段考詳解範圍：三角函數（和差角與倍角公式、正餘弦的疊合、三角函數的圖形與極值）

高雄中學 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

多選題 2 題（12 分）、填充題 10 題共 14 格（68 分，依答對格數累進計分）、非選擇題 2 題（20 分）

一、多選題（每題 6 分，共 12 分；各選項獨立判定，答錯 1 個選項得 4 分，答錯 2 個選項得 2 分，答錯多於 2 個選項或未作答得 0 分）

下列何者正確？

(A) 對於任意實數 $α$ 、 $β$ ，等式 $cos (α - β) = cos α - cos β$ 都成立
(B) 對於任意實數 $α$ 、 $β$ ，等式 $cos (α - β) = cos α - cos β$ 都不成立
(C) 存在無窮多個實數 $α$ 、 $β$ ，使等式 $cos (α - β) = cos α - cos β$ 成立
(D) 僅有有限多個實數 $α$ 、 $β$ ，使等式 $cos (α - β) = cos α - cos β$ 成立
(E) $x$ 、 $y$ 為實數， $sin (x + y) sin (x - y) = sin^{2} x - sin^{2} y$ 恆成立

令

0 < α < \frac{π}{2}

，

0 < β < \frac{π}{2}

，且

tan α = \frac{1 + sin β}{cos β}

，下列選項何者正確？

(A) $tan α - tan \frac{π}{4} > 0$
(B) $3 α - β = \frac{π}{2}$
(C) $3 α + β = \frac{π}{2}$
(D) $2 α - β = \frac{π}{2}$
(E) $2 α + β = \frac{π}{2}$

二、填充題（共 14 格，占 68 分，依答對格數累進計分；答案須化至最簡）

- 2 π \leq x \leq 2 π

，方程式

sin ∣ x ∣ - ∣ sin x ∣ = k

恰有四個彼此相異的實數解，求出實數

k

的範圍。

一八邊形是由腰長為

1

，頂角為

x

（

x

為實數）的四個等腰三角形及它們的四個底邊構成之正方形所組成，試問當

x

為多少時，這八邊形的面積最大？

載入中...

設

x

為實數，求出函數

y = \frac{sin x cos x}{sin x + cos x + 1}

的值域。

已知函數

f (x) = sin x

，存在

x_{1}

、

x_{2}

、

x_{3}

、…、

x_{m}

滿足

0 \leq x_{1} < x_{2} < \dots < x_{m} \leq 6 π

，且

∣ f (x_{1}) - f (x_{2}) ∣ + ∣ f (x_{2}) - f (x_{3}) ∣ + \dots + ∣ f (x_{m - 1}) - f (x_{m}) ∣ = 12

，其中

m \geq 2

，

m \in N

，試求出

m

的最小值。

已知

x

、

y \in R

，且

x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = 4

，求出

x y

的最大值。

已知

f (x) = 3 cos (\frac{x π}{r} + φ)

，其中

r > 0

，

f (x)

為奇函數，

φ

的最小正值為

φ_{0}

。(1) 求出

φ_{0}

的值。(2) 若函數

f (x) = 3 cos (\frac{x π}{r} + φ_{0})

，其中

r > 0

，

f (x)

的圖形至少有一個最大值點和一個最小值點在圓

x^{2} + y^{2} = r^{2}

內或圓

x^{2} + y^{2} = r^{2}

上，求

r

的取值範圍。

已知函數

f (x) = 2 sin (ω x)

，其中常數

ω > 0

。(1) 若

y = f (x)

在

[- \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}]

上遞增，求

ω

的取值範圍。(2) 令

ω = 2

，將函數

y = f (x)

的圖形向左平移

\frac{π}{6}

個單位，再向上平移

1

個單位，得到函數

y = g (x)

的圖形，區間

[a, b]

滿足：「

g (x) = 0

在

[a, b]

上至少含有

30

個實數解。」在所有滿足上述條件的

[a, b]

中，求

b - a

的最小值。

令

f (x) = cos x

，

α \leq x \leq α + \frac{π}{2}

，其中

- \frac{π}{2} < α < \frac{π}{2}

。令

f (x)

