段考詳解範圍：三角函數（三角函數的圖形與週期、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

高雄中學 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選題 4 題、多選題 2 題、填充題 9 題共 11 格（流傳版本未印配分）

一、單選題（原卷單選第 1～4 題）

a = sin 15 7^{\circ} cos 15 7^{\circ}

，

b = \frac{sin 5 1 ^{\circ}}{sin 1 7 ^{\circ}} - \frac{cos 5 1 ^{\circ}}{cos 1 7 ^{\circ}}

，

c = 1 - 2 sin^{2} 2 1^{\circ}

，

d = 4 cos^{3} 2 1^{\circ} - 3 cos 2 1^{\circ}

，

e = \frac{2 tan 6 7 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 6 7 ^{\circ}}

，則這五個數的中位數為

(A) $a$
(B) $b$
(C) $c$
(D) $d$
(E) $e$

化簡

\frac{3}{sin 7 0 ^{\circ}} - \frac{3}{cos 7 0 ^{\circ}}

的值為

(A) $- 43$
(B) $- 4$
(C) $2$
(D) $4$
(E) $43$

當

- 2 π \leq x \leq 2 π

，

y = ∣ cos x ∣ - cos x

和

y = ∣ tan x ∣

兩個函數圖形的交點個數為

(A) $8$ 個
(B) $7$ 個
(C) $6$ 個
(D) $5$ 個
(E) $4$ 個

已知函數

g_{5} (x)

的圖形是由函數

g_{1} (x) = cos x

經過以下步驟變換得到：（步驟 1）將

g_{1} (x)

圖形上所有點向上平移

1

單位長，得到

g_{2} (x)

；（步驟 2）將

g_{2} (x)

圖形上所有的縱坐標伸長為原來的

7

倍（橫坐標不變），得到

g_{3} (x)

；（步驟 3）將

g_{3} (x)

圖形上所有點的橫坐標伸長為原來的

4

倍（縱坐標不變），得到

g_{4} (x)

；（步驟 4）將

g_{4} (x)

圖形上所有點向右平移

\frac{π}{2}

單位長，得到

g_{5} (x) = a \cdot cos (b x + c) + d

。求序組

(a, b, c, d)

為何？

(A) $(7, 4, - \frac{π}{2}, 1)$
(B) $(7, \frac{1}{4}, - \frac{π}{2}, 1)$
(C) $(7, \frac{1}{4}, - \frac{π}{8}, 1)$
(D) $(7, \frac{1}{4}, - \frac{π}{2}, 7)$
(E) $(7, \frac{1}{4}, - \frac{π}{8}, 7)$

二、多選題（原卷多選第 1～2 題，本頁編為第 5～6 題）

關於函數

f (x) = 4 sin (2 x + \frac{π}{6}) + 5

的敘述，請選出正確的選項

(A) 對於任意實數 $x$ ， $f (x) = f (x + π)$ 恆成立
(B) $y = f (x)$ 的圖形對稱於直線 $x = - \frac{π}{3}$
(C) $y = f (x)$ 的圖形對稱於點 $(\frac{5 π}{12}, 5)$
(D) 若 $0 \leq x \leq 2 π$ ，則 $y = f (x)$ 的圖形與水平線 $y = 2$ 有 $3$ 個交點
(E) 函數 $y = 4 sin 2 x$ 的圖形向左平移 $\frac{π}{6}$ 單位，再向上平移 $5$ 單位可得 $y = f (x)$ 的圖形

判斷下列函數的週期哪些為

π

？

(A) $f (x) = cos ∣2 x ∣$
(B) $f (x) = ∣ sin x + cos x ∣$
(C) $f (x) = (cos x - sin x)^{2}$
(D) $f (x) = sin \frac{x}{2} + cos \frac{x}{2}$
(E) $f (x) = cos^{2} x - sin^{2} x$

三、填充題（原卷填充第 1～9 題，本頁編為第 7～15 題）

(1) 將

f (x) = 3 sin x - cos x

疊合成

r \cdot sin (x - θ)

，其中

r > 0

，

0 < θ < 2 π

，則數對

(r, θ) =

____。(2) 已知

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

，若當

x = a

時，

f (x) = 3 sin x - cos x

有最小值

k

，則數對

(a, k) =

____。(3) 已知

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

，若

g (x) = (3 sin x - cos x)^{2} - 2 (3 sin x - cos x)

