段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧度角的三角函數值、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期）

臺南二中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 臺南二中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 臺南二中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 4 題的扇形周長與面積數值相同，要把半徑看成未知數、用判別式找出 n 的範圍，再回頭確認半徑與圓心角合不合理；多選第 2 題的對稱軸要代進去看是不是落在最高點或最低點；填充第 5 題（本頁第 12、13 題）外圍鐵條要拆成三段直線與三段圓弧，三段圓弧剛好合成一個圓；混合第 1 題（第 17 到 20 題）要先估出 π 的平方大約是 π 的 3.14 倍，再用圖形的對稱性求四個根的和。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

多選題 5 題（每題 5 分，共 25 分）、填充題 7 題共 11 格（每格 5 分，共 55 分）、混合題 2 題共 6 小題（共 20 分：第 1 題四小題依序 3、2、2、5 分，第 2 題兩小題依序 3、5 分）。原卷三大題各自從 1 編號，本頁全卷連續編為第 1～22 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，22 題（格）全部相同。

一、多選題：每題 5 分，共 25 分【所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。】

已知角

θ = - 10

，請選出正確的選項？

(1) $θ$ 是第四象限角
(2) $tan θ < 0$
(3) 點 $(sin θ, cos θ)$ 落在第四象限
(4) $4 π + 10$ 是 $θ$ 的同界角
(5) $sin (π + 10) = sin θ$

已知

f (x) = 3 - sin (π x - \frac{π}{6})

，請選出正確的選項？

(1) $f (x)$ 的最大值為 $2$
(2) $f (x)$ 的振幅為 $- 1$
(3) $f (x)$ 的週期為 $π$
(4) $f (1) < f (2)$
(5) $y = f (x)$ 的圖形對稱於直線 $3 x = 20$

設數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足

a_{n} = cos (\frac{nπ}{3})

，

n \in N

，請選出正確的選項？

(1) $a_{1} = \frac{1}{2}$
(2) $⟨ a_{n} ⟩$ 是等差數列
(3) $⟨ a_{n} ⟩$ 是等比數列
(4) $a_{50} = a_{80}$
(5) $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{99} + a_{100} = - 1$

設扇形半徑為

r

，扇形周長為

n

單位，扇形面積為

n

平方單位，請選出正確的選項？

(1) $n \geq 16$
(2) $n \leq 4 π$
(3) $r$ 可能為 $2$ 單位
(4) $r$ 可能為 $4$ 單位
(5) 扇形的圓心角可能為 $2$ 弳

下圖是三角函數的部分圖形，請從下列選項中選出符合的函數？

(1) $y = 2 sin (\frac{x}{3} - \frac{π}{2}) - 1$
(2) $y = 2 sin (\frac{x}{3} + \frac{π}{2}) - 1$
(3) $y = 2 sin (\frac{x}{3} + \frac{3}{2} π) - 1$
(4) $y = 2 sin (3 x - \frac{π}{2}) - 1$
(5) $y = 2 sin (3 x + \frac{π}{2}) - 1$

載入中...

二、填充題：每格 5 分，共 55 分【答案須有理化或化為最簡分數】

填充第 1 題（第 6～7 題）（第 6～7 題）　試將下列各角度的弧度量換成度度量，度度量換成弧度量：

(1)

- 3.3 π

(2)

π^{\circ}

設

5 π < θ < 6 π

，且

tan θ = - 2

，求

\frac{2 sin θ - cos θ}{2 sin θ + cos θ} =

？

填充第 3 題（第 9～10 題）（第 9～10 題）　試求下列各式的值：

(1)

sin \frac{99}{2} π + cos \frac{100}{3} π

(2)

\frac{1 - tan \frac{5}{6} π}{1 + tan \frac{5}{6} π}

如下圖，

\overline{B C}

為直圓錐中底圓直徑，若將直圓錐沿

\overline{A B}

展開為一扇形，設此扇形的圓心角為

21 6^{\circ}

，且

\overline{A B} = 10

，試求直圓錐的體積？（直圓錐體積

= \frac{1}{3} \times

底面積

\times

高）

載入中...

填充第 5 題（第 12～13 題）（第 12～13 題）　建築設計師設計某建築物的柱子時，利用黑色鐵條，環繞三根半徑為

1

單位的圓柱形鋼筋，其截面如圖所示，試求

(1) 環繞圓柱外圍所用鐵條的長度

載入中...

