段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數的圖形、對數與對數律、換底公式、對數函數的圖形、指數對數方程式與不等式、常用對數的應用）

苑裡高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 苑裡高中 112 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 20 題要看出只需檢查正方形左右邊之間那一段曲線，正負兩種 a 都要討論，a 等於 0 也算；第 18 題要把右邊合成一個對數再令 t 換成二次不等式；第 10 題底數小於 1，比較指數時不等號要反向；第 21 題翻倍再翻倍是四倍不是兩倍。詳解逐題寫在本頁。

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

單選題 4 題，每題 4 分，共 16 分；多選題 3 題，每題 6 分，共 18 分；填充題 A～N 共 60 分，依答對格數計分；計算題 3 小題，每小題 3 分，共 9 分。各大題配分合計 103 分。原卷四大題各自編號，本頁依序連續編號：多選 1～3 為第 5～7 題，填充 A～N 為第 8～21 題，計算 (1)～(3) 為第 22～24 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單一選擇題（每題4分，共16分）

下列哪一個數最小？

(A) $(0.5)^{- 2}$
(B) $(0.5)^{- 5}$
(C) $(0.5)^{- 3}$
(D) $(0.5)^{- 1.5}$
(E) $(0.5)^{- 0.5}$

試求

\frac{lo g 64}{lo g 12 - lo g 6} =

？

(A) $2$
(B) $3$
(C) $4$
(D) $5$
(E) $6$

設下列選項中有一個是

y = lo g_{0.6} x

的圖形，選出正確的選項？

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)
(E) 以上皆非

載入中...

某物質的半衰期為90天，若在一開始，質量為16公斤，則一年後，該物質的質量約為多少公克？請選出最接近的選項。

(A) $2000$
(B) $1000$
(C) $500$
(D) $250$
(E) $125$

二、多重選擇題（每題6分，共18分）

請問下列哪些選項是正確的？

(A) 若點 $(- 100, k)$ 在 $y = 2^{x}$ 的圖形上，則 $k > 0$
(B) 指數函數 $y = (0.99)^{x}$ 的圖形與 $y = 100$ 不相交
(C) 對數函數 $y = lo g x$ 的圖形是凹口向上
(D) 對數函數 $y = lo g x$ 的圖形與指數函數 $y = 1 0^{x}$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
(E) 若 $lo g a = 5.67$ ，則 $a$ 的整數部分為5位數

坐標平面上，在函數圖形上，

y = 2^{x}

標示 A、B、C、D 四個點，其

x

坐標分別為

- 1

、

0

、

1

、

2

。請選出正確的選項。

(A) 點B落在直線AC上方
(B) 在直線AB、直線BC、直線CD中，以直線CD的斜率最大
(C) A、B、C、D四個點,以點A最靠近 $x$ 軸
(D) 直線 $y = 2 x$ 與 $y = 2^{x}$ 的圖形有兩個交點
(E) 點A與點C對稱於 $y$ 軸

已知

(a, b)

是對數函數

y = lo g x

圖形上一點，問：下列哪些選項中的點也會在

y = lo g x

的圖形上？

(A) $(0, 1)$
(B) $(1, 0)$
(C) $(10 a, b + 1)$
(D) $(\frac{1}{a}, 1 - b)$
(E) $(a^{2}, 2 b)$

三、填充題（共60分）

解下列方程式

2 5^{x + 1} = (\frac{5}{5})^{3}

，則

x =

____。

利用指數函數嚴格遞增（減）的特性，比較

a = (0.09)^{0.5}

，

b = 0.3

，

c = (\frac{10}{3})^{- \frac{3}{2}}

三數的大小關係 ____。

解不等式

(\frac{1}{3})^{x^{2} - x} \leq (\frac{1}{9})^{2 x + 3}

，則

x

之範圍為 ____。

鉛製容器中有兩種質量相同的放射性物質甲與乙，且甲的半衰期為40小時。已知經過120小時後甲的質量為乙的兩倍，求乙的半衰期為 ____ 小時。（即質量變成原來的一半所花的時間）

lo g_{(x - 1)} (5 - 2 x)

有意義，求

x

的範圍 ____。

做某項試驗共有三種可能的結果,其發生的機率分別為

lo g_{4} k

、

lo g_{8} k

、

lo g_{64} k

、求實數

k

的值 ____。

設

x = lo g 5

，求

10 0^{x} - 0. 1^{x} =

____。

(1)

lo g \frac{4}{7} + \frac{1}{2} lo g 49 - \frac{4}{3} lo g 8 =

____。 (2)

lo g_{2} 3 \times lo g_{7} 8 \times lo g_{3} 7 =

____。

解方程式

lo g x + lo g (x - 5) = lo g 2 + lo g 3

，得

x =

____。

下圖為

y = lo g_{4} x

的圖形。設

P

、

Q

分別為直線

x = 8

、

y = \frac{1}{2}

與

y = lo g_{4} x

的交點，求直線

P Q

的斜率 ____。

載入中...

