段考詳解範圍：三角函數(弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合)

高雄三民高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

選填題 14 題（單選 1 題、多選 3 題、填充 10 題）、計算手寫題 2 題；流傳版本未印配分

一、選填題（原卷題號 1～14；第 1 題為單選題，第 5、6、10 題為多選題，其餘為填充題）

請問點

P (cos 100, sin 100)

位在第幾象限？（單選題）

(A) 一
(B) 二
(C) 三
(D) 四

化簡

sin \frac{π}{3} + cos (\frac{- 11 π}{6}) + tan \frac{5 π}{3}

之值＝____。

已知

\frac{π}{2} < θ < π

，且

sin θ = \frac{4}{5}

，求

cos (π + θ) =

____。

試求單位圓的內接正十二邊形的周長之值＝____。

請問函數

y = 3 cos x - sin x

經過疊合，可表成下列哪些形式？

(A) $2 sin (x - \frac{π}{3})$
(B) $2 sin (x + \frac{π}{6})$
(C) $2 sin (x + \frac{2 π}{3})$
(D) $2 cos (x + \frac{π}{6})$
(E) $2 cos (x + \frac{2 π}{3})$

關於函數

y = f (x) = 2 sin (x + π)

的敘述，哪些正確？

(A) $f (x) = 2 sin x$
(B) 可由 $y = 2 sin x$ 向右平移 $π$ 單位獲得
(C) $f (x)$ 的振幅是 $2$
(D) 若 $f (x) = 2$ 則 $x = - \frac{π}{2}$
(E) 對所有實數 $x$ ， $f (x) + 2 > 0$ 恆成立

方程式

x - 2 π cos x = 0

的實根個數為 ____。

在

△ A B C

中，已知

tan A = - 3

，

tan B = 1

，求

tan C

之值為 ____。

小明在阿里山某

A

點處拍攝小火車的照片，如圖，已知

△ A B E

為等腰三角形，且

∠ B A E = 13 5^{\circ}

，

\overline{A C} = \overline{B C} = \overline{D E} = \overline{A D} = 60

公尺，試求小火車的車身總長

\overline{C D} =

____ 公尺。

載入中...

關於函數

f (x) = 4 sin (\frac{x - 2 π}{3}) + 1

的敘述，下列哪些正確？

(A) 最大值 $5$
(B) $x = 2 π$ 時有最小值
(C) $y = f (x)$ 的圖形對稱於直線 $x = \frac{π}{2}$
(D) $y = f (x)$ 的圖形與 $y$ 軸交於 $(0, 1 - 23)$
(E) $f (x)$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$

設

0 \leq x \leq 2 π

，求函數

f (x) = sin^{2} x + 4 cos x + 5

的最大值＝____。

已知

22 5^{\circ} < θ < 27 0^{\circ}

，若

sin 2 θ = \frac{24}{25}

，則

cos θ =

____。

長方形

A B C D

中，

\overline{A B} = 4

，

\overline{A D} = 2

，以

C

為圓心，

2

為半徑畫弧，交

\overline{C D}

於

E

，以

A

為圓心，

4

為半徑畫弧，交

\overline{C D}

於

F

。兩弧與

\overline{E F}

圍成的陰影區域稱為

Ω

，試求：(1)

Ω

的周長＝____。　(2)

Ω

的面積＝____。

載入中...

有一旋轉軌跡為直徑

40

公尺圓形的摩天輪如圖，其旋轉中心離地

33

公尺，每個座位均勻分布在圓周上，已知運轉一圈需半小時，編號

1

號的座位離地高度

y

（公尺），恰可使用函數

y = a sin (b t - \frac{π}{2}) + d

來表示，其中

t

為摩天輪啟動後所經歷的時間（單位為：分鐘），

a

、

b

都是正實數。試求：(1) 數對

(a, b, d) =

____。　(2) 請問

6

號座位與

8

號座位的高度差大約為 ____ 公尺。（四捨五入取整數）

載入中...

二、計算手寫題（第 2 題需詳列過程，不得超出作答空間，否則不予計分）（原卷題號 1～2，本頁接續編為第 15～16 題）

關於函數

y = f (x) = 2 sin (3 x + π) - 1

，回答下列問題：(1) 繪製

y = f (x)

的圖形。　(2) 求

y

的範圍。

探討方程式

3 sin x + cos x = 1

的解（須以弧度作答，否則不給分）：(1) 若

0 \leq x \leq π

，則

x

的解為何？　(2) 若

x > 0

，且將所有的解由小到大排成一個數列

⟨ x_{n} ⟩

，則此數列的第

99

項

x_{99}

之值為何？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題

0

第 3 題

\frac{3}{5}

第 4 題

66 - 62

第 5 題(C)(D)

第 6 題(B)(C)

第 7 題

5

第 8 題

\frac{1}{2}

第 9 題

602

第 10 題(A)(C)(D)

第 11 題

9

第 12 題

- \frac{3}{5}

第 13 題(1)

\frac{5 π}{3} + 23 - 2

　(2)

\frac{7 π}{3} + 23 - 8

第 14 題(1)

(20, \frac{π}{15}, 33)

　(2)

