段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

台中一中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 2 題（10 分）、多選題 4 題（20 分）、填充題 10 題（60 分）、混合題 1 題組 2 小題（10 分）

第壹部分：選擇（填）題（占 90 分）　一、單選題（占 10 分）說明：第 1 題至第 2 題，每題 5 分。

若

a = cos 1

，

b = cos 5

，

c = cos 6

，

d = sin 1

，

e = sin 2

，則

a

，

b

，

c

，

d

，

e

五數中，何者值最大？

(1) $a$
(2) $b$
(3) $c$
(4) $d$
(5) $e$

若方程式

3 cos 2 x = \frac{x}{a}

的實根個數不多於

10

個，則滿足條件的整數

a

有幾個？

(1) $3$
(2) $4$
(3) $5$
(4) $7$
(5) $8$

二、多選題（占 20 分）說明：第 3 題至第 6 題，每題 5 分。（每個選項 1 分）

下列選項中，哪一個選項之數值恰與

sin \frac{3 π}{11} - sin \frac{2 π}{11}

相同？

(1) $sin \frac{6 π}{11} - sin \frac{5 π}{11}$
(2) $sin \frac{7 π}{11} - sin \frac{6 π}{11}$
(3) $sin \frac{9 π}{11} - sin \frac{8 π}{11}$
(4) $sin \frac{14 π}{11} - sin \frac{13 π}{11}$
(5) $sin \frac{20 π}{11} - sin \frac{19 π}{11}$

設

f (x) = 3 sin 2 x + cos 2 x

，試選出正確的選項。

(1) $y = f (x)$ 的圖形可由 $y = 2 sin 2 x$ 向右平移 $\frac{11 π}{12}$ 單位得到
(2) 鉛直線 $x = \frac{13 π}{6}$ 為 $y = f (x)$ 圖形的對稱軸
(3) 在區間 $[0, 2 π)$ 中僅有 $2$ 個實數解 $x$ 滿足方程式 $f (x) = 3$
(4) 在區間 $[0, 2 π)$ 中滿足方程式 $f (x) = \frac{1}{3}$ 的所有實數解 $x$ 之和不超過 $2 π$
(5) $y = f (x)$ 的圖形可由 $y = 4 cos^{2} x$ 的圖形經適當（左右、上下）平移得到

下列哪些函數的圖形，可由

y = 2 cos x

的圖形經左右或上下平移而得？

(1) $y = sin 2 x$
(2) $y = 2 sin x$
(3) $2 y = 2 sin x - 2$
(4) $y = sin (x - 2) + cos (x - 2)$
(5) $y = 1 + cos 2 x$

給定以下五個函數

f_{1} (x) = sin 2 x

、

f_{2} (x) = cos 2 x

、

f_{3} (x) = cos^{2} x

、

f_{4} (x) = cos^{4} x

、

f_{5} (x) = ∣ cos 2 x ∣

，並令其週期分別為

T_{1}

、

T_{2}

、

T_{3}

、

T_{4}

、

T_{5}

，試選出正確的選項。

(1) $T_{1} = T_{2} = π$
(2) 在 $T_{1}$ 、 $T_{2}$ 、 $T_{3}$ 、 $T_{4}$ 、 $T_{5}$ 之中，共有 $3$ 個不同的實數值
(3) $T_{4}$ 為 $T_{1}$ 、 $T_{2}$ 、 $T_{3}$ 、 $T_{4}$ 、 $T_{5}$ 之中的最小值，且 $T_{4} = \frac{π}{2}$
(4) 若 $g (x) = f_{3} (x) + f_{4} (x)$ ，則 $g (x)$ 的週期恰為 $T_{3}$
(5) 設 $m$ 是實數，且 $h (x) = 15 f_{1} (x) + m \cdot f_{2} (x) + 25$ 。若對所有實數 $x$ ，皆滿足 $h (x) \geq 0$ ，則 $m \geq 20$

三、填充題（占 60 分）說明：第 7 題至第 16 題，每題 6 分。

sin 47 0^{\circ} cos 13 0^{\circ} + cos 29 0^{\circ} sin (- 5 0^{\circ}) =

____。（化為最簡根式）

圖中，有一長方形

A B C D

，其中

\overline{A B} = 6

，

\overline{A D} = 3

。今分別以

A

為圓心、

\overline{A D}

為半徑；以

C

為圓心、

\overline{C D}

為半徑，分別作兩圓弧。求所圍出的套色區域面積為 ____。（化為最簡根式）

載入中...

