段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

高雄女中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

是非題 6 題（12 分）、多選題 3 題（18 分）、填充題 14 格（70 分）。原卷各大題題號各自從 1 起算，本頁依序連號：第 1～6 題是非、第 7～9 題多選、第 10～23 題填充

一、是非題（一題 2 分，共 12 分，正確請畫 ○，錯誤請畫 ×）

\frac{3}{π}

弧度等於

\frac{1}{60}

度。

正弦函數

y = sin x

的圖形對稱於點

(π, 0)

。

將

y = sin 2 x

的圖形向右平移

\frac{π}{4}

單位，再以

y

軸為基準線，水平伸縮為原本的

\frac{1}{2}

倍，可得圖形為

y = sin (4 x - \frac{π}{2})

。

設

0 \leq x \leq 114 π

，則函數

y = tan x

和直線

y = x

的圖形共有

114

個交點。

sin π^{2} < cos 3

。

函數

y = cos ∣2 x ∣

的週期為

\frac{π}{2}

。

二、多選題（一題 6 分，共 18 分，錯一個選項得 4 分，錯兩個選項得 2 分，其餘情況得 0 分）

設一扇形圓心角為

θ

，半徑為

r

，周長為

P

，面積為

A

，則下列選項哪些正確？

(A) 若 $P = 20$ 且 $θ = 2$ ，則 $r = 10$
(B) 若 $P = 20$ 且 $θ = 3$ ，則 $A = 24$
(C) 若 $P = 20$ ，則 $A$ 的最大值為 $25$
(D) 若 $A = 50$ ，則當 $P$ 有最小值，此時 $θ = 2$
(E) 若 $A = 50$ ，則 $P$ 的最小值為 $102$

已知

\frac{3 π}{2} < θ < 2 π

且

sin θ = - \frac{3}{5}

，則下列選項哪些正確？

(A) $cos θ = \frac{4}{5}$
(B) $cos (θ + \frac{π}{4}) = \frac{2}{10}$
(C) $sin 2 θ = \frac{- 24}{25}$
(D) $tan \frac{θ}{2} = - 3$
(E) $cos \frac{5 θ}{2} = \frac{3 10}{250}$

考慮函數

f (x) = ∣ sin x ∣

的圖形中，其中

x

為任意實數，則下列選項哪些正確？

(A) $f (x)$ 的週期為 $\frac{π}{2}$
(B) 直線 $x = 2025 π$ 是 $f (x)$ 之圖形的對稱軸
(C) $f (x)$ 的最大值 $1$
(D) $f (4) > f (5)$
(E) 兩函數 $f (x) = ∣ sin x ∣$ 和 $g (x) = \frac{1}{100} x^{2}$ 的圖形共有 $11$ 個交點

三、填充題（一格 5 分，共 70 分）

化簡

\frac{cos \frac{11 π}{3}}{1 - sin \frac{4 π}{3}} + \frac{2}{1 + tan ( \frac{- π}{6} )} =

____。

函數

f (x) = 2 sin (x - \frac{π}{4}) - 62 cos x - 2

的最大值為 ____。

已知

α

為第二象限角，

β

為第三象限角，且

sin α = \frac{3}{5}

，

tan β = \frac{5}{12}

，則

sin (α + β) =

____。

如圖為半徑

2

的圓，圓心為

O

，若弦

\overline{A B}

垂直

\overline{O C}

於

D

，則

\overline{A B} + \overline{O D}

的最大值為 ____。

載入中...

函數

f (x) = π sin (k x)

的圖形中，其中

k > 0

。若取兩個相鄰的最高點及一個最低點形成正三角形，則

k =

____。

設

a

、

b

為正實數且

c

、

d

為實數，其中

0 < c < π

，若

y = a sin (b x + c) + d

的週期為

\frac{2 π}{5}

，當

x = - \frac{π}{20}

時，

y

有最大值

3

；當

x = \frac{3 π}{20}

時，

y

有最小值

- 1

，求數對

(a, b, c, d) =

____。

求不等式

cos (x + π) \geq cos x + cos π

在

0 \leq x \leq 2 π

範圍內的解為 ____。

若

sin (- θ) cos (2 π - θ) + cos θ sin (π + θ) = \frac{2}{3}

，且

sin θ < 0

，則

sin^{3} θ - cos^{3} θ =

____。

若

ab > 0

，且函數

f (x) = (a cos x + b sin x) cos x

有最大值

4

及最小值

- 1

，則

a + b =

____。

如右圖，

O

為原點，

P (2, 3)

，

\overline{O P}

與

x

軸正向夾角為

α

，則過

P

點且與

x

軸正向夾角為

2 α

的直線方程式為 ____。（將答案表示成

a x + b y + c = 0

的形式）

載入中...

