段考詳解範圍：三角函數(弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合)

臺南二中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

多重選擇題 4 題（20 分）、填充題 14 格（72 分）、混合題 3 小題（8 分）

一、多重選擇題：共 20 分｜說明：每題均有 5 個選項，其中至少有 1 個選項是正確的。所有選項均答對者得 5 分，只錯 1 個選項者得 3 分，只錯 2 個選項者得 1 分，其餘不給分。

下列各選項的數值何者為正實數？

(A) $sin 2$
(B) $tan 3$
(C) $cos 4$
(D) $sin 5 + cos 5$
(E) $1 + tan 6$

下列哪些函數圖形的週期為

π

？

(A) $y = 3 sin 2 x$
(B) $y = cos (\frac{1}{2} x + 1)$
(C) $y = sin x \cdot cos x$
(D) $y = - tan x$
(E) $y = 2 sin x + 3 cos x$

關於函數

f (x) = 3 sin (2 x + \frac{π}{3}) + 2

，請選出正確的選項。

(A) $f (x)$ 的振幅為 $6$
(B) $y = f (x)$ 的圖形對稱於鉛直線 $x = - \frac{5 π}{12}$
(C) 若 $0 \leq x \leq 2 π$ ，則 $y = f (x)$ 的圖形與水平線 $y = - 1$ 有 $2$ 個交點
(D) 函數 $y = 3 sin 2 x$ 的圖形向左平移 $\frac{π}{3}$ 單位，再向上平移 $2$ 單位可得 $y = f (x)$ 的圖形
(E) 將函數 $y = f (x)$ 以 $y$ 軸為中心，水平伸縮為 $\frac{1}{2}$ 倍可得 $y = 3 sin (x + \frac{π}{3}) + 2$ 的圖形

下列哪些方程式有實數解？

(A) $sin x \cdot cos x = \frac{4}{5}$
(B) $sin x + cos x = \frac{3}{2}$
(C) $3 sin x = x$
(D) $1 - 2 sin^{2} x = tan x$
(E) $cos x - ∣ cos x ∣ = 1$

二、填充題：共 72 分。答案須化作最簡形式及有關角度一律用弳度量表示（原卷題號 1～14，本頁接續編為第 5～18 題；依答對格數給分：答對 1～14 格依序得 6、12、18、24、30、35、40、45、50、55、60、64、68、72 分）

已知一扇形的圓心角

θ

小於

\frac{π}{2}

弳，其周長為

10

且面積為

6

，求此扇形的半徑 ____

已知

π < θ < \frac{3}{2} π

且

tan θ = \frac{4}{3}

，求

cos \frac{θ}{2} =

____

如圖有一矩形

A B C D

，

\overline{A B} = 6

，

\overline{A D} = 23

，

M

是

\overline{A B}

中點，現以

M

為圓心，分別以

3

、

23

為半徑畫圓弧，與矩形圍成灰色區域如圖，求灰色區域面積 ____

載入中...

已知

\frac{22}{5} π \leq x \leq \frac{41}{5} π

，求滿足

cos x = - \frac{2}{3}

之所有解的總和 ____ 弳

右圖為

y = a sin (b x + c) + d

的部分圖形，其中

a > 0

，

b > 0

，

0 \leq c < 2 π

。

A (\frac{2}{3}, \frac{3}{2})

為最高點、

B (\frac{5}{3}, - \frac{5}{2})

為最低點，求數對

(a, b, c, d) =

____

載入中...

求方程式

sin (x + \frac{π}{2}) = sin 4 x

在

0 \leq x \leq 2 π

範圍內解的個數 ____

已知

tan α = \frac{4}{5}

，

tan β = \frac{6}{5}

，則

\frac{sin ( α - β )}{cos ( α + β )} =

____

如右圖，在

△ A B C

中，

∠ C = 9 0^{\circ}

、

∠ D A C = θ

且

∠ B A D = 2 θ

。已知

\overline{A C} = 3

，

\overline{A D} = 10

，求

\overline{B D}

的長度 ____

載入中...

