苑裡高中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 $-\frac{2}{x^2}$。這不是多項式，回到導數的定義（$x\ne 0$）：

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{1}{h}\left(\frac{2}{x+h}-\frac{2}{x}\right)=\frac{1}{h}\cdot \frac{2x-2(x+h)}{x(x+h)}=\frac{-2}{x(x+h)}$$

令 $h\to 0$，得 $f^{\prime }(x)=-\frac{2}{x^2}$。

答案 $-2$。$f^{\prime }(x)=-\frac{2}{x^2}$，$f^{\prime }(1)=-2$。也可以直接用定義：

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\frac{2}{x}-2}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2(1-x)}{x(x-1)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-2}{x}=-2$$

答案 $32$。令 $g(x)=x^4$，$g(2)=16$，所以

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^4-16}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{g(x)-g(2)}{x-2}=g^{\prime }(2)$$

$g^{\prime }(x)=4x^3$，$g^{\prime }(2)=32$。

答案 (A)。在 $x=1$ 連續，要左極限、右極限都等於 $f(1)$。

右側與 $f(1)$：$f(1)=a\cdot 1^2-3=a-3$。左極限：$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(-3x+2)=-1$。

$a-3=-1$，得 $a=2$。

答案 (D)。$f(2)=0$（分子有 $x-2$ 這個因式），用導數的定義：

$$f^{\prime }(2)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-1)(x-3)(x-4)}{x-5}=\frac{1\cdot (-1)\cdot (-2)}{-3}=-\frac{2}{3}$$

答案 (E)。切線斜率就是導數：

$$f^{\prime }(x)=3x^2+6x+5=3(x+1{)}^2+2\ge 2$$

切線斜率只能是大於或等於 $2$ 的數（$x=-1$ 時等於 $2$），選項中只有 $2$ 可能。

答案 (C)。令 $g(x)=x^3-4x-1$，多項式函數處處連續，算整數點的值：

$g(0)=-1$，$g(1)=-4$，$g(2)=-1$，$g(3)=14$，$g(4)=47$，$g(5)=104$。

只有 $g(2)<0<g(3)$ 異號，由勘根定理，$2$ 與 $3$ 之間有實根；題目說 $[0,5]$ 中恰有一實數解，就是這一個。

答案 (B)(C)。

(A) 錯誤。 $0<1$，用 $x+3$：$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0+3=3$。

(B) 正確。 $-1<1$，用 $x+3$：$\underset{x\to -1}{\lim }f(x)=-1+3=2$。

(C) 正確。 $x=1$ 屬於 $x\ge 1$，$f(1)=1+2=3$。

(D) 錯誤。 左極限 $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x+3)=4$，右極限 $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(x^2+2)=3$，左右不相等，$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$ 不存在。

(E) 錯誤。 由 (D)，$f$ 在 $x=1$ 不連續。

答案 (A)(C)。由圖：$-1\le x<0$ 是一段由 $(-1,1)$ 下降到原點的曲線，在原點的切線是鉛直的；$0\le x<1$ 是由原點上升、往 $(1,2)$ 的曲線，$(1,2)$ 是空心點；$1\le x\le 3$ 是 $y=1$ 的線段，但 $(2,1)$ 是空心點，另有實心點 $(2,2)$，即 $f(2)=2$。

(A) 正確。 $x$ 從 $1$ 的左邊靠近時，圖形往空心點 $(1,2)$ 靠近，左極限是 $2$。

(B) 錯誤。 $x$ 從 $2$ 的左右兩邊靠近時，圖形都沿著 $y=1$ 靠近 $(2,1)$，所以 $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=1$ 存在；只是 $f(2)=2$ 和極限不同。

(C) 正確。 左右兩段都通到原點，左右極限都是 $0$。

(D) 錯誤。 $-1<x<0$ 圖形下降，$x=-\frac{1}{2}$ 處的切線斜率是負的，$f^{\prime }\left(-\frac{1}{2}\right)<0$。

(E) 錯誤。 原點左邊的曲線以鉛直方向到達原點，左邊的割線斜率 $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ 在 $x\to 0^{-}$ 時趨向負無限大，極限不存在，$f$ 在 $x=0$ 不可微分；而且原點左右兩邊切線方向也不同，所以 $f^{\prime }(0)$ 不存在，更不會等於 $0$。

