段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

松山高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

是非題 10 題（20 分）、多選題 2 題（12 分）、填充題 10 題（60 分）、混合題 1 題組 2 小題（8 分），合計 100 分

第壹部分：選擇（填）題（占 92 分）　一、是非題（占 20 分）｜第 1 題至第 10 題，每題 2 分。（對的打○，錯的打×）

sin^{2} π > sin π

。

若

P (- 1, k)

為廣義角

θ

終邊上的一點，則

sin (θ - \frac{3}{2} π) = \frac{k}{1 + k ^{2}}

。

存在實數

x

，使得

cos x = \frac{10}{3}

。

存在第三象限角

θ

，使得

tan \frac{θ}{2} = - 100

。

tan 14 5^{\circ} - tan 2 5^{\circ} + 3 tan 14 5^{\circ} tan 2 5^{\circ} > 0

。

若

\frac{3 π}{4} \leq θ \leq \frac{5 π}{4}

，則

1 - sin 2 θ + 1 + sin 2 θ = - 2 cos θ

。

若

tan θ = 3

，則

sin \frac{θ}{2} = \frac{1}{2}

。

若

sin θ = \frac{8}{5} cos \frac{θ}{2}

，則

cos θ = - \frac{7}{25}

。

函數

f (x) = cos 2 x + 4 sin x

的最大值為

3

。

函數

f (x) = sin 2 x + tan x

的週期為

π

。

二、多選題（占 12 分）｜第 11 題至第 12 題，每題 6 分。（6－4－2－0）

坐標平面上，函數

y = sin x

的圖形對稱於

x = \frac{π}{2}

。試選出在

0 < θ \leq 2 π

的範圍中滿足

sin θ = sin (θ + \frac{π}{5})

的

θ

值。

(1) $\frac{2 π}{5}$
(2) $\frac{3 π}{5}$
(3) $\frac{4 π}{5}$
(4) $\frac{6 π}{5}$
(5) $\frac{7 π}{5}$

考慮函數

f (x) = 3 sin (2 x - π)

，下列敘述哪些是正確的？

(1) $y = f (x)$ 的圖形對稱於原點
(2) $y = f (x)$ 的圖形是將 $y = sin (2 x - π)$ 的圖形以 $x$ 軸為中心線，沿鉛直方向伸縮為 $3$ 倍而得
(3) $y = f (x)$ 的圖形是將 $y = 3 sin (x - π)$ 的圖形以 $y$ 軸為中心線，沿水平方向伸縮為 $\frac{1}{2}$ 倍而得
(4) $y = f (x)$ 的圖形可由 $y = 3 sin 2 x$ 的圖形向右平移 $π$ 單位而得
(5) $y = f (x)$ 的圖形可由 $y = 3 cos 2 x$ 的圖形向左平移 $\frac{π}{4}$ 單位而得

三、填充題（占 60 分）｜第 13 題至第 22 題，每題 6 分。

設

θ

與

40

弳為同界角，且

- 2 π < θ \leq 0

，則

θ

為 ____ 弳。

用一條

40

公分長的繩子來圍成一個扇形，則此扇形面積最大為 ____ 平方公分。

在

- 2 \leq x \leq 2

的範圍內，方程式

cos (3 π x) = x^{2}

有 ____ 個實數解。

已知坐標平面上，

O

為原點，另兩點

A (cos (\frac{π}{2} - α), sin (\frac{π}{2} - α))

，

B (cos (\frac{π}{3} + β), sin (\frac{π}{3} + β))

，且

α + β = \frac{5}{6} π

，則

△ O A B

面積

=

____。

圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形，且

\overline{C D} = 20

，

∠ D C O = \frac{π}{6}

，

∠ A O B = ∠ B O C = \frac{π}{12}

，則

\overline{A B} =

____。

載入中...

若兩直線

L_{1} : x - 2 y + 5 = 0

與

L_{2} : 3 x - y + 2 = 0

的夾角為

θ

，則

θ =

____。（有兩個）

如圖，

A B C D

為圓

O

的內接四邊形，且圓

O

的直徑

\overline{A D} = 25

，若

\overline{A B} = 15

，

\overline{C D} = 7

，則

\overline{B C} =

____。

載入中...

