段考詳解範圍：三角函數（弧度量與扇形、三角函數的圖形與週期、和差角與倍角公式、正餘弦的疊合）

鳳新高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選題 7 題、多重選擇題 2 題、選填題 6 題，共 15 題；流傳版本未印配分

一、單選題（流傳版本題號 1～7；未印配分）

周長為

16

的扇形，在半徑為

r

時有最大面積，則

r =

？

(1) $2$
(2) $4$
(3) $6$
(4) $8$
(5) $22$

選出下列

5

個選項中最大的值。

(1) $sin 1$
(2) $cos 2$
(3) $tan 3$
(4) $sin 4^{\circ}$
(5) $cos 5$

tan (- \frac{4 π}{3}) \times cos (\frac{7 π}{6}) - sin (- \frac{5 π}{2}) \times tan (\frac{11 π}{4}) =

？

(1) $\frac{1}{2}$
(2) $2$
(3) $\frac{3}{2}$
(4) $\frac{- 5}{2}$
(5) $- 2$

坐標平面上，函數

y = sin x

的圖形在

0 < θ \leq π

的範圍內滿足

sin θ = sin (\frac{π}{7} + θ)

的

θ

值為何？

(1) $\frac{2 π}{7}$
(2) $\frac{3 π}{7}$
(3) $\frac{4 π}{7}$
(4) $\frac{5 π}{7}$
(5) $\frac{6 π}{7}$

若

x

為實數，則

π sin (π x) = x

的解有幾個？

(1) $3$
(2) $5$
(3) $7$
(4) $9$
(5) 無限多

已知兩直線

2 x - y = 2

與

x - 2 y + 1 = 0

的銳夾角為

θ

，則

sin θ =

？

(1) $1$
(2) $\frac{4}{5}$
(3) $\frac{3}{4}$
(4) $\frac{1}{5}$
(5) $\frac{3}{5}$

如圖所示，超級市場中的罐頭每

3

罐用塑膠繩捆起來一起販售。已知罐頭橫截面的圓直徑

7

公分，打結處需要

8

公分。現有

5.5

公尺的塑膠繩，最多可以捆多少組罐頭？

(1) $7$
(2) $8$
(3) $9$
(4) $10$
(5) $11$

載入中...

二、多重選擇題（流傳版本題號 9、10，本頁編為第 8、9 題；流傳版本沒有第 8 題的題目；未印配分）

關於下列的敘述，請選出正確的選項。

(1) 已知 $θ$ 為第二象限角，則 $sin \frac{θ}{2} > 0$
(2) $sin (\frac{π}{2} - 1) > sin (π - 1)$
(3) $y = ∣ sin x + cos x ∣$ 的週期為 $π$
(4) 若 $sin θ - cos θ = \frac{1}{5}$ ，則 $sin 2 θ = \frac{24}{25}$
(5) 時鐘分針長 $6$ 公分，則 $5$ 時 $22$ 分到 $5$ 時 $57$ 分這 $35$ 分鐘之間，分針掃過的面積為 $21 π$ 平方公分

關於

y = f (x) = sin^{2} x - 4 sin x cos x + 3 cos^{2} x

（

0 \leq x < 2 π

）的敘述何者正確？

(1) $f (x)$ 的最大值為 $5 + 2$
(2) $f (x)$ 的最小值為 $5 - 2$
(3) $f (x)$ 的週期為 $4 π$
(4) $f (x)$ 的最大值發生在 $tan 2 x = - 2$ 時
(5) $y = f (x)$ 的圖形對稱於原點

三、選填題（流傳版本題號 A、B、C、D、F、G，本頁編為第 10～15 題；未印配分）

若

0 < α < \frac{π}{2} < β < π

且

sin α = \frac{3}{5}

，

sin β = \frac{5}{13}

，則

cos (α + β) =

____。

如圖所示，

\overline{A B}

為圓的直徑，今作扇形

A C D

使得

C B ⌢ = B D ⌢

，若

\overline{A B} = 12

且

∠ C A D = 6 0^{\circ}

，則圖中斜線區域的面積為

aπ + b c

，其中

a, b

為整數，

c

為質數，則

a - b + c =

____。

載入中...

已知

tan α = \frac{1}{4}

，

tan β = \frac{2}{3}

，則

\frac{cos ( α - β )}{sin ( α + β )} =

____。

如圖，在

△ A B E

中的

\overline{A B} = 1

，

\overline{A E} = 2

，若

B C D E

為正方形，則五邊形

A B C D E

面積的最大值為 ____。

載入中...