在

0 \leq x \leq 2 π

的範圍內，求

sin x + cos x = \frac{1}{3}

的所有實數解之和為 ____。

如右圖，

A_{1}

、

A_{2}

、…、

A_{8}

八個點將圓的圓周八等分，並連接

\overline{A_{1} A_{6}}

及

\overline{A_{2} A_{5}}

，已知鋪色區域的周長為

2 + 2 + \frac{π}{4}

，則鋪色區域的面積為 ____。

載入中...

設

f (x) = \frac{1}{2} 1 - cos 2 x

，

g (x) = \frac{1}{2} 1 + cos 2 x

，且

h (x) = f (x) + g (x)

，對於任何實數

x

，若

h (x)

的最大值為

M

，最小值為

m

，則數對

(M, m) =

____。

如右圖，已知

∠ A B C = ∠ A C D = ∠ B A D = \frac{π}{2}

，

tan ∠ C A D < 1

，且

\overline{A B} = 1

、

\overline{A D} = 3

，則四邊形

A B C D

的面積為 ____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

第 7 題(B)(C)(D)

第 8 題(A)(C)(E)

第 9 題(B)(C)(E)

第 10 題

5

第 11 題

8

第 12 題

- \frac{16}{65}

第 13 題

10

第 14 題

\frac{3}{2}

第 15 題

(2, 5, \frac{3 π}{4}, 1)

第 16 題

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{5 π}{3}

第 17 題

- \frac{2 15}{9}

第 18 題

7

第 19 題

12 x + 5 y - 39 = 0

第 20 題

\frac{5 π}{2}

第 21 題

\frac{2}{8} + \frac{π}{16}

第 22 題

(2, 1)

第 23 題

\frac{9 + 5}{4}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非題 1～6：弧度換算與三角函數的圖形

第 1 題2畫 ×。

1

弧度

= \frac{180}{π}

度，所以

\frac{3}{π}

弧度

= \frac{3}{π} \times \frac{180}{π} = \frac{540}{π ^{2}}

度，大約

54.7

度，不是

\frac{1}{60}

度。

反過來才對：

\frac{3}{π}

度

= \frac{3}{π} \times \frac{π}{180} = \frac{1}{60}

弧度。

第 2 題1畫 ○。取

(π, 0)

兩側等距的兩點

x = π + t

、

x = π - t

：

sin (π + t) = - sin t

，

sin (π - t) = sin t

，兩個函數值互為相反數，所以圖形對稱於點

(π, 0)

。事實上

y = sin x

與

x

軸的每個交點

(k π, 0)

都是對稱中心。

第 3 題1畫 ○。向右平移

\frac{π}{4}

：把

x

換成

x - \frac{π}{4}

，得

y = sin 2 (x - \frac{π}{4}) = sin (2 x - \frac{π}{2})

。再水平伸縮為

\frac{1}{2}

倍：把

x

換成

2 x

，得

y = sin (4 x - \frac{π}{2})

。

伸縮只把

x

換成

2 x

，後面的

- \frac{π}{2}

不跟著乘

2

。

第 4 題1畫 ○。

0 \leq x < \frac{π}{2}

這一段：

x = 0

是交點；

0 < x < \frac{π}{2}

時

tan x > x

，沒有其他交點。之後

y = tan x

在每個區間

(k π - \frac{π}{2}, k π + \frac{π}{2})

各有一支由下往上的圖形，與直線

y = x

各交一點；因為

x > 0

時直線在

x

軸上方，交點落在

tan x > 0

的右半支，也就是

k π < x < k π + \frac{π}{2}

。

k = 1, 2, \dots, 113

的交點都在

114 π

以內，共

113

個；

k = 114

那一支的交點在

114 π

右邊，不算。合計

1 + 113 = 114

個。

兩個容易數錯的地方：原點算一個；最後一支在

x \leq 114 π

的部分

tan x \leq 0

，碰不到直線。

第 5 題2畫 ×。

π^{2} = 3 π + π (π - 3)