將函數

y = sin x - 3 cos x

表成

y = r cos (x - θ)

的形式，其中

r > 0

，且

0 \leq θ < 2 π

，則數對

(r, θ) =

____。

在

- \frac{π}{4} \leq x \leq \frac{π}{4}

，函數

f (x) = 2 cos x (sin x - cos x) + 1

的最大值為

M

，最小值為

m

，則數對

(M, m) =

____。

若

0 \leq x \leq 2 π

，則不等式

sin x - cos x \leq 1

之解的範圍為 ____。

第貳部分：混合題（占 8 分）｜本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號作答區內作答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

第 23～24 題為題組（第 23～24 題）　如圖，一個半徑

10

公分的硬幣，內接一個正三角形

A B C

圖案，且硬幣與地面接觸於

C

點。現沿著地面一直線向左滾動了

x

公分，則

B

點距地面的高度可表為

y = a sin (b x + c) + d

，其中

a

、

b

都是正數，

0 \leq c < 2 π

。

求實數

a =

____，

b =

____，

c =

____，

d =

____。（填充題，4 分）

載入中...

若此枚硬幣沿著地面一直線向左滾動了

\frac{185}{6} π

公分，則此時

B

點距地面多高？（非選擇題，4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

101

第 11 題(1)(5)

第 12 題(1)(2)(3)(5)

第 13 題

40 - 14 π

第 14 題

100

第 15 題

6

第 16 題

\frac{3}{4}

第 17 題

\frac{5 3}{2}

第 18 題

4 5^{\circ}

或

13 5^{\circ}

第 19 題

15

第 20 題

(2, \frac{5 π}{6})

第 21 題

(1, - 2)

第 22 題

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

或

π \leq x \leq 2 π

第 23 題

a = 10

，

b = \frac{1}{10}

，

c = \frac{π}{6}

，

d = 10

第 24 題

(10 - 52)

公分

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非題第 1～5 題：弧度制的函數值、廣義角、半角的範圍、正切差角

第 1 題2

π

弳就是

18 0^{\circ}

，

sin π = 0

，所以

sin^{2} π = 0^{2} = 0

。兩邊都是

0

，是相等，「大於」不成立。

第 2 題2

P (- 1, k)

到原點的距離是

r = 1 + k^{2}

，所以

sin θ = \frac{k}{1 + k ^{2}}

，

cos θ = \frac{- 1}{1 + k ^{2}}

。左邊的角加一圈不改變函數值：

sin (θ - \frac{3}{2} π) = sin (θ - \frac{3}{2} π + 2 π) = sin (θ + \frac{π}{2}) = cos θ = \frac{- 1}{1 + k ^{2}}

。題目右邊寫的是

sin θ

的值，兩者一般不相等。

例如

k = 1

時，左邊是

- \frac{1}{2}

，右邊是

\frac{1}{2}

。只有

k = - 1

時兩邊才剛好相等，所以這個敘述不是恆成立。

第 3 題2

10 > 9 = 3

，所以

\frac{10}{3} > 1

。對任何實數

x

都有

- 1 \leq cos x \leq 1

，餘弦值不可能大於

1

。

第 4 題1第三象限角可以寫成

π + 2 nπ < θ < \frac{3 π}{2} + 2 nπ

（

n

為整數），各除以

2

：

\frac{π}{2} + nπ < \frac{θ}{2} < \frac{3 π}{4} + nπ

。正切的週期是

π

，所以

tan \frac{θ}{2}

的值和

\frac{π}{2} < φ < \frac{3 π}{4}

時的

tan φ

一樣。在這一段正切從負無限大遞增到

tan \frac{3 π}{4} = - 1

，所以比

- 1

小的每一個數都取得到，

- 100

也在裡面。

\frac{θ}{2}

會落在第二或第四象限的後半段，正切一定是負的而且小於

- 1

。

第 5 題2由正切的差角公式，

tan (14 5^{\circ} - 2 5^{\circ}) = \frac{tan 14 5 ^{\circ} - tan 2 5 ^{\circ}}{1 + tan 14 5 ^{\circ} tan 2 5 ^{\circ}}

，而

tan 12 0^{\circ} = - 3

。去分母：

tan 14 5^{\circ} - tan 2 5^{\circ} = - 3 - 3 tan 14 5^{\circ} tan 2 5^{\circ}

，移項得

tan 14 5^{\circ} - tan 2 5^{\circ} + 3 tan 14 5^{\circ} tan 2 5^{\circ} = - 3 < 0