解不等式

lo g_{8} (8^{x} + 128) < \frac{x}{2} + 1 + lo g_{8} 3

，得

x

的範圍為 ____。

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，則

4^{40} \times 3^{100}

的位數為

a

，最高位數字為

b

，則

a + b =

____。

在坐標平面上，

Γ

是邊長為

4

的正方形，其中心位在點

(1, 1)

，且各邊與坐標軸平行。已知函數

y = a \times 3^{x}

的圖形與

Γ

相交，其中

a

為實數，則

a

的最大可能範圍為 ____。

宗哥來國苑教書已經22年了，好不容易累積了一筆資產，為了想要早日財富自由退休，決定將所有資產all in ETF當存股族。假設ETF每年年化報酬有10%的獲利。將此獲利再投入EFF，希望利用複利讓資產翻倍再翻倍，屆時才能安心退休，則宗哥至少需要再教 ____ 幾年（取整數）才能退休。（已知

lo g 1.1 \approx 0.0414

，

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）。

四、計算題（9分）

計算題（第 22～24 題）　音量

s

（分貝）與聲音強度

w

（瓦特）的關係式如下：

s = 10 lo g (\frac{w}{1 0 ^{- 12}})

《琵琶行》中提到「大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私語」。設急雨的音量為

60

分貝，私語的音量為

40

分貝。試回答下列問題：

(1)「小弦切切」的聲音強度為多少瓦特？（3分）

(2) 當多種聲音同時出現時，總聲音強度是將它們的聲音強度直接相加。若三位女子同時「小弦切切」地演奏琵琶，則其音量約為下列哪一個分貝數？（單選）（3分）

(A) $40$
(B) $43$
(C) $45$
(D) $70$
(E) $120$ 分貝

(3) 請問要多少位女子同時「小弦切切」地演奏琵琶，其音量分貝才能跟「大弦嘈嘈」的音量分貝一樣大？（3分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(E)

第 3 題(D)

第 4 題(B)

第 5 題(A)(D)

第 6 題(B)(C)(D)

第 7 題(B)(C)(E)

第 8 題

- \frac{7}{4}

第 9 題

b > a > c

第 10 題

x \leq - 1

或

x \geq 6

第 11 題

30

第 12 題

1 < x < \frac{5}{2}

，但

x \neq = 2

第 13 題

2

第 14 題

\frac{124}{5}

第 15 題(1)

0

　(2)

6

第 16 題

6

第 17 題

\frac{1}{6}

第 18 題

2 < x < \frac{8}{3}

第 19 題

78

第 20 題

- 3 \leq a \leq 9

第 21 題

15

第 22 題

1 0^{- 8}

瓦特

第 23 題(C)

第 24 題

100

位

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：同底指數比大小、對數律、對數函數圖形、半衰期

第 1 題答案 (E)。

0.5 = 2^{- 1}

，所以

(0.5)^{- t} = 2^{t}

，五個數依序是

2^{2}

、

2^{5}

、

2^{3}

、

2^{1.5}

、

2^{0.5}

。底數

2 > 1

，

y = 2^{x}

嚴格遞增，指數越小值越小。指數中最小的是

0.5

（

3 \approx 1.73

，

5 \approx 2.24

），所以最小的是

(0.5)^{- 0.5}

。

第 2 題答案 (E)。分母

lo g 12 - lo g 6 = lo g \frac{12}{6} = lo g 2

，分子

lo g 64 = lo g 2^{6} = 6 lo g 2

，所以原式

= \frac{6 lo g 2}{lo g 2} = 6

。

第 3 題答案 (D)。對數函數

y = lo g_{0.6} x

的定義域是

x > 0

，圖形全在

y

軸右側，且通過

(1, 0)

；圖 (A)、(B) 在

y

軸左側也有圖形，是指數函數的樣子，不合。底數

0.6

介於

0

與

1

之間，函數嚴格遞減：

x

越大，

y

越小。圖 (C) 是遞增的，不合；圖 (D) 通過

x

軸上一點後往右下降，靠近

y

軸時往上無限延伸，符合。

例如

x = 0.6

時

y = 1

，

x = \frac{1}{0.6}

時

y = - 1

：

x

由小到大，

y

由大到小。

第 4 題答案 (B)。

16

公斤

= 16000

公克。一年

365

天，經過

\frac{365}{90}

個半衰期，剩下

16000 \times (\frac{1}{2})^{\frac{365}{90}}

公克。

\frac{365}{90} = 4 + \frac{1}{18}

，所以剩下

\frac{16000}{2 ^{4}} \times (\frac{1}{2})^{\frac{1}{18}} = 1000 \times (\frac{1}{2})^{\frac{1}{18}}

公克。

(\frac{1}{2})^{\frac{1}{18}}

比

1

小一點點（取常用對數：

- \frac{0.3010}{18} \approx - 0.0167

，約為

0.96

），質量約

960

公克，最接近

1000

。

剛好 4 個半衰期是 360 天，剩 1000 公克；多出的 5 天只再少一點點。

同底指數比大小看底數大於 1 或小於 1；判斷對數圖形先看定義域，再看底數決定遞增或遞減。

02多選題：指數與對數函數圖形的性質、圖形上的點

第 5 題

答案 (A)(D)。

(A) 正確。 點在圖形上， $k = 2^{- 100}$ ；指數函數的值恆正，所以 $k > 0$ 。

(B) 錯誤。 底數 $0.99$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間， $x$ 越小 $(0.99)^{x}$ 越大，而且可以大於任何正數，所以一定有 $x$ 使 $(0.99)^{x} = 100$ （即 $x = lo g_{0.99} 100$ ），兩圖形相交。

(C) 錯誤。 在 $y = lo g x$ 的圖形上任取兩點 $(x_{1}, lo g x_{1})$ 、 $(x_{2}, lo g x_{2})$ （ $x_{1} \neq = x_{2}$ ），連線段中點的 $y$ 坐標是 $\frac{lo g x _{1} + lo g x _{2}}{2} = lo g x_{1} x_{2}$ ，而圖形上同一個 $x$ 坐標的點是 $lo g \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ 。由算幾不等式 $\frac{x _{1} + x _{2}}{2} > x_{1} x_{2}$ ，所以連線段在圖形下方，圖形是凹口向下。

