段考詳解範圍：三角函數(弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合)

屏東女中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 屏東女中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 屏東女中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

選擇第 3 題要先用值域把範圍縮到一小段，再比較圖形才數得出只有一個解；選擇第 4 題半角可能落在第二或第四象限，只有正切值能確定；選擇第 6 題題幹與圖上的式子正負號不同，要照題幹的式子定出係數；填充第 8 題（本頁第 16 題）兩直線的夾角要取鈍角那一個；填充第 9 題（第 17 題）要看出直徑所對的圓周角是直角。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 4 題（20 分）、多選題 4 題（24 分）、填充題 9 題（56 分）

一、選擇題（1～4 題單選，每題 5 分；5～8 題多選，每題 6 分，共 44 分）

試選出

- 123 \frac{2}{5} π

弳的同界角。

(A) $\frac{4}{5} π$
(B) $\frac{2}{5} π$
(C) $- \frac{1}{5} π$
(D) $- \frac{3}{5} π$
(E) $- \frac{7}{5} π$

比較下列各三角函數值，試選出最大者。

(A) $sin 1$
(B) $sin 2$
(C) $sin 4$
(D) $sin 8$
(E) $sin 10$

試求方程式

sin π x = 11 - 4 x

解的個數。

(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$
(E) $5$

若

tan θ > 0

，且

cos θ = - \frac{3}{5}

，試選出正確的選項。

(A) $cos \frac{θ}{2} = - \frac{5}{5}$
(B) $tan \frac{θ}{2} = - 2$
(C) $sin \frac{θ}{2} = - \frac{2 5}{5}$
(D) $cos \frac{θ}{2} = \frac{5}{5}$
(E) $tan \frac{θ}{2} = 2$

已知右圖為函數

y = sin (x + h)

一個週期的圖形，試選出

h

的可能值。

(A) $- \frac{4}{3} π$
(B) $- \frac{2}{3} π$
(C) $\frac{2}{3} π$
(D) $\frac{8}{3} π$
(E) $\frac{10}{3} π$

載入中...

右圖為三角函數

y = 3 sin (a x - b)

的部分圖形，其中

a > 0

、

0 < b < 2 π

，試選出正確的選項。

(A) $B (0, - 3)$
(B) $C (\frac{5 π}{6}, 0)$
(C) $b = \frac{π}{6}$
(D) 圖形對稱於點 $(π, 0)$
(E) 其圖形可由 $y = 3 sin 3 x$ 向左平移 $\frac{π}{2}$ 而得

載入中...

有一圓形摩天輪，直徑

50

公尺，中心軸高

30

公尺，以逆時針方向運轉，已知

x

分鐘後，小明離地的高度可用函數

f (x) = a sin (b x + c) + d

（單位：公尺）表示，其中

a > 0

，

b > 0

，

- π < c < 0

。若當摩天輪開始運轉（即

x = 0

）時，小明恰坐在離地最近的車廂中，並且經過

6

分鐘（

x = 6

）時，小明第一次與中心軸同高（即

f (6) = 30

），試選出正確的選項。

(A) $10$ 分鐘後，小明所坐的車廂共繞行了 $\frac{125}{6} π$ 公尺
(B) $(a, b) = (25, \frac{π}{24})$
(C) $c = - \frac{π}{2}$
(D) $f (12) = 55$
(E) $f (14) = 42.5$

令

f (x) = 23 sin (x - \frac{π}{3}) + 2 cos x

，試選出正確的選項。

(A) $f (x) = 2 sin (x - \frac{π}{3})$
(B) 在 $0 \leq x < 2 π$ 的範圍內，方程式 $f (x) = 1$ 的解為 $x = \frac{π}{3}$ or $π$
(C) 鉛直線 $x = \frac{π}{3}$ 為圖形的對稱軸
(D) $y = f (x)$ 的圖形可由 $y = - \frac{1}{2} sin x - \frac{15}{2} cos x$ 的圖形經適當（左右、上下）平移得到
(E) 若 $0 \leq x \leq π$ ， $f (x)$ 的最大值等於 $3$

二、填充題（1～5 題，每題 8 分；6～9 題，每題 4 分，共 56 分）（原卷題號 1～9，本頁接續編為第 9～17 題）

\frac{2}{5} π

弳等於 ____ 度。

試求

y = sin x - 8

的最小值 ____。

a

、

b

為整數，且

cos 7 5^{\circ} = \frac{a + b 2}{4}

，試求

a \cdot b

的值 ____。

已知

\frac{π}{2} < θ < π

，且

sin θ = \frac{4}{5}

，試求

\frac{1 - sin 2 θ}{cos 2 θ}

的值 ____。

在

0 \leq θ < 2 π

的範圍內，試求函數

y = 7 sin x - 24 cos x - 12

的最大值 ____。

如圖，已知兩個同心圓半徑分別為

7

與

13

，且圖中鋪色區域的周長

= 36

，試求鋪色區域的面積 ____。

載入中...

