段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數及其圖形、對數與對數律、換底公式、常用對數、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

苑裡高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

單選題 2 題與填充題 19 題（28 格）一同算格數給分，共 30 格、90 分，答對格數 1～30 格依序得 5、10、14、18、21、24、27、30、33、36、39、42、45、48、51、54、57、60、63、66、69、72、75、78、80、82、84、86、88、90 分；多選題 2 題共 10 分。本頁題號全卷連續：第 1～2 題是單選題，第 3～4 題是多選題第 1～2 題，第 5～23 題是填充題第 1～19 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題：(2 題，與填充題一同算格數給分)

將

y = 3^{x}

的圖形，向左平移

1

單位，再向下平移

2

單位，會得到哪一個函數的圖形？

(A) $y = 3^{x - 1} + 2$
(B) $y = 3^{x + 1} - 2$
(C) $y = 3^{x - 1} - 2$
(D) $y = 3^{x + 1} + 2$
(E) $y = - 3^{x - 1} - 2$

設

a = lo g 2

，

b = lo g 3

，則下列哪個選項可以表示

lo g_{6} 72

？

(A) $\frac{a + b}{3 a + 2 b}$
(B) $\frac{2 a + 3 b}{a + b}$
(C) $\frac{3 a + 2 b}{a + b}$
(D) $\frac{a + b}{2 a + 3 b}$
(E) $\frac{b}{a + b}$

二、多選題：(2 題，每題 5 分，每答錯一格扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 10 分)

關於

y = 2^{x}

與

y = (\frac{1}{2})^{x}

圖形的敘述，請選出正確的選項。

(A) 兩圖形不相交
(B) 兩圖形對稱於 $x$ 軸
(C) 兩圖形對稱於 $y$ 軸
(D) 兩圖形均在 $x$ 軸上方
(E) 兩圖形相交於一點 $(0, 1)$

對數的底數、真數不滿足特定條件時，我們稱它無意義。請選出無意義的選項。

(A) $lo g_{5} (- 2)$
(B) $lo g_{1} 7$
(C) $lo g_{3} π$
(D) $lo g_{(π - 4)} 2$
(E) $lo g_{(π + 4)} (4 - π)$

三、填充題：(19 題，共 28 格)

設

f (x) = 3^{x}

，試求下列各函數值： (1)

f (0) =

____。 (2)

f (- 2) =

____。

試求下列各對數的值： (1)

lo g_{3} 9 =

____。 (2)

lo g_{\frac{1}{3}} 27 =

____。 (3)

lo g 0.1 =

____。 (4)

lo g \frac{1}{10} + lo g 4 + lo g 250 =

____。 (5)

lo g 8 0^{2} - lo g 64 =

____。

試解下列各方程式： (1)

7^{2 x + 1} = \frac{1}{7}

。 (2)

2^{2 x} - 7 \times 2^{x} - 2^{3} = 0

。

試解下列各方程式： (1)

lo g_{2} (x + 3) = 4

。 (2)

lo g_{3} (x + 4) + lo g_{3} (x - 4) = 2

試解下列各不等式： (1)

8^{3 x - 1} > 4^{2 x + 1}

。 (2)

lo g_{2} 2 x \geq 2

。 (3)

lo g_{3} x < 3

。

設

a = 0.2 5^{\frac{1}{2}}

，

b = 0. 5^{5}

，

c = 0.125

，試比較

a

、

b

、

c

大小關係。

若

lo g_{(x - 8)} (- x^{2} + 17 x - 70)

有意義，則實數

x

的範圍為 ____。

設

a = lo g_{3} 2

，

b = lo g_{7} 3

，則

3^{a - \frac{1}{b}}

之值為 ____。

試求

\frac{2}{lo g _{2} 60} + \frac{1}{lo g _{3} 60} + \frac{1}{lo g _{5} 60}

的值為 ____。

化簡

(lo g_{2} 3 + lo g_{4} 9) (lo g_{3} 4 + lo g_{9} 2)

的值為 ____。

試求

lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 5 \times lo g_{5} 8 =

____。

y = lo g_{a} (x - 2)

之圖形如圖，此圖形通過

(4, 1)

，

(b, 0)

，

(10, c)

三點，則

a + b + c =

____。

載入中...

請問方程式

3^{x} = 2 x + 1

有 ____ 個實數解。

設

a

、

b

為正實數，已知

lo g a = 10

，

lo g b = 12

，試求最接近

lo g (a + b)

的整數為 ____。

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，若

(\frac{5}{2})^{n} > 1000

，則

n

的最小正整數為 ____。

小明將

10

萬元存入銀行，銀行告訴他：年利率為

2%

，每年複利一次。（

lo g 1.02 \approx 0.0086

、

lo g 1.5 \approx 0.1761

）若小明希望本利和超過

15

萬時，再領出來使用，則小明至少需要等 ____ 年。（答案取整數）

設正實數

a

，

b

滿足

(lo g a) (lo g b) + lo g a + lo g b = 2

，且

lo g_{a} b = 2

，則

a

之值為 ____。（兩解）

已知過點

P (0, 4)

且與直線

L

：

y = x

垂直的直線，分別交

f (x) = a^{x}

與

g (x) = lo g_{a} x

兩圖形於

A

，

B

兩點，若

\overline{P A} = 2

，則

\overline{P B} =

____。

有一濾水器，每加一層濾網可除去水中

30%

雜質，想要使水中雜質降至原來的

1%

，至少要加 ____ 層濾網。（

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 7 \approx 0.8451

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(C)

