段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

成淵高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 13 題，照原卷順序

填充題 11 題共 18 格（90 分）、繪圖題 2 題（10 分）

一、填充題（共 90 分，每題 5 分）

試求下列各式的值：(1)

cos \frac{π}{3} =

____　(2)

sin \frac{5 π}{6} \cdot tan (- \frac{3 π}{4}) + cos (- \frac{3 π}{2}) \cdot tan \frac{π}{12} =

____　(3)

cos 8 1^{\circ} sin 3 9^{\circ} + cos 9^{\circ} sin 12 9^{\circ} =

____

已知

0 < θ < \frac{π}{2}

，

tan θ = \frac{21}{20}

，求：(1) 若

sin \frac{θ}{2} = \frac{k}{58}

，則

k

之值為 ____　(2) 試求

tan (\frac{π}{4} - θ) =

____

已知扇形的半徑為

8

公分，周長為

40

公分，試求扇形的面積為 ____ 平方公分

依規定，早上上學

8

點

10

分前進教室即可，超過

8

點

10

分者記遲到，超過

8

點

25

分則記曠課。阿明同學經常性遲到，今天又號稱鬧鐘沒有響鈴睡過頭，

8

點

14

分才進教室……。已知教室時鐘的時針長為

6

公分、分針長為

8

公分，問：(1) 時鐘在

8

點

14

分的時候，時針與分針較小的夾角為 ____ 度　(2) 從

8

點

10

分到

8

點

14

分，時針所掃過的扇形面積為 ____ 平方公分

Γ

：

y = cos \frac{π}{4} x

，直線

L

：

y = - \frac{1}{4}

，(1) 試求

Γ

的週期為 ____　(2) 將

Γ

的圖形，先往右移

4

，再水平伸縮

\frac{1}{4}

倍後，得新圖形為

y =

____　(3) 設

Γ

的圖形與直線

L

的交點坐標為

(x_{i}, - \frac{1}{4})

，

0 \leq x_{i} \leq 16

，且

0 < x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < 16

，試求

x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} =

____

設

0 \leq x \leq 2 π

，不等式

- \frac{3}{2} \leq sin x \leq \frac{1}{2}

的解為

0 \leq x \leq aπ

或

bπ \leq x \leq c π

或

d π \leq x \leq 2 π

，試求

a + b + c + d =

____

設

y = 2 cos (x + \frac{π}{3}) + 2 cos x + 3

，試求

y

的最小值為 ____

設

0 \leq x \leq π

，當

f (x) = 3 sin x + 2 cos x + 1

有最大值時，

sin x

的值為 ____

設

0 \leq x \leq 2 π

，方程式

2 cos^{2} x = 3 sin 2 x

的解為

x =

____（四解）

如右圖，圓

O

的半徑為

5

，

A

、

B

、

C

、

D

是圓上相異四點，

A

在

x

軸上，已知

B

點的坐標為

(2, 1)

，且

∠ C O D = 2∠ B O C = 2∠ A O B

。(1) 計算

cos (∠ C O D) =

____　(2) 試求

D

點到

x

軸的距離為 ____

載入中...

平面上三相異直線

L_{1}

：

y = \frac{1}{2} x + 2

、

L_{2}

、

L_{3}

相交於一點

P (0, 2)

，其中

L_{2} ⊥ L_{1}

，且

L_{2}

與

L_{3}

分別交

x

軸正向於

Q

、

R

兩點，

R

在

Q

的右邊。已知

O

為原點，若

∠ O P Q = ∠ R P Q

，則

R

點坐標為 ____

二、繪圖題（共 10 分）

- π \leq x \leq π

，請描繪函數

y = tan 2 x

的圖形（5 分）

- 2 π \leq x \leq 2 π

，請描繪函數

y = sin ∣ x ∣

的圖形（5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

\frac{1}{2}

　(2)

\frac{1}{2}

　(3)

\frac{3}{2}

第 2 題(1)

3

　(2)

- \frac{1}{41}

第 3 題

96

第 4 題(1)

163

　(2)

\frac{π}{5}

第 5 題(1)

8

　(2)

- cos π x

　(3)

32

第 6 題

4

第 7 題

- 3

第 8 題

\frac{3 13}{13}

第 9 題

\frac{π}{6}

、

\frac{π}{2}

、

\frac{7 π}{6}

、

\frac{3 π}{2}

第 10 題(1)

