段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

大直高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 5 題（20 分）、多選題 4 題（24 分）、填充題 8 題（48 分）、混合題 1 題組 2 小題（8 分）

第壹部分：選擇（填）題（占 92 分）｜一、單選題（占 20 分）說明：第 1 題至第 5 題，每題 4 分。

下列各選項的值何者最大？

(1) $sin \frac{π}{6}$
(2) $cos \frac{π}{5}$
(3) $sin 1$
(4) $cos 1$
(5) $sin 2$

坐標平面上兩直線

L_{1}

、

L_{2}

的斜率分別為

3

及

- 2

，則下列何者為兩條直線的銳夾角？

(1) $1 5^{\circ}$
(2) $3 0^{\circ}$
(3) $4 5^{\circ}$
(4) $6 0^{\circ}$
(5) $7 5^{\circ}$

要得到函數

y = cos (2 x - \frac{π}{4})

的圖形，只需將

y = sin 2 x

的圖形。

(1) 向右平移 $\frac{π}{8}$
(2) 向左平移 $\frac{π}{8}$
(3) 向右平移 $\frac{π}{4}$
(4) 向左平移 $\frac{π}{4}$
(5) 向上平移 $\frac{π}{4}$

下列各選項的值何者最小？

(1) $2 cos^{2} 4 0^{\circ} - 1$
(2) $cos^{2} 3 5^{\circ} - sin^{2} 3 5^{\circ}$
(3) $2 sin 2 0^{\circ} cos 2 0^{\circ}$
(4) $2 sin^{2} 7 0^{\circ} - 1$
(5) $\frac{2 tan 2 5 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 2 5 ^{\circ}}$

試問有多少個實數

x

滿足

sin 2 x + cos 2 x = \frac{1}{2} + sin x

且

0 \leq x \leq 2 π

？

(1) $1$ 個
(2) $2$ 個
(3) $3$ 個
(4) $4$ 個
(5) $5$ 個

二、多選題（占 24 分）說明：第 6 題至第 9 題，每題 6 分。（6－4－2－0）

試選出下列正確的選項。

(1) $cos π = 0$
(2) $sin \frac{79 π}{5} < 0$
(3) $30$ 弳的最小正同界角為 $30 - 8 π$ 弳
(4) $cos \frac{6 π}{7} = sin \frac{8 π}{7}$
(5) $sin π^{2} > cos π^{2}$

若

\frac{3 π}{2} < θ < 2 π

，且

cos θ = \frac{3}{4}

，則下列選項何者是正確的？

(1) $sin 2 θ = \frac{3 7}{8}$
(2) $cos 2 θ = \frac{1}{8}$
(3) $cos 3 θ = \frac{9}{16}$
(4) $sin \frac{θ}{2} = \frac{14}{4}$
(5) $tan \frac{θ}{2} = - \frac{7}{7}$

關於函數

y = f (x) = 4 sin x + 2 sin (\frac{π}{3} - x)

的敘述，下列選項何者正確？

(1) 週期為 $2 π$
(2) 函數有最大值 $25$
(3) 在 $x = \frac{π}{3}$ 有最大值
(4) 圖形對稱於直線 $x = \frac{4 π}{3}$
(5) 函數 $y = ∣ f (x) ∣$ 的週期為 $\frac{π}{2}$

已知

x

為實數，下列各選項中的方程式何者無解？

(1) $2 sin x + 3 cos x = 4$
(2) $cos x - 2 sin x \geq 3$
(3) $4 cos x - sin x = - 4$
(4) $sin (2 x - \frac{π}{3}) = (x - \frac{π}{3})^{2} + 1$
(5) $sin x - sin (\frac{2 π}{3} - x) = \frac{1}{2}$

三、填充題（占 48 分）說明：第 10 題至第 17 題，每格 6 分。

求

cos \frac{100 π}{3} + sin \frac{19 π}{6} + tan \frac{13 π}{4} =

____。

如圖，扇形

O A B

的圓心角為

\frac{π}{3}

弳，半徑

\overline{O A} = \overline{O B} = 9

，有一圓內切於扇形

O A B

，

P

，

Q

分別為與

\overline{O A}

，

\overline{O B}

的切點，求塗色區域面積為 ____。

載入中...

設

x

為實數時，若將

y = f (x) = a sin x + b cos x + c

的部分圖形如右，求數組

(a, b, c) =

____。

載入中...

