段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數的圖形、對數與對數律、換底公式、對數函數的圖形、指數對數方程式與不等式、常用對數的應用）、平面向量的表示法

苑裡高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 27 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 27 題，照原卷順序

多選題 4 題，每題 5 分，錯一個選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 20 分；單選與填充題 23 題，試題卷印「每題 2 分，共 42 分」，答案卷則印「依答對格數給分，共 80 分」（答對 1～23 格依序得 6、12、18、24、30、36、40、44、48、52、55、58、61、64、66、68、70、72、74、76、78、79、80 分），兩處不一致，答案卷的配分合計為 100 分。原卷兩大題各自編號，本頁依序連續編號：單選 1～5 為第 5～9 題，填充 6～23 為第 10～27 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多重選擇題（每題 5 分，錯一個選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 20 分。）

如下圖為函數

f (x) = a^{x}

的圖形，則下列選項哪些正確？

(A) $a$ 為介於 $0$ 到 $1$ 的實數
(B) 此函數的定義域為所有正實數
(C) 此函數與 $y$ 軸的交點為 $(0, 1)$
(D) 此圖形為凹口向上的曲線
(E) 若 $x_{1} < x_{2}$ ，則 $f (x_{1}) < f (x_{2})$

載入中...

下列選項哪些正確？

(A) $lo g_{7} (- 3)^{2} = 2 lo g_{7} (- 3)$
(B) $(lo g 0.2)^{2} = lo g 0.2$
(C) $\frac{1}{lo g 2} = lo g \frac{1}{2}$
(D) $lo g_{2} 3 = lo g_{4} 9$
(E) $lo g (2^{(3^{5})}) = 3^{5} lo g 2$

設

(a, b)

為

y = lo g_{2} x

圖形上的一點，請選出正確的選項。

(A) $(a, - b)$ 為 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 圖形上的一點
(B) $(2 a, 2 b)$ 亦為 $y = lo g_{2} x$ 圖形上的一點
(C) $(a^{2}, b^{2})$ 亦為 $y = lo g_{2} x$ 圖形上的一點
(D) $(b, a)$ 為 $y = 2^{x}$ 圖形上的一點
(E) $(2 a, 2 b)$ 亦為 $y = 2^{x}$ 圖形上的一點

設

a = 3^{20}

，

b = (\frac{2}{9})^{30}

，試問下列哪些選項正確？（

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

(A) $a$ 的個位數字為 $7$
(B) $a$ 為 $10$ 位數
(C) $a$ 的最高位數字為 $3$
(D) $b$ 在小數點後第 $19$ 位開始不為 $0$
(E) $b$ 的第一個不為 $0$ 的數字為 $2$

二、單選與填充題（每題 2 分，共 42 分）

已知

A (1, 4)

，

B (2024, 2025)

，

C (3, 2)

，則

B C - B A =

？

(A) $8$
(B) $12$
(C) $22$
(D) $32$
(E) $52$

將

y = 3^{x}

的圖形作下列何種平移可得

y = 3^{x + 2} - 3

的圖形？

(A) 向右移 $2$ 單位，向下移 $3$ 單位
(B) 向右移 $2$ 單位，向上移 $3$ 單位
(C) 向左移 $2$ 單位，向上移 $3$ 單位
(D) 向左移 $2$ 單位，向下移 $3$ 單位
(E) 以上皆非

設

a = lo g_{10} 2

，

b = lo g_{10} 3

，則下列哪個選項可以表示

lo g_{6} 72

？

(A) $\frac{a + b}{3 a + 2 b}$
(B) $\frac{2 a + 3 b}{a + b}$
(C) $\frac{3 a + 2 b}{a + b}$
(D) $\frac{a + b}{2 a + 3 b}$
(E) $\frac{b}{a + b}$

下列各函數圖形中，與直線

x = \frac{1}{2}

的交點在最上方為哪一個選項？

(A) $y = 5^{x}$
(B) $y = 3^{x}$
(C) $y = 2^{x}$
(D) $y = (\frac{1}{2})^{x}$
(E) $y = - 2^{x}$

若

x > 1

且

lo g_{a} x < lo g_{b} x < 0

，則下列敘述何者正確？

(A) $0 < a < b < 1$
(B) $0 < b < a < 1$
(C) $a > b > 1$
(D) $b > a > 1$
(E) $a > 1 > b$