第 3 題(C)(D)(E)

第 4 題(A)(B)(D)

第 5 題(1)

1

　(2)

\frac{1}{9}

第 6 題(1)

2

　(2)

- 3

　(3)

- 1

　(4)

2

　(5)

2

第 7 題(1)

x = - 1

　(2)

x = 3

第 8 題(1)

x = 13

　(2)

x = 5

第 9 題(1)

x > 1

　(2)

x \geq 2

　(3)

0 < x < 27

第 10 題

a > c > b

第 11 題

8 < x < 10

且

x \neq = 9

第 12 題

\frac{2}{7}

第 13 題

1

第 14 題

5

第 15 題

3

第 16 題

8

第 17 題

2

第 18 題

12

第 19 題

8

第 20 題

21

第 21 題

10

或

\frac{1}{100}

第 22 題

32

第 23 題

13

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：指數圖形的平移、換底公式

第 1 題答案 (B)。向左平移

1

單位是把

x

換成

x + 1

，得

y = 3^{x + 1}

；再向下平移

2

單位是把整個函數值減

2

，得

y = 3^{x + 1} - 2

。

向左平移是「

x

加」，向右平移才是「

x

減」；上下平移是在函數值後面加減。

第 2 題答案 (C)。用換底公式化成常用對數：

lo g_{6} 72 = \frac{lo g 72}{lo g 6}

。

72 = 2^{3} \times 3^{2}

，所以

lo g 72 = 3 lo g 2 + 2 lo g 3 = 3 a + 2 b

；

6 = 2 \times 3

，所以

lo g 6 = a + b

。得

lo g_{6} 72 = \frac{3 a + 2 b}{a + b}

。

(B) 把

2

與

3

的次方對調了：

72

是

2^{3} \times 3^{2}

，不是

2^{2} \times 3^{3} = 108

。

換底後把真數做質因數分解，次方用對數律拉到前面。

02多選題：底數互為倒數的指數圖形、對數有意義的條件

第 3 題答案 (C)(D)(E)。

(\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}

，所以

y = (\frac{1}{2})^{x}

在

x

的函數值等於

y = 2^{x}

在

- x

的函數值。(A) 錯：

x = 0

時兩者都是

1

，兩圖形交於

(0, 1)

。(B) 錯：兩圖形都在

x

軸上方，不可能對稱於

x

軸（對稱於

x

軸的圖形一個在上方、一個在下方）。(C) 對：點

(s, t)

在

y = 2^{x}

上，則

t = 2^{s} = (\frac{1}{2})^{- s}

，點

(- s, t)

在

y = (\frac{1}{2})^{x}

上，兩圖形對稱於

y

軸。(D) 對：底數為正的指數函數值恆為正。(E) 對：

2^{x} = 2^{- x}

只在

x = - x

，即

x = 0

時成立，所以兩圖形只交於一點

(0, 1)

。

第 4 題答案 (A)(B)(D)。

lo g_{a} b

有意義要底數

a > 0

、

a \neq = 1

，且真數

b > 0

。(A) 無意義：真數

- 2 < 0

。(B) 無意義：底數是

1

。(C) 有意義：底數

3 > 0

且不等於

1

，真數

π > 0

。(D) 無意義：

π \approx 3.14

，底數

π - 4 < 0

。(E) 有意義：底數

π + 4 > 0

且不等於

1

，真數

4 - π > 0

。

題目選的是「無意義」的選項。底數為

1

時

1

的任何次方都是

1

，

lo g_{1} 7

找不到對應的指數，所以規定底數不可為

1

。

對數有意義要同時檢查三件事：底數大於 0、底數不等於 1、真數大於 0。

03填充題：指數與對數求值、解方程式與不等式、比大小、有意義的範圍

第 5 題(1)

f (0) = 3^{0} = 1

。(2)

f (- 2) = 3^{- 2} = \frac{1}{3 ^{2}} = \frac{1}{9}

。

第 6 題(1)

9 = 3^{2}

，

lo g_{3} 9 = 2

。(2)

27 = 3^{3} = (\frac{1}{3})^{- 3}

，

lo g_{\frac{1}{3}} 27 = - 3

。(3)

0.1 = 1 0^{- 1}

，

lo g 0.1 = - 1

。(4) 由對數律，

lo g \frac{1}{10} + lo g 4 + lo g 250 = lo g (\frac{1}{10} \times 4 \times 250) = lo g 100 = 2

。(5)

lo g 8 0^{2} - lo g 64 = lo g \frac{6400}{64} = lo g 100 = 2

。

(2) 底數小於

1

、真數大於

1

，值是負的。(5) 也可以寫成

2 lo g 80 - 2 lo g 8 = 2 lo g 10 = 2

。

第 7 題(1)

\frac{1}{7} = 7^{- 1}

，所以

7^{2 x + 1} = 7^{- 1}

，指數相等，

2 x + 1 = - 1

，

x = - 1

。(2)