△ A B C

中，

\overline{A B} = 5

、

\overline{B C} = 7

，

\overline{A C} = 8

。以

\overline{B C}

為一邊往外做一正三角形

B C D

，則

sin ∠ A B D =

____

如圖，座標平面上有一

△ O A B

，

O

為原點，兩邊

\overline{O A}

與

\overline{O B}

的斜率分別為

- 4

及

5

。現以

O

為中心，將

△ O A B

順時針旋轉得到

△ O A^{'} B^{'}

，此時

B^{'}

點落在

x

軸上，求

\overline{O A^{'}}

的斜率為 ____

載入中...

函數

y = 6 sin x - 2 cos x

。當

x = θ

時

y

有最小值，求

cos θ =

____

已知

0 \leq x \leq 2 π

，求不等式

3 sin x + cos x \leq - 2

的解為 ____（弳度量表示）

在

\frac{1}{2} π \leq x \leq \frac{3}{2} π

的範圍內，兩函數

y = 12 cos x - 5 sin x

和

y = k

的圖形有兩個相異交點，求實數

k

的範圍 ____

求函數

y = 3 sin^{2} (x - \frac{π}{6}) + sin x cos x

的最小值 ____。

三、混合題：共 8 分｜說明：(1)(3) 為計算題，須要詳細工整的計算過程，否則不計分。(2) 為填充題，答案對即可給分。（原卷小題 (1)(2)(3)，本頁編為第 19～21 題）

混合題（第 19～21 題）（第 19～21 題）　如圖（參考圖），四邊形

A B C D

中，

\overline{A B} = 3

、

\overline{A D} = 2

，對角線

\overline{A C} = 4

。

∠ D A B = \frac{π}{3}

，設

∠ D A C = x

，

0 < x < \frac{π}{3}

，試回答下列問題：

(1) 已知四邊形

A B C D

的面積可以表示成

a sin x + b cos x

的形式，求

a + b

的值。（4 分）

載入中...

(2) 求四邊形

A B C D

面積的最大值。（1 分）

(3) 當四邊形

A B C D

面積最大時，

△ A C D

的面積為何？（3 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(E)

第 2 題(A)(C)(D)

第 3 題(B)(C)

第 4 題(C)(D)

第 5 題

3

第 6 題

- \frac{5}{5}

第 7 題

33 - \frac{π}{2}

第 8 題

24 π

第 9 題

(2, π, \frac{11 π}{6}, - \frac{1}{2})

第 10 題

8

第 11 題

- 10

第 12 題

\frac{10}{3}

第 13 題

\frac{5 3}{14}

第 14 題

\frac{9}{19}

第 15 題

\frac{1}{2}

第 16 題

\frac{13 π}{12} \leq x \leq \frac{19 π}{12}

第 17 題

- 13 < k \leq - 5

第 18 題

\frac{3}{2} - \frac{1}{2}

第 19 題

1 + 33

第 20 題

27

第 21 題

\frac{2 7}{7}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

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01多重選擇題（第 1～4 題）：弧度的大小、週期、圖形的平移伸縮、方程式有沒有解

第 1 題用

π \approx 3.14

定出每個弧度落在哪裡：

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

\frac{7 π}{4} \approx 5.50

、

2 π \approx 6.28

。(A)

2

在

\frac{π}{2}

與

π

之間，是第二象限角，

sin 2 > 0

。(B)

3

也在第二象限，

tan 3 < 0

。(C)

4

在

π

與

\frac{3 π}{2}

之間，是第三象限角，

cos 4 < 0

。(D)

5

在

\frac{3 π}{2}

與

\frac{7 π}{4}

之間，這一段

sin 5 < 0 < cos 5

而且

∣ sin 5∣ > ∣ cos 5∣

，所以

sin 5 + cos 5 < 0

。(E)

6

在

\frac{7 π}{4}

與

2 π

之間，這一段

- 1 < tan 6 < 0

，所以

1 + tan 6 > 0

。選 (A)(E)。

(D) 也可以疊合：

sin 5 + cos 5 = 2 sin (5 + \frac{π}{4})

，

5 + \frac{π}{4} \approx 5.79

在

π

與

2 π

之間，正弦值為負。

第 2 題(A) 週期

\frac{2 π}{2} = π

。(B) 週期

\frac{2 π}{1/2} = 4 π

。(C)

