段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角公式、正餘弦的疊合）

新店高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 12 題，照原卷順序

多選題 2 題（14 分）、填充題 9 題共 13 格（78 分，依答對格數給分）、計算題 1 題（8 分）

一、多選題（共 14 分，每題 7 分，每答錯一個選項扣 3 分）

下列選項何者正確？

(A) $30$ 弳的最小正同界角為 $30 - 8 π$ 弳
(B) $sin π^{2} < cos π^{2}$
(C) $cos 2 < cos 4$
(D) $sin 4 > - \frac{1}{2}$
(E) $\frac{1 + cos 11 8 ^{\circ}}{2} > 3 sin 1 4^{\circ} - 4 sin^{3} 1 4^{\circ}$

下列選項何者正確？

(A) $y = sin x cos x$ 對稱於原點
(B) $y = 1 - 2 sin^{2} x$ 對稱於 $x = \frac{π}{2}$
(C) $y = sin x + cos x$ 最大值為 $2$
(D) $tan 2 1^{\circ} tan 11 4^{\circ} - tan 2 1^{\circ} - tan 11 4^{\circ} = - 1$
(E) $y = 2 cos x + 2 sin (x + \frac{π}{6})$ 對稱於 $x = \frac{- 5 π}{6}$

二、填充題（共 78 分）｜答對格數與得分：1 格 10 分、2 格 19 分、3 格 27 分、4 格 34 分、5 格 41 分、6 格 48 分、7 格 54 分、8 格 59 分、9 格 64 分、10 格 68 分、11 格 72 分、12 格 75 分、13 格 78 分。

左圖是歐洲常見的哥德式尖拱建築，其圓弧構造可用數學作圖來描述：如右圖，在水平線段

\overline{O_{1} O_{2}}

上，分別以

O_{1}

、

O_{2}

為圓心，相同的半徑

r

畫弧

B C ⌢

與

A C ⌢

，兩弧交於

C

點且分別交

\overline{O_{1} O_{2}}

於

B

與

A

兩點。在右圖中，已知半徑

r = 6

且

\overline{A B} = 6 (2 - 3)

，求：　(1) 圓弧

B C ⌢

的長度為 ____　(2) 右圖鋪色區域的面積為 ____

載入中...

設

π < α < 2 π

、

π < β < 2 π

，若

cos α + 2 sin α = 0

、

cos β = \frac{4}{5}

，則：　(1)

tan (α - β) =

____　(2) 點

(cos 3 α, tan β)

是位在第 ____ 象限

已知

f (x) = 8 cos x - 15 sin x

且當

x = θ

時，

f (x)

有最小值

m

，試求

(m, sin θ) =

____

已知函數

y = a sin (b x + c) + d

的圖形最大值為

3

及最小值為

- 5

，週期為

3 π

，對稱軸為

x = \frac{11}{4} π

，其中

a > 0

、

b > 0

、

- \frac{π}{2} \leq c \leq 0

，則

(a, b, c, d) =

____

如圖，一長方體磚塊斜靠在牆壁上，且

\overline{A B} = 12

、

\overline{B C} = 5

、

∠ O A B = x

弳

(0 < x < \frac{π}{2})

，試求：　(1) 若

C

點到地面的距離為

a sin x + b cos x

，則

(a, b) =

____　(2) 已知

C

點到地面的距離為

\frac{13}{2} 3

，試求

sin x =

____

載入中...

在

- \frac{π}{2} \leq x \leq 2 π

的範圍內，兩函數

y = tan (x + π)

與

y = 3 sin 2 x

的圖形共有 ____ 個交點

已知一恆星

O

，有一行星

A

繞著

O

作圓周運動，兩者距離差

14

天文單位。某日，一顆系外天體

B

被恆星

O

所吸引，接近至行星

A

的圓周軌道時與

A

相碰而彈開，最後一同在同一軌道上繞著恆星

O

作圓周運動。此時一批科學家想探測扇形

A O B

的圓心角，就往其劣弧發射一顆人造衛星

P

，使

P

也在該軌道上運行，並經探測得以下數據：

P

到

\overline{O A}

的距離為

11

天文單位，

P

到

\overline{O B}

的距離為

13

天文單位，試問：　(1)

cos (∠ A O P) =

____　(2) 承上題，扇形

A O B

的圓心角為

α

，則

cos α =

____

載入中...