。

式子裡同時出現「兩個正切相減」與「兩個正切相乘」，就是正切和差角公式去分母後的樣子。

02是非題第 6～10 題：根號化簡、半角與倍角的陷阱、極值、週期

第 6 題1

1 - sin 2 θ = sin^{2} θ + cos^{2} θ - 2 sin θ cos θ = (sin θ - cos θ)^{2}

，同理

1 + sin 2 θ = (sin θ + cos θ)^{2}

，所以左邊

= ∣ sin θ - cos θ ∣ + ∣ sin θ + cos θ ∣

。當

\frac{3 π}{4} \leq θ \leq \frac{5 π}{4}

時，

cos θ \leq - \frac{2}{2}

，而

- \frac{2}{2} \leq sin θ \leq \frac{2}{2}

，所以

sin θ - cos θ \geq 0

、

sin θ + cos θ \leq 0

。左邊

= (sin θ - cos θ) - (sin θ + cos θ) = - 2 cos θ

。

a^{2} = ∣ a ∣

，去絕對值之前一定要先判斷正負。

第 7 題2

tan θ = 3

的角不只

\frac{π}{3}

，而是

θ = \frac{π}{3} + nπ

（

n

為整數）。取

θ = \frac{4 π}{3}

：

tan \frac{4 π}{3} = 3

，但

sin \frac{θ}{2} = sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2} \neq = \frac{1}{2}

。所以由

tan θ = 3

推不出

sin \frac{θ}{2} = \frac{1}{2}

。

\frac{θ}{2} = \frac{π}{6} + \frac{nπ}{2}

，

sin \frac{θ}{2}

可能是

\frac{1}{2}

、

\frac{3}{2}

、

- \frac{1}{2}

、

- \frac{3}{2}

四種。

第 8 題2由二倍角公式

sin θ = 2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2}

，條件變成

2 cos \frac{θ}{2} (sin \frac{θ}{2} - \frac{4}{5}) = 0

，所以

cos \frac{θ}{2} = 0

或

sin \frac{θ}{2} = \frac{4}{5}

。後者得

cos θ = 1 - 2 sin^{2} \frac{θ}{2} = 1 - \frac{32}{25} = - \frac{7}{25}

；但前者得

cos θ = 2 cos^{2} \frac{θ}{2} - 1 = - 1

。例如

θ = π

滿足條件（兩邊都是

0

），此時

cos θ = - 1

，所以敘述不一定成立。

兩邊同時約掉

cos \frac{θ}{2}

會漏掉

cos \frac{θ}{2} = 0

的情形。

第 9 題1用

cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x

，令

t = sin x

（

- 1 \leq t \leq 1

）：

f (x) = - 2 t^{2} + 4 t + 1 = - 2 (t - 1)^{2} + 3

。

t = 1

（例如

x = \frac{π}{2}

）時有最大值

3

。

頂點

t = 1

剛好在

- 1 \leq t \leq 1

的邊界上，取得到。

第 10 題1

f (x + π) = sin (2 x + 2 π) + tan (x + π) = sin 2 x + tan x = f (x)

，所以

π

是一個週期。再看有沒有更小的：

f (x)