，而

π (π - 3) \approx 3.14 \times 0.14 \approx 0.44

，介於

0

與

\frac{π}{6} \approx 0.52

之間，所以

sin π^{2} = - sin (π (π - 3)) > - sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}

。另一方面

\frac{5 π}{6} \approx 2.62 < 3 < π

，餘弦在這一段遞減，

cos 3 < cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}

。於是

cos 3 < - \frac{3}{2} < - \frac{1}{2} < sin π^{2}

，原式不成立。

估值：

sin π^{2} \approx - 0.43

，

cos 3 \approx - 0.99

。

第 6 題2畫 ×。餘弦是偶函數，

cos ∣2 x ∣ = cos 2 x

，週期是

\frac{2 π}{2} = π

，不是

\frac{π}{2}

。

絕對值在裡面（

cos ∣2 x ∣

）圖形不變；絕對值在外面（

∣ cos 2 x ∣

）週期才會減半成

\frac{π}{2}

。

圖形題先寫出代數關係再判斷：對稱中心看

f (a + t) = - f (a - t)

，平移伸縮只對

x

本身代換，數交點要把頭尾兩段單獨檢查。

02多選題 7～9：扇形、倍角半角、y＝|sin x| 的圖形

第 7 題答案 (B)(C)(D)。扇形弧長

r θ

，所以

P = 2 r + r θ

，

A = \frac{1}{2} r^{2} θ

。(A) 錯：

r (2 + 2) = 20

，

r = 5

。(B) 對：

r (2 + 3) = 20

，

r = 4

，

A = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 3 = 24

。(C) 對：

r θ = 20 - 2 r

，

A = \frac{1}{2} r (20 - 2 r) = - (r - 5)^{2} + 25

，

r = 5

（此時

θ = 2

）時最大值

25

。(D) 對、(E) 錯：

A = 50

得

r θ = \frac{100}{r}

，

P = 2 r + \frac{100}{r} \geq 2 2 r \cdot \frac{100}{r} = 202

，等號在

2 r = \frac{100}{r}

，即

r^{2} = 50

時成立，此時

θ = \frac{100}{r ^{2}} = 2

。最小值是

202

，不是

102

。

周長固定求面積最大、面積固定求周長最小，等號都發生在

θ = 2

（弧長等於兩條半徑的和）。

第 8 題答案 (A)(C)(E)。

θ

在第四象限，

cos θ = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}

，(A) 對。(B) 錯：

cos (θ + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2} (cos θ - sin θ) = \frac{2}{2} \cdot \frac{7}{5} = \frac{7 2}{10}

。(C) 對：

sin 2 θ = 2 \cdot (- \frac{3}{5}) \cdot \frac{4}{5} = - \frac{24}{25}

。(D) 錯：

\frac{3 π}{4} < \frac{θ}{2} < π

在第二象限，

cos \frac{θ}{2} = - \frac{1 + cos θ}{2} = - \frac{3}{10}

，

sin \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{1}{10}

，所以

tan \frac{θ}{2} = - \frac{1}{3}

。(E) 對：

cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ = \frac{7}{25}

，

cos \frac{5 θ}{2} = cos (2 θ + \frac{θ}{2}) = \frac{7}{25} \cdot (- \frac{3}{10}) - (- \frac{24}{25}) \cdot \frac{1}{10} = \frac{3}{25 10} = \frac{3 10}{250}

。

半角公式的正負號由

\frac{θ}{2}

所在象限決定，要先把

θ

的範圍除以

2

。

第 9 題答案 (B)(C)(E)。(A) 錯：

∣ sin (x + π) ∣ = ∣ - sin x ∣ = ∣ sin x ∣

，週期是

π

；而

f (0) = 0

、

f (\frac{π}{2}) = 1

，

\frac{π}{2}

不是週期。(B) 對：

f (2025 π + t) = ∣ sin t ∣ = f (2025 π - t)

