段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角公式、正餘弦的疊合）

黎明高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 黎明高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 黎明高中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 6 題要把方程式化成正弦曲線與斜直線的交點，逐段數清楚共九個；第 4 題四個根要用圖形的對稱兩兩配對再相加；第 8 題角在第三象限，半角與三倍角的正負要實際算出來；第 17 題要先在三角形 ABC 求出半個角的正餘弦，再用倍角公式。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 6 題（30 分）、多選題 5 題（25 分）、選填題 9 題（45 分）

一、單選題（一題 5 分，共 30 分）

一直徑為

30

公分的輪子立於地面，輪子上的

A

點恰與地面接觸，當輪子往前滾動

31.4

公分，試問

A

點繞輪子的軸心轉了大約幾度？

(A) $3 0^{\circ}$
(B) $6 0^{\circ}$
(C) $9 0^{\circ}$
(D) $12 0^{\circ}$
(E) $15 0^{\circ}$

已知

y = 2 cos (2 x)

向右平移

θ

後，可和

y = sin 2 x + 3 cos 2 x

重合，其中

θ

為何？

(A) $0$
(B) $\frac{π}{12}$
(C) $\frac{π}{6}$
(D) $\frac{π}{3}$
(E) $\frac{π}{2}$

將

y = f (x) = sin x

的圖形以

y

軸為基準線，沿鉛直方向伸縮

3

倍，以

x

軸為基準線，沿水平方向伸縮

\frac{1}{2}

倍，再向上平移

2

單位後，得

y = g (x) = a sin b x + c

的圖形。當

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

時，

y = g (x)

的最大值與最小值之和為何？

(A) $5$
(B) $6$
(C) $7$
(D) $8$
(E) $9$

承上題，若

x

的範圍變成

- π \leq x \leq π

時，

y = g (x) = 3

的所有根之和為何？

(A) $- \frac{3 π}{2}$
(B) $- π$
(C) $- \frac{π}{2}$
(D) $0$
(E) $\frac{π}{2}$

當

θ

為下列何者時，無法滿足

sin θ < 0

且

cos θ > 0

？

(A) $357$ 弳
(B) $3.57 π$ 弳
(C) $35 7^{\circ}$
(D) $135 7^{\circ}$
(E) $35 π^{\circ}$

方程式

2 π sin (2 x - π) = x

有幾個實根？

(A) $6$
(B) $7$
(C) $8$
(D) $9$
(E) $10$

二、多選題（每題 5 分，共 25 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，其餘不給分）（原卷題號 1～5，本頁接續編為第 7～11 題）

下列敘述何者正確？

(A) 函數 $y = 2 sin 3 x$ 的最大值為 $2$
(B) 函數 $y = 2 sin 3 x$ 的週期為 $\frac{π}{3}$
(C) 函數 $y = 2 cos 3 x$ 的圖形對稱於直線 $x = \frac{π}{6}$
(D) 函數 $y = 2 cos 3 x$ 的圖形對稱於原點
(E) 函數 $y = tan x$ 與 $y = 100$ 的圖形有交點

在坐標平面上，廣義角

θ

的頂點為原點

O

，始邊為

x

軸的正向，且滿足

tan θ = \frac{3}{4}

。若

θ

的終邊上有一點

P

，其

y

坐標為

- 6

，則下列選項哪些一定正確？

(A) $P$ 點位於第三象限
(B) $\overline{O P} = 10$
(C) $sin 2 θ > 0$
(D) $cos 3 θ < 0$
(E) $tan \frac{θ}{2} < 0$

一圓錐的高為

5

，體積為

\frac{4 5 π}{3}

，若將此圓錐體剪開成一扇形。則下列對此扇形的描述哪些正確？（錐體體積

= \frac{1}{3} \times

柱體體積）

(A) 半徑為 $2$
(B) 半徑為 $3$
(C) 弧長為 $4 π$
(D) 弧長為 $\frac{4 π}{3}$
(E) 面積為 $2 π$

關於

y = 2 tan (x - π)

的圖形，下列哪些正確？

(A) 週期為 $2 π$
(B) 振幅為 $2$
(C) 與 $y = 2 tan x$ 的圖形重合
(D) 定義域為 ${x x \neq = \frac{k π}{2} ， k 為整數}$
(E) 值域為 $R$

已知函數

f (x) = sin (x + \frac{π}{6}) - cos (x - \frac{π}{6})

