段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

前鎮高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

單選題 4 題（16 分）、多重選擇題 4 題（24 分）、填充題 12 格（60 分）、計算題 1 題（10 分）

一、單選題（一題 4 分，共 16 分）

角度的單位可以用「度」或「弳」來表示。請問下列五個選項的最大值是哪一個？

(A) $cos 1$
(B) $sin 1^{\circ}$
(C) $sin 2$
(D) $tan 3$
(E) $tan 3^{\circ}$

請問下列五個選項哪一個是正確的？

(A) $sin 16 8^{\circ} sin 4 8^{\circ} - cos 1 2^{\circ} sin 4 2^{\circ} > 0$
(B) $tan 1^{\circ} + tan 4 4^{\circ} + tan 1^{\circ} tan 4 4^{\circ} = 1$
(C) $cos 13 2^{\circ} = 2 sin^{2} 6 6^{\circ} + 1$
(D) $tan 6 6^{\circ} = \frac{2 tan 3 3 ^{\circ}}{1 + tan ^{2} 3 3 ^{\circ}}$
(E) $sin 6 6^{\circ} = \pm \frac{1 - cos 13 2 ^{\circ}}{2}$

請問下列五個選項哪一個是正確的？

(A) 函數 $y = 3 sin 2 x$ 的最大值為 $2$
(B) 函數 $y = 3 sin 2 x$ 的週期為 $2 π$
(C) 函數 $y = 3 tan 2 x$ 的週期為 $2 π$
(D) 函數 $y = 3 cos 2 x$ 的圖形對稱於原點
(E) 函數 $y = 3 cos 2 x$ 的圖形對稱於直線 $x = π$

下列五個選項中哪一個數值是最大的？

(A) $2 sin 5 5^{\circ} cos 5 5^{\circ}$
(B) $sin^{2} 5 5^{\circ} - cos^{2} 5 5^{\circ}$
(C) $2 cos^{2} 4 2^{\circ} - 1$
(D) $1 + cos 8 0^{\circ}$
(E) $\frac{2 tan 1 0 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 1 0 ^{\circ}}$

二、多重選擇題（一題 6 分，共 24 分，6-4-2-0）（原卷題號 1～4，本頁接續編為第 5～8 題）

已知

sin θ = \frac{1}{3}

且

sin 2 θ < 0

，下列哪些敘述正確？

(A) $cos θ > 0$
(B) $sin 2 θ = - \frac{4 2}{9}$
(C) $tan 2 θ < 0$
(D) $cos 3 θ > 0$
(E) $sin \frac{θ}{2} = \frac{2 3 - 6}{6}$

已知

f (x) = cos 2 x

，

g (x) = tan x

，

x

為任意實數，下列哪些敘述正確？

(A) $f (2) > 0$
(B) $g (x)$ 的定義域為實數集合
(C) $f (x)$ 和 $g (x)$ 的週期相同
(D) $x = \frac{π}{2}$ 是 $g (x)$ 的漸近線
(E) $f (x)$ 的圖形經由平移變換可與 $y = sin (2 x - 1)$ 的圖形重合

關於函數

f (x) = 5 sin x - 2 cos x

的圖形，

x

為任意實數，下列哪些敘述正確？

(A) $y = f (x)$ 圖形與 $y$ 軸交於 $(0, - 2)$
(B) 函數 $y = f (x)$ 的最小正週期為 $2 π$
(C) $y = f (x)$ 圖形的振幅是 $3$
(D) $y = f (x)$ 圖形與 $y = 6$ 有無限多個交點
(E) $x = 0$ 是 $y = f (x)$ 圖形的對稱軸

關於函數

f (x) = ∣ sin x ∣ + ∣ cos x ∣

的圖形，

x

為任意實數，下列哪些敘述正確？

(A) $f (x)$ 的最大值為 $2$
(B) $f (x)$ 的最小值為 $1$
(C) $x = 0$ 是 $y = f (x)$ 圖形的對稱軸
(D) 在區間 $[0, 2 π)$ 中有 $4$ 個實數 $x$ 滿足 $f (x) = 2$
(E) 函數 $y = f (x)$ 的最小正週期為 $\frac{π}{2}$

三、填充題（一格 5 分，共 60 分）（原卷題號 1～9，其中第 1 題 2 格、第 2 題 3 格；本頁編為第 9～20 題）

填充第 1 題（第 9～10 題）　求下列 2 式之值：

(1)