設

y = cos x + 3 sin x + 2

，且

\frac{2}{3} π \leq x \leq \frac{5}{3} π

，則當

x = θ

（弳）時，

y

有最大值

M

，求數對

(θ, M) =

____。

△ A B C

中，

tan B = 1

，

tan C = 2

，則

sin A =

____。

若將函數

y = tan (b x + \frac{π}{4})

（

b > 0

）的圖形向右平移

\frac{π}{6}

個單位長後，與函數

y = tan (b x + \frac{π}{6})

的圖形重合，則

b

的最小值為 ____。

有一四邊形

A B C D

，其中

∠ D

為直角，

\overline{A B} = 10

，

\overline{C D} = 5

，

\overline{A D} = 12

，

cos ∠ B A D = \frac{4}{5}

，則

△ A B C

的面積為 ____。

若

0 \leq x \leq \frac{π}{4}

，則函數

y = sin 2 x + sin^{2} x

的最大值為 ____。

第貳部分：混合題（占 8 分）說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號作答區內作答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

18－19 題組（第 18～19 題）　國慶設計戰機衝場噴射彩煙的表演，規劃讓一架戰機通過總統府上方時開始噴出彩煙，並讓戰機依序噴出紅藍白三種不同顏色彩煙，若讓戰機維持距地面

200

公尺的固定高度，並希望讓站在總統府正下方觀禮臺的貴賓可以看到三種顏色的彩煙有一樣的視角（忽略人的身高）。

若紅色彩煙的長度為

100

公尺，試問整段紅色彩煙的視角

θ

之正切值為何？（單選題，2 分）

(1) $\frac{1}{2}$
(2) $\frac{3}{2}$
(3) $1$
(4) $3$
(5) $2$

承 18 題，要滿足三種顏色的彩煙有一樣的視角，則藍色彩煙噴出多少公尺的長度？（非選擇題，6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(3)

第 3 題(2)

第 4 題(1)

第 5 題(4)

第 6 題(2)(3)(5)

第 7 題(2)(5)

第 8 題(1)(3)(4)

第 9 題(1)(2)(4)

第 10 題

0

第 11 題

93 - 3 π

第 12 題

(- 1, 3, 1)

第 13 題

(\frac{2 π}{3}, 3)

第 14 題

\frac{3 10}{10}

第 15 題

\frac{1}{2}

第 16 題

16

第 17 題

\frac{3}{2}

第 18 題(1)

第 19 題

\frac{500}{3}

公尺

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～5 題）：弧度角比大小、夾角、平移、倍角公式、數交點

第 1 題答案 (5)。把五個數都換成銳角的正弦再比：

1

弳約

57. 3^{\circ}

、

2

弳約

114. 6^{\circ}

。(1)

sin \frac{π}{6} = sin 3 0^{\circ}

；(2)

cos \frac{π}{5} = cos 3 6^{\circ} = sin 5 4^{\circ}

；(3)

sin 1 \approx sin 57. 3^{\circ}

；(4)

cos 1 \approx cos 57. 3^{\circ} = sin 32. 7^{\circ}

；(5)

sin 2 \approx sin 114. 6^{\circ} = sin 65. 4^{\circ}

。銳角的正弦隨角度變大而變大，

65. 4^{\circ}

最大，所以

sin 2

最大。

沒有度的記號時單位是弳，

sin 2

不是

sin 2^{\circ}

。五個值約為

0.5

、

0.809

、

0.841

、

0.540

、

0.909

。

第 2 題答案 (3)。設兩直線的斜角分別為

α

、

β

，則

tan α = 3

、

tan β = - 2

。由正切的差角公式，

tan (α - β) = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β} = \frac{3 - ( - 2 )}{1 + 3 \times ( - 2 )} = \frac{5}{- 5} = - 1

。兩直線的夾角一個是

13 5^{\circ}

，另一個是

4 5^{\circ}

，銳夾角為

4 5^{\circ}

。

算出的正切值是負的，代表算到的是鈍角那一個；銳夾角的正切取絕對值

1

。

第 3 題答案 (2)。先把餘弦換成正弦：

cos α = sin (α + \frac{π}{2})

，所以

cos (2 x - \frac{π}{4}) = sin (2 x - \frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = sin (2 x + \frac{π}{4}) = sin 2 (x + \frac{π}{8})

。這是把

y = sin 2 x

的

x

換成

x + \frac{π}{8}

，圖形向左平移

\frac{π}{8}

。

要先把

x

的係數

2

提出來，平移量是

\frac{π}{8}

而不是

\frac{π}{4}

；

x

換成

x + \frac{π}{8}

是向左。

第 4 題答案 (1)。用倍角公式把每個選項化成一個角：(1)

