段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

高雄中山高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 7 題（35 分）、多選題 5 題（25 分）、填充題 8 格（40 分）

一、單選題（一題 5 分，共 35 分）

28 8^{\circ}

轉換成弧度量為？

(A) $2 π$
(B) $\frac{8 π}{5}$
(C) $\frac{6 π}{5}$
(D) $\frac{4 π}{5}$
(E) $\frac{2 π}{5}$

設

a = sin 6

、

b = sin 7

、

c = sin 8

、

d = sin 9

、

e = sin 10

，則

a

、

b

、

c

、

d

、

e

的大小順序為？

(A) $a > b > c > d > e$
(B) $b > a > c > d > e$
(C) $c > b > d > a > e$
(D) $d > e > b > a > c$
(E) $e > d > c > b > a$

將函數

y = sin x

的圖形，依序做以下變換：(1) 向左平移

π

單位 → (2) 向上平移

3

單位 → (3) 垂直伸縮為

4

倍 → (4) 水平伸縮為

\frac{1}{2}

倍。則變換後的新函數為下列何者？（卷首註：本試題所提及之函數圖形伸縮，其定義為：垂直伸縮為

a

倍，係指將圖形以

x

軸為中心上下伸縮，函數圖形上所有點的

y

坐標變為原本的

a

倍；水平伸縮為

b

倍，係指將圖形以

y

軸為中心左右伸縮，函數圖形上所有點的

x

坐標變為原本的

b

倍。）

(A) $y = 4 sin (\frac{1}{2} x + π) + 3$
(B) $y = 4 sin (\frac{1}{2} x + π) + 12$
(C) $y = 4 sin (2 x + π) + 3$
(D) $y = 4 sin (2 x + 2 π) + 12$
(E) $y = 4 sin (2 x + π) + 12$

設一直圓錐，錐頂為

P

點，底圓直徑

\overline{A B} = 10

，如右圖。今有一隻螞蟻由底圓周上定點

K

出發，繞此圓錐側面爬行一圈後又回到點

K

，則此螞蟻所行的最短路徑長度為下列哪一選項？

(A) $20$
(B) $20 π$
(C) $153$
(D) $15 π$
(E) $10 π$

載入中...

設

x

為任意實數，

f (x) = cos x - sin x

，下列哪個選項正確？

(A) $f (x)$ 的週期為 $π$
(B) $f (x) = 2 cos (x + \frac{π}{4})$
(C) $f (x) = 2 sin (x - \frac{π}{4})$
(D) $f (x)$ 的最大值為 $1$
(E) $y = f (x)$ 的圖形對稱於原點

若

tan α

、

tan β

為一元二次方程式

x^{2} - x - 1 = 0

之兩個實數解，則

tan (α + β)

之值為下列何者？

(A) $0$
(B) $1$
(C) $2$
(D) $\frac{1}{2}$
(E) 不存在

小可愛村有一個半徑為

80

公尺的正圓形跑道，此圓圓心落在直角坐標平面的原點上，如右圖。某日兔哥從點

A (80, 0)

出發，沿著跑道順時針繞行

560

公尺，在

B

點捕捉到逃跑的飛鼠。

B

點到

y

軸的垂直距離為？

(A) $80 sin 560$
(B) $80 sin 7$
(C) $80 cos 560$
(D) $80 cos 7$
(E) $80 cos 7^{\circ}$

載入中...

二、多選題（一題 5 分，共 25 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個選項以上得 0 分）（流傳版本題號 1～5，本頁接續編為第 8～12 題）

從以下選項中選出

60

的同界角？

(A) $420$
(B) $42 0^{\circ}$
(C) $60 + 18 π$
(D) $60 + 45 π$
(E) $60 - 30 π$

設有一扇形，其半徑為

5

，圓心角為

\frac{8 π}{5}

，則下列關於此扇形之各項數據，哪些選項正確？

(A) 扇形面積為 $10 π$
(B) 扇形弧長為 $8 π$
(C) 扇形周長為 $10 + 8 π$
(D) 將此扇形兩側半徑線段黏合後捲成一圓錐，如右圖，則此圓錐錐體高 $h$ 為 $5$
(E) 將此扇形兩側半徑線段黏合後捲成一圓錐，如右圖，則此圓錐底圓半徑 $r$ 為 $4$

載入中...