，試選出正確的選項？

(A) 若 $0 \leq x < 2 π$ ，則 $f (x)$ 的最大值為 $\frac{6 - 2}{2}$
(B) 若 $0 \leq x < 2 π$ ，且 $f (x)$ 在 $x = α$ 時取得最小值，則 $α = \frac{7 π}{4}$
(C) 函數 $y = f (x)$ 圖形的週期為 $π$
(D) $f (\frac{13 π}{20}) < f (\frac{17 π}{20})$
(E) $x = \frac{11 π}{4}$ 為其對稱軸

三、選填題（每題 5 分，共 45 分）（原卷題號 1～9，本頁編為第 12～20 題）

2 cos \frac{5 π}{4} + sin \frac{3 π}{2} - sin (- \frac{π}{6}) =

____。

時鐘的時針在經過了

2

小時

40

分鐘後，它轉過的角度為 ____

π

弳。

在

△ A B C

中，設

cos A = \frac{3}{5}

且

tan B = 1

，則

tan C =

____。

函數

y = 2 sin (\frac{π}{6} - x) - 2 cos x

的最小值為 ____。

在

π < x < 2 π

的範圍內，則方程式

sin x - 3 cos x = 1

的解

x =

____

π

。

四邊形

A B C D

中，對角線

\overline{A C}

平分

∠ D A B

，已知

∠ A B C = 13 5^{\circ}

，

\overline{A B} = 7

、

\overline{A C} = \overline{A D} = 13

，則

D

點到直線

A B

的距離為 ____。

右圖是函數

y = a sin (b x + c)

，其中（

a > 0

，

b > 0

，

∣ c ∣ < π

）在一個週期內的圖形，則

a =

____、

b =

____、

c =

____。

載入中...

坐標平面上

O

為原點，今有兩動點

P (cos θ, sin θ)

、

Q (2 cos 3 θ, 2 sin 3 θ)

，其中

0 \leq θ \leq \frac{π}{2}

。若所有動點

P

形成的圖形為

Γ_{1}

，所有動點

Q

形成的圖形為

Γ_{2}

，兩圖形的長度分別為

S_{1}

、

S_{2}

，則

S_{2}

、

S_{1}

的比值

\frac{S _{2}}{S _{1}} =

____。

承上題，請求出兩動點的距離

\overline{P Q}

之最大值

M

及最小值

m

，以數對

(M, m)

表示答案。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(B)

第 3 題(C)

第 4 題(B)

第 5 題(E)

第 6 題(D)

第 7 題(A)(E)

第 8 題(A)(B)(C)(E)

第 9 題(B)(C)

第 10 題(C)(E)

第 11 題(A)(B)(E)

第 12 題

- \frac{3}{2}

第 13 題

\frac{4}{9}

第 14 題

7

第 15 題

- 2

第 16 題

\frac{7}{6}

第 17 題

\frac{120}{13}

第 18 題

a = 3

、

b = \frac{π}{5}

、

c = - \frac{2 π}{5}

第 19 題

6

第 20 題

(3, 1)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2、5 題：弧長、疊合與平移、象限判斷

第 1 題答案 (D)。輪子半徑

r = 15

公分。輪子滾動時不打滑，往前的距離等於輪緣轉過的弧長，所以弧長

s = 31.4 \approx 10 π

公分。轉過的角

= \frac{s}{r} = \frac{10 π}{15} = \frac{2 π}{3}

弧度，也就是

12 0^{\circ}

。

31.4

是

10 π

的近似值；用弧長公式

s = r θ

時

θ

要用弧度。

第 2 題答案 (B)。把右邊疊合成餘弦：

sin 2 x + 3 cos 2 x = 2 (\frac{3}{2} cos 2 x + \frac{1}{2} sin 2 x) = 2 (cos 2 x cos \frac{π}{6} + sin 2 x sin \frac{π}{6}) = 2 cos (2 x - \frac{π}{6})

。再把

x

的係數提出來：

2 cos (2 x - \frac{π}{6}) = 2 cos 2 (x - \frac{π}{12})

，這是

y = 2 cos 2 x

向右平移

\frac{π}{12}

的圖形，所以

θ = \frac{π}{12}

。

平移量要看「

x

減掉多少」，所以先把

2

提出來；直接讀成

\frac{π}{6}

就會選到 (C)。函數的週期是

π

，平移

\frac{π}{12} + k π

都會重合，選項中只有

\frac{π}{12}

。

第 5 題答案 (E)。

sin θ < 0

且

cos θ > 0

表示

θ

是第四象限角，逐一找同界角。(A)

