }=x$；(3) $(x^2+2x{)}^{\prime }=2x+2$；(4) $(x^2+2{)}^{\prime }=2x$；(5) $(2x{)}^{\prime }=2$。

只有 (4) 的導函數是 $2x$：常數的導數是 $0$，加上常數不改變導函數。

答案 (1)。由圖，$f(x)$ 在 $x=-2$ 有極大值、在 $x=2$ 有極小值，所以 $f^{\prime }(-2)=f^{\prime }(2)=0$；而且 $x<-2$ 與 $x>2$ 時圖形上升（$f^{\prime }(x)>0$），$-2<x<2$ 時圖形下降（$f^{\prime }(x)<0$）。

(1) $x^2-4=(x+2)(x-2)$：在 $\pm 2$ 等於 $0$，兩根外側為正、兩根之間為負，完全符合。

(2) $(x+2{)}^2+4\ge 4$，恆正，$f$ 會一路遞增，不符。

(3) $(x-2{)}^2-4=x(x-4)$，等於 $0$ 的地方是 $x=0$ 與 $x=4$，不符。

(4) $(x+3.5{)}^2\ge 0$，不會變號，$f$ 沒有極值，不符。

(5) $(x-3.5{)}^2\ge 0$，同樣不會變號，不符。

答案 (2)(4)。

$$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$$

$x<1$ 時 $f^{\prime }(x)>0$，$1<x<3$ 時 $f^{\prime }(x)<0$，$x>3$ 時 $f^{\prime }(x)>0$。$f$ 在 $x=1$ 由增轉減，有局部極大值 $f(1)=7$；在 $x=3$ 由減轉增，有局部極小值 $f(3)=3$。

(1) 錯誤。 $f^{\prime }(0)=9\ne 0$。

(2) 正確。 $x=1$ 有局部極大值。

(3) 錯誤。 $f^{\prime }(2)=-3\ne 0$。

(4) 正確。 $x=3$ 有局部極小值。

(5) 錯誤。 $f^{\prime }(4)=9\ne 0$。

答案 (1)(3)。

(1) 正確。 這就是 $f^{\prime }(2)$ 的定義。

(2) 錯誤。 分子的順序反了，$\frac{f(2)-f(x)}{x-2}=-\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$，極限是 $-f^{\prime }(2)$。

(3) 正確。 令 $x=2+h$，$x\to 2$ 就是 $h\to 0$，這是定義的另一種寫法。

(4) 錯誤。 可微函數一定連續，$\underset{h\to 2}{\lim }\frac{f(h)}{h}=\frac{f(2)}{2}$，是函數值的一半，不是導數。例如 $f(x)=x^2$ 時它是 $2$，而 $f^{\prime }(2)=4$。

(5) 錯誤。 沒有取極限，$\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$ 是割線斜率，會隨 $x$ 改變。例如 $f(x)=x^2$ 時它等於 $x+2$。

答案 (2)(4)(5)。由圖：右端往下；圖形在 $y$ 軸右邊先有極小點、再有極大點；與 $y$ 軸交在原點上方；與 $x$ 軸只交在 $(1.75,0)$。

(1) 錯誤。 $x$ 很大時 $f(x)$ 往負的方向，所以 $a<0$。

(2) 正確。 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$，$f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$，反曲點的 $x$ 坐標是 $-\frac{b}{3a}$。反曲點在極小點與極大點之間，兩者都在 $y$ 軸右邊，所以 $-\frac{b}{3a}>0$，即 $\frac{b}{a}<0$；又 $a<0$，得 $b>0$。

(3) 錯誤。 $c=f^{\prime }(0)$ 是圖形在 $x=0$ 的切線斜率。極小點在 $y$ 軸右邊，$x=0$ 時圖形還在下降，所以 $c<0$。

(4) 正確。 $d=f(0)$ 是圖形與 $y$ 軸交點的 $y$ 坐標，在原點上方，$d>0$。

(5) 正確。 $a+b+c+d=f(1)$。圖形只在 $x=1.75$ 穿過 $x$ 軸，$x<1.75$ 時圖形都在 $x$ 軸上方，$1<1.75$，所以 $f(1)>0$。

答案 (1)(2)(3)。$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+3$。$f$ 為遞增函數，要 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 對所有 $x$ 成立（等號最多在一點），也就是開口向上的二次式判別式 $\le 0$：

$$(2a{)}^2-4\cdot 3\cdot 3=4a^2-36\le 0\Rightarrow -3\le a\le 3$$

(1) 正確。 $a=1$，判別式 $-32<0$，$f^{\prime }(x)>0$ 恆成立。

(2) 正確。 $a=2$，判別式 $-20<0$。

(3) 正確。 $a=3$，$f^{\prime }(x)=3x^2+6x+3=3(x+1{)}^2\ge 0$，只在 $x=-1$ 等於 $0$，兩側都是正的，仍然遞增。

(4) 錯誤。 $a=4$，判別式 $28>0$，$f^{\prime }(x)$ 在兩根之間是負的，$f$ 在那一段遞減。

(5) 錯誤。 $a=5$，判別式 $64>0$，同樣有遞減的一段。

答案 (1)(2)(3)。反曲點是凹向改變的點，由圖反曲點在 $(0,1)$，$x=0$ 是凹向的分界。

在反曲點左邊，圖形含有最低點那一段，彎曲的開口向上，是凹向上；在反曲點右邊，圖形含有最高點那一段，開口向下，是凹向下。

(1) 正確。 $(-3,-2)$ 在 $x<0$。

(2) 正確。 $(-2,-1)$ 在 $x<0$。

(3) 正確。 $(-1,0)$ 在 $x<0$。

(4) 錯誤。 $(0,1)$ 在 $x>0$，凹向下。

(5) 錯誤。 $(1,2)$ 在 $x>0$，凹向下。

答案 $y=30x$（學校答案）。先確認 $f(0)=0$，$P$ 在圖形上。以 $P$ 為切點，切線斜率 $f^{\prime }(0)=30$，切線為 $y=30x$。