(D) 正確。 $y = 1 0^{x}$ 與 $y = lo g x$ 互為反函數：點 $(s, t)$ 在 $y = 1 0^{x}$ 上若且唯若 $t = 1 0^{s}$ ，也就是 $s = lo g t$ ，即 $(t, s)$ 在 $y = lo g x$ 上。 $(s, t)$ 與 $(t, s)$ 對稱於直線 $y = x$ 。

(E) 錯誤。 $lo g a = 5.67 = 5 + 0.67$ ，所以 $1 0^{5} < a < 1 0^{6}$ ， $a$ 的整數部分是 $6$ 位數。

第 6 題

答案 (B)(C)(D)。四點為 $A (- 1, \frac{1}{2})$ 、 $B (0, 1)$ 、 $C (1, 2)$ 、 $D (2, 4)$ 。

(A) 錯誤。 直線 $A C$ 在 $x = 0$ 時的 $y$ 坐標是兩端的平均 $\frac{\frac{1}{2} + 2}{2} = \frac{5}{4}$ ，而 $B$ 的 $y$ 坐標是 $1 < \frac{5}{4}$ ，所以 $B$ 在直線 $A C$ 下方。

(B) 正確。 斜率： $A B$ 為 $\frac{1 - \frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}$ ， $B C$ 為 $\frac{2 - 1}{1} = 1$ ， $C D$ 為 $\frac{4 - 2}{1} = 2$ ，以 $C D$ 最大。

(D) 正確。 $x = 1$ 時 $2^{1} = 2 = 2 \times 1$ ， $x = 2$ 時 $2^{2} = 4 = 2 \times 2$ ，兩個都是交點。 $y = 2^{x}$ 的圖形凹口向上，一條直線與它最多兩個交點，所以恰有兩個交點。

(E) 錯誤。 對稱於 $y$ 軸的兩點 $y$ 坐標要相同，但 $A$ 的 $y$ 坐標是 $\frac{1}{2}$ ， $C$ 的是 $2$ 。

第 7 題

答案 (B)(C)(E)。由題意 $a > 0$ 且 $b = lo g a$ 。逐項看點的 $y$ 坐標是否等於 $x$ 坐標的常用對數。

(A) 錯誤。 $x$ 坐標 $0$ ， $lo g 0$ 無意義，點不在圖形上。

(B) 正確。 $lo g 1 = 0$ 。

(D) 錯誤。 $lo g \frac{1}{a} = - lo g a = - b$ ，不等於 $1 - b$ 。

(E) 正確。 $lo g a^{2} = 2 lo g a = 2 b$ 。

判斷點在不在對數圖形上，就把 x 坐標代進去，用對數律化成 log a 的式子，再和 y 坐標比。

03填充題：指數方程式與不等式、比較大小、半衰期

第 8 題化成以

5

為底：

2 5^{x + 1} = 5^{2 x + 2}

；

\frac{5}{5} = 5^{\frac{1}{2} - 1} = 5^{- \frac{1}{2}}

，所以右邊

= 5^{- \frac{3}{2}}

。指數相等：

2 x + 2 = - \frac{3}{2}

，

x = - \frac{7}{4}

。

第 9 題都寫成以

0.3

為底：

a = (0.09)^{0.5} = (0. 3^{2})^{0.5} = 0. 3^{1}

；

b = 0.3 = 0. 3^{0.5}

；

c = (\frac{10}{3})^{- \frac{3}{2}} = (\frac{3}{10})^{\frac{3}{2}} = 0. 3^{1.5}

。底數

0.3

介於

0

與

1

之間，

y = 0. 3^{x}

嚴格遞減，指數越大值越小。指數

0.5 < 1 < 1.5

，所以

b > a > c

。

第 10 題

(\frac{1}{9})^{2 x + 3} = (\frac{1}{3})^{4 x + 6}

，原式為

(\frac{1}{3})^{x^{2} - x} \leq (\frac{1}{3})^{4 x + 6}

。底數

\frac{1}{3}

小於

1

，

y = (\frac{1}{3})^{x}

嚴格遞減，所以不等號反向：

x^{2} - x \geq 4 x + 6

，

x^{2} - 5 x - 6 \geq 0

，

(x - 6) (x + 1) \geq 0

，得

x \leq - 1

或

x \geq 6

。

底數小於 1，比較指數時不等號要反向。原卷此題題幹後方另印了一個與本題無關的分段函數

f (x)

，應為誤植，本頁略去。

第 11 題設兩者原本質量都是

m

。

120

小時是甲的

3

個半衰期，甲剩

m \times (\frac{1}{2})^{3} = \frac{m}{8}

。甲是乙的兩倍，乙剩

\frac{m}{16} = m \times (\frac{1}{2})^{4}

，表示

120

小時是乙的

4

個半衰期，乙的半衰期為

\frac{120}{4} = 30

小時。

指數方程式與不等式先化成同底；底數小於 1 時，比較指數要把不等號反向。

04填充題：對數有意義的條件、換底公式、對數律、對數方程式

第 12 題底數條件：

x - 1 > 0

且

x - 1 \neq = 1

，即

x > 1

且

x \neq = 2

。真數條件：

5 - 2 x > 0

，即

x < \frac{5}{2}

。三個條件同時成立：

1 < x < \frac{5}{2}

，但

x \neq = 2

。

第 13 題三種結果的機率和為

1

：

lo g_{4} k + lo g_{8} k + lo g_{64} k = 1

。換底成以

2

為底：

lo g_{4} k = \frac{lo g _{2} k}{2}

，

lo g_{8} k = \frac{lo g _{2} k}{3}

，

lo g_{64} k = \frac{lo g _{2} k}{6}

。相加

(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}) lo g_{2} k = lo g_{2} k = 1