答案 (B)(C)(D)(E)。先拆絕對值：$x^2-5x=x(x-5)$，在 $0<x<5$ 時為負，在 $x<0$ 或 $x>5$ 時為正。

靠近 $x=2$（在 $0<x<5$ 內）：$\left|x^2-5x\right|=5x-x^2$，

$$f(x)=\frac{-x^2+5x-6}{x-2}=\frac{-(x-2)(x-3)}{x-2}=3-x(x\ne 2)$$

(A) 錯誤。 $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=3-2=1$，極限存在。

(B) 正確。 同上，極限為 $1$。

(C) 正確。 分母在 $x=2$ 為 $0$，$f(2)$ 沒有定義，所以 $f$ 在 $x=2$ 不連續。

(D) 正確。 靠近 $x=0$ 時，$x^2-5x\to 0$，所以 $\left|x^2-5x\right|\to 0$，分子趨近 $-6$，分母趨近 $-2$，$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\frac{-6}{-2}=3$。

(E) 正確。 $f(0)=\frac{|0|-6}{0-2}=3$，等於 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$，所以 $f$ 在 $x=0$ 連續。

答案 (A)(C)。$f^{\prime }(x)=3x^2-1=11$，$x^2=4$，$x=2$ 或 $x=-2$。

$f(2)=8-2=6$，$f(-2)=-8+2=-6$，所以 $P$ 是 $(2,6)$ 或 $(-2,-6)$。

(A) 正確。 $(2,6)$。

(B) 錯誤。 $f(2)=6$，不是 $-6$，$(2,-6)$ 不在圖形上。

(C) 正確。 $(-2,-6)$。

(D) 錯誤。 $f(-2)=-6$，$(-2,6)$ 不在圖形上。

(E) 錯誤。 $(0,0)$ 在圖形上，但 $f^{\prime }(0)=-1\ne 11$。

答案 (A)(B)(E)。在 $x=0$ 可微分，就是 $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h)-f(0)}{h}$ 存在。

(A) 正確。 $\frac{h-0}{h}=1$，極限是 $1$。

(B) 正確。 $\frac{h^2-0}{h}=h$，極限是 $0$。

(C) 錯誤。 $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }[x]=-1$，而 $[0]=0$，$f$ 在 $x=0$ 不連續，所以不可微分（可微分一定連續）。

(D) 錯誤。 $\frac{|h|}{h}$ 在 $h>0$ 時是 $1$、在 $h<0$ 時是 $-1$，左右極限不同，極限不存在。

(E) 正確。 $\frac{h|h|}{h}=|h|$，極限是 $0$，$f^{\prime }(0)=0$。

答案 (A)(B)。先確認 $P$ 不在拋物線上：$f(5)=20\ne 4$。

設切點 $(t,t^2-t)$，$f^{\prime }(x)=2x-1$，切線為 $y=(2t-1)(x-t)+t^2-t$。代入 $(5,4)$：

$$4=(2t-1)(5-t)+t^2-t=-t^2+10t-5$$

$t^2-10t+9=0$，$(t-1)(t-9)=0$，$t=1$ 或 $t=9$。

$t=1$：切點 $(1,0)$，斜率 $1$，切線 $y=x-1$，即 $x-y-1=0$。

$t=9$：切點 $(9,72)$，斜率 $17$，切線 $y=17(x-9)+72=17x-81$，即 $17x-y-81=0$。

(A) 正確。 是 $t=1$ 那一條。

(B) 正確。 是 $t=9$ 那一條。

(C) 錯誤。 斜率 $-1$，要切點在 $x=0$，但 $x=0$ 的切線是 $y=-x$，不通過 $P$；$x+y-9=0$ 雖然通過 $P$，與拋物線聯立得 $x^2=9$，有兩個交點，是割線。

(D) 錯誤。 斜率 $-17$，切點要在 $x=-8$，那裡的切線是 $y=-17x-64$，不是 $17x+y-89=0$。

(E) 錯誤。 斜率 $-2$，切點要在 $x=-\frac{1}{2}$，那裡的切線是 $y=-2x-\frac{1}{4}$，不是 $2x+y-14=0$。