段考詳解範圍：數與式（實數與循環小數、乘法公式與根式、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數）

苑裡高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 苑裡高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 23 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 苑裡高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題要看出兩個寫法不同的循環小數其實是同一個數；第 8 題的 (C) 兩邊的大小要看 a 加 b 的正負，不能直接判斷；第 15 題除了兩點之間的分點，還有線段外面的一解；第 19 題不必求出 b，把 10 的負 b 次方整個當成一個數來解；第 23 題不等式右邊是 x，要分段討論再合併。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

單選題 5 題（20 分）、複選題 4 題（24 分）、填充題 14 題共 15 欄（56 分，依答對欄數計分）

一、單選題（每題 4 分，共 20 分）

設

a

、

b

為循環小數，

a = 0. \overline{12}

、

b = 0. \overline{01}

。則

a - b

的值是下列哪一個選項？

(A) $0.11$
(B) $0.1111$
(C) $\frac{100}{999}$
(D) $\frac{10}{99}$
(E) $\frac{1}{9}$

\frac{1}{5 ^{2}} + \frac{1}{4 ^{2}} + 1

等於下列哪一個選項？

(A) $1.01$
(B) $1.05$
(C) $1.1$
(D) $1.15$
(E) $1.21$

已知一不等式的解如右圖斜線區域，試問下列哪一個選項為該不等式？

(A) $∣ x - 3∣ > 2$
(B) $∣ x - 3∣ < 2$
(C) $∣ x - 3∣ \geq 2$
(D) $∣ x - 3∣ \leq 2$
(E) $∣ x - 2∣ > 3$

載入中...

在合適的環境下，草履蟲平均每 6 小時就可以分裂成原來的 2 倍。問：10 個草履蟲經過一整天之後將會變成多少個？

(A) $40$
(B) $80$
(C) $160$
(D) $320$
(E) $640$

若在計算器中鍵入某正整數

N

，接著連按「

0

」鍵（取正平方根）3 次，視窗顯示得到答案為 2，則

N

等於下列哪一個選項？

(A) $2^{3}$
(B) $2^{4}$
(C) $2^{6}$
(D) $2^{8}$
(E) $2^{12}$

二、複選題（每題 6 分，答錯一個選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 24 分）

設

a

、

b

為有理數，

c

、

d

為無理數，下列哪些選項正確？

(A) $a + c$ 為無理數
(B) $c + d$ 為無理數
(C) $a c$ 為無理數
(D) $c d$ 為無理數
(E) 若 $a \neq = 0$ ，則 $\frac{b}{a}$ 為有理數

選出正確的選項。

(A) $0.3 \overline{43}$ 不是有理數
(B) $0. \overline{34} > \frac{1}{3}$
(C) $0. \overline{34} > 0.343$
(D) $0. \overline{34} < 0.35$
(E) $0. \overline{34} = 0.3 \overline{43}$

已知

a

、

b

為實數，且

a < b

，則下列敘述哪些是正確的？

(A) $\frac{a + 2 b}{3} > \frac{2 a + b}{3}$
(B) $\frac{a + b}{2} > \frac{2 a + b}{3}$
(C) $\frac{a + b}{2} > \frac{a + b}{3}$
(D) $\frac{2 a + 3 b}{5} < \frac{a + 4 b}{5}$
(E) $\frac{3 a + 2 b}{5} < \frac{3 a + 4 b}{7}$

設

2^{0.3} = a

，

2^{0.01} = b

，則下列哪些選項正確？

(A) $a^{5} = 22$
(B) $b^{100} = 2$
(C) $a^{10} = b^{300}$
(D) $a = b^{30}$
(E) $\frac{ab}{2} = 2^{- 0.69}$

三、填充題（共 56 分）　計分方式：答對欄數 1～15 欄，所得分數依序為 6、12、17、22、27、31、35、39、42、45、48、50、52、54、56 分。（第 17 題的 (1)、(2) 各佔一欄）

將循環小數

1.0 \overline{25}

化成最簡分數。

利用乘法公式，因式分解

x^{3} + 8 y^{3}

。

已知地球質量約為

5.9724 \times 1 0^{24}

公斤，且火星質量約為

6.4185 \times 1 0^{23}

公斤，問：地球質量比火星大多少公斤？（四捨五入到小數點以下第 2 位，並以科學記號表示）

化簡

8 - 215

。

已知

a

、

b

是正實數，且

ab = 10

，求

5 a + 2 b

的最小值。

數線上有

A (1)

、

B (11)

兩點，若另一點

P (x)

滿足

\overline{A P} : \overline{P B} = 2 : 3

，求

x

。（有 2 解）

求

1 0^{l o g 2025}

的值。

利用指數律，求下列各式的值：(1)

7273

　(2)

\frac{( 0.01 ) ^{1.3} \times 1 0 ^{0.4}}{10 0 ^{- 0.1}}

。

已知

a > 0

，且

a - a^{- 1} = 1

，求

a + a^{- 1}

的值。

心理學家常用

L (t) = a (1 - 1 0^{- b t})