2^{3} = 8

，令

t = 2^{x}

（

t > 0

），方程式變成

t^{2} - 7 t - 8 = 0

，分解為

(t - 8) (t + 1) = 0

，

t = 8

或

t = - 1

。

t > 0

，只取

t = 8

，即

2^{x} = 2^{3}

，

x = 3

。

2^{x}

恆為正，

t = - 1

要捨去。

第 8 題(1) 由對數的定義，

x + 3 = 2^{4} = 16

，

x = 13

；此時真數

16 > 0

。(2) 真數要為正：

x + 4 > 0

且

x - 4 > 0

，所以

x > 4

。由對數律，

lo g_{3} [(x + 4) (x - 4)] = 2

，

(x + 4) (x - 4) = 3^{2} = 9

，

x^{2} = 25

，

x = 5

或

x = - 5

；只有

x = 5

滿足

x > 4

。

x = - 5

代回去真數

x + 4 = - 1

、

x - 4 = - 9

都是負的，對數無意義，要捨去。

第 9 題(1) 化成以

2

為底：

8^{3 x - 1} = 2^{9 x - 3}

，

4^{2 x + 1} = 2^{4 x + 2}

。底數

2 > 1

，指數大的值大，所以

9 x - 3 > 4 x + 2

，

x > 1

。(2) 真數

2 x > 0

，即

x > 0

。

2 = lo g_{2} 4

，底數

2 > 1

，

lo g_{2} 2 x \geq lo g_{2} 4

等價於

2 x \geq 4

，

x \geq 2

；與

x > 0

合起來，

x \geq 2

。(3) 真數

x > 0

。

3 = lo g_{3} 27

，底數

3 > 1

，

lo g_{3} x < lo g_{3} 27

等價於

x < 27

；與

x > 0

合起來，

0 < x < 27

。

(3) 不要漏掉真數的限制

x > 0

。

第 10 題都化成以

0.5

為底：

0.25 = 0. 5^{2}

，所以

a = (0. 5^{2})^{\frac{1}{2}} = 0. 5^{1}

；

b = 0. 5^{5}

；

0.125 = \frac{1}{8} = 0. 5^{3}

，所以

c = 0. 5^{3}

。底數

0.5

小於

1

，指數越大值越小；

1 < 3 < 5

，所以

a > c > b

。

數值是

a = 0.5

、

c = 0.125

、

b = 0.03125

。

第 11 題底數的條件：

x - 8 > 0

且

x - 8 \neq = 1

，即

x > 8

且

x \neq = 9

。真數的條件：

- x^{2} + 17 x - 70 > 0

，即

x^{2} - 17 x + 70 < 0

，

(x - 7) (x - 10) < 0

，

7 < x < 10

。三個條件合起來：

8 < x < 10

且

x \neq = 9

。

底數不可為

1

：

x = 9

時底數

x - 8 = 1

，要挖掉。

解對數方程式與不等式之前先寫出真數（和底數）的限制，最後再和解出來的範圍取交集。

04填充題：換底公式的各種用法、由圖上的點決定對數函數

第 12 題由換底公式，

\frac{1}{b} = \frac{1}{lo g _{7} 3} = lo g_{3} 7

。所以

a - \frac{1}{b} = lo g_{3} 2 - lo g_{3} 7 = lo g_{3} \frac{2}{7}

，

3^{a - \frac{1}{b}} = 3^{l o g_{3} \frac{2}{7}} = \frac{2}{7}

。

lo g_{a} b

與

lo g_{b} a

互為倒數；

a^{l o g_{a} x} = x

。

第 13 題由換底公式，

\frac{1}{lo g _{k} 60} = lo g_{60} k

。原式

= 2 lo g_{60} 2 + lo g_{60} 3 + lo g_{60} 5 = lo g_{60} (2^{2} \times 3 \times 5) = lo g_{60} 60 = 1

。

第 14 題

lo g_{4} 9 = \frac{lo g 9}{lo g 4} = \frac{2 lo g 3}{2 lo g 2} = lo g_{2} 3

，所以第一個括號

= 2 lo g_{2} 3

。

lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2

，

lo g_{9} 2 = \frac{lo g 2}{2 lo g 3} = \frac{1}{2} lo g_{3} 2

，所以第二個括號

= \frac{5}{2} lo g_{3} 2

。相乘得

2 lo g_{2} 3 \times \frac{5}{2} lo g_{3} 2 = 5 \times (lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 2) = 5 \times 1 = 5

。

第 15 題換成常用對數：

lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 5 \times lo g_{5} 8 = \frac{lo g 3}{lo g 2} \times \frac{lo g 5}{lo g 3} \times \frac{lo g 8}{lo g 5} = \frac{lo g 8}{lo g 2} = lo g_{2} 8 = 3

。

第 16 題點

(4, 1)

在圖形上：

1 = lo g_{a} (4 - 2) = lo g_{a} 2

，所以

a = 2

。點

(b, 0)

在圖形上：

0 = lo g_{2} (b - 2)

，

b - 2 = 1

，

b = 3

。點

(10, c)

