段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數律、對數函數、指數與對數不等式、常用對數的應用）、三角函數（和差角公式、半角公式、正餘弦的疊合）

港明高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

單一選擇題 3 題（12 分）、多重選擇題 4 題（20 分）、填充題 15 格（60 分）、混合題 2 小題（8 分）

一、單一選擇題（一題 4 分，共 12 分）

請問下列哪一個數的值最大？

(A) $0. 9^{- 3}$
(B) $0. 9^{- π}$
(C) $0. 9^{0}$
(D) $0. 9^{2}$
(E) $0. 9^{1.5}$

若

y = lo g_{a} x

，

y = lo g_{b} x

，

y = lo g_{c} x

，

y = lo g_{d} x

的圖形分別為

A

、

B

、

C

、

D

（如附圖所示），其中

A

和

C

與

B

和

D

分別對稱於

x

軸，試判斷底數

a

、

b

、

c

、

d

的大小關係：

(A) $a > b > c > d$
(B) $a < b < c < d$
(C) $b > a > c > d$
(D) $b > a > d > c$
(E) 無法比較

載入中...

試問有多少個實數

x

滿足

sin 2 x - 3 cos 2 x = \frac{1}{2} + sin x

，且

0 \leq x \leq 2 π

？

(A) $1$ 個
(B) $2$ 個
(C) $3$ 個
(D) $4$ 個
(E) $5$ 個

二、多重選擇題（一題 5 分，共 20 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個以上不給分）（原卷題號 1～4，本頁接續編為第 4～7 題）

下列各式之值，何者比

1

大？

(A) $lo g_{4} 4$
(B) $lo g_{0.1} 0.3$
(C) $lo g_{0.5} 0.3$
(D) $lo g_{3} 5$
(E) $lo g_{(2 - 1)} (3 - 2)$

下列哪一個函數的圖形與

x + y = 0

恰有一交點？

(A) $y = 2^{x}$
(B) $y = 2^{- ∣ x ∣}$
(C) $y = - 2^{x}$
(D) $y = 2^{x - 2}$
(E) $y = ∣ lo g_{2} x ∣$

△ A B C

中，

tan B = 1

，

tan C = 2

，

b = \overline{A C} = 100

，下列何者正確？

(A) $tan A = - 3$
(B) $sin A = \frac{3}{10}$
(C) $a = \overline{B C} = 605$
(D) $c = \overline{A B} = 4010$
(E) $△ A B C$ 外接圓半徑為 $1002$

設

k = (\frac{1}{2})^{15} + (\frac{1}{3})^{10}

，試問下列哪些選項是正確的？

(A) $(\frac{1}{2})^{15}$ 在小數點後第 $5$ 位始不為零
(B) $(\frac{1}{3})^{10}$ 在小數點後第 $5$ 位始不為零
(C) $(\frac{1}{2})^{15}$ 在小數點後第 $1$ 個非零的數字是 $2$
(D) $(\frac{1}{3})^{10}$ 在小數點後第 $1$ 個非零的數字是 $2$
(E) $k$ 在小數點後到第 $1$ 個非零的數之間有連續 $5$ 個 $0$

三、填充題（依配分表給分，共 60 分）（原卷題號 1～13，共 15 格，本頁接續編為第 8～22 題；配分表：答對 1～15 格依序得 6、12、18、23、28、33、37、41、45、48、51、54、56、58、60 分）

填充第 1 題（第 8～9 題）　解下列各不等式：

(1)

lo g_{0.5} (3 x - 1) > 0

。

(2)

3^{2 x - 1} - 4 \cdot 3^{x} + 9 < 0

。

填充第 2 題（第 10～11 題）　求下列各式之值：

(1)

(lo g_{2} 25 + lo g_{8} 0.2) (lo g_{5} 2 + lo g_{25} 0.5)

。

(2)

5^{\frac{l o g 7}{l o g 5}} + 7^{\frac{l o g _{5} 64}{l o g _{5} 49}} + lo g_{\frac{3}{5}} (1.8)^{2}