6 sin 5 0^{\circ} - 8 sin^{3} 5 0^{\circ} =

____。

(2)

\frac{tan 1 2 ^{\circ} + tan 1 8 ^{\circ}}{1 - tan 1 2 ^{\circ} \cdot tan 1 8 ^{\circ}} =

____。

填充第 2 題（第 11～13 題）　

\frac{π}{2} < α < π

，

π < β < \frac{3 π}{2}

，且

sin α = \frac{5}{13}

，

sin β = - \frac{8}{17}

，則：

(1)

cos (α - β) =

____。

(2)

tan \frac{α}{2} =

____。

(3)

sin 2 α =

____。

已知

cos (x + y) = \frac{2}{5}

，

cos (x - y) = \frac{3}{5}

，則

tan x \cdot tan y =

____。

已知兩直線

L_{1}

：

2 x - y + 3 = 0

，

L_{2}

：

x + 3 y - 5 = 0

的銳夾角為

θ

，則

cos θ =

____。

設

0 \leq x < π

，則方程式

cos 3 x + cos x = 0

的解為 ____。（3 解）

已知

△ A B C

中，

cos A = - \frac{5}{13}

，

sin B = \frac{4}{5}

，則

tan C =

____。

右圖為邊長

6

的正方形，分別以

A

、

C

為圓心，正方形的邊長為半徑畫兩圓弧，則鋪色區域面積為 ____。

載入中...

設

13 5^{\circ} \leq θ \leq 22 5^{\circ}

，且

sin θ + cos θ = 2 cos 11 4^{\circ}

，則

θ =

____。

將

f (x) = sin x

的圖形水平伸縮

2

倍後，向左水平移動

1

單位再向下平移

1

單位後得到新函數

g (x) = a sin (b x + c) + d

，其中

a > 0

，

b > 0

，

0 < c < 4

，則數對

(a, b, c, d) =

____。

四、計算題（共 10 分）（原卷題號 1，本頁編為第 21 題）

已知

f (x) = 4 sin x + 2 cos (x + \frac{π}{6})

可以化簡成

a sin (x + θ)

，且

a > 0

，

0 < θ < \frac{π}{2}

，試回答下列 2 式：(1) 請將

f (x)

展開整理成

a sin x + b cos x

的形式。（4 分）(2) 請將

f (x)

化簡成

a sin (x + θ)

的形式。（4 分）(3) 請算出

tan θ

的值。（2 分，直接寫答案即可）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(B)

第 3 題(E)

第 4 題(D)

第 5 題(B)(C)

第 6 題(C)(D)(E)

第 7 題(A)(B)

第 8 題(B)(C)(D)(E)

第 9 題

1

第 10 題

\frac{3}{3}

第 11 題

\frac{140}{221}

第 12 題

5

第 13 題

- \frac{120}{169}

第 14 題

\frac{1}{5}

第 15 題

\frac{2}{10}

第 16 題

x = \frac{π}{4}

、

\frac{π}{2}

、

\frac{3 π}{4}

第 17 題

\frac{16}{63}

第 18 題

18 π - 36

第 19 題

15 9^{\circ}

第 20 題

(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, - 1)

第 21 題(1)

3 sin x + 3 cos x

；(2)

23 sin (x + \frac{π}{6})

；(3)

\frac{3}{3}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選題（第 1～4 題）：弧度估值、公式辨識、圖形性質、化簡比大小

第 1 題答案 (C)。

1

弳約

57. 3^{\circ}

，所以

2

弳約

114. 6^{\circ}

、

3

弳約

171. 9^{\circ}

。(A)

cos 1 \approx cos 57. 3^{\circ}

，比

cos 4 5^{\circ} \approx 0.71

小。(B)

sin 1^{\circ}

與 (E)

tan 3^{\circ}

都是很小的正數，不到

0.1

。(C)

sin 2 \approx sin 114. 6^{\circ} = sin 65. 4^{\circ}

，比

sin 6 0^{\circ} \approx 0.87

大。(D)

