段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形與週期、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

高雄中正高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

多選題 2 題、填充題 11 題、計算題 2 題，共 15 題；流傳版本未印配分

一、多選題

下列選項何者正確？

(1) $sin π > sin π^{\circ}$
(2) $cos π > cos π^{\circ}$
(3) $cos π^{\circ} > sin π^{\circ}$
(4) $tan π > tan π^{\circ}$
(5) $sin \frac{3}{2} > \frac{3}{2}$

下列選項何者正確？

(1) 函數 $y = sin 2 x$ 的週期是 $4 π$
(2) 函數 $y = ∣ sin x ∣$ 的週期是 $π$
(3) 兩函數 $y = sin x + 1$ 與 $y = 0.5 \cdot sin x$ 的週期相同
(4) 函數 $y = 1 + 2 sin 2 x$ 的最大值為 $3$ 、最小值為 $- 1$
(5) 將函數 $y = sin x$ 的圖形向左移 $\frac{π}{3}$ 單位，會與 $y = sin (x - \frac{π}{3})$ 的函數圖形重合

二、填充題（流傳版本題號 1～11，本頁接續編為第 3～13 題）

若三角形的三內角比為

3 : 4 : 5

，試問此三角形的最大角是多少弳？

求

cos^{2} 22. 5^{\circ}

的值。

一直圓錐底圓半徑為

2

公分，高為

5

公分，將側面沿斜高

R

剪開成一扇形，求此扇形的圓心角為多少弳？

載入中...

試比較下列三數的大小：

a = 2 sin 2 0^{\circ} cos 2 0^{\circ}

，

b = cos^{2} 5 5^{\circ} - sin^{2} 5 5^{\circ}

，

c = \frac{2 tan 2 5 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 2 5 ^{\circ}}

。

求

42 sin 4 4^{\circ} + 42 cos 4 4^{\circ}

最接近的整數。

右圖是函數

y = f (x) = a sin k x + b

在某一個週期內的圖形，其中

a

、

k

、

b

是常數，且

a > 0

、

k > 0

，求序組

(a, k, b)

。

載入中...

求

\frac{1}{sin 1 0 ^{\circ}} - \frac{3}{cos 1 0 ^{\circ}}

的值。

求方程式

sin x = \frac{x}{12}

的實數解個數。

函數

f (x) = 3 sin x - 33 cos x

，且

0 \leq x \leq 2 π

，當

x = α

（弳）時，

f (x)

有最小值

- 6

，求

α

的值。

若

sin θ

為方程式

6 x^{2} - 7 x - 5 = 0

之一解，則

cos 2 θ =

？

設

a

、

b

是實數且

a > b

，若

a sin x + b cos x

的最小值為

- 5

，且

a + b = 7

，求數對

(a, b)

。

三、計算題（流傳版本題號 1～2，本頁接續編為第 14～15 題）

某動物園貓熊館打造一個圓形摩天輪，當摩天輪開始運轉時，在摩天輪的圓仔恰坐在離地面最近的位置上，

x

分鐘後，圓仔離地的高度

y

（單位：公尺）可表為

y = 5 sin (\frac{2 π}{25} x - \frac{π}{2}) + 6

，試問：(1) 摩天輪轉一圈需幾分鐘？　(2) 圓仔離地最高的高度是幾公尺？

已知

α

、

β

均為銳角，

sin α = \frac{4}{5}

，

cos β = \frac{5}{13}

，試問：(1)

sin (α + β)

　(2)

cos (α + β)

　(3)

α + β

為第幾象限角？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(2)(3)(4)

第 3 題

\frac{5 π}{12}

第 4 題

\frac{2 + 2}{4}

第 5 題

\frac{4 π}{3}

第 6 題

c > a > b

第 7 題

8

第 8 題

(2, 3, 1)

第 9 題

4

第 10 題

7

第 11 題

\frac{11 π}{6}

第 12 題

\frac{1}{2}

第 13 題

(4, 3)

