段考詳解範圍：三角函數(弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角公式、正餘弦的疊合)

基隆高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 6 題（36 分）、填充題 9 題共 10 格（50 分）、混合題 1 題組 2 小題（14 分）

第壹部分、選擇（填）題（占 86 分）　一、單選題（共 36 分）｜說明：請於答案卷卡上答案格之對應欄位劃記正確答案。第 01 題至第 06 題，每題 6 分。

設

a = cos 1

、

b = cos 2

、

c = sin 3

、

d = sin 4

，則何者值最大？

(A) $a$
(B) $b$
(C) $c$
(D) $d$

將函數

y = sin (x)

的圖形由

y

軸左右往中央壓縮為

\frac{1}{3}

倍，再向左平移

\frac{π}{6}

個單位，所得新圖形的函數為何？

(A) $y = sin (3 x - \frac{π}{6})$
(B) $y = sin (3 x + \frac{π}{6})$
(C) $y = sin (3 x + \frac{π}{2})$
(D) $y = sin (3 x - \frac{π}{2})$

音叉振動時，只會發出單一頻率，因此可做為調音的工具。右圖記錄

\frac{1}{50}

秒中，音叉發出的聲音在儀器上的圖形，其中

y

為震動的位移（公分），

t

則為時間（秒），假設其波形為正弦函數的圖形

y = sin (a t)

，則

a =

？

(A) $50 π$
(B) $100 π$
(C) $200 π$
(D) $400 π$

載入中...

右圖為三角函數

y = sin (a x - b) + c

的部分圖形，其中

a > 0

，則下列各項敘述何者錯誤？

(A) $a = 3$
(B) $b$ 可為 $\frac{2 π}{3}$
(C) $c = 0$
(D) $y = sin (a x - b) + c$ 之週期為 $\frac{2 π}{3}$

載入中...

sin 7 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} - sin 2 0^{\circ} cos 7 0^{\circ} =

？

(A) $sin 9 0^{\circ}$
(B) $cos 9 0^{\circ}$
(C) $sin 5 0^{\circ}$
(D) $cos 5 0^{\circ}$

f (x) = 5 sin x - 12 cos x - 7

之最大值為

m

，最小值為

n

，則

(m, n)

？

(A) $(6, - 20)$
(B) $(13, - 13)$
(C) $(6, - 6)$
(D) $(20, - 6)$

二、填充題（共 50 分）｜說明：請於答案卷卡上答案格之對應欄位劃記答案，每題之答案完全答對才給分。第 07 題至第 15 題，共 10 題，每題 5 分。若答案為分數，請化簡至最簡分數，否則不予計分。（第 08 題的兩小題各算一題）

\frac{5 π}{12}

弳＝____ 度。

設計師為天文館設計以不銹鋼片製成的月亮形狀，其中有一款設計圖如右圖所示：圖中，圓弧

QR T

是一個以

O

點為圓心、

\overline{QT}

為直徑的半圓，

\overline{QT} = 22

。圓弧

QS T

的圓心在

P

點，

\overline{P Q} = \overline{P T} = 2

。圓弧

QR T

與圓弧

QS T

所圍出的灰色區域

QR T S Q

即為某一天所見的月亮形狀。試回答以下兩小題：(1) 此灰色區域的面積為 ____ 單位。　(2) 此灰色區域的周長為 ____ 單位。（原卷第 (2) 小題的答案格形式為

(◯ 2 + ◯) π

）

載入中...

在路上看到某輛汽車的輪框，如右圖，已知其軸心為

O

，半徑

30

公分，行駛前，

\overline{O A}

垂直於地面。若此汽車向左方前進，此時車輪逆時針滾動。若車輪在地上滾動

3600

公分的距離，此時輪框上的

A

點繞軸心

O

滾動了 ____ 弳？

載入中...

試以代數觀點，求在

0 \leq x \leq 2 π

的範圍中，

y = sin (2 x)

的函數圖形與

y = 2 cos (x)

的函數圖形有 ____ 個交點？

試以幾何觀點，求方程式

sin 2 x = \frac{2 x}{π}

之實根有 ____ 個。

在

△ A B C

中，

sin A = \frac{1}{5}

，

cos B = \frac{- 1}{10}

，求

∠ C =

____ 度。

設

tan β = \frac{1}{4}

，

tan (α + β) = 1

，則

tan α =

____。

已知

cos θ = \frac{- 4}{5}

，求

cos (2 θ) =

____。

函數

f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{6}) - 2 cos x

，其中

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

，則此函數在此範圍之最高點座標為 ____。（原卷的答案格形式為

(\frac{◯ π}{3}, ◯)

）

第貳部分、混合題（占 14 分）｜說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在答題卷標示題號的作答區內作答。請由左而右橫式書寫，第 17 題作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

16-17 題為題組（第 16～17 題）　如圖，小先將一重量不均勻之矩形磚塊斜靠於牆壁（如右圖），其中

\overline{A B} = 3

，

\overline{B C} = 1

，

∠ O A B = x

(0 < x < \frac{π}{2})

。

將

C

點到地面的距離以

x

表示。（6 分）

載入中...