設函數

f (x) = 2 sin (3 x - \frac{π}{2}) + 1

，其中

x

為任意實數，試問下列敘述哪些正確？

(A) $- 1 \leq f (x) \leq 3$
(B) $f (0) \geq 2$
(C) $f (x)$ 的週期為 $\frac{2 π}{3}$
(D) $y = f (x)$ 的圖形對稱於直線 $x = π$
(E) $y = f (x)$ 的圖形點對稱於點 $(\frac{π}{2}, 1)$

下列敘述哪些是正確的？（卷首註：水平伸縮為

b

倍，係指將圖形以

y

軸為中心左右伸縮，函數圖形上所有點的

x

坐標變為原本的

b

倍。）

(A) 將 $y = sin x$ 「先水平伸縮為 $2$ 倍再向左平移 $1$ 單位」與「先向左平移 $1$ 單位再水平伸縮為 $2$ 倍」，所得圖形相同
(B) 將 $y = sin x$ 「先水平伸縮為 $2$ 倍再向上平移 $1$ 單位」與「先向上平移 $1$ 單位再水平伸縮為 $2$ 倍」，所得圖形相同
(C) $sin x = cos x$ 的實數解只有 $2$ 個
(D) $sin x = \frac{x}{2 π}$ 的解只有 $3$ 個
(E) $y = 3 sin (2 x + 1) - 4$ 的週期為 $π$

若

9 0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}

，且

sin θ + cos θ = \frac{1}{5}

，則下列選項哪些正確？

(A) $cos θ = - \frac{3}{5}$
(B) $cos 2 θ = \frac{7}{25}$
(C) $sin 2 θ = - \frac{24}{25}$
(D) $sin \frac{θ}{2} = \frac{1}{5}$
(E) $tan \frac{θ}{2} = 2$

三、填充題（一格 5 分，共 40 分）｜請將所有計算結果展開，並化簡與有理化後成整數或最簡分數形式，否則不予計分。圓周率請以 π 表示，答案寫近似值亦不予計分。（流傳版本題號 1～8，本頁接續編為第 13～20 題）

觀察傳統指針式時鐘，在

11

點

45

分的時候，時針與分針所夾較小的角度為 ____ 弳。（答案請以弧度量表示）

如右圖，扇形

A O B

中，圓心為

O

，圓心角

∠ A O B = \frac{2 π}{3}

，設半徑

\overline{O A} = \overline{O B} = 6

，另各以

\overline{O A}

、

\overline{O B}

為直徑在扇形內部做兩半圓，試求右圖中填色部分之面積為 ____。

載入中...

若有一扇形的周長與面積均為

18

，則其半徑為 ____。

在

- 2 π \leq x \leq 2 π

的範圍內，

y = sin x

圖形與

y = cos 2 x

圖形共有 ____ 個交點。

右圖為

y = a sin (b x + c) + d

的部分圖形。已知圖形的其中一個最高點為

A (\frac{5 π}{12}, 1)

，其中一個最低點為

B (\frac{3 π}{4}, - 3)

，且

a > 0

，

b > 0

，

- π < c < 0

，則

c =

____。（答案請以弧度量表示）

載入中...

cos 16 0^{\circ} cos (- 8 0^{\circ}) + sin 10 0^{\circ} sin 56 0^{\circ} = k

，實數

k =

____。

設

0 \leq x \leq π

，

y = 3 sin x - cos x

在

x

為實數

t

時有最大值為

M

，則

M + t =

____。（含有實數

t

之部分請以弧度量表示）

有一圓其直徑為

\overline{A B}

，且

\overline{A B} = 6

，

P

是圓周上異於直徑兩端點的另一點，如右圖所示。當

\overline{P A} = d

時，

\frac{5}{6} \overline{P A} + 2 \overline{P B}

有最大值，則

d =

____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(C)

第 3 題(E)