圖為函數

y = a sin (b (x + c)) + d

的部分圖形，其中

a > 0

，

b > 0

，

- π \leq c \leq \frac{π}{3}

。已知

A (\frac{2 π}{9}, 0)

，

B (\frac{2 π}{3}, 0)

，求序組

(a, b, c, d) =

____。（化為最簡分數）

載入中...

已知

0 \leq x \leq π

，滿足不等式

sin 3 x \geq \frac{1}{2}

的解恰為

a \leq x \leq b

或

c \leq x \leq d

，求

d - c + b - a =

____。（化為最簡分數）

在

0 \leq x \leq 2 π

的範圍內，求方程式

2 cos^{2} x - 3 sin x - 3 = 0

所有實數解之和為 ____。（化為最簡分數）

若

27 0^{\circ} < A < 36 0^{\circ}

且

3 sin A + cos A = 2 sin 93 2^{\circ}

，則

A =

____ 度。

已知

\frac{π}{2} < α < π

、

\frac{3 π}{2} < β < 2 π

。若

sin α = \frac{4}{5}

，

cos β = \frac{12}{13}

，則

cos (\frac{α + β}{2})

之值為 ____。（化為最簡根式）

如圖，座標平面上有一正方形

A B C D

，其中

A

點與原點

O

重合、

B

點座落在

y

軸、

D

點座落在

x

軸正向。今依序以頂點

D

、

C

、

B

為旋轉中心，將此正方形沿

x

軸正向，順時針滾動三次至星號位置停止，最後

A

點停留在

A^{'}

點位置。若滾動過程中，

A

點之移動軌跡與

x

軸所形成的封閉區域面積為

10 π + 10

，則

A

點移動軌跡長度為 ____。（化為最簡根式）

載入中...

若函數

f (x) = sin x + ∣ cos x ∣

在區間

[0, 2 π]

上之最大值為

M

、最小值為

m

，則

M^{2} + m^{2}

之值為 ____。

將

y = f (x) = 4 cos (x - \frac{π}{3})

的圖形水平伸縮為

\frac{1}{2}

倍，再向左平移

\frac{π}{3}

單位，再向上平移

4

單位，最後鉛直伸縮為

2

倍，得到函數

y = g (x)

的圖形。若

g (x_{1}) \cdot g (x_{2}) = 256

，且

- 4 π \leq x_{1} \leq 4 π

、

- 4 π \leq x_{2} \leq 4 π

，則

3 x_{1} - x_{2}

的最大值為 ____。（化為最簡分數）

第貳部分：混合題（占 10 分）說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號作答區內作答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

17－18 題組（第 17～18 題）　如圖，給定一扇形

O A B

，其中角

A O B = 9 0^{\circ}

，半徑

\overline{O A} = \overline{O B} = 4

，

P

為

A B

弧上之動點。其中

\overline{P Q} ⊥ \overline{O A}

，垂足為點

Q

；

\overline{QR} ⊥ \overline{O P}

，垂足為點

R

。假設角

A O P = θ

，試回答以下問題：

請以

θ

表示

\overline{P R} + \overline{QR}

。（非選擇題，3 分）

載入中...