的最大值為

M

（

M

隨著

α

改變而改變），最小值為

m

（

m

隨著

α

改變而改變），求出

M - m

的最大值。

凸四邊形

A B C D

中，

∠ A B C = \frac{2 π}{3}

，

∠ A C D = \frac{π}{3}

，

∠ B A D = \frac{π}{2}

，

\overline{A D} = 24

公尺。設

∠ B A C = θ

，

\frac{π}{12} \leq θ \leq \frac{π}{6}

。(1) 試用

θ

表示

\overline{A B}

的長為多少公尺？(2)

\overline{A B} + \overline{B C}

的最小值為多少公尺？(3) 承上題，此時

θ

為多少？

載入中...

設

α

、

β

皆為實數，且滿足

sin α + sin β = \frac{2}{2}

，

cos α + cos β = \frac{6}{2}

，求出

sin (α + β)

之值。

三、非選擇題（共 20 分；前面小題縱使未被證出，也可被引用來解後面小題）

令

A

、

B

、

C

為一銳角

△ A B C

的三內角，回答下列問題：(1) 令

α

、

β

為實數，利用

cos

的和差角公式，證明

cos (α + β) + cos (α - β) = 2 cos α cos β

。（2 分）(2) 證明

cos A cos B cos C \leq \frac{1}{8}

。（4 分）(3) 求出

\frac{cos A}{cos B cos C} + \frac{cos B}{cos C cos A} + \frac{cos C}{cos A cos B}

的最小值並證明其為最小。（3 分）(4) 求出

tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A

的最小值並證明其為最小。（3 分）

令

A

、

B

、

C

為一

△ A B C

的三內角，滿足

tan A tan C = tan^{2} B

，回答下列問題：(1) 證明

△ A B C

為銳角三角形。（4 分）(2) 證明

B \geq \frac{π}{3}

。（4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)(E)

第 2 題(A)(D)

第 3 題

- 2 < k < 0

第 4 題

\frac{3 π}{4}

第 5 題

{y \frac{- 2 - 1}{2} \leq y \leq \frac{2 - 1}{2}, y \neq = - 1}

第 6 題

8

第 7 題

22 - 2

第 8 題(1)

\frac{π}{2}

；(2)

r \geq 2

第 9 題(1)

0 < ω \leq \frac{3}{4}

；(2)

\frac{43 π}{3}

第 10 題

2

第 11 題(1)

16 sin (2 θ + \frac{π}{3})

；(2)

83 + 8

；(3)

\frac{π}{12}

第 12 題

\frac{3}{2}

第 13 題(1)(2) 見詳解；(3) 最小值

6

；(4) 最小值

9

第 14 題見詳解（證明）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題：和差角公式的判斷、倍角化簡

第 1 題答案 (C)(E)。(A) 錯：取

α = β = 0

，左邊

cos 0 = 1

，右邊

1 - 1 = 0

。(B) 錯：取

α = \frac{π}{4}

、

β = \frac{π}{2}

，左邊

cos (- \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

，右邊

\frac{2}{2} - 0 = \frac{2}{2}

，等式成立。(C) 對：把剛才的

α

換成

\frac{π}{4} + 2 nπ

（

n

為整數），兩邊的值都不變，所以有無窮多組。(D) 錯：與 (C) 相反。(E) 對：左邊

= (sin x cos y)^{2} - (cos x sin y)^{2} = sin^{2} x (1 - sin^{2} y) - (1 - sin^{2} x) sin^{2} y = sin^{2} x - sin^{2} y

。

(A)(B) 是「全部成立／全部不成立」，各舉一個反例就能否定；(C) 只要找到一組再利用週期。

第 2 題答案 (A)(D)。

1 + sin β = 1 + cos (\frac{π}{2} - β) = 2 cos^{2} (\frac{π}{4} - \frac{β}{2})

，

cos β = sin (\frac{π}{2} - β) = 2 sin (\frac{π}{4} - \frac{β}{2}) cos (\frac{π}{4} - \frac{β}{2})