這個數學模式，來描述人類經過

t

星期的學習後所得到的學習量。已知小華一星期後可以背熟 75 個單字，且兩星期後可以背熟 135 個單字，推算小華三星期後可以背熟多少個單字？

已知

7 \approx 1 0^{0.8451}

，求

7^{100}

的位數。

已知

b = lo g 5

，求

100 0^{b}

的值。

解方程式

∣ x + 5∣ + x - 1 = 0

。

解不等式

∣ x - 4∣ < x

。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(B)

第 3 題(A)

第 4 題(C)

第 5 題(D)

第 6 題(A)(E)

第 7 題(B)(C)(D)(E)

第 8 題(A)(B)(D)(E)

第 9 題(A)(B)(C)(D)(E)

第 10 題

\frac{203}{198}

第 11 題

(x + 2 y) (x^{2} - 2 x y + 4 y^{2})

第 12 題

5.33 \times 1 0^{24}

第 13 題

5 - 3

第 14 題

20

第 15 題

5

或

- 19

第 16 題

2025

第 17 題(1)

3

　(2)

\frac{1}{100}

第 18 題

5

第 19 題

183

第 20 題

85

第 21 題

125

第 22 題

x = - 2

第 23 題

x > 2

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～5 題）：循環小數、根式、絕對值與指數

第 1 題兩位一循環的純循環小數，分母是

99

：

a = 0. \overline{12} = \frac{12}{99}

，

b = 0. \overline{01} = \frac{1}{99}

。相減：

a - b = \frac{11}{99} = \frac{1}{9}

，選 (E)。

也可以直接對齊相減：

0.121212 \dots - 0.010101 \dots = 0.111111 \dots = 0. \overline{1} = \frac{1}{9}

。(A)、(B) 是有限小數，都比

0. \overline{1}

小。

第 2 題根號內通分，公分母

5^{2} \times 4^{2} = 400

：

\frac{1}{25} + \frac{1}{16} + 1 = \frac{16 + 25 + 400}{400} = \frac{441}{400}

。

441 = 2 1^{2}

、

400 = 2 0^{2}

，所以原式

= \frac{21}{20} = 1.05

，選 (B)。

第 3 題圖中斜線在

1

的左邊和

5

的右邊，兩個端點都是空心圓，所以解是

x < 1

或

x > 5

。

1

和

5

的中點是

3

，到中點的距離是

2

；解是「到

3

的距離大於

2

」的點，寫成

∣ x - 3∣ > 2

，選 (A)。

空心圓表示不含端點，所以不是 (C) 的

\geq

。(E)

∣ x - 2∣ > 3

的解是

x < - 1

或

x > 5

，左端點不對。

第 4 題一整天是

24

小時，

24 \div 6 = 4

，共分裂

4

次，每次變成

2

倍。數量

= 10 \times 2^{4} = 160

個，選 (C)。

第 5 題取一次正平方根相當於

\frac{1}{2}

次方，連按

3

次就是

(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}

次方：

N^{\frac{1}{8}} = 2

。兩邊同取

8

次方得

N = 2^{8}

，選 (D)。

倒著推也可以：最後是

2

，前一步是

2^{2} = 4

，再前一步是

4^{2} = 16

，一開始是

1 6^{2} = 256 = 2^{8}

。

絕對值不等式和數線上的範圍互換時，先找兩個端點的中點和半徑：

∣ x - 中點 ∣

和半徑比大小，空心用

>

或

<

，實心用

\geq

或

\leq

。

02複選題（第 6～9 題）：有理數與無理數、比大小、指數律

第 6 題(A) 對：如果

a + c

是有理數，那麼

c = (a + c) - a

是兩個有理數相減，會是有理數，和

c

是無理數矛盾。(B) 錯：取

c = 2

、

d = - 2

，

c + d = 0

是有理數。(C) 錯：取

a = 0

，

a c = 0

是有理數。(D) 錯：取

c = d = 2

，

c d = 2

是有理數。(E) 對：有理數除以不是

0

的有理數，結果仍是有理數。答案 (A)(E)。

a \neq = 0

就會成立；題目沒有這個條件，所以

a = 0

是反例。

第 7 題

0. \overline{34} = 0.343434 \dots

。(A) 錯：循環小數都可以化成分數，是有理數。(B) 對：

\frac{1}{3} = 0.3333 \dots

，在小數第二位

4 > 3

。(C) 對：

0.343434 \dots

和

0.343000 \dots

前三位相同，第四位

4 > 0

。(D) 對：小數第二位

4 < 5

。(E) 對：

0.3 \overline{43} = 0.3434343 \dots

，和

0. \overline{34}

每一位都相同。答案 (B)(C)(D)(E)。

(E) 用分數確認：

0. \overline{34} = \frac{34}{99}

；

0.3 \overline{43} = \frac{343 - 3}{990} = \frac{340}{990} = \frac{34}{99}

，兩者相等。

第 8 題比大小用「左邊減右邊」看正負，並利用

b - a > 0

。(A)