3

弳在第二象限，

tan 3 < 0

。最大的是

sin 2

。

沒有寫「

^{\circ}

」的角一律是弳。

第 2 題答案 (B)。(A) 錯：

sin 16 8^{\circ} = sin 1 2^{\circ}

、

sin 4 8^{\circ} = cos 4 2^{\circ}

，原式

= sin 1 2^{\circ} cos 4 2^{\circ} - cos 1 2^{\circ} sin 4 2^{\circ} = sin (1 2^{\circ} - 4 2^{\circ}) = - \frac{1}{2} < 0

。(B) 對：

tan 4 5^{\circ} = \frac{tan 1 ^{\circ} + tan 4 4 ^{\circ}}{1 - tan 1 ^{\circ} tan 4 4 ^{\circ}} = 1

，去分母得

tan 1^{\circ} + tan 4 4^{\circ} = 1 - tan 1^{\circ} tan 4 4^{\circ}

，移項即得。(C) 錯：

cos 13 2^{\circ} = 1 - 2 sin^{2} 6 6^{\circ}

。(D) 錯：

tan 6 6^{\circ} = \frac{2 tan 3 3 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 3 3 ^{\circ}}

，分母是減號。(E) 錯：

sin 6 6^{\circ} > 0

，只能取正號，

sin 6 6^{\circ} = \frac{1 - cos 13 2 ^{\circ}}{2}

。

(D) 右邊的式子其實等於

sin 6 6^{\circ}

。

第 3 題答案 (E)。(A) 錯：最大值是

3

。(B) 錯：週期是

\frac{2 π}{2} = π

。(C) 錯：正切函數

y = tan x

的週期是

π

，

y = 3 tan 2 x

的週期是

\frac{π}{2}

。(D) 錯：

3 cos (- 2 x) = 3 cos 2 x

，圖形對稱於

y

軸；而且圖形通過

(0, 3)

卻不通過

(0, - 3)

，不對稱於原點。(E) 對：

3 cos (2 (2 π - x)) = 3 cos (4 π - 2 x) = 3 cos 2 x

，所以

x

與

2 π - x

的函數值相同，圖形對稱於直線

x = π

。

餘弦函數圖形的對稱軸通過最高點或最低點；

x = π

時

3 cos 2 π = 3

是最高點。

第 4 題答案 (D)。(A)

= sin 11 0^{\circ} = sin 7 0^{\circ}

，小於

1

。(B)

= - cos 11 0^{\circ} = cos 7 0^{\circ}

，小於

1

。(C)

= cos 8 4^{\circ}

，小於

1

。(D) 由

1 + cos 8 0^{\circ} = 2 cos^{2} 4 0^{\circ}

得

1 + cos 8 0^{\circ} = 2 cos 4 0^{\circ}

；因為

cos 4 0^{\circ} > cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

，所以這個值大於

2 \times \frac{2}{2} = 1

。(E)

= tan 2 0^{\circ} < tan 4 5^{\circ} = 1

。只有 (D) 大於

1

，它最大。

比大小之前先把每一項化成單一個三角函數值，再跟

1

或特別角的值比較。

02多重選擇題（第 5～8 題）：象限判斷、圖形性質、疊合、絕對值函數

第 5 題答案 (B)(C)。

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ < 0

且

sin θ > 0

，所以

cos θ < 0

，

cos θ = - 1 - \frac{1}{9} = - \frac{2 2}{3}

。(A) 錯。(B) 對：

sin 2 θ = 2 \times \frac{1}{3} \times (- \frac{2 2}{3}) = - \frac{4 2}{9}

。(C) 對：

cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ = \frac{7}{9} > 0

，而

sin 2 θ < 0

，所以

tan 2 θ < 0

。(D) 錯：

cos 3 θ = cos 2 θ cos θ - sin 2 θ sin θ = \frac{7}{9} \times (- \frac{2 2}{3}) - (- \frac{4 2}{9}) \times \frac{1}{3} = - \frac{10 2}{27} < 0

。(E) 錯：

sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{3 + 2 2}{6}

，而

(\frac{2 3 - 6}{6})^{2} = \frac{18 - 12 2}{36} = \frac{3 - 2 2}{6}

，兩者不相等。

\frac{3 + 2 2}{6} = (\frac{2 3 + 6}{6})^{2}

，所以

sin \frac{θ}{2} = \pm \frac{2 3 + 6}{6}

，正負號要看

\frac{θ}{2}

落在哪個象限；(E) 的分子是相減，不論正負都不對。

第 6 題答案 (C)(D)(E)。(A) 錯：

f (2) = cos 4

，而

π < 4 < \frac{3 π}{2}

（約

3.14 < 4 < 4.71

），

4

弳在第三象限，

cos 4 < 0

。(B) 錯：

tan x

在

x = \frac{π}{2} + k π

（

k

為整數）沒有定義。(C) 對：

f (x)

