段考詳解範圍：三角函數與指數函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合、指數函數的圖形與方程式）

臺南女中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題（25 分）、多選題 6 題（30 分）、填充題 9 題（45 分）

一、單選題（占 25 分）｜說明：第 1 題至第 5 題，每題 5 分。

對任意實數

x

而言，

3 2^{x^{2} + \frac{4}{5}}

的最小值為何？

(1) $4$
(2) $8$
(3) $16$
(4) $162$
(5) $32$

若

△ A B C

中，

tan \frac{A}{2} = \frac{1}{4}

，

tan B = \frac{1}{3}

，則

tan C

的值最接近下列哪一個選項？

(1) $- 1$
(2) $- 2$
(3) $- 3$
(4) $1$
(5) $2$

求

a = sin 1.5

，

b = sin 3

，

c = sin 4.5

，

d = sin 6

的大小關係為下列哪一個選項？

(1) $a > b > c > d$
(2) $a > c > b > d$
(3) $b > d > c > a$
(4) $d > c > a > b$
(5) $a > b > d > c$

已知

- π \leq x \leq 3 π

，試求方程式

tan x = \frac{π}{360} x

恰有幾個實數解？

(1) $6$
(2) $5$
(3) $4$
(4) $3$
(5) $2$

下列哪一個選項數值最大？

(1) $cos 4 6^{\circ} + 3 sin 4 6^{\circ}$
(2) $cos 6 6^{\circ} + 3 sin 6 6^{\circ}$
(3) $cos 7 6^{\circ} + 3 sin 7 6^{\circ}$
(4) $cos 8 6^{\circ} + 3 sin 8 6^{\circ}$
(5) $cos 9 6^{\circ} + 3 sin 9 6^{\circ}$

二、多選題（占 30 分）｜說明：第 6 題至第 11 題，每題 5 分。（5－3－1－0）

如圖，將矩形紙張

A B C D

的右下角沿

\overline{E F}

摺起，恰使得

A

點落在

\overline{B C}

邊的

G

點上，已知

\overline{A F} = 10

，

\overline{B F} = 8

，已知

∠ A E F = θ

，

\overline{D E} : \overline{A E} = 1 : 5

，則下列選項何者正確？

(1) $∠ B F G = θ$
(2) $cos θ = \frac{4}{5}$
(3) $tan θ = \frac{3}{4}$
(4) $cos 2 θ = \frac{4}{5}$
(5) $\overline{A D} = 36$

載入中...

若

θ

為第四象限角，且

cos θ = \frac{4}{5}

，則下列選項何者正確？

(1) $tan 2 θ = - \frac{7}{24}$
(2) $sin 2 θ = - \frac{24}{25}$
(3) $2 θ$ 為第四象限角
(4) $\frac{θ}{2}$ 為第二象限角
(5) $cos \frac{θ}{2} = - \frac{1}{5}$

圖是函數

y = a sin x + b cos x + c

圖形的一部分，則下列選項何者正確？

(1) 函數週期為 $π$
(2) $a = 3$
(3) $b = - 1$
(4) $x = \frac{11 π}{3}$ 為圖形的對稱軸
(5) 圖形通過 $(\frac{7 π}{12}, 2 + 1)$

載入中...

已知坐標平面上函數圖形

y = 5^{x}

，標示

A

、

B

、

C

三個點，其

x

坐標分別為

3

、

1

、

- 1

。則下列選項何者正確？

(1) 函數圖形與任一水平線 $y = k$ 都恰有一交點
(2) $B$ 點位於 $\overline{A C}$ 中點的上方
(3) 在直線 $A B$ 、直線 $B C$ 中，以直線 $A B$ 的斜率最大
(4) 函數圖形 $y = 5^{x}$ 與 $y = 5^{- x}$ 對稱原點
(5) 函數圖形 $y = x^{2}$ 與 $y = 5^{x}$ 有三個交點

令

Γ

為坐標平面上

y = cos π x

在

- \frac{1}{2} < x < \frac{5}{2}

的函數圖形。一水平直線

L

：

y = k

與

Γ

相交，其中三交點

P (x_{1}, k)

、

Q (x_{2}, k)

、

R (x_{3}, k)