。

設

f (x) = 2 (9^{x} + 9^{- x}) - 4 (3^{x} + 3^{- x})

，試求

f (x)

的最小值，並求此時

x

值為何？

已知圓

O

半徑為

4

，則圓內接正八邊形邊長為何？

設函數

f (x) = lo g x

的圖形上有兩點

A (a, r)

、

B (b, s)

，已知

b - a = 2

且

\frac{b}{a} = 1000

，求

\overline{A B}

的斜率為何？

設

n

為非負整數，定義費馬數

F_{n} = 2^{(2^{n})} + 1

，例如：

F_{0} = 2^{(2^{0})} + 1 = 2^{1} + 1

，

F_{1} = 2^{(2^{1})} + 1 = 2^{2} + 1

，

F_{2} = 2^{(2^{2})} + 1 = 2^{4} + 1

。若將

\frac{F _{6}}{F _{7}}

展開後，則在小數點後第幾位始不為零？

在坐標平面上，直線

L

：

x + y = - 7

與

y = 7^{x}

和

y = lo g_{7} x

的圖形分別交於點

A (a, b)

、

B (c, d)

兩點，試求

2 a + b + 2 c + d

之值為何？

牛頓冷卻定律是描述一個物體在定溫環境下，物體的溫度隨著時間產生變化的關係。假設物體的初始溫度為

a^{\circ} C

，環境溫度為

b^{\circ} C

，則經過

t

分鐘後物體的溫度

f (t)^{\circ} C

滿足：

f (t) = b + (a - b) \times k^{t}

，其中

k

值是根據環境以及物體特性所給定的常數。根據牛頓冷卻定律，當室溫為

2 0^{\circ} C

時，將一玻璃杯裝

8 0^{\circ} C

的水放在桌上，過

5

分鐘後測得水的溫度為

5 0^{\circ} C

，則再過

5

分鐘後測得水溫應是幾

^{\circ} C

？

視星等是用來衡量天體亮度的一種規格，其與天體光度的關係式如下：若視星等

m

的天體光度為

F_{m}

，則

m = - 2.5 lo g \frac{F _{m}}{F _{0}}

，其中

F_{0}

為織女星的光度。某天鴻鴻與秝秝相約去看夜空中最亮的星，鴻鴻根據自己多年的觀測經驗以及天文學背景，觀測到位於大犬座當中的天狼星，而此時秝秝也發現另一顆天體，他們已知天狼星的視星等為

m_{A}

，另一天體視星等為

m_{B}

，且天狼星光度為另一天體光度的

1 0^{- 8}

倍，則

m_{A} - m_{B}

的值為何？

某國為落實全民節電，於 2025 年訂定各機關學校須達成每年節電

1%

以上之目標值，即每年用電較前一年減少

1%

以上。假設本校每年都恰好節電

1%

，以 2024 年用電量為基準，實施第一年（2025 年）用電量為 2024 年用電量的

99%

，實施第二年（2026 年）用電量為 2024 年用電量的

99% \times 99% = 98.01%

，…，依此類推。則至少實施至第幾年，可達成節電

20%

的目標（即該年用電量小於等於 2024 年用電量的

80%

）。（

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 11 \approx 1.0414

）

秝秝身為一個動物學家，致力於保護瀕臨絕種的動物，他於某地區長期觀察一種特別的猴子-山道猴子。已知該地區

10

年前有

10

隻山道猴子，這

10

年來山道猴子的數量一直符合數學模式

M (t) = \frac{100}{1 + 3 ^{- (0.1) t + 1}}

，即

t

（

0 \leq t \leq 10

）年前，山道猴子的數量有

M (- t)

隻。若未來

40

年山道猴子的數量仍然依此數學模式成長（即

t

年後山道猴子的數量有

M (t)