經反覆實驗後，發現若

C

點到地面的距離不大於

3

，則此磚塊可傾斜斜靠於牆壁上（即若

C

點到地面的距離大於或等於

3

，則磚塊無法傾斜靠於牆壁上），試求磚塊可傾斜靠於牆壁上之角度

x

之範圍為何？（8 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(C)

第 3 題(D)

第 4 題(B)

第 5 題(C)

第 6 題(A)

第 7 題

75

第 8 題(1)

2

　(2)

(2 + 1) π

第 9 題

120

第 10 題

2

第 11 題

3

第 12 題

45

第 13 題

\frac{3}{5}

第 14 題

\frac{7}{25}

第 15 題

(\frac{2 π}{3}, 2)

第 16 題

3 sin x + cos x

（也可寫成

2 sin (x + \frac{π}{6})

）

第 17 題

0 < x \leq \frac{π}{6}

（即

0^{\circ} < x \leq 3 0^{\circ}

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～4 題：弧度下的函數值、圖形的伸縮平移、由圖形讀係數

第 1 題答案 (A)。用

π \approx 3.14

判斷每個角的位置。

0 < 1 < \frac{π}{3} \approx 1.05

，餘弦在

0

到

\frac{π}{2}

之間遞減，所以

a = cos 1 > cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

。

\frac{π}{2} < 2 < π

，

b = cos 2 < 0

。

\frac{5 π}{6} \approx 2.62 < 3 < π

，正弦在

\frac{π}{2}

到

π

之間遞減，所以

0 < c = sin 3 < sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

。

π < 4 < \frac{3 π}{2}

，

d = sin 4 < 0

。因此

a

最大。

這裡的

1

、

2

、

3

、

4

沒有寫「度」，單位是弳；

1

弳約

57. 3^{\circ}

。四個值約為

0.54

、

- 0.42

、

0.14

、

- 0.76

。

第 2 題答案 (C)。水平方向以

y

軸為基準壓縮為

\frac{1}{3}

倍，是把

x

換成

3 x

，得

y = sin 3 x

。再向左平移

\frac{π}{6}

，是把

x

換成

x + \frac{π}{6}

，得

y = sin (3 (x + \frac{π}{6})) = sin (3 x + \frac{π}{2})

。

平移是對

x

本身做的，所以

\frac{π}{6}

要乘上

3

才是括號裡加的量；(B) 是把

\frac{π}{6}

直接加在

3 x

後面的結果。可以用一點檢查：原圖的最高點

(\frac{π}{2}, 1)

壓縮後到

(\frac{π}{6}, 1)

，左移後到

(0, 1)

，而

sin (0 + \frac{π}{2}) = 1

。

第 3 題答案 (D)。圖形從原點出發，到虛線為止恰好重複了

4

次，而這段時間是

\frac{1}{50}

秒，所以週期是

\frac{1}{50} \div 4 = \frac{1}{200}

秒。圖形從原點出發先上升，

a > 0

，

y = sin (a t)

的週期是

\frac{2 π}{a}

，由

\frac{2 π}{a} = \frac{1}{200}

得

a = 400 π

。

\frac{1}{50}

秒是整段記錄的時間，不是一個週期；若把它當成週期會得到

100 π

。

第 4 題答案 (B)。最高與最低的兩條虛線到

x

軸等距，圖形上下以

x

軸為中心，所以

c = 0

，(C) 正確。圖形在

x = \frac{π}{6}

上升通過

x

軸、在

x = \frac{π}{2}

下降通過

x

軸，這是半個週期，所以週期是

2 (\frac{π}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 π}{3}

，(D) 正確；由

\frac{2 π}{a} = \frac{2 π}{3}

得

a = 3

，(A) 正確。最高點在

x = \frac{π}{3}

：

sin (3 \cdot \frac{π}{3} - b) = 1

，即

π - b = \frac{π}{2} + 2 k π

，

b = \frac{π}{2} - 2 k π

（

k

為整數），

b

可以是

\frac{π}{2}

、

- \frac{3 π}{2}

、

\frac{5 π}{2}

等，但不會是

\frac{2 π}{3}

，(B) 錯誤。

直接代入檢查：若

b = \frac{2 π}{3}

，

x = \frac{π}{3}

時

y = sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

，不是最高點的高度

1

。取

b = \frac{π}{2}

時

y = sin (3 x - \frac{π}{2})

，

x = 0

時

y = - 1

，與圖中

B

點在

y

軸上的最低處相符。

02單選第 5、6 題：差角公式、疊合求極值

第 5 題答案 (C)。式子的形狀是

sin α cos β - cos α sin β = sin (α - β)