\frac{a + 2 b}{3} - \frac{2 a + b}{3} = \frac{b - a}{3} > 0

，對。(B)

\frac{a + b}{2} - \frac{2 a + b}{3} = \frac{3 ( a + b ) - 2 ( 2 a + b )}{6} = \frac{b - a}{6} > 0

，對。(C)

\frac{a + b}{2} - \frac{a + b}{3} = \frac{a + b}{6}

，正負要看

a + b

；例如

a = - 2

、

b = - 1

時左邊

- \frac{3}{2}

小於右邊

- 1

，錯。(D)

\frac{a + 4 b}{5} - \frac{2 a + 3 b}{5} = \frac{b - a}{5} > 0

，對。(E)

\frac{3 a + 4 b}{7} - \frac{3 a + 2 b}{5} = \frac{5 ( 3 a + 4 b ) - 7 ( 3 a + 2 b )}{35} = \frac{6 ( b - a )}{35} > 0

，對。答案 (A)(B)(D)(E)。

(A)(B)(D)(E) 的兩邊都是數線上

a

、

b

之間的分點，比較靠近

b

的那個比較大；(C) 的右邊

\frac{a + b}{3}

不是分點（係數和不是

1

），所以不能用位置判斷。

第 9 題(A)

a^{5} = 2^{0.3 \times 5} = 2^{1.5} = 2 \times 2^{0.5} = 22

，對。(B)

b^{100} = 2^{0.01 \times 100} = 2^{1} = 2

，對。(C)

a^{10} = 2^{3}

，

b^{300} = 2^{0.01 \times 300} = 2^{3}

，相等，對。(D)

b^{30} = 2^{0.01 \times 30} = 2^{0.3} = a

，對。(E)

\frac{ab}{2} = 2^{0.3 + 0.01 - 1} = 2^{- 0.69}

，對。五個選項都正確，答案 (A)(B)(C)(D)(E)。

判斷「必為無理數」這類敘述，要找反例先試

0

和互為相反數、互相抵消的無理數（

2

與

- 2

、

2 \times 2

）。

03填充第 10～13 題：循環小數、乘法公式、科學記號與雙重根號

第 10 題設

x = 1.0 \overline{25} = 1.0252525 \dots

。

10 x = 10.252525 \dots

，

1000 x = 1025.252525 \dots

，相減得

990 x = 1015

，所以

x = \frac{1015}{990} = \frac{203}{198}

（分子分母同除以

5

）。

203 = 7 \times 29

，

198 = 2 \times 3^{2} \times 11

，沒有共同的因數，已經是最簡分數。

第 11 題

8 y^{3} = (2 y)^{3}

，套用立方和公式

A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})

，取

A = x

、

B = 2 y

：

x^{3} + 8 y^{3} = (x + 2 y) (x^{2} - 2 x y + 4 y^{2})

。

第二個括號的中間項是

- A B = - 2 x y

，不是

- 4 x y

；最後一項是

(2 y)^{2} = 4 y^{2}

。

第 12 題先把兩數化成相同的

10

的次方：

6.4185 \times 1 0^{23} = 0.64185 \times 1 0^{24}

。相減：

(5.9724 - 0.64185) \times 1 0^{24} = 5.33055 \times 1 0^{24}

。四捨五入到小數點以下第

2

位，得

5.33 \times 1 0^{24}

公斤。

次方不同時係數不能直接相減；

5.9724 - 6.4185

是錯的算法。

第 13 題找兩個數，和為

8

、積為

15

：

5

和

3

。

8 - 215 = 5 + 3 - 2 5 \times 3 = (5 - 3)^{2}

。因為

5 > 3

，所以

8 - 215 = 5 - 3

。

開根號的結果不能是負的，所以要寫成大的減小的

5 - 3

，不能寫

3 - 5

。

雙重根號

p \pm 2 q

：找兩個正數，和為

p

、積為

q

，答案是它們的平方根相加或相減（大減小）。

04填充第 14～19 題：算幾不等式、分點、指數與對數的求值

第 14 題

5 a

、

2 b

都是正數，由算幾不等式

\frac{5 a + 2 b}{2} \geq 5 a \cdot 2 b = 10 ab = 100 = 10

，所以

5 a + 2 b \geq 20

。等號在

5 a = 2 b = 10

，即

a = 2

、

b = 5

時成立（此時

ab = 10

符合條件），所以最小值是

20

。

要對

5 a

和

2 b

這兩項用算幾不等式，乘積

10 ab

才會是定值；求極值時要確認等號取得到。

第 15 題

\overline{A P} : \overline{P B} = 2 : 3

就是

3∣ x - 1∣ = 2∣ x - 11∣

。

P

在

A

、

B

之間時：

3 (x - 1) = 2 (11 - x)

，

5 x = 25

，

x = 5

。

P

在

\overline{A B}

外面時，因為

\overline{A P} < \overline{P B}

，

P

比較靠近

A

，在

A

的左邊：

3 (1 - x) = 2 (11 - x)