滿足

0 < x_{1} < 1 < x_{2} < x_{3}

。則下列選項何者正確？

(1) $k > 0$
(2) $L$ 與 $Γ$ 恰有 $3$ 個交點
(3) $x_{1} + x_{2} \geq 2$
(4) 若 $\overline{P Q} = 5 \overline{QR}$ ，則 $k = \frac{1}{2}$
(5) $L$ 與 $Γ$ 所有交點的 $x$ 坐標之和大於 $5$

設

f (x) = sin (x + \frac{π}{6}) + cos (x - \frac{π}{3}) + 3

，

0 \leq x \leq π

，則下列選項何者正確？

(1) $f (x)$ 的振幅為 $5$
(2) $f (x)$ 的週期為 $2 π$
(3) 當 $x = π$ 時， $f (x)$ 有最小值 $- 1$
(4) 當 $x = \frac{π}{3}$ 時， $f (x)$ 有最大值 $5$
(5) $f (x)$ 的圖形可由 $y = sin x$ 的圖形經過平移而得

三、填充題（占 45 分）｜說明：第 12 題至第 20 題，每題 5 分。

一扇形的周長為

24

，圓心角為

θ

時，有最大面積為

M

，則

(θ, M) =

____。

已知

1 \leq θ \leq 10

，且

θ

為正整數。則能滿足不等式

cos θ \leq 0

且

sin 2 θ \leq 0

的所有弧度

θ

總和為 ____。

求函數

f (x) = 2^{2 x + 1} + 1

與

g (x) = 33 \times 2^{x - 2}

的圖形在第二象限的交點坐標為 ____。

已知

0 \leq x \leq 2 π

，滿足不等式

sin x \leq - \frac{1}{2}

的所有區間長度總和為

a

，滿足不等式

sin x \leq \frac{1}{2}

的所有區間長度總和為

b

，則

\frac{a}{b} =

____。

設

- 1 \leq x \leq 1

，若函數

f (x) = - 3 \times 4^{x} + 2^{x + 2}

的最大值為

a

，最小值為

b

，則

a - b =

____。

已知

0 < x < π

，且不等式

sin 2 x \leq 3 sin x

的解為

α π \leq x < β π

，則

β - α =

____。

如圖，有一直角三角形

A E F

內接於矩形

A B C D

中，且

E

、

F

分別在

\overline{B C}

，

\overline{C D}

上，

∠ A E F = 9 0^{\circ}

，

\overline{A E} = 8

，

\overline{E F} = 7

，令

∠ B A E = θ

，則當

\overline{A B} = a

時，矩形

A B C D

的周長有最大值

b

，求數對

(a, b) =

____。

載入中...

已知

△ A B C

中

\overline{A C} = 12

，

\overline{B C} = 18

，

2∠ C B A = ∠ C A B

，則

\overline{A B} =

____。

有一個凸四邊形

A B C D

，已知

\overline{B C} = 10

，

\overline{A B} = 12

，

\overline{A D} = 5

，

∠ B A D = 9 0^{\circ}

，而

cos ∠ A B C = \frac{4}{5}

，則

△ B C D

面積為 ____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(1)

第 3 題(5)

第 4 題(4)

第 5 題(2)

第 6 題(4)(5)

第 7 題(2)(3)

第 8 題(2)(5)

第 9 題(3)

第 10 題(1)(3)

第 11 題(2)(4)

第 12 題

(2, 36)

第 13 題

22

第 14 題

(- 3, \frac{33}{32})

第 15 題

\frac{1}{2}

第 16 題

\frac{16}{3}

第 17 題

\frac{5}{6}

第 18 題

(\frac{120}{17}, 34)

第 19 題

15

第 20 題

16

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題 1～5：指數最小值、正切公式、弧度比大小、交點個數、疊合

第 1 題答案 (3)。底數

32 > 1

，

y = 3 2^{t}

是遞增函數，所以指數越小、函數值越小。

x^{2} \geq 0

，指數

x^{2} + \frac{4}{5}

的最小值是

\frac{4}{5}

（

x = 0

時）。最小值為

3 2^{\frac{4}{5}} = (2^{5})^{\frac{4}{5}} = 2^{4} = 16

。

第 2 題答案 (1)。先用倍角公式求

tan A

：

tan A = \frac{2 tan \frac{A}{2}}{1 - tan ^{2} \frac{A}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{16}} = \frac{8}{15}