第 14 題(1)

25

分鐘　(2)

11

公尺

第 15 題(1)

\frac{56}{65}

　(2)

- \frac{33}{65}

　(3) 第二象限角

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01多選題（第 1、2 題）：弧度與度、週期與圖形

第 1 題答案 (3)。沒有寫「

^{\circ}

」的角是弧度：

π

弧度是

18 0^{\circ}

，所以

sin π = 0

、

cos π = - 1

、

tan π = 0

。

π^{\circ}

約

3.1 4^{\circ}

，是很小的第一象限角，

sin π^{\circ}

、

cos π^{\circ}

、

tan π^{\circ}

都是正的。(1) 錯：

0 > sin π^{\circ}

不成立。(2) 錯：

- 1 > cos π^{\circ}

不成立。(3) 對：角度在

0^{\circ}

到

4 5^{\circ}

之間時餘弦比正弦大。(4) 錯：

0 > tan π^{\circ}

不成立。(5) 錯：

\frac{3}{2}

在這裡是弧度（約

0.87

），而

0 < x < \frac{π}{2}

時

sin x < x

，所以

sin \frac{3}{2} < \frac{3}{2}

。

(5) 不是

sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

；

sin x < x

可以在單位圓上看：圓心角

x

弧度所對的弧長是

x

，

sin x

是弧的端點到

x

軸的垂直距離，比弧短。

第 2 題答案 (2)(3)(4)。(1) 錯：

y = sin 2 x

的週期是

\frac{2 π}{2} = π

。(2) 對：

∣ sin (x + π) ∣ = ∣ - sin x ∣ = ∣ sin x ∣

，把

y = sin x

在

x

軸下方的部分往上翻，圖形每隔

π

重複一次。(3) 對：上下平移和鉛直伸縮都不改變週期，兩個函數的週期都是

2 π

。(4) 對：

- 1 \leq sin 2 x \leq 1

，所以

- 1 \leq 1 + 2 sin 2 x \leq 3

，兩端都取得到。(5) 錯：向左移

\frac{π}{3}

是把

x

換成

x + \frac{π}{3}

，得到

y = sin (x + \frac{π}{3})

；

y = sin (x - \frac{π}{3})

是向右移

\frac{π}{3}

。

x

的係數會改變週期，加在函數外面的常數和乘在外面的倍數都不會。

02填充 1～4（第 3～6 題）：弧度、半角、扇形、二倍角

第 3 題三內角和是

π

弧度，依

3 : 4 : 5

分成

12

份，最大角佔

5

份：

π \times \frac{5}{12} = \frac{5 π}{12}

。

用度來算是

18 0^{\circ} \times \frac{5}{12} = 7 5^{\circ}

，再乘

\frac{π}{180}

換成弧度，結果相同。

第 4 題

22. 5^{\circ}

是

4 5^{\circ}

的一半。由半角公式

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2}

，取

θ = 4 5^{\circ}

：

cos^{2} 22. 5^{\circ} = \frac{1 + \frac{2}{2}}{2} = \frac{2 + 2}{4}

。

題目問的是平方，不必再開根號。

第 5 題斜高

R = 2^{2} + (5)^{2} = 9 = 3

。側面展開成的扇形，半徑是斜高

3

，弧長等於底圓周長

2 π \times 2 = 4 π

。由弧長

=

半徑

\times

圓心角（弧度），圓心角

= \frac{4 π}{3}

。

扇形的半徑是斜高，不是圓錐的高，也不是底圓半徑。

第 6 題三個數都是二倍角公式的樣子。

a = 2 sin 2 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} = sin 4 0^{\circ}

，介於

0

與

1

之間。

b = cos^{2} 5 5^{\circ} - sin^{2} 5 5^{\circ} = cos 11 0^{\circ}

，

11 0^{\circ}

是第二象限角，

b < 0

。

c = \frac{2 tan 2 5 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 2 5 ^{\circ}} = tan 5 0^{\circ}

