段考詳解範圍：微分（導數與導函數、微分公式、切線與一次近似、函數的遞增與遞減、極值與最大最小值、凹凸性與反曲點）

苑裡高中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 苑裡高中 113 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 23 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 苑裡高中 113 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多重選擇題第 3 題（本頁第 7 題）：f′(x) 只決定函數到差一個常數，選項 D 說多項式必為某一個是錯的。多重選擇題第 4 題（本頁第 8 題）：極大點在 y 軸右邊一點點，c 大於 0，容易誤選 C。填充題 J（本頁第 18 題）：恆為遞增要包含判別式等於 0 的情形，答案含 a 等於 1。填充題 K（本頁第 19 題）：最大值出現在端點 x 等於 0，不在臨界點。填充題 M（本頁第 21 題）：只有極小值，要標明極小。填充題 O（本頁第 23 題）：先由兩個反曲點與切線求出四次函數，再用 f(−1) 與 f′(−1) 求餘式。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

單一選擇題 4 題，每題 4 分，答錯不倒扣，共 16 分。多重選擇題 4 題，每題 6 分，每錯一個選項扣 2 分，錯三個選項以上該題扣 6 分，共 24 分。填充題 A～O 共 15 格（卷面說明寫「第 A 至 N 題」，實際題目排到 O 題，對應格號①～⑮），共 62 分，卷面寫「分數計分如答案卷上所示」，原檔沒有附這張對照表；三大題配分照卷面相加為 102 分。本頁題號全卷連續：第 1～4 題是單一選擇題，第 5～8 題是多重選擇題第 1～4 題，第 9～23 題是填充題 A～O。答案已與學校公布的答案逐題核對（學校的答案版沒有收錄多重選擇題第 3 題，該題由本站依題目計算）。

一、單一選擇題（每題 4 分，共 16 分）

f (x) = ∣ x - 1 ∣

，則

f (x)

在

x = 1

之導數為

(A) $1$
(B) $- 1$
(C) $0$
(D) 不存在
(E) 存在

若

f (x) = \frac{x + 1}{x}

，則

f^{'} (- 2) =

(A) $0$
(B) $2$
(C) $- 2$
(D) $\frac{1}{4}$
(E) $- \frac{1}{4}$

已知函數

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 3

，選出下列正確的選項。

(A) $f (0) = 3$
(B) $f^{'} (0) = - 2$
(C) $f^{''} (0) = - 6$
(D) $f^{'''} (0) = - 6$
(E) $f^{(4)} (0) = 6$

設

f (x) = 2 x^{3} - x^{2} - 5 x + 3

，試求

f (x)

在

x = 2

附近的一次近似為何？

(A) $y = - 15 x + 5$
(B) $y = 15 x + 11$
(C) $y = 15 x - 25$
(D) $y = 15 x + 25$
(E) $y = - 15 x + 20$

二、多重選擇題（每題 6 分，共 24 分）

已知

f (x) = {a x + 3, x^{2} + x + b, x \leq 2 x > 2

，若對於任意的實數

x

，

f (x)

均可微分，請選出正確的選項。

(A) $a = 5$
(B) $b = 7$
(C) $f^{'} (2) = 5$
(D) $f^{'} (- 2) = f^{'} (3)$
(E) 對於任意的實數 $x$ ， $f^{'} (x) \neq = 0$

關於函數

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 90

，下列選項何者正確？

(A) $f (x)$ 在區間 $[2, 6]$ 上是遞減函數
(B) $f (x)$ 在區間 $[- 2, 2]$ 上是遞增函數
(C) $f (x)$ 在區間 $(2, \infty)$ 的圖形為凹口向上
(D) $f (x)$ 在區間 $(- 2, 2)$ 的圖形為凹口向上
(E) $f (x)$ 圖形的反曲點為 $(2, 2)$

多項式函數

f (x)

的導函數為

f^{'} (x) = (x + 2) (x - 3)

，則下列何者為真？

(A) $f (- 2)$ 為極小值
(B) $f (3)$ 為極小值
(C) $f (- 2) > f (3)$
(D) 多項式函數必為 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 6 x$
(E) $f (x)$ 在 $[- 2, 3]$ 間為遞減函數

下圖為三次函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

的圖形，其中黑點為反曲點。請選出所有正確的選項。

(A) $a > 0$
(B) $b < 0$
(C) $c < 0$
(D) $d > 0$
(E) $b^{2} - 3 a c < 0$

載入中...