在圖形上：

c = lo g_{2} (10 - 2) = lo g_{2} 8 = 3

。

a + b + c = 2 + 3 + 3 = 8

。

對數函數的值為

0

時，真數等於

1

，不是

0

。

換底公式讓不同底數的對數可以約分；連乘時前一個的真數是後一個的底數就會一路消去。

05填充題：交點個數、常用對數的估計、取對數求年數

第 17 題在同一坐標平面畫

y = 3^{x}

與直線

y = 2 x + 1

，數交點。代入檢查：

x = 0

時兩邊都是

1

；

x = 1

時兩邊都是

3

，所以至少有

2

個實數解。在同一坐標平面畫出兩圖形，可以看出

y = 3^{x}

的圖形向上彎、越往右越陡，直線

y = 2 x + 1

只和它交在

x = 0

與

x = 1

兩處。分三段比較：

x < 0

時圖形在直線上方（例如

x = - 1

時

\frac{1}{3} > - 1

，越往左直線越低，而

3^{x}

恆為正）；

0 < x < 1

時直線在圖形上方（例如

x = \frac{1}{2}

時

3 \approx 1.73 < 2

）；

x > 1

之後

3^{x}

增加得越來越快（

x = 2

時

9 > 5

），一直在直線上方。所以恰有

2

個實數解。

兩個解是

x = 0

與

x = 1

；只找到兩個解還不夠，要說明沒有第三個交點。

第 18 題

a = 1 0^{10}

，

b = 1 0^{12}

。

a + b = 1 0^{10} + 1 0^{12} = 1 0^{12} \times 1.01

，所以

lo g (a + b) = 12 + lo g 1.01

。因為

1 < 1.01 < 10

，

0 < lo g 1.01 < 0.5

，最接近的整數是

12

。

lo g (a + b) \approx 12.0043

；不可以寫成

lo g a + lo g b = 22

，對數律只有

lo g (ab) = lo g a + lo g b

。

第 19 題兩邊取常用對數：

n lo g \frac{5}{2} > lo g 1000 = 3

。

lo g \frac{5}{2} = lo g \frac{10}{4} = 1 - 2 lo g 2 \approx 1 - 0.6020 = 0.3980

。所以

n > \frac{3}{0.3980} \approx 7.54

，

n

的最小正整數為

8

。

檢查：

(\frac{5}{2})^{7} \approx 610

，

(\frac{5}{2})^{8} \approx 1526

。

第 20 題

n

年後本利和為

10 \times 1.0 2^{n}

萬元。要

10 \times 1.0 2^{n} > 15

，即

1.0 2^{n} > 1.5

。取常用對數：

n lo g 1.02 > lo g 1.5

，

0.0086 n > 0.1761

，

n > \frac{0.1761}{0.0086} \approx 20.48

。所以至少要等

21

年。

n

必須是整數年（每年複利一次），

20

年時還沒超過，所以取

21

。

看到「最小的正整數 n 使某數的 n 次方超過」就兩邊取常用對數，算出界限後無條件進位。

06填充題：對數方程式的兩解、圖形對稱於 y=x、濾網層數

第 21 題由換底公式，

lo g_{a} b = \frac{lo g b}{lo g a} = 2

，所以

lo g b = 2 lo g a

。令

u = lo g a

，代入第一式：

u \cdot 2 u + u + 2 u = 2

，

2 u^{2} + 3 u - 2 = 0

，

(2 u - 1) (u + 2) = 0

，

u = \frac{1}{2}

或

u = - 2

。

lo g a = \frac{1}{2}

時

a = 1 0^{\frac{1}{2}} = 10

；

lo g a = - 2

時

a = 1 0^{- 2} = \frac{1}{100}

。兩者都是不等於

1

的正數，可以當底數，所以

a = 10

或

\frac{1}{100}

。

對應的

b = a^{2}

分別是

10

與

\frac{1}{10000}

，代回

(lo g a) (lo g b) + lo g a + lo g b

分別是

\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} + 1 = 2

與

(- 2) (- 4) - 2 - 4 = 2

。

第 22 題過

P (0, 4)

且與

y = x

垂直的直線斜率為

- 1

，方程式為

y = - x + 4

。點

A

在這條直線上，設

A (t, 4 - t)

，由

\overline{P A} = t^{2} + t^{2} = 2

得

t = 1

或

t = - 1

。若

t = 1

，

A (1, 3)

在

y = a^{x}

上，

a^{1} = 3

，

a = 3

。

y = 3^{x}

與

y = lo g_{3} x

的圖形對稱於直線

y = x

，而直線

y = - x + 4

與

y = x

垂直，對

y = x

作對稱後仍是它自己，所以

A (1, 3)

對

y = x

的對稱點

(3, 1)

就在

y = lo g_{3} x

與這條直線上（

lo g_{3} 3 = 1 = - 3 + 4

）。

lo g_{3} x

遞增、

- x + 4

遞減，交點只有一個，所以

B (3, 1)

。

\overline{P B} = 3^{2} + (1 - 4)^{2} = 32

。

若

t = - 1

，

A (- 1, 5)

給出

a = \frac{1}{5}

；但此時

y = (\frac{1}{5})^{x}

與直線

y = - x + 4

有兩個交點（除了

x = - 1

，在

x = 3

時

\frac{1}{125} < 1

、在

x = 4

時

\frac{1}{625} > 0

，

3

與

4

之間還交一次），直線和

y = lo g_{\frac{1}{5}} x

的圖形也有兩個交點（

x = 5

與

x \approx 0.0016

），

B

同樣不唯一，與題意不合，所以只取

a = 3

。也可以這樣看：

A

、

B

對稱於

y = x

，兩線交點

M (2, 2)

是

\overline{A B}

的中點，

\overline{P M} = 22

，

\overline{P B} = \overline{P M} + \overline{M B} = 22 + 2 = 32

。

第 23 題每加一層，雜質剩下原來的

70%

，加

n

層後剩下

0. 7^{n}

倍。要

0. 7^{n} \leq 0.01

，取常用對數：

n lo g 0.7 \leq - 2

。

lo g 0.7 = lo g 7 - 1 \approx - 0.1549

，是負數，兩邊同除以它不等號反向：

n \geq \frac{2}{0.1549} \approx 12.91

，所以至少要加

13

層濾網。

除去

30%

是剩下

70%

，不是剩下

30%

。除以負數

lo g 0.7

時不等號要反向。

lo g 2

、

lo g 3

這兩個近似值本題用不到。

按比例衰減寫成 r 的 n 次方，取對數後記得 log r 是負的，不等號要反向。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

苑裡高中 113 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 23 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