，

k = 2

。

檢查：三個機率分別是

\frac{1}{2}

、

\frac{1}{3}

、

\frac{1}{6}

，都介於 0 與 1 之間，合理。

第 14 題

x = lo g 5

表示

1 0^{x} = 5

。

10 0^{x} = (1 0^{x})^{2} = 25

，

0. 1^{x} = (1 0^{- 1})^{x} = \frac{1}{1 0 ^{x}} = \frac{1}{5}

。所以

10 0^{x} - 0. 1^{x} = 25 - \frac{1}{5} = \frac{124}{5}

。

第 15 題

(1) $\frac{1}{2} lo g 49 = lo g 7$ ， $\frac{4}{3} lo g 8 = \frac{4}{3} \times \frac{3}{2} lo g 2 = 2 lo g 2 = lo g 4$ 。原式 $= lo g 4 - lo g 7 + lo g 7 - lo g 4 = 0$ 。

(2) 全部換成常用對數： $lo g_{2} 3 = \frac{lo g 3}{\frac{1}{2} lo g 2} = \frac{2 lo g 3}{lo g 2}$ ， $lo g_{7} 8 = \frac{3 lo g 2}{lo g 7}$ ， $lo g_{3} 7 = \frac{lo g 7}{lo g 3}$ 。相乘得 $\frac{2 lo g 3}{lo g 2} \times \frac{3 lo g 2}{lo g 7} \times \frac{lo g 7}{lo g 3} = 6$ 。

第 16 題真數條件：

x > 0

且

x - 5 > 0

，即

x > 5

。同底相加：

lo g [x (x - 5)] = lo g 6

，

x (x - 5) = 6

，

x^{2} - 5 x - 6 = 0

，

(x - 6) (x + 1) = 0

，

x = 6

或

x = - 1

。配合

x > 5

，只取

x = 6

。

x = - 1

代回時

lo g (- 1)

無意義，要捨去。

對數題先寫底數與真數條件；底數不同就換成同一個底，係數用對數律搬進真數。

05填充題：圖形上的交點、對數不等式、位數與首位、圖形與正方形、複利

第 17 題

P

在直線

x = 8

上：

y = lo g_{4} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 4} = \frac{3}{2}

，

P (8, \frac{3}{2})

。

Q

在直線

y = \frac{1}{2}

上：

lo g_{4} x = \frac{1}{2}

，

x = 4^{\frac{1}{2}} = 2

，

Q (2, \frac{1}{2})

。斜率

= \frac{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}{8 - 2} = \frac{1}{6}

。

第 18 題把右邊寫成一個以

8

為底的對數：

\frac{x}{2} = lo g_{8} 8^{\frac{x}{2}}

，

1 = lo g_{8} 8

，所以右邊

= lo g_{8} (24 \times 8^{\frac{x}{2}})

。底數

8 > 1

，

y = lo g_{8} x

嚴格遞增，不等式等價於

8^{x} + 128 < 24 \times 8^{\frac{x}{2}}

（兩邊真數都恆正）。令

t = 8^{\frac{x}{2}} > 0

，則

8^{x} = t^{2}

：

t^{2} - 24 t + 128 < 0

，

(t - 8) (t - 16) < 0

，

8 < t < 16

。即

8^{1} < 8^{\frac{x}{2}} < 8^{\frac{4}{3}}

（

16 = 2^{4} = 8^{\frac{4}{3}}

），所以

1 < \frac{x}{2} < \frac{4}{3}

，

2 < x < \frac{8}{3}

。

第 19 題

4^{40} \times 3^{100} = 2^{80} \times 3^{100}

，

lo g (2^{80} \times 3^{100}) = 80 lo g 2 + 100 lo g 3 \approx 24.08 + 47.71 = 71.79

。首數

71

，所以是

72

位數，

a = 72

。尾數

0.79

：

lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 \approx 0.7781

，

lo g 7 \approx 0.8451

，

0.7781 < 0.79 < 0.8451

，所以最高位數字是

6

，

b = 6

。

a + b = 78

。

lo g 7

卷面沒給，但只要知道它比

0.79

大即可：

7^{2} = 49 < 50

不夠用，改用

lo g 7 > lo g 48 = \frac{1}{2} (4 lo g 2 + lo g 3) \approx 0.8406 > 0.79

。

第 20 題

正方形 $Γ$ 的中心 $(1, 1)$ 、邊長 $4$ ，範圍是 $- 1 \leq x \leq 3$ 、 $- 1 \leq y \leq 3$ 。

$a > 0$ 時， $y = a \times 3^{x}$ 遞增，在 $- 1 \leq x \leq 3$ 上最小值是 $x = - 1$ 時的 $\frac{a}{3}$ ，而且函數值都是正的（大於 $- 1$ ）。若 $\frac{a}{3} \leq 3$ ，點 $(- 1, \frac{a}{3})$ 就在 $Γ$ 的左邊上，兩者相交；若 $\frac{a}{3} > 3$ ，這一段的函數值都大於 $3$ ，不相交。所以 $0 < a \leq 9$ 。

$a = 0$ 時圖形是直線 $y = 0$ ，穿過 $Γ$ ，相交。

$a < 0$ 時， $y = a \times 3^{x}$ 遞減，在 $- 1 \leq x \leq 3$ 上最大值是 $\frac{a}{3}$ ，函數值都是負的（小於 $3$ ）。同理要 $\frac{a}{3} \geq - 1$ ，即 $- 3 \leq a < 0$ 。