(2) 柱子截面的面積

填充第 6 題（第 14～15 題）（第 14～15 題）　花磚圖形是一種裝飾性的磚塊設計，常見於建築物表面，例如地板、牆壁和屋頂。它們通常具有重複的幾何圖案、花卉或抽象設計。如圖(一)為屏東萬巒五溝水古厝裡的芳草落英花磚（原卷的圖(一)是花磚的圖片，本頁沒有重畫），小美參考此花磚，設計一款

10

公分

\times 10

公分的杯墊如圖(二)，以正方形的各邊中點為圓心畫半圓，試求

(1) 陰影區域的周長

載入中...

(2) 陰影區域的面積

台中麗寶樂園從日本福岡引進亞洲第二大摩天輪「天空之夢」，為全台最大的摩天輪。天空之夢直徑

112

公尺，中心軸高

70

公尺，逆時針方向運轉一圈需時

25

分鐘。當摩天輪開始運轉時，小美恰坐在離地最近的位置上，

x

分鐘後，阿美（卷面前一句印作小美，應指同一人）離地的高度可表為

y = a sin (b x + c) + d

，其中

a > 0

，

b > 0

且

0 \leq c < 2 π

。試求數組

(a, b, c, d) =

？

載入中...

三、混合題：20 分，請於答案卷上作答

混合第 1 題（第 17～20 題）（第 17～20 題）　已知

a = sin (π^{2})

，

f (x) = sin (2 x)

，試求下列各題：

(1) 請選出正確的選項？【單選題】（原卷選項用圈號 ①～④，本頁依序寫成 (1)～(4)）

(1) $- 1 < a < - \frac{3}{2}$
(2) $- \frac{3}{2} < a < - \frac{2}{2}$
(3) $- \frac{2}{2} < a < - \frac{1}{2}$
(4) $- \frac{1}{2} < a < 0$

(2) 畫出

f (x) = sin (2 x)

的圖形（答案卷印有

x

從

- 2 π

到

2 π

、

y

從

- 2

到

2

的坐標格）

(3) 設

0 \leq x \leq 2 π

，則方程式

f (x) = a

共有 ____ 個實根。【填充題】

(4) 承第(3)題，試求所有實根的和？【請詳述過程，依過程計分】

混合第 2 題（第 21～22 題）（第 21～22 題）　拱為常見建築結構之一，型態定義為中央上半成圓弧曲線。小明參考哥德式尖拱的結構，設計一個尖拱窗造型，如圖。

△ A B C

中，

∠ B = ∠ C

，分別以

B

、

C

為圓心，

\overline{A B}

、

\overline{A C}

為半徑畫弧，交

\overline{B C}

於

E

、

D

且

\overline{B E} = 6

，

\overline{B C} = 63

。試求下列各題：

(1)

∠ B

為多少弳？【請詳述過程，依過程計分】

載入中...

(2) 求陰影區域面積？【請詳述過程，依過程計分】

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)(3)(5)

第 2 題(4)(5)

第 3 題(1)(4)

第 4 題(1)(4)(5)

第 5 題(1)(3)

第 6 題

- 59 4^{\circ}

第 7 題

\frac{π ^{2}}{180}

第 8 題

\frac{5}{3}

第 9 題

- \frac{3}{2}

第 10 題

2 + 3

第 11 題

96 π

第 12 題

2 π + 6

第 13 題

π + 6 + 3

第 14 題

20 π

公分

第 15 題

50 π - 100

平方公分

第 16 題

(56, \frac{2 π}{25}, \frac{3 π}{2}, 70)

第 17 題(4)

第 18 題見詳解的圖：週期

π

、振幅

1

、通過原點的正弦曲線

第 19 題

4

第 20 題

5 π

第 21 題

\frac{π}{6}

第 22 題

6 π - 93

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1～3 題：弧度角的位置、正弦型函數的性質、循環的餘弦值