試求

3^{2} + lo g_{2} 4 =

____。

試求

2^{l o g 2} \times 2^{l o g 5} =

____。

若

a

，

b

是有理數且

a lo g 8 + b lo g 25 = 3

，則數對

(a, b) =

____。

若

2^{x} = 9

，

3^{y} = 32

，則

x y =

____。

化簡

\frac{( lo g _{5} 2 ) ( lo g _{7} 9 )}{( lo g _{5} \frac{1}{3} ) ( lo g _{7} 3 4 )} =

____。

已知

△ A B C

中，

A B = (0, 24)

，

B C = (5, - 12)

，則

△ A B C

的周長為 ____。

給定坐標平面上三點

A (9, - 1)

，

B (5, 11)

，

C (- 1, 2)

，則

4 A B - 3 C A

的坐標表示為 ____。

設

a = (- 2, 5)

，

b = (1, - 1)

，

c = (2, 3)

，若

a + t b

與

c

平行，則

t =

____。

試求

lo g_{4} 5 \times lo g_{5} 6 \times lo g_{6} 7 \times lo g_{7} 8

之值為 ____。

設

a = 2^{\frac{1}{4}}

，

b = 3^{\frac{1}{5}}

，

c = 5^{\frac{1}{6}}

，則

a

，

b

，

c

之大小關係為 ____。

如下圖為某種酵母菌的單位容積菌數（

y

個）與培養時間（

x

天）的關係圖。若其關係為指數函數

y = k \times a^{x}

，

k

為常數，則數對

(a, k) =

____。

載入中...

已知

f (x) = lo g_{7} x

，又

f (a) + f (b) = 3

，試求

ab =

____。

已知

lo g_{7} (7^{x} + 49) = \frac{x}{2} + 1 + lo g_{7} 2

，則實數

x =

____。

已知平面上

A

，

B

兩點在直線

L

的投影點分別為

A^{'}

與

B^{'}

，若

\overline{A A^{'}} = lo g_{2} 3

，

\overline{B B^{'}} = lo g_{4} 3

且

\overline{A^{'} B^{'}} = lo g_{3} 8

，求四邊形

A A^{'} B^{'} B

面積為 ____。

已知

x > 1

，試求

y = (lo g_{3} 3 x)^{2} + (lo g_{x} 3 x)^{2}

最小值為 ____。

已知函數

f (x) = 9^{x} - 3^{x + 1}

，且

- 1 \leq x \leq 2

，若

f (x)

最大值為

M

，最小值為

m

，則數對

(M, m) =

____。

試求對數不等式

lo g_{2} (lo g_{\frac{1}{3}} x) < 1

的解為 ____。

滿足

lo g_{\frac{1}{6}} (x - 3) (x + 6) \geq - 2

之所有實數

x

中，若

x = k

時，使

f (x) = (lo g_{3} \frac{∣ x ∣}{3}) (lo g_{3} ∣ x ∣)

有最大值

= M

，則數對

(k, M) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)(D)(E)

第 2 題(D)(E)

第 3 題(A)(D)

第 4 題(B)(C)(E)

第 5 題(A)

第 6 題(D)

第 7 題(C)

第 8 題(A)

第 9 題(B)

第 10 題

11

第 11 題

2

第 12 題

(1, \frac{3}{2})

第 13 題

10

第 14 題

- \frac{3}{2}

第 15 題

50

第 16 題

(- 46, 57)

第 17 題

\frac{16}{5}

第 18 題

\frac{3}{2}

第 19 題

c > b > a

第 20 題

(4, \frac{15}{2})

第 21 題

343

第 22 題

2

第 23 題

\frac{9}{4}

第 24 題

8

第 25 題

(54, - \frac{9}{4})