函數

f (x) = sin x

在

0 < x < 12 π

的範圍內，可以找到

n

個不同的實數

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

，使得

\frac{f ( x _{1} )}{x _{1}} = \frac{f ( x _{2} )}{x _{2}} = \dots = \frac{f ( x _{n} )}{x _{n}}

，則

n

的最大值為 ____。

下圖是函數

y = a sin x + b cos x + c

部分圖形，其中週期為

k π

，則

a^{2} + c k =

____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(1)

第 3 題(1)

第 4 題(2)

第 5 題(3)

第 6 題(5)

第 7 題(4)

第 8 題(3)(4)(5)

第 9 題(1)(4)

第 10 題

- \frac{63}{65}

第 11 題

33

第 12 題

\frac{14}{11}

第 13 題

5 + 17

第 14 題

12

第 15 題

5

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：扇形、弧度制下的三角函數值

第 1 題答案 (2)。設圓心角為

θ

弧度，弧長是

r θ

，周長

2 r + r θ = 16

，所以

r θ = 16 - 2 r

。面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} r (16 - 2 r) = - r^{2} + 8 r = - (r - 4)^{2} + 16

。

r = 4

時面積最大，最大面積

16

。

這時

θ = \frac{16 - 8}{4} = 2

弧度，小於

2 π

，是合理的扇形。

第 2 題答案 (1)。沒有寫「

^{\circ}

」的角是弧度，

1

弧度約

57. 3^{\circ}

。

sin 1 \approx sin 57. 3^{\circ}

，比

sin 4 5^{\circ} \approx 0.707

大。

2

弧度約

114. 6^{\circ}

、

3

弧度約

171. 9^{\circ}

，都是第二象限角，

cos 2

與

tan 3

都是負的。

sin 4^{\circ}

比

sin 3 0^{\circ} = 0.5

小。

5

弧度約

286. 5^{\circ}

，

cos 5 = cos (36 0^{\circ} - 286. 5^{\circ}) = cos 73. 5^{\circ}

，比

cos 6 0^{\circ} = 0.5

小。五個數裡只有

sin 1

超過

0.7

，所以最大。

五個值約為

0.841

、

- 0.416

、

- 0.143

、

0.070

、

0.284

。選項 (4) 有度的記號，其餘四個都是弧度。

第 3 題答案 (1)。逐項化簡：

tan (- \frac{4 π}{3}) = - tan \frac{4 π}{3} = - tan \frac{π}{3} = - 3

；

cos \frac{7 π}{6} = - cos \frac{π}{6} = - \frac{3}{2}

；

sin (- \frac{5 π}{2}) = - sin \frac{5 π}{2} = - sin \frac{π}{2} = - 1

；

tan \frac{11 π}{4} = tan \frac{3 π}{4} = - 1

。原式

= (- 3) \times (- \frac{3}{2}) - (- 1) \times (- 1) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}

。

正切的週期是

π

，所以

\frac{4 π}{3}

與

\frac{π}{3}

、

\frac{11 π}{4}

與

\frac{3 π}{4}

的正切值相同。

02單選第 4、5 題：正弦值相等、用圖形數解

第 4 題答案 (2)。兩個角的正弦值相等，只有兩種情形：兩角相差

2 π

的整數倍，或兩角相加等於

π

加上

2 π

的整數倍。

θ

與

θ + \frac{π}{7}

只差

\frac{π}{7}

，第一種不可能。第二種：

θ + (θ + \frac{π}{7}) = π + 2 k π

（

k

為整數），得

θ = \frac{3 π}{7} + k π

。在

0 < θ \leq π

內只有

k = 0

，

θ = \frac{3 π}{7}

。

從圖形看：

y = sin x

在

0

到

π

之間對稱於

x = \frac{π}{2}

，

θ

與

θ + \frac{π}{7}

要等高，兩者的中點必須是

\frac{π}{2}

。

第 5 題答案 (3)。改寫成

sin (π x) = \frac{x}{π}

，數

y = sin (π x)

與直線

y = \frac{x}{π}

的交點。正弦值在

- 1

與

1

之間，所以只需看

- π \leq x \leq π

（

π \approx 3.14

）。

x = 0

是一個解。

x > 0

時直線為正，只有曲線為正的區間

(0, 1)

、

(2, 3)

可能相交（

y = sin (π x)

的週期是

2

）。在

(0, 1)

：

x = \frac{1}{2}

時曲線值

1

大於直線值

\frac{1}{2 π}

，

x = 1

時曲線值

0

小於直線值，交

1

點。在

(2, 3)

：兩端曲線值都是

0

、比直線低，中間

x = \frac{5}{2}

時曲線值

1

大於直線值

\frac{5}{2 π} \approx 0.80

，交

2

點。

3 < x \leq π

時曲線為負，沒有交點。所以

x > 0

有

3

個解。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

3

個解。合計

1 + 3 + 3 = 7

個。

關鍵是直線在

x = \frac{5}{2}

的高度

0.80

還沒超過

1

，所以第二個拱形交得到兩點；下一個拱形在

(4, 5)

，已經超出

x \leq π

的範圍。

03單選第 6、7 題：兩直線夾角、捆罐頭的繩長

第 6 題答案 (5)。兩直線的斜率分別是

2

與

\frac{1}{2}

。設它們的斜角為

α

、

β

，則

tan α = 2

、

tan β = \frac{1}{2}

。由正切的差角公式，

tan (α - β) = \frac{2 - \frac{1}{2}}{1 + 2 \times \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4}

