苑裡高中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (A)。用綜合除法求 $f(12)$（係數依序為 $1,-7,-58,16,-460,-239$）：

$$\begin{array}{rrrrrrr}12& 1& -7& -58& 16& -460& -239\\ & & 12& 60& 24& 480& 240\\ & 1& 5& 2& 40& 20& 1\end{array}$$

最後一格就是 $f(x)$ 除以 $x-12$ 的餘式，由餘式定理 $f(12)=1$。

答案 (D)。$x^2-14x+13=(x-1)(x-13)$。由除法原理，$f(x)=(x-1)(x-13)q(x)+ax+b$。

由餘式定理，$f(x)$ 除以 $x-1$ 的餘式是 $f(1)$；代入 $x=1$，前一項為 $0$，得 $f(1)=a+b$。已知 $f(1)=4$，所以 $a+b=4$。

答案 (A)(B)(D)。

(A) 正確。 多項式的係數可以是任意實數，$\sqrt{5}x-6$ 的係數是 $\sqrt{5}$ 與 $-6$，$x$ 的次方都是非負整數，所以是 $x$ 的（一次）多項式。

(B) 正確。 由餘式定理，餘式為 $f(-1)=(-1{)}^{2021}+4=-1+4=3$。

(C) 錯誤。 沒有說 $a\ne 0$。例如 $a=0$、$b=1$ 時，$f(x)=x^3+c{x}^2+dx+e$ 是三次多項式。

(D) 正確。 設餘式為 $r$，$f(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)\cdot 2Q(x)+r=(2x-1)Q(x)+r$，$r$ 是常數，次數小於 $2x-1$，所以 $f(x)$ 除以 $2x-1$ 的商式為 $Q(x)$。

(E) 錯誤。 兩多項式相等，對每個 $x$ 的值都相等，代入使許多項為 $0$ 的值：

$x=2$：$g(2)=c$，$f(2)=8-8+2=2$，所以 $c=2$。

$x=1$：$g(1)=-b+c$，$f(1)=1-4+2=-1$，所以 $-b+2=-1$，$b=3$。

$x=-1$：$g(-1)=0+6a-3b+c=6a-7$，$f(-1)=-1+4+2=5$，所以 $a=2$。

$a+b+c=2+3+2=7\ne -1$。

答案 (B)(D)。由圖，拋物線開口向下，與 $x$ 軸交於 $x=1$、$x=3$，與 $y$ 軸交於 $(0,c)$ 在原點下方。

(A) 錯誤。 開口向下，$a<0$。

(B) 正確。 對稱軸是兩交點的中間 $x=\frac{1+3}{2}=2$，即 $-\frac{b}{2a}=2$，$b=-4a$；$a<0$，所以 $b>0$。

(C) 錯誤。 $(0,c)$ 在 $x$ 軸下方，$c<0$。

(D) 正確。 圖形與 $x$ 軸交於兩點，方程式 $a{x}^2+bx+c=0$ 有兩相異實根，判別式 $b^2-4ac>0$。

(E) 錯誤。 $16a+4b+c$ 是 $x=4$ 時的函數值。$x=4$ 在兩根 $1$、$3$ 之外，開口向下的拋物線在兩根之外的值為負，所以 $16a+4b+c<0$。

答案 (B)(E)。$f(x)$ 的首項係數 $-1<0$，開口向下；$x$ 往左、往右很遠時 $f(x)$ 都是很大的負數，所以圖形一定經過第三、第四象限。

恰通過兩個象限，就是不能再進入第一、第二象限，也就是圖形上沒有 $y>0$ 的點（若有一點 $y>0$，它附近 $x\ne 0$ 的點也是 $y>0$，就在第一或第二象限）。所以 $f(x)\le 0$ 對所有 $x$ 成立，開口向下時這等於判別式 $\le 0$：

$$(k+1{)}^2-4\cdot (-1)\cdot (k-2)=k^2+6k-7=(k+7)(k-1)\le 0$$

得 $-7\le k\le 1$。

(A) 錯誤。 $-9<-7$。

(B) 正確。 $-7\le -5\le 1$。

(C) 錯誤。 ${\left(\sqrt[3]{5}\right)}^3=5>1$，所以 $\sqrt[3]{5}>1$。

(D) 錯誤。 $\sqrt{26}>\sqrt{25}=5>1$。

(E) 正確。 $k=1$ 時 $f(x)=-x^2+2x-1=-(x-1{)}^2\le 0$，圖形只碰到 $x$ 軸上的點 $(1,0)$，$x$ 軸上的點不屬於任何象限，仍然恰通過第三、第四兩個象限。