只有在

x = \frac{π}{2} + nπ

（

n

為整數）沒有定義，這些位置相鄰的間隔是

π

。如果有比

π

小的正數

T

也是週期，那麼

x = \frac{π}{2} + T

也必須沒有定義，但它落在

\frac{π}{2}

與

\frac{3 π}{2}

之間，是有定義的，矛盾。所以週期是

π

。

03多選題第 11～12 題：正弦圖形的對稱軸、伸縮與平移

第 11 題答案 (1)(5)。

θ

與

θ + \frac{π}{5}

相差

\frac{π}{5}

，不是同界角，正弦值卻相等，表示這兩個角在正弦圖形上對稱於某一條對稱軸

x = \frac{π}{2} + nπ

（

n

為整數）。兩角的平均就是對稱軸的位置：

\frac{θ + ( θ + \frac{π}{5} )}{2} = \frac{π}{2} + nπ

，

θ = \frac{2 π}{5} + nπ

。在

0 < θ \leq 2 π

內，

n = 0

得

\frac{2 π}{5}

，

n = 1

得

\frac{7 π}{5}

。

驗算：

sin \frac{2 π}{5} = sin \frac{3 π}{5}

（兩角相加為

π

）；

sin \frac{7 π}{5} = sin \frac{8 π}{5}

（兩角相加為

3 π

）。題目只提示了

x = \frac{π}{2}

這條對稱軸，

x = \frac{3 π}{2}

也是對稱軸，(5) 就是從它來的。

第 12 題答案 (1)(2)(3)(5)。先化簡：

sin (2 x - π) = - sin (π - 2 x) = - sin 2 x

，所以

f (x) = - 3 sin 2 x

。(1) 對：

f (- x) = 3 sin 2 x = - f (x)

，是奇函數，圖形對稱於原點。(2) 對：每一點的

y

坐標乘以

3

，

sin (2 x - π)

變成

3 sin (2 x - π)

。(3) 對：水平方向伸縮為

\frac{1}{2}

倍是把

x

換成

2 x

，

3 sin (x - π)

變成

3 sin (2 x - π)

。(4) 錯：向右平移

π

是把

x

換成

x - π

，得

3 sin (2 x - 2 π) = 3 sin 2 x

，與

f (x) = - 3 sin 2 x

不同。(5) 對：向左平移

\frac{π}{4}

是把

x

換成

x + \frac{π}{4}

，得

3 cos (2 x + \frac{π}{2}) = - 3 sin 2 x = f (x)

。

(4) 要把

2 x - π

寫成

2 (x - \frac{π}{2})

才看得出平移量：

y = 3 sin 2 x

向右平移

\frac{π}{2}

才是

f (x)

。

04填充題第 13～17 題：同界角、扇形、數交點、單位圓上的夾角、直角三角形

第 13 題同界角相差

2 π

的整數倍，所以

θ = 40 - 2 nπ

。

2 π \approx 6.283

，

12 π \approx 37.70

，

14 π \approx 43.98

。

40 - 12 π \approx 2.30

是正的，不合；

40 - 14 π \approx - 3.98

，落在

- 2 π

（約

- 6.28

）與

0

之間。所以

θ = 40 - 14 π

。

40

的單位是弳，不是度，要減的是

2 π

的倍數而不是

360

的倍數。

第 14 題設半徑為

r

、弧長為

s

，繩長就是扇形的周長：

2 r + s = 40

，

s = 40 - 2 r

。面積

= \frac{1}{2} r s = \frac{1}{2} r (40 - 2 r) = - r^{2} + 20 r = - (r - 10)^{2} + 100

。當

r = 10

時面積最大，最大值

100

平方公分。

此時弧長

s = 20

，圓心角

\frac{s}{r} = 2

弳，小於

2 π

，圍得出來。

第 15 題數

y = cos (3 π x)

與

y = x^{2}

兩個圖形的交點。餘弦值不超過

1

，所以只需看

x^{2} \leq 1

，即

- 1 \leq x \leq 1

。兩個函數都是偶函數，圖形都對稱於

y

軸；

x = 0

時左邊是

1

、右邊是

0

，不是解，所以只要數

0 < x \leq 1

的交點再乘以

2

。

y = cos (3 π x)

的週期是

\frac{2}{3}

，在

0 < x \leq 1

分三段看：

0

到

\frac{1}{3}

餘弦由

1

降到

- 1

，拋物線由

0

升到

\frac{1}{9}

，交

1

點；

\frac{1}{3}

到

\frac{2}{3}

餘弦由

- 1

升到

1

，拋物線只由

\frac{1}{9}

升到

\frac{4}{9}

，交

1

點；

\frac{2}{3}

到

1

餘弦由

1

降到

- 1

，拋物線由

\frac{4}{9}

升到

1

，交

1

點。

x > 0

共

3

個，全部

3 \times 2 = 6

個。

x = 1

時左邊是

cos 3 π = - 1

、右邊是

1

，端點不是解；

1 < ∣ x ∣ \leq 2

時

x^{2} > 1

，沒有解。

第 16 題

A

、

B

的坐標都是

(cos φ, sin φ)