357

弳：

2 π \approx 6.2832

，

357 - 56 \times 2 π \approx 357 - 351.86 = 5.14

，而

\frac{3 π}{2} \approx 4.71 < 5.14 < 6.28

，在第四象限。(B)

3.57 π - 2 π = 1.57 π

，

1.5 π < 1.57 π < 2 π

，在第四象限。(C)

27 0^{\circ} < 35 7^{\circ} < 36 0^{\circ}

，在第四象限。(D)

135 7^{\circ} - 3 \times 36 0^{\circ} = 27 7^{\circ}

，在第四象限。(E)

35 π^{\circ} \approx 109.9 6^{\circ}

，在第二象限，

sin θ > 0

、

cos θ < 0

，無法滿足。

(E) 的單位是度，

35 π^{\circ}

就是大約

110

度；若當成

35 π

弧度就會判斷成別的位置。

02單選第 3、4、6 題：伸縮平移後的正弦函數、根的和、交點個數

第 3 題答案 (C)。題幹照流傳版本，本題依答案以「鉛直方向伸縮

3

倍（振幅變

3

）、水平方向伸縮

\frac{1}{2}

倍（週期減半）」說明。鉛直伸縮

3

倍得

y = 3 sin x

；水平伸縮

\frac{1}{2}

倍得

y = 3 sin 2 x

；向上平移

2

得

g (x) = 3 sin 2 x + 2

，即

a = 3

、

b = 2

、

c = 2

。當

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

時

0 \leq 2 x \leq π

，

0 \leq sin 2 x \leq 1

，所以

2 \leq g (x) \leq 5

。最大值

5

、最小值

2

，和為

7

。

流傳版本題幹印作「以

y

軸為基準線，沿鉛直方向伸縮」「以

x

軸為基準線，沿水平方向伸縮」；一般講法是鉛直伸縮以

x

軸為基準、水平伸縮以

y

軸為基準，兩條基準線的寫法疑似對調。題幹照印不改，伸縮的方向與倍數照字面，得到的

g (x)

與答案相符。另外注意

2 x

只走到

π

，

sin 2 x

的最小值是

0

而不是

- 1

。

第 4 題答案 (B)。

3 sin 2 x + 2 = 3

即

sin 2 x = \frac{1}{3}

。令

t = 2 x

，

- 2 π \leq t \leq 2 π

。設銳角

α

滿足

sin α = \frac{1}{3}

，則在

0 \leq t \leq 2 π

內的解是

t = α

、

π - α

（和為

π

）；各減

2 π

得

- 2 π \leq t < 0

內的解

t = α - 2 π

、

- π - α

（和為

- 3 π

）。四個

t

的和是

π - 3 π = - 2 π

，所以四個

x

的和是

\frac{- 2 π}{2} = - π

。

不必求出

α

：每一對解都對稱於正弦圖形的最高點（

t = \frac{π}{2}

與

t = - \frac{3 π}{2}

），和分別是

π

與

- 3 π

。最後記得

t = 2 x

，要除以

2

。

第 6 題答案 (D)。

sin (2 x - π) = - sin (π - 2 x) = - sin 2 x

，方程式化為

sin 2 x = - \frac{x}{2 π}

，看

y = sin 2 x

與直線

y = - \frac{x}{2 π}

的交點。

x = 0

是一個交點。

x > 0

時直線在

x

軸下方，而且

∣ sin 2 x ∣ \leq 1

，只需看

0 < x \leq 2 π

；

sin 2 x < 0

的區間是

(\frac{π}{2}, π)

與

(\frac{3 π}{2}, 2 π)