。這個值是正的，所以

α - β

就是銳夾角

θ

，

tan θ = \frac{3}{4}

。畫一個兩股為

3

、

4

，斜邊為

5

的直角三角形，得

sin θ = \frac{3}{5}

。

選項 (3) 的

\frac{3}{4}

是

tan θ

，題目問的是

sin θ

。

第 7 題答案 (4)。從上方看是三個半徑

3.5

公分、兩兩相切的圓，圓心連成邊長

7

的正三角形。繩子繞一圈由三段直線與三段圓弧組成：每段直線與一條圓心連線平行且等長，是

7

公分，三段共

21

公分；每段圓弧的圓心角是

36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

，三段合起來剛好一整個圓周

7 π \approx 21.99

公分。加上打結的

8

公分，捆一組需要

21 + 7 π + 8 \approx 50.99

公分。

5.5

公尺是

550

公分，

550 \div 50.99 \approx 10.8

，最多捆

10

組。

驗算：

10

組用掉約

509.9

公分，

11

組要約

560.9

公分，超過

550

。單位要先統一成公分。

04多重選擇（第 8、9 題）：綜合判斷、降次後疊合

第 8 題答案 (3)(4)(5)。(1) 不正確：第二象限角不一定在

\frac{π}{2}

與

π

之間，例如

θ = \frac{8 π}{3}

也是第二象限角，這時

\frac{θ}{2} = \frac{4 π}{3}

在第三象限，

sin \frac{θ}{2} < 0

。(2) 不正確：左邊

sin (\frac{π}{2} - 1) = cos 1

，右邊

sin (π - 1) = sin 1

；

1

弧度大於

\frac{π}{4}

且小於

\frac{π}{2}

，所以

sin 1 > cos 1

，左邊比較小。(3) 正確：

sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，週期

2 π

；加上絕對值後，

x

軸下方的部分翻到上方，週期變成一半，是

π

。(4) 正確：兩邊平方，

sin^{2} θ - 2 sin θ cos θ + cos^{2} θ = \frac{1}{25}

，即

1 - sin 2 θ = \frac{1}{25}

，

sin 2 θ = \frac{24}{25}

。(5) 正確：分針

60

分鐘轉一圈，

35

分鐘轉過

\frac{35}{60} \times 2 π = \frac{7 π}{6}

，掃過的扇形面積

= \frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{7 π}{6} = 21 π

平方公分。

(1) 的象限角可以多繞幾圈；

θ

是第二象限角時，

\frac{θ}{2}

可能在第一或第三象限。

第 9 題答案 (1)(4)。先用倍角公式降次：

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

、

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

、

2 sin x cos x = sin 2 x

，得

f (x) = \frac{1 - cos 2 x}{2} - 2 sin 2 x + \frac{3 ( 1 + cos 2 x )}{2} = - 2 sin 2 x + cos 2 x + 2

。疊合：

- 2 sin 2 x + cos 2 x = 5 sin (2 x + φ)

，其中

cos φ = - \frac{2}{5}

、

sin φ = \frac{1}{5}

。

0 \leq x < 2 π

時

2 x

跑完兩整圈，所以

f (x)

的最大值是

2 + 5

、最小值是

2 - 5

。(1) 正確。(2) 不正確：最小值是

2 - 5

（負的），不是

5 - 2

。(3) 不正確：

sin (2 x + φ)

的週期是

\frac{2 π}{2} = π

。(4) 正確：最大值發生在

2 x + φ = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），這時

sin 2 x = cos φ = - \frac{2}{5}

、

cos 2 x = sin φ = \frac{1}{5}

，所以

tan 2 x = - 2

。(5) 不正確：

f (0) = 3

，圖形上有點

(0, 3)

，但它對原點的對稱點

(0, - 3)

不在圖形上。

(4) 只說最大值發生時

tan 2 x = - 2

，這是對的；反過來不成立，最小值發生時

sin 2 x = \frac{2}{5}

、

cos 2 x = - \frac{1}{5}

，

tan 2 x

也是

- 2

。

05選填 A～C（第 10～12 題）：和角公式、扇形面積、化成正切

第 10 題

α

在第一象限，

cos α = 1 - (\frac{3}{5})^{2} = \frac{4}{5}

；

β

在第二象限，餘弦為負，

cos β = - 1 - (\frac{5}{13})^{2} = - \frac{12}{13}

。

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = \frac{4}{5} \times (- \frac{12}{13}) - \frac{3}{5} \times \frac{5}{13} = - \frac{48}{65} - \frac{15}{65} = - \frac{63}{65}

。

β

是鈍角，

cos β

要取負值；這裡取成正的會得到

\frac{33}{65}

。

第 11 題

B

在扇形的弧上且把弧

C D

平分，所以扇形的半徑是

\overline{A B} = 12

，

∠ C A B = ∠ B A D = 3 0^{\circ}

。扇形

A C D

的面積

= \frac{1}{2} \times 1 2^{2} \times \frac{π}{3} = 24 π

。設圓心為

O

（半徑

6

），

\overline{A C}

、

\overline{A D}

分別交圓於

P

、

Q

。扇形落在圓內的部分可拆成

△ O A P

、

△ O A Q

與圓的扇形

O P Q

（含

B

的那一側）。圓周角

∠ P A Q = 6 0^{\circ}

，所以圓心角

∠ P O Q = 12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

，圓的扇形

O P Q

面積

= \frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{2 π}{3} = 12 π

。

△ O A P

中

\overline{O A} = \overline{O P} = 6

、

∠ O A P = 3 0^{\circ}

，所以

∠ A O P = 12 0^{\circ}

，面積

= \frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times sin 12 0^{\circ} = 93