，其中

α = 7 0^{\circ}

、

β = 2 0^{\circ}

，所以原式

= sin (7 0^{\circ} - 2 0^{\circ}) = sin 5 0^{\circ}

。

也可以用餘角：

cos 2 0^{\circ} = sin 7 0^{\circ}

、

sin 2 0^{\circ} = cos 7 0^{\circ}

，原式

= sin^{2} 7 0^{\circ} - cos^{2} 7 0^{\circ} = - cos 14 0^{\circ} = cos 4 0^{\circ} = sin 5 0^{\circ}

。

第 6 題答案 (A)。

5^{2} + 1 2^{2} = 13

，所以

5 sin x - 12 cos x = 13 (\frac{5}{13} sin x - \frac{12}{13} cos x) = 13 sin (x - φ)

，其中

cos φ = \frac{5}{13}

、

sin φ = \frac{12}{13}

。

x

是任意實數，

13 sin (x - φ)

的範圍是

- 13

到

13

，再減

7

：最大值

m = 13 - 7 = 6

，最小值

n = - 13 - 7 = - 20

，

(m, n) = (6, - 20)

。

(B) 是忘了減

7

的結果。

03填充第 7～9 題：度與弧度、彎月形的面積與周長、滾動的弧度

第 7 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

\frac{5 π}{12}

弳

= \frac{5}{12} \times 18 0^{\circ} = 7 5^{\circ}

。

第 8 題(1) 半圓

QR T

的半徑是

\frac{2 2}{2} = 2

，面積

\frac{1}{2} π (2)^{2} = π

。

△ P QT

中

\overline{P Q}^{2} + \overline{P T}^{2} = 4 + 4 = 8 = \overline{QT}^{2}

，所以

∠ QP T = \frac{π}{2}

。扇形

P QT

（以

P

為圓心、弧

QS T

）的面積是

\frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{2} = π

，

△ P QT

的面積是

\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2

，所以弦

\overline{QT}

與弧

QS T

之間的弓形面積是

π - 2

。灰色區域是半圓扣掉這塊弓形：

π - (π - 2) = 2

。(2) 周長是兩段弧長的和：半圓弧

QR T

長

2 \times π = 2 π

；弧

QS T

長

2 \times \frac{π}{2} = π

。合計

(2 + 1) π

。

面積的答案

2

剛好等於

△ P QT

的面積，因為半圓與扇形的面積都是

π

。周長不包含虛線

\overline{QT}

，它不是灰色區域的邊界。

第 9 題車輪在地面上滾動而不滑動時，輪框上一點繞軸心轉過的弧長等於車輪前進的距離。弧長

=

半徑

\times

圓心角（弳），所以轉過的角是

\frac{3600}{30} = 120

弳。

120

弳約是

\frac{120}{2 π} \approx 19.1

圈。用弧度時直接相除就得到答案，不必先算圈數。

04填充第 10、11 題：用代數數交點、用圖形數實根

第 10 題交點的

x

坐標滿足

sin 2 x = 2 cos x

。用倍角公式

sin 2 x = 2 sin x cos x

：

2 sin x cos x - 2 cos x = 0

，

2 cos x (sin x - 1) = 0

，所以

cos x = 0

或

sin x = 1

。在

0 \leq x \leq 2 π

內，

cos x = 0

得

x = \frac{π}{2}

、

\frac{3 π}{2}

；

sin x = 1

得

x = \frac{π}{2}

，與前面重複。相異的

x

只有

\frac{π}{2}

與

\frac{3 π}{2}

，交點是

(\frac{π}{2}, 0)

與

(\frac{3 π}{2}, 0)

，共

2

個。

原卷參考答案為

3

，本站重算為

2

。兩個因式共解出三個值

\frac{π}{2}

、

\frac{3 π}{2}

、

\frac{π}{2}

，其中

\frac{π}{2}

出現兩次，對應的是同一個交點；以數值程式在

0 \leq x \leq 2 π

內細分檢查，兩函數值相等的位置也只有這兩處。請以任課老師的說明為準。

第 11 題實根個數就是

y = sin 2 x

與直線

y = \frac{2 x}{π}

的交點個數。直線通過原點與

(\frac{π}{2}, 1)

、

(- \frac{π}{2}, - 1)

。

x > \frac{π}{2}

時直線的高度大於

1

，

x < - \frac{π}{2}

時小於

- 1

，而

sin 2 x

只在

- 1

與

1

之間，所以交點只可能在

- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

。

x = 0

是一個交點。在

0 < x \leq \frac{π}{4}

，曲線由

0

上升到

1

，而且這一段圖形向上鼓起，位在連接

(0, 0)

與

(\frac{π}{4}, 1)

的線段上方，而直線在

x = \frac{π}{4}

時才到

\frac{1}{2}

，所以曲線都在直線上方，沒有交點。在

\frac{π}{4} \leq x \leq \frac{π}{2}

，曲線由

1

遞減到

0

，直線由

\frac{1}{2}

遞增到

1

，恰好交於一點。兩個圖形都對稱於原點，所以

x < 0

也恰有一個交點。共

3

個實根。

載入中...