三、填充題（共 62 分）

A. 已知

f (x) = {2 x + k, x^{2}, 當 x \geq 1 當 x < 1

在

x = 1

處可微分，求

k

的值＝【①】。

B. 已知函數

f (x)

的圖形通過點

(2, 1)

，且

f^{'} (x) = 2 x - 7

，求

f (x) =

【②】。

C. 已知函數

h (x) = (x^{2} + 1) (x^{3} + 2)

，求

h^{'} (1) =

【③】。

D. 已知

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 5

，求

x \to - 1 lim \frac{f ^{'} ( x ) - f ^{'} ( - 1 )}{x + 1} =

【④】。

E. 已知函數

f (x) = x^{2} + x + 3

，

g (x) = x^{5}

，求合成函數

(f \circ g) (x)

的導函數【⑤】。

F. 在函數

f (x) = x^{2} + 2 x - 5

的圖形上，已知以點

P

為切點的切線斜率為

6

，求

P

點的坐標為何【⑥】。

G. 宗哥對新款自行車做

100

公尺速度測試，測得起跑

t

秒後前進的距離為

S (t) = \frac{1}{2} t^{2} + 5 t

公尺，求衝過終點線時的瞬時速度為何。【⑦】（公尺／秒）。

H. 已知多項式

f (x)

滿足

f (1) = 0

及

f^{'} (1) = - 15

，求

h \to 0 lim \frac{f ( 1 + h )}{5 h} =

【⑧】。

I. 三次函數

f (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2} + 7 x + 5

，試求該圖形的反曲點（對稱中心）坐標為何【⑨】。

J. 已知三次函數

f (x) = a x^{3} - 3 x^{2} + (a + 2) x - 7

恆為遞增函數，求實數

a

的範圍【⑩】。

K. 函數

f (x) = - x^{3} + 12 x + 4

在閉區間

[- 3, 0]

上的最大值為

M

，最小值為

m

。則

M + m =

【⑪】。

L. 曲線

y = x^{3} + 2 x^{2} + x + k

的兩條斜率為

1

之切線間的距離為【⑫】。

M. 函數

g (x) = \frac{x ^{2} - 6 x}{( x + 1 ) ^{2}}

，試求函數的極值【⑬】。（極大或極小請標示，否則不予計分）

N. 設

(a, b)

與

(- a, b)

為拋物線

y = 1 - x^{2}

上兩點，其中

a

，

b

皆為正數，考慮由此二點與

(1, 0)

，

(- 1, 0)

所形成的梯形。若欲使梯形面積為最大，則此最大面積為何【⑭】。

O. 已知

(0, 0)

和

(1, - 3)

都是四次函數

f (x)

圖形的反曲點，且函數

f (x)

的圖形在點

(1, - 3)

處的切線為

6 x + y - 3 = 0

，求

f (x)

除以

(x + 1)^{2}

的餘式為何【⑮】。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(E)

第 3 題(C)

第 4 題(C)

第 5 題(A)(B)(C)(E)

第 6 題(A)(C)(E)

第 7 題(B)(C)(E)（學校答案版沒有這一題，答案由本站計算）

第 8 題(B)(D)

第 9 題

k = - 1

第 10 題

f (x) = x^{2} - 7 x + 11

第 11 題

12

第 12 題

- 10

第 13 題

10 x^{9} + 5 x^{4}

第 14 題

(2, 3)

第 15 題

15

第 16 題

- 3

第 17 題

(- 1, 2)

第 18 題

a \geq 1

第 19 題

- 8

第 20 題

\frac{16 2}{27}

第 21 題極小值

- \frac{9}{7}

第 22 題

\frac{32}{27}

第 23 題

- 30 x - 21

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單一選擇題：不可微分的點、除法公式、高階導數、一次近似

第 1 題

答案 (D)。 $f (1) = 0$ ，看 $x = 1$ 的差商 $\frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = \frac{∣ h ∣}{h}$ 。