2 cos^{2} 4 0^{\circ} - 1 = cos 8 0^{\circ}

；(2)

cos^{2} 3 5^{\circ} - sin^{2} 3 5^{\circ} = cos 7 0^{\circ}

；(3)

2 sin 2 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} = sin 4 0^{\circ} = cos 5 0^{\circ}

；(4)

2 sin^{2} 7 0^{\circ} - 1 = - (1 - 2 sin^{2} 7 0^{\circ}) = - cos 14 0^{\circ} = cos 4 0^{\circ}

；(5)

\frac{2 tan 2 5 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 2 5 ^{\circ}} = tan 5 0^{\circ}

。銳角的餘弦隨角度變大而變小，所以

cos 8 0^{\circ} < cos 7 0^{\circ} < cos 5 0^{\circ} < cos 4 0^{\circ} < 1

，而

tan 5 0^{\circ} > tan 4 5^{\circ} = 1

。最小的是

cos 8 0^{\circ}

。

(4) 的形狀是

2 sin^{2} θ - 1

，與

cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ

差一個負號。五個值約為

0.174

、

0.342

、

0.643

、

0.766

、

1.192

。

第 5 題答案 (4)。左邊疊合：

sin 2 x + cos 2 x = 2 sin (2 x + \frac{π}{4})

，週期

π

、振幅

2

；右邊

y = sin x + \frac{1}{2}

是把正弦圖形向上平移

\frac{1}{2}

。在

0 \leq x \leq 2 π

畫出兩個圖形數交點（見圖，實線是左邊、虛線是右邊），共

4

個。再用左邊減右邊

g (x) = sin 2 x + cos 2 x - sin x - \frac{1}{2}

在幾個點的正負號核對：

g (0) = \frac{1}{2} > 0

，

g (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} - \frac{2}{2} < 0

，

g (\frac{3 π}{4}) = - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} < 0

，

g (π) = \frac{1}{2} > 0

，

g (\frac{5 π}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} > 0

，

g (\frac{3 π}{2}) = - \frac{1}{2} < 0

，

g (\frac{7 π}{4}) = - \frac{3}{2} + \frac{2}{2} < 0

，

g (2 π) = \frac{1}{2} > 0

。正負號在

(0, \frac{π}{4})

、

(\frac{3 π}{4}, π)

、

(\frac{5 π}{4}, \frac{3 π}{2})

、

(\frac{7 π}{4}, 2 π)

各變一次，與圖上的

4

個交點對應。

載入中...

兩個端點

x = 0

與

x = 2 π

都不是解（左邊是

1

，右邊是

\frac{1}{2}

）。四個解約為

x \approx 0.70

、

2.99

、

4.49

、

5.95

。

02多選題（第 6～9 題）：同界角與正負號、倍角半角、疊合後的性質、有沒有解

第 6 題答案 (2)(3)(5)。(1) 錯：

cos π = - 1

。(2) 對：

\frac{79 π}{5} = 16 π - \frac{π}{5}

，所以

sin \frac{79 π}{5} = sin (- \frac{π}{5}) = - sin \frac{π}{5} < 0

。(3) 對：

8 π \approx 25.13

，

30 - 8 π \approx 4.87

，介於

0

與

2 π \approx 6.28

之間，是

30

弳的最小正同界角。(4) 錯：

cos \frac{6 π}{7} = - cos \frac{π}{7}

，

sin \frac{8 π}{7} = - sin \frac{π}{7}

；

\frac{π}{7} < \frac{π}{4}

，所以

cos \frac{π}{7} > sin \frac{π}{7}

，兩者不相等。(5) 對：

π^{2} \approx 9.87

，

3 π \approx 9.42

，所以

π^{2} = 3 π + t

，其中

t \approx 0.445

。

sin π^{2} = - sin t

，

cos π^{2} = - cos t

；因為

0 < t < \frac{π}{4}

，

sin t < cos t

，於是

- sin t > - cos t

。

(5) 的兩個值都是負的（約

- 0.430

與

- 0.903

），比的是哪一個比較靠近

0

。

第 7 題答案 (2)(5)。

θ

在第四象限，

sin θ = - 1 - \frac{9}{16} = - \frac{7}{4}

。(1) 錯：

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \times (- \frac{7}{4}) \times \frac{3}{4} = - \frac{3 7}{8}