\frac{3}{5}

　(2)

\frac{24 5}{25}

第 11 題

(\frac{8}{3}, 0)

第 12 題圖形見詳解：週期

\frac{π}{2}

，漸近線為

x = \pm \frac{π}{4}

、

x = \pm \frac{3 π}{4}

，與

x

軸交於

x = - π

、

- \frac{π}{2}

、

0

、

\frac{π}{2}

、

π

第 13 題圖形見詳解：

x \geq 0

的部分是

y = sin x

，再對

y

軸作對稱得到

x < 0

的部分

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1、2 題：弧度制的函數值、和角、半角與正切差角

第 1 題(1)

\frac{π}{3} = 6 0^{\circ}

，

cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

。(2)

sin \frac{5 π}{6} = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

；

- \frac{3 π}{4}

是第三象限角，正切為正，

tan (- \frac{3 π}{4}) = tan \frac{π}{4} = 1

；

cos (- \frac{3 π}{2}) = cos \frac{3 π}{2} = 0

。所以原式

= \frac{1}{2} \times 1 + 0 \times tan \frac{π}{12} = \frac{1}{2}

。(3)

cos 9^{\circ} = sin 8 1^{\circ}

，

sin 12 9^{\circ} = sin 5 1^{\circ} = cos 3 9^{\circ}

，原式

= cos 8 1^{\circ} sin 3 9^{\circ} + sin 8 1^{\circ} cos 3 9^{\circ} = sin (3 9^{\circ} + 8 1^{\circ}) = sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}

。

(2) 的第二項有

cos (- \frac{3 π}{2}) = 0

，所以

tan \frac{π}{12}

的值不必求。

第 2 題

θ

是銳角且

tan θ = \frac{21}{20}

，取兩股

21

、

20

的直角三角形，斜邊

2 1^{2} + 2 0^{2} = 29

，所以

cos θ = \frac{20}{29}

。(1)

0 < \frac{θ}{2} < \frac{π}{4}

，

sin \frac{θ}{2} > 0

，由半角公式

sin \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{9}{58} = \frac{3}{58}

，

k = 3

。(2)

tan (\frac{π}{4} - θ) = \frac{tan \frac{π}{4} - tan θ}{1 + tan \frac{π}{4} tan θ} = \frac{1 - \frac{21}{20}}{1 + \frac{21}{20}} = \frac{- \frac{1}{20}}{\frac{41}{20}} = - \frac{1}{41}

。

tan θ > 1

表示

θ > \frac{π}{4}

，所以

\frac{π}{4} - θ

是負角，正切值為負。

02第 3、4 題：扇形面積、時鐘的指針

第 3 題扇形的周長是兩條半徑加上弧長：

40 = 8 + 8 +

弧長，弧長為

24

公分。圓心角

θ = \frac{24}{8} = 3

（弧度）。面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 8^{2} \times 3 = 96

平方公分。

也可以直接用面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \times 8 \times 24 = 96

。

第 4 題分針每分鐘轉

\frac{36 0 ^{\circ}}{60} = 6^{\circ}

，時針每分鐘轉

\frac{3 0 ^{\circ}}{60} = 0. 5^{\circ}

。(1) 從

12

的位置順時針量：

8

點

14

分時，分針在

14 \times 6^{\circ} = 8 4^{\circ}

，時針在

8 \times 3 0^{\circ} + 14 \times 0. 5^{\circ} = 24 7^{\circ}

，相差

24 7^{\circ} - 8 4^{\circ} = 16 3^{\circ}

，小於

18 0^{\circ}

，就是較小的夾角。(2)

4

分鐘內時針轉了

4 \times 0. 5^{\circ} = 2^{\circ} = \frac{π}{90}

弧度，時針長

6

公分，掃過的扇形面積

= \frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{π}{90} = \frac{π}{5}

平方公分。

(2) 問的是時針，半徑用

6

公分；扇形面積公式裡的角要用弧度。分針長

8

公分在這兩小題都用不到。

03第 5、6 題：餘弦函數的週期與平移伸縮、正弦不等式

第 5 題(1) 週期

= \frac{2 π}{\frac{π}{4}} = 8

。(2) 往右移

4

是把

x

換成

x - 4

：

y = cos \frac{π}{4} (x - 4)