，比

tan 4 5^{\circ} = 1

大。所以

c > 1 > a > 0 > b

，即

c > a > b

。

不必算出近似值，只要分別和

0

、

1

比就能排出順序。

03填充 5～8（第 7～10 題）：疊合估值、讀圖定係數、化簡、數交點

第 7 題提出

42

再疊合：

sin 4 4^{\circ} + cos 4 4^{\circ} = 2 (sin 4 4^{\circ} cos 4 5^{\circ} + cos 4 4^{\circ} sin 4 5^{\circ}) = 2 sin 8 9^{\circ}

，所以原式

= 42 \times 2 sin 8 9^{\circ} = 8 sin 8 9^{\circ}

。

sin 8 9^{\circ}

比

1

小一點點（約

0.9998

），原式約

7.999

，最接近的整數是

8

。

只要確定值在

7.5

與

8

之間即可：

sin 8 9^{\circ} > sin 7 5^{\circ} \approx 0.966

，所以

8 sin 8 9^{\circ} > 7.7

。

第 8 題由圖，最大值

3

、最小值

- 1

。

a > 0

時最大值是

a + b

、最小值是

- a + b

：

a + b = 3

、

- a + b = - 1

，解得

a = 2

、

b = 1

。最高點在

x = \frac{π}{6}

，最低點在

x = \frac{π}{2}

，相鄰的最高點到最低點是半個週期：

\frac{π}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

，所以週期是

\frac{2 π}{3}

，

k = \frac{2 π}{\frac{2 π}{3}} = 3

。得

(a, k, b) = (2, 3, 1)

。

檢查：

f (x) = 2 sin 3 x + 1

，

f (0) = 1

、

f (\frac{π}{6}) = 2 sin \frac{π}{2} + 1 = 3

、

f (\frac{π}{2}) = 2 sin \frac{3 π}{2} + 1 = - 1

，與圖相符；圖上從

0

到

\frac{2 π}{3}

剛好一個週期。

第 9 題通分：原式

= \frac{cos 1 0 ^{\circ} - 3 sin 1 0 ^{\circ}}{sin 1 0 ^{\circ} cos 1 0 ^{\circ}}

。分子

= 2 (\frac{1}{2} cos 1 0^{\circ} - \frac{3}{2} sin 1 0^{\circ}) = 2 (sin 3 0^{\circ} cos 1 0^{\circ} - cos 3 0^{\circ} sin 1 0^{\circ}) = 2 sin 2 0^{\circ}

。分母

= \frac{1}{2} sin 2 0^{\circ}

。所以原式

= \frac{2 sin 2 0 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 2 0 ^{\circ}} = 4

。

分子用差角公式（疊合），分母用二倍角公式，兩邊都湊出

sin 2 0^{\circ}

就能約掉。

第 10 題數

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{12}

的交點。

x = 0

是一個解。因為

- 1 \leq sin x \leq 1

，只需看

- 12 \leq x \leq 12

；而

3 π \approx 9.42 < 12 < 4 π \approx 12.57

。

x > 0

時直線在

x

軸上方，只可能在正弦為正的區間相交：在

(0, π)

，原點附近

sin x

比

\frac{x}{12}

大，到

x = π

時

sin x = 0

比直線小，交

1

點；在

(2 π, 3 π)

，直線的值在

0.52

到

0.79

之間，低於峰頂

1

，交

2

點；下一個正的區間從

4 π

開始，那裡直線的值已超過

1

，沒有交點。所以

x > 0

有

3

個解。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

3

個解。合計

3 + 3 + 1 = 7

個。

x = 0

只能算一次；也要確認

12

落在

3 π

與

4 π

之間，才知道第三個峰碰不到直線。

04填充 9～11（第 11～13 題）：疊合求極值、二倍角

第 11 題

3^{2} + (33)^{2} = 6

，

f (x) = 6 (\frac{1}{2} sin x - \frac{3}{2} cos x) = 6 (sin x cos \frac{π}{3} - cos x sin \frac{π}{3}) = 6 sin (x - \frac{π}{3})