x = \frac{π}{2}

不是根：那裡

sin 2 x = sin π = 0

，直線的高度是

1

。

05填充第 12～15 題：和角、正切差角、倍角、疊合後在限制範圍求最高點

第 12 題

cos B < 0

，

B

是鈍角，

sin B = 1 - \frac{1}{10} = \frac{3}{10}

。三角形最多一個鈍角，所以

A

是銳角，

cos A = 1 - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}

。

C = 18 0^{\circ} - (A + B)

，所以

cos C = - cos (A + B) = - (cos A cos B - sin A sin B) = - (\frac{2}{5} \cdot \frac{- 1}{10} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{10}) = \frac{5}{50} = \frac{1}{2}

。

C

是三角形的內角，所以

∠ C = 4 5^{\circ}

。

用

cos C

來求比較安全：

0^{\circ}

到

18 0^{\circ}

之間餘弦值對應的角只有一個；若算

sin C = \frac{1}{2}

，還要另外排除

13 5^{\circ}

。

第 13 題把

α

寫成

(α + β) - β

，用正切的差角公式：

tan α = \frac{tan ( α + β ) - tan β}{1 + tan ( α + β ) tan β} = \frac{1 - \frac{1}{4}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{3}{5}

。

也可以設

tan α = t

，由

\frac{t + \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4} t} = 1

解得

t = \frac{3}{5}

。

第 14 題用餘弦的倍角公式

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = 2 \times \frac{16}{25} - 1 = \frac{7}{25}

。

這個公式只用到

cos θ

的平方，不需要知道

θ

在第二還是第三象限。

第 15 題先用和角公式展開：

2 sin (x + \frac{π}{6}) = 2 (sin x cos \frac{π}{6} + cos x sin \frac{π}{6}) = 3 sin x + cos x

，所以

f (x) = 3 sin x - cos x = 2 (\frac{3}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x) = 2 sin (x - \frac{π}{6})

。

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

時，

\frac{π}{3} \leq x - \frac{π}{6} \leq \frac{7 π}{6}

，這個範圍包含

\frac{π}{2}

，所以最大值是

2

，發生在

x - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

，即

x = \frac{2 π}{3}

。最高點為

(\frac{2 π}{3}, 2)

。

有限制範圍時，要先確認

sin

裡面的角能不能取到

\frac{π}{2}

，能取到最大值才是振幅。

06混合題第 16、17 題：把高度寫成角度的函數、疊合後解不等式

第 16 題

B

在牆上，

△ O A B

是直角三角形，

B

到地面的距離是

\overline{O B} = \overline{A B} sin x = 3 sin x

。

\overline{A B}

與地面夾

x

，矩形中

\overline{B C} ⊥ \overline{A B}

，所以

\overline{B C}

與鉛直方向的夾角也是

x

，

C

比

B

高出

\overline{B C} cos x = cos x

。因此

C

點到地面的距離是

3 sin x + cos x

。疊合：

3 sin x + cos x = 2 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{π}{6})

。

用坐標也可以：取

O

為原點、地面為

x

軸、牆為

y

軸，

A (- 3 cos x, 0)

、

B (0, 3 sin x)

；由

A

到

B

的方向是

(cos x, sin x)

，把它逆時針轉

9 0^{\circ}

得由

B

到

C

的方向

(- sin x, cos x)

，所以

C

的

y

坐標是

3 sin x + cos x

。

第 17 題由第 16 題，條件是

2 sin (x + \frac{π}{6}) \leq 3

，即

sin (x + \frac{π}{6}) \leq \frac{3}{2}

。

0 < x < \frac{π}{2}

時

\frac{π}{6} < x + \frac{π}{6} < \frac{2 π}{3}

。在這個範圍內，正弦值等於

\frac{3}{2}

的角只有

\frac{π}{3}

（另一個

\frac{2 π}{3}

是端點、取不到）；角在

\frac{π}{6}

到

\frac{π}{3}

之間時正弦值不超過

\frac{3}{2}

，在

\frac{π}{3}

到

\frac{2 π}{3}

之間時正弦值大於

\frac{3}{2}

。所以

\frac{π}{6} < x + \frac{π}{6} \leq \frac{π}{3}

，即

0 < x \leq \frac{π}{6}

（

0^{\circ} < x \leq 3 0^{\circ}

）。

題幹照原卷：主要敘述是「不大於

3

可以斜靠」，括號內的補充寫「大於或等於

3

無法斜靠」，兩者在距離恰等於

3

（

x = \frac{π}{6}

）時不一致。本頁依主要敘述作答，含

x = \frac{π}{6}

，與原卷參考答案

0^{\circ} < x \leq 3 0^{\circ}

相同；若依括號內的說法，則為

0 < x < \frac{π}{6}

。

看到

a sin x + b cos x

先疊合成單一正弦；有限制範圍時，把範圍一起換成括號裡那個角的範圍，再從正弦圖形讀出極值或不等式的解。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

基隆高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題先壓縮再平移，平移量要乘上 3 才是括號裡加的量；第 4 題要由最高點的位置反推 b 的所有可能值；第 10 題兩個因式解出的角有重複，交點要數相異的；第 17 題解不等式前要先把 x 的範圍換成疊合後那個角的範圍。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自基隆高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數(弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角公式、正餘弦的疊合)