答案 3。三項都是非負整數，和為 $2$。

若 $a\ne 0$，$4|a|\ge 4>2$，不可能，所以 $a=0$。若 $b\ne 2$，$3|b-2|\ge 3>2$，不可能，所以 $b=2$。剩下 $|c+3|=2$，$c=-1$ 或 $-5$。

所以 $f(x)=2x^3+c{x}^2+dx+e$，$x^3$ 的係數 $2\ne 0$，$f(x)$ 為三次多項式。

答案 $a_3>a_2>a_1>a_4>a_5$。$G_1$、$G_2$、$G_3$ 開口向上，$a_1$、$a_2$、$a_3$ 為正；$G_4$、$G_5$ 開口向下，$a_4$、$a_5$ 為負。

取同一個 $x=t(t\ne 0)$，$y=a{t}^2$ 的值與 $a$ 同大小順序：$a$ 越大，圖形在同一個 $x$ 處越高。

開口向上的三條，在 $y$ 軸右邊由高到低是 $G_3$、$G_2$、$G_1$（$G_3$ 開口最窄），所以 $a_3>a_2>a_1>0$。

開口向下的兩條，$G_4$ 較寬、$G_5$ 較窄，在同一個 $x$ 處 $G_4$ 比 $G_5$ 高，所以 $0>a_4>a_5$。

合起來 $a_3>a_2>a_1>a_4>a_5$。

答案 $-6$。由餘式定理，餘式為 $f(-2)$。$x=-2$ 時 $x+1=-1$：

$$f(-2)=(-1{)}^5-4(-1{)}^4+3(-1{)}^3+(-1{)}^2+1=-1-4-3+1+1=-6$$

答案 $72$。$f(1)=f(2)=f(3)=0$，由因式定理 $x-1$、$x-2$、$x-3$ 都是 $f(x)$ 的因式；$f(x)$ 是三次，所以 $f(x)=k(x-1)(x-2)(x-3)$，$k\ne 0$。

$f(4)=k\cdot 3\cdot 2\cdot 1=6k=18$，$k=3$。

$f(5)=3\cdot 4\cdot 3\cdot 2=72$。

答案 $-3$。頂點 $(3,5)$，設 $f(x)=a(x-3{)}^2+5$。過 $(0,-13)$：$9a+5=-13$，$a=-2$。

$f(5)=-2\cdot 2^2+5=-3$。

答案 $-2$。把 $f(x)$ 寫成 $x-1$ 的冪次。$x^3=((x-1)+1{)}^3=(x-1{)}^3+3(x-1{)}^2+3(x-1)+1$，$kx=k(x-1)+k$，所以

$$f(x)=(x-1{)}^3+3(x-1{)}^2+(3+k)(x-1)+(2+k)$$

$x$ 在 $1$ 附近時 $(x-1{)}^2$、$(x-1{)}^3$ 非常小，圖形近似於一次函數 $y=(3+k)(x-1)+(2+k)$。

它要等於 $y=x-1=1\cdot (x-1)+0$，比較係數：$3+k=1$ 且 $2+k=0$，兩式都得 $k=-2$。

答案 $2{\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{7}{2}$。

$$g(x)=2\left(x^2-3x\right)+1=2\left(x^2-3x+\frac{9}{4}\right)-\frac{9}{2}+1=2{\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{7}{2}$$

答案 $-1\le x\le 5$ 或 $x=-2$。

$(x+2{)}^2\ge 0$，等於 $0$ 只在 $x=-2$；$(x+1{)}^3=(x+1{)}^2(x+1)$，$(x+1{)}^2\ge 0$。

當 $x=-2$ 時左式為 $0$，滿足不等式。

當 $x\ne -2$ 且 $x\ne -1$ 時，$(x+1{)}^2(x+2{)}^2>0$，左式的正負與 $(x+1)(x-5)$ 相同，要 $(x+1)(x-5)<0$，得 $-1<x<5$。

再加上使左式為 $0$ 的 $x=-1$、$x=5$，解為 $-1\le x\le 5$ 或 $x=-2$。

答案 $x+4$。除式 $(x+1)(x-3)$ 是二次，餘式設為 $ax+b$：$f(x)=(x+1)(x-3)q(x)+ax+b$。

由餘式定理 $f(-1)=3$、$f(3)=7$：$-a+b=3$，$3a+b=7$。相減得 $4a=4$，$a=1$，$b=4$。

餘式為 $x+4$。

答案 $(3,-1)$。用綜合除法把 $f(x)$ 寫成 $x-3$ 的冪次（連續除以 $x-3$）：

$$\begin{array}{rrrrr}3& 1& -9& 17& 2\\ & & 3& -18& -3\\ & 1& -6& -1& -1\\ & & 3& -9& \\ & 1& -3& -10& \\ & & 3& & \\ & 1& 0& & \end{array}$$