試求

(\frac{2 3}{sin 1 0 ^{\circ}} - \frac{6}{cos 1 0 ^{\circ}}) \cdot tan 6 0^{\circ}

的值 ____。

在坐標平面上，兩直線

L_{1}

：

x - y = 1

與

L_{2}

：

17 x + 31 y = 17

相交於

A

點，已知

B

、

C

分別落在直線

L_{1}

、

L_{2}

上，且滿足

\overline{A B} = 11

、

\overline{A C} = 25

，

∠ B A C

為鈍角，試求

\overline{B C}

長 ____。

A

、

B

、

C

、

D

為圓

O

上相異四點，且

C

、

D

兩點位於直線

A B

的同一側，已知圓

O

的周長為

130 π

，且

\overline{A B} = 130

、

\overline{A C} = 78

、

\overline{B D} = 120

，試求

\overline{C D}

長 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(D)

第 3 題(A)

第 4 題(B)

第 5 題(B)(E)

第 6 題(A)(B)(E)

第 7 題(A)(C)(D)

第 8 題(B)(D)

第 9 題

72

第 10 題

- 9

第 11 題

- 6

第 12 題

- 7

第 13 題

13

第 14 題

72

第 15 題

24

第 16 題

30

第 17 題

32

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01弧度量：同界角、度與弧度、弧長與面積

第 1 題

- 123 \frac{2}{5} π = - \frac{617}{5} π

。同界角相差

2 π

的整數倍：加上

61 \times 2 π = \frac{610}{5} π

得

- \frac{7}{5} π

，所以 (E) 是它的同界角。其餘選項與

- \frac{7}{5} π

的差依序為

\frac{11}{5} π

、

\frac{9}{5} π

、

\frac{6}{5} π

、

\frac{4}{5} π

，都不是

2 π

的整數倍。答案 (E)。

第 9 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

\frac{2}{5} π

弳

= \frac{2}{5} \times 18 0^{\circ} = 7 2^{\circ}

。

第 14 題設圓心角

∠ A O B = θ

（弳）。鋪色區域的邊界是大圓的弧

A B

、小圓的弧

C D

與兩段

\overline{A C} = \overline{B D} = 13 - 7 = 6

，周長

13 θ + 7 θ + 6 + 6 = 36

，得

θ = \frac{6}{5}

。面積是兩個扇形面積相減：

\frac{1}{2} \cdot 1 3^{2} \cdot \frac{6}{5} - \frac{1}{2} \cdot 7^{2} \cdot \frac{6}{5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{5} \cdot (169 - 49) = 72

。

弧長

s = r θ

、扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

都用弧度；環形區域的周長別漏掉兩段直線。

02正弦函數的值與圖形

第 2 題用

π \approx 3.14

判斷各角的位置。

4

在

π

與

2 π

之間、

10

在

3 π \approx 9.42

與

4 π \approx 12.57

之間，所以

sin 4 < 0

、

sin 10 < 0

。其餘三個為正：

sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.14

，

sin 8 = sin (8 - 2 π) \approx sin 1.72 = sin (π - 1.72) \approx sin 1.42

。在

0

到

\frac{π}{2} \approx 1.57

之間正弦遞增，

1 < 1.14 < 1.42

，所以

sin 1 < sin 2 < sin 8

。最大的是

sin 8

，答案 (D)。

第 3 題因為

- 1 \leq sin π x \leq 1

，解必須滿足

- 1 \leq 11 - 4 x \leq 1

，即

\frac{5}{2} \leq x \leq 3

。

x = \frac{5}{2}

時

sin \frac{5 π}{2} = 1

、

11 - 4 x = 1

，是一個解。在

\frac{5}{2} < x \leq 3

上，

y = sin π x

的圖形是從最高點

(\frac{5}{2}, 1)

降到

(3, 0)

的一段向上凸的弧，位在連接這兩點的線段

y = 6 - 2 x

的上方（或線上）；而直線

y = 11 - 4 x

滿足

(6 - 2 x) - (11 - 4 x) = 2 x - 5 > 0

，位在該線段下方。所以這一段上

sin π x > 11 - 4 x

，沒有其他交點。解只有

1

個，答案 (A)。

第 10 題

- 1 \leq sin x \leq 1

，所以

- 9 \leq sin x - 8 \leq - 7

，最小值為

- 9

（例如

x = \frac{3 π}{2}

時）。

數「三角函數＝直線」的解，先用值域把

x

的範圍框出來，再在那一小段上畫圖比較。

03由圖形或情境決定正弦型函數

第 5 題

y = sin x

的一個週期從

x = 0

開始（由

0

上升）。圖中這一個週期從

x = \frac{2 π}{3}

開始上升，到

\frac{8 π}{3}

結束，長度恰為

2 π

，所以

x = \frac{2 π}{3}

時

x + h

是

2 π

的整數倍：

h = - \frac{2 π}{3} + 2 k π

（

k

為整數）。

k = 0

得

- \frac{2}{3} π

，

k = 1

得

\frac{4}{3} π

，

k = 2

得

\frac{10}{3} π

。選項中符合的是 (B)、(E)。

第 6 題由圖，相鄰兩個過

x

軸的點

\frac{π}{6}

、

\frac{π}{2}

相距半個週期，所以週期

= \frac{2 π}{3} = \frac{2 π}{a}

，

a = 3

。

x = \frac{π}{3}

時在最高點：

3 \cdot \frac{π}{3} - b = \frac{π}{2} + 2 k π

，配合

0 < b < 2 π

得

b = \frac{π}{2}

，即

y = 3 sin (3 x - \frac{π}{2}) = - 3 cos 3 x

。(A)

x = 0

時

y = - 3

，

B (0, - 3)