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

，週期

π

。(D) 正切函數的週期是

π

，乘上

- 1

只是上下翻轉，週期仍是

π

。(E) 疊合成

13 sin (x + φ)

，

x

的係數是

1

，週期

2 π

。選 (A)(C)(D)。

第 3 題(A) 振幅是

3

，不是

6

（

6

是最大值

5

與最小值

- 1

的差）。(B) 代

x = - \frac{5 π}{12}

：

2 x + \frac{π}{3} = - \frac{5 π}{6} + \frac{π}{3} = - \frac{π}{2}

，

f = 3 \times (- 1) + 2 = - 1

是最小值；正弦型圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線，正確。(C)

y = - 1

正好是最小值，要

sin (2 x + \frac{π}{3}) = - 1

。

0 \leq x \leq 2 π

時

\frac{π}{3} \leq 2 x + \frac{π}{3} \leq \frac{13 π}{3}

，其中只有

\frac{3 π}{2}

、

\frac{7 π}{2}

兩個角的正弦是

- 1

，即

x = \frac{7 π}{12}

、

\frac{19 π}{12}

，共

2

個交點，正確。(D)

y = 3 sin 2 x

向左平移

\frac{π}{3}

是把

x

換成

x + \frac{π}{3}

，得

3 sin (2 x + \frac{2 π}{3})

，與

f (x)

不同；應該向左平移

\frac{π}{6}

。(E) 水平伸縮為

\frac{1}{2}

倍是把

x

換成

2 x

，得

y = 3 sin (4 x + \frac{π}{3}) + 2

；要得到

3 sin (x + \frac{π}{3}) + 2

應該伸縮為

2

倍。選 (B)(C)。

第 4 題(A)

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

，值在

- \frac{1}{2}

到

\frac{1}{2}

之間，不可能等於

\frac{4}{5}

，無解。(B)

sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，最大值

2 \approx 1.414 < \frac{3}{2}

，無解。(C)

x = 0

時兩邊都是

0

，有解。(D) 左邊是

cos 2 x

。在

0 \leq x \leq \frac{π}{4}

這一段，

y = cos 2 x

由

1

連續下降到

0

，

y = tan x

由

0

連續上升到

1

，兩圖形一定相交，有解。(E)

cos x \geq 0

時左邊是

0

；

cos x < 0

時左邊是

2 cos x < 0

；左邊永遠不超過

0

，不可能等於

1

，無解。選 (C)(D)。

(D) 也可以令

t = tan x

，用

cos 2 x = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}

化成

t^{3} + t^{2} + t - 1 = 0

；左式在

t = 0

為

- 1

、在

t = 1

為

2

，一負一正，

0

與

1

之間有實根。

弧度的正負判斷先把

\frac{π}{2}

、

π

、

\frac{3 π}{2}

、

2 π

換成小數再比；平移與伸縮都是「對

x

本身」代換，左移

h

把

x

換成

x + h

，水平伸縮

k

倍把

x

換成

\frac{x}{k}

。

02填充第 1～6 題（第 5～10 題）：扇形、半角、圖形的對稱與係數、解的個數

第 5 題設半徑

r

。周長

2 r + r θ = 10

，面積

\frac{1}{2} r^{2} θ = 6

。由第一式

r θ = 10 - 2 r

，代入第二式

\frac{1}{2} r (10 - 2 r) = 6

，整理得

r^{2} - 5 r + 6 = 0

，

r = 2

或

3

。

r = 2

時

θ = \frac{10 - 4}{2} = 3 > \frac{π}{2}

，不合；

r = 3

時

θ = \frac{10 - 6}{3} = \frac{4}{3} < \frac{π}{2} \approx 1.57

，合。半徑為

3

。

第 6 題

θ

在第三象限且

tan θ = \frac{4}{3}

，所以

cos θ = - \frac{3}{5}

。由

π < θ < \frac{3 π}{2}

得

\frac{π}{2} < \frac{θ}{2} < \frac{3 π}{4}

，

\frac{θ}{2}

在第二象限，餘弦為負。半角公式：

cos \frac{θ}{2} = - \frac{1 + cos θ}{2} = - \frac{1 - \frac{3}{5}}{2} = - \frac{1}{5} = - \frac{5}{5}