。在第一段，直線由

- \frac{1}{4}

降到

- \frac{1}{2}

，正弦曲線由

0

降到

- 1

再回到

0

，穿過直線

2

次。在第二段，直線由

- \frac{3}{4}

降到

- 1

，曲線在

x = \frac{7 π}{4}

降到

- 1

，此時直線的高度是

- \frac{7}{8}

，曲線在直線下方；兩端曲線都在直線上方，所以也穿過

2

次。

x > 0

共

4

個交點。兩個函數都是奇函數，圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

4

個。合計

1 + 4 + 4 = 9

個實根。

關鍵在最後一段：直線到

x = 2 π

才降到

- 1

，而曲線在

x = \frac{7 π}{4}

就到

- 1

，所以這一段仍有兩個交點。

x > 2 π

時直線低於

- 1

，不再有交點。

方程式一邊是三角函數、一邊是一次式時，畫出兩個圖形數交點；先用值域決定要看的範圍，再逐段數。

03多選第 7、10 題：三角函數圖形的基本性質

第 7 題答案 (A)(E)。(A) 對：

- 1 \leq sin 3 x \leq 1

，最大值

2

。(B) 錯：週期是

\frac{2 π}{3}

。(C) 錯：餘弦圖形的對稱軸通過最高點或最低點，而

x = \frac{π}{6}

時

2 cos \frac{π}{2} = 0

，不是最高或最低點。(D) 錯：

x = 0

時

y = 2

，圖形不通過原點；

2 cos (- 3 x) = 2 cos 3 x

，圖形對稱於

y

軸，不對稱於原點。(E) 對：

y = tan x

的值域是全體實數，一定有

x

使

tan x = 100

。

(\frac{π}{6}, 0)

是

y = 2 cos 3 x

圖形的對稱中心，不是對稱軸上的最高或最低點。

第 10 題答案 (C)(E)。正切函數的週期是

π

，所以

tan (x - π) = tan x

，

y = 2 tan (x - π)

就是

y = 2 tan x

。(A) 錯：週期是

π

。(B) 錯：正切函數沒有最大值與最小值，不談振幅。(C) 對。(D) 錯：定義域是

x \neq = \frac{π}{2} + k π

（

k

為整數）；選項把

x = k π

也排除了，但

x = 0

、

π

等都有定義。(E) 對：值域是全體實數。

係數

2

只把圖形沿鉛直方向拉長，不改變週期、定義域與值域。

04多選第 8、9 題：第三象限角的倍角與半角、圓錐展開圖

第 8 題答案 (A)(B)(C)(E)。

tan θ = \frac{3}{4} > 0

，

θ

在第一或第三象限；

P

的

y

坐標是負的，所以在第三象限，(A) 對。設

P (x, - 6)

，

\frac{- 6}{x} = \frac{3}{4}

得

x = - 8

，

\overline{O P} = 64 + 36 = 10

，(B) 對。於是

sin θ = - \frac{3}{5}

、

cos θ = - \frac{4}{5}

。(C)

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = \frac{24}{25} > 0

，對。(D)

cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ = \frac{7}{25}

，

cos 3 θ = cos (2 θ + θ) = \frac{7}{25} \cdot (- \frac{4}{5}) - \frac{24}{25} \cdot (- \frac{3}{5}) = \frac{44}{125} > 0

，錯。(E)

tan \frac{θ}{2} = \frac{sin \frac{θ}{2}}{cos \frac{θ}{2}} = \frac{2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2}}{2 cos ^{2} \frac{θ}{2}} = \frac{sin θ}{1 + cos θ} = \frac{- \frac{3}{5}}{\frac{1}{5}} = - 3 < 0

，對。

θ

是廣義角，可以相差

2 π

的整數倍；但

sin 2 θ

、

cos 3 θ

、

tan \frac{θ}{2}

都能由

sin θ

、

cos θ

唯一算出，所以結論不受影響。

第 9 題答案 (B)(C)。設底面半徑

r

：

\frac{1}{3} π r^{2} \cdot 5 = \frac{4 5 π}{3}

，得

r^{2} = 4

，

r = 2

。母線長

= r^{2} + h^{2} = 4 + 5 = 3

。側面展開成扇形時，扇形的半徑是母線長

3

，弧長是底面圓周長

2 π \cdot 2 = 4 π

，面積

= \frac{1}{2} \times 3 \times 4 π = 6 π

。所以 (B)、(C) 正確，(A)、(D)、(E) 錯誤。

扇形的半徑是母線長，不是底面半徑

2

；圓心角是

\frac{4 π}{3}

弧度，(D) 把圓心角當成了弧長。

05多選第 11 題、選填第 15、16 題：展開後疊合

第 11 題答案 (A)(B)(E)。用和差角公式展開：

sin (x + \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x

，

cos (x - \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} cos x + \frac{1}{2} sin x

，相減得

f (x) = \frac{3 - 1}{2} (sin x - cos x)

。而

sin x - cos x = 2 sin (x - \frac{π}{4})