，正確。(B)

C

是

\frac{π}{2}

之後下一個過

x

軸的點，再過半個週期：

\frac{π}{2} + \frac{π}{3} = \frac{5 π}{6}

，正確。(C)

b = \frac{π}{2}

，錯誤。(D)

x = π

時

y = - 3 cos 3 π = 3

，是最高點而不是圖形與

x

軸的交點，圖形不對稱於

(π, 0)

，錯誤。(E)

y = 3 sin 3 x

向左平移

\frac{π}{2}

得

y = 3 sin 3 (x + \frac{π}{2}) = 3 sin (3 x + \frac{3 π}{2}) = - 3 cos 3 x

，與原函數相同，正確。答案 (A)(B)(E)。

題幹照流傳版本：題幹印作

y = 3 sin (a x - b)

，附圖上的標示則印作

y = 3 sin (a x + b)

，兩處不一致。本詳解依題幹的

a x - b

說明（

b = \frac{π}{2}

）；若依圖上的

a x + b

，則

b = \frac{3 π}{2}

，(C) 同樣錯誤，其餘選項的判斷不變，答案相同。

第 7 題半徑

25

，所以振幅

a = 25

；中心軸高

30

，所以

d = 30

。

x = 0

在最低點、

x = 6

第一次回到中心高度，這是四分之一個週期，所以週期

= 24

分鐘，

b = \frac{2 π}{24} = \frac{π}{12}

。

x = 0

時在最低點：

sin c = - 1

，配合

- π < c < 0

得

c = - \frac{π}{2}

。所以

f (x) = 25 sin (\frac{π}{12} x - \frac{π}{2}) + 30 = 30 - 25 cos \frac{π}{12} x

。(A)

10

分鐘轉過的角是

\frac{π}{12} \times 10 = \frac{5 π}{6}

，弧長

25 \times \frac{5 π}{6} = \frac{125}{6} π

，正確。(B)

b = \frac{π}{12}

，錯誤。(C) 正確。(D)

f (12) = 30 - 25 cos π = 55

，正確。(E)

f (14) = 30 - 25 cos \frac{7 π}{6} = 30 + \frac{25 3}{2} \approx 51.65

，不是

42.5

，錯誤。答案 (A)(C)(D)。

由圖求

y = A sin (a x + b)

：先用相鄰零點或最高、最低點的間距求週期得

a

，再代一個最高點（或最低點）決定

b

。

04和差角、倍角與半角公式

第 4 題

tan θ > 0

且

cos θ < 0

，所以

θ

是第三象限角：

π + 2 k π < θ < \frac{3 π}{2} + 2 k π

，於是

\frac{π}{2} + k π < \frac{θ}{2} < \frac{3 π}{4} + k π

，

\frac{θ}{2}

可能在第二象限（

k

為偶數）或第四象限（

k

為奇數）。由半角公式，

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{1}{5}

、

sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{4}{5}

，但

sin \frac{θ}{2}

、

cos \frac{θ}{2}

的正負在兩種象限裡不同，所以 (A)、(C)、(D) 都不一定成立。

tan^{2} \frac{θ}{2} = \frac{4/5}{1/5} = 4

，而第二、第四象限的正切都是負的，所以

tan \frac{θ}{2} = - 2

。答案 (B)。

第 11 題

cos 7 5^{\circ} = cos (4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}) = cos 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} - sin 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ} = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 - 2}{4}

。對照得

a = 6

、

b = - 1

，

a \cdot b = - 6

。

第 12 題

θ

在第二象限，

cos θ = - \frac{3}{5}

。

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot (- \frac{3}{5}) = - \frac{24}{25}

，

cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ = 1 - \frac{32}{25} = - \frac{7}{25}

。所求

= \frac{1 + \frac{24}{25}}{- \frac{7}{25}} = \frac{49}{- 7} = - 7

。

第 15 題

tan 6 0^{\circ} = 3

，乘進去：原式

= \frac{6}{sin 1 0 ^{\circ}} - \frac{6 3}{cos 1 0 ^{\circ}} = \frac{6 cos 1 0 ^{\circ} - 6 3 sin 1 0 ^{\circ}}{sin 1 0 ^{\circ} cos 1 0 ^{\circ}}

。分子

= 12 (\frac{1}{2} cos 1 0^{\circ} - \frac{3}{2} sin 1 0^{\circ}) = 12 (sin 3 0^{\circ} cos 1 0^{\circ} - cos 3 0^{\circ} sin 1 0^{\circ}) = 12 sin 2 0^{\circ}