。最小值

- 6

發生在

sin (x - \frac{π}{3}) = - 1

。

0 \leq x \leq 2 π

時

- \frac{π}{3} \leq x - \frac{π}{3} \leq \frac{5 π}{3}

，這個範圍內只有

x - \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}

，所以

α = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{3} = \frac{11 π}{6}

。

驗算：

f (\frac{11 π}{6}) = 3 \times (- \frac{1}{2}) - 33 \times \frac{3}{2} = - \frac{3}{2} - \frac{9}{2} = - 6

。

第 12 題

6 x^{2} - 7 x - 5 = (3 x - 5) (2 x + 1) = 0

，

x = \frac{5}{3}

或

x = - \frac{1}{2}

。正弦值介於

- 1

與

1

之間，

\frac{5}{3}

不合，所以

sin θ = - \frac{1}{2}

。由二倍角公式

cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ = 1 - 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

。

兩個根要先用

- 1 \leq sin θ \leq 1

篩掉一個。

第 13 題

a sin x + b cos x

疊合後是

a^{2} + b^{2} sin (x + φ)

，最小值是

- a^{2} + b^{2}

，所以

a^{2} + b^{2} = 25

。又

a + b = 7

，

(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab

，得

49 = 25 + 2 ab

，

ab = 12

。和為

7

、積為

12

的兩數是

t^{2} - 7 t + 12 = 0

的兩根

3

、

4

。因為

a > b

，

(a, b) = (4, 3)

。

x

沒有範圍限制，所以最小值一定是

- a^{2} + b^{2}

。

05計算題（第 14、15 題）：摩天輪、和角公式

第 14 題(1) 轉一圈就是函數的一個週期：

\frac{2 π}{\frac{2 π}{25}} = 25

（分鐘）。(2) 正弦值最大是

1

，所以

y

最大是

5 \times 1 + 6 = 11

（公尺）；這發生在

\frac{2 π}{25} x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2}

，即

x = 12.5

分鐘，剛好轉了半圈。

可以對照題意：

x = 0

時

y = 5 sin (- \frac{π}{2}) + 6 = 1

，是最低點，與「恰坐在離地面最近的位置」相符；摩天輪的半徑是

5

公尺，圓心離地

6

公尺。

第 15 題

α

、

β

是銳角，正弦、餘弦都為正：

cos α = 1 - (\frac{4}{5})^{2} = \frac{3}{5}

，

sin β = 1 - (\frac{5}{13})^{2} = \frac{12}{13}

。(1)

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β = \frac{4}{5} \times \frac{5}{13} + \frac{3}{5} \times \frac{12}{13} = \frac{20 + 36}{65} = \frac{56}{65}

。(2)

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = \frac{3}{5} \times \frac{5}{13} - \frac{4}{5} \times \frac{12}{13} = \frac{15 - 48}{65} = - \frac{33}{65}

。(3)

sin (α + β) > 0

且

cos (α + β) < 0

，所以

α + β

是第二象限角。

(3) 也可以這樣看：兩個銳角相加在

0

與

π

之間，餘弦為負就表示超過

\frac{π}{2}

。驗算：

(\frac{56}{65})^{2} + (\frac{33}{65})^{2} = \frac{3136 + 1089}{4225} = 1

。

看到

a sin x + b cos x

就先疊合成單一正弦；看到

2 sin θ cos θ

、

cos^{2} θ - sin^{2} θ

、

\frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ}

就想到二倍角。

同一次段考的其他學校

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多選第 1 題的第 5 個選項，根號三除以二是弧度不是六十度的正弦值；填充第 7 題（本頁第 9 題）要通分後分子用差角、分母用二倍角；填充第 8 題（第 10 題）數交點時原點只算一次，還要確認第三個峰碰不到直線；填充第 9 題（第 11 題）疊合後要用角度範圍找出最小值發生的位置。詳解逐題寫在本頁。