28

第 15 題(1) 圖形見詳解　(2)

- 3 \leq y \leq 1

第 16 題(1)

x = 0

或

\frac{2 π}{3}

　(2)

x_{99} = \frac{2 π}{3} + 98 π = \frac{296 π}{3}

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01選填 1～4：弧度與象限、特殊角的函數值、正十二邊形

第 1 題答案 (D)。沒有寫度的記號，

100

是

100

弳。

2 π \approx 6.2832

，

16 \times 2 π \approx 100.53

，所以

100 = 16 \times 2 π - 0.53

，

100

弳與

- 0.53

弳是同界角。

- \frac{π}{2} \approx - 1.57 < - 0.53 < 0

，終邊在第四象限，

cos 100 > 0

、

sin 100 < 0

，點

P

在第四象限。

若把

100

看成

10 0^{\circ}

會得到第二象限；題目沒有度的記號時單位是弳。

第 2 題

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

。

cos (- \frac{11 π}{6}) = cos (- \frac{11 π}{6} + 2 π) = cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

。

tan \frac{5 π}{3} = tan (2 π - \frac{π}{3}) = - tan \frac{π}{3} = - 3

。三項相加：

\frac{3}{2} + \frac{3}{2} - 3 = 0

。

第 3 題

θ

在第二象限，餘弦為負：

cos θ = - 1 - (\frac{4}{5})^{2} = - \frac{3}{5}

。

cos (π + θ) = cos π cos θ - sin π sin θ = - cos θ = \frac{3}{5}

。

第 4 題正十二邊形每一邊所對的圓心角是

\frac{2 π}{12} = \frac{π}{6}

。由圓心向一邊作垂線，把這個等腰三角形分成兩個直角三角形，半邊長是

1 \times sin \frac{π}{12}

，所以一邊長

2 sin 1 5^{\circ}

。

sin 1 5^{\circ} = sin (4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}) = \frac{2}{2} \times \frac{3}{2} - \frac{2}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{6 - 2}{4}

，一邊長

\frac{6 - 2}{2}

，周長

12 \times \frac{6 - 2}{2} = 66 - 62

。

約為

6.21

，比圓周長

2 π \approx 6.28

略小，合理。

02選填 5～7：疊合的寫法、平移與振幅、用圖形數實根

第 5 題答案 (C)(D)。提出

2

：

y = 2 (\frac{3}{2} cos x - \frac{1}{2} sin x)

。寫成正弦：

\frac{3}{2} = sin \frac{2 π}{3}

、

- \frac{1}{2} = cos \frac{2 π}{3}

，所以

y = 2 (sin x cos \frac{2 π}{3} + cos x sin \frac{2 π}{3}) = 2 sin (x + \frac{2 π}{3})

，(C) 對。寫成餘弦：

\frac{3}{2} = cos \frac{π}{6}

、

\frac{1}{2} = sin \frac{π}{6}

，所以

y = 2 (cos x cos \frac{π}{6} - sin x sin \frac{π}{6}) = 2 cos (x + \frac{π}{6})

，(D) 對。其餘三個用

x = 0

檢查：原式的值是

3

，而 (A) 是

2 sin (- \frac{π}{3}) = - 3

、(B) 是

2 sin \frac{π}{6} = 1

、(E) 是

2 cos \frac{2 π}{3} = - 1

，都不合。

(A) 展開是

sin x - 3 cos x

，剛好與原式差一個負號。

第 6 題答案 (B)(C)。

f (x) = 2 sin (x + π) = 2 (sin x cos π + cos x sin π) = - 2 sin x

。(A) 錯：差一個負號。(B) 對：

y = 2 sin x

向右平移

π

得

y = 2 sin (x - π) = - 2 sin x

，與

f (x)

相同。(C) 對：振幅是

∣ - 2 ∣ = 2

。(D) 錯：

f (x) = 2

即

sin x = - 1

，

x = - \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），不只

- \frac{π}{2}

一個，例如

x = \frac{3 π}{2}

也是。(E) 錯：

f (x)

