段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

竹科實中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 竹科實中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 竹科實中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要確認最後一個波峰在直線碰到高度一之前來不及長高，所以那一段沒有交點；第 4 題的鈍角三角形沒有指定哪一個角是鈍角，三個選項都要想到鈍角不在 C 的情形；第 9 題左右兩端不完整的那兩段各有一個交點，不能漏掉；第 10 題第二小題取絕對值後週期不會減半。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 15 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選題 2 題（10 分）、多選題 3 題（18 分）、填充題 8 題 9 格（60 分）、計算與證明題 2 題（22 分）；卷面所印配分合計 110 分

一、單選題（占 10 分）｜說明：第 1 題至第 2 題，每題 5 分。

已知有一直角三角形的斜邊長為

100

，若此直角三角形其中一個內角為銳角

θ

，則此直角三角形的面積為何？

(1) $2500 sin 2 θ$
(2) $2500 cos 2 θ$
(3) $5000 sin 2 θ$
(4) $5000 cos 2 θ$
(5) 條件不足，無法計算

試求：方程式

12 cos 2 x - ∣ x ∣ = 0

的實數解個數總共有多少個？

(1) $6$
(2) $8$
(3) $10$
(4) $12$
(5) $14$

二、多選題（占 18 分）｜說明：第 3 題至第 5 題，每題 6 分。（6－4－2－0）

關於三角函數的大小關係，下列選項哪些是正確的？

(1) $sin π < sin π^{\circ}$
(2) $cos π < cos π^{\circ}$
(3) $tan π < tan π^{\circ}$
(4) $cos π^{\circ} < sin π^{\circ}$
(5) $tan π^{\circ} < cos π^{\circ}$

關於

△ A B C

的敘述，請選出正確的選項：

(1) 若 $△ A B C$ 為銳角三角形，則 $sin^{2} A + sin^{2} B > sin^{2} C$
(2) 若 $△ A B C$ 為鈍角三角形，則 $sin^{2} A + sin^{2} B < sin^{2} C$
(3) 若 $△ A B C$ 為鈍角三角形，則 $cos A cos B > sin A sin B$
(4) 若 $△ A B C$ 為銳角三角形，則 $tan A tan B > 1$
(5) 若 $△ A B C$ 為鈍角三角形，則 $0 < tan A tan B < 1$

圖為某一函數的部分圖形，其所代表的函數可能為下列哪些選項？

(1) $y = 2 sin 3 x$
(2) $y = - 2 sin 3 x$
(3) $y = 2 sin (x - \frac{π}{3})$
(4) $y = 2 cos 3 (x + \frac{π}{6})$
(5) $y = - 2 cos 3 (x - \frac{π}{6})$

載入中...

三、填充題（占 60 分）｜說明：第 6 題至第 13 題，對 4 格內，每格 10 分，對 5 格後，每格 4 分。

如圖所示，

A

，

B

為兩圓之圓心且兩圓相交於

C

，

D

兩點。已知兩圓之半徑分別為

1

與

3

，

∠ C A D = 12 0^{\circ}

，

∠ C B D = 6 0^{\circ}

，則圖中塗色區域的面積為 ____。

載入中...

cos 5^{\circ} cos 2 5^{\circ} cos 3 5^{\circ} cos 5 5^{\circ} cos 6 5^{\circ} cos 8 5^{\circ} =

____。

如圖所示，已知

△ A B C

，

\overline{A B} = 7

，

\overline{B C} = 8

，

\overline{A C} = 9

，若

△ A B C

內部一點

P

到

\overline{A B}

及

\overline{B C}

之距離皆為

5

，試求：

\overline{B D} =

____。

載入中...

