段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

景美女中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單選題 1 題（5 分）、多選題 5 題（每題 6 分，共 30 分）、填充題 9 題共 13 格（每格 5 分，共 65 分）

一、單選題（占 5 分）｜說明：第 1 題，每題 5 分。

設

a = cos 4

，請選出正確的選項：

(1) $- 1 < a < - \frac{3}{2}$
(2) $- \frac{3}{2} < a < - \frac{2}{2}$
(3) $- \frac{2}{2} < a < - \frac{1}{2}$
(4) $- \frac{1}{2} < a < 0$
(5) $0 < a < \frac{1}{2}$

二、多選題（占 30 分）｜說明：第 2 題至第 6 題，每題 6 分。（6－4－2－0）

請選出正確的選項：

(1) $cos 2 > cos 3$
(2) $sin π^{\circ} > cos π^{\circ}$
(3) $tan 1 > 1$
(4) 點 $(cos (π^{2}), tan (π^{2}))$ 落在第三象限
(5) $sin 2 \cdot sin 3 > cos 2 \cdot cos 3$

關於下列各週期函數，請選出週期為

π

的選項：

(1) $y = tan 2 x$
(2) $y = sin \frac{x}{2}$
(3) $y = ∣ tan x ∣$
(4) $y = cos^{2} x - sin^{2} x$
(5) $y = 4 sin^{2} x$

如圖為函數

y = f (x)

的部分圖形，其所代表的函數可能是下列哪些選項？

(1) $y = 3 cos 2 x$
(2) $y = - 3 cos 2 x$
(3) $y = 3 sin (2 x - \frac{π}{2})$
(4) $y = 3 sin (2 x + \frac{π}{2})$
(5) $y = 3 sin (2 x - \frac{π}{4})$

載入中...

關於下列各方程式的解，請選出正確的選項：

(1) 方程式 $2 - cos x = 0$ 有實數解
(2) 方程式 $sin x = \frac{x}{8}$ 恰有 $5$ 個實數解
(3) 方程式 $x + tan x = 0$ 在區間 $[- π, 2 π]$ 中恰有 $4$ 個實數解
(4) 方程式 $sin x cos x = \frac{1}{3}$ 有實數解
(5) 方程式 $sin x + cos x = \frac{3}{2}$ 有實數解

關於函數

f (x) = 3 sin 2 x - cos 2 x

，請選出正確的選項：

(1) 直線 $x = \frac{π}{6}$ 為 $y = f (x)$ 圖形的對稱軸
(2) 函數 $f (x)$ 在 $x = \frac{5 π}{6}$ 時有最小值
(3) 設 $y = f (x)$ 圖形在 $y$ 軸上的交點坐標為 $(0, k)$ ，則 $k > - 1$
(4) 將 $y = f (x)$ 圖形向左平移 $\frac{π}{6}$ 單位後，會與 $y = 2 sin 2 x$ 的圖形完全重合
(5) 在區間 $[0, π)$ 中滿足 $f (x) = 1$ 的所有實數 $x$ 之和小於 $π$

三、填充題（占 65 分）｜說明：第 7 題至第 15 題，每格 5 分。

坐標平面上，已知兩點

P (cos 3 5^{\circ}, cos 5 5^{\circ})

、

Q (sin 5^{\circ}, - cos 5^{\circ})

，求

\overline{P Q}

長度為 ____。

坐標平面上，設

k > 1

，兩直線

L_{1}

：

2 x - k y + 5 = 0

、

L_{2}

：

k x - y - 10 = 0

與

x

軸圍成等腰三角形

A B C

，其中

\overline{A B} = \overline{B C}

，如圖所示。求實數

k

之值為 ____。

載入中...

如圖，已知正方形

A B C D

的邊長為

3

，且扇形

A B E

之周長與正方形

A B C D

之周長相等，求：(1) 扇形

A B E

的面積為 ____。(2)

∠ C B E =

____ 弳。

載入中...