合起來 $- 3 \leq a \leq 9$ 。

關鍵是只看

- 1 \leq x \leq 3

這一段：

a > 0

時這一段最低點在左端

x = - 1

，最低點不高於

3

就碰得到正方形。

第 21 題每年資產變成

1.1

倍，

n

年後是

1. 1^{n}

倍。「翻倍再翻倍」是變成

4

倍：

1. 1^{n} \geq 4

。兩邊取常用對數：

n lo g 1.1 \geq 2 lo g 2

，

n \geq \frac{0.6020}{0.0414} \approx 14.5

，所以至少

15

年。

檢查：

1. 1^{14} \approx 3.80 < 4

，

1. 1^{15} \approx 4.18 \geq 4

。卷面給的

lo g 3

本題用不到。

對數不等式先把兩邊寫成同底的一個對數，再比較真數；含 8 的 x 次方與 8 的 x/2 次方時令 t 換成二次不等式。

06計算題：分貝與聲音強度

第 22 題私語的音量

s = 40

：

10 lo g (\frac{w}{1 0 ^{- 12}}) = 40

，

lo g (\frac{w}{1 0 ^{- 12}}) = 4

，

\frac{w}{1 0 ^{- 12}} = 1 0^{4}

，所以

w = 1 0^{4} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 8}

瓦特。

第 23 題答案 (C)。三位同時演奏，總聲音強度

w = 3 \times 1 0^{- 8}

瓦特。音量

s = 10 lo g (\frac{3 \times 1 0 ^{- 8}}{1 0 ^{- 12}}) = 10 lo g (3 \times 1 0^{4}) = 10 (lo g 3 + 4) \approx 10 \times 4.4771 \approx 44.8

分貝，最接近

45

。

聲音強度變 3 倍，音量只多

10 lo g 3 \approx 4.8

分貝，不是變成 3 倍的 120 分貝。

第 24 題急雨的音量

60

分貝：

lo g (\frac{w}{1 0 ^{- 12}}) = 6

，

w = 1 0^{- 6}

瓦特。設要

n

位，總聲音強度

n \times 1 0^{- 8} = 1 0^{- 6}

，

n = 100

。要

100

位女子同時演奏。

分貝公式先化成 w 等於 10 的幾次方；聲音強度相加，再代回公式求分貝。

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常見問題

苑裡高中 112 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 112 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 20 題要看出只需檢查正方形左右邊之間那一段曲線，正負兩種 a 都要討論，a 等於 0 也算；第 18 題要把右邊合成一個對數再令 t 換成二次不等式；第 10 題底數小於 1，比較指數時不等號要反向；第 21 題翻倍再翻倍是四倍不是兩倍。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自苑裡高中 112 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數的圖形、對數與對數律、換底公式、對數函數的圖形、指數對數方程式與不等式、常用對數的應用）

苑裡高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

一、單一選擇題（每題4分，共16分）

下列哪一個數最小？

(A) $(0.5)^{- 2}$
(B) $(0.5)^{- 5}$
(C) $(0.5)^{- 3}$
(D) $(0.5)^{- 1.5}$
(E) $(0.5)^{- 0.5}$

試求

\frac{lo g 64}{lo g 12 - lo g 6} =

？

(A) $2$
(B) $3$
(C) $4$
(D) $5$
(E) $6$

設下列選項中有一個是

y = lo g_{0.6} x

的圖形，選出正確的選項？

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)
(E) 以上皆非

載入中...

某物質的半衰期為90天，若在一開始，質量為16公斤，則一年後，該物質的質量約為多少公克？請選出最接近的選項。

(A) $2000$
(B) $1000$
(C) $500$
(D) $250$
(E) $125$

二、多重選擇題（每題6分，共18分）

請問下列哪些選項是正確的？

(A) 若點 $(- 100, k)$ 在 $y = 2^{x}$ 的圖形上，則 $k > 0$
(B) 指數函數 $y = (0.99)^{x}$ 的圖形與 $y = 100$ 不相交
(C) 對數函數 $y = lo g x$ 的圖形是凹口向上
(D) 對數函數 $y = lo g x$ 的圖形與指數函數 $y = 1 0^{x}$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
(E) 若 $lo g a = 5.67$ ，則 $a$ 的整數部分為5位數

坐標平面上，在函數圖形上，

y = 2^{x}

標示 A、B、C、D 四個點，其

x

坐標分別為

- 1

、

0

、

1

、

2

。請選出正確的選項。

(A) 點B落在直線AC上方
(B) 在直線AB、直線BC、直線CD中，以直線CD的斜率最大
(C) A、B、C、D四個點,以點A最靠近 $x$ 軸
(D) 直線 $y = 2 x$ 與 $y = 2^{x}$ 的圖形有兩個交點
(E) 點A與點C對稱於 $y$ 軸

已知

(a, b)

是對數函數

y = lo g x

圖形上一點，問：下列哪些選項中的點也會在

y = lo g x

的圖形上？

(A) $(0, 1)$
(B) $(1, 0)$
(C) $(10 a, b + 1)$
(D) $(\frac{1}{a}, 1 - b)$
(E) $(a^{2}, 2 b)$

三、填充題（共60分）

解下列方程式

2 5^{x + 1} = (\frac{5}{5})^{3}

，則

x =

____。

利用指數函數嚴格遞增（減）的特性，比較

a = (0.09)^{0.5}

，

b = 0.3

，

c = (\frac{10}{3})^{- \frac{3}{2}}

三數的大小關係 ____。

解不等式

(\frac{1}{3})^{x^{2} - x} \leq (\frac{1}{9})^{2 x + 3}

，則

x

之範圍為 ____。

lo g_{(x - 1)} (5 - 2 x)

有意義，求

x

的範圍 ____。

做某項試驗共有三種可能的結果,其發生的機率分別為

lo g_{4} k

、

lo g_{8} k

、

lo g_{64} k

、求實數

k

的值 ____。

設

x = lo g 5

，求

10 0^{x} - 0. 1^{x} =

____。

(1)

lo g \frac{4}{7} + \frac{1}{2} lo g 49 - \frac{4}{3} lo g 8 =

____。 (2)

lo g_{2} 3 \times lo g_{7} 8 \times lo g_{3} 7 =

____。

解方程式

lo g x + lo g (x - 5) = lo g 2 + lo g 3

，得

x =

____。

下圖為

y = lo g_{4} x

的圖形。設

P

、

Q

分別為直線

x = 8

、

y = \frac{1}{2}

與

y = lo g_{4} x

的交點，求直線

P Q

的斜率 ____。

載入中...