；再水平伸縮

\frac{1}{4}

倍是把

x

換成

4 x

：

y = cos \frac{π}{4} (4 x - 4) = cos (π x - π) = - cos π x

。(3)

0 \leq x \leq 16

剛好是兩個週期。

Γ

在

x = 4

與

x = 12

各有一個最低點，圖形分別對稱於直線

x = 4

與

x = 12

。第一個週期內的兩個交點對稱於

x = 4

，

x_{1} + x_{2} = 8

；第二個週期內的兩個交點對稱於

x = 12

，

x_{3} + x_{4} = 24

。總和為

32

。

(2) 的答案寫成

cos (π x - π)

也是同一個函數。(3) 不必解出每個

x_{i}

，用對稱軸就能求和。

第 6 題在

0 \leq x \leq 2 π

內分別解兩個不等式。

sin x \leq \frac{1}{2}

：

sin x = \frac{1}{2}

於

x = \frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

，解為

0 \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6} \leq x \leq 2 π

。

sin x \geq - \frac{3}{2}

：

sin x = - \frac{3}{2}

於

x = \frac{4 π}{3}

、

\frac{5 π}{3}

，解為

0 \leq x \leq \frac{4 π}{3}

或

\frac{5 π}{3} \leq x \leq 2 π

。取共同部分：

0 \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

或

\frac{5 π}{3} \leq x \leq 2 π

。所以

a = \frac{1}{6}

、

b = \frac{5}{6}

、

c = \frac{4}{3}

、

d = \frac{5}{3}

，

a + b + c + d = 1 + 3 = 4

。

畫出

y = sin x

與兩條水平線

y = \frac{1}{2}

、

y = - \frac{3}{2}

，取圖形夾在兩線之間的部分，可以直接讀出三段。

04第 7、8 題：正餘弦的疊合

第 7 題

2 cos (x + \frac{π}{3}) = 2 (cos x cos \frac{π}{3} - sin x sin \frac{π}{3}) = cos x - 3 sin x

，所以

y = 3 cos x - 3 sin x + 3

。

3 cos x - 3 sin x

疊合後的振幅是

3^{2} + (3)^{2} = 12 = 23

，它的最小值是

- 23

。

x

沒有限制範圍，所以

y

的最小值為

- 23 + 3 = - 3

。

寫成單一餘弦是

y = 23 cos (x + \frac{π}{6}) + 3

，

x = \frac{5 π}{6}

時取到最小值。

第 8 題

3 sin x + 2 cos x = 13 (\frac{3}{13} sin x + \frac{2}{13} cos x) = 13 sin (x + α)

，其中

α

是銳角，

cos α = \frac{3}{13}

、

sin α = \frac{2}{13}

。

0 \leq x \leq π

時

α \leq x + α \leq π + α

，這個範圍包含

\frac{π}{2}

，所以

x + α = \frac{π}{2}

時

f (x)

有最大值

13 + 1

。此時

x = \frac{π}{2} - α

，

sin x = sin (\frac{π}{2} - α) = cos α = \frac{3}{13} = \frac{3 13}{13}

。

題目問的是最大值發生時的

sin x

，不是最大值本身。要先確認

x = \frac{π}{2} - α

落在

0 \leq x \leq π

內。

05第 9～11 題：倍角公式的應用

第 9 題用

sin 2 x = 2 sin x cos x

：

2 cos^{2} x = 23 sin x cos x

，移項提出公因式得

2 cos x (cos x - 3 sin x) = 0

。所以

cos x = 0

或

cos x = 3 sin x

。

cos x = 0

：

x = \frac{π}{2}

、

\frac{3 π}{2}

。

cos x = 3 sin x

：此時

cos x \neq = 0

（否則

sin x

也是

0

，不可能），兩邊同除以

cos x

得

tan x = \frac{1}{3}

，

x = \frac{π}{6}

、

\frac{7 π}{6}

。共四解：

\frac{π}{6}

、

\frac{π}{2}

、

\frac{7 π}{6}

、

\frac{3 π}{2}

。

不能一開始就把兩邊的

cos x

約掉，那樣會漏掉

cos x = 0

的兩個解。

第 10 題設

∠ A O B = α

。

A

在

x

軸正向，

B (2, 1)