。(2) 對：

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{9}{8} - 1 = \frac{1}{8}

。(3) 錯：

cos 3 θ = cos (2 θ + θ) = cos 2 θ cos θ - sin 2 θ sin θ = \frac{1}{8} \times \frac{3}{4} - (- \frac{3 7}{8}) \times (- \frac{7}{4}) = \frac{3}{32} - \frac{21}{32} = - \frac{9}{16}

。(4) 錯：

\frac{3 π}{4} < \frac{θ}{2} < π

，在第二象限，

sin \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{1}{8} = \frac{2}{4}

。(5) 對：

cos \frac{θ}{2} = - \frac{1 + cos θ}{2} = - \frac{7}{8} = - \frac{14}{4}

，所以

tan \frac{θ}{2} = \frac{2}{4} \div (- \frac{14}{4}) = - \frac{1}{7} = - \frac{7}{7}

。

流傳版本題幹印作

\frac{3 π}{2} < θ < π

，但沒有角落在這個範圍；依答案應為

\frac{3 π}{2} < θ < 2 π

（

cos θ > 0

且

tan \frac{θ}{2} < 0

，

θ

在第四象限），本頁題幹已照此更正。(4) 的

\frac{14}{4}

是

cos \frac{θ}{2}

的絕對值。

第 8 題答案 (1)(3)(4)。兩項的角不同，先用差角公式展開：

2 sin (\frac{π}{3} - x) = 2 (\frac{3}{2} cos x - \frac{1}{2} sin x) = 3 cos x - sin x

，所以

f (x) = 3 sin x + 3 cos x = 23 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = 23 sin (x + \frac{π}{6})

。(1) 對：週期

2 π

。(2) 錯：最大值是

23

。(3) 對：

x = \frac{π}{3}

時

x + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

，正弦值為

1

。(4) 對：

x = \frac{4 π}{3}

時

x + \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}

，

f

取到最小值

- 23

，通過最低點的鉛直線是對稱軸。(5) 錯：

∣ f (x) ∣ = 23 sin (x + \frac{π}{6})

，把

x

軸下方的部分翻上來後週期是

π

，不是

\frac{π}{2}

。

對稱軸要通過最高點或最低點；(4) 通過的是最低點，一樣是對稱軸。

第 9 題答案 (1)(2)(4)。

a sin x + b cos x

的值介於

- a^{2} + b^{2}

與

a^{2} + b^{2}

之間。(1) 無解：

2^{2} + 3^{2} = 13 < 4

。(2) 無解：

cos x - 2 sin x \leq 1^{2} + 2^{2} = 5 < 3

，不可能大於或等於

3

。(3) 有解：

4^{2} + 1^{2} = 17 > 4

，

- 4

在範圍內；例如

x = π

時

4 cos π - sin π = - 4

。(4) 無解：左邊

\leq 1

，右邊

\geq 1

，要相等只能兩邊都等於

1

；右邊等於

1

時

x = \frac{π}{3}

，此時左邊是

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2} \neq = 1

。(5) 有解：

sin (\frac{2 π}{3} - x) = \frac{3}{2} cos x + \frac{1}{2} sin x

，左邊

= \frac{1}{2} sin x - \frac{3}{2} cos x = sin (x - \frac{π}{3})

，可以等於

\frac{1}{2}

；例如

x = \frac{π}{2}

時

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

。

(2) 是不等式，一樣用值域判斷。(4) 不能只看「兩邊都可以等於

1

」，還要看能不能在同一個

x

同時等於

1

。

03填充題（第 10～13 題）：廣義角、扇形與內切圓、讀圖定係數、範圍內的最大值

第 10 題逐項換成同界角：

\frac{100 π}{3} = 32 π + \frac{4 π}{3}

，

cos \frac{4 π}{3} = - \frac{1}{2}

。

\frac{19 π}{6} = 2 π + \frac{7 π}{6}

，

sin \frac{7 π}{6} = - \frac{1}{2}

。

\frac{13 π}{4} = 3 π + \frac{π}{4}

，正切的週期是

π

，

tan \frac{π}{4} = 1

。三項相加

- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = 0

。

\frac{4 π}{3}

與

\frac{7 π}{6}

都在第三象限，正弦、餘弦是負的，正切是正的。

第 11 題設內切圓半徑為

r

。圓與

\overline{O A}

、

\overline{O B}

都相切，圓心

R

在

∠ A O B

的角平分線上，

∠ P O R = \frac{π}{6}

；直角三角形

O P R

中

\overline{R P} = r

，所以

\overline{O R} = 2 r

、

\overline{O P} = 3 r

。圓又內切於弧

A B

，圓上離

O

最遠的點到

O

的距離

\overline{O R} + r = 3 r

等於扇形半徑

9

，所以

r = 3

，

\overline{O P} = \overline{O Q} = 33

。塗色區域＝四邊形

O P R Q

減去扇形

R P Q

。四邊形

O P R Q

是兩個全等的直角三角形，面積

= 2 \times \frac{1}{2} \times 33 \times 3 = 93

。

∠ P R Q = 2 π - \frac{π}{2} - \frac{π}{2} - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