之最小值為

m

及最大值為

M

，則數對

(m, M) =

____。

設

sin θ = \frac{6}{5} cos \frac{θ}{2}

，求

cos θ =

____。

已知

θ

為兩直線

L_{1} : 7 x + 9 y + 3 = 0

和

L_{2} : 2 x - 3 y + 4 = 0

所夾的銳角，則

tan θ

的值為 ____。

在

△ A B C

中，設

sin A = \frac{5}{13}

，

tan B = - \frac{4}{3}

，且

△ A B C

的周長為

110

，則

△ A B C

的面積為 ____。

右圖為電流強度

I

（安培）隨時間

x

（秒）變化的函數

I (x) = a cos (b x + c)

部分圖形，其中

a > 0

，

b > 0

，

0 \leq c \leq 2 π

，當

x = \frac{1}{75}

時有最大值

8

；當

x = \frac{4}{75}

時

I (x)

有最小值

- 8

，則序組

(a, b, c) =

____。

載入中...

在

x y

平面座標上，如圖所示，

A (1, 0)

、

B (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})

、

P (x^{'}, y^{'})

是圓心為

O (0, 0)

之單位圓上的三點，且

\overline{P A} = \overline{P B}

，則

P

點坐標為 ____。

載入中...

若

sin x - cos x = \frac{1}{3}

，求

sin 3 x + cos 3 x

的值為 ____。

如圖（僅供參考），矩形木塊靠在牆壁上，且

\overline{A B} = 12

，

\overline{B C} = 5

，

∠ O A B = θ

（

0 < θ < \frac{π}{2}

），若

C

點到地面距離為

12

時，則此時

cos θ

之值為 ____。

載入中...

在

- \frac{π}{4} \leq x \leq \frac{π}{4}

範圍內，求不等式

sin^{2} x + 2 sin x cos x - cos^{2} x \leq - 1

的解為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(A)

第 3 題(B)

第 4 題(E)

第 5 題(A)(B)(C)

第 6 題(A)(B)(C)(D)(E)

第 7 題(1)

(2, \frac{π}{6})

；(2)

(\frac{4 π}{3}, - 1)

；(3)

(- 1, 3)

第 8 題

- 1

或

\frac{7}{25}

第 9 題

3

第 10 題

330

第 11 題

(8, 25 π, \frac{5 π}{3})

第 12 題

(\frac{3 10}{10}, \frac{10}{10})

第 13 題

- \frac{25}{27}

第 14 題

\frac{120}{169}

第 15 題

- \frac{π}{4} \leq x \leq 0

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選 1～4：公式逆用、圖形交點、平移伸縮

第 1 題答案 (D)。逐一化簡：

a = \frac{1}{2} sin 31 4^{\circ} = - \frac{1}{2} sin 4 6^{\circ}

，介於

- \frac{1}{2}

與

0

之間。

b = \frac{sin 5 1 ^{\circ} cos 1 7 ^{\circ} - cos 5 1 ^{\circ} sin 1 7 ^{\circ}}{sin 1 7 ^{\circ} cos 1 7 ^{\circ}} = \frac{sin 3 4 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 3 4 ^{\circ}} = 2

。

c = cos 4 2^{\circ}

。

d = cos (3 \times 2 1^{\circ}) = cos 6 3^{\circ}

。

e = tan 13 4^{\circ} = - tan 4 6^{\circ} < - 1

。餘弦在

0^{\circ}

到

9 0^{\circ}

遞減，所以

0 < cos 6 3^{\circ} < cos 4 2^{\circ} < 1

。由小到大為

e < a < d < c < b

，中位數是

d

。

d

用到三倍角公式

cos 3 θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ

（把

cos (2 θ + θ)

用和角與倍角公式展開即得）。

第 2 題答案 (A)。通分：原式

= \frac{3 cos 7 0 ^{\circ} - 3 sin 7 0 ^{\circ}}{sin 7 0 ^{\circ} cos 7 0 ^{\circ}}

。分子

= 23 (\frac{1}{2} cos 7 0^{\circ} - \frac{3}{2} sin 7 0^{\circ}) = 23 cos (7 0^{\circ} + 6 0^{\circ}) = 23 cos 13 0^{\circ} = - 23 sin 4 0^{\circ}