的週期是

\frac{2 π}{2} = π

，

g (x)

的週期也是

π

。(D) 對：

y = tan x

的漸近線是

x = \frac{π}{2} + k π

，

x = \frac{π}{2}

是其中一條。(E) 對：

cos 2 x = sin (2 x + \frac{π}{2}) = sin (2 (x + \frac{π}{4}))

，

sin (2 x - 1) = sin (2 (x - \frac{1}{2}))

，把

f (x)

的圖形向右平移

\frac{π}{4} + \frac{1}{2}

單位就會重合。

兩個函數的

x

係數相同、振幅相同、上下位置相同時，才可能只靠平移重合。

第 7 題答案 (A)(B)。疊合：

f (x) = 5^{2} + (- 2)^{2} sin (x - ϕ) = 29 sin (x - ϕ)

，其中

cos ϕ = \frac{5}{29}

、

sin ϕ = \frac{2}{29}

。(A) 對：

f (0) = 5 \times 0 - 2 \times 1 = - 2

。(B) 對：

29 sin (x - ϕ)

的週期是

2 π

。(C) 錯：振幅是

29

。(D) 錯：

f (x)

的最大值是

29

，而

29 < 36 = 6

，圖形碰不到直線

y = 6

，沒有交點。(E) 錯：

f (\frac{π}{2}) = 5

、

f (- \frac{π}{2}) = - 5

，兩者不相等，圖形不對稱於

y

軸。

第 8 題答案 (B)(C)(D)(E)。

f (x) \geq 0

，先平方：

f (x)^{2} = sin^{2} x + cos^{2} x + 2∣ sin x cos x ∣ = 1 + ∣ sin 2 x ∣

。因為

0 \leq ∣ sin 2 x ∣ \leq 1

，所以

1 \leq f (x)^{2} \leq 2

，即

1 \leq f (x) \leq 2

。(A) 錯：最大值是

2

。(B) 對：

x = 0

時

f (0) = 1

。(C) 對：

f (- x) = ∣ - sin x ∣ + ∣ cos x ∣ = f (x)

，圖形對稱於

y

軸。(D) 對：

f (x) = 2

即

∣ sin 2 x ∣ = 1

，

2 x = \frac{π}{2} + k π

，在

[0, 2 π)

內是

x = \frac{π}{4}

、

\frac{3 π}{4}

、

\frac{5 π}{4}

、

\frac{7 π}{4}

，共

4

個。(E) 對：

f (x + \frac{π}{2}) = ∣ cos x ∣ + ∣ - sin x ∣ = f (x)

，所以

\frac{π}{2}

是週期；又

f (x) = 1

只發生在

sin 2 x = 0

，也就是

x = \frac{k π}{2}

，相鄰兩個最低點相距

\frac{π}{2}

，週期不可能更短。

sin x

與

cos x

不會同時是

\pm 1

，所以最大值到不了

2

。

含絕對值的正弦、餘弦相加，平方後用

sin^{2} x + cos^{2} x = 1

與倍角公式化成單一項，極值與週期一次看出來。

03填充 1、2（第 9～13 題）：三倍角、正切和角、差角、半角、倍角

第 9 題三倍角公式

sin 3 θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ

。原式

= 2 (3 sin 5 0^{\circ} - 4 sin^{3} 5 0^{\circ}) = 2 sin 15 0^{\circ} = 2 \times \frac{1}{2} = 1

。

三倍角公式可由

sin (2 θ + θ)

展開，再用

cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ

整理得到。

第 10 題這正是正切和角公式的右邊：原式

= tan (1 2^{\circ} + 1 8^{\circ}) = tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}

。

第 11 題

α

在第二象限，

cos α = - 1 - \frac{25}{169} = - \frac{12}{13}

；

β

在第三象限，

cos β = - 1 - \frac{64}{289} = - \frac{15}{17}

。

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β = (- \frac{12}{13}) (- \frac{15}{17}) + \frac{5}{13} \times (- \frac{8}{17}) = \frac{180 - 40}{221} = \frac{140}{221}