，相除得

tan α = \frac{cos ( \frac{π}{4} - \frac{β}{2} )}{sin ( \frac{π}{4} - \frac{β}{2} )} = tan (\frac{π}{4} + \frac{β}{2})

。

α

與

\frac{π}{4} + \frac{β}{2}

都在

0

到

\frac{π}{2}

之間，所以

α = \frac{π}{4} + \frac{β}{2}

，即

2 α - β = \frac{π}{2}

，(D) 對。

α > \frac{π}{4}

，所以

tan α > 1 = tan \frac{π}{4}

，(A) 對。(B) 錯：

3 α - β = \frac{π}{2} + α > \frac{π}{2}

。(C)(E) 錯：

2 α + β = \frac{π}{2} + 2 β > \frac{π}{2}

，

3 α + β

更大。

最後一步用到「正切在

0

到

\frac{π}{2}

之間是一對一」，所以要先確認兩個角都在這個範圍內。

02填充 3～7：圖形與解的個數、疊合求極值

第 3 題令

g (x) = sin ∣ x ∣ - ∣ sin x ∣

，

g (- x) = g (x)

，圖形對稱於

y

軸，先看

0 \leq x \leq 2 π

。

0 \leq x \leq π

時

sin x \geq 0

，

g (x) = sin x - sin x = 0

；

π < x \leq 2 π

時

sin x \leq 0

，

g (x) = sin x + sin x = 2 sin x

，由

0

降到

- 2

（

x = \frac{3 π}{2}

）再回到

0

。所以在

0 \leq x \leq 2 π

上：

k = 0

有無窮多個解，

- 2 < k < 0

恰有

2

個解，

k = - 2

恰有

1

個解，其餘無解。左半邊對稱，個數加倍，恰有四個相異實數解的條件是

- 2 < k < 0

。

流傳的兩份版本中，一份題幹印作「整數解」，另一份印作「實數解」；後者才與簡答

- 2 < k < 0

相符，本頁採後者（整數

x

只有

- 6

到

6

，湊不出恰四個解）。

第 4 題等腰三角形兩腰為

1

、夾角

x

（

0 < x < π

），面積

\frac{1}{2} sin x

，底邊長

2 sin \frac{x}{2}

，也就是正方形的邊長。八邊形面積

= (2 sin \frac{x}{2})^{2} + 4 \times \frac{1}{2} sin x = 2 (1 - cos x) + 2 sin x = 2 + 22 sin (x - \frac{π}{4})

。

- \frac{π}{4} < x - \frac{π}{4} < \frac{3 π}{4}

，當

x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

，即

x = \frac{3 π}{4}

時面積最大（最大值

2 + 22

）。

4 sin^{2} \frac{x}{2}

用半角公式換成

2 (1 - cos x)

，整個式子才會變成

sin x

、

cos x

的一次式，可以疊合。

第 5 題令

t = sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，則

- 2 \leq t \leq 2

，且

t^{2} = 1 + 2 sin x cos x

，

sin x cos x = \frac{t ^{2} - 1}{2}

。分母不可為

0

，所以

t \neq = - 1

。

y = \frac{t ^{2} - 1}{2 ( t + 1 )} = \frac{t - 1}{2}

。

t

由

- 2

到

2

時，

y

由

\frac{- 2 - 1}{2}

到

\frac{2 - 1}{2}

，再去掉

t = - 1

對應的

y = - 1

。值域為

\frac{- 2 - 1}{2} \leq y \leq \frac{2 - 1}{2}

且

y \neq = - 1

。

t = - 1

落在

- 2

與

2

之間，約分之前要先把它排除，值域中間會少一個點。

第 6 題每一項

∣ f (x_{i}) - f (x_{i + 1}) ∣ \leq 2

，等於

2

只發生在一個點的函數值是

1

、另一個是

- 1

。在

0 \leq x \leq 6 π

內，

sin x = \pm 1

的點只有

\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, \dots, \frac{11 π}{2}

共

6

個。若

m = 7

，共

6

項，總和要到

12

必須每項都是

2

，需要

7

個函數值為

\pm 1

的點，辦不到；

m < 7

時總和小於

12

。取

0, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, \frac{5 π}{2}, \frac{7 π}{2}, \frac{9 π}{2}, \frac{11 π}{2}, 6 π