已知

- 2 π \leq x < 2 π

，兩函數

y = tan x

與

3 x + 4 y = 12

的圖形共有 ____ 個交點。

試求下列各函數的最小週期：(1)

y = \frac{1}{2} sin 3 x + 2 cos 7 x - tan 5 x

：____。　(2)

y = 3 sin \frac{4}{5} x - 1

：____。

將

Γ_{1}

：

y = f_{1} (x) = sin x

圖形上所有點的橫坐標都以

y

軸為中心，水平壓縮為原來的四分之一倍，得到

Γ_{2}

：

y = f_{2} (x)

函數；再將

Γ_{2}

圖形向右平移

\frac{π}{6}

單位得到

Γ_{3}

：

y = f_{3} (x)

；最後將

Γ_{3}

圖形上所有點的縱坐標都以

x

軸為中心，鉛直伸長為原來的兩倍，得到

Γ_{4}

：

y = f_{4} (x) = a sin (b x - c)

，其中

0 < c < 2 π

，則序組

(a, b, c) =

____。

已知圓直徑

\overline{A B} = 1

，在圓上有一個動點

P

，若

\overline{P A} = α

時，

2 \overline{P A} + 5 \overline{P B}

有最大值

M

，試求數對

(α, M) =

____。

如圖所示，恰恰有一塊半徑為

100

公尺，圓心角為

\frac{π}{3}

的扇形草地，欲在其內部接於扇形的矩形牧場工作室（

□ P QR S

）。若工作室的門牆寬度忽略不計，試求：

□ P QR S

工作室的最大面積為 ____ 平方公尺。

載入中...

四、計算與證明題（占 22 分）｜說明：第 14 題至第 15 題。

已知

△ A B C

中，

a

，

b

，

c

分別為

∠ A

，

∠ B

，

∠ C

所對之邊，且

a = 3

，

b + c = 4

，

tan A + tan B + 3 = 3 tan A \cdot tan B

，試回答下列問題：(1)

∠ C =

？（3 分）　(2)

\overline{A C} =

？（3 分）　(3)

△ A B C

的面積為何？（4 分）

考慮函數

y = f (x) = 3 sin x - cos x

，

- 2 π \leq x < 2 π

，試回答下列問題：(1) 試作

y = f (x) = 3 sin x - cos x

的圖形。（4 分）　(2) 若將

y = f (x) = 3 sin x - cos x

化簡為

y = f (x) = r cos (x + θ)

，其中

r > 0

且

0 \leq θ \leq 2 π

，則

(r, θ) =

？（4 分）　(3) 承上，考慮在

0 \leq x < 2 π

的範圍內，滿足不等式：

3 sin x - cos x > 1

之

x

的解範圍為何？（4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(5)

第 3 題(1)(2)(3)(5)

第 4 題(1)(4)

第 5 題(2)(4)(5)

第 6 題

\frac{5 π}{6} - 3

第 7 題

\frac{1}{64}

第 8 題

3

第 9 題

5

第 10 題(1)

2 π

　(2)

\frac{5 π}{2}

第 11 題

(2, 4, \frac{2 π}{3})

第 12 題

(\frac{2 29}{29}, 29)

第 13 題

\frac{5000 3}{3}

第 14 題(1)

6 0^{\circ}

　(2)

\frac{7}{5}

　(3)

\frac{21 3}{20}

第 15 題(1) 圖形見詳解　(2)

(2, \frac{4 π}{3})

　(3)

\frac{π}{3} < x < π

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1、2 題）：二倍角公式、用圖形數交點

第 1 題答案 (1)。銳角

θ

的鄰邊長是

100 cos θ

，對邊長是

100 sin θ

，這兩邊就是兩股。面積

= \frac{1}{2} \cdot 100 cos θ \cdot 100 sin θ = 5000 sin θ cos θ

。由二倍角公式

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ

，面積

= 2500 sin 2 θ

。

第 2 題答案 (5)。方程式即

cos 2 x = \frac{∣ x ∣}{12}

，看

y = cos 2 x

與

y = \frac{∣ x ∣}{12}

兩個圖形的交點個數。兩邊都是偶函數，且

x = 0

時

1 \neq = 0

，所以只要數

x > 0

的交點再乘以

2

。

x > 0

時右邊是由

0

遞增的直線

y = \frac{x}{12}

，

x > 12

時它大於

1

，不會再有交點。

y = cos 2 x

的週期是

π

，在

x > 0

的部分，

cos 2 x \geq 0

的區間依序是

[0, \frac{π}{4}]