第 4 題(C)

第 5 題(B)

第 6 題(D)

第 7 題(D)

第 8 題(C)(E)

第 9 題(B)(C)(E)

第 10 題(A)(C)(D)(E)

第 11 題(B)(D)(E)

第 12 題(A)(C)(E)

第 13 題

\frac{11 π}{24}

第 14 題

6 π - \frac{9 3}{2}

第 15 題

3

或

6

第 16 題

6

第 17 題

- \frac{3 π}{4}

第 18 題

- \frac{1}{2}

第 19 題

2 + \frac{2 π}{3}

第 20 題

\frac{30}{13}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～4 題：度與弧度、弧度角的正弦值、圖形變換、圓錐側面展開

第 1 題答案 (B)。

18 0^{\circ} = π

弳，所以

28 8^{\circ} = 288 \times \frac{π}{180} = \frac{8 π}{5}

弳。

第 2 題答案 (C)。這五個角都是弧度，用

π \approx 3.14

、

2 π \approx 6.28

、

3 π \approx 9.42

把它們化成

0

到

\frac{π}{2} \approx 1.57

之間的角：

sin 6 = sin (6 - 2 π) \approx sin (- 0.28) = - sin 0.28

；

sin 7 = sin (7 - 2 π) \approx sin 0.72

；

sin 8 = sin (8 - 2 π) \approx sin 1.72 = sin (π - 1.72) \approx sin 1.42

；

sin 9 = sin (9 - 2 π) \approx sin 2.72 = sin (π - 2.72) \approx sin 0.42

；

sin 10 = sin (10 - 3 π + 3 π) = - sin (10 - 3 π) \approx - sin 0.58

。正弦在

0

到

\frac{π}{2}

之間遞增，所以

sin 1.42 > sin 0.72 > sin 0.42 > 0 > - sin 0.28 > - sin 0.58

，即

c > b > d > a > e

。

a

與

e

都是負的，比的是誰離

0

近：

0.28 < 0.58

，所以

a > e

。

第 3 題答案 (E)。一步一步寫：(1) 向左平移

π

，把

x

換成

x + π

，得

y = sin (x + π)

。(2) 向上平移

3

，得

y = sin (x + π) + 3

。(3) 垂直伸縮為

4

倍，整個函數值乘以

4

，得

y = 4 sin (x + π) + 12

。(4) 水平伸縮為

\frac{1}{2}

倍，把

x

換成

2 x

，得

y = 4 sin (2 x + π) + 12

。

垂直伸縮排在向上平移之後，所以上移的

3

也一起變成

12

；水平伸縮排在向左平移之後，只把

x

換成

2 x

，括號裡的

π

不變。

第 4 題答案 (C)。底圓半徑是

5

，底圓周長

10 π

；母線長

15

。沿母線

\overline{P K}

把側面剪開攤平，得到半徑

15

、弧長

10 π

的扇形，圓心角是

\frac{10 π}{15} = \frac{2 π}{3}

。

K

在展開圖上變成弧的兩個端點，繞側面一圈回到

K

的最短路徑就是連接這兩個端點的線段。這條線段是腰長

15

、頂角

\frac{2 π}{3}

的等腰三角形的底邊，長度為

2 \times 15 \times sin \frac{π}{3} = 153

。

圖上的

15

標在母線上，

10

是底圓直徑。(E) 的

10 π

是沿底圓周走一圈的長度，約

31.4

，比

153 \approx 25.98

長。

圖形變換照順序一步一步代換；圓錐側面上的最短路徑先攤平成扇形再連直線。

02單選第 5～7 題：疊合、正切和角、弧長與坐標

第 5 題答案 (B)。

cos x - sin x = 2 (cos x \cdot \frac{1}{2} - sin x \cdot \frac{1}{2}) = 2 (cos x cos \frac{π}{4} - sin x sin \frac{π}{4}) = 2 cos (x + \frac{π}{4})