在半徑

5

的圓上，所以

cos α = \frac{2}{5}

、

sin α = \frac{1}{5}

。由條件

∠ B O C = α

、

∠ C O D = 2 α

。(1)

cos (∠ C O D) = cos 2 α = 1 - 2 sin^{2} α = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}

。(2) 依圖，

B

、

C

、

D

由

A

起依逆時針方向排列，

D

的方向角是

α + α + 2 α = 4 α

。

sin 2 α = 2 sin α cos α = \frac{4}{5}

，

sin 4 α = 2 sin 2 α cos 2 α = 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{24}{25}

。

D

的

y

坐標是

5 sin 4 α = \frac{24 5}{25}

，這就是

D

到

x

軸的距離。

cos 4 α = 2 cos^{2} 2 α - 1 = - \frac{7}{25} < 0

，

D

在第二象限，與圖相符。

A

、

B

、

C

、

D

的排列順序是由圖判斷的。

第 11 題

L_{1}

的斜率是

\frac{1}{2}

，

L_{2} ⊥ L_{1}

，

L_{2}

的斜率是

- 2

，過

P (0, 2)

：

y = - 2 x + 2

，令

y = 0

得

Q (1, 0)

。直角三角形

O P Q

中

\overline{O P} = 2

、

\overline{O Q} = 1

，

tan ∠ O P Q = \frac{1}{2}

。

Q

在

O

與

R

之間且

∠ O P Q = ∠ R P Q

，所以

∠ O P R = 2∠ O P Q

，

tan ∠ O P R = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{2}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}

。直角三角形

O P R

中

\overline{O R} = \overline{O P} tan ∠ O P R = 2 \times \frac{4}{3} = \frac{8}{3}

，所以

R (\frac{8}{3}, 0)

。

\overline{P Q}

是

∠ O P R

的角平分線。

L_{3}

過

P (0, 2)

與

R (\frac{8}{3}, 0)

，斜率

- \frac{3}{4}

，與

L_{1}

、

L_{2}

都不同。

06第 12、13 題：繪圖題

第 12 題

y = tan 2 x

是把

y = tan x

的圖形水平伸縮

\frac{1}{2}

倍，週期為

\frac{π}{2}

。

tan 2 x

在

2 x = \frac{π}{2} + k π

時沒有定義，在

- π \leq x \leq π

內的漸近線是

x = \pm \frac{π}{4}

、

x = \pm \frac{3 π}{4}

。

tan 2 x = 0

於

2 x = k π

，即

x = - π

、

- \frac{π}{2}

、

0

、

\frac{π}{2}

、

π

。相鄰兩條漸近線之間各有一支由左下往右上的曲線；最左邊從

(- π, 0)

往上到

x = - \frac{3 π}{4}

之前、最右邊從

x = \frac{3 π}{4}

之後由下往上到

(π, 0)

，各是半支。描點可用

x = \frac{π}{8}

時

y = 1

、

x = - \frac{π}{8}

時

y = - 1

。

載入中...

作圖時把漸近線用虛線畫出、標出與

x

軸的交點；圖形不可以碰到漸近線，兩端只畫到

x = \pm π

。

第 13 題

x \geq 0

時

∣ x ∣ = x

，

y = sin x

：在

0 \leq x \leq 2 π

畫出一個週期的正弦曲線，最高點

(\frac{π}{2}, 1)

、最低點

(\frac{3 π}{2}, - 1)

，與

x

軸交於

x = 0

、

π

、

2 π

。

x < 0

時

∣ x ∣ = - x

，

y = sin (- x)

；因為把

x

換成

- x

函數值不變，圖形對稱於

y

軸，把右半邊對

y

軸鏡射就得到左半邊：最高點

(- \frac{π}{2}, 1)

、最低點

(- \frac{3 π}{2}, - 1)

，與

x

軸交於

x = - π

、

- 2 π

。

載入中...

