段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角公式、正餘弦的疊合）

平鎮高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 平鎮高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 平鎮高中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

選填 I（本頁第 16 題）疊合後要把 x 的範圍換成整個角的範圍，範圍內只有一個解；選填 J（第 17 題）數交點時第一個山峰只多一個正的解，還要加上原點；選填 G（第 14 題）A 是鈍角、正切是負的；選填 D（第 11 題）要把角拆成兩個直角三角形的角相減；選填 C（第 10 題）先伸縮再平移，c 不是平移量本身。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 4 題（20 分）、多重選擇題 3 題（15 分）、選填題 13 題（65 分）；所有的分數型式的答案皆須化成最簡分數

一、單選題｜第 1 題至第 4 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

化簡

sin \frac{π}{3} \times cos \frac{2 π}{3} =

____

(1) $\frac{5 3}{4}$
(2) $- \frac{3 3}{4}$
(3) $- \frac{3}{4}$
(4) $- \frac{3}{4}$
(5) $- \frac{5 3}{4}$

若

sin θ

為方程式

6 x^{2} - 7 x - 5 = 0

之一根，求

cos 2 θ =

____？

(1) $- \frac{7}{25}$
(2) $\frac{7}{25}$
(3) $- \frac{7}{9}$
(4) $\frac{1}{2}$
(5) $\frac{3}{2}$

已知

a = cos (100 π)^{\circ}

，則下列選項何者正確？

(1) $a = 1$
(2) $a = - 1$
(3) $0 \leq a < \frac{1}{2}$
(4) $\frac{1}{2} \leq a < 1$
(5) $- 1 < a \leq - \frac{1}{2}$

某公園內有個半徑

50

公尺的圓形池塘（

O

為圓心），打算在池塘內建造一座

H

字形的木橋（如圖所示），其中

∠ A E F = ∠ E F D = 9 0^{\circ}

，且

\overline{E O} = \overline{O F}

。試問這座木橋總長（

\overline{A B} + \overline{C D} + \overline{E F}

）最長有多少公尺？

(1) $1005$ 公尺
(2) $200$ 公尺
(3) $250$ 公尺
(4) $10010$ 公尺
(5) $1503$ 公尺

載入中...

二、多重選擇題｜第 5 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

右圖是三角函數

y = b cos a x + c

的部分圖形，其中

a > 0

，則下列哪些選項是正確的？

(1) 週期為 $\frac{3 π}{2}$
(2) $a = \frac{2}{3}$
(3) $c = 4$
(4) $b = 3$
(5) 點 $(\frac{π}{2}, \frac{5}{2})$ 在圖形上

載入中...

下列各選項中，哪些的值等於

\frac{1}{2}

？

(1) $sin (- 21 0^{\circ})$
(2) $2 sin 1 5^{\circ} cos 1 5^{\circ}$
(3) $4 cos^{3} 4 0^{\circ} - 3 cos 4 0^{\circ}$
(4) $1 - 2 sin^{2} 22. 5^{\circ}$
(5) $\frac{2 tan 7 5 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 7 5 ^{\circ}}$

關於函數

y = f (x) = 3 sin x + 3 cos x

的敘述，下列哪些正確？

(1) 週期為 $2 π$
(2) 函數有最大值 $25$
(3) 在 $x = \frac{π}{3}$ 有最大值
(4) 圖形對稱於直線 $x = \frac{2 π}{3}$
(5) 函數 $y = ∣ f (x) ∣$ 的週期為 $π$

三、選填題｜第 A 至 M 題，每格完全答對得 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。（原卷題號 A～M，本頁編為第 8～20 題）