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御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形與週期、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

多選題 2 題、填充題 11 題、計算題 2 題，共 15 題；流傳版本未印配分

一、多選題

下列選項何者正確？

(1) $sin π > sin π^{\circ}$
(2) $cos π > cos π^{\circ}$
(3) $cos π^{\circ} > sin π^{\circ}$
(4) $tan π > tan π^{\circ}$
(5) $sin \frac{3}{2} > \frac{3}{2}$

下列選項何者正確？

(1) 函數 $y = sin 2 x$ 的週期是 $4 π$
(2) 函數 $y = ∣ sin x ∣$ 的週期是 $π$
(3) 兩函數 $y = sin x + 1$ 與 $y = 0.5 \cdot sin x$ 的週期相同
(4) 函數 $y = 1 + 2 sin 2 x$ 的最大值為 $3$ 、最小值為 $- 1$
(5) 將函數 $y = sin x$ 的圖形向左移 $\frac{π}{3}$ 單位，會與 $y = sin (x - \frac{π}{3})$ 的函數圖形重合

二、填充題（流傳版本題號 1～11，本頁接續編為第 3～13 題）

若三角形的三內角比為

3 : 4 : 5

，試問此三角形的最大角是多少弳？

求

cos^{2} 22. 5^{\circ}

的值。

一直圓錐底圓半徑為

2

公分，高為

5

公分，將側面沿斜高

R

剪開成一扇形，求此扇形的圓心角為多少弳？

載入中...

試比較下列三數的大小：

a = 2 sin 2 0^{\circ} cos 2 0^{\circ}

，

b = cos^{2} 5 5^{\circ} - sin^{2} 5 5^{\circ}

，

c = \frac{2 tan 2 5 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 2 5 ^{\circ}}

。

求

42 sin 4 4^{\circ} + 42 cos 4 4^{\circ}

最接近的整數。

右圖是函數

y = f (x) = a sin k x + b

在某一個週期內的圖形，其中

a

、

k

、

b

是常數，且

a > 0

、

k > 0

，求序組

(a, k, b)

。

載入中...

求

\frac{1}{sin 1 0 ^{\circ}} - \frac{3}{cos 1 0 ^{\circ}}

的值。

求方程式

sin x = \frac{x}{12}

的實數解個數。

函數

f (x) = 3 sin x - 33 cos x

，且

0 \leq x \leq 2 π

，當

x = α

（弳）時，

f (x)

有最小值

- 6

，求

α

的值。

若

sin θ

為方程式

6 x^{2} - 7 x - 5 = 0

之一解，則

cos 2 θ =

？

設

a

、

b

是實數且

a > b

，若

a sin x + b cos x

的最小值為

- 5

，且

a + b = 7

，求數對

(a, b)

。

三、計算題（流傳版本題號 1～2，本頁接續編為第 14～15 題）

某動物園貓熊館打造一個圓形摩天輪，當摩天輪開始運轉時，在摩天輪的圓仔恰坐在離地面最近的位置上，

x

分鐘後，圓仔離地的高度

y

（單位：公尺）可表為

y = 5 sin (\frac{2 π}{25} x - \frac{π}{2}) + 6

，試問：(1) 摩天輪轉一圈需幾分鐘？　(2) 圓仔離地最高的高度是幾公尺？

已知

α

、

β

均為銳角，

sin α = \frac{4}{5}

，

cos β = \frac{5}{13}

，試問：(1)

sin (α + β)

　(2)

cos (α + β)

　(3)

α + β

為第幾象限角？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(2)(3)(4)

第 3 題

\frac{5 π}{12}

第 4 題

\frac{2 + 2}{4}

第 5 題

\frac{4 π}{3}

第 6 題

c > a > b

第 7 題

8

第 8 題

(2, 3, 1)

