段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧度角的三角函數值、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期）

溪湖高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

填充題 12 題共 13 格（70 分）、單選題 6 題（30 分）

一、填充題（依答對格數給分：答對 1～13 格依序得 6、12、18、24、30、36、42、48、54、58、62、66、70 分）（本頁第 1～13 題依序為原卷填充題的 1、2(1)、2(2)、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12）

請問：

- 5

弳在第 ____ 象限。

填充第 2 題（第 2～3 題）　試將以下的度數化為弳度，弳度化為度數：

(1)

42 0^{\circ} =

____ 弳。

(2)

\frac{7 π}{4}

弳

=

____ 度。

在坐標平面上，若

θ

與

202 5^{\circ}

為同界角，且

0 \leq θ < 2 π

，則

θ

為 ____ 弳。

sin \frac{2 π}{3} \times cos \frac{π}{6} + sin \frac{7 π}{6} \times tan \frac{5 π}{4} =

____。

附圖中，

\overline{A B} = 20

，以

\overline{A B}

為直徑的半圓，

C

為

A B ⌢

弧中點，今以

B

為圓心，

\overline{A B}

為半徑作一圓弧與直線

B C

交於

D

點，則灰色部分面積為 ____。

載入中...

直圓錐展開後，側面為一扇形；設直圓錐底圓的半徑為

3

單位，側面扇形的半徑為

5

單位，則此直圓錐的側面扇形的周長為 ____。

載入中...

如圖，兩圓半徑分別為

1

及

3

，已知兩圓心距離為

2

，試問重疊部分的面積為 ____。

載入中...

試問：

f (x) = sin x

與

g (x) = \frac{1}{2}

兩函數圖形在

0 \leq x \leq 10

之間有 ____ 個交點。

已知函數

y = 5 sin (6 x - \frac{π}{7}) + 8

的最大值

M

及最小值

m

，則

M + m =

____。

如圖為某個週期函數的圖形，若此函數的週期為

a

，振幅為

b

，則數對

(a, b) =

____。

載入中...

若函數

y = sin x

的圖形，先在鉛直方向拉伸

5

倍得

y = m (x)

，再在水平方向壓縮

\frac{1}{2}

倍得

y = n (x)

，最後向左平移

\frac{π}{6}

單位、向下平移

2

單位得

y = g (x)

，則函數

g (x) =

____。

設

0 \leq x \leq 4 π

，則滿足不等式

sin x < \frac{- 1}{2}

之

x

的範圍是 ____。

二、單選題（每題 5 分，共 30 分）（本頁第 14～19 題依序為原卷單選第 1～6 題）

如附圖，兩同心圓的半徑分別是

4

和

6

，且

C D ⌢

的長度是

6

，求陰影部分的面積是？

(A) $8$
(B) $15$
(C) $6 π$
(D) $12 π$
(E) $\frac{25 π}{3}$

載入中...

將一繩長為

10

公分的繩子一端固定在

A

點上，將此繩子逆時針纏繞在如圖的圓形輪上，輪子的半徑是

1

公分，且繩子的另一端點為

B

，則

B

點在什麼位置？

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) $x$ 軸或 $y$ 軸上

載入中...

關於

sin 1

、

sin 2

、

sin 3

、

sin 4

、

sin 5

這五個數值，何者為中位數？

(A) $sin 1$
(B) $sin 2$
(C) $sin 3$
(D) $sin 4$
(E) $sin 5$

下列哪一個函數的週期最小？

(A) $y = sin \frac{x}{3}$
(B) $y = sin 3 x$
(C) $y = 3 sin \frac{x}{3}$
(D) $y = 3 sin \frac{x}{6}$
(E) $y = 2 sin 6 x$

如圖最有可能是下列哪一個函數的圖形？

(A) $y = \frac{1}{2} sin 2 x$
(B) $y = sin 2 x$
(C) $y = 2 sin \frac{x}{2}$
(D) $y = sin \frac{x}{2}$
(E) $y = sin x$

載入中...

一手搖飲料店家觀察，每年各個月分與該月分飲料銷售杯數呈週期性的規律變化。設每年的

x

月與該月飲料銷售杯數

f (x)

的關係可表示為

f (x) = 2000 sin (\frac{π}{12} x - \frac{π}{6}) + 6000

，試問下列哪個月分的飲料銷售杯數最多？

(A) $2$ 月
(B) $4$ 月
(C) $6$ 月
(D) $8$ 月
(E) $9$ 月

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題一

第 2 題

\frac{7 π}{3}

第 3 題

315

第 4 題

\frac{5 π}{4}

第 5 題

\frac{1}{4}

第 6 題

50 π - 100

第 7 題

10 + 6 π

第 8 題

\frac{5 π}{6} - 3

第 9 題

4

第 10 題

16

第 11 題

(\frac{2 π}{3}, 2)

第 12 題

5 sin (2 x + \frac{π}{3}) - 2

第 13 題

\frac{7 π}{6} < x < \frac{11 π}{6}

或

\frac{19 π}{6} < x < \frac{23 π}{6}

第 14 題(B)

第 15 題(C)

第 16 題(C)

第 17 題(E)