在

- π \leq x \leq π

的範圍內，求不等式

cos x \geq - \frac{1}{2}

的解為 ____。

坐標平面上，

A (10, 0)

、

B (6, 8)

兩點在以原點

O

為圓心的圓上，圓上另有一點

C

位於第二象限滿足

A B ⌢ = B C ⌢

，求三角形

O A C

面積為 ____。

設

18 0^{\circ} < α < 27 0^{\circ}

，

27 0^{\circ} < β < 36 0^{\circ}

，且

cos α = - \frac{1}{7}

，

cos β = \frac{11}{14}

，求：(1)

cos (α - β) =

____。(2)

α - β =

____ 弳。(3)

cos \frac{α}{2} =

____。

在

0 \leq x \leq 2 π

的範圍內，求函數

f (x) = sin x - cos (\frac{π}{6} - x) + 3

的最小值為 ____。

在

- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

的範圍內，求方程式

sin 2 x - 3 cos 2 x = 1

的實數解

x =

____。

如圖，直角三角形

A B C

中，已知

\overline{A B} = 2

，

∠ A C B = 9 0^{\circ}

。以邊

\overline{B C}

作一正方形

B C D E

，得到一個四邊形

A B E D

，求：(1) 四邊形

A B E D

的周長之最大值為 ____。(2) 承 (1)，此時正方形

B C D E

的邊長為 ____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(1)(3)

第 3 題(3)(4)(5)

第 4 題(2)(3)

第 5 題(3)(4)

第 6 題(2)(5)

第 7 題

3

第 8 題

22

第 9 題(1)

9

；(2)

2 - \frac{π}{2}

第 10 題

- \frac{2 π}{3} \leq x \leq \frac{2 π}{3}

第 11 題

48

第 12 題(1)

\frac{1}{2}

；(2)

- \frac{π}{3}

；(3)

- \frac{21}{7}

第 13 題

2

第 14 題

\frac{π}{4}

或

- \frac{5 π}{12}

第 15 題(1)

2 + 210

；(2)

\frac{3 10}{5}

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01第 1～3 題：弧度角落在哪個象限、三角函數的週期

第 1 題答案 (3)。角度是

4

弳。

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，所以

π < 4 < \frac{3 π}{2}

，

4

弳在第三象限，

a = cos 4 = - cos (4 - π)

。

4 - π \approx 0.86

，而

\frac{π}{4} \approx 0.79

、

\frac{π}{3} \approx 1.05

，所以

\frac{π}{4} < 4 - π < \frac{π}{3}

。餘弦在

0

到

\frac{π}{2}

之間遞減，得

\frac{1}{2} < cos (4 - π) < \frac{2}{2}

，加上負號：

- \frac{2}{2} < a < - \frac{1}{2}

。

沒有寫度的記號，單位就是弳。換成度來看：

4

弳約

22 9^{\circ}

，參考角約

4 9^{\circ}

，介於

4 5^{\circ}

與

6 0^{\circ}

之間。實際值

cos 4 \approx - 0.654

。

第 2 題答案 (1)(3)。(1)