第 9 題

4

第 10 題

7

第 11 題

\frac{11 π}{6}

第 12 題

\frac{1}{2}

第 13 題

(4, 3)

第 14 題(1)

25

分鐘　(2)

11

公尺

第 15 題(1)

\frac{56}{65}

　(2)

- \frac{33}{65}

　(3) 第二象限角

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題（第 1、2 題）：弧度與度、週期與圖形

第 1 題答案 (3)。沒有寫「

^{\circ}

」的角是弧度：

π

弧度是

18 0^{\circ}

，所以

sin π = 0

、

cos π = - 1

、

tan π = 0

。

π^{\circ}

約

3.1 4^{\circ}

，是很小的第一象限角，

sin π^{\circ}

、

cos π^{\circ}

、

tan π^{\circ}

都是正的。(1) 錯：

0 > sin π^{\circ}

不成立。(2) 錯：

- 1 > cos π^{\circ}

不成立。(3) 對：角度在

0^{\circ}

到

4 5^{\circ}

之間時餘弦比正弦大。(4) 錯：

0 > tan π^{\circ}

不成立。(5) 錯：

\frac{3}{2}

在這裡是弧度（約

0.87

），而

0 < x < \frac{π}{2}

時

sin x < x

，所以

sin \frac{3}{2} < \frac{3}{2}

。

(5) 不是

sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

；

sin x < x

可以在單位圓上看：圓心角

x

弧度所對的弧長是

x

，

sin x

是弧的端點到

x

軸的垂直距離，比弧短。

第 2 題答案 (2)(3)(4)。(1) 錯：

y = sin 2 x

的週期是

\frac{2 π}{2} = π

。(2) 對：

∣ sin (x + π) ∣ = ∣ - sin x ∣ = ∣ sin x ∣

，把

y = sin x

在

x

軸下方的部分往上翻，圖形每隔

π

重複一次。(3) 對：上下平移和鉛直伸縮都不改變週期，兩個函數的週期都是

2 π

。(4) 對：

- 1 \leq sin 2 x \leq 1

，所以

- 1 \leq 1 + 2 sin 2 x \leq 3

，兩端都取得到。(5) 錯：向左移

\frac{π}{3}

是把

x

換成

x + \frac{π}{3}

，得到

y = sin (x + \frac{π}{3})

；

y = sin (x - \frac{π}{3})

是向右移

\frac{π}{3}

。

x

的係數會改變週期，加在函數外面的常數和乘在外面的倍數都不會。

02填充 1～4（第 3～6 題）：弧度、半角、扇形、二倍角

第 3 題三內角和是

π

弧度，依

3 : 4 : 5

分成

12

份，最大角佔

5

份：

π \times \frac{5}{12} = \frac{5 π}{12}

。

用度來算是

18 0^{\circ} \times \frac{5}{12} = 7 5^{\circ}

，再乘

\frac{π}{180}

換成弧度，結果相同。

第 4 題

22. 5^{\circ}

是

4 5^{\circ}

的一半。由半角公式

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2}

，取

θ = 4 5^{\circ}

：

cos^{2} 22. 5^{\circ} = \frac{1 + \frac{2}{2}}{2} = \frac{2 + 2}{4}

。

題目問的是平方，不必再開根號。

第 5 題斜高

R = 2^{2} + (5)^{2} = 9 = 3

。側面展開成的扇形，半徑是斜高

3

，弧長等於底圓周長

2 π \times 2 = 4 π

。由弧長

=

半徑

\times

圓心角（弧度），圓心角

= \frac{4 π}{3}

。

扇形的半徑是斜高，不是圓錐的高，也不是底圓半徑。

第 6 題三個數都是二倍角公式的樣子。

a = 2 sin 2 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} = sin 4 0^{\circ}