當時鐘的時間為下午

3

點

40

分時，則此時時針與分針所夾之較小角為 ____ 弳。

已知

θ

與

100 0^{\circ}

為同界角，且

0 \leq θ \leq 2 π

，則

θ =

____。

將

y = sin x

之圖形以

y

軸為基準線，水平方向伸縮為原來的

\frac{1}{4}

倍，再向左平移

\frac{π}{6}

單位，然後再以

x

軸為基準線，沿鉛直方向伸縮為原來的

2

倍，最後再向下平移

3

單位，所得方程式為

y = a sin (b x + c) + d

，

0 < c < 2 π

，則序組

(a, b, c, d) =

____。

如圖，

△ A B C

為一直角三角形，

\overline{A B} = 4

，

\overline{B C} = 3

，若以

\overline{B C}

為一邊向外做出一正方形

B C E D

，則

tan ∠ C A E =

____。

載入中...

有一扇形的半徑為

r

，鈍角圓心角為

θ

弳，若此扇形的周長為

12

，面積為

9

，則數對

(r, θ) =

____。

試求

sin 2 3^{\circ} cos 11 2^{\circ} - sin 29 2^{\circ} sin 6 7^{\circ} =

____。

△ A B C

中，

cos A = - \frac{3}{5}

，

cos B = \frac{12}{13}

，則

tan C =

____。

將

f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{6}) + 2 cos x

化為

R sin (k x + θ)

的形式，其中

R > 0

，

k > 0

，

0 \leq θ < 2 π

，求數對

(R, θ) =

____。

已知

- \frac{π}{2} < x < 0

，且

3 sin 2 x - cos 2 x + 1 = 0

，則

x =

____。

方程式

\frac{x}{π} = 8 sin x

中，

x

的解共有 ____ 個。

如圖，有一個半徑為

6

公分的圓形硬幣沿著地面一直線向左滾動了

8 π

公分後，則此時

A

點離地面 ____ 公分。

載入中...

設

y = 2 sin x + 23 cos x + 6

，若

0 \leq x \leq π

，當

x = x_{0}

時，

y = y_{0}

有最大值。求此數對

(x_{0}, y_{0}) =

____。

在

0 \leq x \leq 2 π

的範圍內，試求不等式

3 sin x + cos x \geq 2

的解為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(4)

第 3 題(4)

第 4 題(1)

第 5 題(2)(4)(5)

第 6 題(1)(2)

第 7 題(1)(3)(5)

第 8 題

\frac{13 π}{18}

第 9 題

\frac{14 π}{9}

第 10 題

(2, 4, \frac{2 π}{3}, - 3)

第 11 題

\frac{9}{37}

第 12 題

(3, 2)

第 13 題

\frac{2}{2}

第 14 題

\frac{33}{56}

第 15 題

(23, \frac{π}{3})

第 16 題

- \frac{π}{3}

第 17 題

15

第 18 題

9

第 19 題

(\frac{π}{6}, 10)

第 20 題

\frac{π}{12} \leq x \leq \frac{7 π}{12}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，系統會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～4 題）：特別角、二倍角、度與弧度、疊合求最大值

第 1 題答案 (3)。

\frac{π}{3} = 6 0^{\circ}

，

\frac{2 π}{3} = 12 0^{\circ}

。

sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

，

cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

，相乘得

\frac{3}{2} \times (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4}

。

12 0^{\circ}

在第二象限，餘弦是負的。

第 2 題答案 (4)。

6 x^{2} - 7 x - 5 = (3 x - 5) (2 x + 1) = 0

，

x = \frac{5}{3}

或

x = - \frac{1}{2}

。正弦值介於

- 1

與

1

之間，

\frac{5}{3}

不合，所以

sin θ = - \frac{1}{2}

。由二倍角公式

cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ = 1 - 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