左半邊不是

y = sin x

原來的圖形：

y = sin x

在

- π < x < 0

是負的，這裡是正的。圖形在原點形成尖點。

畫三角函數的圖形先定出週期、與

x

軸的交點、最高最低點（正切則是漸近線），再把這些點連起來；函數裡有

∣ x ∣

時先畫

x \geq 0

的部分，再對

y

軸鏡射。

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御藍教育／段考卷／高二

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一、填充題（共 90 分，每題 5 分）

試求下列各式的值：(1)

cos \frac{π}{3} =

____　(2)

sin \frac{5 π}{6} \cdot tan (- \frac{3 π}{4}) + cos (- \frac{3 π}{2}) \cdot tan \frac{π}{12} =

____　(3)

cos 8 1^{\circ} sin 3 9^{\circ} + cos 9^{\circ} sin 12 9^{\circ} =

____

已知

0 < θ < \frac{π}{2}

，

tan θ = \frac{21}{20}

，求：(1) 若

sin \frac{θ}{2} = \frac{k}{58}

，則

k

之值為 ____　(2) 試求

tan (\frac{π}{4} - θ) =

____

已知扇形的半徑為

8

公分，周長為

40

公分，試求扇形的面積為 ____ 平方公分

依規定，早上上學

8

點

10

分前進教室即可，超過

8

點

10

分者記遲到，超過

8

點

25

分則記曠課。阿明同學經常性遲到，今天又號稱鬧鐘沒有響鈴睡過頭，

8

點

14

分才進教室……。已知教室時鐘的時針長為

6

公分、分針長為

8

公分，問：(1) 時鐘在

8

點

14

分的時候，時針與分針較小的夾角為 ____ 度　(2) 從

8

點

10

分到

8

點

14

分，時針所掃過的扇形面積為 ____ 平方公分

Γ

：

y = cos \frac{π}{4} x

，直線

L

：

y = - \frac{1}{4}

，(1) 試求

Γ

的週期為 ____　(2) 將

Γ

的圖形，先往右移

4

，再水平伸縮

\frac{1}{4}

倍後，得新圖形為

y =

____　(3) 設

Γ

的圖形與直線

L

的交點坐標為

(x_{i}, - \frac{1}{4})

，

0 \leq x_{i} \leq 16

，且

0 < x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < 16

，試求

x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} =

____

設

0 \leq x \leq 2 π

，不等式

- \frac{3}{2} \leq sin x \leq \frac{1}{2}

的解為

0 \leq x \leq aπ

或

bπ \leq x \leq c π

或

d π \leq x \leq 2 π

，試求

a + b + c + d =

____

設

y = 2 cos (x + \frac{π}{3}) + 2 cos x + 3

，試求

y

的最小值為 ____

設

0 \leq x \leq π

，當

f (x) = 3 sin x + 2 cos x + 1

有最大值時，

sin x

的值為 ____

設

0 \leq x \leq 2 π

，方程式

2 cos^{2} x = 3 sin 2 x

的解為

x =

____（四解）

如右圖，圓

O

的半徑為

5

，

A

、

B

、

C

、

D

是圓上相異四點，

A

在

x

軸上，已知

B

點的坐標為

(2, 1)

，且

∠ C O D = 2∠ B O C = 2∠ A O B

。(1) 計算

cos (∠ C O D) =

____　(2) 試求

D

點到

x

軸的距離為 ____

載入中...

平面上三相異直線

L_{1}

：

y = \frac{1}{2} x + 2

、

L_{2}

、

L_{3}

相交於一點

P (0, 2)

，其中

L_{2} ⊥ L_{1}

，且

L_{2}

與

L_{3}

分別交

x

軸正向於

Q

、

R

兩點，

R

在

Q

的右邊。已知

O

為原點，若

∠ O P Q = ∠ R P Q

，則

R

點坐標為 ____

二、繪圖題（共 10 分）

- π \leq x \leq π

，請描繪函數

y = tan 2 x

的圖形（5 分）

- 2 π \leq x \leq 2 π

，請描繪函數

y = sin ∣ x ∣

的圖形（5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

\frac{1}{2}

　(2)

\frac{1}{2}

　(3)

\frac{3}{2}

第 2 題(1)

3

　(2)

- \frac{1}{41}

第 3 題

96

第 4 題(1)

163

　(2)

\frac{π}{5}

第 5 題(1)

8

　(2)

- cos π x

　(3)

32

第 6 題

4

第 7 題

- 3

第 8 題

\frac{3 13}{13}

第 9 題

\frac{π}{6}

、

\frac{π}{2}

、

\frac{7 π}{6}

、

\frac{3 π}{2}

第 10 題(1)

\frac{3}{5}

　(2)