2

、

3

都在

0

與

π

之間，餘弦在這段遞減，

2 < 3

所以

cos 2 > cos 3

，對。(2) 這裡有度的記號，角度是

π

度，約

3.1 4^{\circ}

；角度小於

4 5^{\circ}

時正弦小於餘弦（

sin 3.1 4^{\circ} \approx 0.05

，

cos 3.1 4^{\circ} \approx 1

），錯。(3) 正切在

0

到

\frac{π}{2}

之間遞增，而

\frac{π}{4} \approx 0.79 < 1 < \frac{π}{2}

，所以

tan 1 > tan \frac{π}{4} = 1

，對。(4) 因為

3 < π < 3.5

，同乘

π

得

3 π < π^{2} < 3 π + \frac{π}{2}

，

π^{2}

弳與

π^{2} - 2 π

是同界角，落在

π

與

\frac{3 π}{2}

之間，是第三象限角；此時

cos (π^{2}) < 0

、

tan (π^{2}) > 0

，點的坐標是（負，正），在第二象限，錯。(5) 由餘弦的和角公式，

cos 2 cos 3 - sin 2 sin 3 = cos 5

；

\frac{3 π}{2} \approx 4.71 < 5 < 2 π \approx 6.28

，

5

弳在第四象限，

cos 5 > 0

，所以

cos 2 cos 3 > sin 2 sin 3

，錯。

(4) 要分清楚「角在第三象限」與「點在第三象限」：第三象限角的餘弦為負、正切為正，點的兩個坐標一負一正。(2) 與其他選項的單位不同，要看有沒有度的記號。

第 3 題答案 (3)(4)(5)。(1)

y = tan x

的週期是

π

，

y = tan 2 x

的週期是

\frac{π}{2}

，錯。(2)

y = sin \frac{x}{2}

的週期是

2 π \div \frac{1}{2} = 4 π

，錯。(3)

y = tan x

每隔

π

重複一次，取絕對值後仍然每隔

π

重複；而且在一個週期

0 \leq x < π

內只有

x = 0

時函數值為

0

，不會更早重複，週期是

π

，對。(4)

cos^{2} x - sin^{2} x = cos 2 x

，週期

\frac{2 π}{2} = π

，對。(5) 由

cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x

得

4 sin^{2} x = 2 - 2 cos 2 x

，週期

π

，對。

(1) 的函數每隔

π

也會重複，但週期指的是最小的正週期

\frac{π}{2}

。(4)(5) 先用二倍角公式把平方降成一次，再看週期。

02第 4～6 題：由圖形決定函數、方程式的解、疊合後的性質

第 4 題答案 (2)(3)。從圖上讀：

x = 0

時是最低點

y = - 3

，

x = \frac{π}{2}

時是最高點

y = 3

，

x = \frac{π}{4}

時

y = 0

。最低點到相鄰最高點是半個週期，所以週期是

π

，與各選項的

2 x

相符。逐一代

x = 0

：(1)

3 cos 0 = 3

，不合。(2)

- 3 cos 0 = - 3

，再代

x = \frac{π}{2}

得

- 3 cos π = 3

，相符，對。(3)

3 sin (2 x - \frac{π}{2}) = - 3 sin (\frac{π}{2} - 2 x) = - 3 cos 2 x

，與 (2) 是同一個函數，對。(4)

3 sin (2 x + \frac{π}{2}) = 3 cos 2 x

，與 (1) 相同，不合。(5)

x = 0

時

3 sin (- \frac{π}{4}) = - \frac{3 2}{2}

，不是

- 3

，不合。

同一個圖形可以有不同的寫法；(3)(4) 先用

sin (\frac{π}{2} \pm θ) = cos θ

換成餘弦再比。

第 5 題答案 (3)(4)。(1)

cos x = 2

，但

- 1 \leq cos x \leq 1

，無解，錯。(2) 看

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{8}

的交點。

x = 0

是一個解。

x > 0

時直線在

x = 8

處高度到

1

，而

2 π \approx 6.28 < 8 < 3 π \approx 9.42

：在

0 < x < π

這個山峰有

1

個交點（另一個是原點）；在

2 π < x < 3 π

這個山峰，峰頂

x = \frac{5 π}{2}

處直線高度是

\frac{5 π}{16} \approx 0.98 < 1

，直線從峰頂下方穿過，交

2

點；再往右直線高度超過

1

，沒有交點。

x > 0

有

3

個解，兩邊都是奇函數，

x < 0

也有

3

個，共

3 + 3 + 1 = 7

個，錯。(3) 看

y = tan x

與直線

y = - x

的交點。

- π \leq x < - \frac{π}{2}

：正切由

0

增加到無限大，

- x

由

π

減少到

\frac{π}{2}

，交

1

點。

- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}

：只交在原點，

1

點。

\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

：正切由負無限大增加到正無限大，

- x

遞減，交

1

點。

\frac{3 π}{2} < x \leq 2 π

：正切由負無限大增加到

0

，

- x

由

- \frac{3 π}{2}

減少到

- 2 π

，交

1

點。共

4

個，對。(4)