求

\overline{P R} + \overline{QR}

的最大值為何？又最大值發生時，

θ =

？（非選擇題，7 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(2)

第 3 題(3)(4)(5)

第 4 題(1)(2)(5)

第 5 題(2)(3)(4)

第 6 題(1)(4)

第 7 題

- \frac{3}{2}

第 8 題

\frac{21 π + 18 3 - 72}{4}

第 9 題

(2, 3, - \frac{11 π}{18}, - 1)

或

(2, 3, \frac{π}{18}, - 1)

第 10 題

\frac{4 π}{9}

第 11 題

\frac{9 π}{2}

第 12 題

298

第 13 題

- \frac{7 130}{130}

第 14 題

(10 + 5) π

第 15 題

3

第 16 題

\frac{44 π}{3}

第 17 題

4 sin^{2} θ + 4 sin θ cos θ

（即

2 sin 2 θ - 2 cos 2 θ + 2

）

第 18 題最大值

22 + 2

，此時

θ = \frac{3 π}{8}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～2：弧度比大小、直線與餘弦圖形的交點

第 1 題答案 (3)。全部換成第一象限角的餘弦再比：

c = cos 6 = cos (2 π - 6) \approx cos 0.28

；

b = cos 5 = cos (2 π - 5) \approx cos 1.28

；

d = sin 1 = cos (\frac{π}{2} - 1) \approx cos 0.57

；

e = sin 2 = cos (2 - \frac{π}{2}) \approx cos 0.43

；

a = cos 1

。在

0

到

\frac{π}{2}

之間餘弦遞減，角度

0.28 < 0.43 < 0.57 < 1 < 1.28

，所以

c > e > d > a > b

，最大的是

c

。

這裡的

1

、

5

、

6

都是弧度，

6

弧度很接近

2 π \approx 6.28

，所以

cos 6

很接近

1

。

第 2 題答案 (2)。實根個數就是

y = 3 cos 2 x

與直線

y = \frac{x}{a}

的交點數。

3 cos 2 x

是偶函數，

a

換成

- a

只是把圖形左右對調，交點數相同，先看

a > 0

。右半邊（

x > 0

）：

0 < x < \frac{π}{4}

有

1

個交點；之後每個波峰

x = k π

（高度

3

），只要直線在那裡的高度

\frac{k π}{a} < 3

就多

2

個。左半邊（

x < 0

）：每個波谷

x = - \frac{π}{2} - k π

（高度

- 3

），只要直線在那裡的高度大於

- 3

就有

2

個。

a = 1

：右邊

π > 3

沒有波峰可交，共

1

個；左邊只有

- \frac{π}{2}

這個波谷，

2

個；合計

3

。

a = 2

：右邊

1 + 2 = 3

（波峰

π

），左邊

4

（波谷

- \frac{π}{2}

、

- \frac{3 π}{2}

），合計

7

。

a = 3

：右邊

1 + 4 = 5

，左邊

6

，合計

11 > 10

；

a

再大直線更平，交點只會更多。所以

a = \pm 1, \pm 2

，共

4

個。

直線過原點但餘弦圖形在

x = 0

是波峰，左右兩邊的交點數不一樣，要分開數；也別忘了負的

a

。

02多選 3～6：化簡、疊合、平移與週期

第 3 題答案 (3)(4)(5)。用

sin (π - θ) = sin θ

、

sin (π + θ) = - sin θ

、

sin (2 π - θ) = - sin θ

把每個角換回

\frac{k π}{11}

（

k \leq 5

）。(1)

sin \frac{6 π}{11} = sin \frac{5 π}{11}

，差為

0

，不合。(2)

sin \frac{4 π}{11} - sin \frac{5 π}{11}

，不合。(3)

sin \frac{2 π}{11} - sin \frac{3 π}{11}

，合。(4)

- sin \frac{3 π}{11} + sin \frac{2 π}{11}

，合。(5)

- sin \frac{2 π}{11} + sin \frac{3 π}{11}

，合。

題幹寫「哪一個選項」，但這題排在多選題，符合的有三個。

第 4 題答案 (1)(2)(5)。疊合：

f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})

。(1) 對：向右平移

\frac{11 π}{12}

得

2 sin (2 x - \frac{11 π}{6}) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})