\frac{24 5}{25}

第 11 題

(\frac{8}{3}, 0)

第 12 題圖形見詳解：週期

\frac{π}{2}

，漸近線為

x = \pm \frac{π}{4}

、

x = \pm \frac{3 π}{4}

，與

x

軸交於

x = - π

、

- \frac{π}{2}

、

0

、

\frac{π}{2}

、

π

第 13 題圖形見詳解：

x \geq 0

的部分是

y = sin x

，再對

y

軸作對稱得到

x < 0

的部分

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1、2 題：弧度制的函數值、和角、半角與正切差角

第 1 題(1)

\frac{π}{3} = 6 0^{\circ}

，

cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

。(2)

sin \frac{5 π}{6} = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

；

- \frac{3 π}{4}

是第三象限角，正切為正，

tan (- \frac{3 π}{4}) = tan \frac{π}{4} = 1

；

cos (- \frac{3 π}{2}) = cos \frac{3 π}{2} = 0

。所以原式

= \frac{1}{2} \times 1 + 0 \times tan \frac{π}{12} = \frac{1}{2}

。(3)

cos 9^{\circ} = sin 8 1^{\circ}

，

sin 12 9^{\circ} = sin 5 1^{\circ} = cos 3 9^{\circ}

，原式

= cos 8 1^{\circ} sin 3 9^{\circ} + sin 8 1^{\circ} cos 3 9^{\circ} = sin (3 9^{\circ} + 8 1^{\circ}) = sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}

。

(2) 的第二項有

cos (- \frac{3 π}{2}) = 0

，所以

tan \frac{π}{12}

的值不必求。

第 2 題

θ

是銳角且

tan θ = \frac{21}{20}

，取兩股

21

、

20

的直角三角形，斜邊

2 1^{2} + 2 0^{2} = 29

，所以

cos θ = \frac{20}{29}

。(1)

0 < \frac{θ}{2} < \frac{π}{4}

，

sin \frac{θ}{2} > 0

，由半角公式

sin \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{9}{58} = \frac{3}{58}

，

k = 3

。(2)

tan (\frac{π}{4} - θ) = \frac{tan \frac{π}{4} - tan θ}{1 + tan \frac{π}{4} tan θ} = \frac{1 - \frac{21}{20}}{1 + \frac{21}{20}} = \frac{- \frac{1}{20}}{\frac{41}{20}} = - \frac{1}{41}

。

tan θ > 1

表示

θ > \frac{π}{4}

，所以

\frac{π}{4} - θ

是負角，正切值為負。

02第 3、4 題：扇形面積、時鐘的指針

第 3 題扇形的周長是兩條半徑加上弧長：

40 = 8 + 8 +

弧長，弧長為

24

公分。圓心角

θ = \frac{24}{8} = 3

（弧度）。面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 8^{2} \times 3 = 96

平方公分。

也可以直接用面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \times 8 \times 24 = 96

。

第 4 題分針每分鐘轉

\frac{36 0 ^{\circ}}{60} = 6^{\circ}

，時針每分鐘轉

\frac{3 0 ^{\circ}}{60} = 0. 5^{\circ}

。(1) 從

12

的位置順時針量：

8

點

14

分時，分針在

14 \times 6^{\circ} = 8 4^{\circ}

，時針在

8 \times 3 0^{\circ} + 14 \times 0. 5^{\circ} = 24 7^{\circ}

，相差

24 7^{\circ} - 8 4^{\circ} = 16 3^{\circ}

，小於

18 0^{\circ}

，就是較小的夾角。(2)

4

分鐘內時針轉了

4 \times 0. 5^{\circ} = 2^{\circ} = \frac{π}{90}

弧度，時針長

6

公分，掃過的扇形面積

= \frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{π}{90} = \frac{π}{5}

平方公分。

(2) 問的是時針，半徑用

6

公分；扇形面積公式裡的角要用弧度。分針長

8

公分在這兩小題都用不到。

03第 5、6 題：餘弦函數的週期與平移伸縮、正弦不等式

第 5 題(1) 週期

= \frac{2 π}{\frac{π}{4}} = 8

。(2) 往右移

4

是把

x

換成

x - 4

：

y = cos \frac{π}{4} (x - 4)