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

，方程式變成

sin 2 x = \frac{2}{3}

，

\frac{2}{3}

在

- 1

與

1

之間，有解，對。(5)

sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，最大值

2 \approx 1.414 < \frac{3}{2}

，無解，錯。

(3) 每一段正切圖形都是遞增、直線

y = - x

是遞減，所以每一段最多交一點，只要確認兩端誰高誰低就知道有沒有交點。(2) 的關鍵是直線到

x = \frac{5 π}{2} \approx 7.85

時高度還沒到

1

。

第 6 題答案 (2)(5)。疊合：

f (x) = 2 (\frac{3}{2} sin 2 x - \frac{1}{2} cos 2 x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{6})

。(1) 對稱軸要通過最高點或最低點，但

f (\frac{π}{6}) = 2 sin \frac{π}{6} = 1

，不是

\pm 2

，錯。(2)

x = \frac{5 π}{6}

時

2 x - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}

，

f = 2 sin \frac{3 π}{2} = - 2

，是最小值，對。(3)

k = f (0) = - cos 0 = - 1

，

k

等於

- 1

，不是大於

- 1

，錯。(4) 向左平移

\frac{π}{6}

是把

x

換成

x + \frac{π}{6}

：

2 sin (2 x + \frac{π}{3} - \frac{π}{6}) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})

，不是

2 sin 2 x

，錯。(5)

sin (2 x - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

；

0 \leq x < π

時

- \frac{π}{6} \leq 2 x - \frac{π}{6} < \frac{11 π}{6}

，這段裡正弦值為

\frac{1}{2}

的角是

\frac{π}{6}

與

\frac{5 π}{6}

，得

x = \frac{π}{6}

或

\frac{π}{2}

，和為

\frac{2 π}{3} < π

，對。

(4) 要重合，應該向左平移

\frac{π}{12}

：

f (x) = 2 sin 2 (x - \frac{π}{12})

，平移量要從「

x

」本身看，不是看

\frac{π}{6}

。

03第 7～11 題：和角公式、正切二倍角、扇形、三角不等式、等弧與二倍角

第 7 題先把坐標都寫成同一個角的正弦、餘弦：

cos 5 5^{\circ} = sin 3 5^{\circ}

，

sin 5^{\circ} = cos 8 5^{\circ}

，

cos 5^{\circ} = sin 8 5^{\circ}

，所以

P (cos 3 5^{\circ}, sin 3 5^{\circ})

、

Q (cos 8 5^{\circ}, - sin 8 5^{\circ})

。

\overline{P Q}^{2} = (cos 3 5^{\circ} - cos 8 5^{\circ})^{2} + (sin 3 5^{\circ} + sin 8 5^{\circ})^{2} = 1 + 1 - 2 (cos 3 5^{\circ} cos 8 5^{\circ} - sin 3 5^{\circ} sin 8 5^{\circ}) = 2 - 2 cos (3 5^{\circ} + 8 5^{\circ}) = 2 - 2 cos 12 0^{\circ} = 3

，

\overline{P Q} = 3

。

也可以看成單位圓上的兩點：

P

在

3 5^{\circ}

、

Q

在

- 8 5^{\circ}

，圓心角

12 0^{\circ}

，弦長

= 2 sin 6 0^{\circ} = 3

。

第 8 題

L_{1}

的斜率是

\frac{2}{k}

，

L_{2}

的斜率是

k

，都是正的。

L_{1}

交

x

軸於

A (- \frac{5}{2}, 0)