；

△ O A Q

相同。斜線區域

= 24 π - (12 π + 183) = 12 π - 183

。所以

a = 12

、

b = - 18

、

c = 3

，

a - b + c = 12 + 18 + 3 = 33

。

b

是負的，

a - b

要變成加。面積

12 π - 183 \approx 6.52

是正的，可以拿來檢查。

第 12 題用和差角公式展開：

\frac{cos ( α - β )}{sin ( α + β )} = \frac{cos α cos β + sin α sin β}{sin α cos β + cos α sin β}

。分子、分母同除以

cos α cos β

（正切有定義，所以它不為

0

），得

\frac{1 + tan α tan β}{tan α + tan β} = \frac{1 + \frac{1}{4} \times \frac{2}{3}}{\frac{1}{4} + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{7}{6}}{\frac{11}{12}} = \frac{14}{11}

。

流傳版本參考答案的選填題號與題目對不上，其中找不到與本題對應的值；

\frac{14}{11}

是本站重算的結果，另取

α

、

β

的近似值（約

14.0 4^{\circ}

、

33.6 9^{\circ}

）代入，

\frac{cos ( - 19.6 5 ^{\circ} )}{sin 47.7 3 ^{\circ}} \approx \frac{0.9418}{0.7399} \approx 1.2727

，與

\frac{14}{11}

相符。

06選填 D、F、G（第 13～15 題）：疊合求面積、數交點、由圖形求係數

第 13 題設

∠ B A E = θ

（

0 < θ < π

）。

△ A B E

的面積

= \frac{1}{2} \times 1 \times 2 \times sin θ = sin θ

。由餘弦定理，

\overline{B E}^{2} = 1 + 4 - 2 \times 1 \times 2 cos θ = 5 - 4 cos θ

，這就是正方形

B C D E

的面積。五邊形面積

= 5 + sin θ - 4 cos θ = 5 + 17 sin (θ - φ)

，其中

cos φ = \frac{1}{17}

、

sin φ = \frac{4}{17}

。當

θ - φ = \frac{π}{2}

時最大，最大值

5 + 17

。

要確認取得到：

φ

約

7 6^{\circ}

，

θ = φ + 9 0^{\circ}

約

16 6^{\circ}

，在

0^{\circ}

到

18 0^{\circ}

之間，這樣的三角形存在。

第 14 題設共同的比值為

m

，則每個

x_{i}

都滿足

sin x_{i} = m x_{i}

，也就是點

(x_{i}, sin x_{i})

都在過原點的直線

y = m x

上。問題變成：直線

y = m x

與

y = sin x

在

0 < x < 12 π

最多交幾點。

m < 0

時，直線在

x

軸下方，只會與曲線在下方的六個拱形相交，也就是

(π, 2 π)

、

(3 π, 4 π)

、…、

(11 π, 12 π)

，每個拱形最多交

2

點，最多

12

點。取

m = - \frac{1}{12 π}

：直線在這個範圍內的值都在

- 1

與

0

之間，每個拱形的兩端（值為

0

）比直線高、谷底（值為

- 1

）比直線低，所以各交

2

點，

12

點取得到。

m = 0

時交點是

x = π, 2 π, \dots, 11 π

，共

11

點。

m > 0

時只會與上方的六個拱形

(0, π)

、

(2 π, 3 π)

、…、

(10 π, 11 π)

相交，但第一個拱形的一個交點是原點，不在範圍內，只剩

1

點，最多

1 + 2 \times 5 = 11

點。所以

n

的最大值是

12

。

0 < x < 12 π

不含原點，所以正斜率的直線在第一個拱形少一個交點；負斜率的直線從

(π, 2 π)

開始，六個下方的拱形都能交兩點。

第 15 題

y = a sin x + b cos x + c

疊合後是

a^{2} + b^{2} sin (x + φ) + c

，週期

2 π

，所以

k = 2

。由圖，最大值

3

、最小值

- 1

：

c = \frac{3 + ( - 1 )}{2} = 1

，振幅

a^{2} + b^{2} = \frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

。最高點在

x = \frac{π}{3}

，所以

\frac{π}{3} + φ = \frac{π}{2}

，

φ = \frac{π}{6}

，

y = 2 sin (x + \frac{π}{6}) + 1 = 2 (sin x cos \frac{π}{6} + cos x sin \frac{π}{6}) + 1 = 3 sin x + cos x + 1

。得

a = 3

、

b = 1

、

c = 1

，

a^{2} + c k = 3 + 1 \times 2 = 5

。

檢查最低點：

x = \frac{4 π}{3}

時

y = 2 sin \frac{3 π}{2} + 1 = - 1

，與圖相符；最高點到最低點相隔

π

，正好是半個週期。

求極值的題先把式子整理成單一正弦（疊合），再回頭檢查角度範圍取不取得到；數解的個數就畫圖，一個拱形一個拱形數。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

鳳新高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

鳳新高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 5 題要畫圖逐個拱形數交點，並記得兩邊對稱；單選第 7 題繩長是三段直線加一整個圓周，單位要先換成公分；選填 B（本頁第 11 題）扇形的半徑是直徑 AB 而不是弦長，而且 b 是負的；選填 F（本頁第 14 題）範圍不含原點，負斜率的直線反而交得最多。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自鳳新高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量與扇形、三角函數的圖形與週期、和差角與倍角公式、正餘弦的疊合）