第 18 題(A)

第 19 題(D)

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01填充 1～5（原卷填充 1～4）：弧度量與特殊角

第 1 題

- 5

弳是順時針轉

5

弳。加上一圈

2 π \approx 6.283

得同界角

2 π - 5 \approx 1.283

。因為

0 < 1.283 < \frac{π}{2} \approx 1.571

，所以終邊落在第一象限。

也可以直接看：順時針轉

\frac{3 π}{2} \approx 4.712

到

y

軸正向，轉

2 π \approx 6.283

回到

x

軸正向；

5

介於兩者之間，終邊在這兩條半軸之間，就是第一象限。

第 2 題

18 0^{\circ} = π

弳，所以

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳。

42 0^{\circ} = 420 \times \frac{π}{180} = \frac{7 π}{3}

弳。

第 3 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

\frac{7 π}{4}

弳

= \frac{7}{4} \times 18 0^{\circ} = 31 5^{\circ}

。

第 4 題

2025 = 360 \times 5 + 225

，所以

202 5^{\circ}

與

22 5^{\circ}

是同界角，且

0^{\circ} \leq 22 5^{\circ} < 36 0^{\circ}

。化成弧度：

225 \times \frac{π}{180} = \frac{5 π}{4}

。

題目要的是弧度，

0 \leq θ < 2 π

相當於

0^{\circ}

到

36 0^{\circ}

之間；先用度找同界角，最後再換成弧度比較好算。

第 5 題逐項換成度來看。

sin \frac{2 π}{3} = sin 12 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

；

cos \frac{π}{6} = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

；

sin \frac{7 π}{6} = sin 21 0^{\circ} = - sin 3 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

；

tan \frac{5 π}{4} = tan 22 5^{\circ} = tan 4 5^{\circ} = 1

。原式

= \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} + (- \frac{1}{2}) \times 1 = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

。

21 0^{\circ}

在第三象限，正弦是負的；

22 5^{\circ}

也在第三象限，但正切在第三象限是正的。

弧度與度互換只要記住 π 弳等於一百八十度；判斷象限時把 π 當成約三點一四來估。

02填充 6～8（原卷填充 5～7）：扇形、弓形、圓錐展開圖與兩圓重疊

第 6 題設

O

為

\overline{A B}

中點，半圓半徑

10

。

C

是弧中點，所以

\overline{O C} ⊥ \overline{A B}

，

△ O B C

是兩股

10

的等腰直角三角形，

∠ A B C = \frac{π}{4}

。右邊的灰色是弦

\overline{B C}

與半圓圍成的弓形：扇形

O B C

面積

\frac{1}{2} \cdot 1 0^{2} \cdot \frac{π}{2} = 25 π

，減去

△ O B C

面積

\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50

，得

25 π - 50

。左邊的灰色是扇形

B A D

扣掉半圓在

\overline{B C}

左側的部分：扇形

B A D

的半徑

20

、圓心角

\frac{π}{4}

，面積

\frac{1}{2} \cdot 2 0^{2} \cdot \frac{π}{4} = 50 π

；半圓在

\overline{B C}

左側的部分

=

半圓

50 π

減去弓形

(25 π - 50)