第 26 題

\frac{1}{9} < x < 1

第 27 題

(- 9, 2)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題：指數函數圖形的性質、對數律的辨析

第 1 題

答案 (C)(D)(E)。圖形由左往右上升，所以 $f (x) = a^{x}$ 是遞增函數，底數 $a > 1$ 。

(A) 錯誤。 圖形遞增，底數 $a > 1$ ；底數介於 $0$ 到 $1$ 時圖形會由左往右下降。

(B) 錯誤。 任何實數 $x$ 都可以代入 $a^{x}$ ，定義域是所有實數；所有正實數是它的值域。

(D) 正確。 指數函數的圖形凹口向上：圖形上任兩點的連線段都在圖形的上方。

(E) 正確。 $a > 1$ 時 $y = a^{x}$ 遞增， $x_{1} < x_{2}$ 推得 $a^{x_{1}} < a^{x_{2}}$ 。

第 2 題

答案 (D)(E)。

(A) 錯誤。 左邊 $(- 3)^{2} = 9$ ， $lo g_{7} 9$ 有意義；右邊的 $lo g_{7} (- 3)$ 真數是負數，無意義。對數律 $lo g_{a} M^{r} = r lo g_{a} M$ 要在 $M > 0$ 時才能用。

(B) 錯誤。 $t^{2} = ∣ t ∣$ 。 $0.2 < 1$ ，所以 $lo g 0.2 < 0$ ， $(lo g 0.2)^{2} = - lo g 0.2$ ，不等於 $lo g 0.2$ 。

(C) 錯誤。 $lo g \frac{1}{2} = - lo g 2 < 0$ ，而 $\frac{1}{lo g 2} > 0$ ，兩邊正負號不同。（ $\frac{1}{lo g 2}$ 其實是 $lo g_{2} 10$ 。）

(D) 正確。 $lo g_{4} 9 = \frac{lo g 3 ^{2}}{lo g 2 ^{2}} = \frac{2 lo g 3}{2 lo g 2} = lo g_{2} 3$ 。

(E) 正確。 真數是 $2$ 的 $3^{5}$ 次方，由 $lo g M^{r} = r lo g M$ ， $lo g (2^{(3^{5})}) = 3^{5} lo g 2$ 。

看圖先判斷遞增或遞減來定底數範圍；用對數律之前先確認每個對數的真數都是正的。

02多選題：對數圖形上的點、常用對數的應用

第 3 題

答案 (A)(D)。 $(a, b)$ 在 $y = lo g_{2} x$ 上，表示 $a > 0$ 且 $b = lo g_{2} a$ ，也就是 $a = 2^{b}$ 。

(A) 正確。 $lo g_{\frac{1}{2}} a = \frac{lo g a}{lo g \frac{1}{2}} = \frac{lo g a}{- lo g 2} = - lo g_{2} a = - b$ ，所以 $(a, - b)$ 在 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 上。

(B) 錯誤。 $lo g_{2} (2 a) = 1 + lo g_{2} a = 1 + b$ ，要等於 $2 b$ 必須 $b = 1$ ，不是每一點都成立。例如 $(1, 0)$ 在圖形上，但 $(2, 0)$ 不在（ $lo g_{2} 2 = 1$ ）。

(C) 錯誤。 $lo g_{2} a^{2} = 2 b$ ，要等於 $b^{2}$ 必須 $b = 0$ 或 $b = 2$ 。例如 $(2, 1)$ 在圖形上，但 $lo g_{2} 4 = 2 \neq = 1$ ， $(4, 1)$ 不在。

(D) 正確。 $a = 2^{b}$ ，所以 $(b, a)$ 滿足 $y = 2^{x}$ 。這就是 $y = lo g_{2} x$ 與 $y = 2^{x}$ 的圖形對稱於直線 $y = x$ 。

(E) 錯誤。 要 $2^{2 a} = 2 b$ 。例如取 $(1, 0)$ ： $(2, 0)$ 代入得 $2^{2} = 4 \neq = 0$ ，不在 $y = 2^{x}$ 上。

第 4 題

答案 (B)(C)(E)。

(A) 錯誤。 $3$ 的次方個位數依序為 $3, 9, 7, 1$ ，四個一循環； $20$ 是 $4$ 的倍數， $3^{20}$ 的個位數字是 $1$ 。

(B) 正確。 $lo g a = 20 lo g 3 \approx 9.542$ ，所以 $1 0^{9} \leq a < 1 0^{10}$ ， $a$ 是 $10$ 位數。

(C) 正確。 $a = 1 0^{0.542} \times 1 0^{9}$ ， $lo g 3 \approx 0.4771 < 0.542 < lo g 4 \approx 0.6020$ ，所以 $3 < 1 0^{0.542} < 4$ ，最高位數字是 $3$ 。