$h \to 0^{+}$ 時差商恆為 $1$ ，右導數是 $1$ ； $h \to 0^{-}$ 時差商恆為 $- 1$ ，左導數是 $- 1$ 。

左、右導數不相等，所以 $f (x)$ 在 $x = 1$ 的導數不存在。

圖形在

x = 1

是 V 形的尖點，函數連續但不可微分。

第 2 題

答案 (E)。由除法的微分公式，

$f^{'} (x) = \frac{1 \cdot x - ( x + 1 ) \cdot 1}{x ^{2}} = - \frac{1}{x ^{2}}$

所以 $f^{'} (- 2) = - \frac{1}{4}$ 。

也可以先化成

f (x) = 1 + \frac{1}{x}

再微分，結果相同。

第 3 題

答案 (C)。逐次微分：

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x + 5$ ， $f^{''} (x) = 6 x - 6$ ， $f^{'''} (x) = 6$ ， $f^{(4)} (x) = 0$ 。

代 $x = 0$ ： $f (0) = - 3$ ， $f^{'} (0) = 5$ ， $f^{''} (0) = - 6$ ， $f^{'''} (0) = 6$ ， $f^{(4)} (0) = 0$ 。

五個選項中只有 (C) $f^{''} (0) = - 6$ 正確。

第 4 題

答案 (C)。在 $x = 2$ 附近的一次近似就是 $x = 2$ 處的切線。

$f (2) = 16 - 4 - 10 + 3 = 5$ ， $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 2 x - 5$ ， $f^{'} (2) = 24 - 4 - 5 = 15$ 。

切線為 $y = f (2) + f^{'} (2) (x - 2) = 5 + 15 (x - 2)$ ，即 $y = 15 x - 25$ 。

一次近似就是切線 y＝f(a)＋f′(a)(x−a)；絕對值函數在轉折點左右導數不相等，導數不存在。

02多重選擇題：分段函數可微分、遞增遞減與凹凸、由導函數判斷、由圖形判斷係數

第 5 題

答案 (A)(B)(C)(E)。兩段都是多項式，各自可微分，只需要在 $x = 2$ 可微分。

連續：左邊 $f (2) = 2 a + 3$ ，右邊的極限 $x \to 2^{+} lim (x^{2} + x + b) = 6 + b$ ，所以 $2 a + 3 = 6 + b$ 。

左、右導數相等：左段的導數是 $a$ ，右段的導數是 $2 x + 1$ ，在 $x = 2$ 為 $5$ ，所以 $a = 5$ ，再得 $b = 2 a - 3 = 7$ 。

此時 $f^{'} (x) = 5$ （ $x \leq 2$ ）， $f^{'} (x) = 2 x + 1$ （ $x > 2$ ）。

(A) 正確。 $a = 5$ 。

(B) 正確。 $b = 7$ 。

(D) 錯誤。 $f^{'} (- 2) = 5$ ， $f^{'} (3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ ，兩者不相等。

(E) 正確。 $x \leq 2$ 時 $f^{'} (x) = 5$ ； $x > 2$ 時 $f^{'} (x) = 2 x + 1 > 5$ 。所以 $f^{'} (x)$ 恆不為 $0$ 。

先用「可微分一定連續」寫出

2 a + 3 = 6 + b

，再用左、右導數相等求

a

，兩個條件缺一不可。

第 6 題

答案 (A)(C)(E)。 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x - 36 = 3 (x + 2) (x - 6)$ ， $f^{''} (x) = 6 x - 12$ 。

$- 2 < x < 6$ 時 $f^{'} (x) < 0$ ， $x < - 2$ 或 $x > 6$ 時 $f^{'} (x) > 0$ ； $x < 2$ 時 $f^{''} (x) < 0$ ， $x > 2$ 時 $f^{''} (x) > 0$ 。

(A) 正確。 $[2, 6]$ 在 $[- 2, 6]$ 之內， $f (x)$ 在 $[2, 6]$ 上是遞減函數。

(B) 錯誤。 $[- 2, 2]$ 上 $f^{'} (x) \leq 0$ ，是遞減，不是遞增。

(D) 錯誤。 在 $(- 2, 2)$ 上 $f^{''} (x) < 0$ ，圖形凹口向下。

(E) 正確。 $f^{''} (x)$ 在 $x = 2$ 由負變正， $f (2) = 8 - 24 - 72 + 90 = 2$ ，反曲點為 $(2, 2)$ 。

第 7 題

答案 (B)(C)(E)。 $f^{'} (x) = (x + 2) (x - 3)$ ： $x < - 2$ 時 $f^{'} (x) > 0$ ， $- 2 < x < 3$ 時 $f^{'} (x) < 0$ ， $x > 3$ 時 $f^{'} (x) > 0$ 。