，(B) 對。(A) 錯：週期是

2 π

。(C) 錯：

2 sin (x - \frac{π}{4}) = sin x - cos x = - f (x)

，差一個負號。(D) 錯：最大值是

2

。(E) 錯：圖形對稱於原點時必有

f (0) = 0

，但

f (0) = 1

。

第 6 題答案 (D)。判別式

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5 > 0

，確實有兩個實數解。由根與係數的關係，

tan α + tan β = 1

、

tan α tan β = - 1

，所以

tan (α + β) = \frac{tan α + tan β}{1 - tan α tan β} = \frac{1}{1 - ( - 1 )} = \frac{1}{2}

。

分母是

1 - tan α tan β = 2

，不是

0

，所以值存在。

第 7 題答案 (D)。弧長

560

、半徑

80

，轉過的圓心角是

\frac{560}{80} = 7

弳。從

A (80, 0)

順時針轉

7

弳，

B

對應的有向角是

- 7

，所以

B = (80 cos (- 7), 80 sin (- 7)) = (80 cos 7, - 80 sin 7)

。

B

到

y

軸的距離是

x

坐標的絕對值

80∣ cos 7∣

。因為

7 - 2 π \approx 0.72

在

0

與

\frac{π}{2}

之間，

cos 7 = cos 0.72 > 0

，所以距離是

80 cos 7

。

(E) 的

7^{\circ}

把弧度當成度；(A)(C) 的

560

是走的路程，不是角。順時針或逆時針只影響

y

坐標的正負，到

y

軸的距離相同。

03多選第 1～3 題（第 8～10 題）：同界角、扇形與圓錐、正弦型函數的性質

第 8 題答案 (C)(E)。

60

沒有寫度的記號，是

60

弳。兩個角是同界角，表示它們相差

2 π

的整數倍。(A) 錯：

420 - 60 = 360

，而

\frac{360}{2 π} = \frac{180}{π}

不是整數。(B) 錯：

42 0^{\circ} = \frac{7 π}{3}

弳，如果

\frac{7 π}{3} - 60

是

2 π

的整數倍，

60

就會是

π

的有理數倍，這不可能。(C) 對：

18 π = 9 \times 2 π

。(D) 錯：

45 π

是

π

的奇數倍，不是

2 π

的整數倍。(E) 對：

- 30 π = - 15 \times 2 π

。

42 0^{\circ}

是

6 0^{\circ}

的同界角，但題目問的是

60

弳。

第 9 題答案 (B)(C)(E)。半徑

r_{0} = 5

、圓心角

θ = \frac{8 π}{5}

。(A) 錯：面積

\frac{1}{2} r_{0}^{2} θ = \frac{1}{2} \times 25 \times \frac{8 π}{5} = 20 π

。(B) 對：弧長

r_{0} θ = 5 \times \frac{8 π}{5} = 8 π

。(C) 對：周長是兩條半徑加弧長，

10 + 8 π

。捲成圓錐後，扇形的半徑變成母線（長

5

），扇形的弧變成底圓周，所以

2 π r = 8 π

，

r = 4

，(E) 對。高

h = 5^{2} - 4^{2} = 3

，(D) 錯。

5

是母線長，不是高；高、底圓半徑與母線構成直角三角形，三邊是

3

、

4

、

5

。

第 10 題答案 (A)(C)(D)(E)。因為

sin (θ - \frac{π}{2}) = - cos θ

，所以

f (x) = - 2 cos 3 x + 1

。(A) 對：

- 1 \leq cos 3 x \leq 1

，所以

- 1 \leq f (x) \leq 3

。(B) 錯：

f (0) = - 2 + 1 = - 1

。(C) 對：週期

\frac{2 π}{3}

。(D) 對：

f (π + t) = - 2 cos (3 π + 3 t) + 1 = 2 cos 3 t + 1

，

f (π - t) = - 2 cos (3 π - 3 t) + 1 = 2 cos 3 t + 1

，兩者相等，圖形對稱於直線

x = π

。(E) 對：

f (\frac{π}{2} + t) = - 2 cos (\frac{3 π}{2} + 3 t) + 1 = - 2 sin 3 t + 1

，

f (\frac{π}{2} - t) = - 2 cos (\frac{3 π}{2} - 3 t) + 1 = 2 sin 3 t + 1

，兩者的平均是

1

，圖形對稱於點

(\frac{π}{2}, 1)

。

快速判斷：正弦型圖形的對稱軸通過最高點或最低點（

f (π) = 3

是最大值），對稱中心在中線

y = 1

上（

f (\frac{π}{2}) = 1

）。

沒寫度的記號就是弧度；扇形捲成圓錐時，半徑變母線、弧變底圓周。

04多選第 4～5 題（第 11～12 題）：變換的順序與解的個數、由和求倍角半角

第 11 題答案 (B)(D)(E)。(A) 錯：先水平伸縮為

2

倍得

y = sin \frac{x}{2}

，再向左平移

1

得

y = sin \frac{x + 1}{2}

；先向左平移

1

得

y = sin (x + 1)

，再水平伸縮為

2

倍得

y = sin (\frac{x}{2} + 1)