。再用和角公式：

tan (A + B) = \frac{\frac{8}{15} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{8}{15} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{13}{15}}{\frac{37}{45}} = \frac{39}{37}

。因為

C = 18 0^{\circ} - (A + B)

，所以

tan C = - tan (A + B) = - \frac{39}{37} \approx - 1.05

，最接近

- 1

。

題目給的是

tan \frac{A}{2}

，不是

tan A

；直接把

\frac{1}{4}

當

tan A

代入會得到

- \frac{7}{11}

。

第 3 題答案 (5)。取

π \approx 3.14

：

\frac{π}{2} \approx 1.57

，

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，

2 π \approx 6.28

。

1.5

在第一象限且很接近

\frac{π}{2}

，

a

接近

1

。

3

在第二象限，

b = sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.14

，是很小的正數，所以

a > b > 0

。

4.5

在第三象限，

c = - sin (4.5 - π) \approx - sin 1.36

；

6

在第四象限，

d = - sin (2 π - 6) \approx - sin 0.28

。

0 < 0.28 < 1.36 < \frac{π}{2}

，正弦在這段遞增，

sin 0.28 < sin 1.36

，所以

0 > d > c

。故

a > b > d > c

。

沒有寫度的符號就是弧度；把四個數都換成第一象限的同界角或參考角再比。

第 4 題答案 (4)，恰有

3

個解。看

y = tan x

的圖形與直線

y = \frac{π}{360} x

的交點。直線過原點、斜率很小；在

- π \leq x \leq 3 π

上，它的

y

值介於

- \frac{π ^{2}}{360} \approx - 0.03

與

\frac{3 π ^{2}}{360} \approx 0.08

之間，

x < 0

時為負、

x > 0

時為正。逐段看：

- π \leq x < - \frac{π}{2}

時

tan x \geq 0

而直線為負，沒有交點；

- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}

時，正切圖形在

x > 0

的部分都在直線

y = x

上方、

x < 0

的部分都在

y = x

下方，而直線

y = \frac{π}{360} x

比

y = x

更平，所以只交在原點（

1

個）；

\frac{π}{2} < x \leq π

時

tan x \leq 0

而直線為正，沒有交點；

π < x < \frac{3 π}{2}

時

tan x

從

0

遞增到無限大，與直線交

1

點（比

π

略大）；

\frac{3 π}{2} < x \leq 2 π

沒有交點；

2 π < x < \frac{5 π}{2}

同理交

1

點；

\frac{5 π}{2} < x \leq 3 π

時

tan x \leq 0

，沒有交點。合計

3

個。

兩端

x = - π

與

x = 3 π

時

tan x = 0

，但直線的

y

值不是

0

，所以端點不是解。

第 5 題答案 (2)。疊合：

cos x + 3 sin x = 2 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = 2 sin (x + 3 0^{\circ})

。五個選項依序是

2 sin 7 6^{\circ}

、

2 sin 9 6^{\circ}

、

2 sin 10 6^{\circ}

、

2 sin 11 6^{\circ}

、

2 sin 12 6^{\circ}

。換成銳角：

sin 9 6^{\circ} = sin 8 4^{\circ}

，

sin 10 6^{\circ} = sin 7 4^{\circ}

，

sin 11 6^{\circ} = sin 6 4^{\circ}

，

sin 12 6^{\circ} = sin 5 4^{\circ}

。銳角的正弦隨角度遞增，

8 4^{\circ}

最大，所以 (2) 最大。

比較正弦值時，先把角度換到同一段遞增的範圍（例如

0

到

\frac{π}{2}

）再比。

02多選題 6～8：摺紙、倍角半角、由圖形求係數

第 6 題答案 (4)(5)。摺起後

△ GE F

與

△ A E F

全等，所以

\overline{F G} = \overline{F A} = 10

，

∠ E A F = 9 0^{\circ}

，

∠ A F E = ∠ GF E = 9 0^{\circ} - θ

。直角三角形

B F G

中，

\overline{B F} = 8

、

\overline{F G} = 10

，所以

\overline{B G} = 6

。(1) 錯：

∠ B F G = 18 0^{\circ} - 2 (9 0^{\circ} - θ) = 2 θ

，不是

θ

。(4) 對：

cos 2 θ = cos ∠ B F G = \frac{B F}{F G} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}