，

x = - 19

。所以

x = 5

或

- 19

。

驗算：

x = 5

時

\overline{A P} = 4

、

\overline{P B} = 6

；

x = - 19

時

\overline{A P} = 20

、

\overline{P B} = 30

，比都是

2 : 3

。

P

不可能在

B

的右邊，因為那樣

\overline{A P} > \overline{P B}

。

第 16 題

lo g 2025

的意思是「

10

的幾次方等於

2025

」的那個次方，所以

1 0^{l o g 2025} = 2025

。

第 17 題(1)

273 = 3^{3} \times 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{7}{2}}

，所以

7273 = (3^{\frac{7}{2}})^{\frac{1}{7}} = 3^{\frac{1}{2}} = 3

。(2) 全部化成

10

的次方：

(0.01)^{1.3} = (1 0^{- 2})^{1.3} = 1 0^{- 2.6}

，

10 0^{- 0.1} = (1 0^{2})^{- 0.1} = 1 0^{- 0.2}

。原式

= 1 0^{- 2.6 + 0.4 - (- 0.2)} = 1 0^{- 2} = \frac{1}{100}

。

(2) 分母的

1 0^{- 0.2}

移到分子時指數變號，是加

0.2

。

第 18 題

(a + a^{- 1})^{2} = a^{2} + 2 + a^{- 2}

，

(a - a^{- 1})^{2} = a^{2} - 2 + a^{- 2}

，兩式相差

4

。所以

(a + a^{- 1})^{2} = (a - a^{- 1})^{2} + 4 = 1 + 4 = 5

。因為

a > 0

，

a + a^{- 1} > 0

，所以

a + a^{- 1} = 5

。

平方之後有

\pm 5

兩個可能，要用

a > 0

捨去負的。（實際上

a = \frac{1 + 5}{2}

。）

第 19 題令

r = 1 0^{- b}

，則

1 0^{- 2 b} = r^{2}

、

1 0^{- 3 b} = r^{3}

。由條件：

a (1 - r) = 75

，

a (1 - r^{2}) = 135

。因為

1 - r^{2} = (1 - r) (1 + r)

，兩式相除得

1 + r = \frac{135}{75} = \frac{9}{5}

，

r = \frac{4}{5}

，代回得

a = 75 \div \frac{1}{5} = 375

。三星期後：

L (3) = a (1 - r^{3}) = 375 \times (1 - \frac{64}{125}) = 375 \times \frac{61}{125} = 183

個。

不需要把

b

求出來，把

1 0^{- b}

整個當成一個數

r

就可以。每星期新增的單字是

75

、

60

、

48

，每次是前一次的

\frac{4}{5}

。

指數求值題先把每一項化成同一個底數的次方，再用指數律把次方相加減；已知條件裡重複出現的整塊（如

1 0^{- b}

）可以先設成一個文字。

05填充第 20～23 題：位數、對數與絕對值

第 20 題

7^{100} \approx (1 0^{0.8451})^{100} = 1 0^{84.51} = 1 0^{0.51} \times 1 0^{84}

。

1 0^{0.51}

介於

1

和

10

之間，所以

1 0^{84} \leq 7^{100} < 1 0^{85}

，

7^{100}

是

85

位數。

1 0^{84}

是

1

後面

84

個

0

，共

85

位；位數是指數的整數部分再加

1

。

第 21 題

b = lo g 5

表示

1 0^{b} = 5

。

100 0^{b} = (1 0^{3})^{b} = (1 0^{b})^{3} = 5^{3} = 125

。

第 22 題依

x + 5

的正負分段。當

x \geq - 5

：

∣ x + 5∣ = x + 5

，方程式變成

(x + 5) + x - 1 = 0

，

2 x = - 4

，

x = - 2

，符合

x \geq - 5

。當

x < - 5

：

∣ x + 5∣ = - (x + 5)

，方程式變成

- x - 5 + x - 1 = 0

，即

- 6 = 0

，不成立，無解。所以

x = - 2

。

驗算：

∣ - 2 + 5∣ + (- 2) - 1 = 3 - 3 = 0

。分段解出來的答案要檢查是否落在該段的範圍內。

第 23 題依

x - 4

的正負分段。當

x \geq 4

：不等式變成

x - 4 < x

，即

- 4 < 0

，恆成立，所以

x \geq 4

都是解。當

x < 4

：不等式變成

4 - x < x

，

2 x > 4

，

x > 2

，和

x < 4

合起來是

2 < x < 4

。兩段合併得

x > 2

。

幾何意義：

∣ x - 4∣ < x

表示

x

到

4

的距離小於

x

到

0

的距離（

x

必須是正的），也就是

x

在

0

和

4

的中點

2

的右邊。

絕對值的式子另一邊含有

x

時，依絕對值裡面的正負分段去掉絕對值，每一段解完要和該段的範圍取共同部分，最後再把各段合併。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