、

[\frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}]

、

[\frac{7 π}{4}, \frac{9 π}{4}]

、

[\frac{11 π}{4}, \frac{13 π}{4}]

、

[\frac{15 π}{4}, \frac{17 π}{4}]

。第一個區間裡餘弦由

1

降到

0

、直線由

0

上升，交

1

點。接下來三個完整的波峰，最高點在

x = π

、

2 π

、

3 π

，那裡直線的高度是

\frac{π}{12}

、

\frac{2 π}{12}

、

\frac{3 π}{12} \approx 0.79

，都小於

1

，而波峰兩端餘弦值是

0

、直線在上方，所以每個波峰交

2

點，共

6

點。最後一個區間從

\frac{15 π}{4} \approx 11.78

開始，直線高度已有

0.98

；到

x = 12

為止餘弦值最多升到

cos 24 \approx 0.42

，追不上直線，沒有交點。

x > 0

共

1 + 6 = 7

個解，全部共

7 \times 2 = 14

個。

最後一個波峰要特別確認：它的最高點在

x = 4 π \approx 12.57

，已經超過

12

，所以這一段一個交點都沒有。

02多選題（第 3～5 題）：弧度與度、三角形內角的關係、由圖形判斷函數

第 3 題答案 (1)(2)(3)(5)。沒有寫「度」的

π

是弧度，

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

sin π = 0

、

cos π = - 1

、

tan π = 0

。

π^{\circ} \approx 3.1 4^{\circ}

是很小的第一象限角，

sin π^{\circ} \approx 0.055

、

cos π^{\circ} \approx 0.998

、

tan π^{\circ} \approx 0.055

，三個都是正數。(1) 對：

0 < sin π^{\circ}

。(2) 對：

- 1 < cos π^{\circ}

。(3) 對：

0 < tan π^{\circ}

。(4) 錯：小於

4 5^{\circ}

的銳角，餘弦值比正弦值大。(5) 對：

tan π^{\circ} < tan 3 0^{\circ} \approx 0.577

，而

cos π^{\circ} > cos 3 0^{\circ} \approx 0.866

。

第 4 題答案 (1)(4)。由正弦定理，

sin A : sin B : sin C = a : b : c

，所以

sin^{2} A + sin^{2} B

與

sin^{2} C

的大小關係和

a^{2} + b^{2}

與

c^{2}

的大小關係相同；再由餘弦定理，

a^{2} + b^{2} > c^{2}

相當於

cos C > 0

。(1) 對：銳角三角形的

∠ C

是銳角，

cos C > 0

。(4) 對：

cos A cos B - sin A sin B = cos (A + B) = - cos C < 0

，所以

cos A cos B < sin A sin B

；

∠ A

、

∠ B

都是銳角，兩邊同除以正數

cos A cos B

，得

tan A tan B > 1

。(2)(3)(5) 錯：題目沒有說哪一個角是鈍角。取

∠ A = 12 0^{\circ}

、

∠ B = ∠ C = 3 0^{\circ}

：

sin^{2} A + sin^{2} B = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1 > \frac{1}{4} = sin^{2} C