。(2) 錯：

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{4}{5}

，

cos^{2} θ = \frac{9}{10}

，

cos θ = \frac{3}{10}

。(3) 錯：

sin^{2} θ = \frac{1}{10}

，

sin θ = \frac{1}{10}

，

tan θ = \frac{1}{3}

。(5) 對：直角三角形

A E F

中

tan θ = \frac{A F}{A E}

，

\overline{A E} = \frac{10}{\frac{1}{3}} = 30

；

\overline{D E} : \overline{A E} = 1 : 5

，

\overline{D E} = 6

，

\overline{A D} = 36

。

選項 (2)(3) 的

\frac{4}{5}

、

\frac{3}{4}

是

2 θ

的餘弦與正切，不是

θ

的。

第 7 題答案 (2)(3)。

θ

在第四象限，

sin θ < 0

，

sin θ = - \frac{3}{5}

。

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \cdot (- \frac{3}{5}) \cdot \frac{4}{5} = - \frac{24}{25}

，(2) 對。

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{7}{25}

，

tan 2 θ = \frac{sin 2 θ}{cos 2 θ} = - \frac{24}{7}

，(1) 錯。

sin 2 θ < 0

且

cos 2 θ > 0

，

2 θ

是第四象限角，(3) 對。(4) 錯：

θ

可寫成

\frac{3 π}{2} + 2 k π < θ < 2 π + 2 k π

（

k

為整數），所以

\frac{3 π}{4} + k π < \frac{θ}{2} < π + k π

；

k

為偶數時在第二象限，

k

為奇數時在第四象限，不一定是第二象限角。(5) 錯：

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{9}{10}

，

cos \frac{θ}{2} = \pm \frac{3}{10}

，不可能是

- \frac{1}{5}

。

只知道

θ

的象限時，

\frac{θ}{2}

的象限有兩種可能，要把一般式除以

2

來看。

第 8 題答案 (2)(5)。由圖：最大值

3

、最小值

- 1

，所以中心線

c = \frac{3 + ( - 1 )}{2} = 1

，振幅

\frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

。

y = a sin x + b cos x + c

的週期是

2 π

（圖上相鄰的最高點

x = \frac{π}{3}

與最低點

x = \frac{4 π}{3}

相差

π

，正好半個週期），(1) 錯。

x = \frac{π}{3}

時在最高點，所以

y = 2 sin (x + \frac{π}{6}) + 1

（

x = \frac{π}{3}

時

x + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

）。展開：

2 (sin x cos \frac{π}{6} + cos x sin \frac{π}{6}) + 1 = 3 sin x + cos x + 1

，所以

a = 3

、

b = 1

、

c = 1

；(2) 對，(3) 錯。(4) 錯：對稱軸是通過最高點或最低點的鉛直線

x = \frac{π}{3} + k π

（

k

為整數）；

x = \frac{11 π}{3}

時

y = 2 sin \frac{23 π}{6} + 1 = 2 \cdot (- \frac{1}{2}) + 1 = 0

，不是最高點也不是最低點。(5) 對：

x = \frac{7 π}{12}

時

y = 2 sin \frac{9 π}{12} + 1 = 2 sin \frac{3 π}{4} + 1 = 2 + 1

。

檢查：

x = 0

時

y = 2 sin \frac{π}{6} + 1 = 2

，與圖形和

y

軸的交點位置相符。

由圖形求

a sin x + b cos x + c

：先由最大、最小值定中心線與振幅，再由最高點的位置寫成單一正弦，最後用和角公式展開對係數。

03多選題 9～11：指數函數圖形、餘弦圖形的對稱、化成單一正弦

第 9 題答案 (3)。三點為

A (3, 125)

、

B (1, 5)

、

C (- 1, \frac{1}{5})

。(1) 錯：

5^{x} > 0

，

k \leq 0

時水平線與圖形沒有交點。(2) 錯：

\overline{A C}

中點的

x

坐標是

1

、

y

坐標是

\frac{125 + \frac{1}{5}}{2} = 62.6

，而

B

的

y

坐標是

5

，

B

在中點的下方。(3) 對：直線

A B

的斜率

\frac{125 - 5}{3 - 1} = 60

，直線

B C

的斜率

\frac{5 - \frac{1}{5}}{1 - ( - 1 )} = 2.4

。(4) 錯：把

y = 5^{x}

的

x

換成

- x

得

y = 5^{- x}

，兩圖形對稱於

y

軸；

(1, 5)

