段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

蘭陽女中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題（15 分）、多選題 4 題（32 分）、填充題 9 題共 11 格（53 分）

一、單選題（占 15 分）說明：第 1 題至第 5 題，每題 3 分。

有一個扇形半徑為

r

，圓心角為

θ

，若此扇形的周長為

10

，面積為

6

，則數對

(r, θ)

為何？

(1) $(2, 3)$
(2) $(2, 2)$
(3) $(3, 3)$
(4) $(3, 2)$
(5) $(4, 1)$

試問有多少個實數

x

滿足

sin (x + \frac{π}{2}) = sin x + sin \frac{π}{2}

且

0 \leq x < π

？

(1) $1$ 個
(2) $2$ 個
(3) $3$ 個
(4) $4$ 個
(5) $5$ 個（含）以上

設

- 2 π \leq x \leq 4 π

，則方程式

cos x = - \frac{1}{9}

的所有解之和為何？

(1) $2 π$
(2) $4 π$
(3) $6 π$
(4) $8 π$
(5) $10 π$

若

n

為正整數，且函數

f (x) = 2 sin (\frac{n x}{4} - π) + 3

的週期不大於

1

，則

n

的最小值為何？

(1) $23$
(2) $24$
(3) $25$
(4) $26$
(5) $27$

圖為何種函數的部分圖形？

(1) $y = 2 cos \frac{x}{2}$
(2) $y = cos \frac{x}{2}$
(3) $y = \frac{1}{2} cos \frac{x}{2}$
(4) $y = 2 cos x$
(5) $y = 2 cos 2 x$

載入中...

二、多選題（占 32 分）說明：第 6 題至第 9 題，每題 8 分。（8－5－2－0）

選出所有正確的選項。

(1) $cos (\frac{π}{2} + θ) = cos θ$
(2) $cos (θ - \frac{π}{2}) = sin θ$
(3) $sin (π + θ) = - sin θ$
(4) $sin (π - θ) = - sin θ$
(5) $sin π^{2} > cos π^{2}$

令

f (x) = sin x + 3 cos x

，試選出正確的選項。

(1) 鉛直線 $x = \frac{7 π}{6}$ 為 $y = f (x)$ 圖形的對稱軸
(2) $y = f (x)$ 的圖形必對稱 $y$ 軸
(3) 在區間 $[0, 2 π)$ 中有兩個實數 $x$ 滿足 $f (x) = 3$
(4) 在區間 $[0, 2 π)$ 中滿足 $f (x) = \frac{1}{3}$ 的所有實數 $x$ 之和不超過 $2 π$
(5) $y = f (x)$ 的圖形可由 $y = 4 cos^{2} \frac{x}{2}$ 的圖形經適當（左右、上下）平移得到

下列各選項函數圖形中，何者的週期為

π

？

(1) $y = sin 2 x$
(2) $y = cos \frac{x}{2}$
(3) $y = tan x$
(4) $y = sin 2 x - cos 2 x$
(5) $y = ∣ sin x ∣$

若

sin θ

，

cos θ

為方程式

5 x^{2} - 7 x + \frac{12}{5} = 0

的兩根，且知

4 5^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}

，則下列哪些選項正確？

(1) $sin θ = \frac{4}{5}$
(2) $sin 2 θ = \frac{24}{25}$
(3) $cos (θ + 6 0^{\circ}) = \frac{3 - 4 3}{10}$
(4) $cos \frac{θ}{2} = \frac{5}{5}$
(5) $sin 3 θ + cos 3 θ = - \frac{73}{125}$

三、填充題（占 53 分）說明：第 10 題至第 17 題，每格 5 分；第 18 題，每格 3 分。（本頁填充題一格一題：第 10～12 題為原卷第 10 題的 (1)(2)(3)，第 13～20 題為原卷第 11～18 題）

原卷第 10 題（第 10～12 題）　化簡求值

(1) 求

\frac{sin 3 6 ^{\circ}}{sin 1 2 ^{\circ}} - \frac{cos 3 6 ^{\circ}}{cos 1 2 ^{\circ}} =