。(C) 對：

0 \leq ∣ sin x ∣ \leq 1

，

x = \frac{π}{2}

時取到

1

。(D) 錯：

f (4) = sin (4 - π)

，

f (5) = sin (2 π - 5)

，而

4 - π \approx 0.86

、

2 π - 5 \approx 1.28

都在

0

到

\frac{π}{2}

之間，正弦在這一段遞增，所以

f (4) < f (5)

。(E) 對：兩個圖形都對稱於

y

軸，且

x = 0

是交點，只要數

x > 0

的部分。交點要滿足

\frac{x ^{2}}{100} \leq 1

，即

x \leq 10

，而

3 π \approx 9.42 < 10

。在

0 < x \leq π

：拋物線從原點緩慢上升，只在右半段與圖形交

1

點。在

π < x \leq 2 π

與

2 π < x \leq 3 π

：頂點處

g (\frac{3 π}{2}) \approx 0.22

、

g (\frac{5 π}{2}) \approx 0.62

都小於

1

，兩段各交

2

點。在

3 π < x \leq 10

：

g (x) > 0.88

，但

f (x) \leq sin (10 - 3 π) \approx 0.54

，沒有交點。所以

x > 0

有

5

個，

x < 0

也有

5

個，加上原點共

11

個。

流傳的兩份版本中，一份選項 (E) 印作

g (x) = \frac{1}{100} x

，另一份印作

g (x) = \frac{1}{100} x^{2}

。照前者，交點有

64

個，(E) 不成立；照後者，交點恰為

11

個，與參考答案相符，本頁採後者。

03填充 10～14：函數值化簡、疊合求極值、和角公式

第 10 題

cos \frac{11 π}{3} = cos (4 π - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

，

sin \frac{4 π}{3} = - \frac{3}{2}

，

tan (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{3}

。第一項

= \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{3}{2}} = \frac{1}{2 + 3} = 2 - 3

；第二項

= \frac{2}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{2 3}{3 - 1} = 3 (3 + 1) = 3 + 3

。相加得

5

。

第 11 題

2 sin (x - \frac{π}{4}) = 2 (\frac{2}{2} sin x - \frac{2}{2} cos x) = 2 sin x - 2 cos x

，所以

f (x) = 2 sin x - 72 cos x - 2

。疊合後振幅為

(2)^{2} + (72)^{2} = 100 = 10

，最大值

10 - 2 = 8

。

兩項的角不同（

x - \frac{π}{4}

與

x

），要先用差角公式展開成同一個角才能疊合。

第 12 題

α

在第二象限：

cos α = - \frac{4}{5}

。

β

在第三象限且

tan β = \frac{5}{12}

：

sin β = - \frac{5}{13}

，

cos β = - \frac{12}{13}

。

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β = \frac{3}{5} \cdot (- \frac{12}{13}) + (- \frac{4}{5}) \cdot (- \frac{5}{13}) = \frac{- 36 + 20}{65} = - \frac{16}{65}

。

第 13 題設

∠ A O C = θ

（

0 < θ < \frac{π}{2}

）。直角三角形

A O D

中

\overline{O A} = 2

，所以

\overline{A D} = 2 sin θ

，

\overline{O D} = 2 cos θ

；過圓心且垂直弦的線段平分弦，

\overline{A B} = 22 sin θ

。

\overline{A B} + \overline{O D} = 2 (2 sin θ + cos θ) = 2 \cdot 5 sin (θ + φ)

，其中

φ

為銳角且

tan φ = \frac{1}{2}

。取

θ = \frac{π}{2} - φ

（在範圍內）時最大，最大值

10

。

此時

tan θ = 2

，即

\overline{A D} = 2 \overline{O D}

。

第 14 題最高點的

y

坐標是

π

，最低點是

- π

。相鄰兩個最高點相距一個週期

\frac{2 π}{k}

，這是正三角形的邊長；兩個最高點之間的最低點恰在中間，它到這條邊的距離

2 π

是正三角形的高。所以

\frac{3}{2} \cdot \frac{2 π}{k} = 2 π

，

k = \frac{3}{2}

。

04填充 15～19：決定係數、不等式、降次疊合、倍角與斜率

第 15 題週期

\frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{5}

，

b = 5

。

a > 0

，最大值

a + d = 3

、最小值

- a + d = - 1

，得

a = 2

，

d = 1

。

x = - \frac{π}{20}

時取最大值：

5 \cdot (- \frac{π}{20}) + c = \frac{π}{2} + 2 nπ

，

c = \frac{3 π}{4} + 2 nπ

；由

0 < c < π

得

c = \frac{3 π}{4}

。檢查：

x = \frac{3 π}{20}

時

5 x + c = \frac{3 π}{2}

，確實取最小值。答案

(2, 5, \frac{3 π}{4}, 1)