在

y = 5^{x}

上，它對原點的對稱點

(- 1, - 5)

不在

y = 5^{- x}

上（

5^{- x}

恆正）。(5) 錯：

x < 0

時，

5^{x}

由接近

0

遞增到

1

，

x^{2}

由很大遞減到

0

，恰交

1

點；

0 \leq x \leq 1

時

5^{x} \geq 1 \geq x^{2}

且等號不同時成立；

x \geq 1

時，若

n \leq x \leq n + 1

（

n

為正整數），

5^{x} \geq 5^{n} > (n + 1)^{2} \geq x^{2}

。所以只有

1

個交點。

流傳版本的參考答案寫 (3)(4)。但照題幹印的

y = 5^{- x}

，它與

y = 5^{x}

是對稱於

y

軸，不是對稱於原點，所以本站重算的答案是 (3)。與

y = 5^{x}

對稱於原點的圖形是

y = - 5^{- x}

；如果選項 (4) 原本是

y = - 5^{- x}

，那麼 (4) 才會成立。

第 10 題答案 (1)(3)。

y = cos π x

的週期是

2

：在

x = 0

、

x = 2

有最大值

1

，在

x = 1

有最小值

- 1

，在

x = \frac{1}{2}

、

\frac{3}{2}

的值為

0

；兩端

x = - \frac{1}{2}

、

\frac{5}{2}

不含。若

- 1 < k < 0

，交點只有

2

個（在

\frac{1}{2}

與

\frac{3}{2}

之間、對稱於

x = 1

）；

k = 0

也只有

2

個；

k = \pm 1

時也湊不出題目要的三點。所以

0 < k < 1

，(1) 對。此時設

0 < α < \frac{1}{2}

滿足

cos π α = k

，由圖形對稱於

x = 0

、

x = 1

、

x = 2

，交點共

4

個：

x = - α

、

α

、

2 - α

、

2 + α

，(2) 錯。題目的三點是

x_{1} = α

、

x_{2} = 2 - α

、

x_{3} = 2 + α

。(3) 對：

x_{1} + x_{2} = 2

，滿足

\geq 2

。(4) 錯：

\overline{P Q} = 2 - 2 α

，

\overline{QR} = 2 α

；

2 - 2 α = 10 α

得

α = \frac{1}{6}

，

k = cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

。(5) 錯：四個交點的

x

坐標和為

(- α) + α + (2 - α) + (2 + α) = 4

。

題目說「其中三交點」，交點其實有四個；

x = - α

那一個在

- \frac{1}{2}

與

0

之間，容易漏掉。

第 11 題答案 (2)(4)。

cos (x - \frac{π}{3}) = sin (x - \frac{π}{3} + \frac{π}{2}) = sin (x + \frac{π}{6})

，所以

f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{6}) + 3

。(1) 錯：振幅是

2

。(2) 對：

2 sin (x + \frac{π}{6}) + 3

的週期是

2 π

。

0 \leq x \leq π

時

\frac{π}{6} \leq x + \frac{π}{6} \leq \frac{7 π}{6}

，

- \frac{1}{2} \leq sin (x + \frac{π}{6}) \leq 1

。(4) 對：

x + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

即

x = \frac{π}{3}

時有最大值

2 + 3 = 5

。(3) 錯：

x = π

時確實是最小，但最小值是

2 \cdot (- \frac{1}{2}) + 3 = 2

，不是

- 1

。(5) 錯：平移不會改變振幅，

y = sin x

的振幅是

1

，而

f (x)

的振幅是

2

，還需要鉛直伸縮。

題幹限定

0 \leq x \leq π

，圖形只有半個週期長。選項 (2) 是就函數式

2 sin (x + \frac{π}{6}) + 3

而言週期為

2 π

，流傳版本的參考答案也把 (2) 列為正確。

04填充題 12～16：扇形、整數弧度、指數方程式、不等式區間、二次極值

第 12 題設半徑

r

、圓心角

θ

（弧度），弧長

r θ

。周長

2 r + r θ = 24

，所以

r θ = 24 - 2 r

。面積

= \frac{1}{2} r \cdot r θ = \frac{1}{2} r (24 - 2 r) = 12 r - r^{2} = 36 - (r - 6)^{2}