____。

(2) 求

cos \frac{π}{8} =

____。（原卷的答案格式為

\frac{◯ + ◯}{◯}

）

(3) 求

- \frac{1}{cos 8 0 ^{\circ}} + \frac{3}{sin 8 0 ^{\circ}} =

____。

設計師為天文館設計以不銹鋼片製成的月亮形狀，其中有一款設計圖如右圖所示：圖中，圓弧

QR T

是一個以

O

點為圓心、

\overline{QT}

為直徑的半圓，

\overline{QT} = 23

。圓弧

QS T

的圓心在

P

點，

\overline{P Q} = \overline{P T} = 2

。圓弧

QR T

與圓弧

QS T

所圍出的塗色區域

QR T S Q

即為某一天所見的月亮形狀。設此塗色區域的面積為

a

（四捨五入至整數），則

a =

____。

載入中...

已知

sin θ - cos θ = \frac{1}{3}

，求

sin 2 θ =

____。

已知

f (x) = 5 cos x - 12 sin x

，且當

x = θ

時，有最大值

M

，求

M + sin θ =

____。

求方程式

5 sin x - x = 0

的實根個數有 ____ 個。

若

y = sin (x - h)

的圖形經平移後可與

y = sin (x + \frac{π}{4})

的圖形重合，若

0 \leq h < 8 π

，則

h

的值有 ____ 個。

已知

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{7 π}{6}

，若函數

f (x) = sin^{2} x - 2 cos x + 1

的最大值

a

與最小值

b

，求

a + 4 b =

____。

若

0 < θ < \frac{π}{2}

，且

sin θ = \frac{3}{5}

，求

tan 2 θ =

____。

已知平面上直角

△ A B C

的三邊長

\overline{A B} = 5

，

\overline{A C} = 1

，

\overline{B C} = 2

。若分別以

\overline{A B}

與

\overline{A C}

為底邊在

△ A B C

的外部作頂角等於

12 0^{\circ}

的等腰三角形

△ M A B

與

△ N A C

，則

\overline{M N}^{2} =

____。（化為最簡根式；原卷的答案格式為

\frac{◯ + ◯ ◯}{◯}

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(1)

第 3 題(3)

第 4 題(4)

第 5 題(1)

第 6 題(2)(3)(5)

第 7 題(1)(3)(5)

第 8 題(1)(3)(4)(5)

第 9 題(1)(2)(3)(5)

第 10 題

2

第 11 題

\frac{2 + 2}{2}

第 12 題

- 4

第 13 題

2

第 14 題

\frac{8}{9}

第 15 題

\frac{157}{13}

第 16 題

3

第 17 題

4

第 18 題

6

第 19 題

\frac{24}{7}

第 20 題

\frac{5 + 2 3}{3}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選題（第 1～5 題）：扇形、解方程式、解的和、週期、讀圖

第 1 題答案 (1)。周長是兩條半徑加弧長：

2 r + r θ = 10

；面積

\frac{1}{2} r^{2} θ = 6

。由第一式

r θ = 10 - 2 r

，代入第二式：

\frac{1}{2} r (10 - 2 r) = 6

，

r^{2} - 5 r + 6 = 0

，

r = 2

或

r = 3

。

r = 2

時

θ = \frac{10 - 4}{2} = 3

；

r = 3

時

θ = \frac{10 - 6}{3} = \frac{4}{3}

。選項中只有

(2, 3)

。

(3, \frac{4}{3})

也滿足題目的兩個條件，只是不在選項裡。選項 (4) 的

(3, 2)

周長是

6 + 6 = 12

，不合。

第 2 題答案 (1)。

sin (x + \frac{π}{2}) = cos x

，

sin \frac{π}{2} = 1

，方程式就是

cos x = sin x + 1

。

x = 0

時左邊

1

、右邊

0 + 1 = 1

，成立。

0 < x < π

時

sin x > 0

，右邊

sin x + 1 > 1

，但左邊

cos x < 1

，不可能相等。所以只有

x = 0

這

1

個解。

也可以疊合：

cos x - sin x = 1

化為

2 sin (x + \frac{3 π}{4}) = 1

，

\frac{3 π}{4} \leq x + \frac{3 π}{4} < \frac{7 π}{4}

內正弦值為

\frac{2}{2}

的角只有

\frac{3 π}{4}

，同樣得

x = 0

。

sin (α + β)