。

第 12 題

\frac{π}{4} < \frac{α}{2} < \frac{π}{2}

，所以

tan \frac{α}{2} > 0

。由半角公式

tan^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 - cos α}{1 + cos α} = \frac{1 + \frac{12}{13}}{1 - \frac{12}{13}} = 25

，得

tan \frac{α}{2} = 5

。

也可以用

tan \frac{α}{2} = \frac{sin α}{1 + cos α} = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{1}{13}} = 5

，不必另外判斷正負。

第 13 題

sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 \times \frac{5}{13} \times (- \frac{12}{13}) = - \frac{120}{169}

。

已知一個三角函數值時，先由象限定出另一個的正負號，後面的和差角、倍角、半角才不會差一個負號。

04填充 3～6（第 14～17 題）：和差角聯立、直線夾角、三倍角方程式、三角形內角

第 14 題展開：

cos x cos y - sin x sin y = \frac{2}{5}

，

cos x cos y + sin x sin y = \frac{3}{5}

。兩式相加除以

2

得

cos x cos y = \frac{1}{2}

，相減除以

2

得

sin x sin y = \frac{1}{10}

。所以

tan x \cdot tan y = \frac{sin x sin y}{cos x cos y} = \frac{1}{10} \div \frac{1}{2} = \frac{1}{5}

。

第 15 題

L_{1}

的斜率是

2

，

L_{2}

的斜率是

- \frac{1}{3}

。設兩直線的斜角分別是

α

、

β

，則

tan (α - β) = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β} = \frac{2 + \frac{1}{3}}{1 - \frac{2}{3}} = 7

。正切值為正，這個角就是銳夾角，

tan θ = 7

。對應直角三角形的鄰邊

1

、對邊

7

、斜邊

50 = 52

，所以

cos θ = \frac{1}{5 2} = \frac{2}{10}

。

若算出的正切值是負的，表示得到的是鈍夾角，銳夾角的正切取它的絕對值。

第 16 題用三倍角公式

cos 3 x = 4 cos^{3} x - 3 cos x

：原式化為

4 cos^{3} x - 2 cos x = 0

，即

2 cos x (2 cos^{2} x - 1) = 0

，所以

cos x = 0

或

cos x = \pm \frac{2}{2}

。在

0 \leq x < π

內：

cos x = 0

得

x = \frac{π}{2}

；

cos x = \frac{2}{2}

得

x = \frac{π}{4}

；

cos x = - \frac{2}{2}

得

x = \frac{3 π}{4}

。

cos x = 0

這個解不要在約分時丟掉：提出公因式，不要把兩邊同除以

cos x

。

第 17 題

cos A < 0

，

A

是鈍角，

sin A = \frac{12}{13}

，

tan A = - \frac{12}{5}

。三角形最多一個鈍角，所以

B

是銳角，

cos B = \frac{3}{5}

，

tan B = \frac{4}{3}

。

C = 18 0^{\circ} - (A + B)

，所以

tan C = - tan (A + B) = - \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B} = - \frac{- \frac{12}{5} + \frac{4}{3}}{1 + \frac{12}{5} \times \frac{4}{3}} = - \frac{- \frac{16}{15}}{\frac{63}{15}} = \frac{16}{63}

。

sin B = \frac{4}{5}

本來有銳角、鈍角兩種可能，因為

A

已經是鈍角，

B

只能是銳角。

和角與差角的式子成對出現時，相加、相減就能分別得到「餘弦乘積」與「正弦乘積」。

05填充 7～9（第 18～20 題）：扇形面積、疊合解方程式、圖形的伸縮平移

第 18 題以

A

為圓心的弧與兩邊

\overline{A B}

、

\overline{A D}

圍成一個四分之一圓（圓心角

\frac{π}{2}

的扇形），面積是

\frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{π}{2} = 9 π

；以

C

為圓心的也一樣。兩個扇形合起來蓋滿整個正方形，其中葉形區域被蓋了兩次，所以葉形面積

= 9 π + 9 π - 6^{2} = 18 π - 36

。

也可以沿對角線

\overline{B D}

切成兩個弓形：每個弓形是扇形

9 π

減去直角三角形

\frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18

，兩個共

2 (9 π - 18) = 18 π - 36

。

第 19 題左邊疊合：

sin θ + cos θ = 2 sin (θ + 4 5^{\circ})