；分母

= \frac{1}{2} sin 2 0^{\circ}

。所以原式

= \frac{12 sin 2 0 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 2 0 ^{\circ}} = 24

。

半角公式只給平方值，正負要回到「半角落在哪個象限」判斷；象限定不下來時，只有正負一致的那個函數值能確定。

05正餘弦的疊合

第 8 題先展開：

23 sin (x - \frac{π}{3}) = 23 (\frac{1}{2} sin x - \frac{3}{2} cos x) = 3 sin x - 3 cos x

，所以

f (x) = 3 sin x - cos x = 2 (\frac{3}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x) = 2 sin (x - \frac{π}{6})

。(A) 錯誤。(B)

sin (x - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

，而

- \frac{π}{6} \leq x - \frac{π}{6} < \frac{11 π}{6}

，所以

x - \frac{π}{6} = \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6}

，

x = \frac{π}{3}

或

π

，正確。(C) 對稱軸通過最高點或最低點；

f (\frac{π}{3}) = 2 sin \frac{π}{6} = 1

，不是

\pm 2

，錯誤。(D)

- \frac{1}{2} sin x - \frac{15}{2} cos x

疊合後的振幅為

\frac{1}{4} + \frac{15}{4} = 2

，可寫成

2 sin (x + φ)

，與

f (x) = 2 sin (x - \frac{π}{6})

振幅、週期都相同，左右平移即可重合，正確。(E)

0 \leq x \leq π

時

- \frac{π}{6} \leq x - \frac{π}{6} \leq \frac{5 π}{6}

，範圍內含

\frac{π}{2}

，最大值為

2

（

x = \frac{2 π}{3}

），不是

3

，錯誤。答案 (B)(D)。

第 13 題

7^{2} + 2 4^{2} = 25

，所以

7 sin x - 24 cos x = 25 (\frac{7}{25} sin x - \frac{24}{25} cos x) = 25 sin (x - φ)

，其中

cos φ = \frac{7}{25}

、

sin φ = \frac{24}{25}

。在

0 \leq x < 2 π

這一整個週期內，

sin (x - φ)

可以取到

1

，所以

y

的最大值為

25 - 12 = 13

。

題幹照流傳版本：範圍寫的是

0 \leq θ < 2 π

，函數的變數則是

x

；本詳解把範圍當作

0 \leq x < 2 π

說明。因為這個範圍恰是一整個週期，不影響答案。

a sin x + b cos x

的振幅是

a^{2} + b^{2}

；係數前面若還包著平移過的角，先用和差角公式展開再疊合。

06和差角公式在幾何上的應用

第 16 題

L_{1}

的斜率為

1

，

L_{2}

的斜率為

- \frac{17}{31}

。設兩直線的斜角分別為

θ_{1}

、

θ_{2}

，則

tan (θ_{1} - θ_{2}) = \frac{1 - ( - \frac{17}{31} )}{1 + 1 \cdot ( - \frac{17}{31} )} = \frac{48/31}{14/31} = \frac{24}{7}

。所以兩直線夾角中的銳角

α

滿足

tan α = \frac{24}{7}

，

cos α = \frac{7}{25}

；

∠ B A C

是鈍角，為另一個夾角

π - α

，

cos ∠ B A C = - \frac{7}{25}

。由餘弦定理，

\overline{B C}^{2} = 1 1^{2} + 2 5^{2} - 2 \cdot 11 \cdot 25 \cdot (- \frac{7}{25}) = 121 + 625 + 154 = 900

，

\overline{B C} = 30

。

第 17 題周長

130 π

，所以半徑

65

、直徑

130 = \overline{A B}

，

\overline{A B}

是直徑，

∠ A C B = ∠ A D B = 9 0^{\circ}

。由畢氏定理

\overline{B C} = 13 0^{2} - 7 8^{2} = 104

、

\overline{A D} = 13 0^{2} - 12 0^{2} = 50

。令

α = ∠ C A B

、

β = ∠ D A B

，則

sin α = \frac{104}{130} = \frac{4}{5}

、

cos α = \frac{3}{5}

；

sin β = \frac{120}{130} = \frac{12}{13}

、

cos β = \frac{5}{13}

。

C

、

D

在直線

A B

同側，所以

∠ C A D = β - α

，

sin ∠ C A D = sin β cos α - cos β sin α = \frac{12}{13} \cdot \frac{3}{5} - \frac{5}{13} \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{65}

。在

△ A C D

中由正弦定理，

\overline{C D} = 2 R sin ∠ C A D = 130 \cdot \frac{16}{65} = 32

。

兩直線的夾角用斜角的差角正切來算，夾角有銳角與鈍角兩個，照題目指定的取；圓上的弦長可以用

2 R sin

（圓周角）求。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

屏東女中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東女中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