一般不等於

sin α + sin β

，這題是在問它「碰巧相等」的

x

。

第 3 題答案 (3)。先看

0 \leq x \leq 2 π

這一個週期：

y = cos x

的圖形對稱於直線

x = π

，與水平線

y = - \frac{1}{9}

交於兩點，這兩個解的平均是

π

，和為

2 π

。同理，

- 2 π \leq x \leq 0

內的圖形對稱於

x = - π

，兩個解的和為

- 2 π

；

2 π \leq x \leq 4 π

內對稱於

x = 3 π

，兩個解的和為

6 π

。總和

= - 2 π + 2 π + 6 π = 6 π

。

三段的交界

x = 0

、

2 π

處餘弦值是

1

，不是解，不會重複計算。全部共

6

個解，不必求出每一個解的值。

第 4 題答案 (4)。

x

的係數是

\frac{n}{4}

，週期

= 2 π \div \frac{n}{4} = \frac{8 π}{n}

。週期不大於

1

：

\frac{8 π}{n} \leq 1

，

n \geq 8 π \approx 25.13

。

n

是正整數，最小為

26

。

括號裡的

- π

與後面的

+ 3

只是平移，

2

是振幅，都不影響週期。

8 π

介於

25

與

26

之間，

n = 25

時週期

\frac{8 π}{25} \approx 1.005

還是比

1

大。

第 5 題答案 (1)。圖形的最高點在

(0, 2)

、最低點在

x = 2 π

處，高度

- 2

，所以振幅是

2

，(2)(3) 不合。最高點到相鄰的最低點是半個週期，半個週期

= 2 π

，週期

= 4 π

；

y = 2 cos k x

（

k > 0

）的週期是

\frac{2 π}{k} = 4 π

，

k = \frac{1}{2}

。所以是

y = 2 cos \frac{x}{2}

。

檢查：

x = π

時

2 cos \frac{π}{2} = 0

，圖形確實在

x = π

穿過

x

軸。(4) 的週期是

2 π

、(5) 的週期是

π

，在

x = 2 π

都回到最高點。

02多選題（第 6～9 題）：角的換算、疊合後的性質、週期、倍角半角與和角

第 6 題答案 (2)(3)(5)。(1) 錯：

cos (\frac{π}{2} + θ) = cos \frac{π}{2} cos θ - sin \frac{π}{2} sin θ = - sin θ

。(2) 對：

cos (θ - \frac{π}{2}) = cos θ cos \frac{π}{2} + sin θ sin \frac{π}{2} = sin θ

。(3) 對：

sin (π + θ) = sin π cos θ + cos π sin θ = - sin θ

。(4) 錯：

sin (π - θ) = sin π cos θ - cos π sin θ = sin θ

。(5) 對：

π^{2} \approx 9.87

，

3 π \approx 9.42

，所以

π^{2} = 3 π + t

，其中

t = π (π - 3) \approx 0.445

。於是

sin π^{2} = - sin t

、

cos π^{2} = - cos t

。

t

比

\frac{π}{4} \approx 0.785

小，所以

0 < sin t < cos t

，乘以

- 1

後

- sin t > - cos t

，即

sin π^{2} > cos π^{2}

。

(5) 的

π^{2}

是弧度，約

9.87

弳，落在第三象限，正弦、餘弦都是負的；比的是兩個負數，絕對值小的比較大。實際值

sin π^{2} \approx - 0.430

、

cos π^{2} \approx - 0.903

。

第 7 題答案 (1)(3)(5)。疊合：

f (x) = 2 (\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{π}{3})