的最小值是

- 2

，

x = \frac{π}{2}

時

f (x) + 2 = 0

，不大於

0

。

向左平移

π

與向右平移

π

相差一個週期

2 π

，所以兩種說法得到同一個圖形。

第 7 題方程式即

cos x = \frac{x}{2 π}

，數

y = cos x

與直線

y = \frac{x}{2 π}

的交點。

- 1 \leq cos x \leq 1

，所以只要看

- 2 π \leq x \leq 2 π

。令

g (x) = cos x - \frac{x}{2 π}

。

x > 0

的部分：

g (0) = 1 > 0

、

g (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{4} < 0

，

0

與

\frac{π}{2}

之間有

1

個；

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{3 π}{2}

時

cos x \leq 0 < \frac{x}{2 π}

，沒有；

g (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3}{4} < 0

，而直線在

x = 2 π

時高度剛好是

1 = cos 2 π

，

x = 2 π

是

1

個根，且餘弦圖形在

2 π

附近很平、直線是斜的，

x

略小於

2 π

時餘弦在直線上方，所以

\frac{3 π}{2}

與

2 π

之間還有

1

個。

x < 0

的部分：

g (- \frac{π}{2}) = \frac{1}{4} > 0

、

g (- π) = - \frac{1}{2} < 0

、

g (- \frac{3 π}{2}) = \frac{3}{4} > 0

，在

- π

的左右各有

1

個；

- 2 π \leq x \leq - \frac{3 π}{2}

與

- \frac{π}{2} \leq x \leq 0

時

cos x \geq 0 > \frac{x}{2 π}

（

x = 0

時是

1 > 0

），沒有。共

3 + 2 = 5

個。

x = 2 π

這個根要算進去，它旁邊（約

x \approx 5.96

）還有另一個根，兩個不要併成一個。

03選填 8～10：正切和角、等腰三角形、正弦函數的性質

第 8 題

C = π - (A + B)

，所以

tan C = - tan (A + B) = - \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B} = - \frac{- 3 + 1}{1 - ( - 3 ) ( 1 )} = - \frac{- 2}{4} = \frac{1}{2}

。

tan A < 0

表示

A

是鈍角（約

108. 4^{\circ}

），

B = 4 5^{\circ}

，

A + B < 18 0^{\circ}

，這樣的三角形存在。

第 9 題等腰三角形的兩個底角相等且都是銳角，

13 5^{\circ}

只能是頂角，所以

\overline{A B} = \overline{A E}

，

∠ B = ∠ E = \frac{18 0 ^{\circ} - 13 5 ^{\circ}}{2} = 22. 5^{\circ}

。

△ A B C

中

\overline{A C} = \overline{B C}

，所以

∠ B A C = ∠ B = 22. 5^{\circ}

；同理

△ A D E

中

∠ D A E = ∠ E = 22. 5^{\circ}

。於是

∠ C A D = 13 5^{\circ} - 22. 5^{\circ} - 22. 5^{\circ} = 9 0^{\circ}

，

△ A C D

是兩股都是

60

的等腰直角三角形，

\overline{C D} = 602

公尺。

約

84.9

公尺。

第 10 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對：正弦的最大值是

1

，

f (x)

的最大值是

4 + 1 = 5

。(B) 錯：

f (2 π) = 4 sin 0 + 1 = 1

，最小值是

- 4 + 1 = - 3

。(C) 對：

f (\frac{π}{2}) = 4 sin (\frac{\frac{π}{2} - 2 π}{3}) + 1 = 4 sin (- \frac{π}{2}) + 1 = - 3

，是最低點；正弦型圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線。(D) 對：

f (0) = 4 sin (- \frac{2 π}{3}) + 1 = 4 \times (- \frac{3}{2}) + 1 = 1 - 23

。(E) 錯：

x

的係數是

\frac{1}{3}

，週期是

2 π \div \frac{1}{3} = 6 π

。

括號裡是整個

\frac{x - 2 π}{3}

，也就是

\frac{x}{3} - \frac{2 π}{3}

；若看成

x - \frac{2 π}{3}

，(C)、(E) 的判斷都會不同。

04選填 11～14：二次式求極值、倍角、弧長與扇形面積、摩天輪

第 11 題用

sin^{2} x = 1 - cos^{2} x

：

f (x) = - cos^{2} x + 4 cos x + 6 = - (cos x - 2)^{2} + 10

。

0 \leq x \leq 2 π

時

- 1 \leq cos x \leq 1

，

cos x

越靠近

2

值越大，所以

cos x = 1

（

x = 0

或

2 π

）時有最大值

- 1 + 10 = 9

。

頂點

cos x = 2

取不到，不能直接填

10

。

第 12 題

45 0^{\circ} < 2 θ < 54 0^{\circ}

，

2 θ

與

9 0^{\circ}

到

18 0^{\circ}

之間的角同界，在第二象限，所以

cos 2 θ = - 1 - (\frac{24}{25})^{2} = - \frac{7}{25}

。由

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1

得

cos^{2} θ = \frac{1 - \frac{7}{25}}{2} = \frac{9}{25}

。

θ

在第三象限，餘弦為負，

cos θ = - \frac{3}{5}

。

驗算：此時

sin θ = - \frac{4}{5}

，

sin 2 θ = 2 \times (- \frac{4}{5}) \times (- \frac{3}{5}) = \frac{24}{25}

，且

∣ sin θ ∣ > ∣ cos θ ∣

，確實在

22 5^{\circ}

到

27 0^{\circ}

之間。

第 13 題設

A (0, 0)

、

B (4, 0)

、

C (4, 2)

、

D (0, 2)

。以

C

為圓心的弧：

\overline{C E} = 2

得

E (2, 2)

，又

\overline{C B} = 2

，弧從

E

畫到

B

，圓心角

∠ E C B = \frac{π}{2}

，弧長

2 \times \frac{π}{2} = π

。以

A

為圓心的弧：

\overline{A B} = 4

，弧從

B

畫到

F

；

F

的高度是

2

，

sin ∠ F A B = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

，

∠ F A B = \frac{π}{6}

，弧長

4 \times \frac{π}{6} = \frac{2 π}{3}

，且

\overline{D F} = 4 cos \frac{π}{6} = 23

，所以

\overline{E F} = 23 - 2

。(1) 周長

= π + \frac{2 π}{3} + 23 - 2 = \frac{5 π}{3} + 23 - 2

。(2)