= 25 π + 50

；相減得

50 π - (25 π + 50) = 25 π - 50

。灰色面積合計

2 (25 π - 50) = 50 π - 100

。

扇形

B A D

的面積

50 π

剛好等於半圓的面積

50 π

，兩者都扣掉共同的白色部分，所以左邊的灰色與右邊的弓形面積相等。數值約為

57.08

。

第 7 題側面展開成扇形時，扇形的半徑是圓錐的斜高

5

，扇形的弧長等於底圓的周長

2 π \cdot 3 = 6 π

。扇形的周長是兩條半徑加一段弧：

5 + 5 + 6 π = 10 + 6 π

。

題目問的是周長，不是弧長，兩條半徑要算進去。這個扇形的圓心角是

\frac{6 π}{5}

弳。

第 8 題設小圓圓心

O_{1}

、大圓圓心

O_{2}

，兩圓交於

P

、

Q

。

△ O_{1} P O_{2}

三邊為

1

、

3

、

2

，

1^{2} + (3)^{2} = 2^{2}

，所以

∠ O_{1} P O_{2}

是直角，且

cos ∠ P O_{1} O_{2} = \frac{1}{2}

，

∠ P O_{1} O_{2} = \frac{π}{3}

，

∠ P O_{2} O_{1} = \frac{π}{6}

。由對稱，

∠ P O_{1} Q = \frac{2 π}{3}

，

∠ P O_{2} Q = \frac{π}{3}

。扇形

O_{1} P Q

面積

\frac{1}{2} \cdot 1^{2} \cdot \frac{2 π}{3} = \frac{π}{3}

；扇形

O_{2} P Q

面積

\frac{1}{2} \cdot (3)^{2} \cdot \frac{π}{3} = \frac{π}{2}

。兩個扇形合起來剛好蓋住四邊形

O_{1} P O_{2} Q

，其中重疊部分被算了兩次，所以重疊面積

=

兩扇形面積和

-

四邊形面積。四邊形

O_{1} P O_{2} Q

是兩個全等的直角三角形，面積

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 3

。重疊面積

= \frac{π}{3} + \frac{π}{2} - 3 = \frac{5 π}{6} - 3

。

也可以拆成兩個弓形：小圓的弓形

\frac{π}{3} - \frac{3}{4}

，大圓的弓形

\frac{π}{2} - \frac{3 3}{4}

，相加結果相同。兩個扇形的圓心角不一樣大（

\frac{2 π}{3}

與

\frac{π}{3}

），要分別算。數值約為

0.886

。

弓形面積等於扇形減三角形；圓錐側面展開圖的弧長就是底圓的周長。

03填充 9～13（原卷填充 8～12）：正弦函數的圖形

第 9 題解

sin x = \frac{1}{2}

。在

0 \leq x < 2 π

內

x = \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6}

；每加

2 π

再出現一次，所以正的解依序是

\frac{π}{6} \approx 0.52

、

\frac{5 π}{6} \approx 2.62

、

\frac{13 π}{6} \approx 6.81

、

\frac{17 π}{6} \approx 8.90

、

\frac{25 π}{6} \approx 13.09

、…。不超過

10

的有前四個，所以有

4

個交點。

x

的範圍是到

10

，不是到

10 π

或

1 0^{\circ}

。

3 π \approx 9.42 < 10 < 4 π \approx 12.57

，在

3 π

到

10

之間

sin x

是負的，不會再有交點。

第 10 題不論

x

是多少，

- 1 \leq sin (6 x - \frac{π}{7}) \leq 1

，而且

1

與

- 1

都取得到。所以

M = 5 \cdot 1 + 8 = 13

，

m = 5 \cdot (- 1) + 8 = 3

，

M + m = 16

。

括號裡的

6

與

\frac{π}{7}

只影響週期與左右位置，不影響最大值與最小值。

M + m

剛好是上下平移量

8

的兩倍。

第 11 題圖形最高到

y = 3

、最低到

y = - 1

，振幅是最大值與最小值之差的一半：

b = \frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

。標出的兩個交點

(\frac{5 π}{18}, 0)

、

(\frac{17 π}{18}, 0)

都是圖形由下往上穿過

x

軸的位置，而且是相鄰的兩個，兩者相距一個週期：

a = \frac{17 π}{18} - \frac{5 π}{18} = \frac{12 π}{18} = \frac{2 π}{3}

。所以

(a, b) = (\frac{2 π}{3}, 2)

。

這兩點之間圖形還有一次由上往下穿過

x

軸，所以它們不是相鄰的交點，而是「同一種穿法」的相鄰兩點，相距正好一個週期。振幅不是最大值

3

；圖形的中心線是

y = 1

。檢查：

y = 1 - 2 sin 3 x

的週期

\frac{2 π}{3}

、最大值

3

、最小值

- 1

，且

x = \frac{5 π}{18}

時

sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

，

y = 0

，與圖相符。

第 12 題鉛直方向拉伸

5

倍：每個

y

值乘以

5

，

m (x) = 5 sin x

。水平方向壓縮成

\frac{1}{2}

倍：把

x

換成

2 x

，

n (x) = 5 sin 2 x

，週期由

2 π

變成

π

。向左平移

\frac{π}{6}

：把

x

換成

x + \frac{π}{6}

，得

5 sin 2 (x + \frac{π}{6}) = 5 sin (2 x + \frac{π}{3})

。再向下平移

2

：

g (x) = 5 sin (2 x + \frac{π}{3}) - 2

。

向左平移時是把

x

整個換成

x + \frac{π}{6}

，所以括號裡加的是

2 \times \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

，不是

\frac{π}{6}

。本頁把「水平方向壓縮

\frac{1}{2}

倍」讀作以

y

軸為基準、水平方向伸縮為原來的

\frac{1}{2}

倍；答案也可寫成

5 sin 2 (x + \frac{π}{6}) - 2

。本卷來源無參考答案，以校方答案為準。

第 13 題先看一個週期

0 \leq x < 2 π

：

sin x = - \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{7 π}{6}

與

\frac{11 π}{6}

（參考角

\frac{π}{6}

，在第三、四象限）。

y = sin x

的圖形在這兩點之間落在直線

y = - \frac{1}{2}

的下方（中間的

x = \frac{3 π}{2}

處

sin x = - 1

），所以

\frac{7 π}{6} < x < \frac{11 π}{6}

。範圍是

0 \leq x \leq 4 π

，共兩個週期，第二個週期把兩個端點各加

2 π

：

\frac{19 π}{6} < x < \frac{23 π}{6}

。

不等式是「小於」不含等號，端點不取。範圍到

4 π

，有兩段，只寫第一段是不完整的。

\frac{23 π}{6} < 4 π = \frac{24 π}{6}

，第二段整段都在範圍內。

振幅看最高與最低差的一半，週期看同一種位置重複出現的間隔；先伸縮再平移時，平移量要加在自變數上。

04單選 14～19（原卷單選 1～6）：環狀扇形、弧度與象限、比大小、週期、圖形與週期性模型

第 14 題答案 (B)。

C D ⌢

在半徑

4

的小圓上，弧長

6 = 4 θ

，圓心角

θ = \frac{3}{2}

弳。陰影是大扇形

O A B

減去小扇形

O C D

：

\frac{1}{2} \cdot 6^{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4^{2} \cdot \frac{3}{2} = 27 - 12 = 15