在

- 2 π \leq x \leq 0

的範圍內，

3 sin x - cos x = - 2

在範圍內的解為 ____

試求不等式

cos x \leq - \frac{1}{2}

在

0 \leq x \leq 3 π

範圍內的解為 ____

三、計算題（共 8 分）

在

\frac{π}{4} \leq x \leq \frac{2 π}{3}

的範圍內，函數

f (x) = sin^{2} x + \frac{1}{2} cos x - 1

，試求函數的最大值及最小值？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(A)(B)(E)

第 3 題(1)

π

；(2)

6 π - 93

第 4 題(1)

\frac{2}{11}

；(2) 四

第 5 題

(- 17, \frac{15}{17})

第 6 題

(4, \frac{2}{3}, - \frac{π}{3}, - 1)

第 7 題(1)

(12, 5)

；(2)

\frac{12 3 - 5}{26}

第 8 題

8

第 9 題(1)

\frac{5 3}{14}

；(2)

- \frac{1}{2}

第 10 題

x = - \frac{π}{12}

或

- \frac{7 π}{12}

第 11 題

\frac{2 π}{3} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

或

\frac{8 π}{3} \leq x \leq 3 π

第 12 題最大值

\frac{1}{16}

，最小值

- \frac{1}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～2：弧度角比大小、圖形的對稱與疊合

第 1 題答案 (A)。(A) 對：

8 π \approx 25.13

、

10 π \approx 31.42

，所以

30 - 8 π \approx 4.87

落在

0

與

2 π

之間，是最小正同界角。(B) 錯：

π^{2} \approx 9.87

，而

3 π \approx 9.42

、

3 π + \frac{π}{4} \approx 10.21

，所以

π^{2}

在第三象限，且超過

3 π

的部分不到

\frac{π}{4}

；此時正弦、餘弦都是負的，而

∣ cos π^{2} ∣ > ∣ sin π^{2} ∣

，所以

sin π^{2} > cos π^{2}

。(C) 錯：

cos 4 = cos (2 π - 4)

，

2 π - 4 \approx 2.28

；

2

與

2.28

都在

0

到

π

之間，餘弦在這一段遞減，所以

cos 2 > cos 2.28 = cos 4

。(D) 錯：

\frac{5 π}{4} \approx 3.93 < 4 < \frac{3 π}{2} \approx 4.71

，正弦在

π

到

\frac{3 π}{2}

遞減，所以

sin 4 < sin \frac{5 π}{4} = - \frac{1}{2}

。(E) 錯：左邊用

1 + cos 11 8^{\circ} = 2 cos^{2} 5 9^{\circ}

，得

cos 5 9^{\circ} = sin 3 1^{\circ}

；右邊

3 sin 1 4^{\circ} - 4 sin^{3} 1 4^{\circ} = sin 4 2^{\circ}

；

sin 3 1^{\circ} < sin 4 2^{\circ}

。

(E) 右邊的式子可由

sin (2 θ + θ) = sin 2 θ cos θ + cos 2 θ sin θ = 2 sin θ (1 - sin^{2} θ) + (1 - 2 sin^{2} θ) sin θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ

得到，取

θ = 1 4^{\circ}

。

第 2 題答案 (A)(B)(E)。(A) 對：

y = sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

，把

x

換成

- x

時

y

變號，圖形對稱於原點。(B) 對：

y = 1 - 2 sin^{2} x = cos 2 x

，在

x = \frac{π}{2}

時

y = cos π = - 1

是最小值，餘弦型圖形對稱於通過最低點的鉛直線。(C) 錯：

sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，最大值是

2

。(D) 錯：

2 1^{\circ} + 11 4^{\circ} = 13 5^{\circ}

，

tan 13 5^{\circ} = \frac{tan 2 1 ^{\circ} + tan 11 4 ^{\circ}}{1 - tan 2 1 ^{\circ} tan 11 4 ^{\circ}} = - 1

，去分母得

tan 2 1^{\circ} + tan 11 4^{\circ} = - 1 + tan 2 1^{\circ} tan 11 4^{\circ}

，所以

tan 2 1^{\circ} tan 11 4^{\circ} - tan 2 1^{\circ} - tan 11 4^{\circ} = 1

。(E) 對：

2 sin (x + \frac{π}{6}) = 3 sin x + cos x

，所以

y = 3 sin x + 3 cos x = 23 sin (x + \frac{π}{3})