Ω

是扇形

C E B

去掉右上角那塊（由

\overline{F C}

、

\overline{C B}

與弧

F B

圍成）。扇形

C E B

面積

\frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{2} = π

。右上角那塊＝長方形減去扇形

A B F

再減去直角三角形

A D F

：

8 - \frac{1}{2} \times 4^{2} \times \frac{π}{6} - \frac{1}{2} \times 2 \times 23 = 8 - \frac{4 π}{3} - 23

。所以

Ω

的面積

= π - (8 - \frac{4 π}{3} - 23) = \frac{7 π}{3} + 23 - 8

。

周長約

6.70

、面積約

2.79

。右上角那塊整個落在以

C

為圓心的扇形裡，所以可以直接相減。

第 14 題(1) 高度以旋轉中心的高度

33

為中心上下擺動，擺動幅度是半徑

20

，所以

d = 33

、

a = 20

。轉一圈

30

分鐘，週期

\frac{2 π}{b} = 30

，

b = \frac{π}{15}

。檢查：

t = 0

時

y = 20 sin (- \frac{π}{2}) + 33 = 13

，是最低點，與圖中

1

號在最低處相符。所以

(a, b, d) = (20, \frac{π}{15}, 33)

。(2)

8

個座位把圓周八等分，相鄰兩個座位對圓心的夾角是

4 5^{\circ}

。圖中

6

號在最高點

5

號旁邊，與鉛直向上方向夾

4 5^{\circ}

，高度

33 + 20 cos 4 5^{\circ}

；

8

號在最低點

1

號旁邊，與鉛直向下方向夾

4 5^{\circ}

，高度

33 - 20 cos 4 5^{\circ}

。高度差

40 cos 4 5^{\circ} = 202 \approx 28.28

，四捨五入為

28

公尺。

第 (2) 小題依圖中的位置（

1

號在最低點的時刻）計算；摩天輪轉動時兩個座位的高度差會隨時間改變。

05計算手寫題（第 15、16 題）：正弦函數作圖、疊合後解方程式

第 15 題先化簡：

sin (3 x + π) = - sin 3 x

，所以

f (x) = - 2 sin 3 x - 1

。(1) 週期

\frac{2 π}{3}

，振幅

2

，中心線是

y = - 1

。一個週期內的五個關鍵點：

x = 0

時

y = - 1

；

x = \frac{π}{6}

時

sin 3 x = 1

，

y = - 3

（最低點）；

x = \frac{π}{3}

時

y = - 1

；

x = \frac{π}{2}

時

sin 3 x = - 1

，

y = 1

（最高點）；

x = \frac{2 π}{3}

時

y = - 1

。把這五點用平滑的波形連起來，再依週期向左右重複。(2)

- 1 \leq sin (3 x + π) \leq 1

，所以

- 2 - 1 \leq y \leq 2 - 1

，即

- 3 \leq y \leq 1

。

載入中...

在原卷的方格坐標上作圖時，

\frac{π}{6} \approx 0.52

、

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

\frac{2 π}{3} \approx 2.09

，一個週期大約佔

2.1

格。圖形與

y

軸交於

(0, - 1)

，從該點往右是先下降。

第 16 題疊合：

3 sin x + cos x = 2 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{π}{6})

，方程式成為

sin (x + \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

，所以

x + \frac{π}{6} = \frac{π}{6} + 2 k π

或

\frac{5 π}{6} + 2 k π

，即

x = 2 k π

或

x = \frac{2 π}{3} + 2 k π

（

k

為整數）。(1)

0 \leq x \leq π

時，

x = 0

或

x = \frac{2 π}{3}

。(2)

x > 0

的解由小到大是

\frac{2 π}{3}, 2 π, \frac{2 π}{3} + 2 π, 4 π, \frac{2 π}{3} + 4 π, \dots

，兩類解交替出現：奇數項

x_{2 m - 1} = \frac{2 π}{3} + 2 (m - 1) π

，偶數項

x_{2 m} = 2 mπ

。

99 = 2 \times 50 - 1

，所以

x_{99} = \frac{2 π}{3} + 2 \times 49 π = \frac{2 π}{3} + 98 π = \frac{296 π}{3}

。

第 (2) 小題的條件是

x > 0

，

x = 0

不算在數列裡，所以第

1

項是

\frac{2 π}{3}

；若把

0

算進去，項數會整個差一項。

a sin x + b cos x

先疊合成單一正弦，再用

sin t = c

的兩組一般解寫出全部的解；要排序或數個數時，把兩組解在數線上交錯的順序先列出前幾項。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

高雄三民高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄三民高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

選填第 1 題的 100 沒有度的記號，單位是弳；第 7 題用圖形數實根時，x 等於 2π 這個根與它左邊的另一個根都要算；第 13 題的面積要看出陰影是小扇形去掉右上角那一塊；計算第 2 題（本頁第 16 題）第 2 小題兩組解交替出現，x 等於 0 不算在數列裡。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高雄三民高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數(弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合)