。

弧長

6

是一個長度，不含

π

，所以圓心角

\frac{3}{2}

與面積

15

也都不含

π

。小扇形的面積也可以用

\frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12

來算。

第 15 題答案 (C)。輪子半徑

1

，繩子沿圓周纏繞的弧長

10

對應的圓心角是

\frac{10}{1} = 10

弳，所以

B

是從

A

（

x

軸正向）逆時針轉

10

弳的位置。

10 - 2 π \approx 3.717

，而

π \approx 3.142 < 3.717 < \frac{3 π}{2} \approx 4.712

，終邊在第三象限。

本頁的讀法是繩子整條緊貼輪緣纏繞，

B

在輪緣上。繞一圈用掉

2 π \approx 6.28

公分，剩下約

3.72

公分再繞半圈多一點。

第 16 題答案 (C)。

1

弳約

57. 3^{\circ}

，所以

1

、

2

、

3

、

4

、

5

弳分別約為

57. 3^{\circ}

、

114. 6^{\circ}

、

171. 9^{\circ}

、

229. 2^{\circ}

、

286. 5^{\circ}

。化成銳角：

sin 1 \approx sin 57. 3^{\circ}

；

sin 2 \approx sin (18 0^{\circ} - 114. 6^{\circ}) = sin 65. 4^{\circ}

；

sin 3 \approx sin 8. 1^{\circ}

；

sin 4 \approx - sin 49. 2^{\circ}

；

sin 5 \approx - sin 73. 5^{\circ}

。銳角的正弦隨角度增加而變大，所以由小到大是

sin 5 < sin 4 < sin 3 < sin 1 < sin 2

，排在正中間的是

sin 3

。

sin 3

是正的但很接近

0

（約

0.14

），因為

3

弳只比

π

小一點；兩個負的

sin 4

、

sin 5

排在它前面，兩個較大的正數

sin 1

、

sin 2

排在它後面。

第 17 題答案 (E)。

y = a sin k x

（

k > 0

）的週期是

\frac{2 π}{k}

，與前面的係數

a

無關。(A)

k = \frac{1}{3}

，週期

6 π

。(B)

k = 3

，週期

\frac{2 π}{3}

。(C)

k = \frac{1}{3}

，週期

6 π

。(D)

k = \frac{1}{6}

，週期

12 π

。(E)

k = 6

，週期

\frac{π}{3}

。最小的是 (E)。

x

的係數愈大，圖形在水平方向壓得愈扁，週期愈小；前面的

3

、

2

只改變振幅。

第 18 題答案 (A)。圖形過原點後先上升，下一次回到

x

軸是在

(\frac{π}{2}, 0)

，這是半個週期，所以週期是

π

（圖上

x = π

處剛好走完一個完整的波）。

y = a sin k x

的週期

\frac{2 π}{k} = π

，

k = 2

，只剩 (A)、(B)。再看高度：圖形的最高點只到

y

軸上

0

與

1

的正中間，振幅是

\frac{1}{2}

，所以是

y = \frac{1}{2} sin 2 x

。

(B)

y = sin 2 x

的週期也是

π

，差別只在最高點要碰到

1

；(E)

y = sin x

要到

x = π

才第一次回到

x

軸。

第 19 題答案 (D)。

sin

的值最大是

1

，所以

f (x)

最大是

2000 \cdot 1 + 6000 = 8000

，發生在

\frac{π}{12} x - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

，即

\frac{π}{12} x = \frac{2 π}{3}

，

x = 8

。

8

月在選項裡，所以

8

月最多。逐一代入檢查：

f (2) = 2000 sin 0 + 6000 = 6000

；

f (4) = 2000 sin \frac{π}{6} + 6000 = 7000

；

f (6) = 2000 sin \frac{π}{3} + 6000 \approx 7732

；

f (8) = 2000 sin \frac{π}{2} + 6000 = 8000

；

f (9) = 2000 sin \frac{7 π}{12} + 6000 \approx 7932

。

x

從

1

到

12

時，括號裡的角從

- \frac{π}{12}

增加到

\frac{5 π}{6}

，只經過一次

\frac{π}{2}

，所以一年裡最多的就是

8

月。

9

月的角

\frac{7 π}{12}

（

10 5^{\circ}

）已經超過

\frac{π}{2}

，正弦值開始變小。

弧長除以半徑就是弧度；正弦型函數的週期只看自變數的係數，振幅只看前面的係數，最大值出現在括號裡的角等於二分之 π 的時候。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

溪湖高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

溪湖高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

原卷單選第 3 題（本頁第 16 題）：五個角都是弧度，要先換成度、化成銳角，並留意四弳與五弳的正弦是負的。原卷填充第 7 題（本頁第 8 題）：兩圓重疊部分要先由三邊長看出直角，兩個扇形的圓心角不一樣大。原卷填充第 5 題（本頁第 6 題）：灰色有兩塊，都要化成扇形減三角形來算。原卷填充第 12 題（本頁第 13 題）：範圍有兩個週期，答案是兩段。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自溪湖高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧度角的三角函數值、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期）