苑裡高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 23 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題要看出兩個寫法不同的循環小數其實是同一個數；第 8 題的 (C) 兩邊的大小要看 a 加 b 的正負，不能直接判斷；第 15 題除了兩點之間的分點，還有線段外面的一解；第 19 題不必求出 b，把 10 的負 b 次方整個當成一個數來解；第 23 題不等式右邊是 x，要分段討論再合併。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自苑裡高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數與循環小數、乘法公式與根式、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數）

苑裡高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

單選題 5 題（20 分）、複選題 4 題（24 分）、填充題 14 題共 15 欄（56 分，依答對欄數計分）

一、單選題（每題 4 分，共 20 分）

設

a

、

b

為循環小數，

a = 0. \overline{12}

、

b = 0. \overline{01}

。則

a - b

的值是下列哪一個選項？

(A) $0.11$
(B) $0.1111$
(C) $\frac{100}{999}$
(D) $\frac{10}{99}$
(E) $\frac{1}{9}$

\frac{1}{5 ^{2}} + \frac{1}{4 ^{2}} + 1

等於下列哪一個選項？

(A) $1.01$
(B) $1.05$
(C) $1.1$
(D) $1.15$
(E) $1.21$

已知一不等式的解如右圖斜線區域，試問下列哪一個選項為該不等式？

(A) $∣ x - 3∣ > 2$
(B) $∣ x - 3∣ < 2$
(C) $∣ x - 3∣ \geq 2$
(D) $∣ x - 3∣ \leq 2$
(E) $∣ x - 2∣ > 3$

載入中...

在合適的環境下，草履蟲平均每 6 小時就可以分裂成原來的 2 倍。問：10 個草履蟲經過一整天之後將會變成多少個？

(A) $40$
(B) $80$
(C) $160$
(D) $320$
(E) $640$

若在計算器中鍵入某正整數

N

，接著連按「

0

」鍵（取正平方根）3 次，視窗顯示得到答案為 2，則

N

等於下列哪一個選項？

(A) $2^{3}$
(B) $2^{4}$
(C) $2^{6}$
(D) $2^{8}$
(E) $2^{12}$

二、複選題（每題 6 分，答錯一個選項扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 24 分）

設

a

、

b

為有理數，

c

、

d

為無理數，下列哪些選項正確？

(A) $a + c$ 為無理數
(B) $c + d$ 為無理數
(C) $a c$ 為無理數
(D) $c d$ 為無理數
(E) 若 $a \neq = 0$ ，則 $\frac{b}{a}$ 為有理數

選出正確的選項。

(A) $0.3 \overline{43}$ 不是有理數
(B) $0. \overline{34} > \frac{1}{3}$
(C) $0. \overline{34} > 0.343$
(D) $0. \overline{34} < 0.35$
(E) $0. \overline{34} = 0.3 \overline{43}$

已知

a

、

b

為實數，且

a < b

，則下列敘述哪些是正確的？

(A) $\frac{a + 2 b}{3} > \frac{2 a + b}{3}$
(B) $\frac{a + b}{2} > \frac{2 a + b}{3}$
(C) $\frac{a + b}{2} > \frac{a + b}{3}$
(D) $\frac{2 a + 3 b}{5} < \frac{a + 4 b}{5}$
(E) $\frac{3 a + 2 b}{5} < \frac{3 a + 4 b}{7}$

設

2^{0.3} = a

，

2^{0.01} = b

，則下列哪些選項正確？

(A) $a^{5} = 22$
(B) $b^{100} = 2$
(C) $a^{10} = b^{300}$
(D) $a = b^{30}$
(E) $\frac{ab}{2} = 2^{- 0.69}$

將循環小數

1.0 \overline{25}

化成最簡分數。

利用乘法公式，因式分解

x^{3} + 8 y^{3}

。

已知地球質量約為

5.9724 \times 1 0^{24}

公斤，且火星質量約為

6.4185 \times 1 0^{23}

公斤，問：地球質量比火星大多少公斤？（四捨五入到小數點以下第 2 位，並以科學記號表示）

化簡

8 - 215

。

已知

a

、

b

是正實數，且

ab = 10

，求

5 a + 2 b

的最小值。

數線上有

A (1)

、

B (11)

兩點，若另一點

P (x)

滿足

\overline{A P} : \overline{P B} = 2 : 3

，求

x

。（有 2 解）

求

1 0^{l o g 2025}

的值。

利用指數律，求下列各式的值：(1)

7273

　(2)

\frac{( 0.01 ) ^{1.3} \times 1 0 ^{0.4}}{10 0 ^{- 0.1}}

。

已知

a > 0

，且

a - a^{- 1} = 1

，求

a + a^{- 1}

的值。

心理學家常用

L (t) = a (1 - 1 0^{- b t})

這個數學模式，來描述人類經過

t

星期的學習後所得到的學習量。已知小華一星期後可以背熟 75 個單字，且兩星期後可以背熟 135 個單字，推算小華三星期後可以背熟多少個單字？

已知

7 \approx 1 0^{0.8451}

，求

7^{100}

的位數。

已知

b = lo g 5

，求

100 0^{b}

的值。

解方程式

∣ x + 5∣ + x - 1 = 0

。

解不等式

∣ x - 4∣ < x

。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(B)