高雄三民高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

選填題 14 題（單選 1 題、多選 3 題、填充 10 題）、計算手寫題 2 題；流傳版本未印配分

一、選填題（原卷題號 1～14；第 1 題為單選題，第 5、6、10 題為多選題，其餘為填充題）

請問點

P (cos 100, sin 100)

位在第幾象限？（單選題）

(A) 一
(B) 二
(C) 三
(D) 四

化簡

sin \frac{π}{3} + cos (\frac{- 11 π}{6}) + tan \frac{5 π}{3}

之值＝____。

已知

\frac{π}{2} < θ < π

，且

sin θ = \frac{4}{5}

，求

cos (π + θ) =

____。

試求單位圓的內接正十二邊形的周長之值＝____。

請問函數

y = 3 cos x - sin x

經過疊合，可表成下列哪些形式？

(A) $2 sin (x - \frac{π}{3})$
(B) $2 sin (x + \frac{π}{6})$
(C) $2 sin (x + \frac{2 π}{3})$
(D) $2 cos (x + \frac{π}{6})$
(E) $2 cos (x + \frac{2 π}{3})$

關於函數

y = f (x) = 2 sin (x + π)

的敘述，哪些正確？

(A) $f (x) = 2 sin x$
(B) 可由 $y = 2 sin x$ 向右平移 $π$ 單位獲得
(C) $f (x)$ 的振幅是 $2$
(D) 若 $f (x) = 2$ 則 $x = - \frac{π}{2}$
(E) 對所有實數 $x$ ， $f (x) + 2 > 0$ 恆成立

方程式

x - 2 π cos x = 0

的實根個數為 ____。

在

△ A B C

中，已知

tan A = - 3

，

tan B = 1

，求

tan C

之值為 ____。

小明在阿里山某

A

點處拍攝小火車的照片，如圖，已知

△ A B E

為等腰三角形，且

∠ B A E = 13 5^{\circ}

，

\overline{A C} = \overline{B C} = \overline{D E} = \overline{A D} = 60

公尺，試求小火車的車身總長

\overline{C D} =

____ 公尺。

載入中...

關於函數

f (x) = 4 sin (\frac{x - 2 π}{3}) + 1

的敘述，下列哪些正確？

(A) 最大值 $5$
(B) $x = 2 π$ 時有最小值
(C) $y = f (x)$ 的圖形對稱於直線 $x = \frac{π}{2}$
(D) $y = f (x)$ 的圖形與 $y$ 軸交於 $(0, 1 - 23)$
(E) $f (x)$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$

設

0 \leq x \leq 2 π

，求函數

f (x) = sin^{2} x + 4 cos x + 5

的最大值＝____。

已知

22 5^{\circ} < θ < 27 0^{\circ}

，若

sin 2 θ = \frac{24}{25}

，則

cos θ =

____。

長方形

A B C D

中，

\overline{A B} = 4

，

\overline{A D} = 2

，以

C

為圓心，

2

為半徑畫弧，交

\overline{C D}

於

E

，以

A

為圓心，

4

為半徑畫弧，交

\overline{C D}

於

F

。兩弧與

\overline{E F}

圍成的陰影區域稱為

Ω

，試求：(1)

Ω

的周長＝____。　(2)

Ω

的面積＝____。

載入中...

有一旋轉軌跡為直徑

40

公尺圓形的摩天輪如圖，其旋轉中心離地

33

公尺，每個座位均勻分布在圓周上，已知運轉一圈需半小時，編號

1

號的座位離地高度

y

（公尺），恰可使用函數

y = a sin (b t - \frac{π}{2}) + d

來表示，其中

t

為摩天輪啟動後所經歷的時間（單位為：分鐘），

a

、

b

都是正實數。試求：(1) 數對

(a, b, d) =

____。　(2) 請問

6

號座位與

8

號座位的高度差大約為 ____ 公尺。（四捨五入取整數）

載入中...

二、計算手寫題（第 2 題需詳列過程，不得超出作答空間，否則不予計分）（原卷題號 1～2，本頁接續編為第 15～16 題）

關於函數

y = f (x) = 2 sin (3 x + π) - 1

，回答下列問題：(1) 繪製

y = f (x)

的圖形。　(2) 求

y

的範圍。

探討方程式

3 sin x + cos x = 1

的解（須以弧度作答，否則不給分）：(1) 若

0 \leq x \leq π

，則

x

的解為何？　(2) 若

x > 0

，且將所有的解由小到大排成一個數列

⟨ x_{n} ⟩

，則此數列的第

99

項

x_{99}

之值為何？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題

0

第 3 題

\frac{3}{5}

第 4 題

66 - 62

第 5 題(C)(D)

第 6 題(B)(C)

第 7 題

5

第 8 題

\frac{1}{2}

第 9 題

602

第 10 題(A)(C)(D)

第 11 題

9

第 12 題

- \frac{3}{5}

第 13 題(1)

\frac{5 π}{3} + 23 - 2

　(2)

\frac{7 π}{3} + 23 - 8

第 14 題(1)

(20, \frac{π}{15}, 33)

　(2)

28

第 15 題(1) 圖形見詳解　(2)