選擇第 3 題要先用值域把範圍縮到一小段，再比較圖形才數得出只有一個解；選擇第 4 題半角可能落在第二或第四象限，只有正切值能確定；選擇第 6 題題幹與圖上的式子正負號不同，要照題幹的式子定出係數；填充第 8 題（本頁第 16 題）兩直線的夾角要取鈍角那一個；填充第 9 題（第 17 題）要看出直徑所對的圓周角是直角。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自屏東女中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數(弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合)

屏東女中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 4 題（20 分）、多選題 4 題（24 分）、填充題 9 題（56 分）

一、選擇題（1～4 題單選，每題 5 分；5～8 題多選，每題 6 分，共 44 分）

試選出

- 123 \frac{2}{5} π

弳的同界角。

(A) $\frac{4}{5} π$
(B) $\frac{2}{5} π$
(C) $- \frac{1}{5} π$
(D) $- \frac{3}{5} π$
(E) $- \frac{7}{5} π$

比較下列各三角函數值，試選出最大者。

(A) $sin 1$
(B) $sin 2$
(C) $sin 4$
(D) $sin 8$
(E) $sin 10$

試求方程式

sin π x = 11 - 4 x

解的個數。

(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$
(E) $5$

若

tan θ > 0

，且

cos θ = - \frac{3}{5}

，試選出正確的選項。

(A) $cos \frac{θ}{2} = - \frac{5}{5}$
(B) $tan \frac{θ}{2} = - 2$
(C) $sin \frac{θ}{2} = - \frac{2 5}{5}$
(D) $cos \frac{θ}{2} = \frac{5}{5}$
(E) $tan \frac{θ}{2} = 2$

已知右圖為函數

y = sin (x + h)

一個週期的圖形，試選出

h

的可能值。

(A) $- \frac{4}{3} π$
(B) $- \frac{2}{3} π$
(C) $\frac{2}{3} π$
(D) $\frac{8}{3} π$
(E) $\frac{10}{3} π$

載入中...

右圖為三角函數

y = 3 sin (a x - b)

的部分圖形，其中

a > 0

、

0 < b < 2 π

，試選出正確的選項。

(A) $B (0, - 3)$
(B) $C (\frac{5 π}{6}, 0)$
(C) $b = \frac{π}{6}$
(D) 圖形對稱於點 $(π, 0)$
(E) 其圖形可由 $y = 3 sin 3 x$ 向左平移 $\frac{π}{2}$ 而得

載入中...

有一圓形摩天輪，直徑

50

公尺，中心軸高

30

公尺，以逆時針方向運轉，已知

x

分鐘後，小明離地的高度可用函數

f (x) = a sin (b x + c) + d

（單位：公尺）表示，其中

a > 0

，

b > 0

，

- π < c < 0

。若當摩天輪開始運轉（即

x = 0

）時，小明恰坐在離地最近的車廂中，並且經過

6

分鐘（

x = 6

）時，小明第一次與中心軸同高（即

f (6) = 30

），試選出正確的選項。

(A) $10$ 分鐘後，小明所坐的車廂共繞行了 $\frac{125}{6} π$ 公尺
(B) $(a, b) = (25, \frac{π}{24})$
(C) $c = - \frac{π}{2}$
(D) $f (12) = 55$
(E) $f (14) = 42.5$

令

f (x) = 23 sin (x - \frac{π}{3}) + 2 cos x

，試選出正確的選項。

(A) $f (x) = 2 sin (x - \frac{π}{3})$
(B) 在 $0 \leq x < 2 π$ 的範圍內，方程式 $f (x) = 1$ 的解為 $x = \frac{π}{3}$ or $π$
(C) 鉛直線 $x = \frac{π}{3}$ 為圖形的對稱軸
(D) $y = f (x)$ 的圖形可由 $y = - \frac{1}{2} sin x - \frac{15}{2} cos x$ 的圖形經適當（左右、上下）平移得到
(E) 若 $0 \leq x \leq π$ ， $f (x)$ 的最大值等於 $3$

二、填充題（1～5 題，每題 8 分；6～9 題，每題 4 分，共 56 分）（原卷題號 1～9，本頁接續編為第 9～17 題）

\frac{2}{5} π

弳等於 ____ 度。

試求

y = sin x - 8

的最小值 ____。

a

、

b

為整數，且

cos 7 5^{\circ} = \frac{a + b 2}{4}

，試求

a \cdot b

的值 ____。

已知

\frac{π}{2} < θ < π

，且

sin θ = \frac{4}{5}

，試求

\frac{1 - sin 2 θ}{cos 2 θ}

的值 ____。

在

0 \leq θ < 2 π

的範圍內，試求函數

y = 7 sin x - 24 cos x - 12

的最大值 ____。

如圖，已知兩個同心圓半徑分別為

7

與

13

，且圖中鋪色區域的周長

= 36

，試求鋪色區域的面積 ____。

載入中...