(A) 錯誤。 $f^{'} (x)$ 在 $x = - 2$ 由正變負， $f (- 2)$ 是極大值，不是極小值。

(B) 正確。 $f^{'} (x)$ 在 $x = 3$ 由負變正， $f (3)$ 是極小值。

(D) 錯誤。 $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 6 x$ 的導函數確實是 $x^{2} - x - 6 = (x + 2) (x - 3)$ ；但 $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 6 x + 1$ 的導函數也是 $(x + 2) (x - 3)$ 。導函數相同的多項式可以差一個常數，所以 $f (x)$ 不一定是這一個。

(E) 正確。 $- 2 < x < 3$ 時 $f^{'} (x) < 0$ ， $f (x)$ 在 $[- 2, 3]$ 上是遞減函數。

學校的答案版少了這一題，答案由本站依題目計算。

第 8 題

答案 (B)(D)。

(A) 錯誤。 圖形左端往上、右端往下， $x$ 很大時 $f (x)$ 往負的方向走，所以 $a < 0$ 。

(B) 正確。 $f^{''} (x) = 6 a x + 2 b$ ，反曲點的 $x$ 坐標是 $- \frac{b}{3 a}$ 。由圖，反曲點在 $y$ 軸左邊， $- \frac{b}{3 a} < 0$ ，即 $\frac{b}{a} > 0$ ；又 $a < 0$ ，所以 $b < 0$ 。

(C) 錯誤。 $c = f^{'} (0)$ 是圖形在 $x = 0$ 的切線斜率。由圖，極大點在 $y$ 軸右邊一點點， $x = 0$ 位在極小點與極大點之間，函數在這裡遞增， $f^{'} (0) > 0$ ，所以 $c > 0$ 。

(D) 正確。 $d = f (0)$ 是圖形與 $y$ 軸交點的 $y$ 坐標，由圖在原點上方， $d > 0$ 。

(E) 錯誤。 圖形有極大值與極小值， $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c = 0$ 有兩個相異實根，判別式 $4 b^{2} - 12 a c = 4 (b^{2} - 3 a c) > 0$ ，所以 $b^{2} - 3 a c > 0$ 。

y

軸的哪一側：極大點在

y

軸右邊，

x = 0

處還在上升，

c > 0

。

由圖讀三次函數係數：a 看兩端走向，b 看反曲點在 y 軸哪一側再配合 a，c 看 y 軸上的切線斜率，d 看 y 截距。

03填充題 A～H：可微分條件、由導函數求函數、微分公式、導數的定義、切點、瞬時速度

第 9 題

答案 $k = - 1$ 。可微分一定連續： $x \to 1^{-}$ 時 $x^{2} \to 1$ ，而 $f (1) = 2 + k$ ，所以 $2 + k = 1$ ， $k = - 1$ 。

此時左段 $x^{2}$ 在 $x = 1$ 的導數是 $2$ ，右段 $2 x + k$ 的導數也是 $2$ ，左、右導數相等，確實可微分。

第 10 題

答案 $f (x) = x^{2} - 7 x + 11$ 。 $x^{2} - 7 x$ 的導函數是 $2 x - 7$ ，導函數為 $2 x - 7$ 的多項式都可寫成 $f (x) = x^{2} - 7 x + C$ 。

圖形過 $(2, 1)$ ： $4 - 14 + C = 1$ ， $C = 11$ 。

第 11 題

答案 $12$ 。由乘法的微分公式，

$h^{'} (x) = 2 x (x^{3} + 2) + (x^{2} + 1) \cdot 3 x^{2}$

代 $x = 1$ ： $h^{'} (1) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 = 12$ 。

第 12 題

答案 $- 10$ 。這個極限是函數 $f^{'} (x)$ 在 $x = - 1$ 的導數的定義，也就是 $f^{''} (- 1)$ 。

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x$ ， $f^{''} (x) = 6 x - 4$ ，所以極限為 $f^{''} (- 1) = - 6 - 4 = - 10$ 。

第 13 題

答案 $10 x^{9} + 5 x^{4}$ 。先求合成函數：

$(f \circ g) (x) = f (x^{5}) = (x^{5})^{2} + x^{5} + 3 = x^{10} + x^{5} + 3$

逐項微分得 $(f \circ g)^{'} (x) = 10 x^{9} + 5 x^{4}$ 。

第 14 題答案

(2, 3)