。

r = 6

時面積最大，

M = 36

；此時

r θ = 12

，

θ = 2

。故

(θ, M) = (2, 36)

。

θ = 2

是

2

弧度，不是

2^{\circ}

。

第 13 題

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ

。

θ

是正整數時不會是

\frac{π}{2}

的整數倍，所以

sin θ

、

cos θ

都不為

0

。條件成為

cos θ < 0

且

sin θ cos θ < 0

，即

cos θ < 0

且

sin θ > 0

，

θ

是第二象限角。

\frac{π}{2} \approx 1.57 < θ < π \approx 3.14

：

θ = 2

、

3

。再加一圈：

\frac{5 π}{2} \approx 7.85 < θ < 3 π \approx 9.42

：

θ = 8

、

9

。總和

2 + 3 + 8 + 9 = 22

。

第 14 題令

f (x) = g (x)

：

2 \cdot 2^{2 x} + 1 = \frac{33}{4} \cdot 2^{x}

。令

t = 2^{x} > 0

：

2 t^{2} + 1 = \frac{33}{4} t

，即

8 t^{2} - 33 t + 4 = 0

，

(8 t - 1) (t - 4) = 0

，

t = \frac{1}{8}

或

t = 4

，所以

x = - 3

或

x = 2

。第二象限的點

x < 0

，取

x = - 3

；

y = g (- 3) = 33 \times 2^{- 5} = \frac{33}{32}

。交點為

(- 3, \frac{33}{32})

。

驗算：

f (- 3) = 2^{- 5} + 1 = \frac{33}{32}

，相符。另一個交點

(2, 33)

在第一象限。

第 15 題在

0 \leq x \leq 2 π

：

sin x = - \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{7 π}{6}

、

\frac{11 π}{6}

，

sin x \leq - \frac{1}{2}

的範圍是

\frac{7 π}{6} \leq x \leq \frac{11 π}{6}

，長度

a = \frac{4 π}{6} = \frac{2 π}{3}

。

sin x = \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

，

sin x \leq \frac{1}{2}

的範圍是

0 \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6} \leq x \leq 2 π

，長度

b = \frac{π}{6} + \frac{7 π}{6} = \frac{4 π}{3}

。所以

\frac{a}{b} = \frac{1}{2}

。

第 16 題令

t = 2^{x}

；

- 1 \leq x \leq 1

時

\frac{1}{2} \leq t \leq 2

。

4^{x} = t^{2}

，

2^{x + 2} = 4 t

，所以

f = - 3 t^{2} + 4 t = - 3 (t - \frac{2}{3})^{2} + \frac{4}{3}

。頂點

t = \frac{2}{3}

在範圍內，最大值

a = \frac{4}{3}

。圖形開口向下，最小值在離頂點較遠的端點：

t = 2

時

f = - 12 + 8 = - 4

（另一端

t = \frac{1}{2}

時

f = \frac{5}{4}

），所以

b = - 4

。

a - b = \frac{4}{3} + 4 = \frac{16}{3}

。

代換後要把

x

的範圍換成

t

的範圍，再比較頂點與兩個端點。

指數式裡同時出現

4^{x}

與

2^{x}

時，令

t = 2^{x}

化成二次式；別忘了

t > 0

以及題目給的範圍。

05填充題 17～20：三角不等式、周長最大值、二倍角三角形、四邊形裡的面積

第 17 題

sin 2 x = 2 sin x cos x

，不等式成為

2 sin x cos x \leq 3 sin x

。

0 < x < π

時

sin x > 0

，兩邊同除以

sin x

（不等號方向不變）：

cos x \leq \frac{3}{2}

。餘弦在

0 < x < π

遞減，且

cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

，所以

\frac{π}{6} \leq x < π

。

α = \frac{1}{6}

、

β = 1

，

β - α = \frac{5}{6}

。

能同除以

sin x

是因為在

0 < x < π

內它是正數；範圍若不同，就要移項後分情況討論。

第 18 題直角三角形

A B E

中：

\overline{A B} = 8 cos θ

，

\overline{B E} = 8 sin θ

，

∠ A E B = 9 0^{\circ} - θ

。

B

、

E

、

C

共線，所以

∠ F E C = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - θ) = θ

；直角三角形

E C F

中

\overline{E C} = 7 cos θ

。矩形的寬

\overline{A B} = 8 cos θ

，長

\overline{B C} = 8 sin θ + 7 cos θ

，周長

= 2 (8 cos θ + 8 sin θ + 7 cos θ) = 2 (8 sin θ + 15 cos θ)