試求

(\frac{2 3}{sin 1 0 ^{\circ}} - \frac{6}{cos 1 0 ^{\circ}}) \cdot tan 6 0^{\circ}

的值 ____。

在坐標平面上，兩直線

L_{1}

：

x - y = 1

與

L_{2}

：

17 x + 31 y = 17

相交於

A

點，已知

B

、

C

分別落在直線

L_{1}

、

L_{2}

上，且滿足

\overline{A B} = 11

、

\overline{A C} = 25

，

∠ B A C

為鈍角，試求

\overline{B C}

長 ____。

A

、

B

、

C

、

D

為圓

O

上相異四點，且

C

、

D

兩點位於直線

A B

的同一側，已知圓

O

的周長為

130 π

，且

\overline{A B} = 130

、

\overline{A C} = 78

、

\overline{B D} = 120

，試求

\overline{C D}

長 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(D)

第 3 題(A)

第 4 題(B)

第 5 題(B)(E)

第 6 題(A)(B)(E)

第 7 題(A)(C)(D)

第 8 題(B)(D)

第 9 題

72

第 10 題

- 9

第 11 題

- 6

第 12 題

- 7

第 13 題

13

第 14 題

72

第 15 題

24

第 16 題

30

第 17 題

32

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01弧度量：同界角、度與弧度、弧長與面積

第 1 題

- 123 \frac{2}{5} π = - \frac{617}{5} π

。同界角相差

2 π

的整數倍：加上

61 \times 2 π = \frac{610}{5} π

得

- \frac{7}{5} π

，所以 (E) 是它的同界角。其餘選項與

- \frac{7}{5} π

的差依序為

\frac{11}{5} π

、

\frac{9}{5} π

、

\frac{6}{5} π

、

\frac{4}{5} π

，都不是

2 π

的整數倍。答案 (E)。

第 9 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

\frac{2}{5} π

弳

= \frac{2}{5} \times 18 0^{\circ} = 7 2^{\circ}

。

第 14 題設圓心角

∠ A O B = θ

（弳）。鋪色區域的邊界是大圓的弧

A B

、小圓的弧

C D

與兩段

\overline{A C} = \overline{B D} = 13 - 7 = 6

，周長

13 θ + 7 θ + 6 + 6 = 36

，得

θ = \frac{6}{5}

。面積是兩個扇形面積相減：

\frac{1}{2} \cdot 1 3^{2} \cdot \frac{6}{5} - \frac{1}{2} \cdot 7^{2} \cdot \frac{6}{5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{5} \cdot (169 - 49) = 72

。

弧長

s = r θ

、扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

都用弧度；環形區域的周長別漏掉兩段直線。

02正弦函數的值與圖形

第 2 題用

π \approx 3.14

判斷各角的位置。

4

在

π

與

2 π

之間、

10

在

3 π \approx 9.42

與

4 π \approx 12.57

之間，所以

sin 4 < 0

、

sin 10 < 0

。其餘三個為正：

sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.14

，

sin 8 = sin (8 - 2 π) \approx sin 1.72 = sin (π - 1.72) \approx sin 1.42

。在

0

到

\frac{π}{2} \approx 1.57

之間正弦遞增，

1 < 1.14 < 1.42

，所以

sin 1 < sin 2 < sin 8

。最大的是

sin 8

，答案 (D)。

第 3 題因為

- 1 \leq sin π x \leq 1

，解必須滿足

- 1 \leq 11 - 4 x \leq 1

，即

\frac{5}{2} \leq x \leq 3

。

x = \frac{5}{2}

時

sin \frac{5 π}{2} = 1

、

11 - 4 x = 1

，是一個解。在

\frac{5}{2} < x \leq 3

上，

y = sin π x

的圖形是從最高點

(\frac{5}{2}, 1)

降到

(3, 0)

的一段向上凸的弧，位在連接這兩點的線段

y = 6 - 2 x

的上方（或線上）；而直線

y = 11 - 4 x

滿足

(6 - 2 x) - (11 - 4 x) = 2 x - 5 > 0

，位在該線段下方。所以這一段上

sin π x > 11 - 4 x

，沒有其他交點。解只有

1

個，答案 (A)。

第 10 題

- 1 \leq sin x \leq 1

，所以

- 9 \leq sin x - 8 \leq - 7

，最小值為

- 9

（例如

x = \frac{3 π}{2}

時）。

數「三角函數＝直線」的解，先用值域把

x

的範圍框出來，再在那一小段上畫圖比較。

03由圖形或情境決定正弦型函數

第 5 題

y = sin x

的一個週期從

x = 0

開始（由

0

上升）。圖中這一個週期從

x = \frac{2 π}{3}

開始上升，到

\frac{8 π}{3}

結束，長度恰為

2 π

，所以

x = \frac{2 π}{3}

時

x + h

是

2 π

的整數倍：

h = - \frac{2 π}{3} + 2 k π

（

k

為整數）。

k = 0

得

- \frac{2}{3} π

，

k = 1

得

\frac{4}{3} π

，

k = 2

得

\frac{10}{3} π

。選項中符合的是 (B)、(E)。

第 6 題由圖，相鄰兩個過

x

軸的點

\frac{π}{6}

、

\frac{π}{2}

相距半個週期，所以週期

= \frac{2 π}{3} = \frac{2 π}{a}

，

a = 3

。

x = \frac{π}{3}

時在最高點：

3 \cdot \frac{π}{3} - b = \frac{π}{2} + 2 k π

，配合

0 < b < 2 π

得

b = \frac{π}{2}

，即

y = 3 sin (3 x - \frac{π}{2}) = - 3 cos 3 x

。(A)

x = 0

時

y = - 3

，

B (0, - 3)