- 3 \leq y \leq 1

第 16 題(1)

x = 0

或

\frac{2 π}{3}

　(2)

x_{99} = \frac{2 π}{3} + 98 π = \frac{296 π}{3}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01選填 1～4：弧度與象限、特殊角的函數值、正十二邊形

第 1 題答案 (D)。沒有寫度的記號，

100

是

100

弳。

2 π \approx 6.2832

，

16 \times 2 π \approx 100.53

，所以

100 = 16 \times 2 π - 0.53

，

100

弳與

- 0.53

弳是同界角。

- \frac{π}{2} \approx - 1.57 < - 0.53 < 0

，終邊在第四象限，

cos 100 > 0

、

sin 100 < 0

，點

P

在第四象限。

若把

100

看成

10 0^{\circ}

會得到第二象限；題目沒有度的記號時單位是弳。

第 2 題

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

。

cos (- \frac{11 π}{6}) = cos (- \frac{11 π}{6} + 2 π) = cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

。

tan \frac{5 π}{3} = tan (2 π - \frac{π}{3}) = - tan \frac{π}{3} = - 3

。三項相加：

\frac{3}{2} + \frac{3}{2} - 3 = 0

。

第 3 題

θ

在第二象限，餘弦為負：

cos θ = - 1 - (\frac{4}{5})^{2} = - \frac{3}{5}

。

cos (π + θ) = cos π cos θ - sin π sin θ = - cos θ = \frac{3}{5}

。

第 4 題正十二邊形每一邊所對的圓心角是

\frac{2 π}{12} = \frac{π}{6}

。由圓心向一邊作垂線，把這個等腰三角形分成兩個直角三角形，半邊長是

1 \times sin \frac{π}{12}

，所以一邊長

2 sin 1 5^{\circ}

。

sin 1 5^{\circ} = sin (4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}) = \frac{2}{2} \times \frac{3}{2} - \frac{2}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{6 - 2}{4}

，一邊長

\frac{6 - 2}{2}

，周長

12 \times \frac{6 - 2}{2} = 66 - 62

。

約為

6.21

，比圓周長

2 π \approx 6.28

略小，合理。

02選填 5～7：疊合的寫法、平移與振幅、用圖形數實根

第 5 題答案 (C)(D)。提出

2

：

y = 2 (\frac{3}{2} cos x - \frac{1}{2} sin x)

。寫成正弦：

\frac{3}{2} = sin \frac{2 π}{3}

、

- \frac{1}{2} = cos \frac{2 π}{3}

，所以

y = 2 (sin x cos \frac{2 π}{3} + cos x sin \frac{2 π}{3}) = 2 sin (x + \frac{2 π}{3})

，(C) 對。寫成餘弦：

\frac{3}{2} = cos \frac{π}{6}

、

\frac{1}{2} = sin \frac{π}{6}

，所以

y = 2 (cos x cos \frac{π}{6} - sin x sin \frac{π}{6}) = 2 cos (x + \frac{π}{6})

，(D) 對。其餘三個用

x = 0

檢查：原式的值是

3

，而 (A) 是

2 sin (- \frac{π}{3}) = - 3

、(B) 是

2 sin \frac{π}{6} = 1

、(E) 是

2 cos \frac{2 π}{3} = - 1

，都不合。

(A) 展開是

sin x - 3 cos x

，剛好與原式差一個負號。

第 6 題答案 (B)(C)。

f (x) = 2 sin (x + π) = 2 (sin x cos π + cos x sin π) = - 2 sin x

。(A) 錯：差一個負號。(B) 對：

y = 2 sin x

向右平移

π

得

y = 2 sin (x - π) = - 2 sin x

，與

f (x)

相同。(C) 對：振幅是

∣ - 2 ∣ = 2

。(D) 錯：

f (x) = 2

即

sin x = - 1

，

x = - \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），不只

- \frac{π}{2}

一個，例如

x = \frac{3 π}{2}

也是。(E) 錯：

f (x)

的最小值是

- 2

，

x = \frac{π}{2}

時

f (x) + 2 = 0

，不大於

0

。

向左平移

π

與向右平移

π

相差一個週期

2 π

，所以兩種說法得到同一個圖形。

第 7 題方程式即

cos x = \frac{x}{2 π}

，數

y = cos x

與直線

y = \frac{x}{2 π}

的交點。

- 1 \leq cos x \leq 1

，所以只要看

- 2 π \leq x \leq 2 π

。令

g (x) = cos x - \frac{x}{2 π}

。

x > 0

的部分：

g (0) = 1 > 0

、

g (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{4} < 0

，

0

與

\frac{π}{2}

之間有

1

個；

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{3 π}{2}

時

cos x \leq 0 < \frac{x}{2 π}

，沒有；

g (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3}{4} < 0

，而直線在

x = 2 π

時高度剛好是

1 = cos 2 π

，

x = 2 π

是

1

個根，且餘弦圖形在

2 π

附近很平、直線是斜的，

x

略小於

2 π

時餘弦在直線上方，所以

\frac{3 π}{2}

與

2 π

之間還有

1

個。

x < 0

的部分：

g (- \frac{π}{2}) = \frac{1}{4} > 0

、

g (- π) = - \frac{1}{2} < 0

、

g (- \frac{3 π}{2}) = \frac{3}{4} > 0

，在

- π

的左右各有

1

個；

- 2 π \leq x \leq - \frac{3 π}{2}

與

- \frac{π}{2} \leq x \leq 0

時

cos x \geq 0 > \frac{x}{2 π}

（

x = 0

時是

1 > 0

），沒有。共

3 + 2 = 5

個。

x = 2 π

這個根要算進去，它旁邊（約

x \approx 5.96

）還有另一個根，兩個不要併成一個。

03選填 8～10：正切和角、等腰三角形、正弦函數的性質

第 8 題

C = π - (A + B)