的形式，所以兩點都在單位圓上，

\overline{O A} = \overline{O B} = 1

，而且

\overline{O A}

、

\overline{O B}

分別是廣義角

\frac{π}{2} - α

與

\frac{π}{3} + β

的終邊。兩個角相減：

(\frac{π}{3} + β) - (\frac{π}{2} - α) = (α + β) - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6} - \frac{π}{6} = \frac{2 π}{3}

，差在

0

與

π

之間，所以

∠ A O B = \frac{2 π}{3}

。面積

= \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{4}

。

不需要分別知道

α

、

β

，只用到它們的和。

第 17 題直角三角形

D O C

（直角在

O

）中，

\overline{O C} = \overline{C D} cos \frac{π}{6} = 20 \times \frac{3}{2} = 103

。直角三角形

O B C

（直角在

B

）中，

\overline{O B} = \overline{O C} cos \frac{π}{12}

。直角三角形

O A B

（直角在

A

）中，

\overline{A B} = \overline{O B} sin \frac{π}{12}

。所以

\overline{A B} = 103 sin \frac{π}{12} cos \frac{π}{12} = 103 \times \frac{1}{2} sin \frac{π}{6} = 103 \times \frac{1}{4} = \frac{5 3}{2}

。

不必算出

sin \frac{π}{12}

與

cos \frac{π}{12}

的值，兩者相乘剛好是二倍角公式

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ

。

05填充題第 18～22 題：兩直線夾角、圓內接四邊形、疊合的三種用法

第 18 題

L_{1}

的斜率是

\frac{1}{2}

，

L_{2}

的斜率是

3

。設兩直線的斜角分別為

θ_{1}

、

θ_{2}

，則

tan θ_{1} = \frac{1}{2}

、

tan θ_{2} = 3

。由正切的差角公式，

tan (θ_{2} - θ_{1}) = \frac{3 - \frac{1}{2}}{1 + 3 \times \frac{1}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} = 1

，所以其中一個夾角是

4 5^{\circ}

；兩直線相交有兩組互補的夾角，另一個是

18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}

。

用弧度表示就是

\frac{π}{4}

或

\frac{3 π}{4}

。

第 19 題

\overline{A D}

是直徑，所以

∠ A B D = ∠ A C D = 9 0^{\circ}

。設

∠ B A D = α

、

∠ C A D = β

。直角三角形

A B D

中

\overline{B D} = 2 5^{2} - 1 5^{2} = 20

，

sin α = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}

，

cos α = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}

。直角三角形

A C D

中

\overline{A C} = 2 5^{2} - 7^{2} = 24

，

sin β = \frac{7}{25}

，

cos β = \frac{24}{25}

。

∠ B A C = α - β

，

sin (α - β) = \frac{4}{5} \times \frac{24}{25} - \frac{3}{5} \times \frac{7}{25} = \frac{96 - 21}{125} = \frac{3}{5}

。

△ A B C

的外接圓就是圓

O

，由正弦定理

\overline{B C} = 2 R sin ∠ B A C = 25 \times \frac{3}{5} = 15

。

驗算：把

A

放在

(- 12.5, 0)

、

D

放在

(12.5, 0)

，則

B (- 3.5, 12)

、

C (10.54, 6.72)

，

\overline{B C} = 14.0 4^{2} + 5.2 8^{2} = 225 = 15

。

第 20 題展開

r cos (x - θ) = r cos θ cos x + r sin θ sin x

，與

sin x - 3 cos x

比較係數：

r sin θ = 1

，

r cos θ = - 3

。

r = 1^{2} + (3)^{2} = 2

，所以

sin θ = \frac{1}{2}

、

cos θ = - \frac{3}{2}

，

θ

在第二象限，

θ = \frac{5 π}{6}

。

(r, θ) = (2, \frac{5 π}{6})

。

這題指定疊合成餘弦的形式，

cos x

的係數對的是

r cos θ

、

sin x

的係數對的是

r sin θ

，和疊合成正弦時相反。

第 21 題展開後用倍角公式：

f (x) = 2 sin x cos x - 2 cos^{2} x + 1 = sin 2 x - (2 cos^{2} x - 1) = sin 2 x - cos 2 x

。疊合：

f (x) = 2 (\frac{2}{2} sin 2 x - \frac{2}{2} cos 2 x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{4})