，正確。(B)

C

是

\frac{π}{2}

之後下一個過

x

軸的點，再過半個週期：

\frac{π}{2} + \frac{π}{3} = \frac{5 π}{6}

，正確。(C)

b = \frac{π}{2}

，錯誤。(D)

x = π

時

y = - 3 cos 3 π = 3

，是最高點而不是圖形與

x

軸的交點，圖形不對稱於

(π, 0)

，錯誤。(E)

y = 3 sin 3 x

向左平移

\frac{π}{2}

得

y = 3 sin 3 (x + \frac{π}{2}) = 3 sin (3 x + \frac{3 π}{2}) = - 3 cos 3 x

，與原函數相同，正確。答案 (A)(B)(E)。

題幹照流傳版本：題幹印作

y = 3 sin (a x - b)

，附圖上的標示則印作

y = 3 sin (a x + b)

，兩處不一致。本詳解依題幹的

a x - b

說明（

b = \frac{π}{2}

）；若依圖上的

a x + b

，則

b = \frac{3 π}{2}

，(C) 同樣錯誤，其餘選項的判斷不變，答案相同。

第 7 題半徑

25

，所以振幅

a = 25

；中心軸高

30

，所以

d = 30

。

x = 0

在最低點、

x = 6

第一次回到中心高度，這是四分之一個週期，所以週期

= 24

分鐘，

b = \frac{2 π}{24} = \frac{π}{12}

。

x = 0

時在最低點：

sin c = - 1

，配合

- π < c < 0

得

c = - \frac{π}{2}

。所以

f (x) = 25 sin (\frac{π}{12} x - \frac{π}{2}) + 30 = 30 - 25 cos \frac{π}{12} x

。(A)

10

分鐘轉過的角是

\frac{π}{12} \times 10 = \frac{5 π}{6}

，弧長

25 \times \frac{5 π}{6} = \frac{125}{6} π

，正確。(B)

b = \frac{π}{12}

，錯誤。(C) 正確。(D)

f (12) = 30 - 25 cos π = 55

，正確。(E)

f (14) = 30 - 25 cos \frac{7 π}{6} = 30 + \frac{25 3}{2} \approx 51.65

，不是

42.5

，錯誤。答案 (A)(C)(D)。

由圖求

y = A sin (a x + b)

：先用相鄰零點或最高、最低點的間距求週期得

a

，再代一個最高點（或最低點）決定

b

。

04和差角、倍角與半角公式

第 4 題

tan θ > 0

且

cos θ < 0

，所以

θ

是第三象限角：

π + 2 k π < θ < \frac{3 π}{2} + 2 k π

，於是

\frac{π}{2} + k π < \frac{θ}{2} < \frac{3 π}{4} + k π

，

\frac{θ}{2}

可能在第二象限（

k

為偶數）或第四象限（

k

為奇數）。由半角公式，

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{1}{5}

、

sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{4}{5}

，但

sin \frac{θ}{2}

、

cos \frac{θ}{2}

的正負在兩種象限裡不同，所以 (A)、(C)、(D) 都不一定成立。

tan^{2} \frac{θ}{2} = \frac{4/5}{1/5} = 4

，而第二、第四象限的正切都是負的，所以

tan \frac{θ}{2} = - 2

。答案 (B)。

第 11 題

cos 7 5^{\circ} = cos (4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}) = cos 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} - sin 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ} = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 - 2}{4}

。對照得

a = 6

、

b = - 1

，

a \cdot b = - 6

。

第 12 題

θ

在第二象限，

cos θ = - \frac{3}{5}

。

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot (- \frac{3}{5}) = - \frac{24}{25}

，

cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ = 1 - \frac{32}{25} = - \frac{7}{25}

。所求

= \frac{1 + \frac{24}{25}}{- \frac{7}{25}} = \frac{49}{- 7} = - 7

。

第 15 題

tan 6 0^{\circ} = 3

，乘進去：原式

= \frac{6}{sin 1 0 ^{\circ}} - \frac{6 3}{cos 1 0 ^{\circ}} = \frac{6 cos 1 0 ^{\circ} - 6 3 sin 1 0 ^{\circ}}{sin 1 0 ^{\circ} cos 1 0 ^{\circ}}

。分子

= 12 (\frac{1}{2} cos 1 0^{\circ} - \frac{3}{2} sin 1 0^{\circ}) = 12 (sin 3 0^{\circ} cos 1 0^{\circ} - cos 3 0^{\circ} sin 1 0^{\circ}) = 12 sin 2 0^{\circ}