，兩者不同。(B) 對：兩種順序都得到

y = sin \frac{x}{2} + 1

。(C) 錯：

x = \frac{π}{4} + k π

（

k

為整數）都是解，有無限多個。(D) 對：直線

y = \frac{x}{2 π}

通過原點，

x = 0

是一個解。

∣ x ∣ > 2 π

時

\frac{x}{2 π} > 1

，沒有解；

x = 2 π

時左邊是

0

、右邊是

1

，也不是解。在

π \leq x < 2 π

，

sin x \leq 0

而

\frac{x}{2 π} > 0

，沒有解。在

0 < x < π

，

y = sin x

是凹口向下的一拱，從原點出發時在直線上方（例如

x = \frac{π}{2}

時

1 > \frac{1}{4}

），到

x = π

時

0 < \frac{1}{2}

落到直線下方，恰好交一次。兩邊都是奇函數，

x < 0

那一側同樣恰有一個解。合計

3

個。(E) 對：週期

\frac{2 π}{2} = π

，上下平移與左右平移不影響週期。

水平方向的伸縮與左右平移，先後順序不同結果就不同；水平伸縮與上下平移互不影響。

第 12 題答案 (A)(C)(E)。把

sin θ + cos θ = \frac{1}{5}

兩邊平方：

1 + 2 sin θ cos θ = \frac{1}{25}

，所以

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = - \frac{24}{25}

，(C) 對。

sin θ

與

cos θ

的和是

\frac{1}{5}

、積是

- \frac{12}{25}

，它們是

25 t^{2} - 5 t - 12 = 0

即

(5 t - 4) (5 t + 3) = 0

的兩根；

θ

在第二象限，正弦為正、餘弦為負，所以

sin θ = \frac{4}{5}

、

cos θ = - \frac{3}{5}

，(A) 對。(B) 錯：

cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = - \frac{7}{25}

。(D) 錯：

4 5^{\circ} < \frac{θ}{2} < 9 0^{\circ}

，

sin \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{4}{5} = \frac{2}{5}

。(E) 對：

cos \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{1}{5}

，所以

tan \frac{θ}{2} = 2

。

(D) 的

\frac{1}{5}

其實是

cos \frac{θ}{2}

的值。

05填充第 1～4 格（第 13～16 題）：時鐘夾角、扇形與半圓、扇形求半徑、交點個數

第 13 題鐘面一大格是

3 0^{\circ}

。

11

點

45

分時，分針指向

9

。時針從

11

往

12

走了

\frac{45}{60} = \frac{3}{4}

格，位置在

11

之後

22. 5^{\circ}

。從

9

到

11

是兩大格

6 0^{\circ}

，所以兩針夾角是

6 0^{\circ} + 22. 5^{\circ} = 82. 5^{\circ}

，化成弧度是

82.5 \times \frac{π}{180} = \frac{11 π}{24}

弳。

時針不是停在

11

：

45

分鐘它走了

3 0^{\circ} \times \frac{3}{4} = 22. 5^{\circ}

。

第 14 題填色部分是扇形扣掉兩個半圓蓋住的範圍。扇形面積

\frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{2 π}{3} = 12 π

。兩個半圓的半徑都是

3

，面積各

\frac{9 π}{2}

，但它們有重疊，要先算重疊的部分。設

D

是

\overline{A B}

的中點，因為

\overline{O A} = \overline{O B}

，

\overline{O D} ⊥ \overline{A B}

，

∠ O D A = ∠ O D B = 9 0^{\circ}

，所以

D

同時在兩個以

\overline{O A}

、

\overline{O B}

為直徑的圓上；兩半圓交於

O

與

D

，且

\overline{O D} = 6 cos \frac{π}{3} = 3

。設

M

是

\overline{O A}

的中點，則

\overline{M O} = \overline{M D} = \overline{O D} = 3

，

△ M O D

是正三角形，弦

\overline{O D}

在這個半圓裡切出的弓形面積是

\frac{1}{2} \times 3^{2} \times \frac{π}{3} - \frac{3}{4} \times 3^{2} = \frac{3 π}{2} - \frac{9 3}{4}