溪湖高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

填充題 12 題共 13 格（70 分）、單選題 6 題（30 分）

請問：

- 5

弳在第 ____ 象限。

填充第 2 題（第 2～3 題）　試將以下的度數化為弳度，弳度化為度數：

(1)

42 0^{\circ} =

____ 弳。

(2)

\frac{7 π}{4}

弳

=

____ 度。

在坐標平面上，若

θ

與

202 5^{\circ}

為同界角，且

0 \leq θ < 2 π

，則

θ

為 ____ 弳。

sin \frac{2 π}{3} \times cos \frac{π}{6} + sin \frac{7 π}{6} \times tan \frac{5 π}{4} =

____。

附圖中，

\overline{A B} = 20

，以

\overline{A B}

為直徑的半圓，

C

為

A B ⌢

弧中點，今以

B

為圓心，

\overline{A B}

為半徑作一圓弧與直線

B C

交於

D

點，則灰色部分面積為 ____。

載入中...

直圓錐展開後，側面為一扇形；設直圓錐底圓的半徑為

3

單位，側面扇形的半徑為

5

單位，則此直圓錐的側面扇形的周長為 ____。

載入中...

如圖，兩圓半徑分別為

1

及

3

，已知兩圓心距離為

2

，試問重疊部分的面積為 ____。

載入中...

試問：

f (x) = sin x

與

g (x) = \frac{1}{2}

兩函數圖形在

0 \leq x \leq 10

之間有 ____ 個交點。

已知函數

y = 5 sin (6 x - \frac{π}{7}) + 8

的最大值

M

及最小值

m

，則

M + m =

____。

如圖為某個週期函數的圖形，若此函數的週期為

a

，振幅為

b

，則數對

(a, b) =

____。

載入中...

若函數

y = sin x

的圖形，先在鉛直方向拉伸

5

倍得

y = m (x)

，再在水平方向壓縮

\frac{1}{2}

倍得

y = n (x)

，最後向左平移

\frac{π}{6}

單位、向下平移

2

單位得

y = g (x)

，則函數

g (x) =

____。

設

0 \leq x \leq 4 π

，則滿足不等式

sin x < \frac{- 1}{2}

之

x

的範圍是 ____。

二、單選題（每題 5 分，共 30 分）（本頁第 14～19 題依序為原卷單選第 1～6 題）

如附圖，兩同心圓的半徑分別是

4

和

6

，且

C D ⌢

的長度是

6

，求陰影部分的面積是？

(A) $8$
(B) $15$
(C) $6 π$
(D) $12 π$
(E) $\frac{25 π}{3}$

載入中...

將一繩長為

10

公分的繩子一端固定在

A

點上，將此繩子逆時針纏繞在如圖的圓形輪上，輪子的半徑是

1

公分，且繩子的另一端點為

B

，則

B

點在什麼位置？

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) $x$ 軸或 $y$ 軸上

載入中...

關於

sin 1

、

sin 2

、

sin 3

、

sin 4

、

sin 5

這五個數值，何者為中位數？

(A) $sin 1$
(B) $sin 2$
(C) $sin 3$
(D) $sin 4$
(E) $sin 5$

下列哪一個函數的週期最小？

(A) $y = sin \frac{x}{3}$
(B) $y = sin 3 x$
(C) $y = 3 sin \frac{x}{3}$
(D) $y = 3 sin \frac{x}{6}$
(E) $y = 2 sin 6 x$

如圖最有可能是下列哪一個函數的圖形？

(A) $y = \frac{1}{2} sin 2 x$
(B) $y = sin 2 x$
(C) $y = 2 sin \frac{x}{2}$
(D) $y = sin \frac{x}{2}$
(E) $y = sin x$

載入中...

一手搖飲料店家觀察，每年各個月分與該月分飲料銷售杯數呈週期性的規律變化。設每年的

x

月與該月飲料銷售杯數

f (x)

的關係可表示為

f (x) = 2000 sin (\frac{π}{12} x - \frac{π}{6}) + 6000

，試問下列哪個月分的飲料銷售杯數最多？

(A) $2$ 月
(B) $4$ 月
(C) $6$ 月
(D) $8$ 月
(E) $9$ 月

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題一

第 2 題

\frac{7 π}{3}

第 3 題

315

第 4 題

\frac{5 π}{4}

第 5 題

\frac{1}{4}

第 6 題

50 π - 100

第 7 題

10 + 6 π

第 8 題

\frac{5 π}{6} - 3

第 9 題

4

第 10 題

16

第 11 題

(\frac{2 π}{3}, 2)

第 12 題

5 sin (2 x + \frac{π}{3}) - 2

第 13 題

\frac{7 π}{6} < x < \frac{11 π}{6}

或

\frac{19 π}{6} < x < \frac{23 π}{6}

第 14 題(B)

第 15 題(C)

第 16 題(C)

第 17 題(E)

第 18 題(A)

第 19 題(D)