隻）。請問再過多少年山道猴子的數量會是目前的

3

倍？

某一個直角三角形的兩股長分別為

lo g_{5} 9

，

lo g_{5} 27

，若此三角形的周長為

lo g_{5} k

，試求

k

的值為何？

設

\frac{1}{p} + \frac{1}{3 q} = 12

，其中

p

、

q

為正數，則

3 lo g_{\frac{1}{3}} p + lo g_{\frac{1}{3}} q

的最大值為何？

四、混合題（共 8 分）（原卷題號 1 的 (1)、(2)，本頁編為第 23、24 題）

混合題第 1 題（第 23～24 題）　「班佛定律」是在說明一堆從實際生活得出的數據中，以

1

為首位數字的數出現機率約為

30.1%

，以

2

為首位數字的數出現機率約為

17.6%

，並非直覺認為的皆是

\frac{1}{9}

。「班佛定律」可用於檢查各種數據是否造假，使用條件有 2 點，第一是數據至少要有

3000

筆以上，第二是不能有人為操控。當一組數據是自然產生，排序會接近班佛定律的「理想曲線」，該定律經常用於檢查會計、金融以及選舉有無造假。根據上述，回答下列問題：

(1) 已知下列選項中有一個是「班佛定律」以

x

為首位數字的數出現機率約為

y

的關係式，請根據上述數據判斷出是哪一個選項？（單選題，2 分）

(A) $y = lo g (x + 1)$
(B) $y = 0.3 - lo g x$
(C) $y = lo g (\frac{5}{2} - \frac{x}{2})$
(D) $y = lo g (\frac{x + 1}{x})$

(2) 在 2024 年某國總統大選造假爭議不斷，有人分析某位候選人在某地區的所有開票所的得票數，發現得票數是以

4

為首位數字的開票所大約有

970

個，根據「班佛定律」推測，得票數是以

6

為首位數字的開票所大約有幾個？（未寫計算過程不予計分，6 分）（

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 7 \approx 0.8451

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(C)

第 3 題(D)

第 4 題(C)(D)(E)

第 5 題(A)(B)(D)

第 6 題(B)(C)(D)

第 7 題(A)(B)

第 8 題

\frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}

第 9 題

1 < x < 2

第 10 題

\frac{5}{6}

第 11 題

19

第 12 題最小值

- 4

，此時

x = 0

第 13 題

4 2 - 2

第 14 題

\frac{3}{2}

第 15 題第

20

位

第 16 題

- 21

第 17 題

3 5^{\circ} C

第 18 題

20

第 19 題第

23

年

第 20 題

20

年

第 21 題

729

第 22 題

8

第 23 題(D)

第 24 題約

670

個

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單一選擇題（第 1～3 題）：指數比大小、對數函數的底數、疊合後數解

第 1 題答案 (B)。底數

0.9

介於

0

與

1

之間，

y = 0. 9^{x}

是遞減函數，指數愈小、值愈大。五個指數由小到大是

- π < - 3 < 0 < 1.5 < 2

，最小的是

- π

，所以

0. 9^{- π}

最大。

π \approx 3.14 > 3 \approx 1.73

，所以

- π < - 3

。

第 2 題答案 (C)。

A

、

B

是遞增的圖形，底數

a

、

b

都大於

1

。在

x > 1

的同一個

x

上，

A

比

B

高，即

lo g_{a} x > lo g_{b} x > 0

；換成常用對數是

\frac{lo g x}{lo g a} > \frac{lo g x}{lo g b}

，其中

lo g x > 0

，所以

lo g a < lo g b

，

a < b

。

y = lo g_{a} x

對

x

軸的對稱圖形是

y = - lo g_{a} x = lo g_{\frac{1}{a}} x

，所以

c = \frac{1}{a}

、

d = \frac{1}{b}

；由

1 < a < b

得

1 > \frac{1}{a} > \frac{1}{b}

，即

1 > c > d

。合起來

b > a > 1 > c > d

。

底數大於

1

時，底數愈大圖形在

x > 1

的部分愈貼近

x

軸。

第 3 題答案 (D)。左式疊合：

sin 2 x - 3 cos 2 x = 2 (\frac{1}{2} sin 2 x - \frac{3}{2} cos 2 x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{3})