。另一個半圓的情形相同，重疊部分由這兩個弓形拼成，面積

3 π - \frac{9 3}{2}

。兩個半圓合起來蓋住

2 \times \frac{9 π}{2} - (3 π - \frac{9 3}{2}) = 6 π + \frac{9 3}{2}

，所以填色面積是

12 π - (6 π + \frac{9 3}{2}) = 6 π - \frac{9 3}{2}

。

直接用扇形減兩個半圓會得到

3 π

，少算了重疊被扣兩次的那一塊。

第 15 題設半徑

r

、圓心角

θ

。周長

2 r + r θ = 18

，面積

\frac{1}{2} r^{2} θ = 18

。由第一式

r θ = 18 - 2 r

，代入第二式：

\frac{1}{2} r (18 - 2 r) = 18

，整理得

r^{2} - 9 r + 18 = 0

，

(r - 3) (r - 6) = 0

，

r = 3

或

6

。

r = 3

時

θ = 4

，

r = 6

時

θ = 1

，兩個圓心角都在

0

與

2 π

之間，兩個答案都合。

兩個解都要檢查圓心角有沒有超過

2 π

；

4 < 2 π \approx 6.28

，所以

r = 3

也成立。

第 16 題交點的

x

坐標滿足

sin x = cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x

，即

2 sin^{2} x + sin x - 1 = 0

，

(2 sin x - 1) (sin x + 1) = 0

，所以

sin x = \frac{1}{2}

或

sin x = - 1

。在

- 2 π \leq x \leq 2 π

內，

sin x = \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

、

- \frac{11 π}{6}

、

- \frac{7 π}{6}

共

4

個；

sin x = - 1

的解是

x = \frac{3 π}{2}

、

- \frac{π}{2}

共

2

個。合計

6

個交點。

算重疊圖形的面積，先找出交點在哪裡，再把重疊的部分拆成弓形。

06填充第 5～8 格（第 17～20 題）：由圖求相位、和角公式化簡、疊合求極值

第 17 題最大值

1

、最小值

- 3

，中線是

y = \frac{1 + ( - 3 )}{2} = - 1

，所以

d = - 1

；振幅

a = \frac{1 - ( - 3 )}{2} = 2

。由圖，

A

與

B

是相鄰的最高點與最低點，橫向相差半個週期：

\frac{3 π}{4} - \frac{5 π}{12} = \frac{π}{3}

，週期是

\frac{2 π}{3}

，又

b > 0

，所以

b = 3

。在最高點

A

，

sin (3 \times \frac{5 π}{12} + c) = 1

，即

\frac{5 π}{4} + c = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），

c = - \frac{3 π}{4} + 2 k π

。在

- π < c < 0

內只有

c = - \frac{3 π}{4}

。

驗算最低點：

3 \times \frac{3 π}{4} - \frac{3 π}{4} = \frac{3 π}{2}

，

2 sin \frac{3 π}{2} - 1 = - 3

，與

B

相符。「

A

、

B

相鄰」是從圖上讀出來的條件。

第 18 題先把四個角化成

2 0^{\circ}

與

8 0^{\circ}

：

cos 16 0^{\circ} = - cos 2 0^{\circ}

，

cos (- 8 0^{\circ}) = cos 8 0^{\circ}

，

sin 10 0^{\circ} = sin 8 0^{\circ}