，所以

f (x) = \frac{6 - 2}{2} sin (x - \frac{π}{4})

。(A) 對：

x = \frac{3 π}{4}

時取得最大值

\frac{6 - 2}{2}

。(B) 對：最小值發生在

x - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}

，即

x = \frac{7 π}{4}

。(C) 錯：週期是

2 π

。(D) 錯：

\frac{13 π}{20} - \frac{π}{4} = \frac{2 π}{5}

、

\frac{17 π}{20} - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{5}

，而

sin \frac{3 π}{5} = sin (π - \frac{2 π}{5}) = sin \frac{2 π}{5}

，兩個函數值相等。(E) 對：

x = \frac{11 π}{4}

時

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{2}

，

f

取得最大值，圖形對稱於通過最高點的鉛直線。

(D) 的兩個點

\frac{13 π}{20}

、

\frac{17 π}{20}

剛好對稱於

x = \frac{3 π}{4}

（最高點的位置），所以函數值相等，不是小於。

第 15 題

2 sin (\frac{π}{6} - x) = 2 (\frac{1}{2} cos x - \frac{3}{2} sin x) = cos x - 3 sin x

，所以

y = - 3 sin x - cos x = - 2 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = - 2 sin (x + \frac{π}{6})

。

x

為任意實數，

- 1 \leq sin (x + \frac{π}{6}) \leq 1

，最小值為

- 2

（例如

x = \frac{π}{3}

時）。

兩項的角不同，不能直接說最小值是

- 2 - 2 = - 4

；要先展開成同一個角再疊合。

第 16 題

sin x - 3 cos x = 2 (\frac{1}{2} sin x - \frac{3}{2} cos x) = 2 sin (x - \frac{π}{3})

，方程式化為

sin (x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

。由

π < x < 2 π

得

\frac{2 π}{3} < x - \frac{π}{3} < \frac{5 π}{3}

，這個範圍內正弦值為

\frac{1}{2}

的角只有

\frac{5 π}{6}

，所以

x = \frac{5 π}{6} + \frac{π}{3} = \frac{7 π}{6}

，空格填

\frac{7}{6}

。

驗算：

sin \frac{7 π}{6} - 3 cos \frac{7 π}{6} = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1

。另一個解

x - \frac{π}{3} = \frac{π}{6}

即

x = \frac{π}{2}

不在範圍內。

角不同的正弦、餘弦先用和差角公式展開成同一個角，再疊合成單一正弦；極值、週期、對稱軸都從疊合後的式子讀。

06選填第 12、13、14、17 題：特殊角、時針、正切和角、倍角

第 12 題

cos \frac{5 π}{4} = - \frac{2}{2}

，所以

2 cos \frac{5 π}{4} = - 1

；

sin \frac{3 π}{2} = - 1

；

sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}

。原式

= - 1 + (- 1) - (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}

。

第 13 題時針

12

小時轉一圈

2 π

弧度，每小時轉

\frac{π}{6}

弧度。

2

小時

40

分鐘是

\frac{8}{3}

小時，轉過

\frac{8}{3} \times \frac{π}{6} = \frac{4 π}{9}

弧度，空格填

\frac{4}{9}

。

題目問的是時針，不是分針；這裡只問轉過的角度大小，不計順時針的負號。

第 14 題

A

是三角形的內角且

cos A = \frac{3}{5} > 0

，所以

A

是銳角，

sin A = \frac{4}{5}

，

tan A = \frac{4}{3}

。因為

C = π - (A + B)

，

tan C = - tan (A + B) = - \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B} = - \frac{\frac{4}{3} + 1}{1 - \frac{4}{3}} = - \frac{\frac{7}{3}}{- \frac{1}{3}} = 7

。

tan (π - α) = - tan α

，前面的負號不要漏掉。

第 17 題先看

△ A B C

。過

C

作直線

A B

的垂線，垂足為

H

。因為

∠ A B C = 13 5^{\circ}

是鈍角，

H

在

\overline{A B}

過

B

的延長線上，且

∠ C B H = 4 5^{\circ}

，所以

\overline{B H} = \overline{C H}

，設為

h

。在直角三角形

A C H

中，

(7 + h)^{2} + h^{2} = 1 3^{2}

，即

h^{2} + 7 h - 60 = 0

，

(h + 12) (h - 5) = 0

，

h = 5

。令

∠ B A C = α

，則

sin α = \frac{5}{13}

、

cos α = \frac{12}{13}

。

\overline{A C}

平分

∠ D A B

，所以

∠ D A B = 2 α

，

sin 2 α = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot \frac{12}{13} = \frac{120}{169}