共

8

個點，總和

= 1 + 2 \times 5 + 1 = 12

。所以

m

的最小值為

8

。

流傳的兩份版本中，一份把點列寫成「…、

x_{n}

」，另一份寫

x_{m}

，與後文一致，本頁採後者。頭尾兩段（

0

到

\frac{π}{2}

、

\frac{11 π}{2}

到

6 π

）各只貢獻

1

，不可漏掉兩個端點。

第 7 題配方：

(x + y)^{2} + y^{2} = 4

。令

x + y = 2 cos θ

，

y = 2 sin θ

，則

x = 2 cos θ - 2 sin θ

。

x y = 4 sin θ cos θ - 4 sin^{2} θ = 2 sin 2 θ - 2 (1 - cos 2 θ) = 22 sin (2 θ + \frac{π}{4}) - 2

。

θ

可取任意實數，所以

x y

的最大值為

22 - 2

。

流傳的兩份版本中，一份題幹印作「最小值」，另一份印作「最大值」；後者才與簡答

22 - 2

相符，本頁採後者（同一個式子的最小值是

- 22 - 2

）。

看到

a sin θ + b cos θ

就疊合；看到

sin^{2}

、

sin θ cos θ

先用倍角公式降成一次，再疊合。

03填充 8～12：圖形性質、區間極值、正弦定理、和差角

第 8 題(1) 奇函數必有

f (0) = 0

，即

3 cos φ = 0

，

φ = \frac{π}{2} + nπ

（

n

為整數）；此時

f (x) = \mp 3 sin \frac{x π}{r}

確實是奇函數。最小正值

φ_{0} = \frac{π}{2}

。(2)

f (x) = 3 cos (\frac{x π}{r} + \frac{π}{2}) = - 3 sin \frac{x π}{r}

，週期

2 r

。最大值點在

x = - \frac{r}{2} + 2 n r

，最小值點在

x = \frac{r}{2} + 2 n r

；離原點最近的是

(- \frac{r}{2}, 3)

與

(\frac{r}{2}, - 3)

，到原點的距離平方都是

\frac{r ^{2}}{4} + 3

。條件為

\frac{r ^{2}}{4} + 3 \leq r^{2}

，

r^{2} \geq 4

，得

r \geq 2

。

第 9 題(1)

ω > 0

，

2 sin (ω x)

包含

0

的遞增區間是

[- \frac{π}{2 ω}, \frac{π}{2 ω}]

。要

[- \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}]

落在其中：

\frac{π}{2 ω} \geq \frac{2 π}{3}

且

\frac{π}{2 ω} \geq \frac{π}{4}

，得

0 < ω \leq \frac{3}{4}

。(2)

g (x) = 2 sin 2 (x + \frac{π}{6}) + 1 = 2 sin (2 x + \frac{π}{3}) + 1

。

g (x) = 0

即

sin (2 x + \frac{π}{3}) = - \frac{1}{2}

，

2 x + \frac{π}{3} = \frac{7 π}{6} + 2 nπ

或

\frac{11 π}{6} + 2 nπ

，

x = \frac{5 π}{12} + nπ

或

\frac{3 π}{4} + nπ

。相鄰兩根的間距依序是

\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \dots

。

30

個根之間有

29

段間距，從短的那段開始：

15

段

\frac{π}{3}

加

14

段

\frac{2 π}{3}

，

b - a

的最小值

= 5 π + \frac{28 π}{3} = \frac{43 π}{3}

。

[a, b]

的兩端剛好取在根上最省；

29

是奇數，第一段選短的那一種，短的才會多一段。

第 10 題若

- \frac{π}{2} < α \leq 0

：區間

[α, α + \frac{π}{2}]

包含

0

，

M = 1

；兩端點的值

cos α

與

cos (α + \frac{π}{2}) = - sin α

都不小於

0

，所以

m \geq 0

，

M - m \leq 1

。若

0 < α < \frac{π}{2}

：區間落在

0

到

π

之間，

cos x

遞減，

M = cos α

，

m = cos (α + \frac{π}{2}) = - sin α

，

M - m = cos α + sin α = 2 sin (α + \frac{π}{4})