苑裡高中 113 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 22 題要看出指數與對數兩圖形對稱於直線 y=x，而垂直於 y=x 的直線對稱後仍是自己，A 與 B 互為對稱點；第 11 題底數不可為 1，要挖掉 x=9；第 23 題除去三成是剩下七成，而且除以負的對數值時不等號要反向；第 17 題要用圖形說明恰有兩個交點，不能只找到兩個解就停。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自苑裡高中 113 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數及其圖形、對數與對數律、換底公式、常用對數、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

苑裡高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

一、單選題：(2 題，與填充題一同算格數給分)

將

y = 3^{x}

的圖形，向左平移

1

單位，再向下平移

2

單位，會得到哪一個函數的圖形？

(A) $y = 3^{x - 1} + 2$
(B) $y = 3^{x + 1} - 2$
(C) $y = 3^{x - 1} - 2$
(D) $y = 3^{x + 1} + 2$
(E) $y = - 3^{x - 1} - 2$

設

a = lo g 2

，

b = lo g 3

，則下列哪個選項可以表示

lo g_{6} 72

？

(A) $\frac{a + b}{3 a + 2 b}$
(B) $\frac{2 a + 3 b}{a + b}$
(C) $\frac{3 a + 2 b}{a + b}$
(D) $\frac{a + b}{2 a + 3 b}$
(E) $\frac{b}{a + b}$

二、多選題：(2 題，每題 5 分，每答錯一格扣 2 分，扣至該題 0 分為止，共 10 分)

關於

y = 2^{x}

與

y = (\frac{1}{2})^{x}

圖形的敘述，請選出正確的選項。

(A) 兩圖形不相交
(B) 兩圖形對稱於 $x$ 軸
(C) 兩圖形對稱於 $y$ 軸
(D) 兩圖形均在 $x$ 軸上方
(E) 兩圖形相交於一點 $(0, 1)$

對數的底數、真數不滿足特定條件時，我們稱它無意義。請選出無意義的選項。

(A) $lo g_{5} (- 2)$
(B) $lo g_{1} 7$
(C) $lo g_{3} π$
(D) $lo g_{(π - 4)} 2$
(E) $lo g_{(π + 4)} (4 - π)$

三、填充題：(19 題，共 28 格)

設

f (x) = 3^{x}

，試求下列各函數值： (1)

f (0) =

____。 (2)

f (- 2) =

____。

試求下列各對數的值： (1)

lo g_{3} 9 =

____。 (2)

lo g_{\frac{1}{3}} 27 =

____。 (3)

lo g 0.1 =

____。 (4)

lo g \frac{1}{10} + lo g 4 + lo g 250 =

____。 (5)

lo g 8 0^{2} - lo g 64 =

____。

試解下列各方程式： (1)

7^{2 x + 1} = \frac{1}{7}

。 (2)

2^{2 x} - 7 \times 2^{x} - 2^{3} = 0

。

試解下列各方程式： (1)

lo g_{2} (x + 3) = 4

。 (2)

lo g_{3} (x + 4) + lo g_{3} (x - 4) = 2

試解下列各不等式： (1)

8^{3 x - 1} > 4^{2 x + 1}

。 (2)

lo g_{2} 2 x \geq 2

。 (3)

lo g_{3} x < 3

。

設

a = 0.2 5^{\frac{1}{2}}

，

b = 0. 5^{5}

，

c = 0.125

，試比較

a

、

b

、

c

大小關係。

若

lo g_{(x - 8)} (- x^{2} + 17 x - 70)

有意義，則實數

x

的範圍為 ____。

設

a = lo g_{3} 2

，

b = lo g_{7} 3

，則

3^{a - \frac{1}{b}}

之值為 ____。

試求

\frac{2}{lo g _{2} 60} + \frac{1}{lo g _{3} 60} + \frac{1}{lo g _{5} 60}

的值為 ____。

化簡

(lo g_{2} 3 + lo g_{4} 9) (lo g_{3} 4 + lo g_{9} 2)

的值為 ____。

試求

lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 5 \times lo g_{5} 8 =

____。

y = lo g_{a} (x - 2)

之圖形如圖，此圖形通過

(4, 1)

，

(b, 0)

，

(10, c)

三點，則

a + b + c =

____。

載入中...

請問方程式

3^{x} = 2 x + 1

有 ____ 個實數解。

設

a

、

b

為正實數，已知

lo g a = 10

，

lo g b = 12

，試求最接近

lo g (a + b)

的整數為 ____。

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，若

(\frac{5}{2})^{n} > 1000

，則

n

的最小正整數為 ____。

小明將

10

萬元存入銀行，銀行告訴他：年利率為

2%

，每年複利一次。（

lo g 1.02 \approx 0.0086

、

lo g 1.5 \approx 0.1761

）若小明希望本利和超過

15

萬時，再領出來使用，則小明至少需要等 ____ 年。（答案取整數）

設正實數

a

，

b

滿足

(lo g a) (lo g b) + lo g a + lo g b = 2

，且

lo g_{a} b = 2

，則

a

之值為 ____。（兩解）

已知過點

P (0, 4)

且與直線

L

：

y = x

垂直的直線，分別交

f (x) = a^{x}

與

g (x) = lo g_{a} x

兩圖形於

A

，

B

兩點，若

\overline{P A} = 2

，則

\overline{P B} =

____。

有一濾水器，每加一層濾網可除去水中

30%

雜質，想要使水中雜質降至原來的

1%

，至少要加 ____ 層濾網。（

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 7 \approx 0.8451

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(C)

第 3 題(C)(D)(E)