得 $f(x)=(x-3{)}^3+0\cdot (x-3{)}^2-10(x-3)-1$，即 $f(x)+1=(x-3{)}^3-10(x-3)$。

$y=x^3-10x$ 是奇函數，圖形對稱於原點；把它向右平移 $3$、向下平移 $1$ 就是 $y=f(x)$ 的圖形，所以對稱中心為 $(3,-1)$。

答案 $1.92$。$2.99$ 很接近 $3$，把 $f(x)$ 寫成 $x-3$ 的冪次。對 $1,-4,5,-4$ 連續做綜合除法（除以 $x-3$）：

$$\begin{array}{rrrrr}3& 1& -4& 5& -4\\ & & 3& -3& 6\\ & 1& -1& 2& 2\\ & & 3& 6& \\ & 1& 2& 8& \\ & & 3& & \\ & 1& 5& & \end{array}$$

得 $f(x)=(x-3{)}^3+5(x-3{)}^2+8(x-3)+2$。代入 $x-3=-0.01$：

$$f(2.99)=-0.000001+0.0005-0.08+2=1.920499$$

四捨五入到小數點後第二位為 $1.92$。

答案 $2\sqrt{5}$。作 $P$ 關於 $x$ 軸的對稱點 $P_1(3,-1)$，關於直線 $y=x$ 的對稱點 $P_2(1,3)$（$x$、$y$ 坐標對調）。

$A$ 在 $x$ 軸上，$\overline{PA}=\overline{P_{1}A}$；$B$ 在 $y=x$ 上，$\overline{PB}=\overline{P_{2}B}$。所以 $△PAB$ 的周長

$$\overline{PA}+\overline{AB}+\overline{BP}=\overline{P_{1}A}+\overline{AB}+\overline{B{P}_2}\ge \overline{P_1{P}_2}$$

（從 $P_1$ 經 $A$、$B$ 走到 $P_2$ 的折線，不短於直線段。）

$\overline{P_1{P}_2}=\sqrt{(3-1{)}^2+(-1-3{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。

等號在 $A$、$B$ 都在線段 $\overline{P_1{P}_2}$ 上時成立：線段 $\overline{P_1{P}_2}$ 與 $x$ 軸交於 $\left(\frac{5}{2},0\right)$，與 $y=x$ 交於 $\left(\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right)$，都取得到。所以最小值為 $2\sqrt{5}$。

答案 $(3,12)$。令 $t=x^2-6x+10=(x-3{)}^2+1$，則 $t\ge 1$，等號在 $x=3$。

$$f(x)=2t^2+4t+6=2(t+1{)}^2+4$$

這是 $t$ 的二次函數，頂點在 $t=-1$，開口向上；在 $t\ge 1$ 的範圍內隨 $t$ 增大而增大，所以 $t=1$ 時最小，最小值 $2\cdot 4+4=12$。

$t=1$ 時 $x=3$，所以 $(m,n)=(3,12)$。

答案 $\frac{117}{32}$。由圖，$\overline{AB}=10$（$A$ 到 $B$ 的直線距離），$B$ 到地面的鉛直距離為 $6$，所以 $B$ 的正下方到 $A$ 的水平距離為 $\sqrt{10^2-6^2}=8$。

以 $A$ 為原點、地面為 $x$ 軸、往 $C$ 的方向為正向。拋物線頂點 $B(8,6)$，過 $A(0,0)$：設 $y=a(x-8{)}^2+6$，代 $(0,0)$ 得 $64a+6=0$，$a=-\frac{3}{32}$。

牆腳 $C$ 在 $x=13$，球在牆的位置高度

$$y=-\frac{3}{32}(13-8{)}^2+6=-\frac{75}{32}+\frac{192}{32}=\frac{117}{32}$$

牆高要低於球經過時的高度，最高不得超過 $\frac{117}{32}$ 公尺（約 $3.66$ 公尺）。

答案 $2\le x\le 5$。含小路的大長方形長 $100+2x$、寬 $60+2x$，小路面積

$$(100+2x)(60+2x)-100\cdot 60=4x^2+320x$$

條件 $656\le 4x^2+320x\le 1700$，同除以 $4$：$164\le x^2+80x\le 425$。

左邊：$x^2+80x-164\ge 0$，$(x+82)(x-2)\ge 0$，$x\le -82$ 或 $x\ge 2$。

右邊：$x^2+80x-425\le 0$，$(x+85)(x-5)\le 0$，$-85\le x\le 5$。

再配合 $x>0$，得 $2\le x\le 5$。