。

第 7 題矩形高

23

正好等於大圓半徑，所以大圓弧與

\overline{C D}

相切；大圓弧與兩側邊的交點記為

P

（在

\overline{B C}

上）、

Q

（在

\overline{A D}

上）。

\overline{M B} = 3

、

\overline{M P} = 23

，所以

\overline{B P} = 12 - 9 = 3

，

cos ∠ P M B = \frac{3}{2 3} = \frac{3}{2}

，

∠ P M B = \frac{π}{6}

；同理

∠ QM A = \frac{π}{6}

，於是

∠ P M Q = π - \frac{π}{6} \times 2 = \frac{2 π}{3}

。大圓在矩形內的部分＝扇形

M P Q

＋兩個直角三角形

M B P

、

M A Q

：

\frac{1}{2} \times (23)^{2} \times \frac{2 π}{3} + 2 \times \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4 π + 33

。再扣掉半徑

3

的半圓

\frac{1}{2} \times 9 π = \frac{9 π}{2}

，灰色區域面積為

4 π + 33 - \frac{9 π}{2} = 33 - \frac{π}{2}

。

數值約

3.63

。

第 8 題

y = cos x

的圖形對稱於

x = 5 π

、

x = 7 π

（都是最低點所在的鉛直線）。因為

- \frac{2}{2} < - \frac{2}{3} < - \frac{1}{2}

，

cos x = - \frac{2}{3}

的解與最近的最低點相距

β

，其中

\frac{π}{4} < β < \frac{π}{3}

。所以解是

5 π \pm β

、

7 π \pm β

、

3 π \pm β

、

9 π \pm β

……。範圍是

4.4 π \leq x \leq 8.2 π

：

5 π - β > 4.66 π

、

7 π + β < 7.34 π

，這四個解都在範圍內；

3 π + β < 3.34 π

與

9 π - β > 8.66 π

都在範圍外。四個解兩兩對稱，總和為

2 \times 5 π + 2 \times 7 π = 24 π

。

第 9 題最大值

a + d = \frac{3}{2}

、最小值

- a + d = - \frac{5}{2}

，解得

a = 2

、

d = - \frac{1}{2}

。圖中

A

、

B

是相鄰的最高點與最低點，橫坐標相差半個週期：

\frac{5}{3} - \frac{2}{3} = 1

，週期為

2

，

b = \frac{2 π}{2} = π

。最高點

x = \frac{2}{3}

時

sin (\frac{2 π}{3} + c) = 1

，

\frac{2 π}{3} + c = \frac{π}{2} + 2 k π

，

c = - \frac{π}{6} + 2 k π

；在

0 \leq c < 2 π

內取

k = 1

，

c = \frac{11 π}{6}

。所以

(a, b, c, d) = (2, π, \frac{11 π}{6}, - \frac{1}{2})

。

驗算

B

：

x = \frac{5}{3}

時

\frac{5 π}{3} + \frac{11 π}{6} = \frac{7 π}{2}

，

sin \frac{7 π}{2} = - 1

，

y = - 2 - \frac{1}{2} = - \frac{5}{2}

，相符。

第 10 題兩個角的正弦相等，只有兩種情形：兩角相差

2 π

的整數倍，或兩角相加是

π

加上

2 π

的整數倍。第一種：

4 x = x + \frac{π}{2} + 2 k π

，

x = \frac{π}{6} + \frac{2 k π}{3}

，在

0 \leq x \leq 2 π

內有

\frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

、

\frac{3 π}{2}

共

3

個。第二種：

4 x + x + \frac{π}{2} = π + 2 k π

，

x = \frac{π}{10} + \frac{2 k π}{5}

，在範圍內有

\frac{π}{10}

、

\frac{π}{2}

、

\frac{9 π}{10}

、

\frac{13 π}{10}

、

\frac{17 π}{10}

共

5

個。兩組沒有重複，共

8

個解。

左邊就是

cos x

，也可以畫

y = cos x

與

y = sin 4 x

的圖形數交點，一樣是

8

個。

求「所有解的總和」不必把解一個一個算出來，找出圖形的對稱軸，成對的兩個解相加就是對稱軸位置的兩倍；先確認每一個解有沒有落在範圍內。

03填充第 7～10 題（第 11～14 題）：和差角公式

第 11 題

\frac{sin ( α - β )}{cos ( α + β )} = \frac{sin α cos β - cos α sin β}{cos α cos β - sin α sin β}