第 4 題(A)(B)(D)

第 5 題(1)

1

　(2)

\frac{1}{9}

第 6 題(1)

2

　(2)

- 3

　(3)

- 1

　(4)

2

　(5)

2

第 7 題(1)

x = - 1

　(2)

x = 3

第 8 題(1)

x = 13

　(2)

x = 5

第 9 題(1)

x > 1

　(2)

x \geq 2

　(3)

0 < x < 27

第 10 題

a > c > b

第 11 題

8 < x < 10

且

x \neq = 9

第 12 題

\frac{2}{7}

第 13 題

1

第 14 題

5

第 15 題

3

第 16 題

8

第 17 題

2

第 18 題

12

第 19 題

8

第 20 題

21

第 21 題

10

或

\frac{1}{100}

第 22 題

32

第 23 題

13

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題：指數圖形的平移、換底公式

第 1 題答案 (B)。向左平移

1

單位是把

x

換成

x + 1

，得

y = 3^{x + 1}

；再向下平移

2

單位是把整個函數值減

2

，得

y = 3^{x + 1} - 2

。

向左平移是「

x

加」，向右平移才是「

x

減」；上下平移是在函數值後面加減。

第 2 題答案 (C)。用換底公式化成常用對數：

lo g_{6} 72 = \frac{lo g 72}{lo g 6}

。

72 = 2^{3} \times 3^{2}

，所以

lo g 72 = 3 lo g 2 + 2 lo g 3 = 3 a + 2 b

；

6 = 2 \times 3

，所以

lo g 6 = a + b

。得

lo g_{6} 72 = \frac{3 a + 2 b}{a + b}

。

(B) 把

2

與

3

的次方對調了：

72

是

2^{3} \times 3^{2}

，不是

2^{2} \times 3^{3} = 108

。

換底後把真數做質因數分解，次方用對數律拉到前面。

02多選題：底數互為倒數的指數圖形、對數有意義的條件

第 3 題答案 (C)(D)(E)。

(\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}

，所以

y = (\frac{1}{2})^{x}

在

x

的函數值等於

y = 2^{x}

在

- x

的函數值。(A) 錯：

x = 0

時兩者都是

1

，兩圖形交於

(0, 1)

。(B) 錯：兩圖形都在

x

軸上方，不可能對稱於

x

軸（對稱於

x

軸的圖形一個在上方、一個在下方）。(C) 對：點

(s, t)

在

y = 2^{x}

上，則

t = 2^{s} = (\frac{1}{2})^{- s}

，點

(- s, t)

在

y = (\frac{1}{2})^{x}

上，兩圖形對稱於

y

軸。(D) 對：底數為正的指數函數值恆為正。(E) 對：

2^{x} = 2^{- x}

只在

x = - x

，即

x = 0

時成立，所以兩圖形只交於一點

(0, 1)

。

第 4 題答案 (A)(B)(D)。

lo g_{a} b

有意義要底數

a > 0

、

a \neq = 1

，且真數

b > 0

。(A) 無意義：真數

- 2 < 0

。(B) 無意義：底數是

1

。(C) 有意義：底數

3 > 0

且不等於

1

，真數

π > 0

。(D) 無意義：

π \approx 3.14

，底數

π - 4 < 0

。(E) 有意義：底數

π + 4 > 0

且不等於

1

，真數

4 - π > 0

。

題目選的是「無意義」的選項。底數為

1

時

1

的任何次方都是

1

，

lo g_{1} 7

找不到對應的指數，所以規定底數不可為

1

。

對數有意義要同時檢查三件事：底數大於 0、底數不等於 1、真數大於 0。

03填充題：指數與對數求值、解方程式與不等式、比大小、有意義的範圍

第 5 題(1)

f (0) = 3^{0} = 1

。(2)

f (- 2) = 3^{- 2} = \frac{1}{3 ^{2}} = \frac{1}{9}

。

第 6 題(1)

9 = 3^{2}

，

lo g_{3} 9 = 2

。(2)

27 = 3^{3} = (\frac{1}{3})^{- 3}

，

lo g_{\frac{1}{3}} 27 = - 3

。(3)

0.1 = 1 0^{- 1}

，

lo g 0.1 = - 1

。(4) 由對數律，

lo g \frac{1}{10} + lo g 4 + lo g 250 = lo g (\frac{1}{10} \times 4 \times 250) = lo g 100 = 2

。(5)

lo g 8 0^{2} - lo g 64 = lo g \frac{6400}{64} = lo g 100 = 2

。

(2) 底數小於

1

、真數大於

1

，值是負的。(5) 也可以寫成

2 lo g 80 - 2 lo g 8 = 2 lo g 10 = 2

。

第 7 題(1)

\frac{1}{7} = 7^{- 1}

，所以

7^{2 x + 1} = 7^{- 1}

，指數相等，

2 x + 1 = - 1

，

x = - 1

。(2)