，介於

0

與

1

之間。

b = cos^{2} 5 5^{\circ} - sin^{2} 5 5^{\circ} = cos 11 0^{\circ}

，

11 0^{\circ}

是第二象限角，

b < 0

。

c = \frac{2 tan 2 5 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 2 5 ^{\circ}} = tan 5 0^{\circ}

，比

tan 4 5^{\circ} = 1

大。所以

c > 1 > a > 0 > b

，即

c > a > b

。

不必算出近似值，只要分別和

0

、

1

比就能排出順序。

03填充 5～8（第 7～10 題）：疊合估值、讀圖定係數、化簡、數交點

第 7 題提出

42

再疊合：

sin 4 4^{\circ} + cos 4 4^{\circ} = 2 (sin 4 4^{\circ} cos 4 5^{\circ} + cos 4 4^{\circ} sin 4 5^{\circ}) = 2 sin 8 9^{\circ}

，所以原式

= 42 \times 2 sin 8 9^{\circ} = 8 sin 8 9^{\circ}

。

sin 8 9^{\circ}

比

1

小一點點（約

0.9998

），原式約

7.999

，最接近的整數是

8

。

只要確定值在

7.5

與

8

之間即可：

sin 8 9^{\circ} > sin 7 5^{\circ} \approx 0.966

，所以

8 sin 8 9^{\circ} > 7.7

。

第 8 題由圖，最大值

3

、最小值

- 1

。

a > 0

時最大值是

a + b

、最小值是

- a + b

：

a + b = 3

、

- a + b = - 1

，解得

a = 2

、

b = 1

。最高點在

x = \frac{π}{6}

，最低點在

x = \frac{π}{2}

，相鄰的最高點到最低點是半個週期：

\frac{π}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

，所以週期是

\frac{2 π}{3}

，

k = \frac{2 π}{\frac{2 π}{3}} = 3

。得

(a, k, b) = (2, 3, 1)

。

檢查：

f (x) = 2 sin 3 x + 1

，

f (0) = 1

、

f (\frac{π}{6}) = 2 sin \frac{π}{2} + 1 = 3

、

f (\frac{π}{2}) = 2 sin \frac{3 π}{2} + 1 = - 1

，與圖相符；圖上從

0

到

\frac{2 π}{3}

剛好一個週期。

第 9 題通分：原式

= \frac{cos 1 0 ^{\circ} - 3 sin 1 0 ^{\circ}}{sin 1 0 ^{\circ} cos 1 0 ^{\circ}}

。分子

= 2 (\frac{1}{2} cos 1 0^{\circ} - \frac{3}{2} sin 1 0^{\circ}) = 2 (sin 3 0^{\circ} cos 1 0^{\circ} - cos 3 0^{\circ} sin 1 0^{\circ}) = 2 sin 2 0^{\circ}

。分母

= \frac{1}{2} sin 2 0^{\circ}

。所以原式

= \frac{2 sin 2 0 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 2 0 ^{\circ}} = 4

。

分子用差角公式（疊合），分母用二倍角公式，兩邊都湊出

sin 2 0^{\circ}

就能約掉。

第 10 題數

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{12}

的交點。

x = 0

是一個解。因為

- 1 \leq sin x \leq 1

，只需看

- 12 \leq x \leq 12

；而

3 π \approx 9.42 < 12 < 4 π \approx 12.57

。

x > 0

時直線在

x

軸上方，只可能在正弦為正的區間相交：在

(0, π)

，原點附近

sin x

比

\frac{x}{12}

大，到

x = π

時

sin x = 0

比直線小，交

1

點；在

(2 π, 3 π)