(D) 錯誤。 $lo g b = 30 (lo g 2 - 2 lo g 3) \approx 30 \times (0.3010 - 0.9542) = - 19.596$ 。寫成 $- 20 + 0.404$ ，所以 $b = 1 0^{0.404} \times 1 0^{- 20}$ ， $1 0^{0.404}$ 介於 $1$ 與 $10$ 之間， $b$ 在小數點後第 $20$ 位才開始不為 $0$ ，不是第 $19$ 位。

(E) 正確。 $lo g 2 \approx 0.3010 < 0.404 < lo g 3 \approx 0.4771$ ， $2 < 1 0^{0.404} < 3$ ，第一個不為 $0$ 的數字是 $2$ 。

- 19.596

的整數部分要取

- 20

，讓小數部分

0.404

是正的。

把數寫成「1 到 10 之間的數乘以 10 的整數次方」：整數次方決定位數或小數位，小數部分決定最高位數字。

03單選題：向量減法、平移、換底、比大小、由對數判斷底數

第 5 題答案 (A)。

B C - B A = A C

（從

A

到

C

），與

B

的位置無關。

A C = (3 - 1, 2 - 4) = (2, - 2)

，長度

4 + 4 = 8

。

B

的坐標很大是干擾，先用向量的減法化簡再代坐標。

第 6 題答案 (D)。

y = 3^{x + 2} - 3

：

x

換成

x + 2

是向左平移

2

單位，函數值減

3

是向下平移

3

單位。

第 7 題答案 (C)。

lo g_{6} 72 = \frac{lo g 72}{lo g 6}

，

72 = 2^{3} \times 3^{2}

，

lo g 72 = 3 a + 2 b

；

lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 = a + b

。所以

lo g_{6} 72 = \frac{3 a + 2 b}{a + b}

。

第 8 題答案 (A)。交點的

y

坐標就是各函數在

x = \frac{1}{2}

的值：

5^{\frac{1}{2}} = 5

，

3^{\frac{1}{2}} = 3

，

2^{\frac{1}{2}} = 2

，

(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

，

- 2^{\frac{1}{2}} = - 2

。最大的是

5

，交點最上方的是

y = 5^{x}

。

第 9 題

答案 (B)。由換底公式 $lo g_{a} x = \frac{1}{lo g _{x} a}$ ， $lo g_{b} x = \frac{1}{lo g _{x} b}$ 。 $lo g_{a} x < 0$ 表示 $lo g_{x} a < 0$ ，因為底數 $x > 1$ ，得 $0 < a < 1$ ；同理 $0 < b < 1$ 。

令 $u = lo g_{x} a$ ， $v = lo g_{x} b$ ，兩者都是負數，條件是 $\frac{1}{u} < \frac{1}{v}$ 。兩邊同乘正數 $uv$ ： $v < u$ ，即 $lo g_{x} b < lo g_{x} a$ 。底數 $x > 1$ ， $y = lo g_{x} t$ 遞增，所以 $b < a$ 。合起來 $0 < b < a < 1$ 。

可以代數字檢查：

x = 2

，

a = \frac{1}{2}

，

b = \frac{1}{4}

，

lo g_{a} 2 = - 1

，

lo g_{b} 2 = - \frac{1}{2}

，

- 1 < - \frac{1}{2} < 0

，符合

0 < b < a < 1

。

向量先化簡再代坐標；比較對數大小時，換到同一個大於 1 的底數再看遞增。

04填充題：對數求值與換底公式

第 10 題

3^{2} = 9

，

lo g_{2} 4 = lo g_{2} 2^{2} = 2

，相加得

11

。

第 11 題同底相乘，指數相加：

2^{l o g 2} \times 2^{l o g 5} = 2^{l o g 2 + l o g 5} = 2^{l o g 10} = 2^{1} = 2

。

第 12 題

$a lo g 8 + b lo g 25 = 3 a lo g 2 + 2 b lo g 5$ ，而 $3 = 3 lo g 10 = 3 lo g 2 + 3 lo g 5$ 。移項得 $(3 a - 3) lo g 2 = (3 - 2 b) lo g 5$ 。