2^{3} = 8

，令

t = 2^{x}

（

t > 0

），方程式變成

t^{2} - 7 t - 8 = 0

，分解為

(t - 8) (t + 1) = 0

，

t = 8

或

t = - 1

。

t > 0

，只取

t = 8

，即

2^{x} = 2^{3}

，

x = 3

。

2^{x}

恆為正，

t = - 1

要捨去。

第 8 題(1) 由對數的定義，

x + 3 = 2^{4} = 16

，

x = 13

；此時真數

16 > 0

。(2) 真數要為正：

x + 4 > 0

且

x - 4 > 0

，所以

x > 4

。由對數律，

lo g_{3} [(x + 4) (x - 4)] = 2

，

(x + 4) (x - 4) = 3^{2} = 9

，

x^{2} = 25

，

x = 5

或

x = - 5

；只有

x = 5

滿足

x > 4

。

x = - 5

代回去真數

x + 4 = - 1

、

x - 4 = - 9

都是負的，對數無意義，要捨去。

第 9 題(1) 化成以

2

為底：

8^{3 x - 1} = 2^{9 x - 3}

，

4^{2 x + 1} = 2^{4 x + 2}

。底數

2 > 1

，指數大的值大，所以

9 x - 3 > 4 x + 2

，

x > 1

。(2) 真數

2 x > 0

，即

x > 0

。

2 = lo g_{2} 4

，底數

2 > 1

，

lo g_{2} 2 x \geq lo g_{2} 4

等價於

2 x \geq 4

，

x \geq 2

；與

x > 0

合起來，

x \geq 2

。(3) 真數

x > 0

。

3 = lo g_{3} 27

，底數

3 > 1

，

lo g_{3} x < lo g_{3} 27

等價於

x < 27

；與

x > 0

合起來，

0 < x < 27

。

(3) 不要漏掉真數的限制

x > 0

。

第 10 題都化成以

0.5

為底：

0.25 = 0. 5^{2}

，所以

a = (0. 5^{2})^{\frac{1}{2}} = 0. 5^{1}

；

b = 0. 5^{5}

；

0.125 = \frac{1}{8} = 0. 5^{3}

，所以

c = 0. 5^{3}

。底數

0.5

小於

1

，指數越大值越小；

1 < 3 < 5

，所以

a > c > b

。

數值是

a = 0.5

、

c = 0.125

、

b = 0.03125

。

第 11 題底數的條件：

x - 8 > 0

且

x - 8 \neq = 1

，即

x > 8

且

x \neq = 9

。真數的條件：

- x^{2} + 17 x - 70 > 0

，即

x^{2} - 17 x + 70 < 0

，

(x - 7) (x - 10) < 0

，

7 < x < 10

。三個條件合起來：

8 < x < 10

且

x \neq = 9

。

底數不可為

1

：

x = 9

時底數

x - 8 = 1

，要挖掉。

解對數方程式與不等式之前先寫出真數（和底數）的限制，最後再和解出來的範圍取交集。

04填充題：換底公式的各種用法、由圖上的點決定對數函數

第 12 題由換底公式，

\frac{1}{b} = \frac{1}{lo g _{7} 3} = lo g_{3} 7

。所以

a - \frac{1}{b} = lo g_{3} 2 - lo g_{3} 7 = lo g_{3} \frac{2}{7}

，

3^{a - \frac{1}{b}} = 3^{l o g_{3} \frac{2}{7}} = \frac{2}{7}

。

lo g_{a} b

與

lo g_{b} a

互為倒數；

a^{l o g_{a} x} = x

。

第 13 題由換底公式，

\frac{1}{lo g _{k} 60} = lo g_{60} k

。原式

= 2 lo g_{60} 2 + lo g_{60} 3 + lo g_{60} 5 = lo g_{60} (2^{2} \times 3 \times 5) = lo g_{60} 60 = 1

。

第 14 題

lo g_{4} 9 = \frac{lo g 9}{lo g 4} = \frac{2 lo g 3}{2 lo g 2} = lo g_{2} 3

，所以第一個括號

= 2 lo g_{2} 3

。

lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2

，

lo g_{9} 2 = \frac{lo g 2}{2 lo g 3} = \frac{1}{2} lo g_{3} 2

，所以第二個括號

= \frac{5}{2} lo g_{3} 2

。相乘得

2 lo g_{2} 3 \times \frac{5}{2} lo g_{3} 2 = 5 \times (lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 2) = 5 \times 1 = 5

。

第 15 題換成常用對數：

lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 5 \times lo g_{5} 8 = \frac{lo g 3}{lo g 2} \times \frac{lo g 5}{lo g 3} \times \frac{lo g 8}{lo g 5} = \frac{lo g 8}{lo g 2} = lo g_{2} 8 = 3

。

第 16 題點

(4, 1)

在圖形上：

1 = lo g_{a} (4 - 2) = lo g_{a} 2

，所以

a = 2

。點

(b, 0)

在圖形上：

0 = lo g_{2} (b - 2)

，

b - 2 = 1

，

b = 3

。點

(10, c)