。

兩個根要先用

- 1 \leq sin θ \leq 1

篩掉一個；

cos 2 θ

只用到

sin^{2} θ

，不必再判斷象限。

第 3 題答案 (4)。括號外有度的記號，所以角度是

100 π

度，約

314.1 6^{\circ}

。它介於

30 0^{\circ}

與

36 0^{\circ}

之間，在第四象限；餘弦在

27 0^{\circ}

到

36 0^{\circ}

這段遞增，所以

cos 30 0^{\circ} < a < cos 36 0^{\circ}

，即

\frac{1}{2} < a < 1

，落在

\frac{1}{2} \leq a < 1

。

如果是

100 π

弧度，那是

50

圈，餘弦值才是

1

；這裡的單位是度，選 (1) 就是把單位看成弧度了。實際值

a = cos 314.1 6^{\circ} = cos 45.8 4^{\circ} \approx 0.697

。

第 4 題答案 (1)。連

\overline{O A}

，設

∠ A O E = θ

（

0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}

）。直角三角形

A E O

中

\overline{O A} = 50

，所以

\overline{A E} = 50 sin θ

、

\overline{E O} = 50 cos θ

。

\overline{O E}

垂直弦

\overline{A B}

，會平分它，

\overline{A B} = 2 \overline{A E} = 100 sin θ

；又

\overline{O F} = \overline{E O}

，同理

\overline{C D} = 100 sin θ

，

\overline{E F} = 2 \overline{E O} = 100 cos θ

。總長

= 200 sin θ + 100 cos θ = 1005 (\frac{2}{5} sin θ + \frac{1}{5} cos θ) = 1005 sin (θ + φ)

，其中

cos φ = \frac{2}{5}

、

sin φ = \frac{1}{5}

。當

θ + φ = 9 0^{\circ}

時最大，最大值

1005

公尺。

確認取得到：

φ \approx 26. 6^{\circ}

，

θ \approx 63. 4^{\circ}

（

tan θ = 2

），在

0^{\circ}

到

9 0^{\circ}

之間。

1005 \approx 223.6

，比 (2) 的

200

（

θ = 9 0^{\circ}

時兩條直徑重合的極端情形）大。

02多重選擇題（第 5～7 題）：讀圖定係數、公式的形狀、疊合後的性質

第 5 題答案 (2)(4)(5)。圖形的最高點是

A (0, 4)

，往右第一個最低點是

B (\frac{3 π}{2}, - 2)

。最高點到相鄰最低點是半個週期，所以週期

= 2 \times \frac{3 π}{2} = 3 π

，(1) 錯；

a > 0

時週期

= \frac{2 π}{a} = 3 π

，

a = \frac{2}{3}

，(2) 對。

x = 0

時

y = b + c

是最大值，所以

b > 0

，且

b + c = 4

、

- b + c = - 2

，解得

c = 1

、

b = 3

，(3) 錯、(4) 對。函數是

y = 3 cos \frac{2 x}{3} + 1

；代

x = \frac{π}{2}

：

3 cos \frac{π}{3} + 1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}

，(5) 對。

c

是最大值與最小值的平均

\frac{4 + ( - 2 )}{2} = 1

，不是最大值

4

。另外，原卷附圖在

π

、

2 π

兩處把點畫在曲線與

x

軸的交點上，但由

A

、

B

定出的函數在

x = π

時

y = 3 cos \frac{2 π}{3} + 1 = - \frac{1}{2}

，與

x

軸的交點其實在

x \approx 2.87

與

x \approx 6.56

；本頁的圖照

A

、

B

兩點畫，

π

、

2 π

只標成

x

軸刻度。原卷標準答案 (2)(4)(5) 與用

A

、

B

兩點算出的結果一致。

第 6 題答案 (1)(2)。(1)

sin (- 21 0^{\circ}) = - sin 21 0^{\circ} = - (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}

，對。(2)

2 sin 1 5^{\circ} cos 1 5^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

，對。(3) 是三倍角公式

cos 3 θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ

的形狀，值為

cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

，錯。(4)

1 - 2 sin^{2} 22. 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

，錯。(5)

\frac{2 tan 7 5 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 7 5 ^{\circ}} = tan 15 0^{\circ} = - \frac{3}{3}