。

f^{'} (x) = 2 x + 2

，令

2 x + 2 = 6

，得

x = 2

。

f (2) = 4 + 4 - 5 = 3

，所以

P (2, 3)

。

第 15 題

答案 $15$ 。衝過終點線時 $S (t) = 100$ ：

$\frac{1}{2} t^{2} + 5 t = 100 \Rightarrow t^{2} + 10 t - 200 = 0 \Rightarrow (t + 20) (t - 10) = 0$

$t > 0$ ，所以 $t = 10$ 。瞬時速度是 $S^{'} (t) = t + 5$ ， $S^{'} (10) = 15$ （公尺／秒）。

第 16 題

答案 $- 3$ 。因為 $f (1) = 0$ ，

$h \to 0 lim \frac{f ( 1 + h )}{5 h} = \frac{1}{5} h \to 0 lim \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = \frac{1}{5} f^{'} (1) = \frac{- 15}{5} = - 3$

看到差商的極限先湊成導數的定義；分母和函數裡增加的量要一致。

04填充題 I～O：反曲點、恆遞增、最大最小值、平行切線、極值、應用問題、四次函數

第 17 題

答案 $(- 1, 2)$ 。 $f^{'} (x) = 6 x^{2} + 12 x + 7$ ， $f^{''} (x) = 12 x + 12$ ， $f^{''} (x)$ 在 $x = - 1$ 由負變正。

$f (- 1) = - 2 + 6 - 7 + 5 = 2$ ，反曲點為 $(- 1, 2)$ 。

第 18 題

答案 $a \geq 1$ 。 $f (x)$ 是三次函數， $a \neq = 0$ 。 $f^{'} (x) = 3 a x^{2} - 6 x + (a + 2)$ 。

恆為遞增，要求 $f^{'} (x) \geq 0$ 對所有實數 $x$ 成立（只在個別點等於 $0$ ）：二次式開口向上且判別式 $\leq 0$ ，

$a > 0, 36 - 12 a (a + 2) \leq 0 \Rightarrow a^{2} + 2 a - 3 \geq 0 \Rightarrow (a + 3) (a - 1) \geq 0$

得 $a \leq - 3$ 或 $a \geq 1$ ，配合 $a > 0$ ，所以 $a \geq 1$ 。

a = 1

時

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x + 3 = 3 (x - 1)^{2} \geq 0

，只在

x = 1

等於

0

，函數仍是遞增，要包含等號。

第 19 題

答案 $- 8$ 。 $f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 12 = - 3 (x + 2) (x - 2)$ ，在 $[- 3, 0]$ 內的臨界點只有 $x = - 2$ 。

比較臨界點與兩端點的函數值： $f (- 3) = 27 - 36 + 4 = - 5$ ， $f (- 2) = 8 - 24 + 4 = - 12$ ， $f (0) = 4$ 。

最大值 $M = 4$ ，最小值 $m = - 12$ ， $M + m = - 8$ 。

第 20 題

答案 $\frac{16 2}{27}$ 。 $y^{'} = 3 x^{2} + 4 x + 1$ ，令 $3 x^{2} + 4 x + 1 = 1$ ，得 $x (3 x + 4) = 0$ ， $x = 0$ 或 $x = - \frac{4}{3}$ 。

切點 $(0, k)$ 的切線： $y = x + k$ 。

$x = - \frac{4}{3}$ 時 $y = - \frac{64}{27} + \frac{32}{9} - \frac{4}{3} + k = - \frac{4}{27} + k$ ，切線為 $y = (x + \frac{4}{3}) - \frac{4}{27} + k$ ，即 $y = x + \frac{32}{27} + k$ 。

兩平行線 $x - y + k = 0$ 與 $x - y + k + \frac{32}{27} = 0$ 的距離為

$\frac{32/27}{1 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{32}{27 2} = \frac{16 2}{27}$