第 3 題(A)

第 4 題(C)

第 5 題(D)

第 6 題(A)(E)

第 7 題(B)(C)(D)(E)

第 8 題(A)(B)(D)(E)

第 9 題(A)(B)(C)(D)(E)

第 10 題

\frac{203}{198}

第 11 題

(x + 2 y) (x^{2} - 2 x y + 4 y^{2})

第 12 題

5.33 \times 1 0^{24}

第 13 題

5 - 3

第 14 題

20

第 15 題

5

或

- 19

第 16 題

2025

第 17 題(1)

3

　(2)

\frac{1}{100}

第 18 題

5

第 19 題

183

第 20 題

85

第 21 題

125

第 22 題

x = - 2

第 23 題

x > 2

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～5 題）：循環小數、根式、絕對值與指數

第 1 題兩位一循環的純循環小數，分母是

99

：

a = 0. \overline{12} = \frac{12}{99}

，

b = 0. \overline{01} = \frac{1}{99}

。相減：

a - b = \frac{11}{99} = \frac{1}{9}

，選 (E)。

也可以直接對齊相減：

0.121212 \dots - 0.010101 \dots = 0.111111 \dots = 0. \overline{1} = \frac{1}{9}

。(A)、(B) 是有限小數，都比

0. \overline{1}

小。

第 2 題根號內通分，公分母

5^{2} \times 4^{2} = 400

：

\frac{1}{25} + \frac{1}{16} + 1 = \frac{16 + 25 + 400}{400} = \frac{441}{400}

。

441 = 2 1^{2}

、

400 = 2 0^{2}

，所以原式

= \frac{21}{20} = 1.05

，選 (B)。

第 3 題圖中斜線在

1

的左邊和

5

的右邊，兩個端點都是空心圓，所以解是

x < 1

或

x > 5

。

1

和

5

的中點是

3

，到中點的距離是

2

；解是「到

3

的距離大於

2

」的點，寫成

∣ x - 3∣ > 2

，選 (A)。

空心圓表示不含端點，所以不是 (C) 的

\geq

。(E)

∣ x - 2∣ > 3

的解是

x < - 1

或

x > 5

，左端點不對。

第 4 題一整天是

24

小時，

24 \div 6 = 4

，共分裂

4

次，每次變成

2

倍。數量

= 10 \times 2^{4} = 160

個，選 (C)。

第 5 題取一次正平方根相當於

\frac{1}{2}

次方，連按

3

次就是

(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}

次方：

N^{\frac{1}{8}} = 2

。兩邊同取

8

次方得

N = 2^{8}

，選 (D)。

倒著推也可以：最後是

2

，前一步是

2^{2} = 4

，再前一步是

4^{2} = 16

，一開始是

1 6^{2} = 256 = 2^{8}

。

絕對值不等式和數線上的範圍互換時，先找兩個端點的中點和半徑：

∣ x - 中點 ∣

和半徑比大小，空心用

>

或

<

，實心用

\geq

或

\leq

。

02複選題（第 6～9 題）：有理數與無理數、比大小、指數律

第 6 題(A) 對：如果

a + c

是有理數，那麼

c = (a + c) - a

是兩個有理數相減，會是有理數，和

c

是無理數矛盾。(B) 錯：取

c = 2

、

d = - 2

，

c + d = 0

是有理數。(C) 錯：取

a = 0

，

a c = 0

是有理數。(D) 錯：取

c = d = 2

，

c d = 2

是有理數。(E) 對：有理數除以不是

0

的有理數，結果仍是有理數。答案 (A)(E)。

a \neq = 0

就會成立；題目沒有這個條件，所以

a = 0

是反例。

第 7 題

0. \overline{34} = 0.343434 \dots

。(A) 錯：循環小數都可以化成分數，是有理數。(B) 對：

\frac{1}{3} = 0.3333 \dots

，在小數第二位

4 > 3

。(C) 對：

0.343434 \dots

和

0.343000 \dots

前三位相同，第四位

4 > 0

。(D) 對：小數第二位

4 < 5

。(E) 對：

0.3 \overline{43} = 0.3434343 \dots

，和

0. \overline{34}

每一位都相同。答案 (B)(C)(D)(E)。

(E) 用分數確認：

0. \overline{34} = \frac{34}{99}

；

0.3 \overline{43} = \frac{343 - 3}{990} = \frac{340}{990} = \frac{34}{99}

，兩者相等。

第 8 題比大小用「左邊減右邊」看正負，並利用

b - a > 0

。(A)

\frac{a + 2 b}{3} - \frac{2 a + b}{3} = \frac{b - a}{3} > 0

，對。(B)

\frac{a + b}{2} - \frac{2 a + b}{3} = \frac{3 ( a + b ) - 2 ( 2 a + b )}{6} = \frac{b - a}{6} > 0

，對。(C)