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01填充 1～5（原卷填充 1～4）：弧度量與特殊角

第 1 題

- 5

弳是順時針轉

5

弳。加上一圈

2 π \approx 6.283

得同界角

2 π - 5 \approx 1.283

。因為

0 < 1.283 < \frac{π}{2} \approx 1.571

，所以終邊落在第一象限。

也可以直接看：順時針轉

\frac{3 π}{2} \approx 4.712

到

y

軸正向，轉

2 π \approx 6.283

回到

x

軸正向；

5

介於兩者之間，終邊在這兩條半軸之間，就是第一象限。

第 2 題

18 0^{\circ} = π

弳，所以

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳。

42 0^{\circ} = 420 \times \frac{π}{180} = \frac{7 π}{3}

弳。

第 3 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

\frac{7 π}{4}

弳

= \frac{7}{4} \times 18 0^{\circ} = 31 5^{\circ}

。

第 4 題

2025 = 360 \times 5 + 225

，所以

202 5^{\circ}

與

22 5^{\circ}

是同界角，且

0^{\circ} \leq 22 5^{\circ} < 36 0^{\circ}

。化成弧度：

225 \times \frac{π}{180} = \frac{5 π}{4}

。

題目要的是弧度，

0 \leq θ < 2 π

相當於

0^{\circ}

到

36 0^{\circ}

之間；先用度找同界角，最後再換成弧度比較好算。

第 5 題逐項換成度來看。

sin \frac{2 π}{3} = sin 12 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

；

cos \frac{π}{6} = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

；

sin \frac{7 π}{6} = sin 21 0^{\circ} = - sin 3 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

；

tan \frac{5 π}{4} = tan 22 5^{\circ} = tan 4 5^{\circ} = 1

。原式

= \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} + (- \frac{1}{2}) \times 1 = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

。

21 0^{\circ}

在第三象限，正弦是負的；

22 5^{\circ}

也在第三象限，但正切在第三象限是正的。

弧度與度互換只要記住 π 弳等於一百八十度；判斷象限時把 π 當成約三點一四來估。

02填充 6～8（原卷填充 5～7）：扇形、弓形、圓錐展開圖與兩圓重疊

第 6 題設

O

為

\overline{A B}

中點，半圓半徑

10

。

C

是弧中點，所以

\overline{O C} ⊥ \overline{A B}

，

△ O B C

是兩股

10

的等腰直角三角形，

∠ A B C = \frac{π}{4}

。右邊的灰色是弦

\overline{B C}

與半圓圍成的弓形：扇形

O B C

面積

\frac{1}{2} \cdot 1 0^{2} \cdot \frac{π}{2} = 25 π

，減去

△ O B C

面積

\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50

，得

25 π - 50

。左邊的灰色是扇形

B A D

扣掉半圓在

\overline{B C}

左側的部分：扇形

B A D

的半徑

20

、圓心角

\frac{π}{4}

，面積

\frac{1}{2} \cdot 2 0^{2} \cdot \frac{π}{4} = 50 π

；半圓在

\overline{B C}

左側的部分

=

半圓

50 π

減去弓形

(25 π - 50)