在圖形上：

c = lo g_{2} (10 - 2) = lo g_{2} 8 = 3

。

a + b + c = 2 + 3 + 3 = 8

。

對數函數的值為

0

時，真數等於

1

，不是

0

。

換底公式讓不同底數的對數可以約分；連乘時前一個的真數是後一個的底數就會一路消去。

05填充題：交點個數、常用對數的估計、取對數求年數

第 17 題在同一坐標平面畫

y = 3^{x}

與直線

y = 2 x + 1

，數交點。代入檢查：

x = 0

時兩邊都是

1

；

x = 1

時兩邊都是

3

，所以至少有

2

個實數解。在同一坐標平面畫出兩圖形，可以看出

y = 3^{x}

的圖形向上彎、越往右越陡，直線

y = 2 x + 1

只和它交在

x = 0

與

x = 1

兩處。分三段比較：

x < 0

時圖形在直線上方（例如

x = - 1

時

\frac{1}{3} > - 1

，越往左直線越低，而

3^{x}

恆為正）；

0 < x < 1

時直線在圖形上方（例如

x = \frac{1}{2}

時

3 \approx 1.73 < 2

）；

x > 1

之後

3^{x}

增加得越來越快（

x = 2

時

9 > 5

），一直在直線上方。所以恰有

2

個實數解。

兩個解是

x = 0

與

x = 1

；只找到兩個解還不夠，要說明沒有第三個交點。

第 18 題

a = 1 0^{10}

，

b = 1 0^{12}

。

a + b = 1 0^{10} + 1 0^{12} = 1 0^{12} \times 1.01

，所以

lo g (a + b) = 12 + lo g 1.01

。因為

1 < 1.01 < 10

，

0 < lo g 1.01 < 0.5

，最接近的整數是

12

。

lo g (a + b) \approx 12.0043

；不可以寫成

lo g a + lo g b = 22

，對數律只有

lo g (ab) = lo g a + lo g b

。

第 19 題兩邊取常用對數：

n lo g \frac{5}{2} > lo g 1000 = 3

。

lo g \frac{5}{2} = lo g \frac{10}{4} = 1 - 2 lo g 2 \approx 1 - 0.6020 = 0.3980

。所以

n > \frac{3}{0.3980} \approx 7.54

，

n

的最小正整數為

8

。

檢查：

(\frac{5}{2})^{7} \approx 610

，

(\frac{5}{2})^{8} \approx 1526

。

第 20 題

n

年後本利和為

10 \times 1.0 2^{n}

萬元。要

10 \times 1.0 2^{n} > 15

，即

1.0 2^{n} > 1.5

。取常用對數：

n lo g 1.02 > lo g 1.5

，

0.0086 n > 0.1761

，

n > \frac{0.1761}{0.0086} \approx 20.48

。所以至少要等

21

年。

n

必須是整數年（每年複利一次），

20

年時還沒超過，所以取

21

。

看到「最小的正整數 n 使某數的 n 次方超過」就兩邊取常用對數，算出界限後無條件進位。

06填充題：對數方程式的兩解、圖形對稱於 y=x、濾網層數

第 21 題由換底公式，

lo g_{a} b = \frac{lo g b}{lo g a} = 2

，所以

lo g b = 2 lo g a

。令

u = lo g a

，代入第一式：

u \cdot 2 u + u + 2 u = 2

，

2 u^{2} + 3 u - 2 = 0

，

(2 u - 1) (u + 2) = 0

，

u = \frac{1}{2}

或

u = - 2

。

lo g a = \frac{1}{2}

時

a = 1 0^{\frac{1}{2}} = 10

；

lo g a = - 2

時

a = 1 0^{- 2} = \frac{1}{100}

。兩者都是不等於

1

的正數，可以當底數，所以

a = 10

或

\frac{1}{100}

。

對應的

b = a^{2}

分別是

10

與

\frac{1}{10000}

，代回

(lo g a) (lo g b) + lo g a + lo g b

分別是

\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} + 1 = 2

與

(- 2) (- 4) - 2 - 4 = 2

。

第 22 題過

P (0, 4)

且與

y = x

垂直的直線斜率為

- 1

，方程式為

y = - x + 4

。點

A

在這條直線上，設

A (t, 4 - t)

，由

\overline{P A} = t^{2} + t^{2} = 2

得

t = 1

或

t = - 1

。若

t = 1

，

A (1, 3)

在

y = a^{x}

上，

a^{1} = 3

，

a = 3

。

y = 3^{x}

與

y = lo g_{3} x

的圖形對稱於直線

y = x

，而直線

y = - x + 4

與

y = x

垂直，對

y = x

作對稱後仍是它自己，所以

A (1, 3)

對

y = x

的對稱點

(3, 1)

就在

y = lo g_{3} x

與這條直線上（

lo g_{3} 3 = 1 = - 3 + 4

）。

lo g_{3} x

遞增、

- x + 4

遞減，交點只有一個，所以

B (3, 1)

。

\overline{P B} = 3^{2} + (1 - 4)^{2} = 32

。

若

t = - 1

，

A (- 1, 5)

給出

a = \frac{1}{5}

；但此時

y = (\frac{1}{5})^{x}

與直線

y = - x + 4

有兩個交點（除了

x = - 1

，在

x = 3

時

\frac{1}{125} < 1

、在

x = 4

時

\frac{1}{625} > 0

，

3

與

4

之間還交一次），直線和

y = lo g_{\frac{1}{5}} x

的圖形也有兩個交點（

x = 5

與

x \approx 0.0016

），

B

同樣不唯一，與題意不合，所以只取

a = 3

。也可以這樣看：

A

、

B

對稱於

y = x

，兩線交點

M (2, 2)

是

\overline{A B}

的中點，

\overline{P M} = 22

，

\overline{P B} = \overline{P M} + \overline{M B} = 22 + 2 = 32

。

第 23 題每加一層，雜質剩下原來的

70%

，加

n

層後剩下

0. 7^{n}

倍。要

0. 7^{n} \leq 0.01

，取常用對數：

n lo g 0.7 \leq - 2

。

lo g 0.7 = lo g 7 - 1 \approx - 0.1549

，是負數，兩邊同除以它不等號反向：

n \geq \frac{2}{0.1549} \approx 12.91

，所以至少要加

13

層濾網。

除去

30%

是剩下

70%

，不是剩下

30%

。除以負數

lo g 0.7

時不等號要反向。

lo g 2

、

lo g 3

這兩個近似值本題用不到。

按比例衰減寫成 r 的 n 次方，取對數後記得 log r 是負的，不等號要反向。

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04填充題：換底公式的各種用法、由圖上的點決定對數函數

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