解不等式

lo g_{8} (8^{x} + 128) < \frac{x}{2} + 1 + lo g_{8} 3

，得

x

的範圍為 ____。

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，則

4^{40} \times 3^{100}

的位數為

a

，最高位數字為

b

，則

a + b =

____。

在坐標平面上，

Γ

是邊長為

4

的正方形，其中心位在點

(1, 1)

，且各邊與坐標軸平行。已知函數

y = a \times 3^{x}

的圖形與

Γ

相交，其中

a

為實數，則

a

的最大可能範圍為 ____。

lo g 1.1 \approx 0.0414

，

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）。

四、計算題（9分）

計算題（第 22～24 題）　音量

s

（分貝）與聲音強度

w

（瓦特）的關係式如下：

s = 10 lo g (\frac{w}{1 0 ^{- 12}})

《琵琶行》中提到「大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私語」。設急雨的音量為

60

分貝，私語的音量為

40

分貝。試回答下列問題：

(1)「小弦切切」的聲音強度為多少瓦特？（3分）

(A) $40$
(B) $43$
(C) $45$
(D) $70$
(E) $120$ 分貝

(3) 請問要多少位女子同時「小弦切切」地演奏琵琶，其音量分貝才能跟「大弦嘈嘈」的音量分貝一樣大？（3分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(E)

第 3 題(D)

第 4 題(B)

第 5 題(A)(D)

第 6 題(B)(C)(D)

第 7 題(B)(C)(E)

第 8 題

- \frac{7}{4}

第 9 題

b > a > c

第 10 題

x \leq - 1

或

x \geq 6

第 11 題

30

第 12 題

1 < x < \frac{5}{2}

，但

x \neq = 2

第 13 題

2

第 14 題

\frac{124}{5}

第 15 題(1)

0

　(2)

6

第 16 題

6

第 17 題

\frac{1}{6}

第 18 題

2 < x < \frac{8}{3}

第 19 題

78

第 20 題

- 3 \leq a \leq 9

第 21 題

15

第 22 題

1 0^{- 8}

瓦特

第 23 題(C)

第 24 題

100

位

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：同底指數比大小、對數律、對數函數圖形、半衰期

第 1 題答案 (E)。

0.5 = 2^{- 1}

，所以

(0.5)^{- t} = 2^{t}

，五個數依序是

2^{2}

、

2^{5}

、

2^{3}

、

2^{1.5}

、

2^{0.5}

。底數

2 > 1

，

y = 2^{x}

嚴格遞增，指數越小值越小。指數中最小的是

0.5

（

3 \approx 1.73

，

5 \approx 2.24

），所以最小的是

(0.5)^{- 0.5}

。

第 2 題答案 (E)。分母

lo g 12 - lo g 6 = lo g \frac{12}{6} = lo g 2

，分子

lo g 64 = lo g 2^{6} = 6 lo g 2

，所以原式

= \frac{6 lo g 2}{lo g 2} = 6

。

第 3 題答案 (D)。對數函數

y = lo g_{0.6} x

的定義域是

x > 0

，圖形全在

y

軸右側，且通過

(1, 0)

；圖 (A)、(B) 在

y

軸左側也有圖形，是指數函數的樣子，不合。底數

0.6

介於

0

與

1

之間，函數嚴格遞減：

x

越大，

y

越小。圖 (C) 是遞增的，不合；圖 (D) 通過

x

軸上一點後往右下降，靠近

y

軸時往上無限延伸，符合。

例如

x = 0.6

時

y = 1

，

x = \frac{1}{0.6}

時

y = - 1

：

x

由小到大，

y

由大到小。

第 4 題答案 (B)。

16

公斤

= 16000

公克。一年

365

天，經過

\frac{365}{90}

個半衰期，剩下

16000 \times (\frac{1}{2})^{\frac{365}{90}}

公克。

\frac{365}{90} = 4 + \frac{1}{18}

，所以剩下

\frac{16000}{2 ^{4}} \times (\frac{1}{2})^{\frac{1}{18}} = 1000 \times (\frac{1}{2})^{\frac{1}{18}}

公克。

(\frac{1}{2})^{\frac{1}{18}}

比

1

小一點點（取常用對數：

- \frac{0.3010}{18} \approx - 0.0167

，約為

0.96

），質量約

960

公克，最接近

1000

。

剛好 4 個半衰期是 360 天，剩 1000 公克；多出的 5 天只再少一點點。

同底指數比大小看底數大於 1 或小於 1；判斷對數圖形先看定義域，再看底數決定遞增或遞減。

02多選題：指數與對數函數圖形的性質、圖形上的點

第 5 題

答案 (A)(D)。

(A) 正確。 點在圖形上， $k = 2^{- 100}$ ；指數函數的值恆正，所以 $k > 0$ 。

(E) 錯誤。 $lo g a = 5.67 = 5 + 0.67$ ，所以 $1 0^{5} < a < 1 0^{6}$ ， $a$ 的整數部分是 $6$ 位數。