。問題變成

y = 2 sin (2 x - \frac{π}{3})

與

y = \frac{1}{2} + sin x

的圖形在

0 \leq x \leq 2 π

的交點個數。左邊的圖形在

x = \frac{5 π}{12}

、

\frac{17 π}{12}

到最高點（值

2

），在

x = \frac{11 π}{12}

、

\frac{23 π}{12}

到最低點（值

- 2

）；右邊的值只在

- \frac{1}{2}

與

\frac{3}{2}

之間。所以在最高點處左邊較大，在最低點處左邊較小，而

x = 0

時左邊是

- 3

、右邊是

\frac{1}{2}

，左邊較小。於是在

0 \sim \frac{5 π}{12}

、

\frac{5 π}{12} \sim \frac{11 π}{12}

、

\frac{11 π}{12} \sim \frac{17 π}{12}

、

\frac{17 π}{12} \sim \frac{23 π}{12}

這四段各交一次（見圖）。最後一段

\frac{23 π}{12} \leq x \leq 2 π

，左邊不超過

- 3

，右邊至少是

\frac{1}{2} + sin \frac{23 π}{12} > 0

，沒有交點。共

4

個。

載入中...

其中一個解可以直接驗算：

x = \frac{7 π}{6}

時兩邊都是

0

。每一段恰交一次是由圖形判讀，數值計算的結果也是

4

個解。

02多重選擇題（第 4～7 題）：對數值比大小、圖形交點、三角形、小數位數

第 4 題答案 (C)(D)(E)。

lo g_{b} b = 1

，所以是拿真數與底數比。(A) 錯：

lo g_{4} 4 = 1

，不比

1

大。(B) 錯：底數

0.1 < 1

，函數遞減，真數

0.3 > 0.1

，所以

lo g_{0.1} 0.3 < lo g_{0.1} 0.1 = 1

。(C) 對：底數

0.5 < 1

，真數

0.3 < 0.5

，所以

lo g_{0.5} 0.3 > 1

。(D) 對：底數

3 > 1

，函數遞增，真數

5 > 3

，所以大於

1

。(E) 對：底數

2 - 1 \approx 0.414

小於

1

，真數

3 - 2 \approx 0.318

比底數小，所以大於

1

。

(E) 不用近似值也可以比：

2 - 1 = \frac{1}{2 + 1}

、

3 - 2 = \frac{1}{3 + 2}

，分母較大的較小。

第 5 題答案 (A)(B)(D)。直線是

y = - x

。(A) 對：

x \geq 0

時

2^{x} > 0 \geq - x

，沒有交點；

x < 0

時

2^{x}

遞增、

- x

遞減，而

x = - 1

時

2^{x} = \frac{1}{2} < 1

、

x = 0

時

2^{x} = 1 > 0

，所以恰交一次。(B) 對：

x \geq 0

時

2^{- ∣ x ∣} > 0 \geq - x

，沒有交點；

x < 0

時

2^{- ∣ x ∣} = 2^{x}

，與 (A) 相同，恰一個交點。(C) 錯：

- 2^{x} = - x

即

2^{x} = x

，而

y = 2^{x}

的圖形恆在直線

y = x

上方，沒有交點。(D) 對：

y = 2^{x - 2}

是

y = 2^{x}

向右平移

2

單位，仍是恆正的遞增函數，與遞減的

y = - x

恰交一次（

x = - 1

時

\frac{1}{8} < 1

，

x = 0

時

\frac{1}{4} > 0

）。(E) 錯：定義域是

x > 0

，此時

∣ lo g_{2} x ∣ \geq 0 > - x

，沒有交點。

題幹寫「哪一個」，但本題在多重選擇題大題內，正確選項有三個。

第 6 題答案 (B)(C)(D)。

A = 18 0^{\circ} - (B + C)

，所以

tan A = - tan (B + C) = - \frac{tan B + tan C}{1 - tan B tan C} = - \frac{1 + 2}{1 - 2} = 3