，(2) 不成立；

cos A cos B = - \frac{3}{4} < \frac{3}{4} = sin A sin B

，(3) 不成立；

tan A tan B = (- 3) \cdot \frac{1}{3} = - 1 < 0

，(5) 不成立。

(2)(3)(5) 只有在鈍角是

∠ C

的時候才成立，所以不是「鈍角三角形」就一定對。

第 5 題答案 (2)(4)(5)。從圖形讀出：最高

2

、最低

- 2

，振幅是

2

；相鄰兩個最低點在

x = \frac{π}{6}

與

x = \frac{5 π}{6}

，週期是

\frac{2 π}{3}

，所以

x

的係數是

3

；圖形通過原點，而且從原點往右是下降的。這正是

y = - 2 sin 3 x

（代

x = \frac{π}{6}

得

- 2 sin \frac{π}{2} = - 2

，符合）。(1) 錯：

y = 2 sin 3 x

在

x = \frac{π}{6}

是

2

。(2) 對。(3) 錯：週期是

2 π

。(4) 對：

2 cos 3 (x + \frac{π}{6}) = 2 cos (3 x + \frac{π}{2}) = - 2 sin 3 x

。(5) 對：

- 2 cos 3 (x - \frac{π}{6}) = - 2 cos (3 x - \frac{π}{2}) = - 2 sin 3 x

。

同一個圖形可以有好幾種寫法；先從圖讀出振幅、週期和一個特殊點，寫出一個式子，再把其他選項用

cos (θ \pm \frac{π}{2}) = \mp sin θ

化成同一個樣子來比。

03填充題（第 6～8 題）：弓形面積、二倍角連乘、半角公式

第 6 題塗色區域被弦

\overline{C D}

分成兩個弓形，每個弓形的面積是「扇形減三角形」。

12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

、

6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

。圓

A

（半徑

1

）這邊：扇形

A C D

面積

\frac{1}{2} \cdot 1^{2} \cdot \frac{2 π}{3} = \frac{π}{3}

，

△ A C D

面積

\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{4}

，弓形面積

\frac{π}{3} - \frac{3}{4}

。圓

B

（半徑

3

）這邊：扇形

B C D

面積

\frac{1}{2} \cdot (3)^{2} \cdot \frac{π}{3} = \frac{π}{2}

，

△ B C D

面積

\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot sin 6 0^{\circ} = \frac{3 3}{4}

，弓形面積

\frac{π}{2} - \frac{3 3}{4}

。相加得

\frac{π}{3} + \frac{π}{2} - \frac{3}{4} - \frac{3 3}{4} = \frac{5 π}{6} - 3

。

扇形面積公式

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

要用弧度。兩個條件算出的弦長都是

\overline{C D} = 3

，數據彼此相容。

第 7 題把互為餘角的角配成一對：

cos 8 5^{\circ} = sin 5^{\circ}

、

cos 6 5^{\circ} = sin 2 5^{\circ}

、

cos 5 5^{\circ} = sin 3 5^{\circ}

。由

sin θ cos θ = \frac{1}{2} sin 2 θ

，原式

= \frac{1}{2} sin 1 0^{\circ} \cdot \frac{1}{2} sin 5 0^{\circ} \cdot \frac{1}{2} sin 7 0^{\circ} = \frac{1}{8} cos 8 0^{\circ} cos 4 0^{\circ} cos 2 0^{\circ}

。令

K = cos 2 0^{\circ} cos 4 0^{\circ} cos 8 0^{\circ}

，兩邊同乘

sin 2 0^{\circ}

，連續用三次二倍角公式：

sin 2 0^{\circ} \cdot K = \frac{1}{2} sin 4 0^{\circ} cos 4 0^{\circ} cos 8 0^{\circ} = \frac{1}{4} sin 8 0^{\circ} cos 8 0^{\circ} = \frac{1}{8} sin 16 0^{\circ} = \frac{1}{8} sin 2 0^{\circ}

，所以

K = \frac{1}{8}

。原式

= \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{64}

。

第 8 題

\overline{P D} ⊥ \overline{A B}

、

\overline{P E} ⊥ \overline{B C}

且

\overline{P D} = \overline{P E} = 5

，直角三角形

P B D

與

P B E

有共同的斜邊

\overline{P B}

和一組等長的股，所以全等，

\overline{B P}

平分

∠ B

，

∠ P B D = \frac{B}{2}

。由餘弦定理

cos B = \frac{7 ^{2} + 8 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{32}{112} = \frac{2}{7}

。由半角公式

tan^{2} \frac{B}{2} = \frac{1 - cos B}{1 + cos B} = \frac{5/7}{9/7} = \frac{5}{9}