第 1 題答案 (2)(3)(5)。

θ = - 10

沒有度的記號，是

- 10

弳。同界角是

- 10 + 2 k π

（

k

為整數）；

4 π \approx 12.57

，所以

- 10 + 4 π \approx 2.57

。而

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 2.57 < π \approx 3.14

，

θ

是第二象限角，

sin θ > 0

、

cos θ < 0

、

tan θ < 0

。 (1) 錯誤。

θ

是第二象限角。 (2) 正確。 第二象限角的正切是負的。 (3) 正確。 這個點的

x

坐標是

sin θ > 0

，

y

坐標是

cos θ < 0

，右邊、下方，落在第四象限。 (4) 錯誤。 同界角要相差

2 π

的整數倍。

(4 π + 10) - (- 10) = 4 π + 20

，其中

20

不是

2 π

的整數倍（

20 \div 2 π \approx 3.18

），所以不是同界角。

θ

的同界角是

4 π - 10

。 (5) 正確。

sin (π + 10) = - sin 10

，而

sin θ = sin (- 10) = - sin 10

，兩邊相等。

(3) 的坐標順序是先

sin

後

cos

，和平常單位圓上的點

(cos θ, sin θ)

相反，正負要對到正確的坐標。數值：

sin (- 10) \approx 0.544

，

cos (- 10) \approx - 0.839

。

第 2 題答案 (4)(5)。

sin (π x - \frac{π}{6})

的值在

- 1

與

1

之間，所以

f (x)

在

3 - 1 = 2

與

3 - (- 1) = 4

之間。 (1) 錯誤。 最大值是

4

，

2

是最小值。 (2) 錯誤。 振幅是最大值與最小值的差的一半，

\frac{4 - 2}{2} = 1

，振幅不會是負數。 (3) 錯誤。 週期是

\frac{2 π}{π} = 2

。 (4) 正確。

f (1) = 3 - sin \frac{5 π}{6} = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

；

f (2) = 3 - sin \frac{11 π}{6} = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}

。所以

f (1) < f (2)

。 (5) 正確。 正弦型函數的圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線。直線

3 x = 20

就是

x = \frac{20}{3}

，代入得

π \cdot \frac{20}{3} - \frac{π}{6} = \frac{39 π}{6} = \frac{13 π}{2} = 6 π + \frac{π}{2}

，這時正弦值是

1

，

f (\frac{20}{3}) = 2

是最小值，圖形在這裡是最低點，所以對稱於這條直線。

第 3 題答案 (1)(4)。依序代入

n = 1, 2, \dots, 6

：

a_{1} = \frac{1}{2}, a_{2} = - \frac{1}{2}, a_{3} = - 1, a_{4} = - \frac{1}{2}, a_{5} = \frac{1}{2}, a_{6} = 1

n

每增加

6

，角度增加

2 π

，餘弦值不變，所以數列每

6

項循環一次，而且這

6

項的和是

0

。 (1) 正確。

a_{1} = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

。 (2) 錯誤。

a_{2} - a_{1} = - 1

，

a_{3} - a_{2} = - \frac{1}{2}

，相鄰兩項的差不固定。 (3) 錯誤。

a_{2} \div a_{1} = - 1

，

a_{3} \div a_{2} = 2

，相鄰兩項的比不固定。 (4) 正確。

50 = 6 \times 8 + 2

、

80 = 6 \times 13 + 2

，所以

a_{50} = a_{2}

、

a_{80} = a_{2}

，兩者都是

- \frac{1}{2}

。 (5) 錯誤。

100 = 6 \times 16 + 4

，前

96

項的和是

0

，剩下

a_{97} + a_{98} + a_{99} + a_{100} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 1 - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