鳳新高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選題 7 題、多重選擇題 2 題、選填題 6 題，共 15 題；流傳版本未印配分

一、單選題（流傳版本題號 1～7；未印配分）

周長為

16

的扇形，在半徑為

r

時有最大面積，則

r =

？

(1) $2$
(2) $4$
(3) $6$
(4) $8$
(5) $22$

選出下列

5

個選項中最大的值。

(1) $sin 1$
(2) $cos 2$
(3) $tan 3$
(4) $sin 4^{\circ}$
(5) $cos 5$

tan (- \frac{4 π}{3}) \times cos (\frac{7 π}{6}) - sin (- \frac{5 π}{2}) \times tan (\frac{11 π}{4}) =

？

(1) $\frac{1}{2}$
(2) $2$
(3) $\frac{3}{2}$
(4) $\frac{- 5}{2}$
(5) $- 2$

坐標平面上，函數

y = sin x

的圖形在

0 < θ \leq π

的範圍內滿足

sin θ = sin (\frac{π}{7} + θ)

的

θ

值為何？

(1) $\frac{2 π}{7}$
(2) $\frac{3 π}{7}$
(3) $\frac{4 π}{7}$
(4) $\frac{5 π}{7}$
(5) $\frac{6 π}{7}$

若

x

為實數，則

π sin (π x) = x

的解有幾個？

(1) $3$
(2) $5$
(3) $7$
(4) $9$
(5) 無限多

已知兩直線

2 x - y = 2

與

x - 2 y + 1 = 0

的銳夾角為

θ

，則

sin θ =

？

(1) $1$
(2) $\frac{4}{5}$
(3) $\frac{3}{4}$
(4) $\frac{1}{5}$
(5) $\frac{3}{5}$

如圖所示，超級市場中的罐頭每

3

罐用塑膠繩捆起來一起販售。已知罐頭橫截面的圓直徑

7

公分，打結處需要

8

公分。現有

5.5

公尺的塑膠繩，最多可以捆多少組罐頭？

(1) $7$
(2) $8$
(3) $9$
(4) $10$
(5) $11$

載入中...

二、多重選擇題（流傳版本題號 9、10，本頁編為第 8、9 題；流傳版本沒有第 8 題的題目；未印配分）

關於下列的敘述，請選出正確的選項。

(1) 已知 $θ$ 為第二象限角，則 $sin \frac{θ}{2} > 0$
(2) $sin (\frac{π}{2} - 1) > sin (π - 1)$
(3) $y = ∣ sin x + cos x ∣$ 的週期為 $π$
(4) 若 $sin θ - cos θ = \frac{1}{5}$ ，則 $sin 2 θ = \frac{24}{25}$
(5) 時鐘分針長 $6$ 公分，則 $5$ 時 $22$ 分到 $5$ 時 $57$ 分這 $35$ 分鐘之間，分針掃過的面積為 $21 π$ 平方公分

關於

y = f (x) = sin^{2} x - 4 sin x cos x + 3 cos^{2} x

（

0 \leq x < 2 π

）的敘述何者正確？

(1) $f (x)$ 的最大值為 $5 + 2$
(2) $f (x)$ 的最小值為 $5 - 2$
(3) $f (x)$ 的週期為 $4 π$
(4) $f (x)$ 的最大值發生在 $tan 2 x = - 2$ 時
(5) $y = f (x)$ 的圖形對稱於原點

三、選填題（流傳版本題號 A、B、C、D、F、G，本頁編為第 10～15 題；未印配分）

若

0 < α < \frac{π}{2} < β < π

且

sin α = \frac{3}{5}

，

sin β = \frac{5}{13}

，則

cos (α + β) =

____。

如圖所示，

\overline{A B}

為圓的直徑，今作扇形

A C D

使得

C B ⌢ = B D ⌢

，若

\overline{A B} = 12

且

∠ C A D = 6 0^{\circ}

，則圖中斜線區域的面積為

aπ + b c

，其中

a, b

為整數，

c

為質數，則

a - b + c =

____。

載入中...

已知

tan α = \frac{1}{4}

，

tan β = \frac{2}{3}

，則

\frac{cos ( α - β )}{sin ( α + β )} =

____。

如圖，在

△ A B E

中的

\overline{A B} = 1

，

\overline{A E} = 2

，若

B C D E

為正方形，則五邊形

A B C D E

面積的最大值為 ____。

載入中...