。

- \frac{π}{4} \leq x \leq \frac{π}{4}

時，

- \frac{3 π}{4} \leq 2 x - \frac{π}{4} \leq \frac{π}{4}

。這一段裡正弦在

- \frac{π}{2}

取到最小值

- 1

，最大值在右端點

\frac{π}{4}

，為

\frac{2}{2}

。所以

m = - 2

（

x = - \frac{π}{8}

），

M = 2 \times \frac{2}{2} = 1

（

x = \frac{π}{4}

）。

角度範圍不包含

\frac{π}{2}

，正弦到不了

1

，最大值不是振幅

2

。

第 22 題疊合：

sin x - cos x = 2 (\frac{2}{2} sin x - \frac{2}{2} cos x) = 2 sin (x - \frac{π}{4})

，不等式變成

sin (x - \frac{π}{4}) \leq \frac{2}{2}

。

0 \leq x \leq 2 π

時

- \frac{π}{4} \leq x - \frac{π}{4} \leq \frac{7 π}{4}

。在這個範圍內，正弦值大於

\frac{2}{2}

的只有

\frac{π}{4} < x - \frac{π}{4} < \frac{3 π}{4}

，也就是

\frac{π}{2} < x < π

。把這一段去掉，解為

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

或

π \leq x \leq 2 π

。

驗算端點：

x = \frac{π}{2}

時

1 - 0 = 1

，

x = π

時

0 - (- 1) = 1

，等號成立，兩個端點都要含。

看到

a sin x + b cos x

先疊合成單一的正弦或餘弦，再把

x

的範圍換成整個角的範圍，極值與不等式都在那個範圍裡找。

06混合題第 23～24 題：滾動的硬幣與正弦函數

第 23 題圓心離地面

10

公分。以圓心為原點、水平向右為始邊來量廣義角：接地點

C

在正下方，對應的角是

- \frac{π}{2}

；正三角形的三個頂點把圓周三等分，相鄰兩頂點相差

\frac{2 π}{3}

，所以右上方的

B

一開始對應的角是

- \frac{π}{2} + \frac{2 π}{3} = \frac{π}{6}

。硬幣向左滾動時是逆時針轉，滾了

x

公分，轉過的弧長也是

x

，轉角是

\frac{x}{10}

弳，

B

對應的角變成

\frac{x}{10} + \frac{π}{6}

。

B

的高度等於圓心高度加上「半徑乘以這個角的正弦值」，即

y = 10 sin (\frac{x}{10} + \frac{π}{6}) + 10

。所以

a = 10

，

b = \frac{1}{10}

，

c = \frac{π}{6}

，

d = 10

。

檢查：

x = 0

時

y = 10 \times \frac{1}{2} + 10 = 15

，與圖中

B

的高度（圓心上方

5

公分）相符；剛開始向左滾時

B

往上升，

y

也是遞增。

第 24 題代入上一題的式子：

\frac{x}{10} + \frac{π}{6} = \frac{185 π}{60} + \frac{π}{6} = \frac{37 π}{12} + \frac{2 π}{12} = \frac{39 π}{12} = \frac{13 π}{4}

。

\frac{13 π}{4} = 2 π + \frac{5 π}{4}

，所以

sin \frac{13 π}{4} = sin \frac{5 π}{4} = - \frac{2}{2}

。高度

y = 10 \times (- \frac{2}{2}) + 10 = 10 - 52

公分。

10 - 52 \approx 2.93

公分，介於

0

與

20

之間，合理。

滾動不滑動時，轉過的弧長等於前進的距離，轉角＝距離÷半徑；圓上一點的高度＝圓心高度＋半徑×該點對應廣義角的正弦值。

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松山高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

是非第 8 題不能把兩邊的餘弦約掉，會漏掉餘弦為零的情形；是非第 4 題要先把半角的範圍寫出來；填充第 21 題疊合後角度範圍到不了最高點，最大值不是振幅；混合題第 23 題要判斷向左滾是逆時針轉，並找出 B 點一開始對應的角。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自松山高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

松山高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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02是非題第 6～10 題：根號化簡、半角與倍角的陷阱、極值、週期

03多選題第 11～12 題：正弦圖形的對稱軸、伸縮與平移

04填充題第 13～17 題：同界角、扇形、數交點、單位圓上的夾角、直角三角形

05填充題第 18～22 題：兩直線夾角、圓內接四邊形、疊合的三種用法

06混合題第 23～24 題：滾動的硬幣與正弦函數

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