，

L_{2}

交

x

軸於

B (\frac{10}{k}, 0)

，

C

是兩直線的交點。設

∠ C A B = θ

，它就是

L_{1}

與

x

軸正向的夾角，

tan θ = \frac{2}{k}

。因為

\overline{A B} = \overline{B C}

，所以

∠ B C A = ∠ C A B = θ

；

L_{2}

與

x

軸正向的夾角是三角形在

B

的外角，等於

∠ C A B + ∠ B C A = 2 θ

，所以

tan 2 θ = k

。由二倍角公式

tan 2 θ = \frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ} = \frac{\frac{4}{k}}{1 - \frac{4}{k ^{2}}} = \frac{4 k}{k ^{2} - 4}

，令它等於

k

：

k^{2} - 4 = 4

，

k^{2} = 8

，

k = 22

（

k > 1

）。

驗算：

k = 22

時

tan θ = \frac{2}{2}

，

tan 2 θ = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}} = 22

，與

L_{2}

的斜率相符。等腰三角形相等的兩邊是

\overline{A B}

與

\overline{B C}

，所以相等的是

A

、

C

兩個角。

第 9 題扇形

A B E

以

B

為圓心、半徑

\overline{B A} = 3

，設圓心角

∠ A B E = θ

弳。扇形周長

=

兩條半徑

+

弧長

= 3 + 3 + 3 θ

，正方形周長

= 12

，所以

6 + 3 θ = 12

，

θ = 2

。(1) 面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 9 \times 2 = 9

。(2)

∠ A B C

是正方形的內角，等於

\frac{π}{2}

弳，所以

∠ C B E = ∠ A B E - ∠ A B C = 2 - \frac{π}{2}

。

扇形的周長要加上兩條半徑。

2 - \frac{π}{2} \approx 0.43

弳，約

24. 6^{\circ}

，是正的，與圖中

E

在正方形外側相符。

第 10 題先找等號成立的位置：在

- π \leq x \leq π

內，

cos x = - \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{2 π}{3}

與

x = - \frac{2 π}{3}

。

y = cos x

的圖形在

x = 0

最高，往左右兩邊下降，所以圖形在直線

y = - \frac{1}{2}

上方（含交點）的部分是中間這一段：

- \frac{2 π}{3} \leq x \leq \frac{2 π}{3}

。

用

x = 0

（

cos 0 = 1 \geq - \frac{1}{2}

，合）與

x = π

（

cos π = - 1

，不合）各代一次，就能確認要的是中間那段而不是兩側。

第 11 題

\overline{O A} = 10

，

\overline{O B} = 6^{2} + 8^{2} = 10

，圓的半徑是

10

。設

∠ A O B = θ

，由

B

的坐標得

cos θ = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

、

sin θ = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}

。等弧對的圓心角相等，

∠ B O C = θ

；

C

在第二象限，是從

B

再逆時針轉

θ

，所以

∠ A O C = 2 θ

。

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{24}{25}

。三角形

O A C

面積

= \frac{1}{2} \times 10 \times 10 \times sin 2 θ = 50 \times \frac{24}{25} = 48

。

檢查位置：

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = - \frac{7}{25}

，所以

C (- \frac{14}{5}, \frac{48}{5})

，確實在第二象限；以

\overline{O A}

為底、高是

C

的

y

坐標，面積

= \frac{1}{2} \times 10 \times \frac{48}{5} = 48

，結果相同。

04第 12～15 題：差角與半角公式、疊合求極值與解方程式

第 12 題

α

在第三象限，

sin α = - 1 - \frac{1}{49} = - \frac{4 3}{7}

；

β

在第四象限，

sin β = - 1 - \frac{121}{196} = - \frac{5 3}{14}

。(1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β = (- \frac{1}{7}) (\frac{11}{14}) + (- \frac{4 3}{7}) (- \frac{5 3}{14}) = \frac{- 11 + 60}{98} = \frac{1}{2}