。(1) 對：

x = \frac{7 π}{6}

時

x + \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}

，

f = - 2

是最低點，通過最高點或最低點的鉛直線是對稱軸。(2) 錯：

f (\frac{π}{6}) = 2 sin \frac{π}{2} = 2

，

f (- \frac{π}{6}) = 2 sin \frac{π}{6} = 1

，兩者不相等。(3) 對：

sin (x + \frac{π}{3}) = \frac{3}{2}

，而

\frac{π}{3} \leq x + \frac{π}{3} < \frac{7 π}{3}

，這個範圍內只有

\frac{π}{3}

、

\frac{2 π}{3}

（

\frac{7 π}{3}

不含），得

x = 0

、

\frac{π}{3}

兩個。(4) 錯：

sin (x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{6}

。設銳角

α

滿足

sin α = \frac{1}{6}

；因為

\frac{1}{6} < \frac{1}{2}

，所以

α < \frac{π}{6}

。在

\frac{π}{3} \leq x + \frac{π}{3} < \frac{7 π}{3}

內的解是

x + \frac{π}{3} = π - α

與

2 π + α

（

α

本身小於

\frac{π}{3}

，不在範圍內），兩個

x

的和

= (π - α) + (2 π + α) - \frac{2 π}{3} = \frac{7 π}{3}

，超過

2 π

。(5) 對：由二倍角公式

4 cos^{2} \frac{x}{2} = 2 (1 + cos x) = 2 cos x + 2

；而

f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{3}) = 2 cos (x + \frac{π}{3} - \frac{π}{2}) = 2 cos (x - \frac{π}{6})

。把

y = 2 cos x + 2

的圖形向右平移

\frac{π}{6}

、再向下平移

2

就是

y = f (x)

。

(3)(4) 都要先把

x

的範圍換成整個角

x + \frac{π}{3}

的範圍，再在那個範圍裡找角。(5) 兩個圖形的振幅都是

2

、週期都是

2 π

，才有可能只靠平移重合。

第 8 題答案 (1)(3)(4)(5)。(1) 對：週期

\frac{2 π}{2} = π

。(2) 錯：週期

2 π \div \frac{1}{2} = 4 π

。(3) 對：正切函數的週期是

π

。(4) 對：疊合

sin 2 x - cos 2 x = 2 sin (2 x - \frac{π}{4})

，週期

\frac{2 π}{2} = π

。(5) 對：

y = sin x

的圖形把

x

軸下方的部分翻到上方後，每隔

π

重複一次。

(5) 也可以用式子看：

∣ sin (x + π) ∣ = ∣ - sin x ∣ = ∣ sin x ∣

。

第 9 題答案 (1)(2)(3)(5)。方程式兩邊乘以

5

：

25 x^{2} - 35 x + 12 = 0

，

(5 x - 3) (5 x - 4) = 0

，

x = \frac{3}{5}

或

\frac{4}{5}

。

4 5^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}

時

sin θ > cos θ

，所以

sin θ = \frac{4}{5}

、

cos θ = \frac{3}{5}

，(1) 對。(2) 對：

sin 2 θ = 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{24}{25}

。(3) 對：

cos (θ + 6 0^{\circ}) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} - \frac{4}{5} \times \frac{3}{2} = \frac{3 - 4 3}{10}

。(4) 錯：

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{4}{5}

，

\frac{θ}{2}

是銳角，

cos \frac{θ}{2} = \frac{2 5}{5}

。(5) 對：

cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = - \frac{7}{25}

。

sin 3 θ = sin 2 θ cos θ + cos 2 θ sin θ = \frac{72}{125} - \frac{28}{125} = \frac{44}{125}

；

cos 3 θ = cos 2 θ cos θ - sin 2 θ sin θ = - \frac{21}{125} - \frac{96}{125} = - \frac{117}{125}

。相加得

- \frac{73}{125}

。

(4) 的

\frac{5}{5}

是

sin \frac{θ}{2}

的值（

sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{1}{5}

）。(5) 把

3 θ

拆成

2 θ + θ

用和角公式就可以算，不必另外背公式。

03填充題原卷第 10 題（本頁第 10～12 題）：通分、半角、疊合

第 10 題通分：原式

= \frac{sin 3 6 ^{\circ} cos 1 2 ^{\circ} - cos 3 6 ^{\circ} sin 1 2 ^{\circ}}{sin 1 2 ^{\circ} cos 1 2 ^{\circ}}