，錯。

(3) 與 (5) 都是角度變大後跑到第二象限，正負號變了。

第 7 題答案 (1)(3)(5)。疊合：

3 sin x + 3 cos x = 23 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = 23 sin (x + \frac{π}{6})

。(1) 對：週期

2 π

。(2) 錯：最大值是

3^{2} + (3)^{2} = 12 = 23

。(3) 對：

x = \frac{π}{3}

時

x + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

，正弦值為

1

。(4) 錯：對稱軸要通過最高點或最低點，但

f (\frac{2 π}{3}) = 23 sin \frac{5 π}{6} = 3

，不是

\pm 23

。(5) 對：

∣ f (x) ∣ = 23 sin (x + \frac{π}{6})

，把

x

軸下方的部分翻上來後，每隔

π

就重複一次。

振幅是

3^{2} + (3)^{2} = 9 + 3

；

3

的平方是

3

，不是

9

也不是

3

。

03選填 A～E（第 8～12 題）：弧度量、圖形變換、正切差角、扇形

第 8 題從

12

點方向順時針量：分針每分鐘走

6^{\circ}

，

40

分時在

24 0^{\circ}

；時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

3

點

40

分時在

9 0^{\circ} + 2 0^{\circ} = 11 0^{\circ}

。夾角

24 0^{\circ} - 11 0^{\circ} = 13 0^{\circ}

，小於

18 0^{\circ}

，就是較小角。

13 0^{\circ} = 130 \times \frac{π}{180} = \frac{13 π}{18}

弳。

時針不是停在

3

的位置，

40

分鐘內它又往前走了

2 0^{\circ}

。

第 9 題

100 0^{\circ} = 2 \times 36 0^{\circ} + 28 0^{\circ}

，所以同界角是

28 0^{\circ}

。

28 0^{\circ} = 280 \times \frac{π}{180} = \frac{14 π}{9}

，在

0

與

2 π

之間。

第 10 題一步一步換：水平伸縮為

\frac{1}{4}

倍，把

x

換成

4 x

，得

y = sin 4 x

。向左平移

\frac{π}{6}

，把

x

換成

x + \frac{π}{6}

，得

y = sin 4 (x + \frac{π}{6}) = sin (4 x + \frac{2 π}{3})

。鉛直伸縮為

2

倍，得

y = 2 sin (4 x + \frac{2 π}{3})

。向下平移

3

，得

y = 2 sin (4 x + \frac{2 π}{3}) - 3

。

c = \frac{2 π}{3}

在

0

與

2 π

之間，

(a, b, c, d) = (2, 4, \frac{2 π}{3}, - 3)

。

先伸縮再平移時，平移是把「

x

」換成

x + \frac{π}{6}

，所以

c = 4 \times \frac{π}{6} = \frac{2 π}{3}

，不是

\frac{π}{6}

。

第 11 題直角在

B

。設

∠ C A B = α

、

∠ E A D = β

，

A

、

B

、

D

在同一直線上，

\overline{A D} = 4 + 3 = 7

，

\overline{D E} = 3

。

tan α = \frac{B C}{A B} = \frac{3}{4}

，

tan β = \frac{D E}{A D} = \frac{3}{7}

。

∠ C A E = α - β

，所以

tan ∠ C A E = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β} = \frac{\frac{3}{4} - \frac{3}{7}}{1 + \frac{3}{4} \times \frac{3}{7}} = \frac{\frac{9}{28}}{\frac{37}{28}} = \frac{9}{37}

。

∠ C A E

不在任何直角三角形裡，要拆成兩個直角三角形的角相減。

第 12 題周長

= 2 r + r θ = 12

，面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = 9

。由第一式

r θ = 12 - 2 r

，代入第二式：

\frac{1}{2} r (12 - 2 r) = 9

，

r^{2} - 6 r + 9 = 0

，

r = 3

。於是

3 θ = 6

，

θ = 2

。

(r, θ) = (3, 2)