，

\frac{B}{2}

是銳角，

tan \frac{B}{2} = \frac{5}{3}

。在直角三角形

P B D

中

tan \frac{B}{2} = \frac{P D}{B D}

，所以

\overline{B D} = 5 \div \frac{5}{3} = 3

。

流傳版本題幹印作「到及之距離皆為

5

」，兩個線段的記號漏印；依附圖（

D

在

\overline{A B}

上、

E

在

\overline{B C}

上）補為

\overline{A B}

及

\overline{B C}

。

連乘的餘弦如果角度一路加倍（

2 0^{\circ}

、

4 0^{\circ}

、

8 0^{\circ}

），就乘上最小角的正弦，讓二倍角公式一路收下去。

04填充題（第 9～11 題）：正切圖形的交點、最小週期、圖形的伸縮平移

第 9 題直線是

y = 3 - \frac{3}{4} x

，由左到右一路下降。

y = tan x

在每一段

(- \frac{π}{2} + k π, \frac{π}{2} + k π)

上由負無限大遞增到正無限大，所以完整的一段和這條直線恰交

1

點。在

- 2 π \leq x < 2 π

內，完整的有三段：

(- \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2})

、

(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

、

(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})

，共

3

點。左端不完整的一段

- 2 π \leq x < - \frac{3 π}{2}

：正切由

0

遞增到正無限大，直線在

x = - 2 π

的高度是

3 + \frac{3 π}{2} \approx 7.7 > 0

，會被正切追過，交

1

點。右端不完整的一段

\frac{3 π}{2} < x < 2 π

：正切由負無限大遞增到接近

0

，直線在

x = 2 π

的高度是

3 - \frac{3 π}{2} \approx - 1.7 < 0

，正切最後會高過直線，交

1

點。共

3 + 1 + 1 = 5

個交點。

兩端不完整的那兩段不能直接略過，要比較端點的高度才知道有沒有交點。

第 10 題(1)

sin 3 x

的週期是

\frac{2 π}{3}

，

cos 7 x

的週期是

\frac{2 π}{7}

，

tan 5 x

的週期是

\frac{π}{5}

。三項相加後的週期要同時是這三個數的正整數倍；

2 π = 3 \cdot \frac{2 π}{3} = 7 \cdot \frac{2 π}{7} = 10 \cdot \frac{π}{5}

，而

3

、

7

、

10

沒有大於

1

的公因數，找不到更小的共同倍數，所以最小週期是

2 π

。(2)

y = 3 sin \frac{4}{5} x - 1

的週期是

2 π \div \frac{4}{5} = \frac{5 π}{2}

，值在

- 4

到

2

之間。取絕對值後，

x

軸下方的部分翻上去，一個週期內出現一個高度

2

的波峰和一個高度

4

的波峰，兩個高度不同，圖形不會提早重複，所以最小週期仍是

\frac{5 π}{2}

。

y = ∣ sin x ∣

的週期會減半，是因為翻上去的部分和原來的波峰一模一樣；(2) 多了

- 1

，上下不對稱，週期就不會減半。

第 11 題水平壓縮為

\frac{1}{4}

倍是把

x

換成

4 x

：

f_{2} (x) = sin 4 x

。向右平移

\frac{π}{6}

是把

x

換成

x - \frac{π}{6}

：

f_{3} (x) = sin 4 (x - \frac{π}{6}) = sin (4 x - \frac{2 π}{3})

。鉛直伸長為

2

倍是整個函數值乘以

2

：

f_{4} (x) = 2 sin (4 x - \frac{2 π}{3})

。對照

a sin (b x - c)

，得

(a, b, c) = (2, 4, \frac{2 π}{3})

，

c

在

0

與

2 π

之間。

平移是對

x

本身做的，要寫成

4 (x - \frac{π}{6})

，所以

c = \frac{2 π}{3}

而不是

\frac{π}{6}

。題目沒有限制

a

、

b

的正負，這裡照一般習慣取

a > 0

、

b > 0

；若容許負數，同一個函數還可以寫成

- 2 sin (4 x - \frac{5 π}{3})