；

x = - \frac{5 π}{6}

時

x + \frac{π}{3} = - \frac{π}{2}

，

y = - 23

是最小值，所以

x = - \frac{5 π}{6}

是對稱軸。

沒有度的記號就是弧度；先用 π 的倍數夾出象限，再用同一段上的遞增遞減比大小。正弦型圖形的對稱軸通過最高點或最低點。

02填充 3：尖拱的弧長與面積

第 3 題

B

在以

O_{1}

為圓心的弧上，

\overline{O_{1} B} = 6

；

A

在以

O_{2}

為圓心的弧上，

\overline{O_{2} A} = 6

。這兩段在

\overline{A B}

重疊，所以

\overline{O_{1} O_{2}} = 6 + 6 - 6 (2 - 3) = 63

。三角形

O_{1} C O_{2}

中

\overline{O_{1} C} = \overline{O_{2} C} = 6

，取

\overline{O_{1} O_{2}}

的中點

M

，則

\overline{O_{1} M} = 33

、

cos ∠ C O_{1} M = \frac{3 3}{6} = \frac{3}{2}

，所以

∠ C O_{1} O_{2} = \frac{π}{6}

，同理

∠ C O_{2} O_{1} = \frac{π}{6}

，高

\overline{C M} = 3

。(1) 弧

B C

的圓心角是

\frac{π}{6}

，弧長

= 6 \cdot \frac{π}{6} = π

。(2) 扇形

O_{1} B C

與扇形

O_{2} A C

合起來正好蓋住三角形

O_{1} C O_{2}

，重疊的部分就是鋪色區域，所以鋪色面積

=

兩扇形面積和

-

三角形面積

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6^{2} \cdot \frac{π}{6} - \frac{1}{2} \cdot 63 \cdot 3 = 6 π - 93

。

原卷左側是一張尖拱建築的照片，本頁只畫右側的作圖，並依題目數據照比例畫。

弧長是半徑乘圓心角（弧度），扇形面積是二分之一半徑平方乘圓心角；兩個扇形重疊的部分用「相加再扣掉合起來的圖形」來算。

03填充 4、9 與計算 12：和差角、倍角與二次式求極值

第 4 題由

cos α = - 2 sin α

得

tan α = - \frac{1}{2}

；

π < α < 2 π

且正切為負，

α

在第四象限，

cos α = \frac{2}{5}

、

sin α = - \frac{1}{5}

。

cos β = \frac{4}{5} > 0

且

π < β < 2 π

，

β

也在第四象限，

sin β = - \frac{3}{5}

、

tan β = - \frac{3}{4}

。(1)

tan (α - β) = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β} = \frac{- \frac{1}{2} + \frac{3}{4}}{1 + \frac{3}{8}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{11}{8}} = \frac{2}{11}

。(2)

cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1 = \frac{3}{5}

、

sin 2 α = 2 sin α cos α = - \frac{4}{5}

，所以

cos 3 α = cos 2 α cos α - sin 2 α sin α = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5 5} > 0

；又

tan β < 0

，點在第四象限。

只要判斷象限，

cos 3 α

算到能看出正負即可；把

3 α

拆成

2 α + α

用和角公式就夠了。

第 9 題軌道半徑是

14

，

\overline{O P} = 14

。

P

到

\overline{O A}

的距離

= \overline{O P} sin ∠ A O P

，所以

sin ∠ A O P = \frac{11}{14}

；同理

sin ∠ B O P = \frac{13}{14}

。由圖，兩個角都是銳角：(1)

cos ∠ A O P = \frac{1 4 ^{2} - 1 1 ^{2}}{14} = \frac{75}{14} = \frac{5 3}{14}

。(2)

cos ∠ B O P = \frac{1 4 ^{2} - 1 3 ^{2}}{14} = \frac{3 3}{14}

。

P

在劣弧上，

α = ∠ A O P + ∠ B O P

，

cos α = \frac{5 3}{14} \cdot \frac{3 3}{14} - \frac{11}{14} \cdot \frac{13}{14} = \frac{45 - 143}{196} = - \frac{1}{2}