；分母

= \frac{1}{2} sin 2 0^{\circ}

。所以原式

= \frac{12 sin 2 0 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 2 0 ^{\circ}} = 24

。

半角公式只給平方值，正負要回到「半角落在哪個象限」判斷；象限定不下來時，只有正負一致的那個函數值能確定。

05正餘弦的疊合

第 8 題先展開：

23 sin (x - \frac{π}{3}) = 23 (\frac{1}{2} sin x - \frac{3}{2} cos x) = 3 sin x - 3 cos x

，所以

f (x) = 3 sin x - cos x = 2 (\frac{3}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x) = 2 sin (x - \frac{π}{6})

。(A) 錯誤。(B)

sin (x - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

，而

- \frac{π}{6} \leq x - \frac{π}{6} < \frac{11 π}{6}

，所以

x - \frac{π}{6} = \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6}

，

x = \frac{π}{3}

或

π

，正確。(C) 對稱軸通過最高點或最低點；

f (\frac{π}{3}) = 2 sin \frac{π}{6} = 1

，不是

\pm 2

，錯誤。(D)

- \frac{1}{2} sin x - \frac{15}{2} cos x

疊合後的振幅為

\frac{1}{4} + \frac{15}{4} = 2

，可寫成

2 sin (x + φ)

，與

f (x) = 2 sin (x - \frac{π}{6})

振幅、週期都相同，左右平移即可重合，正確。(E)

0 \leq x \leq π

時

- \frac{π}{6} \leq x - \frac{π}{6} \leq \frac{5 π}{6}

，範圍內含

\frac{π}{2}

，最大值為

2

（

x = \frac{2 π}{3}

），不是

3

，錯誤。答案 (B)(D)。

第 13 題

7^{2} + 2 4^{2} = 25

，所以

7 sin x - 24 cos x = 25 (\frac{7}{25} sin x - \frac{24}{25} cos x) = 25 sin (x - φ)

，其中

cos φ = \frac{7}{25}

、

sin φ = \frac{24}{25}

。在

0 \leq x < 2 π

這一整個週期內，

sin (x - φ)

可以取到

1

，所以

y

的最大值為

25 - 12 = 13

。

題幹照流傳版本：範圍寫的是

0 \leq θ < 2 π

，函數的變數則是

x

；本詳解把範圍當作

0 \leq x < 2 π

說明。因為這個範圍恰是一整個週期，不影響答案。

a sin x + b cos x

的振幅是

a^{2} + b^{2}

；係數前面若還包著平移過的角，先用和差角公式展開再疊合。

06和差角公式在幾何上的應用

第 16 題

L_{1}

的斜率為

1

，

L_{2}

的斜率為

- \frac{17}{31}

。設兩直線的斜角分別為

θ_{1}

、

θ_{2}

，則

tan (θ_{1} - θ_{2}) = \frac{1 - ( - \frac{17}{31} )}{1 + 1 \cdot ( - \frac{17}{31} )} = \frac{48/31}{14/31} = \frac{24}{7}

。所以兩直線夾角中的銳角

α

滿足

tan α = \frac{24}{7}

，

cos α = \frac{7}{25}

；

∠ B A C

是鈍角，為另一個夾角

π - α

，

cos ∠ B A C = - \frac{7}{25}

。由餘弦定理，

\overline{B C}^{2} = 1 1^{2} + 2 5^{2} - 2 \cdot 11 \cdot 25 \cdot (- \frac{7}{25}) = 121 + 625 + 154 = 900

，

\overline{B C} = 30

。

第 17 題周長

130 π

，所以半徑

65

、直徑

130 = \overline{A B}

，

\overline{A B}

是直徑，

∠ A C B = ∠ A D B = 9 0^{\circ}

。由畢氏定理

\overline{B C} = 13 0^{2} - 7 8^{2} = 104

、

\overline{A D} = 13 0^{2} - 12 0^{2} = 50

。令

α = ∠ C A B

、

β = ∠ D A B

，則

sin α = \frac{104}{130} = \frac{4}{5}

、

cos α = \frac{3}{5}

；

sin β = \frac{120}{130} = \frac{12}{13}

、

cos β = \frac{5}{13}

。

C

、

D

在直線

A B

同側，所以

∠ C A D = β - α

，

sin ∠ C A D = sin β cos α - cos β sin α = \frac{12}{13} \cdot \frac{3}{5} - \frac{5}{13} \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{65}

。在

△ A C D

中由正弦定理，

\overline{C D} = 2 R sin ∠ C A D = 130 \cdot \frac{16}{65} = 32

。

兩直線的夾角用斜角的差角正切來算，夾角有銳角與鈍角兩個，照題目指定的取；圓上的弦長可以用

2 R sin

（圓周角）求。

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屏東女中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01弧度量：同界角、度與弧度、弧長與面積

02正弦函數的值與圖形

03由圖形或情境決定正弦型函數

04和差角、倍角與半角公式

05正餘弦的疊合

06和差角公式在幾何上的應用

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屏東女中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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