。(A) 錯：是

3

不是

- 3

。(B) 對：

tan A = 3 > 0

，

A

是銳角，對應直角三角形的對邊

3

、鄰邊

1

、斜邊

10

，

sin A = \frac{3}{10}

。同理

sin B = \frac{1}{2}

、

sin C = \frac{2}{5}

。由正弦定理

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

，其中

\frac{b}{sin B} = 1002

。(C) 對：

a = 1002 \times \frac{3}{10} = \frac{300}{5} = 605

。(D) 對：

c = 1002 \times \frac{2}{5} = \frac{200 2}{5} = 4010

。(E) 錯：

2 R = 1002

，

R = 502

。

(E) 的

1002

是直徑。

第 7 題答案 (A)(B)。

2^{15} = 32768

，介於

25000

與

\frac{100000}{3} \approx 33333

之間，所以

0.00003 < (\frac{1}{2})^{15} < 0.00004

，即

(\frac{1}{2})^{15} = 0.00003 \dots

：第

5

位開始不為零，該數字是

3

。

3^{10} = 59049

，介於

50000

與

100000

之間，所以

0.00001 < (\frac{1}{3})^{10} < 0.00002

，即

0.00001 \dots

：第

5

位開始不為零，該數字是

1

。(A)、(B) 對，(C)、(D) 錯。(E) 錯：兩數相加

0.00004 < k < 0.00006

，第一個非零數字在第

5

位，前面只有連續

4

個

0

。

也可以用常用對數：

lo g (\frac{1}{2})^{15} \approx - 15 \times 0.3010 = - 4.515 = - 5 + 0.485

，首數

- 5

，所以從小數點後第

5

位開始不為零。實際值

k \approx 0.0000475

。

03填充 1～3（第 8～12 題）：對數與指數不等式、對數求值、代換求最小值

第 8 題真數要為正：

3 x - 1 > 0

，

x > \frac{1}{3}

。

0 = lo g_{0.5} 1

，原式是

lo g_{0.5} (3 x - 1) > lo g_{0.5} 1

；底數

0.5 < 1

，函數遞減，不等號反向：

3 x - 1 < 1

，

x < \frac{2}{3}

。合起來

\frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}

。

真數條件與底數小於

1

時不等號反向，兩件事都要做。

第 9 題令

t = 3^{x}

（

t > 0

），

3^{2 x - 1} = \frac{( 3 ^{x} ) ^{2}}{3} = \frac{t ^{2}}{3}

。原式成為

\frac{t ^{2}}{3} - 4 t + 9 < 0

，同乘

3

：

t^{2} - 12 t + 27 < 0

，

(t - 3) (t - 9) < 0

，

3 < t < 9

。即

3^{1} < 3^{x} < 3^{2}

，底數

3 > 1

，所以

1 < x < 2

。

第 10 題全部換成以

2

為底，令

L = lo g_{2} 5

。第一個括號：

lo g_{2} 25 = 2 L

，

lo g_{8} 0.2 = \frac{lo g _{2} 5 ^{- 1}}{lo g _{2} 8} = - \frac{L}{3}

，和為

\frac{5 L}{3}

。第二個括號：

lo g_{5} 2 = \frac{1}{L}

，

lo g_{25} 0.5 = \frac{lo g _{2} 2 ^{- 1}}{lo g _{2} 25} = - \frac{1}{2 L}

，和為

\frac{1}{2 L}

。相乘：

\frac{5 L}{3} \times \frac{1}{2 L} = \frac{5}{6}

。

第 11 題第一項：

\frac{lo g 7}{lo g 5} = lo g_{5} 7

，

5^{l o g_{5} 7} = 7

。第二項：

\frac{lo g _{5} 64}{lo g _{5} 49} = lo g_{49} 64 = lo g_{7^{2}} 8^{2} = lo g_{7} 8