。疊合：

8 sin θ + 15 cos θ = 17 (\frac{8}{17} sin θ + \frac{15}{17} cos θ) = 17 sin (θ + φ)

，其中

cos φ = \frac{8}{17}

、

sin φ = \frac{15}{17}

，最大值

17

，所以

b = 34

。此時

θ + φ = 9 0^{\circ}

，

cos θ = sin φ = \frac{15}{17}

，

a = \overline{A B} = 8 \cdot \frac{15}{17} = \frac{120}{17}

。

檢查

F

確實落在

\overline{C D}

上：此時

sin θ = \frac{8}{17}

，

\overline{C F} = 7 sin θ = \frac{56}{17}

，小於

\overline{C D} = \frac{120}{17}

。

第 19 題設

∠ C B A = B

，則

∠ C A B = 2 B

。正弦定理：

\frac{B C}{sin 2 B} = \frac{A C}{sin B}

，即

\frac{18}{2 sin B cos B} = \frac{12}{sin B}

，得

cos B = \frac{3}{4}

。第三個角

C = 18 0^{\circ} - 3 B

，

sin C = sin 3 B = sin (2 B + B) = sin 2 B cos B + cos 2 B sin B = sin B (2 cos^{2} B + cos 2 B)

。

2 cos^{2} B = \frac{9}{8}

，

cos 2 B = 2 \cdot \frac{9}{16} - 1 = \frac{1}{8}

，所以

sin C = \frac{5}{4} sin B

。再用正弦定理：

\overline{A B} = \overline{A C} \cdot \frac{sin C}{sin B} = 12 \cdot \frac{5}{4} = 15

。

求出

cos B = \frac{3}{4}

後若改用餘弦定理

1 2^{2} = 1 8^{2} + \overline{A B}^{2} - 2 \cdot 18 \cdot \overline{A B} \cdot \frac{3}{4}

，會解出

\overline{A B} = 12

或

15

；

\overline{A B} = 12

時

∠ B = ∠ C

，三個角是

2 B

、

B

、

B

，得

B = 4 5^{\circ}

，與

cos B = \frac{3}{4}

不合，要捨去。

第 20 題連

\overline{B D}

。直角三角形

A B D

中

\overline{B D} = 1 2^{2} + 5^{2} = 13

，

cos ∠ A B D = \frac{12}{13}

，

sin ∠ A B D = \frac{5}{13}

。又

cos ∠ A B C = \frac{4}{5}

，

sin ∠ A B C = \frac{3}{5}

。四邊形是凸的，

D

在

∠ A B C

的內部，

∠ D B C = ∠ A B C - ∠ A B D

。差角公式：

sin ∠ D B C = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{16}{65}

。

△ B C D

面積

= \frac{1}{2} \cdot \overline{B D} \cdot \overline{B C} \cdot sin ∠ D B C = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 10 \cdot \frac{16}{65} = 16

。

另一種算法：

△ A B C

面積

= \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot \frac{3}{5} = 36

；

C

到直線

A D

的距離是

12 - 10 \cdot \frac{4}{5} = 4

，

△ A C D

面積

= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10

；四邊形面積

46

，減去

△ A B D

的

30

，也得

16

。

圖形裡的長度先用一個角的正弦、餘弦表示，再用疊合或和差角公式處理，是這個範圍幾何題的共同做法。

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第 4 題要分段看正切圖形與一條很平的直線有幾個交點、第 10 題水平線與餘弦圖形其實有四個交點、第 18 題要把矩形周長寫成正弦與餘弦的疊合，以及第 19 題用餘弦定理會多出一個要捨去的解。詳解逐題寫在本頁。

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01單選題 1～5：指數最小值、正切公式、弧度比大小、交點個數、疊合

02多選題 6～8：摺紙、倍角半角、由圖形求係數

03多選題 9～11：指數函數圖形、餘弦圖形的對稱、化成單一正弦

04填充題 12～16：扇形、整數弧度、指數方程式、不等式區間、二次極值

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