，在

α = \frac{π}{4}

時為

2

。

2 > 1

，所以

M - m

的最大值為

2

。

流傳的兩份版本中，一份範圍印作

α \leq x < α + \frac{π}{2}

（右端不含），另一份印作

α \leq x \leq α + \frac{π}{2}

；右端不含時

α > 0

的情形取不到最小值，本頁採後者，與簡答

2

相符。

第 11 題(1)

△ A C D

中

∠ C A D = \frac{π}{2} - θ

，

∠ A D C = π - \frac{π}{3} - (\frac{π}{2} - θ) = θ + \frac{π}{6}

。由正弦定理

\frac{A C}{sin ( θ + \frac{π}{6} )} = \frac{24}{sin \frac{π}{3}}

，

\overline{A C} = 163 sin (θ + \frac{π}{6})

。

△ A B C

中

∠ A C B = \frac{π}{3} - θ

，

\frac{A B}{sin ( \frac{π}{3} - θ )} = \frac{A C}{sin \frac{2 π}{3}}

，

\overline{A B} = 32 sin (θ + \frac{π}{6}) sin (\frac{π}{3} - θ)

。因

sin (\frac{π}{3} - θ) = cos (θ + \frac{π}{6})

，由倍角公式

\overline{A B} = 16 sin (2 θ + \frac{π}{3})

。(2) 同理

\overline{B C} = \frac{A C sin θ}{sin \frac{2 π}{3}} = 32 sin θ sin (θ + \frac{π}{6}) = 163 sin^{2} θ + 16 sin θ cos θ = 83 (1 - cos 2 θ) + 8 sin 2 θ

；而

\overline{A B} = 8 sin 2 θ + 83 cos 2 θ

。相加得

\overline{A B} + \overline{B C} = 16 sin 2 θ + 83

。

\frac{π}{6} \leq 2 θ \leq \frac{π}{3}

，

sin 2 θ

遞增，最小值在

2 θ = \frac{π}{6}

：

16 \times \frac{1}{2} + 83 = 83 + 8

。(3) 此時

θ = \frac{π}{12}

。

流傳的兩份版本中，一份 (2) 印作

\overline{A B} + \overline{A C}

，另一份印作

\overline{A B} + \overline{B C}

；後者才與簡答

83 + 8

相符，本頁採後者（

\overline{A B} + \overline{A C}

在

θ = \frac{π}{12}

時是

16 + 86

）。附圖依題目條件重畫，取

θ = 2 0^{\circ}

示意。

第 12 題兩式平方相加：

2 + 2 (cos α cos β + sin α sin β) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2

，得

cos (α - β) = 0

。兩式相乘：

sin α cos α + sin β cos β + (sin α cos β + cos α sin β) = \frac{12}{4} = \frac{3}{2}

，即

\frac{1}{2} (sin 2 α + sin 2 β) + sin (α + β) = \frac{3}{2}

。把

2 α = (α + β) + (α - β)

、

2 β = (α + β) - (α - β)

用和差角公式展開相加，

sin 2 α + sin 2 β = 2 sin (α + β) cos (α - β) = 0

。所以

sin (α + β) = \frac{3}{2}

。

驗算：

α = \frac{5 π}{12}

、

β = - \frac{π}{12}

滿足兩個條件，

sin (α + β) = sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

。

圖形題先把函數寫成

A sin (ω x + φ) + k

的樣子，再讀週期、極值點與零點；幾何題用正弦定理把每一邊都寫成同一個角的式子。

04非選擇題 13～14：三角形內角的不等式證明

第 13 題(1)

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

，

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

，兩式相加即得

cos (α + β) + cos (α - β) = 2 cos α cos β

。(2) 銳角三角形中

cos A

、

cos B

、

cos C

都是正數，且

cos (A + B) = cos (π - C) = - cos C

。由 (1)，

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B) = - cos C + cos (A - B) \leq 1 - cos C