= 25 π + 50

；相減得

50 π - (25 π + 50) = 25 π - 50

。灰色面積合計

2 (25 π - 50) = 50 π - 100

。

扇形

B A D

的面積

50 π

剛好等於半圓的面積

50 π

，兩者都扣掉共同的白色部分，所以左邊的灰色與右邊的弓形面積相等。數值約為

57.08

。

第 7 題側面展開成扇形時，扇形的半徑是圓錐的斜高

5

，扇形的弧長等於底圓的周長

2 π \cdot 3 = 6 π

。扇形的周長是兩條半徑加一段弧：

5 + 5 + 6 π = 10 + 6 π

。

題目問的是周長，不是弧長，兩條半徑要算進去。這個扇形的圓心角是

\frac{6 π}{5}

弳。

第 8 題設小圓圓心

O_{1}

、大圓圓心

O_{2}

，兩圓交於

P

、

Q

。

△ O_{1} P O_{2}

三邊為

1

、

3

、

2

，

1^{2} + (3)^{2} = 2^{2}

，所以

∠ O_{1} P O_{2}

是直角，且

cos ∠ P O_{1} O_{2} = \frac{1}{2}

，

∠ P O_{1} O_{2} = \frac{π}{3}

，

∠ P O_{2} O_{1} = \frac{π}{6}

。由對稱，

∠ P O_{1} Q = \frac{2 π}{3}

，

∠ P O_{2} Q = \frac{π}{3}

。扇形

O_{1} P Q

面積

\frac{1}{2} \cdot 1^{2} \cdot \frac{2 π}{3} = \frac{π}{3}

；扇形

O_{2} P Q

面積

\frac{1}{2} \cdot (3)^{2} \cdot \frac{π}{3} = \frac{π}{2}

。兩個扇形合起來剛好蓋住四邊形

O_{1} P O_{2} Q

，其中重疊部分被算了兩次，所以重疊面積

=

兩扇形面積和

-

四邊形面積。四邊形

O_{1} P O_{2} Q

是兩個全等的直角三角形，面積

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 3

。重疊面積

= \frac{π}{3} + \frac{π}{2} - 3 = \frac{5 π}{6} - 3

。

也可以拆成兩個弓形：小圓的弓形

\frac{π}{3} - \frac{3}{4}

，大圓的弓形

\frac{π}{2} - \frac{3 3}{4}

，相加結果相同。兩個扇形的圓心角不一樣大（

\frac{2 π}{3}

與

\frac{π}{3}

），要分別算。數值約為

0.886

。

弓形面積等於扇形減三角形；圓錐側面展開圖的弧長就是底圓的周長。

03填充 9～13（原卷填充 8～12）：正弦函數的圖形

第 9 題解

sin x = \frac{1}{2}

。在

0 \leq x < 2 π

內

x = \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6}

；每加

2 π

再出現一次，所以正的解依序是

\frac{π}{6} \approx 0.52

、

\frac{5 π}{6} \approx 2.62

、

\frac{13 π}{6} \approx 6.81

、

\frac{17 π}{6} \approx 8.90

、

\frac{25 π}{6} \approx 13.09

、…。不超過

10

的有前四個，所以有

4

個交點。

x

的範圍是到

10

，不是到

10 π

或

1 0^{\circ}

。

3 π \approx 9.42 < 10 < 4 π \approx 12.57

，在

3 π

到

10

之間

sin x

是負的，不會再有交點。

第 10 題不論

x

是多少，

- 1 \leq sin (6 x - \frac{π}{7}) \leq 1

，而且

1

與

- 1

都取得到。所以

M = 5 \cdot 1 + 8 = 13

，

m = 5 \cdot (- 1) + 8 = 3

，

M + m = 16

。

括號裡的

6

與

\frac{π}{7}

只影響週期與左右位置，不影響最大值與最小值。

M + m

剛好是上下平移量

8

的兩倍。

第 11 題圖形最高到

y = 3

、最低到

y = - 1

，振幅是最大值與最小值之差的一半：

b = \frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

。標出的兩個交點

(\frac{5 π}{18}, 0)

、

(\frac{17 π}{18}, 0)

都是圖形由下往上穿過

x

軸的位置，而且是相鄰的兩個，兩者相距一個週期：

a = \frac{17 π}{18} - \frac{5 π}{18} = \frac{12 π}{18} = \frac{2 π}{3}

。所以

(a, b) = (\frac{2 π}{3}, 2)

。

這兩點之間圖形還有一次由上往下穿過

x

軸，所以它們不是相鄰的交點，而是「同一種穿法」的相鄰兩點，相距正好一個週期。振幅不是最大值

3

；圖形的中心線是

y = 1

。檢查：

y = 1 - 2 sin 3 x

的週期

\frac{2 π}{3}

、最大值

3

、最小值

- 1

，且

x = \frac{5 π}{18}

時

sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

，

y = 0

，與圖相符。

第 12 題鉛直方向拉伸

5

倍：每個

y

值乘以

5

，

m (x) = 5 sin x

。水平方向壓縮成

\frac{1}{2}

倍：把

x

換成

2 x

，

n (x) = 5 sin 2 x

，週期由

2 π

變成

π

。向左平移

\frac{π}{6}

：把

x

換成

x + \frac{π}{6}

，得

5 sin 2 (x + \frac{π}{6}) = 5 sin (2 x + \frac{π}{3})

。再向下平移

2

：

g (x) = 5 sin (2 x + \frac{π}{3}) - 2

。

向左平移時是把

x

整個換成

x + \frac{π}{6}

，所以括號裡加的是

2 \times \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

，不是

\frac{π}{6}

。本頁把「水平方向壓縮

\frac{1}{2}

倍」讀作以

y

軸為基準、水平方向伸縮為原來的

\frac{1}{2}

倍；答案也可寫成

5 sin 2 (x + \frac{π}{6}) - 2

。本卷來源無參考答案，以校方答案為準。

第 13 題先看一個週期

0 \leq x < 2 π

：

sin x = - \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{7 π}{6}

與

\frac{11 π}{6}

（參考角

\frac{π}{6}

，在第三、四象限）。

y = sin x

的圖形在這兩點之間落在直線

y = - \frac{1}{2}

的下方（中間的

x = \frac{3 π}{2}

處

sin x = - 1

），所以

\frac{7 π}{6} < x < \frac{11 π}{6}

。範圍是

0 \leq x \leq 4 π

，共兩個週期，第二個週期把兩個端點各加

2 π

：

\frac{19 π}{6} < x < \frac{23 π}{6}

。

不等式是「小於」不含等號，端點不取。範圍到

4 π

，有兩段，只寫第一段是不完整的。

\frac{23 π}{6} < 4 π = \frac{24 π}{6}

，第二段整段都在範圍內。

振幅看最高與最低差的一半，週期看同一種位置重複出現的間隔；先伸縮再平移時，平移量要加在自變數上。

04單選 14～19（原卷單選 1～6）：環狀扇形、弧度與象限、比大小、週期、圖形與週期性模型

第 14 題答案 (B)。

C D ⌢

在半徑

4

的小圓上，弧長

6 = 4 θ

，圓心角

θ = \frac{3}{2}

弳。陰影是大扇形

O A B

減去小扇形

O C D

：

\frac{1}{2} \cdot 6^{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4^{2} \cdot \frac{3}{2} = 27 - 12 = 15