基隆高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 6 題（36 分）、填充題 9 題共 10 格（50 分）、混合題 1 題組 2 小題（14 分）

設

a = cos 1

、

b = cos 2

、

c = sin 3

、

d = sin 4

，則何者值最大？

(A) $a$
(B) $b$
(C) $c$
(D) $d$

將函數

y = sin (x)

的圖形由

y

軸左右往中央壓縮為

\frac{1}{3}

倍，再向左平移

\frac{π}{6}

個單位，所得新圖形的函數為何？

(A) $y = sin (3 x - \frac{π}{6})$
(B) $y = sin (3 x + \frac{π}{6})$
(C) $y = sin (3 x + \frac{π}{2})$
(D) $y = sin (3 x - \frac{π}{2})$

音叉振動時，只會發出單一頻率，因此可做為調音的工具。右圖記錄

\frac{1}{50}

秒中，音叉發出的聲音在儀器上的圖形，其中

y

為震動的位移（公分），

t

則為時間（秒），假設其波形為正弦函數的圖形

y = sin (a t)

，則

a =

？

(A) $50 π$
(B) $100 π$
(C) $200 π$
(D) $400 π$

載入中...

右圖為三角函數

y = sin (a x - b) + c

的部分圖形，其中

a > 0

，則下列各項敘述何者錯誤？

(A) $a = 3$
(B) $b$ 可為 $\frac{2 π}{3}$
(C) $c = 0$
(D) $y = sin (a x - b) + c$ 之週期為 $\frac{2 π}{3}$

載入中...

sin 7 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} - sin 2 0^{\circ} cos 7 0^{\circ} =

？

(A) $sin 9 0^{\circ}$
(B) $cos 9 0^{\circ}$
(C) $sin 5 0^{\circ}$
(D) $cos 5 0^{\circ}$

f (x) = 5 sin x - 12 cos x - 7

之最大值為

m

，最小值為

n

，則

(m, n)

？

(A) $(6, - 20)$
(B) $(13, - 13)$
(C) $(6, - 6)$
(D) $(20, - 6)$

\frac{5 π}{12}

弳＝____ 度。

設計師為天文館設計以不銹鋼片製成的月亮形狀，其中有一款設計圖如右圖所示：圖中，圓弧

QR T

是一個以

O

點為圓心、

\overline{QT}

為直徑的半圓，

\overline{QT} = 22

。圓弧

QS T

的圓心在

P

點，

\overline{P Q} = \overline{P T} = 2

。圓弧

QR T

與圓弧

QS T

所圍出的灰色區域

QR T S Q

(◯ 2 + ◯) π

）

載入中...

在路上看到某輛汽車的輪框，如右圖，已知其軸心為

O

，半徑

30

公分，行駛前，

\overline{O A}

垂直於地面。若此汽車向左方前進，此時車輪逆時針滾動。若車輪在地上滾動

3600

公分的距離，此時輪框上的

A

點繞軸心

O

滾動了 ____ 弳？

載入中...

試以代數觀點，求在

0 \leq x \leq 2 π

的範圍中，

y = sin (2 x)

的函數圖形與

y = 2 cos (x)

的函數圖形有 ____ 個交點？

試以幾何觀點，求方程式

sin 2 x = \frac{2 x}{π}

之實根有 ____ 個。

在

△ A B C

中，

sin A = \frac{1}{5}

，

cos B = \frac{- 1}{10}

，求

∠ C =

____ 度。

設

tan β = \frac{1}{4}

，

tan (α + β) = 1

，則

tan α =

____。

已知

cos θ = \frac{- 4}{5}

，求

cos (2 θ) =

____。

函數

f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{6}) - 2 cos x

，其中

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

，則此函數在此範圍之最高點座標為 ____。（原卷的答案格形式為

(\frac{◯ π}{3}, ◯)

）

16-17 題為題組（第 16～17 題）　如圖，小先將一重量不均勻之矩形磚塊斜靠於牆壁（如右圖），其中

\overline{A B} = 3

，

\overline{B C} = 1

，

∠ O A B = x

(0 < x < \frac{π}{2})

。

將

C

點到地面的距離以

x

表示。（6 分）

載入中...