。

第 16 題

cos (x + π) = - cos x

，

cos π = - 1

，不等式化為

- cos x \geq cos x - 1

，即

cos x \leq \frac{1}{2}

。在

0 \leq x \leq 2 π

內，

cos x = \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{π}{3}

、

\frac{5 π}{3}

，兩者之間餘弦值較小，所以解為

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{5 π}{3}

。

cos (x + π)

不能拆成

cos x + cos π

，這題正是在比較這兩個式子。

第 17 題

sin (- θ) = - sin θ

，

cos (2 π - θ) = cos θ

，

sin (π + θ) = - sin θ

，左式

= - 2 sin θ cos θ = \frac{2}{3}

，得

sin θ cos θ = - \frac{1}{3}

。

sin θ < 0

，所以

cos θ > 0

，

sin θ - cos θ < 0

。

(sin θ - cos θ)^{2} = 1 - 2 sin θ cos θ = \frac{5}{3}

，

sin θ - cos θ = - \frac{15}{3}

。由立方差公式，

sin^{3} θ - cos^{3} θ = (sin θ - cos θ) (1 + sin θ cos θ) = - \frac{15}{3} \cdot \frac{2}{3} = - \frac{2 15}{9}

。

第 18 題

f (x) = a cos^{2} x + b sin x cos x = \frac{a}{2} + \frac{1}{2} (a cos 2 x + b sin 2 x)

。疊合後最大值

\frac{a}{2} + \frac{1}{2} a^{2} + b^{2} = 4

，最小值

\frac{a}{2} - \frac{1}{2} a^{2} + b^{2} = - 1

。兩式相加得

a = 3

，相減得

a^{2} + b^{2} = 5

，

b = \pm 4

。由

ab > 0

取

b = 4

，

a + b = 7

。

先用倍角公式把

cos^{2} x

、

sin x cos x

降成

2 x

的一次式，才能疊合。

第 19 題

tan α

是

\overline{O P}

的斜率

\frac{3}{2}

。所求直線的斜率是

tan 2 α = \frac{2 tan α}{1 - tan ^{2} α} = \frac{3}{1 - \frac{9}{4}} = - \frac{12}{5}

。過

P (2, 3)

：

y - 3 = - \frac{12}{5} (x - 2)

，整理得

12 x + 5 y - 39 = 0

。

α

超過

\frac{π}{4}

，所以

2 α

是鈍角，斜率為負，與圖形相符。

05填充 20～23：疊合解方程式、八等分圓、根式化簡、四邊形面積

第 20 題

sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，令

t = x + \frac{π}{4}

，則

\frac{π}{4} \leq t \leq \frac{9 π}{4}

，且

sin t = \frac{1}{3 2} = \frac{2}{6}

。設銳角

φ

滿足

sin φ = \frac{2}{6}

；因為

\frac{2}{6} < \frac{2}{2}

，所以

φ < \frac{π}{4}

。

sin t = \frac{2}{6}

的解是

t = φ + 2 nπ

或

t = π - φ + 2 nπ

，落在範圍內的只有

t = π - φ

與

t = 2 π + φ

（

t = φ

小於

\frac{π}{4}

，不合）。兩個

t

的和是

3 π

，所以兩個

x

的和是

3 π - 2 \cdot \frac{π}{4} = \frac{5 π}{2}

。

不必求出

φ

，但要用

φ < \frac{π}{4}

判斷哪兩個解在範圍內；若誤取

t = φ

與

t = π - φ

，會得到

\frac{π}{2}

。

第 21 題設半徑為

r

，圓心為

O

。相鄰兩點所夾的圓心角是

\frac{π}{4}

。鋪色區域的邊界是兩段弧

A_{1} A_{2}

、

A_{5} A_{6}

與兩條弦

\overline{A_{1} A_{6}}

、

\overline{A_{2} A_{5}}

。每段弧長

\frac{π}{4} r

；兩條弦所對的圓心角都是

\frac{3 π}{4}

，弦長

2 r sin \frac{3 π}{8}

，而

sin \frac{3 π}{8} = cos \frac{π}{8} = \frac{1 + cos \frac{π}{4}}{2} = \frac{2 + 2}{2}