；再水平伸縮

\frac{1}{4}

倍是把

x

換成

4 x

：

y = cos \frac{π}{4} (4 x - 4) = cos (π x - π) = - cos π x

。(3)

0 \leq x \leq 16

剛好是兩個週期。

Γ

在

x = 4

與

x = 12

各有一個最低點，圖形分別對稱於直線

x = 4

與

x = 12

。第一個週期內的兩個交點對稱於

x = 4

，

x_{1} + x_{2} = 8

；第二個週期內的兩個交點對稱於

x = 12

，

x_{3} + x_{4} = 24

。總和為

32

。

(2) 的答案寫成

cos (π x - π)

也是同一個函數。(3) 不必解出每個

x_{i}

，用對稱軸就能求和。

第 6 題在

0 \leq x \leq 2 π

內分別解兩個不等式。

sin x \leq \frac{1}{2}

：

sin x = \frac{1}{2}

於

x = \frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

，解為

0 \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6} \leq x \leq 2 π

。

sin x \geq - \frac{3}{2}

：

sin x = - \frac{3}{2}

於

x = \frac{4 π}{3}

、

\frac{5 π}{3}

，解為

0 \leq x \leq \frac{4 π}{3}

或

\frac{5 π}{3} \leq x \leq 2 π

。取共同部分：

0 \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

或

\frac{5 π}{3} \leq x \leq 2 π

。所以

a = \frac{1}{6}

、

b = \frac{5}{6}

、

c = \frac{4}{3}

、

d = \frac{5}{3}

，

a + b + c + d = 1 + 3 = 4

。

畫出

y = sin x

與兩條水平線

y = \frac{1}{2}

、

y = - \frac{3}{2}

，取圖形夾在兩線之間的部分，可以直接讀出三段。

04第 7、8 題：正餘弦的疊合

第 7 題

2 cos (x + \frac{π}{3}) = 2 (cos x cos \frac{π}{3} - sin x sin \frac{π}{3}) = cos x - 3 sin x

，所以

y = 3 cos x - 3 sin x + 3

。

3 cos x - 3 sin x

疊合後的振幅是

3^{2} + (3)^{2} = 12 = 23

，它的最小值是

- 23

。

x

沒有限制範圍，所以

y

的最小值為

- 23 + 3 = - 3

。

寫成單一餘弦是

y = 23 cos (x + \frac{π}{6}) + 3

，

x = \frac{5 π}{6}

時取到最小值。

第 8 題

3 sin x + 2 cos x = 13 (\frac{3}{13} sin x + \frac{2}{13} cos x) = 13 sin (x + α)

，其中

α

是銳角，

cos α = \frac{3}{13}

、

sin α = \frac{2}{13}

。

0 \leq x \leq π

時

α \leq x + α \leq π + α

，這個範圍包含

\frac{π}{2}

，所以

x + α = \frac{π}{2}

時

f (x)

有最大值

13 + 1

。此時

x = \frac{π}{2} - α

，

sin x = sin (\frac{π}{2} - α) = cos α = \frac{3}{13} = \frac{3 13}{13}

。

題目問的是最大值發生時的

sin x

，不是最大值本身。要先確認

x = \frac{π}{2} - α

落在

0 \leq x \leq π

內。

05第 9～11 題：倍角公式的應用

第 9 題用

sin 2 x = 2 sin x cos x

：

2 cos^{2} x = 23 sin x cos x

，移項提出公因式得

2 cos x (cos x - 3 sin x) = 0

。所以

cos x = 0

或

cos x = 3 sin x

。

cos x = 0

：

x = \frac{π}{2}

、

\frac{3 π}{2}

。

cos x = 3 sin x

：此時

cos x \neq = 0

（否則

sin x

也是

0

，不可能），兩邊同除以

cos x

得

tan x = \frac{1}{3}

，

x = \frac{π}{6}

、

\frac{7 π}{6}

。共四解：

\frac{π}{6}

、

\frac{π}{2}

、

\frac{7 π}{6}

、

\frac{3 π}{2}

。

不能一開始就把兩邊的

cos x

約掉，那樣會漏掉

cos x = 0

的兩個解。

第 10 題設

∠ A O B = α

。

A

在

x

軸正向，

B (2, 1)

