苑裡高中 114 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (C)。可微分一定連續，所以先要求 $f$ 在 $x=1$ 連續：左極限 $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{x}^2=1$，右邊 $f(1)=a+b$，得 $a+b=1$。

再看兩邊的導數。$x>1$ 時 $f(x)=ax+b$，右導數 $\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{a(1+h)+b-(a+b)}{h}=a$。

$x<1$ 時 $f(x)=x^2$，而 $f(1)=a+b=1$，左導數 $\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{(1+h{)}^2-1}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }(2+h)=2$。

可微分要求左、右導數相等，所以 $a=2$（此時 $b=-1$）。

答案 (A)。把 $f(x)$ 寫成 $f(x)=(x-2)g(x)$，其中

$$g(x)=\frac{(x-1)(x-3)(x-4)}{x-5}$$

由乘法的微分公式，$f^{\prime }(x)=g(x)+(x-2)g^{\prime }(x)$，代 $x=2$ 第二項是 $0$，所以

$$f^{\prime }(2)=g(2)=\frac{(1)(-1)(-2)}{-3}=-\frac{2}{3}$$

答案 (A)(D)(E)。在 $x=a$ 可微分，圖形在該點必須連續，而且圖形在那一點平滑、有唯一一條不是鉛直的切線。

(A) 不可微分。 圖形在 $x=a$ 是 V 形的尖點，左邊斜率是負的、右邊斜率是正的，左、右導數不相等。

(B) 可微分。 跳躍發生在 $x=a$ 左邊的另一個位置；在 $x=a$ 附近圖形是一段水平線，$f^{\prime }(a)=0$。

(C) 可微分。 圖形在 $x=a$ 連續而且平滑。

(D) 不可微分。 兩段曲線在 $x=a$ 接成一個尖角，左邊往下、右邊往上，左、右導數不相等。

(E) 不可微分。 函數值 $f(a)$ 是上方的實心點，但曲線在 $x=a$ 附近趨近空心點的高度，$\underset{x\to a}{\lim }f(x)\ne f(a)$，函數在 $x=a$ 不連續，所以不可微分。

答案 (C)(D)(E)。$f^{\prime }(x)=3k{x}^2+6x+1$。三次函數沒有極大值與極小值，表示 $f^{\prime }(x)$ 不會變號，也就是二次式 $3k{x}^2+6x+1$ 的判別式 $\le 0$：

$$6^2-4\cdot 3k\cdot 1=36-12k\le 0\Rightarrow k\ge 3$$

(A) 錯誤。 $k=-1$ 時判別式 $48>0$，$f^{\prime }(x)=0$ 有兩個相異實根，有極大值與極小值。

(B) 錯誤。 $k=1$ 時判別式 $24>0$，同樣有極值。

(C) 正確。 $k=3$ 時 $f^{\prime }(x)=9x^2+6x+1=(3x+1{)}^2\ge 0$，只在一點等於 $0$、不變號，沒有極值。

(D) 正確。 $k=5$ 時判別式 $-24<0$，$f^{\prime }(x)>0$ 恆成立。

(E) 正確。 $k=7$ 時判別式 $-48<0$，$f^{\prime }(x)>0$ 恆成立。

答案 (A)(B)。$f^{\prime }(x)=-4x^3-12x^2=-4x^2(x+3)$。

$x^2\ge 0$，所以 $f^{\prime }(x)$ 的正負由 $-(x+3)$ 決定：$x<-3$ 時 $f^{\prime }(x)>0$，$x>-3$ 且 $x\ne 0$ 時 $f^{\prime }(x)<0$。$f$ 在 $(-\infty ,-3]$ 上嚴格遞增，在 $[-3,\infty )$ 上嚴格遞減。

(A) 正確。 $(-7,-5)$ 在 $x<-3$ 的範圍內，$f^{\prime }(x)>0$。

(B) 正確。 $(-5,-3)$ 也在 $x<-3$ 的範圍內。

(C) 錯誤。 $(-3,0)$ 上 $f^{\prime }(x)<0$，嚴格遞減。

(D) 錯誤。 $(0,3)$ 上 $f^{\prime }(x)<0$，嚴格遞減。

(E) 錯誤。 $(3,5)$ 上 $f^{\prime }(x)<0$，嚴格遞減。

答案 (C)(D)(E)。

(A) 錯誤。 圖形左端往上、右端往下，$x$ 很大時 $f(x)$ 趨近負的方向，所以最高次項係數 $a<0$。

(B) 錯誤。 $f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$，反曲點的 $x$ 坐標是 $-\frac{b}{3a}$。由圖，反曲點在 $y$ 軸左邊，$-\frac{b}{3a}<0$，即 $\frac{b}{a}>0$；又 $a<0$，所以 $b<0$。