函數

f (x) = sin x

在

0 < x < 12 π

的範圍內，可以找到

n

個不同的實數

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

，使得

\frac{f ( x _{1} )}{x _{1}} = \frac{f ( x _{2} )}{x _{2}} = \dots = \frac{f ( x _{n} )}{x _{n}}

，則

n

的最大值為 ____。

下圖是函數

y = a sin x + b cos x + c

部分圖形，其中週期為

k π

，則

a^{2} + c k =

____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(1)

第 3 題(1)

第 4 題(2)

第 5 題(3)

第 6 題(5)

第 7 題(4)

第 8 題(3)(4)(5)

第 9 題(1)(4)

第 10 題

- \frac{63}{65}

第 11 題

33

第 12 題

\frac{14}{11}

第 13 題

5 + 17

第 14 題

12

第 15 題

5

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：扇形、弧度制下的三角函數值

第 1 題答案 (2)。設圓心角為

θ

弧度，弧長是

r θ

，周長

2 r + r θ = 16

，所以

r θ = 16 - 2 r

。面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} r (16 - 2 r) = - r^{2} + 8 r = - (r - 4)^{2} + 16

。

r = 4

時面積最大，最大面積

16

。

這時

θ = \frac{16 - 8}{4} = 2

弧度，小於

2 π

，是合理的扇形。

第 2 題答案 (1)。沒有寫「

^{\circ}

」的角是弧度，

1

弧度約

57. 3^{\circ}

。

sin 1 \approx sin 57. 3^{\circ}

，比

sin 4 5^{\circ} \approx 0.707

大。

2

弧度約

114. 6^{\circ}

、

3

弧度約

171. 9^{\circ}

，都是第二象限角，

cos 2

與

tan 3

都是負的。

sin 4^{\circ}

比

sin 3 0^{\circ} = 0.5

小。

5

弧度約

286. 5^{\circ}

，

cos 5 = cos (36 0^{\circ} - 286. 5^{\circ}) = cos 73. 5^{\circ}

，比

cos 6 0^{\circ} = 0.5

小。五個數裡只有

sin 1

超過

0.7

，所以最大。

五個值約為

0.841

、

- 0.416

、

- 0.143

、

0.070

、

0.284

。選項 (4) 有度的記號，其餘四個都是弧度。

第 3 題答案 (1)。逐項化簡：

tan (- \frac{4 π}{3}) = - tan \frac{4 π}{3} = - tan \frac{π}{3} = - 3

；

cos \frac{7 π}{6} = - cos \frac{π}{6} = - \frac{3}{2}

；

sin (- \frac{5 π}{2}) = - sin \frac{5 π}{2} = - sin \frac{π}{2} = - 1

；

tan \frac{11 π}{4} = tan \frac{3 π}{4} = - 1

。原式

= (- 3) \times (- \frac{3}{2}) - (- 1) \times (- 1) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}

。

正切的週期是

π

，所以

\frac{4 π}{3}

與

\frac{π}{3}

、

\frac{11 π}{4}

與

\frac{3 π}{4}

的正切值相同。

02單選第 4、5 題：正弦值相等、用圖形數解

第 4 題答案 (2)。兩個角的正弦值相等，只有兩種情形：兩角相差

2 π

的整數倍，或兩角相加等於

π

加上

2 π

的整數倍。

θ

與

θ + \frac{π}{7}

只差

\frac{π}{7}

，第一種不可能。第二種：

θ + (θ + \frac{π}{7}) = π + 2 k π

（

k

為整數），得

θ = \frac{3 π}{7} + k π

。在

0 < θ \leq π

內只有

k = 0

，

θ = \frac{3 π}{7}

。

從圖形看：

y = sin x

在

0

到

π

之間對稱於

x = \frac{π}{2}

，

θ

與

θ + \frac{π}{7}

要等高，兩者的中點必須是

\frac{π}{2}

。

第 5 題答案 (3)。改寫成

sin (π x) = \frac{x}{π}

，數

y = sin (π x)

與直線

y = \frac{x}{π}

的交點。正弦值在

- 1

與

1

之間，所以只需看

- π \leq x \leq π

（

π \approx 3.14

）。

x = 0

是一個解。

x > 0

時直線為正，只有曲線為正的區間

(0, 1)

、

(2, 3)

可能相交（

y = sin (π x)

的週期是

2

）。在

(0, 1)

：

x = \frac{1}{2}

時曲線值

1

大於直線值

\frac{1}{2 π}

，

x = 1

時曲線值

0

小於直線值，交

1

點。在

(2, 3)

：兩端曲線值都是

0

、比直線低，中間

x = \frac{5}{2}

時曲線值

1

大於直線值

\frac{5}{2 π} \approx 0.80

，交

2

點。

3 < x \leq π

時曲線為負，沒有交點。所以

x > 0

有

3

個解。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

3

個解。合計

1 + 3 + 3 = 7

個。

關鍵是直線在

x = \frac{5}{2}

的高度

0.80

還沒超過

1

，所以第二個拱形交得到兩點；下一個拱形在

(4, 5)

，已經超出

x \leq π

的範圍。

03單選第 6、7 題：兩直線夾角、捆罐頭的繩長

第 6 題答案 (5)。兩直線的斜率分別是

2

與

\frac{1}{2}

。設它們的斜角為

α

、

β

，則

tan α = 2

、

tan β = \frac{1}{2}

。由正切的差角公式，

tan (α - β) = \frac{2 - \frac{1}{2}}{1 + 2 \times \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4}