，

sin 56 0^{\circ} = sin 20 0^{\circ} = - sin 2 0^{\circ}

。所以

k = - cos 2 0^{\circ} cos 8 0^{\circ} - sin 8 0^{\circ} sin 2 0^{\circ} = - (cos 8 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} + sin 8 0^{\circ} sin 2 0^{\circ}) = - cos (8 0^{\circ} - 2 0^{\circ}) = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

。

第 19 題疊合：

3 sin x - cos x = 2 (sin x \cdot \frac{3}{2} - cos x \cdot \frac{1}{2}) = 2 (sin x cos \frac{π}{6} - cos x sin \frac{π}{6}) = 2 sin (x - \frac{π}{6})

。

0 \leq x \leq π

時

- \frac{π}{6} \leq x - \frac{π}{6} \leq \frac{5 π}{6}

，這個範圍包含

\frac{π}{2}

，所以當

x - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

，即

x = \frac{2 π}{3}

時有最大值

2

。

M = 2

、

t = \frac{2 π}{3}

，

M + t = 2 + \frac{2 π}{3}

。

疊合後要先確認

\frac{π}{2}

落在角的範圍內，最大值才是振幅

2

。

第 20 題

\overline{A B}

是直徑，所以

∠ A P B = 9 0^{\circ}

。設

∠ P A B = θ

（

0 < θ < \frac{π}{2}

），則

\overline{P A} = 6 cos θ

、

\overline{P B} = 6 sin θ

，

\frac{5}{6} \overline{P A} + 2 \overline{P B} = 5 cos θ + 12 sin θ

。疊合：

5 cos θ + 12 sin θ = 13 (sin θ \cdot \frac{12}{13} + cos θ \cdot \frac{5}{13}) = 13 sin (θ + φ)

，其中

φ

是銳角，

cos φ = \frac{12}{13}

、

sin φ = \frac{5}{13}

。當

θ + φ = \frac{π}{2}

時有最大值

13

，這時

θ = \frac{π}{2} - φ

確實在

0

與

\frac{π}{2}

之間，且

cos θ = sin φ = \frac{5}{13}

，所以

d = \overline{P A} = 6 \times \frac{5}{13} = \frac{30}{13}

。

題目問的是取到最大值時的

\overline{P A}

，不是最大值

13

。這時

\overline{P B} = 6 \times \frac{12}{13} = \frac{72}{13}

。

求極值先疊合成單一正弦，再檢查角的範圍裡有沒有取到最大值的位置。

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03多選第 1～3 題（第 8～10 題）：同界角、扇形與圓錐、正弦型函數的性質

04多選第 4～5 題（第 11～12 題）：變換的順序與解的個數、由和求倍角半角

05填充第 1～4 格（第 13～16 題）：時鐘夾角、扇形與半圓、扇形求半徑、交點個數

06填充第 5～8 格（第 17～20 題）：由圖求相位、和角公式化簡、疊合求極值

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