\frac{a + b}{2} - \frac{a + b}{3} = \frac{a + b}{6}

，正負要看

a + b

；例如

a = - 2

、

b = - 1

時左邊

- \frac{3}{2}

小於右邊

- 1

，錯。(D)

\frac{a + 4 b}{5} - \frac{2 a + 3 b}{5} = \frac{b - a}{5} > 0

，對。(E)

\frac{3 a + 4 b}{7} - \frac{3 a + 2 b}{5} = \frac{5 ( 3 a + 4 b ) - 7 ( 3 a + 2 b )}{35} = \frac{6 ( b - a )}{35} > 0

，對。答案 (A)(B)(D)(E)。

(A)(B)(D)(E) 的兩邊都是數線上

a

、

b

之間的分點，比較靠近

b

的那個比較大；(C) 的右邊

\frac{a + b}{3}

不是分點（係數和不是

1

），所以不能用位置判斷。

第 9 題(A)

a^{5} = 2^{0.3 \times 5} = 2^{1.5} = 2 \times 2^{0.5} = 22

，對。(B)

b^{100} = 2^{0.01 \times 100} = 2^{1} = 2

，對。(C)

a^{10} = 2^{3}

，

b^{300} = 2^{0.01 \times 300} = 2^{3}

，相等，對。(D)

b^{30} = 2^{0.01 \times 30} = 2^{0.3} = a

，對。(E)

\frac{ab}{2} = 2^{0.3 + 0.01 - 1} = 2^{- 0.69}

，對。五個選項都正確，答案 (A)(B)(C)(D)(E)。

判斷「必為無理數」這類敘述，要找反例先試

0

和互為相反數、互相抵消的無理數（

2

與

- 2

、

2 \times 2

）。

03填充第 10～13 題：循環小數、乘法公式、科學記號與雙重根號

第 10 題設

x = 1.0 \overline{25} = 1.0252525 \dots

。

10 x = 10.252525 \dots

，

1000 x = 1025.252525 \dots

，相減得

990 x = 1015

，所以

x = \frac{1015}{990} = \frac{203}{198}

（分子分母同除以

5

）。

203 = 7 \times 29

，

198 = 2 \times 3^{2} \times 11

，沒有共同的因數，已經是最簡分數。

第 11 題

8 y^{3} = (2 y)^{3}

，套用立方和公式

A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})

，取

A = x

、

B = 2 y

：

x^{3} + 8 y^{3} = (x + 2 y) (x^{2} - 2 x y + 4 y^{2})

。

第二個括號的中間項是

- A B = - 2 x y

，不是

- 4 x y

；最後一項是

(2 y)^{2} = 4 y^{2}

。

第 12 題先把兩數化成相同的

10

的次方：

6.4185 \times 1 0^{23} = 0.64185 \times 1 0^{24}

。相減：

(5.9724 - 0.64185) \times 1 0^{24} = 5.33055 \times 1 0^{24}

。四捨五入到小數點以下第

2

位，得

5.33 \times 1 0^{24}

公斤。

次方不同時係數不能直接相減；

5.9724 - 6.4185

是錯的算法。

第 13 題找兩個數，和為

8

、積為

15

：

5

和

3

。

8 - 215 = 5 + 3 - 2 5 \times 3 = (5 - 3)^{2}

。因為

5 > 3

，所以

8 - 215 = 5 - 3

。

開根號的結果不能是負的，所以要寫成大的減小的

5 - 3

，不能寫

3 - 5

。

雙重根號

p \pm 2 q

：找兩個正數，和為

p

、積為

q

，答案是它們的平方根相加或相減（大減小）。

04填充第 14～19 題：算幾不等式、分點、指數與對數的求值

第 14 題

5 a

、

2 b

都是正數，由算幾不等式

\frac{5 a + 2 b}{2} \geq 5 a \cdot 2 b = 10 ab = 100 = 10

，所以

5 a + 2 b \geq 20

。等號在

5 a = 2 b = 10

，即

a = 2

、

b = 5

時成立（此時

ab = 10

符合條件），所以最小值是

20

。

要對

5 a

和

2 b

這兩項用算幾不等式，乘積

10 ab

才會是定值；求極值時要確認等號取得到。

第 15 題

\overline{A P} : \overline{P B} = 2 : 3

就是

3∣ x - 1∣ = 2∣ x - 11∣

。

P

在

A

、

B

之間時：

3 (x - 1) = 2 (11 - x)

，

5 x = 25

，

x = 5

。

P

在

\overline{A B}

外面時，因為

\overline{A P} < \overline{P B}

，

P

比較靠近

A

，在

A

的左邊：

3 (1 - x) = 2 (11 - x)

，

x = - 19

。所以

x = 5

或

- 19

。

驗算：

x = 5

時

\overline{A P} = 4

、

\overline{P B} = 6

；

x = - 19

時

\overline{A P} = 20

、

\overline{P B} = 30

，比都是

2 : 3

。

P

不可能在

B

的右邊，因為那樣

\overline{A P} > \overline{P B}

。

第 16 題

lo g 2025

的意思是「

10

的幾次方等於

2025

」的那個次方，所以

1 0^{l o g 2025} = 2025

。

第 17 題(1)