。右邊

cos 11 4^{\circ} = sin (9 0^{\circ} - 11 4^{\circ}) = sin (- 2 4^{\circ})

。方程式化為

sin (θ + 4 5^{\circ}) = sin (- 2 4^{\circ}) = - sin 2 4^{\circ}

。由

13 5^{\circ} \leq θ \leq 22 5^{\circ}

得

18 0^{\circ} \leq θ + 4 5^{\circ} \leq 27 0^{\circ}

，在第三象限，而

sin (18 0^{\circ} + 2 4^{\circ}) = - sin 2 4^{\circ}

，所以

θ + 4 5^{\circ} = 20 4^{\circ}

，

θ = 15 9^{\circ}

。

正弦值等於

- sin 2 4^{\circ}

的角在一圈內有

20 4^{\circ}

與

33 6^{\circ}

兩個，只有

20 4^{\circ}

落在

18 0^{\circ}

到

27 0^{\circ}

之間。

第 20 題水平伸縮

2

倍：圖形上每一點的

x

坐標變成

2

倍，式子裡把

x

換成

\frac{x}{2}

，得

y = sin \frac{x}{2}

。向左移動

1

單位：把

x

換成

x + 1

，得

y = sin \frac{x + 1}{2} = sin (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2})

。向下平移

1

單位：

g (x) = sin (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2}) - 1

。所以

(a, b, c, d) = (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, - 1)

，符合

0 < c < 4

。

流傳版本的參考答案同時列出

(1, 2, 2, - 1)

與

(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, - 1)

兩組；前者是把「水平伸縮

2

倍」讀成把

x

換成

2 x

（圖形其實是壓成一半）得到的

sin (2 x + 2) - 1

。本站依「

x

坐標變成

2

倍」取後者。先伸縮再平移時，平移是對

x

本身加

1

，所以

c

是

\frac{1}{2}

不是

1

。

對圖形做水平的伸縮或平移，都是「只對

x

本身代換」；順序不同，括號裡的常數就不同。

06計算題（第 21 題）：展開後疊合

第 21 題(1) 用餘弦和角公式：

cos (x + \frac{π}{6}) = cos x cos \frac{π}{6} - sin x sin \frac{π}{6} = \frac{3}{2} cos x - \frac{1}{2} sin x

。所以

f (x) = 4 sin x + 3 cos x - sin x = 3 sin x + 3 cos x

。(2)

3^{2} + (3)^{2} = 12 = 23

，提出來：

f (x) = 23 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = 23 (sin x cos \frac{π}{6} + cos x sin \frac{π}{6}) = 23 sin (x + \frac{π}{6})

，即

a = 23

、

θ = \frac{π}{6}

，符合

a > 0

、

0 < θ < \frac{π}{2}

。(3)

tan θ = tan \frac{π}{6} = \frac{3}{3}

。

疊合

p sin x + q cos x

時，

tan θ = \frac{q}{p}

；這裡是

\frac{3}{3}

，與 (3) 一致。

裡面帶著和角的式子先展開、把

sin x

與

cos x

各自合併，再疊合成單一正弦。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

前鎮高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

前鎮高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 1 題要分清楚哪些角是度、哪些是弳；多選第 1 題（本頁第 5 題）要先由倍角的正負判斷餘弦為負，半角那個選項的分子正負號不對；多選第 4 題（第 8 題）平方後才看得出最大值與週期；填充第 9 題（第 20 題）先伸縮再平移，括號裡的常數容易寫錯。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自前鎮高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

前鎮高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 21 題，照原卷順序

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每一題，錯在哪一步

01單選題（第 1～4 題）：弧度估值、公式辨識、圖形性質、化簡比大小

02多重選擇題（第 5～8 題）：象限判斷、圖形性質、疊合、絕對值函數

03填充 1、2（第 9～13 題）：三倍角、正切和角、差角、半角、倍角

04填充 3～6（第 14～17 題）：和差角聯立、直線夾角、三倍角方程式、三角形內角

05填充 7～9（第 18～20 題）：扇形面積、疊合解方程式、圖形的伸縮平移

06計算題（第 21 題）：展開後疊合

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前鎮高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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