。

題幹照流傳版本的字樣：「兩者距離差 14 天文單位」指

O

與

A

相距

14

。本題依附圖取兩角皆為銳角（此時

α = \frac{2 π}{3}

）。只看文字的話，

∠ A O P

為銳角、

∠ B O P

為鈍角時兩角和約

163. 6^{\circ}

，

P

仍在劣弧上，會得到

cos α = - \frac{47}{49}

；附圖中

∠ B O P

明顯是銳角，所以取

- \frac{1}{2}

，與流傳版本的參考答案相同。

第 12 題用

sin^{2} x = 1 - cos^{2} x

：

f (x) = - cos^{2} x + \frac{1}{2} cos x

。令

t = cos x

，

f = - t^{2} + \frac{1}{2} t = - (t - \frac{1}{4})^{2} + \frac{1}{16}

。餘弦在

0

到

π

遞減，

\frac{π}{4} \leq x \leq \frac{2 π}{3}

時

- \frac{1}{2} \leq t \leq \frac{2}{2}

。頂點

t = \frac{1}{4}

在這個範圍內，最大值是

\frac{1}{16}

。圖形開口向下，最小值在離頂點較遠的端點：

t = - \frac{1}{2}

離頂點

\frac{3}{4}

，

t = \frac{2}{2}

離頂點約

0.46

，所以最小值在

t = - \frac{1}{2}

（即

x = \frac{2 π}{3}

），

f = - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

。

另一個端點

t = \frac{2}{2}

的值是

- \frac{1}{2} + \frac{2}{4} \approx - 0.146

，比

- \frac{1}{2}

大。計算題要寫出

t

的範圍再下結論。

先由角的範圍定出各三角函數值的正負，再代公式；換成 t 之後一定先寫 t 的範圍。

04填充 5、7、10：正餘弦的疊合

第 5 題

8^{2} + 1 5^{2} = 17

，

f (x) = 17 (\frac{8}{17} cos x - \frac{15}{17} sin x) = 17 cos (x + φ)

，其中

cos φ = \frac{8}{17}

、

sin φ = \frac{15}{17}

。最小值

m = - 17

，發生在

cos (θ + φ) = - 1

，即

θ + φ = π + 2 k π

（

k

為整數）。所以

sin θ = sin (π - φ) = sin φ = \frac{15}{17}

。

檢查：此時

cos θ = cos (π - φ) = - \frac{8}{17}

，代回

8 \cdot (- \frac{8}{17}) - 15 \cdot \frac{15}{17} = - \frac{289}{17} = - 17

。

第 7 題(1)

B

到地面的距離是

\overline{A B} sin x = 12 sin x

。直角三角形

O A B

中

∠ A B O = \frac{π}{2} - x

，而

∠ A B C = \frac{π}{2}

，所以

\overline{B C}

與牆面向上方向的夾角是

π - \frac{π}{2} - (\frac{π}{2} - x) = x

，

C

比

B

高

\overline{B C} cos x = 5 cos x

。

C

到地面的距離

= 12 sin x + 5 cos x

，

(a, b) = (12, 5)

。(2)

12 sin x + 5 cos x = 13 sin (x + φ)

，其中

cos φ = \frac{12}{13}

、

sin φ = \frac{5}{13}

。由

13 sin (x + φ) = \frac{13 3}{2}

得

sin (x + φ) = \frac{3}{2}

。因為

sin φ = \frac{5}{13} < \frac{1}{2}

，

φ < \frac{π}{6}

；

0 < x < \frac{π}{2}

時

φ < x + φ < \frac{π}{2} + φ < \frac{2 π}{3}

，這個範圍內只有

x + φ = \frac{π}{3}

。所以

sin x = sin (\frac{π}{3} - φ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{12}{13} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12 3 - 5}{26}

。

x + φ = \frac{2 π}{3}

會讓

x

超過

\frac{π}{2}

，不合題目的範圍，要寫出範圍把它排除。

第 10 題

3 sin x - cos x = 2 (\frac{3}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x) = 2 sin (x - \frac{π}{6})