，分子分母同除以

cos α cos β

得

\frac{tan α - tan β}{1 - tan α tan β} = \frac{\frac{4}{5} - \frac{6}{5}}{1 - \frac{4}{5} \times \frac{6}{5}} = \frac{- \frac{2}{5}}{\frac{1}{25}} = - 10

。

這個式子不是

tan (α - β)

：分母是

1 - tan α tan β

，不是

1 + tan α tan β

。

第 12 題直角三角形

A C D

中

\overline{C D} = 10 - 9 = 1

，

tan θ = \frac{1}{3}

。倍角：

tan 2 θ = \frac{2 \times \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{3}{4}

。

∠ B A C = 3 θ

，和角：

tan 3 θ = tan (2 θ + θ) = \frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{3}{4} \times \frac{1}{3}} = \frac{\frac{13}{12}}{\frac{3}{4}} = \frac{13}{9}

。直角三角形

A B C

中

\overline{B C} = \overline{A C} tan 3 θ = 3 \times \frac{13}{9} = \frac{13}{3}

，所以

\overline{B D} = \frac{13}{3} - 1 = \frac{10}{3}

。

第 13 題餘弦定理：

cos ∠ A B C = \frac{5 ^{2} + 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \times 5 \times 7} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}

，

sin ∠ A B C = 1 - \frac{1}{49} = \frac{4 3}{7}

。正三角形

B C D

往外作，

D

與

A

在

\overline{B C}

的兩側，所以

∠ A B D = ∠ A B C + \frac{π}{3}

。和角公式：

sin ∠ A B D = \frac{4 3}{7} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{7} \times \frac{3}{2} = \frac{4 3 + 3}{14} = \frac{5 3}{14}

。

∠ A B C

約

81. 8^{\circ}

，加

6 0^{\circ}

約

141. 8^{\circ}

，小於

18 0^{\circ}

，

∠ A B D

就是這個和。

第 14 題設射線

O A

、

O B

的方向角分別為

α

、

β

，則

tan α = - 4

、

tan β = 5

。順時針旋轉後

B^{'}

落在

x

軸正向，表示整個三角形順時針轉了

β

，所以射線

O A^{'}

的方向角是

α - β

。

\overline{O A^{'}}

的斜率＝

tan (α - β) = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β} = \frac{- 4 - 5}{1 + ( - 4 ) \times 5} = \frac{- 9}{- 19} = \frac{9}{19}

。

圖中

A^{'}

在第一象限，斜率為正，與結果相符。

斜率就是方向角的正切，旋轉後的斜率用正切的和差角公式；分子分母都是「正弦餘弦的乘積」時，同除以

cos α cos β

就能全部換成正切。

04填充第 11～14 題（第 15～18 題）：正餘弦的疊合

第 15 題

(6)^{2} + (2)^{2} = 22

，

y = 22 (\frac{3}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x) = 22 sin (x - \frac{π}{6})

。最小值

- 22

發生在

x - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2} + 2 k π

，即

θ = \frac{5 π}{3} + 2 k π

，所以

cos θ = cos \frac{5 π}{3} = \frac{1}{2}

。

第 16 題

3 sin x + cos x = 2 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{π}{6})

，不等式變成

sin (x + \frac{π}{6}) \leq - \frac{2}{2}

。

0 \leq x \leq 2 π

時

\frac{π}{6} \leq x + \frac{π}{6} \leq \frac{13 π}{6}

，這一段裡正弦不超過

- \frac{2}{2}

的角是

\frac{5 π}{4} \leq x + \frac{π}{6} \leq \frac{7 π}{4}

，所以

\frac{13 π}{12} \leq x \leq \frac{19 π}{12}

。

第 17 題

1 2^{2} + 5^{2} = 13

，

y = 13 (\frac{12}{13} cos x - \frac{5}{13} sin x) = 13 cos (x + φ)