。(2) 對：

x = \frac{13 π}{6}

時

2 x + \frac{π}{6} = \frac{9 π}{2}

，

f = 2

是最大值，過最高點的鉛直線是對稱軸。(3) 錯：

sin (2 x + \frac{π}{6}) = \frac{3}{2}

，而

\frac{π}{6} \leq 2 x + \frac{π}{6} < \frac{25 π}{6}

，得

2 x + \frac{π}{6} = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{7 π}{3}, \frac{8 π}{3}

，有

4

個解。(4) 錯：令

u = 2 x + \frac{π}{6}

，

sin u = \frac{1}{6}

；設銳角

φ

滿足

sin φ = \frac{1}{6}

（

φ < \frac{π}{6}

），範圍內的解是

u = π - φ, 2 π + φ, 3 π - φ, 4 π + φ

，和為

10 π

；

x = \frac{u}{2} - \frac{π}{12}

，四個

x

的和

= 5 π - \frac{π}{3} = \frac{14 π}{3} > 2 π

。(5) 對：

4 cos^{2} x = 2 cos 2 x + 2 = 2 sin 2 (x + \frac{π}{4}) + 2

，而

f (x) = 2 sin 2 (x + \frac{π}{12})

，向右平移

\frac{π}{6}

、向下平移

2

即得。

(4) 的

u = φ

比

\frac{π}{6}

小，不在範圍內；反而

u = 4 π + φ

在範圍內，要算進去。

第 5 題答案 (2)(3)(4)。平移不改變振幅與週期，所以要找振幅

2

、週期

2 π

的正弦型圖形。(1) 錯：振幅

1

、週期

2 π

。(2) 對：

2 sin x = 2 cos (x - \frac{π}{2})

，向右平移

\frac{π}{2}

。(3) 對：

y = 2 sin x - 2

，向右平移

\frac{π}{2}

再向下平移

2

。(4) 對：疊合得

y = 2 sin (x - 2 + \frac{π}{4}) = 2 cos (x - 2 - \frac{π}{4})

，向右平移

2 + \frac{π}{4}

。(5) 錯：

1 + cos 2 x = 2 cos^{2} x = 2 ∣ cos x ∣

，圖形都在

x

軸上方且有尖點，不是餘弦圖形的平移。

第 6 題答案 (1)(4)。

T_{1} = T_{2} = \frac{2 π}{2} = π

。

f_{3} (x) = \frac{1 + cos 2 x}{2}

，

T_{3} = π

。

f_{4} (x) = cos^{4} x

：

f_{4} (x + π) = f_{4} (x)

，且

f_{4} (x) = 1

只發生在

x = k π

，相鄰兩個最高點相距

π

，所以

T_{4} = π

。

f_{5} (x) = ∣ cos 2 x ∣

把

cos 2 x

的下半部翻上來，週期減半，

T_{5} = \frac{π}{2}

。(1) 對。(2) 錯：只有

π

、

\frac{π}{2}

兩個不同的值。(3) 錯：

T_{4} = π

，最小的是

T_{5}

。(4) 對：

g (x) = cos^{2} x + cos^{4} x

，

g (x + π) = g (x)

，且

g (x) = 2

只發生在

cos^{2} x = 1

即

x = k π

，週期為

π = T_{3}

。(5) 錯：

h (x) = 15 sin 2 x + m cos 2 x + 25

的最小值是

25 - 225 + m^{2}

，恆

\geq 0

的條件是

225 + m^{2} \leq 625

，即

- 20 \leq m \leq 20

，例如

m = 0

也成立，推不出

m \geq 20

。

cos^{4} x

的週期容易誤以為是

\frac{π}{2}

；它在

x = \frac{π}{2}

的值是

0

、在

x = 0

的值是

1

，

\frac{π}{2}

不是週期。

03填充 7～11：和角公式、扇形面積、讀圖求係數、三角不等式與方程式

第 7 題先化成銳角：

sin 47 0^{\circ} = sin 11 0^{\circ} = sin 7 0^{\circ}

；

cos 13 0^{\circ} = - cos 5 0^{\circ}

；

cos 29 0^{\circ} = cos 7 0^{\circ}

；

sin (- 5 0^{\circ}) = - sin 5 0^{\circ}

。原式

= - (sin 7 0^{\circ} cos 5 0^{\circ} + cos 7 0^{\circ} sin 5 0^{\circ}) = - sin 12 0^{\circ} = - \frac{3}{2}