，不是

- 1

。

弧度角先用

π \approx 3.14

找出同界角落在哪個象限；正弦型函數的對稱軸通過最高點或最低點；角度每次加固定量的三角函數值會循環，先列出一個循環。

02多選第 4～5 題：周長與面積數值相同的扇形、由圖形寫出函數

第 4 題答案 (1)(4)(5)。設弧長為

s

。周長

2 r + s = n

，面積

\frac{1}{2} r s = n

。由第一式

s = n - 2 r

，代入第二式得

\frac{1}{2} r (n - 2 r) = n

，整理成

2 r^{2} - n r + 2 n = 0

半徑

r

是實數，這個

r

的二次方程式要有實根，判別式

n^{2} - 16 n \geq 0

，即

n (n - 16) \geq 0

。周長

n > 0

，所以

n \geq 16

。 (1) 正確。 如上，

n \geq 16

。

n = 16

時

r = 4

、

s = 8

，圓心角是

2

弳，這個扇形確實存在。 (2) 錯誤。

4 π \approx 12.57 < 16

，

n

不可能小於等於

4 π

。 (3) 錯誤。

r = 2

代入方程式得

8 - 2 n + 2 n = 8 = 0

，不成立。 (4) 正確。

r = 4

代入得

32 - 4 n + 2 n = 0

，

n = 16

，此時

s = 16 - 8 = 8

，周長

16

、面積

\frac{1}{2} \times 4 \times 8 = 16

，符合。 (5) 正確。 圓心角是

2

弳時

s = 2 r

，周長

4 r = n

、面積

\frac{1}{2} r \cdot 2 r = r^{2} = n

，所以

r^{2} = 4 r

，

r = 4

，就是 (4) 的那個扇形。

由兩個條件可以解出

s = \frac{4 r}{r - 2}

，所以一定要

r > 2

；圓心角是

\frac{s}{r} = \frac{4}{r - 2}

。

第 5 題答案 (1)(3)。圖上最高點

A (3 π, 1)

、最低點

B (6 π, - 3)

是相鄰的最高點與最低點。設函數是

y = a sin (b x + c) + d

（

a > 0

、

b > 0

）：振幅

a = \frac{1 - ( - 3 )}{2} = 2

，中間的高度

d = \frac{1 + ( - 3 )}{2} = - 1

。最高點到相鄰最低點是半個週期，所以週期是

2 \times (6 π - 3 π) = 6 π

，

b = \frac{2 π}{6 π} = \frac{1}{3}

。五個選項的

a

、

d

都對，(4)(5) 的

b = 3

不對，剩下 (1)(2)(3) 看

x = 3 π

時是不是最高點（括號內的角的正弦值是

1

）。 (1) 正確。

\frac{3 π}{3} - \frac{π}{2} = \frac{π}{2}

，正弦值是

1

，

y = 2 - 1 = 1

；再看

x = 6 π

：

2 π - \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}

，正弦值是

- 1

，

y = - 3

。符合。 (2) 錯誤。

\frac{3 π}{3} + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}

，正弦值是

- 1

，

x = 3 π

時

y = - 3

，是最低點。 (3) 正確。

\frac{x}{3} + \frac{3 π}{2}

比 (1) 的

\frac{x}{3} - \frac{π}{2}

剛好多

2 π

，正弦值完全相同，和 (1) 是同一個函數。 (4) 錯誤。 週期是

\frac{2 π}{3}

，不是

6 π

。 (5) 錯誤。 週期是

\frac{2 π}{3}

，不是

6 π

。

(1) 在

x = 0

時

y = 2 sin (- \frac{π}{2}) - 1 = - 3

，是最低點，和圖上曲線在

y

軸附近位於最低處相符。(4) 代

x = 3 π

得

1

、代

x = 6 π

得

- 3

，兩個點都通過，但它的週期只有

\frac{2 π}{3}

，從

A

到

B

之間會經過

4.5

個週期、反覆升降好幾次，和圖上「只下降一次」不合；所以只代點不夠，要先看週期。

由圖形寫

y = a sin (b x + c) + d

：最高與最低的差的一半是

a

、平均是

d

，相鄰最高點與最低點的水平距離是半個週期，最後代一個已知點定

c

；

c

相差

2 π

是同一個函數。

03填充第 1～3 題（第 6～10 題）：度與弧度互換、由正切求值、大角度的三角函數值

第 6 題

π

弳等於

18 0^{\circ}

，所以

- 3.3 π

弳等於

- 3.3 \times 18 0^{\circ} = - 59 4^{\circ}

。

第 7 題

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳，所以

π^{\circ} = π \times \frac{π}{180} = \frac{π ^{2}}{180}

弳。

π^{\circ}

是大約

3.1 4^{\circ}

的小角，不是

π

弳（

18 0^{\circ}

）。化成弧度大約是

0.0548

弳。

第 8 題

tan θ = - 2

，所以

cos θ \neq = 0

。把分子、分母同除以

cos θ

：

\frac{2 sin θ - cos θ}{2 sin θ + cos θ} = \frac{2 tan θ - 1}{2 tan θ + 1} = \frac{2 \times ( - 2 ) - 1}{2 \times ( - 2 ) + 1} = \frac{- 5}{- 3} = \frac{5}{3}