。這個值是正的，所以

α - β

就是銳夾角

θ

，

tan θ = \frac{3}{4}

。畫一個兩股為

3

、

4

，斜邊為

5

的直角三角形，得

sin θ = \frac{3}{5}

。

選項 (3) 的

\frac{3}{4}

是

tan θ

，題目問的是

sin θ

。

第 7 題答案 (4)。從上方看是三個半徑

3.5

公分、兩兩相切的圓，圓心連成邊長

7

的正三角形。繩子繞一圈由三段直線與三段圓弧組成：每段直線與一條圓心連線平行且等長，是

7

公分，三段共

21

公分；每段圓弧的圓心角是

36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

，三段合起來剛好一整個圓周

7 π \approx 21.99

公分。加上打結的

8

公分，捆一組需要

21 + 7 π + 8 \approx 50.99

公分。

5.5

公尺是

550

公分，

550 \div 50.99 \approx 10.8

，最多捆

10

組。

驗算：

10

組用掉約

509.9

公分，

11

組要約

560.9

公分，超過

550

。單位要先統一成公分。

04多重選擇（第 8、9 題）：綜合判斷、降次後疊合

第 8 題答案 (3)(4)(5)。(1) 不正確：第二象限角不一定在

\frac{π}{2}

與

π

之間，例如

θ = \frac{8 π}{3}

也是第二象限角，這時

\frac{θ}{2} = \frac{4 π}{3}

在第三象限，

sin \frac{θ}{2} < 0

。(2) 不正確：左邊

sin (\frac{π}{2} - 1) = cos 1

，右邊

sin (π - 1) = sin 1

；

1

弧度大於

\frac{π}{4}

且小於

\frac{π}{2}

，所以

sin 1 > cos 1

，左邊比較小。(3) 正確：

sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，週期

2 π

；加上絕對值後，

x

軸下方的部分翻到上方，週期變成一半，是

π

。(4) 正確：兩邊平方，

sin^{2} θ - 2 sin θ cos θ + cos^{2} θ = \frac{1}{25}

，即

1 - sin 2 θ = \frac{1}{25}

，

sin 2 θ = \frac{24}{25}

。(5) 正確：分針

60

分鐘轉一圈，

35

分鐘轉過

\frac{35}{60} \times 2 π = \frac{7 π}{6}

，掃過的扇形面積

= \frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{7 π}{6} = 21 π

平方公分。

(1) 的象限角可以多繞幾圈；

θ

是第二象限角時，

\frac{θ}{2}

可能在第一或第三象限。

第 9 題答案 (1)(4)。先用倍角公式降次：

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

、

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

、

2 sin x cos x = sin 2 x

，得

f (x) = \frac{1 - cos 2 x}{2} - 2 sin 2 x + \frac{3 ( 1 + cos 2 x )}{2} = - 2 sin 2 x + cos 2 x + 2

。疊合：

- 2 sin 2 x + cos 2 x = 5 sin (2 x + φ)

，其中

cos φ = - \frac{2}{5}

、

sin φ = \frac{1}{5}

。

0 \leq x < 2 π

時

2 x

跑完兩整圈，所以

f (x)

的最大值是

2 + 5

、最小值是

2 - 5

。(1) 正確。(2) 不正確：最小值是

2 - 5

（負的），不是

5 - 2

。(3) 不正確：

sin (2 x + φ)

的週期是

\frac{2 π}{2} = π

。(4) 正確：最大值發生在

2 x + φ = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），這時

sin 2 x = cos φ = - \frac{2}{5}

、

cos 2 x = sin φ = \frac{1}{5}

，所以

tan 2 x = - 2

。(5) 不正確：

f (0) = 3

，圖形上有點

(0, 3)

，但它對原點的對稱點

(0, - 3)

不在圖形上。

(4) 只說最大值發生時

tan 2 x = - 2

，這是對的；反過來不成立，最小值發生時

sin 2 x = \frac{2}{5}

、

cos 2 x = - \frac{1}{5}

，

tan 2 x

也是

- 2

。

05選填 A～C（第 10～12 題）：和角公式、扇形面積、化成正切

第 10 題

α

在第一象限，

cos α = 1 - (\frac{3}{5})^{2} = \frac{4}{5}

；

β

在第二象限，餘弦為負，

cos β = - 1 - (\frac{5}{13})^{2} = - \frac{12}{13}

。

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = \frac{4}{5} \times (- \frac{12}{13}) - \frac{3}{5} \times \frac{5}{13} = - \frac{48}{65} - \frac{15}{65} = - \frac{63}{65}

。

β

是鈍角，

cos β

要取負值；這裡取成正的會得到

\frac{33}{65}

。

第 11 題

B

在扇形的弧上且把弧

C D

平分，所以扇形的半徑是

\overline{A B} = 12

，

∠ C A B = ∠ B A D = 3 0^{\circ}

。扇形

A C D

的面積

= \frac{1}{2} \times 1 2^{2} \times \frac{π}{3} = 24 π

。設圓心為

O

（半徑

6

），

\overline{A C}

、

\overline{A D}

分別交圓於

P

、

Q

。扇形落在圓內的部分可拆成

△ O A P

、

△ O A Q

與圓的扇形

O P Q

（含

B

的那一側）。圓周角

∠ P A Q = 6 0^{\circ}

，所以圓心角

∠ P O Q = 12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

，圓的扇形

O P Q

面積

= \frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{2 π}{3} = 12 π

。

△ O A P

中

\overline{O A} = \overline{O P} = 6

、

∠ O A P = 3 0^{\circ}

，所以

∠ A O P = 12 0^{\circ}

，面積

= \frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times sin 12 0^{\circ} = 93