，所以

tan C = - tan (A + B) = - \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B} = - \frac{- 3 + 1}{1 - ( - 3 ) ( 1 )} = - \frac{- 2}{4} = \frac{1}{2}

。

tan A < 0

表示

A

是鈍角（約

108. 4^{\circ}

），

B = 4 5^{\circ}

，

A + B < 18 0^{\circ}

，這樣的三角形存在。

第 9 題等腰三角形的兩個底角相等且都是銳角，

13 5^{\circ}

只能是頂角，所以

\overline{A B} = \overline{A E}

，

∠ B = ∠ E = \frac{18 0 ^{\circ} - 13 5 ^{\circ}}{2} = 22. 5^{\circ}

。

△ A B C

中

\overline{A C} = \overline{B C}

，所以

∠ B A C = ∠ B = 22. 5^{\circ}

；同理

△ A D E

中

∠ D A E = ∠ E = 22. 5^{\circ}

。於是

∠ C A D = 13 5^{\circ} - 22. 5^{\circ} - 22. 5^{\circ} = 9 0^{\circ}

，

△ A C D

是兩股都是

60

的等腰直角三角形，

\overline{C D} = 602

公尺。

約

84.9

公尺。

第 10 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對：正弦的最大值是

1

，

f (x)

的最大值是

4 + 1 = 5

。(B) 錯：

f (2 π) = 4 sin 0 + 1 = 1

，最小值是

- 4 + 1 = - 3

。(C) 對：

f (\frac{π}{2}) = 4 sin (\frac{\frac{π}{2} - 2 π}{3}) + 1 = 4 sin (- \frac{π}{2}) + 1 = - 3

，是最低點；正弦型圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線。(D) 對：

f (0) = 4 sin (- \frac{2 π}{3}) + 1 = 4 \times (- \frac{3}{2}) + 1 = 1 - 23

。(E) 錯：

x

的係數是

\frac{1}{3}

，週期是

2 π \div \frac{1}{3} = 6 π

。

括號裡是整個

\frac{x - 2 π}{3}

，也就是

\frac{x}{3} - \frac{2 π}{3}

；若看成

x - \frac{2 π}{3}

，(C)、(E) 的判斷都會不同。

04選填 11～14：二次式求極值、倍角、弧長與扇形面積、摩天輪

第 11 題用

sin^{2} x = 1 - cos^{2} x

：

f (x) = - cos^{2} x + 4 cos x + 6 = - (cos x - 2)^{2} + 10

。

0 \leq x \leq 2 π

時

- 1 \leq cos x \leq 1

，

cos x

越靠近

2

值越大，所以

cos x = 1

（

x = 0

或

2 π

）時有最大值

- 1 + 10 = 9

。

頂點

cos x = 2

取不到，不能直接填

10

。

第 12 題

45 0^{\circ} < 2 θ < 54 0^{\circ}

，

2 θ

與

9 0^{\circ}

到

18 0^{\circ}

之間的角同界，在第二象限，所以

cos 2 θ = - 1 - (\frac{24}{25})^{2} = - \frac{7}{25}

。由

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1

得

cos^{2} θ = \frac{1 - \frac{7}{25}}{2} = \frac{9}{25}

。

θ

在第三象限，餘弦為負，

cos θ = - \frac{3}{5}

。

驗算：此時

sin θ = - \frac{4}{5}

，

sin 2 θ = 2 \times (- \frac{4}{5}) \times (- \frac{3}{5}) = \frac{24}{25}

，且

∣ sin θ ∣ > ∣ cos θ ∣

，確實在

22 5^{\circ}

到

27 0^{\circ}

之間。

第 13 題設

A (0, 0)

、

B (4, 0)

、

C (4, 2)

、

D (0, 2)

。以

C

為圓心的弧：

\overline{C E} = 2

得

E (2, 2)

，又

\overline{C B} = 2

，弧從

E

畫到

B

，圓心角

∠ E C B = \frac{π}{2}

，弧長

2 \times \frac{π}{2} = π

。以

A

為圓心的弧：

\overline{A B} = 4

，弧從

B

畫到

F

；

F

的高度是

2

，

sin ∠ F A B = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

，

∠ F A B = \frac{π}{6}

，弧長

4 \times \frac{π}{6} = \frac{2 π}{3}

，且

\overline{D F} = 4 cos \frac{π}{6} = 23

，所以

\overline{E F} = 23 - 2

。(1) 周長

= π + \frac{2 π}{3} + 23 - 2 = \frac{5 π}{3} + 23 - 2

。(2)