。分子是正弦的差角公式，等於

sin (3 6^{\circ} - 1 2^{\circ}) = sin 2 4^{\circ}

；分母由二倍角公式

sin 1 2^{\circ} cos 1 2^{\circ} = \frac{1}{2} sin 2 4^{\circ}

。所以原式

= \frac{sin 2 4 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 2 4 ^{\circ}} = 2

。

第 11 題

\frac{π}{8}

是

\frac{π}{4}

的一半。由半角公式

cos^{2} \frac{π}{8} = \frac{1 + cos \frac{π}{4}}{2} = \frac{1 + \frac{2}{2}}{2} = \frac{2 + 2}{4}

。

\frac{π}{8}

是銳角，餘弦為正，所以

cos \frac{π}{8} = \frac{2 + 2}{2}

。

三個格子依序填

2

、

2

、

2

。數值約

0.924

，比

cos \frac{π}{4} \approx 0.707

大，合理。

第 12 題通分：原式

= \frac{3 cos 8 0 ^{\circ} - sin 8 0 ^{\circ}}{sin 8 0 ^{\circ} cos 8 0 ^{\circ}}

。分子

= 2 (\frac{3}{2} cos 8 0^{\circ} - \frac{1}{2} sin 8 0^{\circ}) = 2 (sin 6 0^{\circ} cos 8 0^{\circ} - cos 6 0^{\circ} sin 8 0^{\circ}) = 2 sin (6 0^{\circ} - 8 0^{\circ}) = - 2 sin 2 0^{\circ}

。分母

= \frac{1}{2} sin 16 0^{\circ} = \frac{1}{2} sin 2 0^{\circ}

。所以原式

= \frac{- 2 sin 2 0 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 2 0 ^{\circ}} = - 4

。

sin 16 0^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 2 0^{\circ}) = sin 2 0^{\circ}

，分子分母才能約掉。分子是

6 0^{\circ} - 8 0^{\circ}

，是負角，答案帶負號。

兩個分式相加減、分母是同一個角的正弦與餘弦時，先通分：分母變成二倍角的一半，分子用和差角公式或疊合收成單一正弦。

04填充題原卷第 11～14 題（本頁第 13～16 題）：月形面積、二倍角、疊合的最大值、數實根

第 13 題半圓的半徑

\overline{O Q} = 3

，面積

= \frac{1}{2} π (3)^{2} = \frac{3 π}{2}

。

\overline{P Q} = \overline{P T}

，

O

是

\overline{QT}

中點，所以

\overline{P O} ⊥ \overline{QT}

。直角三角形

P O Q

中

\overline{P Q} = 2

、

\overline{O Q} = 3

，得

\overline{P O} = 1

，

sin ∠ O P Q = \frac{3}{2}

，

∠ O P Q = \frac{π}{3}

，所以

∠ QP T = \frac{2 π}{3}

。以

P

為圓心的扇形

P QS T

面積

= \frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{3}

；

△ P QT

面積

= \frac{1}{2} \times 23 \times 1 = 3

。弦

\overline{QT}

與弧

QS T

之間的弓形面積

= \frac{4 π}{3} - 3

。月形

=

半圓

-

弓形

= \frac{3 π}{2} - \frac{4 π}{3} + 3 = \frac{π}{6} + 3 \approx 0.524 + 1.732 = 2.256

，四捨五入得

a = 2

。

流傳版本題幹印作「

\overline{O T} = 23

」，但這樣

\overline{P T} = 2

會比

\overline{O T}

短，直角三角形

P O T

的斜邊比一股短，不可能；依附圖比例與參考答案應為

\overline{QT} = 23

，本頁題幹已照此寫。扇形面積公式

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

要用弧度。

第 14 題兩邊平方：

sin^{2} θ - 2 sin θ cos θ + cos^{2} θ = \frac{1}{9}

，即

1 - sin 2 θ = \frac{1}{9}

，所以

sin 2 θ = \frac{8}{9}

。

第 15 題

5^{2} + 1 2^{2} = 13

。疊合：

f (x) = - 12 sin x + 5 cos x = 13 (- \frac{12}{13} sin x + \frac{5}{13} cos x) = 13 sin (x + β)