；

△ O A Q

相同。斜線區域

= 24 π - (12 π + 183) = 12 π - 183

。所以

a = 12

、

b = - 18

、

c = 3

，

a - b + c = 12 + 18 + 3 = 33

。

b

是負的，

a - b

要變成加。面積

12 π - 183 \approx 6.52

是正的，可以拿來檢查。

第 12 題用和差角公式展開：

\frac{cos ( α - β )}{sin ( α + β )} = \frac{cos α cos β + sin α sin β}{sin α cos β + cos α sin β}

。分子、分母同除以

cos α cos β

（正切有定義，所以它不為

0

），得

\frac{1 + tan α tan β}{tan α + tan β} = \frac{1 + \frac{1}{4} \times \frac{2}{3}}{\frac{1}{4} + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{7}{6}}{\frac{11}{12}} = \frac{14}{11}

。

流傳版本參考答案的選填題號與題目對不上，其中找不到與本題對應的值；

\frac{14}{11}

是本站重算的結果，另取

α

、

β

的近似值（約

14.0 4^{\circ}

、

33.6 9^{\circ}

）代入，

\frac{cos ( - 19.6 5 ^{\circ} )}{sin 47.7 3 ^{\circ}} \approx \frac{0.9418}{0.7399} \approx 1.2727

，與

\frac{14}{11}

相符。

06選填 D、F、G（第 13～15 題）：疊合求面積、數交點、由圖形求係數

第 13 題設

∠ B A E = θ

（

0 < θ < π

）。

△ A B E

的面積

= \frac{1}{2} \times 1 \times 2 \times sin θ = sin θ

。由餘弦定理，

\overline{B E}^{2} = 1 + 4 - 2 \times 1 \times 2 cos θ = 5 - 4 cos θ

，這就是正方形

B C D E

的面積。五邊形面積

= 5 + sin θ - 4 cos θ = 5 + 17 sin (θ - φ)

，其中

cos φ = \frac{1}{17}

、

sin φ = \frac{4}{17}

。當

θ - φ = \frac{π}{2}

時最大，最大值

5 + 17

。

要確認取得到：

φ

約

7 6^{\circ}

，

θ = φ + 9 0^{\circ}

約

16 6^{\circ}

，在

0^{\circ}

到

18 0^{\circ}

之間，這樣的三角形存在。

第 14 題設共同的比值為

m

，則每個

x_{i}

都滿足

sin x_{i} = m x_{i}

，也就是點

(x_{i}, sin x_{i})

都在過原點的直線

y = m x

上。問題變成：直線

y = m x

與

y = sin x

在

0 < x < 12 π

最多交幾點。

m < 0

時，直線在

x

軸下方，只會與曲線在下方的六個拱形相交，也就是

(π, 2 π)

、

(3 π, 4 π)

、…、

(11 π, 12 π)

，每個拱形最多交

2

點，最多

12

點。取

m = - \frac{1}{12 π}

：直線在這個範圍內的值都在

- 1

與

0

之間，每個拱形的兩端（值為

0

）比直線高、谷底（值為

- 1

）比直線低，所以各交

2

點，

12

點取得到。

m = 0

時交點是

x = π, 2 π, \dots, 11 π

，共

11

點。

m > 0

時只會與上方的六個拱形

(0, π)

、

(2 π, 3 π)

、…、

(10 π, 11 π)

相交，但第一個拱形的一個交點是原點，不在範圍內，只剩

1

點，最多

1 + 2 \times 5 = 11

點。所以

n

的最大值是

12

。

0 < x < 12 π

不含原點，所以正斜率的直線在第一個拱形少一個交點；負斜率的直線從

(π, 2 π)

開始，六個下方的拱形都能交兩點。

第 15 題

y = a sin x + b cos x + c

疊合後是

a^{2} + b^{2} sin (x + φ) + c

，週期

2 π

，所以

k = 2

。由圖，最大值

3

、最小值

- 1

：

c = \frac{3 + ( - 1 )}{2} = 1

，振幅

a^{2} + b^{2} = \frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

。最高點在

x = \frac{π}{3}

，所以

\frac{π}{3} + φ = \frac{π}{2}

，

φ = \frac{π}{6}

，

y = 2 sin (x + \frac{π}{6}) + 1 = 2 (sin x cos \frac{π}{6} + cos x sin \frac{π}{6}) + 1 = 3 sin x + cos x + 1

。得

a = 3

、

b = 1

、

c = 1

，

a^{2} + c k = 3 + 1 \times 2 = 5

。

檢查最低點：

x = \frac{4 π}{3}

時

y = 2 sin \frac{3 π}{2} + 1 = - 1

，與圖相符；最高點到最低點相隔

π

，正好是半個週期。

求極值的題先把式子整理成單一正弦（疊合），再回頭檢查角度範圍取不取得到；數解的個數就畫圖，一個拱形一個拱形數。

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02單選第 4、5 題：正弦值相等、用圖形數解

03單選第 6、7 題：兩直線夾角、捆罐頭的繩長

04多重選擇（第 8、9 題）：綜合判斷、降次後疊合

05選填 A～C（第 10～12 題）：和角公式、扇形面積、化成正切

06選填 D、F、G（第 13～15 題）：疊合求面積、數交點、由圖形求係數

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高二第一次段考
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