。

弧長

6

是一個長度，不含

π

，所以圓心角

\frac{3}{2}

與面積

15

也都不含

π

。小扇形的面積也可以用

\frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12

來算。

第 15 題答案 (C)。輪子半徑

1

，繩子沿圓周纏繞的弧長

10

對應的圓心角是

\frac{10}{1} = 10

弳，所以

B

是從

A

（

x

軸正向）逆時針轉

10

弳的位置。

10 - 2 π \approx 3.717

，而

π \approx 3.142 < 3.717 < \frac{3 π}{2} \approx 4.712

，終邊在第三象限。

本頁的讀法是繩子整條緊貼輪緣纏繞，

B

在輪緣上。繞一圈用掉

2 π \approx 6.28

公分，剩下約

3.72

公分再繞半圈多一點。

第 16 題答案 (C)。

1

弳約

57. 3^{\circ}

，所以

1

、

2

、

3

、

4

、

5

弳分別約為

57. 3^{\circ}

、

114. 6^{\circ}

、

171. 9^{\circ}

、

229. 2^{\circ}

、

286. 5^{\circ}

。化成銳角：

sin 1 \approx sin 57. 3^{\circ}

；

sin 2 \approx sin (18 0^{\circ} - 114. 6^{\circ}) = sin 65. 4^{\circ}

；

sin 3 \approx sin 8. 1^{\circ}

；

sin 4 \approx - sin 49. 2^{\circ}

；

sin 5 \approx - sin 73. 5^{\circ}

。銳角的正弦隨角度增加而變大，所以由小到大是

sin 5 < sin 4 < sin 3 < sin 1 < sin 2

，排在正中間的是

sin 3

。

sin 3

是正的但很接近

0

（約

0.14

），因為

3

弳只比

π

小一點；兩個負的

sin 4

、

sin 5

排在它前面，兩個較大的正數

sin 1

、

sin 2

排在它後面。

第 17 題答案 (E)。

y = a sin k x

（

k > 0

）的週期是

\frac{2 π}{k}

，與前面的係數

a

無關。(A)

k = \frac{1}{3}

，週期

6 π

。(B)

k = 3

，週期

\frac{2 π}{3}

。(C)

k = \frac{1}{3}

，週期

6 π

。(D)

k = \frac{1}{6}

，週期

12 π

。(E)

k = 6

，週期

\frac{π}{3}

。最小的是 (E)。

x

的係數愈大，圖形在水平方向壓得愈扁，週期愈小；前面的

3

、

2

只改變振幅。

第 18 題答案 (A)。圖形過原點後先上升，下一次回到

x

軸是在

(\frac{π}{2}, 0)

，這是半個週期，所以週期是

π

（圖上

x = π

處剛好走完一個完整的波）。

y = a sin k x

的週期

\frac{2 π}{k} = π

，

k = 2

，只剩 (A)、(B)。再看高度：圖形的最高點只到

y

軸上

0

與

1

的正中間，振幅是

\frac{1}{2}

，所以是

y = \frac{1}{2} sin 2 x

。

(B)

y = sin 2 x

的週期也是

π

，差別只在最高點要碰到

1

；(E)

y = sin x

要到

x = π

才第一次回到

x

軸。

第 19 題答案 (D)。

sin

的值最大是

1

，所以

f (x)

最大是

2000 \cdot 1 + 6000 = 8000

，發生在

\frac{π}{12} x - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

，即

\frac{π}{12} x = \frac{2 π}{3}

，

x = 8

。

8

月在選項裡，所以

8

月最多。逐一代入檢查：

f (2) = 2000 sin 0 + 6000 = 6000

；

f (4) = 2000 sin \frac{π}{6} + 6000 = 7000

；

f (6) = 2000 sin \frac{π}{3} + 6000 \approx 7732

；

f (8) = 2000 sin \frac{π}{2} + 6000 = 8000

；

f (9) = 2000 sin \frac{7 π}{12} + 6000 \approx 7932

。

x

從

1

到

12

時，括號裡的角從

- \frac{π}{12}

增加到

\frac{5 π}{6}

，只經過一次

\frac{π}{2}

，所以一年裡最多的就是

8

月。

9

月的角

\frac{7 π}{12}

（

10 5^{\circ}

）已經超過

\frac{π}{2}

，正弦值開始變小。

弧長除以半徑就是弧度；正弦型函數的週期只看自變數的係數，振幅只看前面的係數，最大值出現在括號裡的角等於二分之 π 的時候。

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01填充 1～5（原卷填充 1～4）：弧度量與特殊角

02填充 6～8（原卷填充 5～7）：扇形、弓形、圓錐展開圖與兩圓重疊

03填充 9～13（原卷填充 8～12）：正弦函數的圖形

04單選 14～19（原卷單選 1～6）：環狀扇形、弧度與象限、比大小、週期、圖形與週期性模型

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高二第一次段考
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