。

2

弳約

114. 6^{\circ}

，確實是鈍角。周長要記得加兩條半徑。

04選填 F～I（第 13～16 題）：差角公式、第三個角的正切、疊合與解方程式

第 13 題把角度都換成

6 7^{\circ}

與

11 2^{\circ}

：

sin 2 3^{\circ} = cos 6 7^{\circ}

；

sin 29 2^{\circ} = sin (36 0^{\circ} - 6 8^{\circ}) = - sin 6 8^{\circ} = - sin 11 2^{\circ}

。原式

= cos 6 7^{\circ} cos 11 2^{\circ} + sin 11 2^{\circ} sin 6 7^{\circ} = cos (11 2^{\circ} - 6 7^{\circ}) = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

。

sin 6 8^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 6 8^{\circ}) = sin 11 2^{\circ}

；減去一個負的變成加，剛好湊成餘弦的差角公式。

第 14 題

A

、

B

是三角形的內角，正弦為正：

sin A = \frac{4}{5}

，

sin B = \frac{5}{13}

，所以

tan A = - \frac{4}{3}

，

tan B = \frac{5}{12}

。

C = 18 0^{\circ} - (A + B)

，

tan C = - tan (A + B) = - \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B} = - \frac{- \frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 + \frac{4}{3} \times \frac{5}{12}} = \frac{\frac{11}{12}}{\frac{14}{9}} = \frac{11}{12} \times \frac{9}{14} = \frac{33}{56}

。

cos A < 0

表示

A

是鈍角，

tan A

是負的；

C

是銳角，

tan C

為正，可以用來檢查正負號。

第 15 題先用和角公式展開：

2 sin (x + \frac{π}{6}) = 2 (sin x \cdot \frac{3}{2} + cos x \cdot \frac{1}{2}) = 3 sin x + cos x

，所以

f (x) = 3 sin x + 3 cos x

。疊合：

(3)^{2} + 3^{2} = 12 = 23

，

f (x) = 23 (\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = 23 sin (x + \frac{π}{3})

。

k = 1

，

(R, θ) = (23, \frac{π}{3})

。

兩項的角不同（

x + \frac{π}{6}

與

x

），不能直接疊合，要先展開成同一個角的

sin x

、

cos x

。

第 16 題疊合：

3 sin 2 x - cos 2 x = 2 (\frac{3}{2} sin 2 x - \frac{1}{2} cos 2 x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{6})

，方程式變成

sin (2 x - \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}

。

- \frac{π}{2} < x < 0

時

- \frac{7 π}{6} < 2 x - \frac{π}{6} < - \frac{π}{6}

。在這個範圍內正弦值為

- \frac{1}{2}

的角只有

- \frac{5 π}{6}

（兩個端點

- \frac{7 π}{6}

、

- \frac{π}{6}

都不含在內）。

2 x - \frac{π}{6} = - \frac{5 π}{6}

，

x = - \frac{π}{3}

。

另一個常見的解

2 x - \frac{π}{6} = - \frac{π}{6}

會得到

x = 0

，不在範圍內。驗算：

x = - \frac{π}{3}

時

3 sin (- \frac{2 π}{3}) - cos (- \frac{2 π}{3}) + 1 = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + 1 = 0

。

05選填 J～M（第 17～20 題）：數交點、滾動、範圍內的極值、三角不等式

第 17 題改寫成

sin x = \frac{x}{8 π}

，數

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{8 π}

的交點。正弦值介於

- 1

與

1

之間，只需看

- 8 π \leq x \leq 8 π

。

x = 0

是一個解。

x > 0

時直線在

x

軸上方，只會和正弦圖形的「山峰」相交：

(0, π)

內

1

個（另一個交點就是

x = 0

）；

(2 π, 3 π)

、

(4 π, 5 π)

、

(6 π, 7 π)