273 = 3^{3} \times 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{7}{2}}

，所以

7273 = (3^{\frac{7}{2}})^{\frac{1}{7}} = 3^{\frac{1}{2}} = 3

。(2) 全部化成

10

的次方：

(0.01)^{1.3} = (1 0^{- 2})^{1.3} = 1 0^{- 2.6}

，

10 0^{- 0.1} = (1 0^{2})^{- 0.1} = 1 0^{- 0.2}

。原式

= 1 0^{- 2.6 + 0.4 - (- 0.2)} = 1 0^{- 2} = \frac{1}{100}

。

(2) 分母的

1 0^{- 0.2}

移到分子時指數變號，是加

0.2

。

第 18 題

(a + a^{- 1})^{2} = a^{2} + 2 + a^{- 2}

，

(a - a^{- 1})^{2} = a^{2} - 2 + a^{- 2}

，兩式相差

4

。所以

(a + a^{- 1})^{2} = (a - a^{- 1})^{2} + 4 = 1 + 4 = 5

。因為

a > 0

，

a + a^{- 1} > 0

，所以

a + a^{- 1} = 5

。

平方之後有

\pm 5

兩個可能，要用

a > 0

捨去負的。（實際上

a = \frac{1 + 5}{2}

。）

第 19 題令

r = 1 0^{- b}

，則

1 0^{- 2 b} = r^{2}

、

1 0^{- 3 b} = r^{3}

。由條件：

a (1 - r) = 75

，

a (1 - r^{2}) = 135

。因為

1 - r^{2} = (1 - r) (1 + r)

，兩式相除得

1 + r = \frac{135}{75} = \frac{9}{5}

，

r = \frac{4}{5}

，代回得

a = 75 \div \frac{1}{5} = 375

。三星期後：

L (3) = a (1 - r^{3}) = 375 \times (1 - \frac{64}{125}) = 375 \times \frac{61}{125} = 183

個。

不需要把

b

求出來，把

1 0^{- b}

整個當成一個數

r

就可以。每星期新增的單字是

75

、

60

、

48

，每次是前一次的

\frac{4}{5}

。

指數求值題先把每一項化成同一個底數的次方，再用指數律把次方相加減；已知條件裡重複出現的整塊（如

1 0^{- b}

）可以先設成一個文字。

05填充第 20～23 題：位數、對數與絕對值

第 20 題

7^{100} \approx (1 0^{0.8451})^{100} = 1 0^{84.51} = 1 0^{0.51} \times 1 0^{84}

。

1 0^{0.51}

介於

1

和

10

之間，所以

1 0^{84} \leq 7^{100} < 1 0^{85}

，

7^{100}

是

85

位數。

1 0^{84}

是

1

後面

84

個

0

，共

85

位；位數是指數的整數部分再加

1

。

第 21 題

b = lo g 5

表示

1 0^{b} = 5

。

100 0^{b} = (1 0^{3})^{b} = (1 0^{b})^{3} = 5^{3} = 125

。

第 22 題依

x + 5

的正負分段。當

x \geq - 5

：

∣ x + 5∣ = x + 5

，方程式變成

(x + 5) + x - 1 = 0

，

2 x = - 4

，

x = - 2

，符合

x \geq - 5

。當

x < - 5

：

∣ x + 5∣ = - (x + 5)

，方程式變成

- x - 5 + x - 1 = 0

，即

- 6 = 0

，不成立，無解。所以

x = - 2

。

驗算：

∣ - 2 + 5∣ + (- 2) - 1 = 3 - 3 = 0

。分段解出來的答案要檢查是否落在該段的範圍內。

第 23 題依

x - 4

的正負分段。當

x \geq 4

：不等式變成

x - 4 < x

，即

- 4 < 0

，恆成立，所以

x \geq 4

都是解。當

x < 4

：不等式變成

4 - x < x

，

2 x > 4

，

x > 2

，和

x < 4

合起來是

2 < x < 4

。兩段合併得

x > 2

。

幾何意義：

∣ x - 4∣ < x

表示

x

到

4

的距離小於

x

到

0

的距離（

x

必須是正的），也就是

x

在

0

和

4

的中點

2

的右邊。

絕對值的式子另一邊含有

x

時，依絕對值裡面的正負分段去掉絕對值，每一段解完要和該段的範圍取共同部分，最後再把各段合併。

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同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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苑裡高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 23 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自苑裡高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

苑裡高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 23 題，照原卷順序

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對完答案了？勾你錯的題號

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每一題，錯在哪一步

01單選題（第 1～5 題）：循環小數、根式、絕對值與指數

02複選題（第 6～9 題）：有理數與無理數、比大小、指數律

03填充第 10～13 題：循環小數、乘法公式、科學記號與雙重根號

04填充第 14～19 題：算幾不等式、分點、指數與對數的求值

05填充第 20～23 題：位數、對數與絕對值

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苑裡高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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