，

7^{l o g_{7} 8} = 8

。第三項：

1.8 = \frac{9}{5} = (\frac{3}{5})^{2}

，所以

(1.8)^{2} = (\frac{3}{5})^{4}

，對數值是

4

。合計

7 + 8 + 4 = 19

。

第三項的平方只作用在真數

1.8

上。

第 12 題令

t = 3^{x} + 3^{- x}

。

3^{x}

與

3^{- x}

都是正數，由算幾不等式

t \geq 2 3^{x} \cdot 3^{- x} = 2

，等號在

3^{x} = 3^{- x}

，即

x = 0

時成立。又

t^{2} = 9^{x} + 2 + 9^{- x}

，所以

9^{x} + 9^{- x} = t^{2} - 2

。

f (x) = 2 (t^{2} - 2) - 4 t = 2 t^{2} - 4 t - 4 = 2 (t - 1)^{2} - 6

。在

t \geq 2

的範圍內這個二次函數遞增，

t = 2

時最小，最小值

2 \times 1 - 6 = - 4

，此時

x = 0

。

頂點

t = 1

不在

t \geq 2

的範圍內，最小值不是

- 6

。

04填充 4～7（第 13～16 題）：正八邊形、斜率、費馬數、對稱於 y＝x

第 13 題把圓心與正八邊形相鄰兩頂點連起來，得到兩腰為

4

、頂角為

\frac{36 0 ^{\circ}}{8} = 4 5^{\circ}

的等腰三角形，底邊就是邊長

s

。由餘弦定理：

s^{2} = 4^{2} + 4^{2} - 2 \times 4 \times 4 \times cos 4 5^{\circ} = 32 - 162 = 16 (2 - 2)

，所以

s = 4 2 - 2

。

也可以用半角公式：

s = 2 \times 4 \times sin 22. 5^{\circ}

，而

sin 22. 5^{\circ} = \frac{1 - cos 4 5 ^{\circ}}{2} = \frac{2 - 2}{2}

，結果相同。

第 14 題

A

、

B

在圖形上，

r = lo g a

、

s = lo g b

。斜率

= \frac{s - r}{b - a} = \frac{lo g b - lo g a}{b - a} = \frac{lo g \frac{b}{a}}{b - a} = \frac{lo g 1000}{2} = \frac{3}{2}

。

不必解出

a

、

b

。

第 15 題

F_{6} = 2^{64} + 1

，

F_{7} = 2^{128} + 1

。

\frac{F _{6}}{F _{7}}

與

\frac{2 ^{64}}{2 ^{128}} = 2^{- 64}

幾乎相等：交叉相乘可知

\frac{F _{6}}{F _{7}} > 2^{- 64}

，又

\frac{F _{6}}{F _{7}} < \frac{2 ^{64} + 1}{2 ^{128}} = 2^{- 64} (1 + 2^{- 64})

，兩者只差極小的比例。用

lo g 2 \approx 0.3010

：

lo g 2^{- 64} \approx - 64 \times 0.3010 = - 19.264 = - 20 + 0.736

，首數是

- 20

，所以

2^{- 64} = 1 0^{0.736} \times 1 0^{- 20} \approx 5.4 \times 1 0^{- 20}

，

\frac{F _{6}}{F _{7}}

也是如此，在小數點後第

20

位開始不為零。

本題題幹沒有另外給

lo g 2

的近似值，用的是同卷其他題給的

lo g 2 \approx 0.3010

。首數為

- n

的數，從小數點後第

n

位開始不為零。

第 16 題

y = 7^{x}

與

y = lo g_{7} x

互為反函數，圖形對稱於直線

y = x

；直線

L

：

x + y = - 7

把

x

、

y

互換後還是自己，也對稱於

y = x

。所以

A (a, b)

對

y = x

的對稱點

(b, a)

同時在

y = lo g_{7} x

的圖形與

L

上；而遞增的

y = lo g_{7} x

與遞減的

L

只有一個交點，所以

(b, a)