假設 $3 - 2 b \neq = 0$ ，則 $\frac{lo g 5}{lo g 2} = lo g_{2} 5$ 等於有理數 $\frac{3 a - 3}{3 - 2 b}$ 。因為 $lo g_{2} 5 > 0$ ，可設為 $\frac{p}{q}$ （ $p$ 、 $q$ 為正整數），得 $5^{q} = 2^{p}$ ，左邊是奇數、右邊是偶數，不可能。所以 $3 - 2 b = 0$ ， $b = \frac{3}{2}$ 。代回得 $(3 a - 3) lo g 2 = 0$ ，而 $lo g 2 \neq = 0$ ，所以 $a = 1$ 。 $(a, b) = (1, \frac{3}{2})$ 。

檢查：

lo g 8 + \frac{3}{2} lo g 25 = lo g 8 + lo g 125 = lo g 1000 = 3

。

第 13 題

x = lo g_{2} 9 = \frac{2 lo g 3}{lo g 2}

，

y = lo g_{3} 32 = \frac{5 lo g 2}{lo g 3}

，相乘得

x y = 2 \times 5 = 10

。

第 14 題

分子： $lo g_{5} 2 = \frac{1}{2} lo g_{5} 2$ ， $lo g_{7} 9 = 2 lo g_{7} 3$ ，乘積 $= lo g_{5} 2 \cdot lo g_{7} 3$ 。

分母： $lo g_{5} \frac{1}{3} = - lo g_{5} 3$ ， $lo g_{7} 34 = \frac{2}{3} lo g_{7} 2$ ，乘積 $= - \frac{2}{3} lo g_{5} 3 \cdot lo g_{7} 2$ 。

原式 $= - \frac{3}{2} \cdot \frac{lo g _{5} 2}{lo g _{5} 3} \cdot \frac{lo g _{7} 3}{lo g _{7} 2} = - \frac{3}{2} \cdot lo g_{3} 2 \cdot lo g_{2} 3 = - \frac{3}{2}$ 。

\frac{lo g _{5} 2}{lo g _{5} 3} = lo g_{3} 2

（換底公式反過來用），

lo g_{3} 2 \cdot lo g_{2} 3 = 1

。

真數先寫成質數的次方，把次方提到前面；底數不同時換底，常會整個相消。

05填充題：平面向量的坐標表示

第 15 題

\overline{A B} = 0^{2} + 2 4^{2} = 24

，

\overline{B C} = 5^{2} + 1 2^{2} = 13

。

A C = A B + B C = (5, 12)

，

\overline{A C} = 13

。周長

= 24 + 13 + 13 = 50

。

第 16 題

A B = (5 - 9, 11 - (- 1)) = (- 4, 12)

，

C A = (9 - (- 1), - 1 - 2) = (10, - 3)

。

4 A B - 3 C A = (- 16, 48) - (30, - 9) = (- 46, 57)

。

C A

是

A

的坐標減

C

的坐標，方向別寫反。

第 17 題

a + t b = (- 2 + t, 5 - t)

。與

c = (2, 3)

平行，分量成比例：

3 (- 2 + t) = 2 (5 - t)

，

3 t - 6 = 10 - 2 t

，

5 t = 16

，

t = \frac{16}{5}

。

檢查：

a + \frac{16}{5} b = (\frac{6}{5}, \frac{9}{5}) = \frac{3}{5} (2, 3)

。

向量 AB 一律寫成終點減始點；兩向量 (p,q) 與 (r,s) 平行時 ps＝qr。

06填充題：連鎖換底、比大小、指數模型、對數函數

第 18 題全部換成常用對數：原式

= \frac{lo g 5}{lo g 4} \cdot \frac{lo g 6}{lo g 5} \cdot \frac{lo g 7}{lo g 6} \cdot \frac{lo g 8}{lo g 7} = \frac{lo g 8}{lo g 4} = \frac{3 lo g 2}{2 lo g 2} = \frac{3}{2}