也可以直接求值：

5 π < θ < 6 π

減去

4 π

後在

π

與

2 π

之間，正切是負的，所以是第四象限角，

sin θ = - \frac{2}{5}

、

cos θ = \frac{1}{5}

，代入得到相同的

\frac{5}{3}

。這一題分子分母同除以

cos θ

之後只剩正切，用不到象限。

第 9 題

\frac{99}{2} π = 48 π + \frac{3 π}{2}

，減去

48 π

（

24

圈）正弦值不變，

sin \frac{99}{2} π = sin \frac{3 π}{2} = - 1

。

\frac{100}{3} π = 32 π + \frac{4 π}{3}

，減去

32 π

（

16

圈）餘弦值不變，

cos \frac{100}{3} π = cos \frac{4 π}{3} = - \frac{1}{2}

（第三象限，參考角是

\frac{π}{3}

）。所求是

- 1 + (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}

。

第 10 題

\frac{5}{6} π

是第二象限角，參考角是

\frac{π}{6}

，所以

tan \frac{5}{6} π = - tan \frac{π}{6} = - \frac{1}{3}

。代入：

\frac{1 + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3 + 1}{3 - 1} = \frac{( 3 + 1 ) ^{2}}{( 3 - 1 ) ( 3 + 1 )} = \frac{4 + 2 3}{2} = 2 + 3

第二步是分子、分母同乘

3

；第三步是有理化分母。數值約

3.732

。

大角度先減掉

2 π

的整數倍，再找參考角、依象限定正負。只含

sin θ

、

cos θ

一次式的分式，分子分母同除以

cos θ

就只剩

tan θ

。

04填充第 4～5 題（第 11～13 題）：圓錐展開圖、環繞三個圓的鐵條

第 11 題展開後扇形的半徑是斜高

\overline{A B} = 10

，圓心角

21 6^{\circ} = 216 \times \frac{π}{180} = \frac{6 π}{5}

弳，弧長是

10 \times \frac{6 π}{5} = 12 π

。扇形的弧長等於底圓的周長：設底圓半徑為

R

，

2 π R = 12 π

，

R = 6

。圓錐的高、底圓半徑、斜高成直角三角形，高是

1 0^{2} - 6^{2} = 8

。體積是

\frac{1}{3} \times π \times 6^{2} \times 8 = 96 π

。

本頁附圖的圓錐是示意，沒有照實際的高與半徑的比例畫。

第 12 題三個圓兩兩相切，三個圓心連成邊長

2

的正三角形。鐵條繃緊後由三段直線與三段圓弧組成。直線部分：每一段直線同時和兩個圓相切，兩個切點與兩個圓心圍成長方形，所以每段直線的長度等於圓心距

2

，三段共

6

。圓弧部分：在每個圓心，周角

36 0^{\circ}

扣掉兩個長方形的直角（共

18 0^{\circ}

）與正三角形的內角

6 0^{\circ}

，剩下

12 0^{\circ}

，就是那段圓弧的圓心角。三段圓弧合起來是

36 0^{\circ}

，剛好是一整個半徑

1

的圓周，長度

2 π

。鐵條的長度是

2 π + 6

。

數值約

12.28

。

12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

弳，每段圓弧長

1 \times \frac{2 π}{3}

，三段共

2 π

。

第 13 題柱子的截面就是鐵條圍起來的區域。照上一題的切法，它可以拆成：中間的正三角形（邊長

2

）：面積

\frac{3}{4} \times 2^{2} = 3

。三個長方形（長

2

、寬

1

）：面積

3 \times 2 \times 1 = 6

。三個扇形（半徑

1

、圓心角

12 0^{\circ}

），合起來是一整個圓：面積

π \times 1^{2} = π

。截面的面積是

π + 6 + 3

。

數值約

10.87

。這裡求的是外圍鐵條所圍的整個區域；三根鋼筋本身的截面積是

3 π

，不是這一題要的。

繞在幾個等圓外面的帶子：直線段的長度等於圓心距，各段圓弧的圓心角合起來一定是一整圈。

05填充第 6～7 題（第 14～16 題）：四個半圓圍出的花瓣、摩天輪

第 14 題正方形邊長

10

公分，每個半圓以一邊的中點為圓心、半徑

5

公分，通過那一邊的兩個端點與正方形的中心。相鄰兩個半圓重疊的部分就是一片花瓣（由中心到一個頂點），共四片。每一片花瓣的邊界是兩段圓弧，每一段都是半徑

5

的四分之一圓。四片花瓣共

8

段四分之一圓，剛好是四個半圓弧的全部，所以

周長 = 4 \times (\frac{1}{2} \times 2 π \times 5) = 20 π （公分）

數值約

62.83

公分。

第 15 題四個半圓合起來剛好蓋滿整個正方形，其中四片花瓣各被兩個半圓蓋到（算了兩次），其餘的部分只算一次。所以四個半圓的面積和

=

正方形面積

+

花瓣面積。四個半圓的面積和是

4 \times \frac{1}{2} \times π \times 5^{2} = 50 π

，正方形面積是

100

，所以陰影（四片花瓣）面積是

50 π - 100

平方公分。

也可以一片一片算：一片花瓣是兩個弓形，每個弓形是四分之一圓減去等腰直角三角形，

\frac{1}{4} \times 25 π - \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = \frac{25 π}{4} - \frac{25}{2}