。

第 8 題設以

C

為圓心的弧交

\overline{A B}

於

E

。直角三角形

C B E

中

\overline{C B} = 3

、

\overline{C E} = 6

，所以

∠ C E B = \frac{π}{6}

，

\overline{B E} = 33

，且

∠ D C E = ∠ C E B = \frac{π}{6}

（內錯角）。長方形內落在

C

圓內的部分

=

扇形

C D E + △ C B E = \frac{1}{2} \cdot 6^{2} \cdot \frac{π}{6} + \frac{1}{2} \cdot 33 \cdot 3 = 3 π + \frac{9 3}{2}

，所以靠

A

那一角（在

C

圓外）的面積是

18 - 3 π - \frac{9 3}{2}

。套色區域

=

以

A

為圓心的四分之一圓減去這一角：

\frac{9 π}{4} - (18 - 3 π - \frac{9 3}{2}) = \frac{21 π + 18 3 - 72}{4}

。

套色區域的底邊不是整段半徑，左下角缺了一塊，要用「四分之一圓減掉缺角」來算。

第 9 題最大值

1

、最小值

- 3

：

a = \frac{1 - ( - 3 )}{2} = 2

，

d = \frac{1 + ( - 3 )}{2} = - 1

。在

A

、

B

兩點

y = 0

，即

sin (b (x + c)) = \frac{1}{2}

；由圖，

A

是圖形往下穿過

x

軸的點、

B

是緊接著往上穿過的點，所以

A

對應角度

\frac{5 π}{6}

、

B

對應

\frac{13 π}{6}

（各差

2 π

的整數倍）。相減：

b (\frac{2 π}{3} - \frac{2 π}{9}) = \frac{4 π}{3}

，

b = 3

。代回

A

：

3 (\frac{2 π}{9} + c) = \frac{5 π}{6} + 2 k π

，

c = \frac{π}{18} + \frac{2 k π}{3}

；在

- π \leq c \leq \frac{π}{3}

內有

k = - 1

的

c = - \frac{11 π}{18}

與

k = 0

的

c = \frac{π}{18}

。

流傳版本的參考答案只寫

(2, 3, - \frac{11 π}{18}, - 1)

；但依題幹印的範圍

- π \leq c \leq \frac{π}{3}

，

c = \frac{π}{18}

也符合（兩者相差

\frac{2 π}{3}

，正好一個週期，圖形完全相同）。若範圍是

- π \leq c \leq - \frac{π}{3}

，答案才只有

- \frac{11 π}{18}

一個。

第 10 題

0 \leq 3 x \leq 3 π

。在這個範圍內

sin 3 x \geq \frac{1}{2}

的解是

\frac{π}{6} \leq 3 x \leq \frac{5 π}{6}

或

\frac{13 π}{6} \leq 3 x \leq \frac{17 π}{6}

，即

\frac{π}{18} \leq x \leq \frac{5 π}{18}

或

\frac{13 π}{18} \leq x \leq \frac{17 π}{18}

。兩段長度各

\frac{4 π}{18}

，所以

d - c + b - a = \frac{8 π}{18} = \frac{4 π}{9}

。

第 11 題用

cos^{2} x = 1 - sin^{2} x

：

2 (1 - sin^{2} x) - 3 sin x - 3 = 0

，

2 sin^{2} x + 3 sin x + 1 = 0

，

(2 sin x + 1) (sin x + 1) = 0

。

sin x = - \frac{1}{2}

得

x = \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}

；

sin x = - 1

得

x = \frac{3 π}{2}

。和為

\frac{7 π}{6} + \frac{11 π}{6} + \frac{3 π}{2} = \frac{9 π}{2}

。

由圖形求

y = a sin (b (x + c)) + d

：先用最大、最小值定

a

、

d

，再用兩個已知點的「角度差」定

b

，最後才代點求

c

並檢查範圍。

04填充 12～16：疊合、半角、滾動軌跡、極值與圖形變換

第 12 題左邊疊合：

3 sin A + cos A = 2 sin (A + 3 0^{\circ})