第 6 題

答案 (B)(C)(D)。四點為 $A (- 1, \frac{1}{2})$ 、 $B (0, 1)$ 、 $C (1, 2)$ 、 $D (2, 4)$ 。

(B) 正確。 斜率： $A B$ 為 $\frac{1 - \frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}$ ， $B C$ 為 $\frac{2 - 1}{1} = 1$ ， $C D$ 為 $\frac{4 - 2}{1} = 2$ ，以 $C D$ 最大。

(E) 錯誤。 對稱於 $y$ 軸的兩點 $y$ 坐標要相同，但 $A$ 的 $y$ 坐標是 $\frac{1}{2}$ ， $C$ 的是 $2$ 。

第 7 題

答案 (B)(C)(E)。由題意 $a > 0$ 且 $b = lo g a$ 。逐項看點的 $y$ 坐標是否等於 $x$ 坐標的常用對數。

(A) 錯誤。 $x$ 坐標 $0$ ， $lo g 0$ 無意義，點不在圖形上。

(B) 正確。 $lo g 1 = 0$ 。

(D) 錯誤。 $lo g \frac{1}{a} = - lo g a = - b$ ，不等於 $1 - b$ 。

(E) 正確。 $lo g a^{2} = 2 lo g a = 2 b$ 。

判斷點在不在對數圖形上，就把 x 坐標代進去，用對數律化成 log a 的式子，再和 y 坐標比。

03填充題：指數方程式與不等式、比較大小、半衰期

第 8 題化成以

5

為底：

2 5^{x + 1} = 5^{2 x + 2}

；

\frac{5}{5} = 5^{\frac{1}{2} - 1} = 5^{- \frac{1}{2}}

，所以右邊

= 5^{- \frac{3}{2}}

。指數相等：

2 x + 2 = - \frac{3}{2}

，

x = - \frac{7}{4}

。

第 9 題都寫成以

0.3

為底：

a = (0.09)^{0.5} = (0. 3^{2})^{0.5} = 0. 3^{1}

；

b = 0.3 = 0. 3^{0.5}

；

c = (\frac{10}{3})^{- \frac{3}{2}} = (\frac{3}{10})^{\frac{3}{2}} = 0. 3^{1.5}

。底數

0.3

介於

0

與

1

之間，

y = 0. 3^{x}

嚴格遞減，指數越大值越小。指數

0.5 < 1 < 1.5

，所以

b > a > c

。

第 10 題

(\frac{1}{9})^{2 x + 3} = (\frac{1}{3})^{4 x + 6}

，原式為

(\frac{1}{3})^{x^{2} - x} \leq (\frac{1}{3})^{4 x + 6}

。底數

\frac{1}{3}

小於

1

，

y = (\frac{1}{3})^{x}

嚴格遞減，所以不等號反向：

x^{2} - x \geq 4 x + 6

，

x^{2} - 5 x - 6 \geq 0

，

(x - 6) (x + 1) \geq 0

，得

x \leq - 1

或

x \geq 6

。

底數小於 1，比較指數時不等號要反向。原卷此題題幹後方另印了一個與本題無關的分段函數

f (x)

，應為誤植，本頁略去。

第 11 題設兩者原本質量都是

m

。

120

小時是甲的

3

個半衰期，甲剩

m \times (\frac{1}{2})^{3} = \frac{m}{8}

。甲是乙的兩倍，乙剩

\frac{m}{16} = m \times (\frac{1}{2})^{4}

，表示

120

小時是乙的

4

個半衰期，乙的半衰期為

\frac{120}{4} = 30

小時。

指數方程式與不等式先化成同底；底數小於 1 時，比較指數要把不等號反向。

04填充題：對數有意義的條件、換底公式、對數律、對數方程式

第 12 題底數條件：

x - 1 > 0

且

x - 1 \neq = 1

，即

x > 1

且

x \neq = 2

。真數條件：

5 - 2 x > 0

，即

x < \frac{5}{2}

。三個條件同時成立：

1 < x < \frac{5}{2}

，但

x \neq = 2

。

第 13 題三種結果的機率和為

1

：

lo g_{4} k + lo g_{8} k + lo g_{64} k = 1

。換底成以

2

為底：

lo g_{4} k = \frac{lo g _{2} k}{2}

，

lo g_{8} k = \frac{lo g _{2} k}{3}

，

lo g_{64} k = \frac{lo g _{2} k}{6}

。相加

(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}) lo g_{2} k = lo g_{2} k = 1

，

k = 2

。

檢查：三個機率分別是

\frac{1}{2}

、

\frac{1}{3}

、

\frac{1}{6}

，都介於 0 與 1 之間，合理。

第 14 題

x = lo g 5

表示

1 0^{x} = 5

。

10 0^{x} = (1 0^{x})^{2} = 25

，

0. 1^{x} = (1 0^{- 1})^{x} = \frac{1}{1 0 ^{x}} = \frac{1}{5}

。所以

10 0^{x} - 0. 1^{x} = 25 - \frac{1}{5} = \frac{124}{5}

。

第 15 題

(1) $\frac{1}{2} lo g 49 = lo g 7$ ， $\frac{4}{3} lo g 8 = \frac{4}{3} \times \frac{3}{2} lo g 2 = 2 lo g 2 = lo g 4$ 。原式 $= lo g 4 - lo g 7 + lo g 7 - lo g 4 = 0$ 。