在半徑

5

的圓上，所以

cos α = \frac{2}{5}

、

sin α = \frac{1}{5}

。由條件

∠ B O C = α

、

∠ C O D = 2 α

。(1)

cos (∠ C O D) = cos 2 α = 1 - 2 sin^{2} α = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}

。(2) 依圖，

B

、

C

、

D

由

A

起依逆時針方向排列，

D

的方向角是

α + α + 2 α = 4 α

。

sin 2 α = 2 sin α cos α = \frac{4}{5}

，

sin 4 α = 2 sin 2 α cos 2 α = 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{24}{25}

。

D

的

y

坐標是

5 sin 4 α = \frac{24 5}{25}

，這就是

D

到

x

軸的距離。

cos 4 α = 2 cos^{2} 2 α - 1 = - \frac{7}{25} < 0

，

D

在第二象限，與圖相符。

A

、

B

、

C

、

D

的排列順序是由圖判斷的。

第 11 題

L_{1}

的斜率是

\frac{1}{2}

，

L_{2} ⊥ L_{1}

，

L_{2}

的斜率是

- 2

，過

P (0, 2)

：

y = - 2 x + 2

，令

y = 0

得

Q (1, 0)

。直角三角形

O P Q

中

\overline{O P} = 2

、

\overline{O Q} = 1

，

tan ∠ O P Q = \frac{1}{2}

。

Q

在

O

與

R

之間且

∠ O P Q = ∠ R P Q

，所以

∠ O P R = 2∠ O P Q

，

tan ∠ O P R = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{2}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}

。直角三角形

O P R

中

\overline{O R} = \overline{O P} tan ∠ O P R = 2 \times \frac{4}{3} = \frac{8}{3}

，所以

R (\frac{8}{3}, 0)

。

\overline{P Q}

是

∠ O P R

的角平分線。

L_{3}

過

P (0, 2)

與

R (\frac{8}{3}, 0)

，斜率

- \frac{3}{4}

，與

L_{1}

、

L_{2}

都不同。

06第 12、13 題：繪圖題

第 12 題

y = tan 2 x

是把

y = tan x

的圖形水平伸縮

\frac{1}{2}

倍，週期為

\frac{π}{2}

。

tan 2 x

在

2 x = \frac{π}{2} + k π

時沒有定義，在

- π \leq x \leq π

內的漸近線是

x = \pm \frac{π}{4}

、

x = \pm \frac{3 π}{4}

。

tan 2 x = 0

於

2 x = k π

，即

x = - π

、

- \frac{π}{2}

、

0

、

\frac{π}{2}

、

π

。相鄰兩條漸近線之間各有一支由左下往右上的曲線；最左邊從

(- π, 0)

往上到

x = - \frac{3 π}{4}

之前、最右邊從

x = \frac{3 π}{4}

之後由下往上到

(π, 0)

，各是半支。描點可用

x = \frac{π}{8}

時

y = 1

、

x = - \frac{π}{8}

時

y = - 1

。

載入中...

作圖時把漸近線用虛線畫出、標出與

x

軸的交點；圖形不可以碰到漸近線，兩端只畫到

x = \pm π

。

第 13 題

x \geq 0

時

∣ x ∣ = x

，

y = sin x

：在

0 \leq x \leq 2 π

畫出一個週期的正弦曲線，最高點

(\frac{π}{2}, 1)

、最低點

(\frac{3 π}{2}, - 1)

，與

x

軸交於

x = 0

、

π

、

2 π

。

x < 0

時

∣ x ∣ = - x

，

y = sin (- x)

；因為把

x

換成

- x

函數值不變，圖形對稱於

y

軸，把右半邊對

y

軸鏡射就得到左半邊：最高點

(- \frac{π}{2}, 1)

、最低點

(- \frac{3 π}{2}, - 1)

，與

x

軸交於

x = - π

、

- 2 π

。

載入中...

左半邊不是

y = sin x

原來的圖形：

y = sin x

在

- π < x < 0

是負的，這裡是正的。圖形在原點形成尖點。

畫三角函數的圖形先定出週期、與

x

軸的交點、最高最低點（正切則是漸近線），再把這些點連起來；函數裡有

∣ x ∣

時先畫

x \geq 0

的部分，再對

y

軸鏡射。

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04第 7、8 題：正餘弦的疊合

05第 9～11 題：倍角公式的應用

06第 12、13 題：繪圖題

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