(C) 正確。 $c=f^{\prime }(0)$ 是圖形在 $x=0$ 的切線斜率。$x=0$ 位在極小點與極大點之間，函數在這裡遞增，$f^{\prime }(0)>0$，所以 $c>0$。

(D) 正確。 $d=f(0)$ 是圖形與 $y$ 軸交點的 $y$ 坐標，由圖在原點上方，$d>0$。

(E) 正確。 圖形有極大值與極小值，$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c=0$ 有兩個相異實根，判別式 $(2b{)}^2-4\cdot 3a\cdot c=4(b^2-3ac)>0$，所以 $b^2-3ac>0$。

答案 $29$。平均速度是位移的改變量除以時間：$f(4)=64+4=68$，$f(2)=8+2=10$，

$$\frac{f(4)-f(2)}{4-2}=\frac{68-10}{2}=29$$

答案 $y=3x-1$ 或 $y=7x-9$。$f(2)=6\ne 5$，$P$ 不在圖形上，不能直接把 $P$ 當切點。

設切點為 $(t,t^2+t)$，$f^{\prime }(x)=2x+1$，切線斜率 $2t+1$，切線方程式

$$y=(2t+1)(x-t)+t^2+t=(2t+1)x-t^2$$

切線過 $P(2,5)$：$5=2(2t+1)-t^2$，整理得 $t^2-4t+3=0$，$t=1$ 或 $t=3$。

$t=1$ 時切線為 $y=3x-1$；$t=3$ 時切線為 $y=7x-9$。

答案 $y=9x+30$。$f^{\prime }(x)=-12x-15$，令 $-12x-15=9$，得 $x=-2$。切點 $y$ 坐標 $f(-2)=-24+30+6=12$。

切線過 $(-2,12)$、斜率 $9$：$y-12=9(x+2)$，即 $y=9x+30$。

答案 $9$。因為 $f(2)=0$，

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+3h)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+3h)-f(2)}{3h}\cdot 3$$

當 $h\to 0$ 時 $3h\to 0$，前面的分式就是 $x=2$ 的導數的定義，趨近 $f^{\prime }(2)=3$，所以極限為 $3\times 3=9$。

答案 $5$。$f^{\prime }(x)=6x^2+24x+18=6(x+1)(x+3)$。

$x<-3$ 時 $f^{\prime }(x)>0$，$-3<x<-1$ 時 $f^{\prime }(x)<0$，$x>-1$ 時 $f^{\prime }(x)>0$。所以 $f$ 在 $x=-3$ 由增轉減，有極大值

$$f(-3)=-54+108-54+5=5$$

答案 $(a,b)=(-6,3)$。$f^{\prime \prime }(x)=6x+2a$，反曲點的 $x$ 坐標 $-\frac{a}{3}=2$，得 $a=-6$。

反曲點在圖形上：$f(2)=8+4a+2b+2=-8$，代入 $a=-6$ 得 $8-24+2b+2=-8$，$b=3$。

答案 $(a,b,c)=(-3,-9,2)$。$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$ 在極值點等於 $0$，所以 $-1$ 與 $3$ 是 $f^{\prime }(x)=0$ 的兩根：

$$3x^2+2ax+b=3(x+1)(x-3)=3x^2-6x-9$$

比較係數得 $a=-3$，$b=-9$。再由 $f(-1)=7$：$-1-3+9+c=7$，$c=2$。

驗證：$f^{\prime }(x)=3(x+1)(x-3)$ 在 $x=-1$ 由正變負（極大）、在 $x=3$ 由負變正（極小），符合題意。

答案 $y=-12x+3$。切線斜率是 $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-1{)}^2-12$，在 $x=1$ 時最小，最小斜率是 $-12$。

切點 $f(1)=1-3-9+2=-9$，切線 $y+9=-12(x-1)$，即 $y=-12x+3$。

答案 $\frac{3}{25}$。由除法的微分公式，

$$f^{\prime }(x)=\frac{(4x-5)(x^4+4)-(2x^2-5x+1)\cdot 4x^3}{(x^4+4{)}^2}$$

代 $x=1$：分子 $(4-5)(1+4)-(2-5+1)\cdot 4=-5+8=3$，分母 $(1+4{)}^2=25$，所以 $f^{\prime }(1)=\frac{3}{25}$。

答案 $-48$。令 $g(x)=(x^2+3{)}^2=(x^2+3)(x^2+3)$，由乘法的微分公式 $g^{\prime }(x)=2(x^2+3)\cdot 2x=4x(x^2+3)$。

再對 $f(x)=g(x)(1-2x)$ 用乘法公式：

$$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)(1-2x)+g(x)\cdot (-2)$$

代 $x=1$：$g(1)=16$，$g^{\prime }(1)=4\cdot 4=16$，$f^{\prime }(1)=16\cdot (-1)+16\cdot (-2)=-16-32=-48$。