。分母

= \frac{1}{2} sin 14 0^{\circ} = \frac{1}{2} sin 4 0^{\circ}

。相除得

- 43

。

第 3 題答案 (B)。

tan x

在

cos x = 0

處沒有定義，分兩種情形。①

cos x > 0

：

∣ cos x ∣ - cos x = 0

，要

∣ tan x ∣ = 0

，即

sin x = 0

且

cos x > 0

，在範圍內有

x = - 2 π, 0, 2 π

共

3

個。②

cos x < 0

：

∣ cos x ∣ - cos x = - 2 cos x

，方程式為

- 2 cos x = \frac{∣ sin x ∣}{- cos x}

，即

2 cos^{2} x = ∣ sin x ∣

。令

s = ∣ sin x ∣

，

2 (1 - s^{2}) = s

，

2 s^{2} + s - 2 = 0

，

s = \frac{- 1 + 17}{4} \approx 0.78

（負根不合）。

cos x < 0

的範圍是

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

與

- \frac{3 π}{2} < x < - \frac{π}{2}

；在每一段裡

∣ sin x ∣

由

1

降到

0

再升回

1

，取到

s

各

2

次，共

4

個。合計

3 + 4 = 7

個。

x = \pm π

雖然

tan x = 0

，但那裡

cos x = - 1

，左邊的函數值是

2

，不是交點。

第 4 題答案 (E)。步驟 1：

g_{2} (x) = cos x + 1

。步驟 2：縱坐標乘

7

，

g_{3} (x) = 7 cos x + 7

。步驟 3：橫坐標變

4

倍，把

x

換成

\frac{x}{4}

，

g_{4} (x) = 7 cos \frac{x}{4} + 7

。步驟 4：向右平移

\frac{π}{2}

，把

x

換成

x - \frac{π}{2}

，

g_{5} (x) = 7 cos (\frac{1}{4} (x - \frac{π}{2})) + 7 = 7 cos (\frac{x}{4} - \frac{π}{8}) + 7

。所以

(a, b, c, d) = (7, \frac{1}{4}, - \frac{π}{8}, 7)

。

先平移再伸長，常數

1

也跟著變

7

倍；先伸長再平移，平移量

\frac{π}{2}

要乘上

\frac{1}{4}

才是

c

。

看到

sin θ cos θ

、

1 - 2 sin^{2} θ

、

\frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ}

這些形狀，先認出它是哪個公式的右邊，逆著用回單一個角。

02多選 5～6：正弦型函數的性質、週期

第 5 題答案 (A)(B)(C)。(A) 對：週期

= \frac{2 π}{2} = π

。(B) 對：

x = - \frac{π}{3}

時

2 x + \frac{π}{6} = - \frac{π}{2}

，

sin

值為

- 1

，是最低點，圖形對稱於過最低點的鉛直線。(C) 對：

x = \frac{5 π}{12}

時

2 x + \frac{π}{6} = π

，

sin

值為

0

，

f (\frac{5 π}{12}) = 5

，圖形對稱於這個點。(D) 錯：

f (x) = 2

即

sin (2 x + \frac{π}{6}) = - \frac{3}{4}

；

0 \leq x \leq 2 π

時

2 x + \frac{π}{6}

由

\frac{π}{6}

到

4 π + \frac{π}{6}

，剛好兩個週期，每個週期有

2

個解，共

4

個交點。(E) 錯：向左平移

\frac{π}{6}

得

4 sin 2 (x + \frac{π}{6}) = 4 sin (2 x + \frac{π}{3})

；應該向左平移

\frac{π}{12}

。

對稱軸通過最高點或最低點；對稱中心在圖形與中線

y = 5

的交點。

第 6 題答案 (A)(B)(C)(D)(E)。(A)

cos ∣2 x ∣ = cos 2 x

（餘弦是偶函數），週期

π

。(B)

∣ sin x + cos x ∣ = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，正弦取絕對值後週期由

2 π

變成

π

。(C)

(cos x - sin x)^{2} = 1 - 2 sin x cos x = 1 - sin 2 x

，週期

π

。(D)

f (x) > 0

，且

f (x)^{2} = 1 + 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} = 1 + ∣ sin x ∣

，所以

f (x) = 1 + ∣ sin x ∣

，週期與

∣ sin x ∣

相同，為

π

。(E)

cos^{2} x - sin^{2} x = cos 2 x

，週期

π

。五個都是。

(D) 直接看

sin \frac{x}{2}

的週期是

2 π

，但兩項相加後更短；平方之後才看得出來。

03填充 7～10：疊合與極值、倍角方程式、夾角、三角形

第 7 題(1)

3 sin x - cos x = 2 (sin x \cdot \frac{3}{2} - cos x \cdot \frac{1}{2}) = 2 sin (x - \frac{π}{6})

，

(r, θ) = (2, \frac{π}{6})

。(2)