，八個弓形共

50 π - 100

。數值約

57.08

平方公分。

第 16 題半徑是

112 \div 2 = 56

公尺，中心軸高

70

公尺，所以最高

70 + 56 = 126

公尺、最低

70 - 56 = 14

公尺。

a > 0

時

y

的最大值是

a + d

、最小值是

- a + d

：由

a + d = 126

、

- a + d = 14

解得

a = 56

、

d = 70

。轉一圈

25

分鐘，週期

\frac{2 π}{b} = 25

，

b = \frac{2 π}{25}

。

x = 0

時在離地最近的位置，

y = 14

：

56 sin c + 70 = 14

，

sin c = - 1

，在

0 \leq c < 2 π

內只有

c = \frac{3 π}{2}

。所以

(a, b, c, d) = (56, \frac{2 π}{25}, \frac{3 π}{2}, 70)

。

驗算：

x = 12.5

（半圈）時

\frac{2 π}{25} \times 12.5 + \frac{3 π}{2} = \frac{5 π}{2}

，正弦值是

1

，

y = 126

，在最高點，合理。高度只和轉了多少角度有關，順時針或逆時針不影響答案。

重疊的圖形用「各塊面積的和減去整體」找重疊部分。週期運動

y = a sin (b x + c) + d

：最大值與最小值定

a

、

d

，轉一圈的時間定

b

，出發的位置定

c

。

06混合第 1 題（第 17～20 題）：估計正弦值、畫圖、根的個數與根的和

第 17 題答案 (4)。把

π^{2}

看成

π \times π

。

π \approx 3.1416

，所以

π^{2} \approx 3.1416 π = 3 π + 0.1416 π

。令

α = π^{2} - 3 π \approx 0.1416 π

。

3 π + α

減去

2 π

是

π + α

，所以

a = sin (π^{2}) = sin (π + α) = - sin α

。

\frac{π}{6} \approx 0.1667 π

，所以

0 < α < \frac{π}{6}

；正弦在

0

到

\frac{π}{6}

之間由

0

遞增到

\frac{1}{2}

，得

0 < sin α < \frac{1}{2}

，因此

- \frac{1}{2} < a < 0

。

數值

a \approx - 0.430

。只判斷「第三象限、所以是負的」不夠，四個選項都是負的，要再和

π + \frac{π}{6}

比位置。

第 18 題

f (x) = sin (2 x)

是把

y = sin x

的圖形沿水平方向壓縮成

\frac{1}{2}

倍：振幅仍是

1

，週期是

\frac{2 π}{2} = π

。在一個週期

0 \leq x \leq π

內取五個點：

(0, 0)

、

(\frac{π}{4}, 1)

、

(\frac{π}{2}, 0)

、

(\frac{3 π}{4}, - 1)

、

(π, 0)

，用平滑的曲線連起來，再每隔

π

重複一次。從

- 2 π

到

2 π

共畫出

4

個週期，如下圖。

載入中...

圖形與

x

軸交於

\frac{π}{2}

的整數倍；最高點在

x = \frac{π}{4}

、

\frac{5 π}{4}

等處，最低點在

x = \frac{3 π}{4}

、

\frac{7 π}{4}

等處，高度不超過

1

、不低於

- 1

。

第 19 題

0 \leq x \leq 2 π

剛好是

f (x) = sin (2 x)

的兩個週期。由第 (1) 小題，

- \frac{1}{2} < a < 0

，水平線

y = a

在

x

軸下方、最低點上方。在每一個週期裡，圖形只有後半段在

x

軸下方（第一個週期是

\frac{π}{2} < x < π

，第二個週期是

\frac{3 π}{2} < x < 2 π

），這一段先由

0

降到

- 1

再升回

0

，和水平線

y = a

各交

2

點。兩個週期共

4

個交點，所以有

4

個實根。

第 20 題

f (x) = sin (2 x)