Ω

是扇形

C E B

去掉右上角那塊（由

\overline{F C}

、

\overline{C B}

與弧

F B

圍成）。扇形

C E B

面積

\frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{2} = π

。右上角那塊＝長方形減去扇形

A B F

再減去直角三角形

A D F

：

8 - \frac{1}{2} \times 4^{2} \times \frac{π}{6} - \frac{1}{2} \times 2 \times 23 = 8 - \frac{4 π}{3} - 23

。所以

Ω

的面積

= π - (8 - \frac{4 π}{3} - 23) = \frac{7 π}{3} + 23 - 8

。

周長約

6.70

、面積約

2.79

。右上角那塊整個落在以

C

為圓心的扇形裡，所以可以直接相減。

第 14 題(1) 高度以旋轉中心的高度

33

為中心上下擺動，擺動幅度是半徑

20

，所以

d = 33

、

a = 20

。轉一圈

30

分鐘，週期

\frac{2 π}{b} = 30

，

b = \frac{π}{15}

。檢查：

t = 0

時

y = 20 sin (- \frac{π}{2}) + 33 = 13

，是最低點，與圖中

1

號在最低處相符。所以

(a, b, d) = (20, \frac{π}{15}, 33)

。(2)

8

個座位把圓周八等分，相鄰兩個座位對圓心的夾角是

4 5^{\circ}

。圖中

6

號在最高點

5

號旁邊，與鉛直向上方向夾

4 5^{\circ}

，高度

33 + 20 cos 4 5^{\circ}

；

8

號在最低點

1

號旁邊，與鉛直向下方向夾

4 5^{\circ}

，高度

33 - 20 cos 4 5^{\circ}

。高度差

40 cos 4 5^{\circ} = 202 \approx 28.28

，四捨五入為

28

公尺。

第 (2) 小題依圖中的位置（

1

號在最低點的時刻）計算；摩天輪轉動時兩個座位的高度差會隨時間改變。

05計算手寫題（第 15、16 題）：正弦函數作圖、疊合後解方程式

第 15 題先化簡：

sin (3 x + π) = - sin 3 x

，所以

f (x) = - 2 sin 3 x - 1

。(1) 週期

\frac{2 π}{3}

，振幅

2

，中心線是

y = - 1

。一個週期內的五個關鍵點：

x = 0

時

y = - 1

；

x = \frac{π}{6}

時

sin 3 x = 1

，

y = - 3

（最低點）；

x = \frac{π}{3}

時

y = - 1

；

x = \frac{π}{2}

時

sin 3 x = - 1

，

y = 1

（最高點）；

x = \frac{2 π}{3}

時

y = - 1

。把這五點用平滑的波形連起來，再依週期向左右重複。(2)

- 1 \leq sin (3 x + π) \leq 1

，所以

- 2 - 1 \leq y \leq 2 - 1

，即

- 3 \leq y \leq 1

。

載入中...

在原卷的方格坐標上作圖時，

\frac{π}{6} \approx 0.52

、

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

\frac{2 π}{3} \approx 2.09

，一個週期大約佔

2.1

格。圖形與

y

軸交於

(0, - 1)

，從該點往右是先下降。

第 16 題疊合：

3 sin x + cos x = 2 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{π}{6})

，方程式成為

sin (x + \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

，所以

x + \frac{π}{6} = \frac{π}{6} + 2 k π

或

\frac{5 π}{6} + 2 k π

，即

x = 2 k π

或

x = \frac{2 π}{3} + 2 k π

（

k

為整數）。(1)

0 \leq x \leq π

時，

x = 0

或

x = \frac{2 π}{3}

。(2)

x > 0

的解由小到大是

\frac{2 π}{3}, 2 π, \frac{2 π}{3} + 2 π, 4 π, \frac{2 π}{3} + 4 π, \dots

，兩類解交替出現：奇數項

x_{2 m - 1} = \frac{2 π}{3} + 2 (m - 1) π

，偶數項

x_{2 m} = 2 mπ

。

99 = 2 \times 50 - 1

，所以

x_{99} = \frac{2 π}{3} + 2 \times 49 π = \frac{2 π}{3} + 98 π = \frac{296 π}{3}

。

第 (2) 小題的條件是

x > 0

，

x = 0

不算在數列裡，所以第

1

項是

\frac{2 π}{3}

；若把

0

算進去，項數會整個差一項。

a sin x + b cos x

先疊合成單一正弦，再用

sin t = c

的兩組一般解寫出全部的解；要排序或數個數時，把兩組解在數線上交錯的順序先列出前幾項。

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高雄三民高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01選填 1～4：弧度與象限、特殊角的函數值、正十二邊形

02選填 5～7：疊合的寫法、平移與振幅、用圖形數實根

03選填 8～10：正切和角、等腰三角形、正弦函數的性質

04選填 11～14：二次式求極值、倍角、弧長與扇形面積、摩天輪

05計算手寫題（第 15、16 題）：正弦函數作圖、疊合後解方程式

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高二第一次段考
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