經反覆實驗後，發現若

C

點到地面的距離不大於

3

，則此磚塊可傾斜斜靠於牆壁上（即若

C

點到地面的距離大於或等於

3

，則磚塊無法傾斜靠於牆壁上），試求磚塊可傾斜靠於牆壁上之角度

x

之範圍為何？（8 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(C)

第 3 題(D)

第 4 題(B)

第 5 題(C)

第 6 題(A)

第 7 題

75

第 8 題(1)

2

　(2)

(2 + 1) π

第 9 題

120

第 10 題

2

第 11 題

3

第 12 題

45

第 13 題

\frac{3}{5}

第 14 題

\frac{7}{25}

第 15 題

(\frac{2 π}{3}, 2)

第 16 題

3 sin x + cos x

（也可寫成

2 sin (x + \frac{π}{6})

）

第 17 題

0 < x \leq \frac{π}{6}

（即

0^{\circ} < x \leq 3 0^{\circ}

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～4 題：弧度下的函數值、圖形的伸縮平移、由圖形讀係數

第 1 題答案 (A)。用

π \approx 3.14

判斷每個角的位置。

0 < 1 < \frac{π}{3} \approx 1.05

，餘弦在

0

到

\frac{π}{2}

之間遞減，所以

a = cos 1 > cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

。

\frac{π}{2} < 2 < π

，

b = cos 2 < 0

。

\frac{5 π}{6} \approx 2.62 < 3 < π

，正弦在

\frac{π}{2}

到

π

之間遞減，所以

0 < c = sin 3 < sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

。

π < 4 < \frac{3 π}{2}

，

d = sin 4 < 0

。因此

a

最大。

這裡的

1

、

2

、

3

、

4

沒有寫「度」，單位是弳；

1

弳約

57. 3^{\circ}

。四個值約為

0.54

、

- 0.42

、

0.14

、

- 0.76

。

第 2 題答案 (C)。水平方向以

y

軸為基準壓縮為

\frac{1}{3}

倍，是把

x

換成

3 x

，得

y = sin 3 x

。再向左平移

\frac{π}{6}

，是把

x

換成

x + \frac{π}{6}

，得

y = sin (3 (x + \frac{π}{6})) = sin (3 x + \frac{π}{2})

。

平移是對

x

本身做的，所以

\frac{π}{6}

要乘上

3

才是括號裡加的量；(B) 是把

\frac{π}{6}

直接加在

3 x

後面的結果。可以用一點檢查：原圖的最高點

(\frac{π}{2}, 1)

壓縮後到

(\frac{π}{6}, 1)

，左移後到

(0, 1)

，而

sin (0 + \frac{π}{2}) = 1

。

第 3 題答案 (D)。圖形從原點出發，到虛線為止恰好重複了

4

次，而這段時間是

\frac{1}{50}

秒，所以週期是

\frac{1}{50} \div 4 = \frac{1}{200}

秒。圖形從原點出發先上升，

a > 0

，

y = sin (a t)

的週期是

\frac{2 π}{a}

，由

\frac{2 π}{a} = \frac{1}{200}

得

a = 400 π

。

\frac{1}{50}

秒是整段記錄的時間，不是一個週期；若把它當成週期會得到

100 π

。

第 4 題答案 (B)。最高與最低的兩條虛線到

x

軸等距，圖形上下以

x

軸為中心，所以

c = 0

，(C) 正確。圖形在

x = \frac{π}{6}

上升通過

x

軸、在

x = \frac{π}{2}

下降通過

x

軸，這是半個週期，所以週期是

2 (\frac{π}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 π}{3}

，(D) 正確；由

\frac{2 π}{a} = \frac{2 π}{3}

得

a = 3

，(A) 正確。最高點在

x = \frac{π}{3}

：

sin (3 \cdot \frac{π}{3} - b) = 1

，即

π - b = \frac{π}{2} + 2 k π

，

b = \frac{π}{2} - 2 k π

（

k

為整數），

b

可以是

\frac{π}{2}

、

- \frac{3 π}{2}

、

\frac{5 π}{2}

等，但不會是

\frac{2 π}{3}

，(B) 錯誤。

直接代入檢查：若

b = \frac{2 π}{3}

，

x = \frac{π}{3}

時

y = sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

，不是最高點的高度

1

。取

b = \frac{π}{2}

時

y = sin (3 x - \frac{π}{2})

，

x = 0

時

y = - 1

，與圖中

B

點在

y

軸上的最低處相符。

02單選第 5、6 題：差角公式、疊合求極值

第 5 題答案 (C)。式子的形狀是

sin α cos β - cos α sin β = sin (α - β)

，其中

α = 7 0^{\circ}

、

β = 2 0^{\circ}

，所以原式

= sin (7 0^{\circ} - 2 0^{\circ}) = sin 5 0^{\circ}

。

也可以用餘角：

cos 2 0^{\circ} = sin 7 0^{\circ}

、

sin 2 0^{\circ} = cos 7 0^{\circ}

，原式

= sin^{2} 7 0^{\circ} - cos^{2} 7 0^{\circ} = - cos 14 0^{\circ} = cos 4 0^{\circ} = sin 5 0^{\circ}

。

第 6 題答案 (A)。

5^{2} + 1 2^{2} = 13

，所以

5 sin x - 12 cos x = 13 (\frac{5}{13} sin x - \frac{12}{13} cos x) = 13 sin (x - φ)

，其中

cos φ = \frac{5}{13}

、

sin φ = \frac{12}{13}

。

x

是任意實數，

13 sin (x - φ)

的範圍是

- 13

到

13

，再減

7

：最大值

m = 13 - 7 = 6

，最小值

n = - 13 - 7 = - 20

，

(m, n) = (6, - 20)