距離與

k

無關，因為整條曲線上下平移時兩條切線一起平移。

第 21 題

答案極小值 $- \frac{9}{7}$ 。定義域是 $x \neq = - 1$ 。由除法的微分公式，

$g^{'} (x) = \frac{( 2 x - 6 ) ( x + 1 ) ^{2} - ( x ^{2} - 6 x ) \cdot 2 ( x + 1 )}{( x + 1 ) ^{4}} = \frac{( 2 x - 6 ) ( x + 1 ) - 2 ( x ^{2} - 6 x )}{( x + 1 ) ^{3}} = \frac{8 x - 6}{( x + 1 ) ^{3}}$

正負： $x < - 1$ 時分子、分母都負， $g^{'} (x) > 0$ ； $- 1 < x < \frac{3}{4}$ 時分子負、分母正， $g^{'} (x) < 0$ ； $x > \frac{3}{4}$ 時 $g^{'} (x) > 0$ 。

所以 $g$ 在 $x = \frac{3}{4}$ 由減轉增，有極小值； $x = - 1$ 不在定義域內，沒有極大值。

$g (\frac{3}{4}) = \frac{\frac{9}{16} - \frac{9}{2}}{\frac{49}{16}} = \frac{9 - 72}{49} = - \frac{9}{7}$

第 22 題

答案 $\frac{32}{27}$ 。 $(a, b)$ 在拋物線上， $b = 1 - a^{2}$ ； $b > 0$ 且 $a > 0$ ，所以 $0 < a < 1$ 。

梯形的上底是 $2 a$ 、下底是 $2$ 、高是 $b$ ，面積

$A (a) = \frac{( 2 a + 2 ) b}{2} = (1 + a) (1 - a^{2}), 0 < a < 1$

$A^{'} (a) = (1 - a^{2}) + (1 + a) (- 2 a) = (1 + a) (1 - 3 a)$ 。 $0 < a < \frac{1}{3}$ 時 $A^{'} (a) > 0$ ， $\frac{1}{3} < a < 1$ 時 $A^{'} (a) < 0$ ，所以 $a = \frac{1}{3}$ 時面積最大：

$A (\frac{1}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{8}{9} = \frac{32}{27}$

第 23 題

答案 $- 30 x - 21$ 。設 $f (x) = p x^{4} + q x^{3} + r x^{2} + s x + t$ （ $p \neq = 0$ ）， $f^{''} (x) = 12 p x^{2} + 6 q x + 2 r$ 。

$(0, 0)$ 在圖形上： $t = 0$ 。 $(0, 0)$ 是反曲點： $f^{''} (0) = 2 r = 0$ ， $r = 0$ 。 $(1, - 3)$ 是反曲點： $f^{''} (1) = 12 p + 6 q = 0$ ， $q = - 2 p$ 。

切線 $6 x + y - 3 = 0$ 即 $y = - 6 x + 3$ ，斜率 $- 6$ 。 $f (1) = p + q + s = - 3$ ， $f^{'} (1) = 4 p + 3 q + s = - 6$ ，代 $q = - 2 p$ 得 $- p + s = - 3$ 、 $- 2 p + s = - 6$ ，解得 $p = 3$ ， $s = 0$ ， $q = - 6$ 。

所以 $f (x) = 3 x^{4} - 6 x^{3}$ 。檢查： $f^{''} (x) = 36 x^{2} - 36 x = 36 x (x - 1)$ 在 $x = 0$ 、 $x = 1$ 都變號，確實是反曲點。

設 $f (x) = (x + 1)^{2} Q (x) + ux + v$ 。代 $x = - 1$ ： $f (- 1) = 3 + 6 = 9 = - u + v$ 。兩邊微分， $(x + 1)^{2} Q (x)$ 的導數是 $2 (x + 1) Q (x) + (x + 1)^{2} Q^{'} (x)$ ，在 $x = - 1$ 為 $0$ ，所以 $f^{'} (- 1) = u$ 。 $f^{'} (x) = 12 x^{3} - 18 x^{2}$ ， $f^{'} (- 1) = - 12 - 18 = - 30$ ， $u = - 30$ ， $v = 9 + u = - 21$ 。

餘式為 $- 30 x - 21$ 。

也可以直接做長除法：

3 x^{4} - 6 x^{3} = (x + 1)^{2} (3 x^{2} - 12 x + 21) - 30 x - 21

。

閉區間上的最大最小值要把臨界點與兩端點一起比較；除以 (x+1)² 的餘式，用 f(−1) 與 f′(−1) 兩個條件決定。

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苑裡高中 113 上高三第二次段考數學的答案在哪裡？