，其中

cos φ = \frac{12}{13}

、

sin φ = \frac{5}{13}

，

φ

是銳角。令

t = x + φ

，則

\frac{π}{2} + φ \leq t \leq \frac{3 π}{2} + φ

。

t

由

\frac{π}{2} + φ

到

π

：

y

由

13 cos (\frac{π}{2} + φ) = - 13 sin φ = - 5

下降到

- 13

；

t

由

π

到

\frac{3 π}{2} + φ

：

y

由

- 13

上升到

13 cos (\frac{3 π}{2} + φ) = 13 sin φ = 5

。下降段的值是

- 13

到

- 5

，上升段的值是

- 13

到

5

；水平線

y = k

要與兩段各交一點，

k

必須同時落在兩段的範圍內，而且不能是兩段共用的最低點，所以

- 13 < k \leq - 5

。

k = - 5

時有兩個交點（左端點

x = \frac{π}{2}

與上升段的一點），要含等號；

k = - 13

時只有最低點一個交點，不含。

第 18 題降次：

sin^{2} (x - \frac{π}{6}) = \frac{1 - cos ( 2 x - \frac{π}{3} )}{2}

，

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

。展開

cos (2 x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2} cos 2 x + \frac{3}{2} sin 2 x

，代入：

y = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} (\frac{1}{2} cos 2 x + \frac{3}{2} sin 2 x) + \frac{1}{2} sin 2 x = \frac{3}{2} - \frac{3}{4} cos 2 x - \frac{1}{4} sin 2 x

。後兩項疊合的振幅是

\frac{3}{16} + \frac{1}{16} = \frac{1}{2}

，所以最小值為

\frac{3}{2} - \frac{1}{2}

。

- \frac{3}{4} cos 2 x - \frac{1}{4} sin 2 x = - \frac{1}{2} sin (2 x + \frac{π}{3})

，

x = \frac{π}{12}

時取到最小值。

a sin x + b cos x

一律先提出

a^{2} + b^{2}

疊合成單一正弦或餘弦；範圍有限制時，把疊合後的角的範圍一起換過去，再看那一段的升降。

05混合題（第 19～21 題）：用疊合求四邊形面積的最大值

第 19 題對角線

\overline{A C}

把四邊形分成

△ A C D

與

△ A B C

，其中

∠ D A C = x

、

∠ C A B = \frac{π}{3} - x

。

△ A C D = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 \times sin x = 4 sin x

；

△ A B C = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times sin (\frac{π}{3} - x) = 6 (\frac{3}{2} cos x - \frac{1}{2} sin x) = 33 cos x - 3 sin x

。相加：四邊形面積＝

sin x + 33 cos x

，所以

a = 1

、

b = 33

，

a + b = 1 + 33

。

第 20 題

1^{2} + (33)^{2} = 28 = 27

，面積＝

27 (\frac{1}{2 7} sin x + \frac{3 3}{2 7} cos x) = 27 sin (x + φ)

，其中

cos φ = \frac{1}{2 7}

、

sin φ = \frac{3 3}{2 7}

，

φ

是銳角。

x + φ = \frac{π}{2}

時面積最大，此時

sin x = cos φ = \frac{1}{2 7} \approx 0.19

，介於

0

與

sin \frac{π}{3} \approx 0.87

之間，

x

確實在

0 < x < \frac{π}{3}

內，所以最大值為

27

。

第 21 題由上題，面積最大時

x = \frac{π}{2} - φ

，

sin x = sin (\frac{π}{2} - φ) = cos φ = \frac{1}{2 7}

。所以

△ A C D = 4 sin x = 4 \times \frac{1}{2 7} = \frac{2}{7} = \frac{2 7}{7}

。

此時

△ A B C = 27 - \frac{2 7}{7} = \frac{12 7}{7}

。

疊合求出最大值之後，還要回頭確認取到最大值的角有沒有落在題目給的範圍內；最大值發生時

x + φ = \frac{π}{2}

，於是

sin x = cos φ

、

cos x = sin φ

，不必把

x

解出來。

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03填充第 7～10 題（第 11～14 題）：和差角公式

04填充第 11～14 題（第 15～18 題）：正餘弦的疊合

05混合題（第 19～21 題）：用疊合求四邊形面積的最大值

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高二第一次段考
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