三個山峰，直線在峰頂處的高度依序是

\frac{5}{16}

、

\frac{9}{16}

、

\frac{13}{16}

，都小於

1

，每個山峰各交

2

點。

x = 8 π

時直線高度到

1

，但

sin 8 π = 0

，沒有交點。所以

x > 0

有

1 + 2 + 2 + 2 = 7

個。兩邊都是奇函數，

x < 0

也有

7

個。合計

7 + 7 + 1 = 15

個。

第一個山峰只多出

1

個正的解，因為另一個交點是原點；最後別忘了把

x = 0

算進去。

第 18 題滾動不滑動時，硬幣轉過的弧長等於前進的距離

8 π

，所以轉了

\frac{8 π}{6} = \frac{4 π}{3}

弳，也就是

24 0^{\circ}

。

A

原本在圓心正下方，轉了

24 0^{\circ}

後，圓心到

A

的方向與「正下方」夾

24 0^{\circ}

，即與「正上方」夾

6 0^{\circ}

。圓心離地

6

公分，

A

比圓心高

6 cos 6 0^{\circ} = 3

公分，所以

A

離地

6 + 3 = 9

公分。

也可以直接寫高度

= 6 - 6 cos \frac{4 π}{3} = 6 + 3 = 9

。高度只跟轉了多少角度有關，向左或向右滾結果一樣。

第 19 題疊合：

2 sin x + 23 cos x = 4 (\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = 4 sin (x + \frac{π}{3})

，

y = 4 sin (x + \frac{π}{3}) + 6

。

0 \leq x \leq π

時

\frac{π}{3} \leq x + \frac{π}{3} \leq \frac{4 π}{3}

，這段包含

\frac{π}{2}

，正弦最大可以到

1

。當

x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}

，即

x_{0} = \frac{π}{6}

時，

y_{0} = 4 + 6 = 10

。

要先確認

\frac{π}{2}

落在角度範圍內，才可以直接用振幅當最大值。

第 20 題疊合：

3 sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{6})

，不等式變成

sin (x + \frac{π}{6}) \geq \frac{2}{2}

。

0 \leq x \leq 2 π

時

\frac{π}{6} \leq x + \frac{π}{6} \leq \frac{13 π}{6}

；在這個範圍內正弦值不小於

\frac{2}{2}

的只有

\frac{π}{4} \leq x + \frac{π}{6} \leq \frac{3 π}{4}

（下一段要從

\frac{9 π}{4}

開始，已超過

\frac{13 π}{6}

）。各減

\frac{π}{6}

：

\frac{π}{12} \leq x \leq \frac{7 π}{12}

。

\frac{π}{4} - \frac{π}{6} = \frac{π}{12}

，

\frac{3 π}{4} - \frac{π}{6} = \frac{7 π}{12}

。

看到

a sin x + b cos x

先疊合成單一正弦，再把

x

的範圍換成整個角的範圍，方程式、不等式、極值都在那個範圍裡找。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

選填 I（本頁第 16 題）疊合後要把 x 的範圍換成整個角的範圍，範圍內只有一個解；選填 J（第 17 題）數交點時第一個山峰只多一個正的解，還要加上原點；選填 G（第 14 題）A 是鈍角、正切是負的；選填 D（第 11 題）要把角拆成兩個直角三角形的角相減；選填 C（第 10 題）先伸縮再平移，c 不是平移量本身。詳解逐題寫在本頁。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自平鎮高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

平鎮高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1～4 題）：特別角、二倍角、度與弧度、疊合求最大值

02多重選擇題（第 5～7 題）：讀圖定係數、公式的形狀、疊合後的性質

03選填 A～E（第 8～12 題）：弧度量、圖形變換、正切差角、扇形

04選填 F～I（第 13～16 題）：差角公式、第三個角的正切、疊合與解方程式

05選填 J～M（第 17～20 題）：數交點、滾動、範圍內的極值、三角不等式

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平鎮高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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