，直線的值在

0.52

到

0.79

之間，低於峰頂

1

，交

2

點；下一個正的區間從

4 π

開始，那裡直線的值已超過

1

，沒有交點。所以

x > 0

有

3

個解。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

3

個解。合計

3 + 3 + 1 = 7

個。

x = 0

只能算一次；也要確認

12

落在

3 π

與

4 π

之間，才知道第三個峰碰不到直線。

04填充 9～11（第 11～13 題）：疊合求極值、二倍角

第 11 題

3^{2} + (33)^{2} = 6

，

f (x) = 6 (\frac{1}{2} sin x - \frac{3}{2} cos x) = 6 (sin x cos \frac{π}{3} - cos x sin \frac{π}{3}) = 6 sin (x - \frac{π}{3})

。最小值

- 6

發生在

sin (x - \frac{π}{3}) = - 1

。

0 \leq x \leq 2 π

時

- \frac{π}{3} \leq x - \frac{π}{3} \leq \frac{5 π}{3}

，這個範圍內只有

x - \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}

，所以

α = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{3} = \frac{11 π}{6}

。

驗算：

f (\frac{11 π}{6}) = 3 \times (- \frac{1}{2}) - 33 \times \frac{3}{2} = - \frac{3}{2} - \frac{9}{2} = - 6

。

第 12 題

6 x^{2} - 7 x - 5 = (3 x - 5) (2 x + 1) = 0

，

x = \frac{5}{3}

或

x = - \frac{1}{2}

。正弦值介於

- 1

與

1

之間，

\frac{5}{3}

不合，所以

sin θ = - \frac{1}{2}

。由二倍角公式

cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ = 1 - 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

。

兩個根要先用

- 1 \leq sin θ \leq 1

篩掉一個。

第 13 題

a sin x + b cos x

疊合後是

a^{2} + b^{2} sin (x + φ)

，最小值是

- a^{2} + b^{2}

，所以

a^{2} + b^{2} = 25

。又

a + b = 7

，

(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab

，得

49 = 25 + 2 ab

，

ab = 12

。和為

7

、積為

12

的兩數是

t^{2} - 7 t + 12 = 0

的兩根

3

、

4

。因為

a > b

，

(a, b) = (4, 3)

。

x

沒有範圍限制，所以最小值一定是

- a^{2} + b^{2}

。

05計算題（第 14、15 題）：摩天輪、和角公式

第 14 題(1) 轉一圈就是函數的一個週期：

\frac{2 π}{\frac{2 π}{25}} = 25

（分鐘）。(2) 正弦值最大是

1

，所以

y

最大是

5 \times 1 + 6 = 11

（公尺）；這發生在

\frac{2 π}{25} x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2}

，即

x = 12.5

分鐘，剛好轉了半圈。

可以對照題意：

x = 0

時

y = 5 sin (- \frac{π}{2}) + 6 = 1

，是最低點，與「恰坐在離地面最近的位置」相符；摩天輪的半徑是

5

公尺，圓心離地

6

公尺。

第 15 題

α

、

β

是銳角，正弦、餘弦都為正：

cos α = 1 - (\frac{4}{5})^{2} = \frac{3}{5}

，

sin β = 1 - (\frac{5}{13})^{2} = \frac{12}{13}

。(1)

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β = \frac{4}{5} \times \frac{5}{13} + \frac{3}{5} \times \frac{12}{13} = \frac{20 + 36}{65} = \frac{56}{65}

。(2)

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = \frac{3}{5} \times \frac{5}{13} - \frac{4}{5} \times \frac{12}{13} = \frac{15 - 48}{65} = - \frac{33}{65}

。(3)

sin (α + β) > 0

且

cos (α + β) < 0

，所以

α + β

是第二象限角。

(3) 也可以這樣看：兩個銳角相加在

0

與

π

之間，餘弦為負就表示超過

\frac{π}{2}

。驗算：

(\frac{56}{65})^{2} + (\frac{33}{65})^{2} = \frac{3136 + 1089}{4225} = 1

。

看到

a sin x + b cos x

就先疊合成單一正弦；看到

2 sin θ cos θ

、

cos^{2} θ - sin^{2} θ

、

\frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ}

就想到二倍角。

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