。

第 19 題三個數都是正數，指數的分母

4

、

5

、

6

的最小公倍數是

60

，把三數都取

60

次方比較：

a^{60} = 2^{15} = 32768

，

b^{60} = 3^{12} = 531441

，

c^{60} = 5^{10} = 9765625

。

c^{60} > b^{60} > a^{60}

，正數的

60

次方保持大小順序，所以

c > b > a

。

也可以取常用對數比較：

lo g a = \frac{lo g 2}{4} \approx 0.0753

，

lo g b = \frac{lo g 3}{5} \approx 0.0954

，

lo g c = \frac{lo g 5}{6} \approx 0.1165

。

第 20 題兩點代入

y = k \times a^{x}

：

k \cdot a^{\frac{1}{2}} = 15

，

k \cdot a^{3} = 480

。兩式相除：

a^{3 - \frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{2}} = 32 = 2^{5}

，所以

a^{\frac{1}{2}} = 2

，

a = 4

。代回：

k \cdot 2 = 15

，

k = \frac{15}{2}

。

(a, k) = (4, \frac{15}{2})

。

檢查：

\frac{15}{2} \times 4^{3} = \frac{15}{2} \times 64 = 480

。

第 21 題

f (a) + f (b) = lo g_{7} a + lo g_{7} b = lo g_{7} (ab) = 3

（

a

、

b

都要大於

0

），所以

ab = 7^{3} = 343

。

根號次方的比大小，取分母的最小公倍數次方；圖上給兩點就列兩式相除消去 k。

07填充題：對數方程式、對數長度的面積

第 22 題右邊

= lo g_{7} 7^{\frac{x}{2}} + lo g_{7} 7 + lo g_{7} 2 = lo g_{7} (14 \cdot 7^{\frac{x}{2}})

。對數函數一對一，所以

7^{x} + 49 = 14 \cdot 7^{\frac{x}{2}}

。令

t = 7^{\frac{x}{2}} > 0

，

7^{x} = t^{2}

：

t^{2} - 14 t + 49 = 0

，

(t - 7)^{2} = 0

，

t = 7

，

7^{\frac{x}{2}} = 7^{1}

，

x = 2

。

檢查：

lo g_{7} (49 + 49) = lo g_{7} 98 = lo g_{7} (49 \times 2) = 2 + lo g_{7} 2

，右邊

1 + 1 + lo g_{7} 2

，相等。

第 23 題

$A A^{'}$ 與 $B B^{'}$ 都垂直於 $L$ ，彼此平行，四邊形 $A A^{'} B^{'} B$ 是以 $\overline{A A^{'}}$ 、 $\overline{B B^{'}}$ 為上下底、 $\overline{A^{'} B^{'}}$ 為高的直角梯形（ $A$ 、 $B$ 在 $L$ 的同側）。

$\overline{B B^{'}} = lo g_{4} 3 = \frac{lo g 3}{2 lo g 2} = \frac{1}{2} lo g_{2} 3$ ，上下底和 $= \frac{3}{2} lo g_{2} 3$ 。高 $\overline{A^{'} B^{'}} = lo g_{3} 8 = 3 lo g_{3} 2$ 。面積 $= \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} lo g_{2} 3 \times 3 lo g_{3} 2 = \frac{9}{4} lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = \frac{9}{4}$ 。

若

A

、

B

在

L

的兩側，依序連成的

A A^{'} B^{'} B

會自己交叉，不是一般的四邊形，所以只考慮同側的情形。

等號兩邊都化成同底的單一對數，再去掉對數；看到 a 的 x 次方與 a 的 x/2 次方，令 t 等於 a 的 x/2 次方。

08填充題：用代換求極值

第 24 題

令 $t = lo g_{3} x$ ，因為 $x > 1$ ， $t > 0$ 。 $lo g_{3} 3 x = 1 + lo g_{3} x = 1 + t$ ； $lo g_{x} 3 x = lo g_{x} 3 + 1 = \frac{1}{t} + 1$ 。

$y = (1 + t)^{2} + (1 + \frac{1}{t})^{2} = 2 + 2 (t + \frac{1}{t}) + (t^{2} + \frac{1}{t ^{2}})$ 。

$t + \frac{1}{t} = (t - \frac{1}{t})^{2} + 2 \geq 2$ ， $t^{2} + \frac{1}{t ^{2}} = (t - \frac{1}{t})^{2} + 2 \geq 2$ ，兩者都在 $t = 1$ 時取等號。所以 $y \geq 2 + 4 + 2 = 8$ ， $t = 1$ （即 $x = 3$ ）時 $y = 8$ ，最小值為 $8$ 。