等形式。

05填充題（第 12、13 題）：疊合求最大值

第 12 題

\overline{A B}

是直徑，

P

不在

A

、

B

時

∠ A P B = 9 0^{\circ}

。設

∠ P A B = θ

（

0^{\circ} \leq θ \leq 9 0^{\circ}

，

θ = 0^{\circ}

、

9 0^{\circ}

分別對應

P

在

B

、

A

），則

\overline{P A} = cos θ

、

\overline{P B} = sin θ

。

2 \overline{P A} + 5 \overline{P B} = 2 cos θ + 5 sin θ = 29 (sin θ \cdot \frac{5}{29} + cos θ \cdot \frac{2}{29}) = 29 sin (θ + φ)

，其中

φ

是銳角，

cos φ = \frac{5}{29}

、

sin φ = \frac{2}{29}

。當

θ + φ = 9 0^{\circ}

時有最大值

M = 29

，這個

θ

在

0^{\circ}

到

9 0^{\circ}

之間，取得到。此時

α = \overline{P A} = cos θ = cos (9 0^{\circ} - φ) = sin φ = \frac{2}{29} = \frac{2 29}{29}

。

流傳版本的參考答案寫

(\frac{2}{29}, 29)

，與這裡有理化後的

\frac{2 29}{29}

是同一個值。

第 13 題設

∠ A O P = θ

（

0 < θ < \frac{π}{3}

）。

P

在弧上，所以

\overline{P S} = 100 sin θ

、

\overline{O S} = 100 cos θ

。

Q

與

P

同高，

\overline{QR} = 100 sin θ

，而

∠ QO R = \frac{π}{3}

，所以

\overline{O R} = \frac{QR}{tan \frac{π}{3}} = \frac{100 sin θ}{3}

。矩形面積

= \overline{P S} \cdot \overline{R S} = 100 sin θ (100 cos θ - \frac{100 sin θ}{3}) = 10000 (sin θ cos θ - \frac{sin ^{2} θ}{3})

。用

sin θ cos θ = \frac{1}{2} sin 2 θ

、

sin^{2} θ = \frac{1 - cos 2 θ}{2}

改寫：括號內

= \frac{1}{2} sin 2 θ + \frac{1}{2 3} cos 2 θ - \frac{1}{2 3} = \frac{1}{3} (\frac{3}{2} sin 2 θ + \frac{1}{2} cos 2 θ) - \frac{1}{2 3} = \frac{1}{3} sin (2 θ + \frac{π}{6}) - \frac{1}{2 3}

。

2 θ + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

，即

θ = \frac{π}{6}

時（在範圍內）有最大值

\frac{1}{3} - \frac{1}{2 3} = \frac{1}{2 3} = \frac{3}{6}

，最大面積

= 10000 \cdot \frac{3}{6} = \frac{5000 3}{3}

平方公尺。

矩形的擺法照附圖：一邊

\overline{R S}

貼在半徑

\overline{O A}

上，

Q

在另一條半徑上，

P

在弧上。

長度或面積寫成

sin θ cos θ

與

sin^{2} θ

的組合時，先用倍角公式降成

sin 2 θ

、

cos 2 θ

的一次式，再疊合求極值，最後確認取到極值的角在範圍內。

06計算與證明題（第 14、15 題）：正切和角與餘弦定理、疊合作圖與不等式

第 14 題(1) 條件移項成

tan A + tan B = - 3 (1 - tan A tan B)

。若

1 - tan A tan B = 0

，則

tan A + tan B = 0

，兩數互為相反數，乘積不可能是

1

，矛盾；所以

1 - tan A tan B \neq = 0

，兩邊同除得

tan (A + B) = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B} = - 3

。

0^{\circ} < A + B < 18 0^{\circ}

，所以

A + B = 12 0^{\circ}

，

∠ C = 6 0^{\circ}

。(2)