第 16 題真數條件：

x > 0

且

x - 5 > 0

，即

x > 5

。同底相加：

lo g [x (x - 5)] = lo g 6

，

x (x - 5) = 6

，

x^{2} - 5 x - 6 = 0

，

(x - 6) (x + 1) = 0

，

x = 6

或

x = - 1

。配合

x > 5

，只取

x = 6

。

x = - 1

代回時

lo g (- 1)

無意義，要捨去。

對數題先寫底數與真數條件；底數不同就換成同一個底，係數用對數律搬進真數。

05填充題：圖形上的交點、對數不等式、位數與首位、圖形與正方形、複利

第 17 題

P

在直線

x = 8

上：

y = lo g_{4} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 4} = \frac{3}{2}

，

P (8, \frac{3}{2})

。

Q

在直線

y = \frac{1}{2}

上：

lo g_{4} x = \frac{1}{2}

，

x = 4^{\frac{1}{2}} = 2

，

Q (2, \frac{1}{2})

。斜率

= \frac{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}{8 - 2} = \frac{1}{6}

。

第 18 題把右邊寫成一個以

8

為底的對數：

\frac{x}{2} = lo g_{8} 8^{\frac{x}{2}}

，

1 = lo g_{8} 8

，所以右邊

= lo g_{8} (24 \times 8^{\frac{x}{2}})

。底數

8 > 1

，

y = lo g_{8} x

嚴格遞增，不等式等價於

8^{x} + 128 < 24 \times 8^{\frac{x}{2}}

（兩邊真數都恆正）。令

t = 8^{\frac{x}{2}} > 0

，則

8^{x} = t^{2}

：

t^{2} - 24 t + 128 < 0

，

(t - 8) (t - 16) < 0

，

8 < t < 16

。即

8^{1} < 8^{\frac{x}{2}} < 8^{\frac{4}{3}}

（

16 = 2^{4} = 8^{\frac{4}{3}}

），所以

1 < \frac{x}{2} < \frac{4}{3}

，

2 < x < \frac{8}{3}

。

第 19 題

4^{40} \times 3^{100} = 2^{80} \times 3^{100}

，

lo g (2^{80} \times 3^{100}) = 80 lo g 2 + 100 lo g 3 \approx 24.08 + 47.71 = 71.79

。首數

71

，所以是

72

位數，

a = 72

。尾數

0.79

：

lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 \approx 0.7781

，

lo g 7 \approx 0.8451

，

0.7781 < 0.79 < 0.8451

，所以最高位數字是

6

，

b = 6

。

a + b = 78

。

lo g 7

卷面沒給，但只要知道它比

0.79

大即可：

7^{2} = 49 < 50

不夠用，改用

lo g 7 > lo g 48 = \frac{1}{2} (4 lo g 2 + lo g 3) \approx 0.8406 > 0.79

。

第 20 題

正方形 $Γ$ 的中心 $(1, 1)$ 、邊長 $4$ ，範圍是 $- 1 \leq x \leq 3$ 、 $- 1 \leq y \leq 3$ 。

$a = 0$ 時圖形是直線 $y = 0$ ，穿過 $Γ$ ，相交。

合起來 $- 3 \leq a \leq 9$ 。

關鍵是只看

- 1 \leq x \leq 3

這一段：

a > 0

時這一段最低點在左端

x = - 1

，最低點不高於

3

就碰得到正方形。

第 21 題每年資產變成

1.1

倍，

n

年後是

1. 1^{n}

倍。「翻倍再翻倍」是變成

4

倍：

1. 1^{n} \geq 4

。兩邊取常用對數：

n lo g 1.1 \geq 2 lo g 2

，

n \geq \frac{0.6020}{0.0414} \approx 14.5

，所以至少

15

年。

檢查：

1. 1^{14} \approx 3.80 < 4

，

1. 1^{15} \approx 4.18 \geq 4

。卷面給的

lo g 3

本題用不到。

對數不等式先把兩邊寫成同底的一個對數，再比較真數；含 8 的 x 次方與 8 的 x/2 次方時令 t 換成二次不等式。

06計算題：分貝與聲音強度

第 22 題私語的音量

s = 40

：

10 lo g (\frac{w}{1 0 ^{- 12}}) = 40

，

lo g (\frac{w}{1 0 ^{- 12}}) = 4

，

\frac{w}{1 0 ^{- 12}} = 1 0^{4}

，所以

w = 1 0^{4} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 8}

瓦特。

第 23 題答案 (C)。三位同時演奏，總聲音強度

w = 3 \times 1 0^{- 8}

瓦特。音量

s = 10 lo g (\frac{3 \times 1 0 ^{- 8}}{1 0 ^{- 12}}) = 10 lo g (3 \times 1 0^{4}) = 10 (lo g 3 + 4) \approx 10 \times 4.4771 \approx 44.8

分貝，最接近

45

。

聲音強度變 3 倍，音量只多

10 lo g 3 \approx 4.8

分貝，不是變成 3 倍的 120 分貝。

第 24 題急雨的音量

60

分貝：

lo g (\frac{w}{1 0 ^{- 12}}) = 6

，

w = 1 0^{- 6}

瓦特。設要

n

位，總聲音強度

n \times 1 0^{- 8} = 1 0^{- 6}

，

n = 100

。要

100

位女子同時演奏。

分貝公式先化成 w 等於 10 的幾次方；聲音強度相加，再代回公式求分貝。

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02多選題：指數與對數函數圖形的性質、圖形上的點

03填充題：指數方程式與不等式、比較大小、半衰期

04填充題：對數有意義的條件、換底公式、對數律、對數方程式

05填充題：圖形上的交點、對數不等式、位數與首位、圖形與正方形、複利

06計算題：分貝與聲音強度

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