就是

B

，即

c = b

、

d = a

。又

A

在

L

上，

a + b = - 7

。所求

= 2 a + b + 2 b + a = 3 (a + b) = - 21

。

不需要、也無法用簡單的式子解出

a

、

b

，只用到

a + b = - 7

。

05填充 8～11（第 17～20 題）：冷卻定律、視星等、節電、成長模型

第 17 題

a = 80

、

b = 20

，

f (t) = 20 + 60 k^{t}

。

f (5) = 50

：

20 + 60 k^{5} = 50

，

k^{5} = \frac{1}{2}

。再過

5

分鐘是

t = 10

：

k^{10} = (k^{5})^{2} = \frac{1}{4}

，

f (10) = 20 + 60 \times \frac{1}{4} = 35

，水溫是

3 5^{\circ} C

。

每過

5

分鐘，水溫與室溫的差變成一半：

60 \to 30 \to 15

。不必求出

k

。

第 18 題

m_{A} - m_{B} = - 2.5 lo g \frac{F _{A}}{F _{0}} + 2.5 lo g \frac{F _{B}}{F _{0}} = - 2.5 (lo g \frac{F _{A}}{F _{0}} - lo g \frac{F _{B}}{F _{0}}) = - 2.5 lo g \frac{F _{A}}{F _{B}}

。題目給

\frac{F _{A}}{F _{B}} = 1 0^{- 8}

，所以

m_{A} - m_{B} = - 2.5 \times (- 8) = 20

。

F_{0}

在相減時消掉。照公式，光度愈小視星等愈大，所以差是正的。

第 19 題實施第

n

年的用電量是 2024 年的

0.9 9^{n}

倍，要

0.9 9^{n} \leq 0.8

。兩邊取常用對數：

n lo g 0.99 \leq lo g 0.8

。

lo g 0.99 = lo g \frac{3 ^{2} \times 11}{100} \approx 2 \times 0.4771 + 1.0414 - 2 = - 0.0044

；

lo g 0.8 = lo g \frac{2 ^{3}}{10} \approx 3 \times 0.3010 - 1 = - 0.0970

。所以

- 0.0044 n \leq - 0.0970

，同除以負數不等號反向：

n \geq \frac{0.0970}{0.0044} \approx 22.05

。最小的正整數是

n = 23

，至少實施至第

23

年。

除以負數要變號；

n

要無條件進位到

23

，第

22

年還差一點。

第 20 題目前是

t = 0

：

M (0) = \frac{100}{1 + 3 ^{1}} = 25

隻，

3

倍是

75

隻。解

\frac{100}{1 + 3 ^{- 0.1 t + 1}} = 75

：

1 + 3^{- 0.1 t + 1} = \frac{4}{3}

，

3^{- 0.1 t + 1} = \frac{1}{3} = 3^{- 1}

，所以

- 0.1 t + 1 = - 1

，

t = 20

。再過

20

年。

可以檢查模式：

M (- 10) = \frac{100}{1 + 3 ^{2}} = 10

，與「

10

年前有

10

隻」相符；

20

也在未來

40

年的範圍內。

06填充 12～13（第 21、22 題）：對數表示的邊長、算幾不等式

第 21 題令

u = lo g_{5} 3

（

u > 0

）。兩股是

lo g_{5} 9 = 2 u

、

lo g_{5} 27 = lo g_{5} 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} u

。斜邊

= (2 u)^{2} + (\frac{3}{2} u)^{2} = \frac{25}{4} u^{2} = \frac{5}{2} u

。周長

= 2 u + \frac{3}{2} u + \frac{5}{2} u = 6 u = 6 lo g_{5} 3 = lo g_{5} 3^{6} = lo g_{5} 729

，所以

k = 729

。

三邊比是

2 : \frac{3}{2} : \frac{5}{2} = 4 : 3 : 5

。

第 22 題

3 lo g_{\frac{1}{3}} p + lo g_{\frac{1}{3}} q = lo g_{\frac{1}{3}} (p^{3} q)