。

(B) 是忘了減

7

的結果。

03填充第 7～9 題：度與弧度、彎月形的面積與周長、滾動的弧度

第 7 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

\frac{5 π}{12}

弳

= \frac{5}{12} \times 18 0^{\circ} = 7 5^{\circ}

。

第 8 題(1) 半圓

QR T

的半徑是

\frac{2 2}{2} = 2

，面積

\frac{1}{2} π (2)^{2} = π

。

△ P QT

中

\overline{P Q}^{2} + \overline{P T}^{2} = 4 + 4 = 8 = \overline{QT}^{2}

，所以

∠ QP T = \frac{π}{2}

。扇形

P QT

（以

P

為圓心、弧

QS T

）的面積是

\frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{2} = π

，

△ P QT

的面積是

\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2

，所以弦

\overline{QT}

與弧

QS T

之間的弓形面積是

π - 2

。灰色區域是半圓扣掉這塊弓形：

π - (π - 2) = 2

。(2) 周長是兩段弧長的和：半圓弧

QR T

長

2 \times π = 2 π

；弧

QS T

長

2 \times \frac{π}{2} = π

。合計

(2 + 1) π

。

面積的答案

2

剛好等於

△ P QT

的面積，因為半圓與扇形的面積都是

π

。周長不包含虛線

\overline{QT}

，它不是灰色區域的邊界。

第 9 題車輪在地面上滾動而不滑動時，輪框上一點繞軸心轉過的弧長等於車輪前進的距離。弧長

=

半徑

\times

圓心角（弳），所以轉過的角是

\frac{3600}{30} = 120

弳。

120

弳約是

\frac{120}{2 π} \approx 19.1

圈。用弧度時直接相除就得到答案，不必先算圈數。

04填充第 10、11 題：用代數數交點、用圖形數實根

第 10 題交點的

x

坐標滿足

sin 2 x = 2 cos x

。用倍角公式

sin 2 x = 2 sin x cos x

：

2 sin x cos x - 2 cos x = 0

，

2 cos x (sin x - 1) = 0

，所以

cos x = 0

或

sin x = 1

。在

0 \leq x \leq 2 π

內，

cos x = 0

得

x = \frac{π}{2}

、

\frac{3 π}{2}

；

sin x = 1

得

x = \frac{π}{2}

，與前面重複。相異的

x

只有

\frac{π}{2}

與

\frac{3 π}{2}

，交點是

(\frac{π}{2}, 0)

與

(\frac{3 π}{2}, 0)

，共

2

個。

原卷參考答案為

3

，本站重算為

2

。兩個因式共解出三個值

\frac{π}{2}

、

\frac{3 π}{2}

、

\frac{π}{2}

，其中

\frac{π}{2}

出現兩次，對應的是同一個交點；以數值程式在

0 \leq x \leq 2 π

內細分檢查，兩函數值相等的位置也只有這兩處。請以任課老師的說明為準。

第 11 題實根個數就是

y = sin 2 x

與直線

y = \frac{2 x}{π}

的交點個數。直線通過原點與

(\frac{π}{2}, 1)

、

(- \frac{π}{2}, - 1)

。

x > \frac{π}{2}

時直線的高度大於

1

，

x < - \frac{π}{2}

時小於

- 1

，而

sin 2 x

只在

- 1

與

1

之間，所以交點只可能在

- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

。

x = 0

是一個交點。在

0 < x \leq \frac{π}{4}

，曲線由

0

上升到

1

，而且這一段圖形向上鼓起，位在連接

(0, 0)

與

(\frac{π}{4}, 1)

的線段上方，而直線在

x = \frac{π}{4}

時才到

\frac{1}{2}

，所以曲線都在直線上方，沒有交點。在

\frac{π}{4} \leq x \leq \frac{π}{2}

，曲線由

1

遞減到

0

，直線由

\frac{1}{2}

遞增到

1

，恰好交於一點。兩個圖形都對稱於原點，所以

x < 0

也恰有一個交點。共

3

個實根。

載入中...

x = \frac{π}{2}

不是根：那裡

sin 2 x = sin π = 0

，直線的高度是

1

。

05填充第 12～15 題：和角、正切差角、倍角、疊合後在限制範圍求最高點

第 12 題

cos B < 0

，

B

是鈍角，

sin B = 1 - \frac{1}{10} = \frac{3}{10}

。三角形最多一個鈍角，所以

A

是銳角，

cos A = 1 - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}

。

C = 18 0^{\circ} - (A + B)

，所以

cos C = - cos (A + B) = - (cos A cos B - sin A sin B) = - (\frac{2}{5} \cdot \frac{- 1}{10} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{10}) = \frac{5}{50} = \frac{1}{2}