，扇形

R P Q

面積

= \frac{1}{2} \times 3^{2} \times \frac{2 π}{3} = 3 π

。塗色區域面積

= 93 - 3 π

。

扣掉的是小圓裡圓心角

\frac{2 π}{3}

的扇形，不是

\frac{π}{3}

；

∠ P R Q

與

∠ P O Q

互補。數值約

6.16

。

第 12 題由圖，最大值

3

、最小值

- 1

。

a sin x + b cos x

疊合後是振幅

a^{2} + b^{2}

、週期

2 π

的正弦型函數，所以

c = \frac{3 + ( - 1 )}{2} = 1

，振幅

= \frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

。最高點在

x = - \frac{π}{6}

，可寫成

f (x) = 2 cos (x + \frac{π}{6}) + 1

。展開：

2 (cos x cos \frac{π}{6} - sin x sin \frac{π}{6}) + 1 = 3 cos x - sin x + 1

。對照得

a = - 1

、

b = 3

、

c = 1

。

a

是

sin x

的係數、

b

是

cos x

的係數，填的時候順序不要對調。驗算：

f (- \frac{π}{6}) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1 = 3

。

第 13 題疊合：

cos x + 3 sin x = 2 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{π}{6})

，

y = 2 sin (x + \frac{π}{6}) + 2

。

\frac{2 π}{3} \leq x \leq \frac{5 π}{3}

時

\frac{5 π}{6} \leq x + \frac{π}{6} \leq \frac{11 π}{6}

。這段角度不含

\frac{π}{2}

：正弦從

\frac{5 π}{6}

的

\frac{1}{2}

一路降到

\frac{3 π}{2}

的

- 1

，再升到

\frac{11 π}{6}

的

- \frac{1}{2}

，最大值在左端點

\frac{5 π}{6}

。所以

θ = \frac{2 π}{3}

，

M = 2 \times \frac{1}{2} + 2 = 3

。

範圍內到不了

\frac{π}{2}

，最大值不是

2 + 2 = 4

。

04填充題（第 14～17 題）：第三個角、正切的週期、差角求面積、降次後疊合

第 14 題

A = 18 0^{\circ} - (B + C)

，所以

tan A = - tan (B + C) = - \frac{tan B + tan C}{1 - tan B tan C} = - \frac{1 + 2}{1 - 2} = 3

。

tan A > 0

，

A

是銳角；畫鄰邊

1

、對邊

3

的直角三角形，斜邊

10

，

sin A = \frac{3}{10} = \frac{3 10}{10}

。

B = 4 5^{\circ}

、

C \approx 63. 4^{\circ}

，

A \approx 71. 6^{\circ}

，確實是銳角。

第 15 題向右平移

\frac{π}{6}

，把

x

換成

x - \frac{π}{6}

：

y = tan (b (x - \frac{π}{6}) + \frac{π}{4}) = tan (b x + \frac{π}{4} - \frac{bπ}{6})

。正切的週期是

π

，兩個圖形重合表示括號裡的角相差

π

的整數倍：

\frac{π}{4} - \frac{bπ}{6} = \frac{π}{6} + k π

（

k

為整數），整理得

b = \frac{1}{2} - 6 k

。

b > 0

，所以

k = 0, - 1, - 2, \dots

，

b = \frac{1}{2}, \frac{13}{2}, \frac{25}{2}, \dots

，最小值為

\frac{1}{2}

。

正切的週期是

π

不是

2 π

；若誤用

2 k π

，雖然最小值仍是

\frac{1}{2}

，其餘的

b

會漏掉。驗算：

b = \frac{1}{2}

時

\frac{π}{4} - \frac{π}{12} = \frac{π}{6}

。

第 16 題直角三角形

A D C

中

\overline{A C} = 1 2^{2} + 5^{2} = 13

，

sin ∠ D A C = \frac{5}{13}

，

cos ∠ D A C = \frac{12}{13}

。

cos ∠ B A D = \frac{4}{5}

，所以

sin ∠ B A D = \frac{3}{5}

。

tan ∠ D A C = \frac{5}{12} < tan ∠ B A D = \frac{3}{4}

，對角線

\overline{A C}

在

∠ B A D

內部，

∠ B A C = ∠ B A D - ∠ D A C

。由差角公式

sin ∠ B A C = \frac{3}{5} \times \frac{12}{13} - \frac{4}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{36 - 20}{65} = \frac{16}{65}