，其中

cos β = - \frac{12}{13}

、

sin β = \frac{5}{13}

。最大值

M = 13

，發生在

θ + β = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數）時，此時

sin θ = sin (\frac{π}{2} - β) = cos β = - \frac{12}{13}

。所以

M + sin θ = 13 - \frac{12}{13} = \frac{157}{13}

。

驗算：同樣可得

cos θ = cos (\frac{π}{2} - β) = sin β = \frac{5}{13}

，代回

f (θ) = 5 \times \frac{5}{13} - 12 \times (- \frac{12}{13}) = \frac{169}{13} = 13

。

sin θ

是負的：要讓

- 12 sin x

這一項變大，

sin x

必須取負值。

第 16 題改寫成

sin x = \frac{x}{5}

，數

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{5}

的交點。正弦值介於

- 1

與

1

之間，只需看

- 5 \leq x \leq 5

。

x = 0

是一個解。

x > 0

時：在

0 < x < π

這個山峰，正弦圖形是向上凸的弧，直線

y = \frac{x}{5}

從原點出發時在弧的下方（例如

x = 1

時

sin 1 \approx 0.84 > 0.2

），到

x = π

時直線高度

\frac{π}{5} > 0 = sin π

已經在上方，中間恰好穿出

1

次；

π \leq x \leq 5

時

sin x \leq 0

而直線為正，沒有交點；下一個山峰從

2 π \approx 6.28

才開始，已超過

5

。所以正的解有

1

個。兩邊都是奇函數，負的解也有

1

個。合計

1 + 1 + 1 = 3

個。

「山峰內恰好

1

個正的交點」可以用數值確認：

x = 2

時

sin 2 \approx 0.909 > 0.4

，

x = 3

時

sin 3 \approx 0.141 < 0.6

，交點在

2

與

3

之間（約

2.596

）。別忘了把

x = 0

算進去。

05填充題原卷第 15～18 題（本頁第 17～20 題）：平移重合、範圍內的極值、正切二倍角、和角配餘弦定理

第 17 題兩個圖形重合，表示對所有

x

都有

sin (x - h) = sin (x + \frac{π}{4})

。正弦函數的週期是

2 π

，所以兩個角只能相差

2 π

的整數倍：

- h = \frac{π}{4} - 2 k π

，即

h = 2 k π - \frac{π}{4}

（

k

為整數）。

0 \leq h < 8 π

時

k = 1, 2, 3, 4

，

h = \frac{7 π}{4}

、

\frac{15 π}{4}

、

\frac{23 π}{4}

、

\frac{31 π}{4}

，共

4

個。

題幹照流傳版本所印。

y = sin (x - h)

本身就是

y = sin x

向右平移

h

的圖形，本題依參考答案的

4

個，解讀為「

y = sin x

的圖形向右平移

h

後（即

y = sin (x - h)

）與

y = sin (x + \frac{π}{4})

的圖形重合」。

k = 0

時

h = - \frac{π}{4}

是負的，

k = 5

時

h = \frac{39 π}{4}

超過

8 π

，都不合。

第 18 題把

sin^{2} x

換成

1 - cos^{2} x

：

f (x) = - cos^{2} x - 2 cos x + 2

。令

t = cos x

，

f = - t^{2} - 2 t + 2 = - (t + 1)^{2} + 3

。

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{7 π}{6}

時，餘弦從

\frac{1}{2}

降到

x = π

的

- 1

，再回升到

cos \frac{7 π}{6} = - \frac{3}{2}

，所以

- 1 \leq t \leq \frac{1}{2}

。拋物線開口向下、頂點在

t = - 1

，正好在範圍的左端：

t = - 1

時最大值

a = 3

；

t = \frac{1}{2}

時最小值

b = - \frac{9}{4} + 3 = \frac{3}{4}

。

a + 4 b = 3 + 3 = 6

。

t

的範圍要看整段

x

：範圍內包含

x = π

，所以

t

的最小值是

- 1

，不是端點

\frac{7 π}{6}

的

- \frac{3}{2}

。

第 19 題

θ

是銳角，

cos θ = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}

，

tan θ = \frac{3}{4}

。由正切的二倍角公式

tan 2 θ = \frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ} = \frac{\frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{3}{2} \times \frac{16}{7} = \frac{24}{7}