題目寫的是「過 $P(0,0)$ 的切線」，嚴格來說還要找切點在別處、但通過 $P$ 的切線。設切點 $(t,f(t))$，切線為 $y=f^{\prime }(t)(x-t)+f(t)$，代入 $(0,0)$：

$$0=-t{f}^{\prime }(t)+f(t)=-t(-6t^2-6t+30)+(-2t^3-3t^2+30t)=4t^3+3t^2$$

$t^2(4t+3)=0$，$t=0$ 或 $t=-\frac{3}{4}$。$t=0$ 就是 $y=30x$；$t=-\frac{3}{4}$ 時斜率 $f^{\prime }\left(-\frac{3}{4}\right)=-\frac{27}{8}+\frac{9}{2}+30=\frac{249}{8}$，切線 $y=\frac{249}{8}x$ 也通過 $P$。

答案 $(-1,-32)$。注意這題的 $f(x)=-x^3-3x^2+30x$，三次項係數是 $-1$。

$f^{\prime }(x)=-3x^2-6x+30$，$f^{\prime \prime }(x)=-6x-6$。$x<-1$ 時 $f^{\prime \prime }(x)>0$，$x>-1$ 時 $f^{\prime \prime }(x)<0$，凹向在 $x=-1$ 改變。

$f(-1)=1-3-30=-32$，反曲點為 $(-1,-32)$。

答案 $f(x)=x^3-3x+3$。設 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$，$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$，$f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$。

反曲點 $(0,3)$：$f^{\prime \prime }(0)=2b=0$，$b=0$；$f(0)=d=3$。

$x=1$ 有極值：$f^{\prime }(1)=3a+c=0$；極小值為 $1$：$f(1)=a+c+3=1$，$a+c=-2$。兩式相減得 $2a=2$，$a=1$，$c=-3$。

驗證：$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$，在 $x=1$ 由負變正，確實是極小，$f(1)=1$。

答案 $y=x+\frac{61\sqrt{183}-270}{18}$。球往對方球場（$x$ 正向）而且往上飛出，與地面夾 $45$ 度，切線斜率為 $1$。令

$$f^{\prime }(x)=-6x^2-6x+30=1\Rightarrow 6x^2+6x-29=0$$

$x=\frac{-3\pm \sqrt{183}}{6}$，題目限定 $x>0$，取 $x_0=\frac{-3+\sqrt{183}}{6}$（約 $1.75$）。

由 $6x_0^2=29-6x_0$ 降次：$x_0^2=\frac{29-6x_0}{6}$，$x_0^3=x_0\cdot x_0^2=\frac{35x_0-29}{6}$，所以

$$f(x_0)=-2x_0^3-3x_0^2+30x_0=\frac{128x_0-29}{6}$$

切線 $y=x+\left(f(x_0)-x_0\right)$，截距

$$f(x_0)-x_0=\frac{122x_0-29}{6}=\frac{61\sqrt{183}-270}{18}$$

約 $30.84$。

答案 $12$（公尺／秒）。速率是位置函數的導數：

$$f^{\prime }(t)=\frac{3}{625}(t-50{)}^2$$

先找時間範圍：$f(t)=0$ 時 $(t-50{)}^3=-125000$，$t=0$；$f(t)=400$ 時 $(t-50{)}^3=125000$，$t=100$。$f$ 是遞增函數，所以 $0<f(t)<400$ 對應 $0<t<100$。

$(t-50{)}^2$ 在 $t$ 離 $50$ 最遠時最大，也就是靠近起點 $t=0$ 與終點 $t=100$ 時，$f^{\prime }(t)$ 趨近 $\frac{3}{625}\cdot 2500=12$。

答案：端點 $(-2,3)$、$(2,-1)$；極小點 $(-1,-1)$、極大點 $(1,3)$；反曲點 $(0,1)$；$-2\le x<0$ 凹向上，$0<x\le 2$ 凹向下。

端點：$f(-2)=8-6+1=3$，$f(2)=-8+6+1=-1$。

極值：$f^{\prime }(x)=-3x^2+3=-3(x+1)(x-1)$。$-2<x<-1$ 時 $f^{\prime }(x)<0$ 遞減，$-1<x<1$ 時 $f^{\prime }(x)>0$ 遞增，$1<x<2$ 時 $f^{\prime }(x)<0$ 遞減。所以 $x=-1$ 有極小值 $f(-1)=-1$，$x=1$ 有極大值 $f(1)=3$。

凹向與反曲點：$f^{\prime \prime }(x)=-6x$，$x<0$ 時 $f^{\prime \prime }(x)>0$ 凹向上，$x>0$ 時 $f^{\prime \prime }(x)<0$ 凹向下，反曲點 $(0,f(0))=(0,1)$。

依序連接 $(-2,3)$ 下降到 $(-1,-1)$，上升經過 $(0,1)$ 到 $(1,3)$，再下降到 $(2,-1)$，圖形如下。