。

△ A B C

面積

= \frac{1}{2} \times \overline{A B} \times \overline{A C} \times sin ∠ B A C = \frac{1}{2} \times 10 \times 13 \times \frac{16}{65} = 16

。

用坐標核對：取

A (0, 0)

、

D (12, 0)

、

C (12, 5)

、

B (8, 6)

，面積

= \frac{1}{2} ∣ 8 \times 5 - 6 \times 12 ∣ = 16

。

第 17 題用半角公式降次：

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

，所以

y = sin 2 x - \frac{1}{2} cos 2 x + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} sin (2 x - φ) + \frac{1}{2}

，其中

cos φ = \frac{2}{5}

、

sin φ = \frac{1}{5}

，

φ

是銳角。

0 \leq x \leq \frac{π}{4}

時

- φ \leq 2 x - φ \leq \frac{π}{2} - φ

，這段角度在

- \frac{π}{2}

與

\frac{π}{2}

之間，正弦遞增，最大值在右端點

x = \frac{π}{4}

：

y = sin \frac{π}{2} + sin^{2} \frac{π}{4} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

。

2 x - φ

到不了

\frac{π}{2}

，最大值不是

\frac{5}{2} + \frac{1}{2} \approx 1.618

。也可以直接看：

0 \leq x \leq \frac{π}{4}

時

sin 2 x

與

sin^{2} x

都遞增，和在

x = \frac{π}{4}

最大。

05混合題（第 18～19 題）：視角相等用正切的二倍角公式

第 18 題答案 (1)。設貴賓的位置為

O

，正上方

200

公尺處為

H

，戰機從

H

開始沿水平方向噴出紅色彩煙到

R

，

\overline{H R} = 100

。直角三角形

O H R

的直角在

H

，視角

θ = ∠ H O R

，

tan θ = \frac{H R}{O H} = \frac{100}{200} = \frac{1}{2}

。

視角是從

O

看彩煙兩端的夾角，對邊是彩煙長

100

，鄰邊是高度

200

。

第 19 題設藍色彩煙從

R

噴到

S

（見圖）。藍色彩煙的視角

∠ R O S = θ

，所以

∠ H O S = 2 θ

。由二倍角公式

tan 2 θ = \frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ} = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}

。直角三角形

O H S

中

\overline{H S} = \overline{O H} tan 2 θ = 200 \times \frac{4}{3} = \frac{800}{3}

。藍色彩煙長

\overline{R S} = \frac{800}{3} - 100 = \frac{500}{3}

公尺。

載入中...

視角相同，長度並不相同：離

O

越遠，同樣的視角要越長的彩煙（

\frac{500}{3} \approx 166.7

）。同理白色彩煙的終點滿足

tan 3 θ = \frac{\frac{4}{3} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{4}{3} \times \frac{1}{2}} = \frac{11}{2}

，白色彩煙長

1100 - \frac{800}{3} = \frac{2500}{3}

公尺。

視角、夾角這類「兩個方向之間的角」，先各自寫出正切值，再用正切的和差角或倍角公式；看到

a sin x + b cos x

先疊合，再把

x

的範圍換成整個角的範圍。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

大直高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題要先疊合再畫圖數交點，兩個端點都不是解；第 17 題降次疊合後角度到不了最高點，最大值在端點；第 13 題同樣是範圍內到不了最高點；第 11 題要扣掉的是小圓裡圓心角一百二十度的扇形；第 16 題要把角拆成兩個角相減再用差角公式；第 9 題的第四個選項兩邊不能在同一個位置同時等於一。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自大直高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

大直高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1～5 題）：弧度角比大小、夾角、平移、倍角公式、數交點

02多選題（第 6～9 題）：同界角與正負號、倍角半角、疊合後的性質、有沒有解

03填充題（第 10～13 題）：廣義角、扇形與內切圓、讀圖定係數、範圍內的最大值

04填充題（第 14～17 題）：第三個角、正切的週期、差角求面積、降次後疊合

05混合題（第 18～19 題）：視角相等用正切的二倍角公式

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大直高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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