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

時

\frac{π}{6} \leq x - \frac{π}{6} \leq \frac{7 π}{6}

，在這個範圍

sin

的最小值是

sin \frac{7 π}{6} = - \frac{1}{2}

，最大值是

1

。所以

x = \frac{4 π}{3}

時

f (x)

有最小值

- 1

，

(a, k) = (\frac{4 π}{3}, - 1)

。(3) 令

t = 3 sin x - cos x

，由 (2) 知

- 1 \leq t \leq 2

。

g = t^{2} - 2 t = (t - 1)^{2} - 1

：

t = 1

時最小值

- 1

；

t = - 1

時最大值

3

（

t = 2

時只有

0

）。

(m, M) = (- 1, 3)

。

流傳版本 (1) 的題幹印作「將

f (x) 3 sin x - cos x

疊合成」，漏了等號，依 (2) 的寫法應為

f (x) = 3 sin x - cos x

。

第 8 題由倍角公式

sin θ = 2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2}

，原式為

2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2} = \frac{6}{5} cos \frac{θ}{2}

，即

cos \frac{θ}{2} (2 sin \frac{θ}{2} - \frac{6}{5}) = 0

。①

cos \frac{θ}{2} = 0

：

cos θ = 2 cos^{2} \frac{θ}{2} - 1 = - 1

。②

sin \frac{θ}{2} = \frac{3}{5}

：

cos θ = 1 - 2 sin^{2} \frac{θ}{2} = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25}

。所以

cos θ = - 1

或

\frac{7}{25}

。

兩邊不可以直接約掉

cos \frac{θ}{2}

，它可能是

0

（例如

θ = π

，兩邊都是

0

）。

第 9 題

L_{1}

的斜率

m_{1} = - \frac{7}{9}

，

L_{2}

的斜率

m_{2} = \frac{2}{3}

。設兩直線的斜角分別為

α

、

β

，則

tan α = - \frac{7}{9}

，

tan β = \frac{2}{3}

，由差角公式

tan (α - β) = \frac{- \frac{7}{9} - \frac{2}{3}}{1 + ( - \frac{7}{9} ) ( \frac{2}{3} )} = \frac{- \frac{13}{9}}{\frac{13}{27}} = - 3

。兩直線的夾角是

α - β

與它的補角，正切值分別為

- 3

與

3

；銳角的正切為正，所以

tan θ = 3

。

第 10 題

tan B < 0

，所以

B

是鈍角：

sin B = \frac{4}{5}

，

cos B = - \frac{3}{5}

。

A

只能是銳角：

cos A = \frac{12}{13}

。

sin C = sin (A + B) = \frac{5}{13} \cdot (- \frac{3}{5}) + \frac{12}{13} \cdot \frac{4}{5} = \frac{33}{65}

。由正弦定理，

a : b : c = sin A : sin B : sin C = \frac{25}{65} : \frac{52}{65} : \frac{33}{65} = 25 : 52 : 33

。

25 + 52 + 33 = 110

恰為周長，所以

a = 25

，

b = 52

，

c = 33

。面積

= \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} \times 25 \times 52 \times \frac{33}{65} = 330

。

三角形最多一個鈍角，

B

已經是鈍角，

cos A

只能取正。

疊合之後先把角的範圍換算好，再看正弦在那一段的最大、最小值；極值不一定發生在端點，也不一定在

\pm 1

。

04填充 11～15：讀圖求函數、半角、三倍角、疊合解方程式與不等式

第 11 題

a > 0

且最大值為

8

，所以

a = 8

。由圖，

x = \frac{1}{75}

的最高點與

x = \frac{4}{75}

的最低點相鄰，相距半個週期：

\frac{4}{75} - \frac{1}{75} = \frac{1}{25}

，週期

= \frac{2}{25} = \frac{2 π}{b}

，

b = 25 π

。

x = \frac{1}{75}

時取最大值：

25 π \cdot \frac{1}{75} + c = 2 nπ

（

n

為整數），

c = 2 nπ - \frac{π}{3}

；在

0 \leq c \leq 2 π

內只有

c = \frac{5 π}{3}

。所以

(a, b, c) = (8, 25 π, \frac{5 π}{3})

。

驗算：

I (0) = 8 cos \frac{5 π}{3} = 4

，與圖上

y

軸的截距

4

相符。

第 12 題設

∠ A O B = φ

，由

B (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})

知

cos φ = \frac{4}{5}

，

φ

為銳角。

\overline{P A} = \overline{P B}

，等弦對等圓心角，而圖中

P

在

A

、

B

之間的弧上，所以

∠ A O P = \frac{φ}{2}

，

P = (cos \frac{φ}{2}, sin \frac{φ}{2})