檢查：

x = 3

時

lo g_{3} 3 x = lo g_{3} 9 = 2

，

lo g_{x} 3 x = lo g_{3} 9 = 2

，

y = 4 + 4 = 8

。

第 25 題

令 $u = 3^{x}$ ， $- 1 \leq x \leq 2$ 時 $\frac{1}{3} \leq u \leq 9$ 。 $f = 9^{x} - 3 \cdot 3^{x} = u^{2} - 3 u = (u - \frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{4}$ 。

頂點 $u = \frac{3}{2}$ 在範圍內，最小值 $m = - \frac{9}{4}$ ；最大值在離頂點較遠的端點 $u = 9$ ： $81 - 27 = 54$ 。（另一端 $u = \frac{1}{3}$ ： $\frac{1}{9} - 1 = - \frac{8}{9}$ 。）所以 $(M, m) = (54, - \frac{9}{4})$ 。

u

的範圍要由

x

的範圍換過來，不是

- 1 \leq u \leq 2

。

對數或指數的極值題，先代換成 t，寫出 t 的範圍，再用配方處理。

09填充題：對數不等式

第 26 題

外層： $lo g_{2} (lo g_{\frac{1}{3}} x) < 1 = lo g_{2} 2$ ，真數要正，底數 $2 > 1$ 遞增，所以 $0 < lo g_{\frac{1}{3}} x < 2$ 。

內層： $lo g_{\frac{1}{3}} 1 = 0$ ， $lo g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9} = 2$ ，底數 $\frac{1}{3} < 1$ ， $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 遞減，所以 $\frac{1}{9} < x < 1$ 。

底數

\frac{1}{3}

小於

1

，去掉對數時不等號要反向；外層的真數條件

lo g_{\frac{1}{3}} x > 0

也要放進去。

第 27 題

先解不等式。真數 $(x - 3) (x + 6) > 0$ 。 $- 2 = lo g_{\frac{1}{6}} 36$ ，底數 $\frac{1}{6} < 1$ ，遞減，所以 $(x - 3) (x + 6) \leq 36$ ， $x^{2} + 3 x - 54 \leq 0$ ， $(x + 9) (x - 6) \leq 0$ ， $- 9 \leq x \leq 6$ 。又 $(x - 3) (x + 6) > 0$ 得 $x < - 6$ 或 $x > 3$ 。合起來 $- 9 \leq x < - 6$ 或 $3 < x \leq 6$ ，所以 $3 < ∣ x ∣ \leq 9$ 。

再求極值。令 $s = lo g_{3} ∣ x ∣$ ，範圍 $1 < s \leq 2$ 。 $f (x) = (s - 1) s = (s - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4}$ ，在 $s > \frac{1}{2}$ 時隨 $s$ 增加而增加，最大值在 $s = 2$ ： $M = 2 \times 1 = 2$ 。這時 $∣ x ∣ = 9$ ，而 $x = 9$ 不在範圍內，只有 $x = - 9$ 。所以 $(k, M) = (- 9, 2)$ 。

題目的對數式讀作

lo g_{\frac{1}{6}} [(x - 3) (x + 6)]

；

k

要回到範圍裡挑，

∣ x ∣ = 9

只對應

x = - 9

。

對數不等式要同時寫真數條件；底數小於 1 時不等號反向；代換後記得把答案換回原變數並檢查範圍。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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第 4 題取對數後要把負數拆成負二十加上正的小數部分，小數點後第二十位才開始不為零；第 9 題兩個對數都是負的，取倒數比較時大小方向容易弄反；第 26 題兩層對數由外往內拆，底數三分之一要反向，外層的真數條件也要保留；第 27 題最大值發生在絕對值等於九，但只有負九在範圍內。詳解逐題寫在本頁。

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苑裡高中 114 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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02多選題：對數圖形上的點、常用對數的應用

03單選題：向量減法、平移、換底、比大小、由對數判斷底數

04填充題：對數求值與換底公式

05填充題：平面向量的坐標表示

06填充題：連鎖換底、比大小、指數模型、對數函數

07填充題：對數方程式、對數長度的面積

08填充題：用代換求極值

09填充題：對數不等式

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