。右邊

93 2^{\circ} = 2 \times 36 0^{\circ} + 21 2^{\circ}

，

sin 93 2^{\circ} = sin 21 2^{\circ} = - sin 3 2^{\circ}

。所以

sin (A + 3 0^{\circ}) = - sin 3 2^{\circ}

，而

30 0^{\circ} < A + 3 0^{\circ} < 39 0^{\circ}

；這個範圍內正弦為

- sin 3 2^{\circ}

的角只有

36 0^{\circ} - 3 2^{\circ} = 32 8^{\circ}

。

A = 29 8^{\circ}

。

A + 3 0^{\circ} = 21 2^{\circ}

也滿足等式，但不在

30 0^{\circ}

到

39 0^{\circ}

之間。

第 13 題

α

在第二象限：

cos α = - \frac{3}{5}

。

β

在第四象限：

sin β = - \frac{5}{13}

。

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = - \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = - \frac{16}{65}

。又

2 π < α + β < 3 π

，

π < \frac{α + β}{2} < \frac{3 π}{2}

，餘弦為負。由半角公式

cos \frac{α + β}{2} = - \frac{1 + cos ( α + β )}{2} = - \frac{49}{130} = - \frac{7}{130} = - \frac{7 130}{130}

。

流傳版本題幹印作「

2 π < β < \frac{3 π}{2}

」，這樣的

β

不存在；依答案應為「

\frac{3 π}{2} < β < 2 π

」，本頁題幹已照此修正。

第 14 題設正方形邊長為

s

。第一次繞

D

轉

9 0^{\circ}

：

A

走半徑

s

的四分之一圓。第二次繞

C

轉

9 0^{\circ}

：

A

到

C

的距離是對角線

2 s

，走半徑

2 s

的四分之一圓。第三次繞

B

轉

9 0^{\circ}

：半徑

s

的四分之一圓。軌跡與

x

軸圍出的面積

=

兩個半徑

s

的四分之一圓

+

一個半徑

2 s

的四分之一圓

+

中間兩個等腰直角三角形（各

\frac{1}{2} s^{2}

）

= \frac{π s ^{2}}{2} + \frac{π s ^{2}}{2} + s^{2} = π s^{2} + s^{2}

。由

π s^{2} + s^{2} = 10 π + 10

得

s^{2} = 10

，

s = 10

。軌跡長

= \frac{π}{2} (s + 2 s + s) = \frac{π}{2} (210 + 20) = (10 + 5) π

。

載入中...

第二段的半徑是對角線不是邊長；面積也別漏掉第二段扇形兩側、落在弧下方的兩個三角形。

第 15 題分段去絕對值再疊合。

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

：

f = sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，範圍

[1, 2]

。

\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{3 π}{2}

：

f = sin x - cos x = 2 sin (x - \frac{π}{4})

，其中

\frac{π}{4} \leq x - \frac{π}{4} \leq \frac{5 π}{4}

，範圍

[- 1, 2]

。

\frac{3 π}{2} \leq x \leq 2 π

：

f = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，其中

\frac{7 π}{4} \leq x + \frac{π}{4} \leq \frac{9 π}{4}

，範圍

[- 1, 1]