。

也可以用

sin 2 θ = \frac{24}{25}

、

cos 2 θ = \frac{7}{25}

相除，結果相同。

第 20 題

1^{2} + 2^{2} = (5)^{2}

，直角在

C

，所以

cos A = \frac{1}{5}

、

sin A = \frac{2}{5}

（

A

指

∠ B A C

）。頂角

12 0^{\circ}

的等腰三角形，兩個底角都是

3 0^{\circ}

，腰長

= \frac{底邊的一半}{cos 3 0 ^{\circ}} = \frac{底邊}{3}

，所以

\overline{A M} = \frac{5}{3}

、

\overline{A N} = \frac{1}{3}

。兩個等腰三角形都作在外側，

∠ M A N = ∠ M A B + ∠ B A C + ∠ C A N = 3 0^{\circ} + A + 3 0^{\circ} = A + 6 0^{\circ}

。由和角公式

cos (A + 6 0^{\circ}) = \frac{1}{5} \times \frac{1}{2} - \frac{2}{5} \times \frac{3}{2} = \frac{1 - 2 3}{2 5}

。在

△ A M N

用餘弦定理：

\overline{M N}^{2} = \frac{5}{3} + \frac{1}{3} - 2 \times \frac{5}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1 - 2 3}{2 5} = 2 - \frac{1 - 2 3}{3} = \frac{5 + 2 3}{3}

。

載入中...

A \approx 63. 4^{\circ}

，

∠ M A N \approx 123. 4^{\circ}

，小於

18 0^{\circ}

，三個角可以直接相加。四個格子依序填

5

、

2

、

3

、

3

。也可以用坐標驗算：取

C (0, 0)

、

A (1, 0)

、

B (0, 2)

，則

N (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2 3})

、

M (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}, 1 + \frac{1}{2 3})

，

\overline{M N}^{2} = \frac{1}{3} + (1 + \frac{1}{3})^{2} = \frac{5 + 2 3}{3}

。

把

x

的範圍換成「整個角」或「

cos x

」的範圍之後再找極值與解；範圍中間如果經過最高點或最低點，極值就不在端點。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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蘭陽女中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

蘭陽女中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 6 題選項 (5) 的角是弧度，要先判斷它落在第三象限，再比兩個負數；多選第 7 題選項 (4) 要把 x 的範圍換成整個角的範圍，兩個解的和是三分之七 π；原卷第 11 題（本頁第 13 題）月形面積是半圓減弓形，弓形要用扇形減三角形；原卷第 16 題（本頁第 18 題）餘弦的範圍要看整段，最小到負一；原卷第 18 題（本頁第 20 題）要先看出夾角是角 A 加六十度，再用和角公式與餘弦定理。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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題目取自蘭陽女中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

蘭陽女中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1～5 題）：扇形、解方程式、解的和、週期、讀圖

02多選題（第 6～9 題）：角的換算、疊合後的性質、週期、倍角半角與和角

03填充題 原卷第 10 題（本頁第 10～12 題）：通分、半角、疊合

04填充題 原卷第 11～14 題（本頁第 13～16 題）：月形面積、二倍角、疊合的最大值、數實根

05填充題 原卷第 15～18 題（本頁第 17～20 題）：平移重合、範圍內的極值、正切二倍角、和角配餘弦定理

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常見問題

蘭陽女中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

蘭陽女中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

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蘭陽女中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

03填充題原卷第 10 題（本頁第 10～12 題）：通分、半角、疊合

04填充題原卷第 11～14 題（本頁第 13～16 題）：月形面積、二倍角、疊合的最大值、數實根

05填充題原卷第 15～18 題（本頁第 17～20 題）：平移重合、範圍內的極值、正切二倍角、和角配餘弦定理

蘭陽女中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

蘭陽女中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？