，弦長為

r 2 + 2

。周長

= 2 r (2 + 2 + \frac{π}{4}) = 2 + 2 + \frac{π}{4}

，得

r = \frac{1}{2}

。把

O

與四個點連起來，鋪色區域分成兩個圓心角

\frac{π}{4}

的扇形與兩個頂角

\frac{3 π}{4}

的等腰三角形：面積

= 2 \cdot \frac{1}{2} r^{2} \cdot \frac{π}{4} + 2 \cdot \frac{1}{2} r^{2} sin \frac{3 π}{4} = \frac{π}{16} + \frac{2}{8}

。

兩條弦互相平行、分別在圓心兩側，所以圓心在鋪色區域內，才能這樣分割。

第 22 題由倍角公式

1 - cos 2 x = 2 sin^{2} x

、

1 + cos 2 x = 2 cos^{2} x

，得

f (x) = ∣ sin x ∣

，

g (x) = ∣ cos x ∣

，

h (x) = ∣ sin x ∣ + ∣ cos x ∣ \geq 0

。平方：

h (x)^{2} = 1 + 2∣ sin x cos x ∣ = 1 + ∣ sin 2 x ∣

，而

0 \leq ∣ sin 2 x ∣ \leq 1

，所以

1 \leq h (x)^{2} \leq 2

。最大值

M = 2

（例如

x = \frac{π}{4}

），最小值

m = 1

（例如

x = 0

）。

sin^{2} x = ∣ sin x ∣

，絕對值不可省；省掉會把最小值算成

- 2

。

第 23 題設

∠ C A D = θ

。直角三角形

A C D

（直角在

C

）中

\overline{A D} = 3

，所以

\overline{A C} = 3 cos θ

，

\overline{C D} = 3 sin θ

。因為

∠ B A D = \frac{π}{2}

，

∠ B A C = \frac{π}{2} - θ

；直角三角形

A B C

（直角在

B

）中

\overline{A B} = \overline{A C} sin θ = 3 sin θ cos θ

，

\overline{B C} = \overline{A C} cos θ = 3 cos^{2} θ

。由

\overline{A B} = 1

得

sin 2 θ = \frac{2}{3}

；

tan θ < 1

表示

0 < θ < \frac{π}{4}

，

2 θ

是銳角，

cos 2 θ = \frac{5}{3}

。面積

= \frac{1}{2} \overline{A B} \cdot \overline{B C} + \frac{1}{2} \overline{A C} \cdot \overline{C D} = \frac{3}{2} cos^{2} θ + \frac{9}{2} sin θ cos θ = \frac{3}{4} (1 + cos 2 θ) + \frac{9}{4} sin 2 θ = \frac{3}{4} + \frac{5}{4} + \frac{3}{2} = \frac{9 + 5}{4}

。

條件

tan ∠ C A D < 1

用來決定

cos 2 θ

取正；若取負，面積會變成

\frac{9 - 5}{4}

。

解出來的角或邊有兩種可能時，回頭找題目給的範圍條件（角的範圍、象限、不等式）來取捨，並把取捨的理由寫出來。

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第 4 題正切圖形與直線的交點要把原點和最後一支分開數、第 9 題選項 E 要分段數交點、第 20 題疊合後要用角的範圍判斷哪兩個解合用，以及第 23 題要用正切小於一的條件決定餘弦取正。詳解逐題寫在本頁。

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02多選題 7～9：扇形、倍角半角、y＝|sin x| 的圖形

03填充 10～14：函數值化簡、疊合求極值、和角公式

04填充 15～19：決定係數、不等式、降次疊合、倍角與斜率

05填充 20～23：疊合解方程式、八等分圓、根式化簡、四邊形面積

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