\overline{A C} = b

。由餘弦定理

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos 6 0^{\circ} = 9 + b^{2} - 3 b

，又

c = 4 - b

，

c^{2} = 16 - 8 b + b^{2}

。兩式相等：

9 - 3 b = 16 - 8 b

，

b = \frac{7}{5}

，即

\overline{A C} = \frac{7}{5}

（此時

c = \frac{13}{5}

）。(3) 面積

= \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{7}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{21 3}{20}

。

第 15 題(1) 先疊合成正弦比較好畫：

f (x) = 2 (sin x \cdot \frac{3}{2} - cos x \cdot \frac{1}{2}) = 2 sin (x - \frac{π}{6})

，圖形是

y = 2 sin x

向右平移

\frac{π}{6}

，只畫

- 2 π \leq x < 2 π

的部分。與

x

軸交於

x = - \frac{11 π}{6}

、

- \frac{5 π}{6}

、

\frac{π}{6}

、

\frac{7 π}{6}

；最高點

(- \frac{4 π}{3}, 2)

、

(\frac{2 π}{3}, 2)

；最低點

(- \frac{π}{3}, - 2)

、

(\frac{5 π}{3}, - 2)

；與

y

軸交於

(0, - 1)

；左端點

(- 2 π, - 1)

是實心點，右端

(2 π, - 1)

不含，畫空心點。(2)

f (x) = 2 (cos x \cdot (- \frac{1}{2}) - sin x \cdot (- \frac{3}{2}))

，對照

r cos (x + θ) = r (cos x cos θ - sin x sin θ)

，取

r = 2

、

cos θ = - \frac{1}{2}

、

sin θ = - \frac{3}{2}

，在

0 \leq θ \leq 2 π

內

θ = \frac{4 π}{3}

。所以

(r, θ) = (2, \frac{4 π}{3})

。(3) 不等式即

2 cos (x + \frac{4 π}{3}) > 1

，

cos (x + \frac{4 π}{3}) > \frac{1}{2}

。令

t = x + \frac{4 π}{3}

，

0 \leq x < 2 π

時

\frac{4 π}{3} \leq t < \frac{10 π}{3}

。在這個範圍內

cos t = \frac{1}{2}

的解是

t = \frac{5 π}{3}

與

t = \frac{7 π}{3}

，餘弦值大於

\frac{1}{2}

的部分是

\frac{5 π}{3} < t < \frac{7 π}{3}

。換回

x

：

\frac{π}{3} < x < π

。

載入中...

流傳版本題幹 (3) 的「不等式」印作「不等試」，已補正。流傳版本的參考答案 (1) 只寫「略」，這裡的圖是本站所畫；圖上縱軸的單位長比橫軸放大了一些，數值以刻度為準。(3) 也可以從圖上看：

y = 1

這條水平線與圖形交於

x = \frac{π}{3}

與

x = π

，兩者之間圖形在水平線上方。

a sin x + b cos x

可以疊合成正弦，也可以疊合成餘弦，看題目指定哪一種；解不等式時把整個角換成一個新的變數，範圍一起換過去再看圖。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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竹科實中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要確認最後一個波峰在直線碰到高度一之前來不及長高，所以那一段沒有交點；第 4 題的鈍角三角形沒有指定哪一個角是鈍角，三個選項都要想到鈍角不在 C 的情形；第 9 題左右兩端不完整的那兩段各有一個交點，不能漏掉；第 10 題第二小題取絕對值後週期不會減半。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自竹科實中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

竹科實中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1、2 題）：二倍角公式、用圖形數交點

02多選題（第 3～5 題）：弧度與度、三角形內角的關係、由圖形判斷函數

03填充題（第 6～8 題）：弓形面積、二倍角連乘、半角公式

04填充題（第 9～11 題）：正切圖形的交點、最小週期、圖形的伸縮平移

05填充題（第 12、13 題）：疊合求最大值

06計算與證明題（第 14、15 題）：正切和角與餘弦定理、疊合作圖與不等式

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高二第一次段考
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