，所以

sin (x - \frac{π}{6}) = - \frac{2}{2}

。

- 2 π \leq x \leq 0

時

- \frac{13 π}{6} \leq x - \frac{π}{6} \leq - \frac{π}{6}

，這個範圍內正弦值為

- \frac{2}{2}

的角是

- \frac{π}{4}

與

- \frac{3 π}{4}

（下一個是

- \frac{9 π}{4}

，已小於

- \frac{13 π}{6}

）。所以

x = - \frac{π}{12}

或

- \frac{7 π}{12}

。

代回檢查：

x = - \frac{π}{12}

時

2 sin (- \frac{π}{4}) = - 2

；

x = - \frac{7 π}{12}

時

2 sin (- \frac{3 π}{4}) = - 2

。

疊合之後，先寫出新角的範圍，再在範圍內找角。

05填充 6、8、11：三角函數的圖形

第 6 題

a > 0

時最大值

a + d = 3

、最小值

- a + d = - 5

，得

a = 4

、

d = - 1

。週期

\frac{2 π}{b} = 3 π

，

b = \frac{2}{3}

。對稱軸通過最高點或最低點，所以

x = \frac{11 π}{4}

時

sin (\frac{2}{3} \cdot \frac{11 π}{4} + c) = \pm 1

，即

\frac{11 π}{6} + c = \frac{π}{2} + k π

（

k

為整數），

c = - \frac{4 π}{3} + k π

。配合

- \frac{π}{2} \leq c \leq 0

，取

k = 1

得

c = - \frac{π}{3}

。所以

(a, b, c, d) = (4, \frac{2}{3}, - \frac{π}{3}, - 1)

。

檢查：

x = \frac{11 π}{4}

時

\frac{2}{3} x - \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}

，

y = - 4 - 1 = - 5

，是最低點。

第 8 題正切的週期是

π

，

tan (x + π) = tan x

。交點滿足

tan x = 3 sin 2 x

，即

\frac{sin x}{cos x} = 6 sin x cos x

（

cos x \neq = 0

）。移項得

sin x (1 - 6 cos^{2} x) = 0

，所以

sin x = 0

或

cos x = \pm \frac{1}{6}

。在

- \frac{π}{2} \leq x \leq 2 π

內：

sin x = 0

有

x = 0, π, 2 π

共

3

個；

cos x = \frac{1}{6}

在

- \frac{π}{2}

到

0

、

0

到

\frac{π}{2}

、

\frac{3 π}{2}

到

2 π

各有

1

個，共

3

個；

cos x = - \frac{1}{6}

在

\frac{π}{2}

到

π

、

π

到

\frac{3 π}{2}

各有

1

個，共

2

個。合計

3 + 3 + 2 = 8

個交點。

也可以畫圖數：

y = tan x

在這個範圍內有兩支完整的圖形與最右邊半支，

y = 3 sin 2 x

的週期是

π

、振幅是

3

；每支完整的正切圖形與它交

3

點，最右邊半支交

2

點（含

x = 2 π

）。端點

x = - \frac{π}{2}

處正切沒有定義，不算。

第 11 題在

0 \leq x \leq 2 π

內，

cos x = - \frac{1}{2}

的角是

\frac{2 π}{3}

與

\frac{4 π}{3}

，由圖形知兩者之間餘弦值不超過

- \frac{1}{2}

，所以這一段的解是

\frac{2 π}{3} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

。往右一個週期是

\frac{8 π}{3} \leq x \leq \frac{10 π}{3}

，題目只到

3 π

，而

\frac{8 π}{3} < 3 π < \frac{10 π}{3}

，所以這一段取

\frac{8 π}{3} \leq x \leq 3 π

。解為

\frac{2 π}{3} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

或

\frac{8 π}{3} \leq x \leq 3 π

。

由圖形條件求係數時，振幅與上下平移看最大最小值，b 看週期，c 用對稱軸通過最高或最低點來定。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

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上傳考卷

常見問題

新店高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 12 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

新店高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題的角沒有度的記號，要先用圓周率的倍數夾出象限再比大小；第 7 題第二小題疊合後要用角的範圍排除多出來的那個角；第 8 題數交點時三個正弦為零的點與兩端點都要逐一確認；第 9 題要由圖確認兩個角都是銳角再用和角公式。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自新店高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

新店高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 12 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選 1～2：弧度角比大小、圖形的對稱與疊合

02填充 3：尖拱的弧長與面積

03填充 4、9 與計算 12：和差角、倍角與二次式求極值

04填充 5、7、10：正餘弦的疊合

05填充 6、8、11：三角函數的圖形

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常見問題

新店高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

新店高中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

新店高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

新店高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

新店高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？