。

C

是三角形的內角，所以

∠ C = 4 5^{\circ}

。

用

cos C

來求比較安全：

0^{\circ}

到

18 0^{\circ}

之間餘弦值對應的角只有一個；若算

sin C = \frac{1}{2}

，還要另外排除

13 5^{\circ}

。

第 13 題把

α

寫成

(α + β) - β

，用正切的差角公式：

tan α = \frac{tan ( α + β ) - tan β}{1 + tan ( α + β ) tan β} = \frac{1 - \frac{1}{4}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{3}{5}

。

也可以設

tan α = t

，由

\frac{t + \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4} t} = 1

解得

t = \frac{3}{5}

。

第 14 題用餘弦的倍角公式

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = 2 \times \frac{16}{25} - 1 = \frac{7}{25}

。

這個公式只用到

cos θ

的平方，不需要知道

θ

在第二還是第三象限。

第 15 題先用和角公式展開：

2 sin (x + \frac{π}{6}) = 2 (sin x cos \frac{π}{6} + cos x sin \frac{π}{6}) = 3 sin x + cos x

，所以

f (x) = 3 sin x - cos x = 2 (\frac{3}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x) = 2 sin (x - \frac{π}{6})

。

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

時，

\frac{π}{3} \leq x - \frac{π}{6} \leq \frac{7 π}{6}

，這個範圍包含

\frac{π}{2}

，所以最大值是

2

，發生在

x - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

，即

x = \frac{2 π}{3}

。最高點為

(\frac{2 π}{3}, 2)

。

有限制範圍時，要先確認

sin

裡面的角能不能取到

\frac{π}{2}

，能取到最大值才是振幅。

06混合題第 16、17 題：把高度寫成角度的函數、疊合後解不等式

第 16 題

B

在牆上，

△ O A B

是直角三角形，

B

到地面的距離是

\overline{O B} = \overline{A B} sin x = 3 sin x

。

\overline{A B}

與地面夾

x

，矩形中

\overline{B C} ⊥ \overline{A B}

，所以

\overline{B C}

與鉛直方向的夾角也是

x

，

C

比

B

高出

\overline{B C} cos x = cos x

。因此

C

點到地面的距離是

3 sin x + cos x

。疊合：

3 sin x + cos x = 2 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{π}{6})

。

用坐標也可以：取

O

為原點、地面為

x

軸、牆為

y

軸，

A (- 3 cos x, 0)

、

B (0, 3 sin x)

；由

A

到

B

的方向是

(cos x, sin x)

，把它逆時針轉

9 0^{\circ}

得由

B

到

C

的方向

(- sin x, cos x)

，所以

C

的

y

坐標是

3 sin x + cos x

。

第 17 題由第 16 題，條件是

2 sin (x + \frac{π}{6}) \leq 3

，即

sin (x + \frac{π}{6}) \leq \frac{3}{2}

。

0 < x < \frac{π}{2}

時

\frac{π}{6} < x + \frac{π}{6} < \frac{2 π}{3}

。在這個範圍內，正弦值等於

\frac{3}{2}

的角只有

\frac{π}{3}

（另一個

\frac{2 π}{3}

是端點、取不到）；角在

\frac{π}{6}

到

\frac{π}{3}

之間時正弦值不超過

\frac{3}{2}

，在

\frac{π}{3}

到

\frac{2 π}{3}

之間時正弦值大於

\frac{3}{2}

。所以

\frac{π}{6} < x + \frac{π}{6} \leq \frac{π}{3}

，即

0 < x \leq \frac{π}{6}

（

0^{\circ} < x \leq 3 0^{\circ}

）。

題幹照原卷：主要敘述是「不大於

3

可以斜靠」，括號內的補充寫「大於或等於

3

無法斜靠」，兩者在距離恰等於

3

（

x = \frac{π}{6}

）時不一致。本頁依主要敘述作答，含

x = \frac{π}{6}

，與原卷參考答案

0^{\circ} < x \leq 3 0^{\circ}

相同；若依括號內的說法，則為

0 < x < \frac{π}{6}

。

看到

a sin x + b cos x

先疊合成單一正弦；有限制範圍時，把範圍一起換成括號裡那個角的範圍，再從正弦圖形讀出極值或不等式的解。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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上傳考卷

常見問題

基隆高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

基隆高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自基隆高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

基隆高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 17 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選第 1～4 題：弧度下的函數值、圖形的伸縮平移、由圖形讀係數

02單選第 5、6 題：差角公式、疊合求極值

03填充第 7～9 題：度與弧度、彎月形的面積與周長、滾動的弧度

04填充第 10、11 題：用代數數交點、用圖形數實根

05填充第 12～15 題：和角、正切差角、倍角、疊合後在限制範圍求最高點

06混合題第 16、17 題：把高度寫成角度的函數、疊合後解不等式

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常見問題

基隆高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

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03填充第 7～9 題：度與弧度、彎月形的面積與周長、滾動的弧度

04填充第 10、11 題：用代數數交點、用圖形數實根

05填充第 12～15 題：和角、正切差角、倍角、疊合後在限制範圍求最高點

06混合題第 16、17 題：把高度寫成角度的函數、疊合後解不等式

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基隆高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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高二第一次段考
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