。

D

到直線

A B

的距離

= \overline{A D} sin ∠ D A B = 13 \times \frac{120}{169} = \frac{120}{13}

。

也可以在

△ A B C

用餘弦定理求出

\overline{B C} = 52

，再用正弦定理得

sin α = \frac{5}{13}

，結果相同。

cos 2 α = \frac{119}{169} > 0

，

∠ D A B

是銳角。

07選填第 18、19、20 題：由圖形求係數、弧長比、兩動點的距離

第 18 題最高點的

y

坐標是

3

、最低點是

- 3

，且

a > 0

，所以

a = 3

。圖形在

x = 2

到

x = 12

之間剛好是一個週期，週期

= 10 = \frac{2 π}{b}

，

b = \frac{π}{5}

。圖形在

x = 2

通過

x

軸並且往上走，像

y = 3 sin \frac{π}{5} x

向右平移

2

：

y = 3 sin \frac{π}{5} (x - 2) = 3 sin (\frac{π}{5} x - \frac{2 π}{5})

，所以

c = - \frac{2 π}{5}

，符合

∣ c ∣ < π

。

c

不是

- 2

：平移量

2

要乘上

b

才是

c

。若只看「

x = 2

時函數值為

0

」，

c = \frac{3 π}{5}

也滿足，但那時圖形在

x = 2

是往下走的，與圖不合。

第 19 題

P (cos θ, sin θ)

在以原點為圓心、半徑

1

的圓上，

θ

由

0

到

\frac{π}{2}

，

Γ_{1}

是圓心角

\frac{π}{2}

的弧，

S_{1} = 1 \times \frac{π}{2} = \frac{π}{2}

。

Q (2 cos 3 θ, 2 sin 3 θ)

在半徑

2

的圓上，角

3 θ

由

0

到

\frac{3 π}{2}

，沒有重複走過的部分，

Γ_{2}

是圓心角

\frac{3 π}{2}

的弧，

S_{2} = 2 \times \frac{3 π}{2} = 3 π

。

\frac{S _{2}}{S _{1}} = \frac{3 π}{π /2} = 6

。

半徑變

2

倍、圓心角變

3

倍，弧長變

2 \times 3 = 6

倍。

第 20 題

\overline{P Q}^{2} = (2 cos 3 θ - cos θ)^{2} + (2 sin 3 θ - sin θ)^{2} = 4 + 1 - 4 (cos 3 θ cos θ + sin 3 θ sin θ) = 5 - 4 cos (3 θ - θ) = 5 - 4 cos 2 θ

。

0 \leq θ \leq \frac{π}{2}

時

0 \leq 2 θ \leq π

，

- 1 \leq cos 2 θ \leq 1

，所以

1 \leq \overline{P Q}^{2} \leq 9

。最大值

M = 3

（

θ = \frac{π}{2}

時，

P (0, 1)

、

Q (0, - 2)

），最小值

m = 1

（

θ = 0

時，

P (1, 0)

、

Q (2, 0)

），答案

(3, 1)

。

也可以看成三角形

O P Q

中

\overline{O P} = 1

、

\overline{O Q} = 2

、夾角

2 θ

的餘弦定理。

兩個點都在以原點為圓心的圓上時，距離的平方用差角公式化成只含夾角餘弦的式子。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

黎明高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 6 題要把方程式化成正弦曲線與斜直線的交點，逐段數清楚共九個；第 4 題四個根要用圖形的對稱兩兩配對再相加；第 8 題角在第三象限，半角與三倍角的正負要實際算出來；第 17 題要先在三角形 ABC 求出半個角的正餘弦，再用倍角公式。

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題目取自黎明高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

黎明高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選第 1、2、5 題：弧長、疊合與平移、象限判斷

02單選第 3、4、6 題：伸縮平移後的正弦函數、根的和、交點個數

03多選第 7、10 題：三角函數圖形的基本性質

04多選第 8、9 題：第三象限角的倍角與半角、圓錐展開圖

05多選第 11 題、選填第 15、16 題：展開後疊合

06選填第 12、13、14、17 題：特殊角、時針、正切和角、倍角

07選填第 18、19、20 題：由圖形求係數、弧長比、兩動點的距離

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黎明高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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