；底數

\frac{1}{3} < 1

，函數遞減，所以要讓

p^{3} q

最小。令

u = \frac{1}{3 p}

、

v = \frac{1}{3 q}

，條件是

3 u + v = 12

，而

u^{3} v = \frac{1}{81 p ^{3} q}

，改成求

u^{3} v

的最大值。把

12

看成

u + u + u + v

四個正數的和，用兩次算幾不等式：

u \cdot u \leq (\frac{u + u}{2})^{2}

、

u \cdot v \leq (\frac{u + v}{2})^{2}

，相乘得

u^{3} v \leq (\frac{u + u}{2} \cdot \frac{u + v}{2})^{2} \leq (\frac{\frac{u + u}{2} + \frac{u + v}{2}}{2})^{4} = (\frac{12}{4})^{4} = 81

，等號在

u = v = 3

時成立。所以

\frac{1}{81 p ^{3} q} \leq 81

，

p^{3} q \geq \frac{1}{8 1 ^{2}} = 3^{- 8}

，最大值為

lo g_{\frac{1}{3}} 3^{- 8} = 8

。

等號成立時

p = q = \frac{1}{9}

，代回

\frac{1}{p} + \frac{1}{3 q} = 9 + 3 = 12

相符。把

\frac{1}{p}

拆成三個

\frac{1}{3 p}

，是為了讓乘積出現

p^{3} q

。

07混合題（第 23、24 題）：班佛定律

第 23 題答案 (D)。把

x = 1

、

x = 2

代入各選項，要分別約為

0.301

、

0.176

。(A)：

x = 2

時

lo g 3 \approx 0.477

，不合。(B)：

x = 2

時

0.3 - 0.301 < 0

，不合。(C)：

x = 1

時

lo g 2 \approx 0.301

，

x = 2

時

lo g \frac{3}{2} \approx 0.176

，兩個數據都合；但首位數字可以是

1 \sim 9

，

x = 5

時真數

\frac{5}{2} - \frac{5}{2} = 0

，對數沒有意義，不合。(D)：

x = 1

時

lo g 2 \approx 0.301

，

x = 2

時

lo g \frac{3}{2} \approx 0.176

，且

x = 1 \sim 9

都有意義，選 (D)。

(D) 的九個機率加起來是

lo g (\frac{2}{1} \times \frac{3}{2} \times \dots \times \frac{10}{9}) = lo g 10 = 1

，符合機率總和為

1

。只看題目給的兩個數據分不出 (C) 與 (D)。

第 24 題由 (1)，首位數字為

x

的機率是

lo g \frac{x + 1}{x}

。首位為

4

：

lo g \frac{5}{4} = lo g \frac{10}{8} = 1 - 3 lo g 2 \approx 1 - 0.9030 = 0.0970

。首位為

6

：

lo g \frac{7}{6} = lo g 7 - lo g 2 - lo g 3 \approx 0.8451 - 0.3010 - 0.4771 = 0.0670

。設開票所共

N

個，

0.0970 N \approx 970

，

N \approx 10000

。所以首位為

6

的開票所大約有

10000 \times 0.0670 = 670

個。

也可以直接用比例：

970 \times \frac{0.0670}{0.0970} = 670

。

指數、對數的題目先看底數比 1 大還是小，決定遞增或遞減；代換之後記得把新變數的範圍一起帶著走。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 24 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

港明高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 3 題疊合後要畫兩個圖形數交點，共四個；填充第 3 題（本頁第 12 題）代換後新變數至少是 2，最小值不在頂點；填充第 13 題（第 22 題）要把條件拆成四項再用算幾不等式；混合題第 1 小題（第 23 題）有兩個選項都符合題目給的兩個數據，要看首位數字 5 以上是否有意義。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自港明高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

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01單一選擇題（第 1～3 題）：指數比大小、對數函數的底數、疊合後數解

02多重選擇題（第 4～7 題）：對數值比大小、圖形交點、三角形、小數位數

03填充 1～3（第 8～12 題）：對數與指數不等式、對數求值、代換求最小值

04填充 4～7（第 13～16 題）：正八邊形、斜率、費馬數、對稱於 y＝x

05填充 8～11（第 17～20 題）：冷卻定律、視星等、節電、成長模型

06填充 12～13（第 21、22 題）：對數表示的邊長、算幾不等式

07混合題（第 23、24 題）：班佛定律

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