的圖形對稱於通過最低點的鉛直線。在

0 \leq x \leq 2 π

內，最低點在

x = \frac{3 π}{4}

與

x = \frac{7 π}{4}

。第一個週期的兩個根在

\frac{π}{2}

與

π

之間，高度相同，對稱於直線

x = \frac{3 π}{4}

，所以這兩個根的和是

2 \times \frac{3 π}{4} = \frac{3 π}{2}

。第二個週期的兩個根在

\frac{3 π}{2}

與

2 π

之間，對稱於直線

x = \frac{7 π}{4}

，和是

2 \times \frac{7 π}{4} = \frac{7 π}{2}

。四個根的和是

\frac{3 π}{2} + \frac{7 π}{2} = 5 π

。

也可以把根寫出來：令

α = π^{2} - 3 π

，

sin (2 x) = - sin α

在

0 \leq 2 x \leq 4 π

內的解是

2 x = π + α

、

2 π - α

、

3 π + α

、

4 π - α

，相加得

10 π

，所以四個

x

的和是

5 π

。四個根約為

1.793

、

2.919

、

4.935

、

6.061

，和約

15.708

。

方程式

sin (2 x) = a

的根就是圖形與水平線的交點；同一個凹谷（或同一個山峰）裡的兩個交點對稱於通過最低點（或最高點）的鉛直線，和等於那條線的

x

坐標的

2

倍。

07混合第 2 題（第 21～22 題）：尖拱窗的底角與面積

第 21 題

E

在以

B

為圓心、

\overline{A B}

為半徑的弧上，所以

\overline{A B} = \overline{B E} = 6

。

∠ B = ∠ C

，三角形

A B C

是等腰三角形，

\overline{A C} = \overline{A B} = 6

。作

\overline{B C}

的中點

M

，等腰三角形中

\overline{A M} ⊥ \overline{B C}

，

\overline{B M} = \frac{1}{2} \times 63 = 33

。在直角三角形

A B M

中，

cos B = \frac{B M}{A B} = \frac{3 3}{6} = \frac{3}{2}

∠ B

是銳角，所以

∠ B = 3 0^{\circ} = \frac{π}{6}

弳。

本頁附圖的底角是示意，沒有照

3 0^{\circ}

畫。

第 22 題扇形

B A E

（圓心

B

、半徑

6

、圓心角

\frac{π}{6}

）的面積是

\frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{π}{6} = 3 π

。

∠ C = \frac{π}{6}

、

\overline{A C} = 6

，扇形

C A D

的面積也是

3 π

。三角形

A B C

的高

\overline{A M} = 6^{2} - (33)^{2} = 3

，面積是

\frac{1}{2} \times 63 \times 3 = 93

。兩個扇形都在三角形

A B C

裡面，合起來蓋滿整個三角形，重疊的部分就是陰影。所以兩個扇形的面積和

=

三角形面積

+

陰影面積。陰影面積是

3 π + 3 π - 93 = 6 π - 93

。

為什麼蓋滿：

\overline{A M}

把三角形分成左右兩個直角三角形，左邊那個三角形

A B M

的三個頂點到

B

的距離是

6

、

0

、

33

，都不超過

6

，所以整個落在扇形

B A E

裡；右邊同理落在扇形

C A D

裡。數值約

3.26

；

\overline{D E} = 6 + 6 - 63 \approx 1.61

，是一個瘦長的尖拱，合理。

兩個扇形重疊的部分＝兩個扇形的面積和減去它們合起來蓋住的區域。先確認每段弧的圓心、半徑與圓心角。

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多選第 4 題的扇形周長與面積數值相同，要把半徑看成未知數、用判別式找出 n 的範圍，再回頭確認半徑與圓心角合不合理；多選第 2 題的對稱軸要代進去看是不是落在最高點或最低點；填充第 5 題（本頁第 12、13 題）外圍鐵條要拆成三段直線與三段圓弧，三段圓弧剛好合成一個圓；混合第 1 題（第 17 到 20 題）要先估出 π 的平方大約是 π 的 3.14 倍，再用圖形的對稱性求四個根的和。詳解逐題寫在本頁。

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03填充第 1～3 題（第 6～10 題）：度與弧度互換、由正切求值、大角度的三角函數值

04填充第 4～5 題（第 11～13 題）：圓錐展開圖、環繞三個圓的鐵條

05填充第 6～7 題（第 14～16 題）：四個半圓圍出的花瓣、摩天輪

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