。所以

M = 2

，

m = - 1

（在

x = \frac{3 π}{2}

），

M^{2} + m^{2} = 3

。

最小值不是

- 2

：

sin x

為負的時候

∣ cos x ∣

仍然不小於

0

，最低只到

- 1

。

第 16 題逐步變換：水平伸縮為

\frac{1}{2}

倍（

x

換成

2 x

）得

4 cos (2 x - \frac{π}{3})

；向左平移

\frac{π}{3}

（

x

換成

x + \frac{π}{3}

）得

4 cos (2 x + \frac{π}{3})

；向上

4

得

4 cos (2 x + \frac{π}{3}) + 4

；鉛直伸縮為

2

倍得

g (x) = 8 cos (2 x + \frac{π}{3}) + 8

。

0 \leq g (x) \leq 16

，而

256 = 16 \times 16

，所以

g (x_{1}) = g (x_{2}) = 16

，即

cos (2 x + \frac{π}{3}) = 1

，

x = - \frac{π}{6} + k π

。在

[- 4 π, 4 π]

內最大的是

\frac{23 π}{6}

（

k = 4

），最小的是

- \frac{19 π}{6}

（

k = - 3

）。

3 x_{1} - x_{2}

最大

= 3 \cdot \frac{23 π}{6} + \frac{19 π}{6} = \frac{88 π}{6} = \frac{44 π}{3}

。

向左平移是把

x

換成

x + \frac{π}{3}

，此時括號裡是

2 (x + \frac{π}{3}) - \frac{π}{3}

，不是直接在角度上加

\frac{π}{3}

（那樣會得到

2 x

，少了

\frac{π}{3}

）。

05混合題 17～18：扇形內的線段和

第 17 題直角三角形

O P Q

中

\overline{O P} = 4

：

\overline{O Q} = 4 cos θ

，

\overline{P Q} = 4 sin θ

。直角三角形

O QR

（

∠ R = 9 0^{\circ}

）中：

\overline{QR} = \overline{O Q} sin θ = 4 sin θ cos θ

，

\overline{O R} = \overline{O Q} cos θ = 4 cos^{2} θ

。所以

\overline{P R} = \overline{O P} - \overline{O R} = 4 - 4 cos^{2} θ = 4 sin^{2} θ

。

\overline{P R} + \overline{QR} = 4 sin^{2} θ + 4 sin θ cos θ

。用倍角公式可再寫成

2 (1 - cos 2 θ) + 2 sin 2 θ = 2 sin 2 θ - 2 cos 2 θ + 2

。

第 18 題由第 17 題，

\overline{P R} + \overline{QR} = 2 sin 2 θ - 2 cos 2 θ + 2 = 22 sin (2 θ - \frac{π}{4}) + 2

。

P

在弧上，

0 < θ < \frac{π}{2}

，所以

- \frac{π}{4} < 2 θ - \frac{π}{4} < \frac{3 π}{4}

，這個範圍內包含

\frac{π}{2}

。當

2 θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

，即

θ = \frac{3 π}{8}

時，正弦取最大值

1

，

\overline{P R} + \overline{QR}

的最大值為

22 + 2

。

疊合後一定要寫出

2 θ - \frac{π}{4}

的範圍，確認

\frac{π}{2}

在範圍內，才能說正弦取得到

1

。

線段和先化成

sin 2 θ

、

cos 2 θ

的一次式，再疊合成單一正弦，最大值與發生的角度一次讀出。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

台中一中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要分左右兩邊數直線與餘弦圖形的交點，還要記得負的整數；第 4 題選項 (4) 要先找齊四個解再求和；第 9 題要從圖形判斷兩個零點各是往下還是往上穿過橫軸；第 16 題四次伸縮平移的順序與代換方式最容易寫錯。詳解逐題寫在本頁。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自台中一中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

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01單選 1～2：弧度比大小、直線與餘弦圖形的交點

02多選 3～6：化簡、疊合、平移與週期

03填充 7～11：和角公式、扇形面積、讀圖求係數、三角不等式與方程式

04填充 12～16：疊合、半角、滾動軌跡、極值與圖形變換

05混合題 17～18：扇形內的線段和

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高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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