。由半角公式

cos \frac{φ}{2} = \frac{1 + \frac{4}{5}}{2} = \frac{3}{10} = \frac{3 10}{10}

，

sin \frac{φ}{2} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{2} = \frac{1}{10} = \frac{10}{10}

。

P

點坐標為

(\frac{3 10}{10}, \frac{10}{10})

。

圓上另一點

(- \frac{3 10}{10}, - \frac{10}{10})

到

A

、

B

也等距，但依附圖

P

在第一象限的弧

A B

上。

第 13 題兩邊平方：

1 - 2 sin x cos x = \frac{1}{9}

，

sin x cos x = \frac{4}{9}

。由三倍角公式

sin 3 x = 3 sin x - 4 sin^{3} x

、

cos 3 x = 4 cos^{3} x - 3 cos x

，

sin 3 x + cos 3 x = 3 (sin x - cos x) - 4 (sin^{3} x - cos^{3} x)

。其中

sin^{3} x - cos^{3} x = (sin x - cos x) (sin^{2} x + sin x cos x + cos^{2} x) = \frac{1}{3} (1 + \frac{4}{9}) = \frac{13}{27}

。所以所求

= 3 \times \frac{1}{3} - 4 \times \frac{13}{27} = 1 - \frac{52}{27} = - \frac{25}{27}

。

三倍角公式由

sin (2 x + x)

、

cos (2 x + x)

用和角與倍角公式展開即得。

第 14 題

B

在牆上，離地面的高度是

\overline{A B} sin θ = 12 sin θ

。

\overline{B C} ⊥ \overline{A B}

，

\overline{A B}

與地面夾

θ

，所以

\overline{B C}

與鉛直線夾

θ

，

C

比

B

高

5 cos θ

。條件為

12 sin θ + 5 cos θ = 12

。疊合：

13 sin (θ + α) = 12

，其中

cos α = \frac{12}{13}

、

sin α = \frac{5}{13}

，

0 < α < \frac{π}{4}

。於是

sin (θ + α) = \frac{12}{13} = cos α = sin (\frac{π}{2} - α)

。

θ + α

介於

α

與

\frac{π}{2} + α

之間，所以

θ + α = \frac{π}{2} - α

或

\frac{π}{2} + α

；後者得

θ = \frac{π}{2}

，不合。故

θ = \frac{π}{2} - 2 α

，

cos θ = sin 2 α = 2 \times \frac{5}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{120}{169}

。

流傳版本題幹印作「

∠ O A B = (0 < θ < \frac{π}{2})

」，漏了

θ

，依題意應為

∠ O A B = θ

。驗算：

sin θ = \frac{119}{169}

，

12 \times \frac{119}{169} + 5 \times \frac{120}{169} = \frac{2028}{169} = 12

。附圖依原卷為示意圖（取

θ = 2 5^{\circ}

）。

第 15 題

sin^{2} x - cos^{2} x = - cos 2 x

，

2 sin x cos x = sin 2 x

，不等式為

sin 2 x - cos 2 x \leq - 1

。疊合：

2 sin (2 x - \frac{π}{4}) \leq - 1

，即

sin (2 x - \frac{π}{4}) \leq - \frac{2}{2}

。

- \frac{π}{4} \leq x \leq \frac{π}{4}

時

- \frac{3 π}{4} \leq 2 x - \frac{π}{4} \leq \frac{π}{4}

；在這一段裡，

sin

值不大於

- \frac{2}{2}

的部分是

- \frac{3 π}{4} \leq 2 x - \frac{π}{4} \leq - \frac{π}{4}

。解得

- \frac{π}{2} \leq 2 x \leq 0

，即

- \frac{π}{4} \leq x \leq 0

。

a sin θ + b cos θ = k

這種方程式或不等式，疊合成單一個正弦後，把角的範圍一起換過去再解。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄中學 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要依餘弦的正負分兩種情形數交點，正負 π 那兩點不是交點；第 6 題的絕對值相加要平方後才看得出週期；第 8 題不可直接約掉半角的餘弦，會少一個答案；第 14 題要先把 C 點的高度寫成正弦與餘弦的一次式再疊合。詳解逐題寫在本頁。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高雄中學 114 學年度上學期高二第一次段考數學A（社會組），由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高雄中學 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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02多選 5～6：正弦型函數的性質、週期

03填充 7～10：疊合與極值、倍角方程式、夾角、三角形

04填充 11～15：讀圖求函數、半角、三倍角、疊合解方程式與不等式

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高雄中學 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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