。兩邊同乘

cos C > 0

：

cos A cos B cos C \leq \frac{1}{2} cos C (1 - cos C)

。

cos C

與

1 - cos C

都是正數，由算幾不等式

cos C (1 - cos C) \leq (\frac{cos C + 1 - cos C}{2})^{2} = \frac{1}{4}

。所以

cos A cos B cos C \leq \frac{1}{8}

；等號成立於

A = B

且

cos C = \frac{1}{2}

，即正三角形。(3) 令

P = cos A cos B cos C

，由 (2) 知

0 < P \leq \frac{1}{8}

。通分後所求

= \frac{cos ^{2} A + cos ^{2} B + cos ^{2} C}{P}

。在 (2) 的式子

2 cos A cos B = - cos C + cos (A - B)

兩邊同乘

cos C = - cos (A + B)

，得

2 P = - cos^{2} C - cos (A + B) cos (A - B)

。再用 (1)（取

α = A + B

、

β = A - B

）與倍角公式：

cos (A + B) cos (A - B) = \frac{1}{2} (cos 2 A + cos 2 B) = cos^{2} A + cos^{2} B - 1

。所以

cos^{2} A + cos^{2} B + cos^{2} C = 1 - 2 P

，所求

= \frac{1 - 2 P}{P} = \frac{1}{P} - 2 \geq 8 - 2 = 6

。正三角形時每一項都是

\frac{1/2}{1/4} = 2

，和為

6

，等號成立，故最小值為

6

。(4)

tan B tan C - 1 = \frac{sin B sin C - cos B cos C}{cos B cos C} = \frac{- cos ( B + C )}{cos B cos C} = \frac{cos A}{cos B cos C}

，另外兩項同理。三式相加：

tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A = (\frac{cos A}{cos B cos C} + \frac{cos B}{cos C cos A} + \frac{cos C}{cos A cos B}) + 3 \geq 6 + 3 = 9

。正三角形時

3 \times (3)^{2} = 9

，等號成立，故最小值為

9

。

「求最小值並證明」要寫兩件事：不等式對所有銳角三角形成立，而且等號真的取得到（這裡是正三角形）。

第 14 題令

a = tan A

，

c = tan C

，

t = tan B

；題目的式子有意義，所以三個角都不是

\frac{π}{2}

，且

0 < B < π

使

t \neq = 0

。(1)

a c = t^{2} > 0

，

a

、

c

同號；三角形最多一個鈍角，所以

A

、

C

都是銳角，

a > 0

、

c > 0

。若

a c = 1

，則

tan A = \frac{1}{tan C} = tan (\frac{π}{2} - C)

，得

A + C = \frac{π}{2}

，

B = \frac{π}{2}

，不合，所以

a c \neq = 1

。由

B = π - (A + C)

，

t = - tan (A + C) = \frac{a + c}{a c - 1} = \frac{a + c}{t ^{2} - 1}

，即

t (t^{2} - 1) = a + c > 0

……(＊)。假設

t < 0

：由 (＊) 得

t^{2} < 1

，於是

a + c = ∣ t ∣ (1 - t^{2}) < ∣ t ∣ = a c

；但算幾不等式給出

a + c \geq 2 a c > a c

，矛盾。所以

t > 0

，

B

也是銳角，

△ A B C

為銳角三角形。(2) 由 (＊) 與算幾不等式，

t (t^{2} - 1) = a + c \geq 2 a c = 2 t

。因

t > 0

，兩邊同除以

t

：

t^{2} - 1 \geq 2

，

t \geq 3

，即

tan B \geq tan \frac{π}{3}

。

B

是銳角，正切在

0

到

\frac{π}{2}

之間遞增，所以

B \geq \frac{π}{3}

；等號成立於

a = c

，即正三角形。

(1) 不能只說「

tan^{2} B > 0

所以都是銳角」：

tan A tan C > 0

只保證

A

、

C

是銳角，

B

要另外證。

三角形的內角和是

π

，所以

cos (A + B) = - cos C

、

tan (A + C) = - tan B

；把三個角的式子換成兩個角，再配上算幾不等式。

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