。(2) 由

18 0^{\circ} < α < 27 0^{\circ}

與

- 36 0^{\circ} < - β < - 27 0^{\circ}

相加得

- 18 0^{\circ} < α - β < 0^{\circ}

；這個範圍內餘弦值為

\frac{1}{2}

的角只有

- 6 0^{\circ}

，所以

α - β = - \frac{π}{3}

弳。(3)

9 0^{\circ} < \frac{α}{2} < 13 5^{\circ}

，在第二象限，餘弦為負。由半角公式

cos^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 + cos α}{2} = \frac{1 - \frac{1}{7}}{2} = \frac{3}{7}

，

cos \frac{α}{2} = - \frac{3}{7} = - \frac{21}{7}

。

流傳版本的參考答案寫「(2)

- \frac{21}{7}

；(3)

- \frac{π}{3}

」，兩格的順序與題目相反；依題目 (2) 問的是

α - β

、(3) 問的是

cos \frac{α}{2}

，本頁照題目順序寫，數值相同。(2) 要先定出

α - β

的範圍，才知道是

- \frac{π}{3}

而不是

\frac{π}{3}

。

第 13 題先用差角公式展開：

cos (\frac{π}{6} - x) = \frac{3}{2} cos x + \frac{1}{2} sin x

，所以

f (x) = sin x - \frac{1}{2} sin x - \frac{3}{2} cos x + 3 = \frac{1}{2} sin x - \frac{3}{2} cos x + 3 = sin (x - \frac{π}{3}) + 3

。

0 \leq x \leq 2 π

時

- \frac{π}{3} \leq x - \frac{π}{3} \leq \frac{5 π}{3}

，這段包含

\frac{3 π}{2}

，正弦最小可以到

- 1

。最小值

= - 1 + 3 = 2

。

最小值發生在

x - \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}

，即

x = \frac{11 π}{6}

，在範圍內。兩項的角不同（

x

與

\frac{π}{6} - x

），要先展開成同一個角才能疊合。

第 14 題疊合：

sin 2 x - 3 cos 2 x = 2 (\frac{1}{2} sin 2 x - \frac{3}{2} cos 2 x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{3})

，方程式變成

sin (2 x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

。

- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

時

- \frac{4 π}{3} \leq 2 x - \frac{π}{3} \leq \frac{2 π}{3}

。在這個範圍內正弦值為

\frac{1}{2}

的角有

\frac{π}{6}

與

- \frac{7 π}{6}

。

2 x - \frac{π}{3} = \frac{π}{6}

得

x = \frac{π}{4}

；

2 x - \frac{π}{3} = - \frac{7 π}{6}

得

x = - \frac{5 π}{12}

。

- \frac{7 π}{6}

是

\frac{5 π}{6}

減一圈，介於

- \frac{4 π}{3}

與

\frac{2 π}{3}

之間，不要漏掉；

\frac{5 π}{6}

本身已超過

\frac{2 π}{3}

，不在範圍內。驗算

x = - \frac{5 π}{12}

：

sin (- \frac{5 π}{6}) - 3 cos (- \frac{5 π}{6}) = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1

。

第 15 題設

∠ B A C = θ

（

0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}

）。直角三角形

A B C

的斜邊

\overline{A B} = 2

，所以

\overline{B C} = 2 sin θ

、

\overline{A C} = 2 cos θ

；正方形的邊長就是

\overline{B C} = 2 sin θ

。由圖，

A

、

C

、

D

在同一直線上，

\overline{A D} = \overline{A C} + \overline{C D} = 2 cos θ + 2 sin θ

。(1) 周長

= \overline{A B} + \overline{B E} + \overline{E D} + \overline{D A} = 2 + 2 sin θ + 2 sin θ + (2 cos θ + 2 sin θ) = 2 + 6 sin θ + 2 cos θ

。疊合：

6 sin θ + 2 cos θ = 210 (\frac{3}{10} sin θ + \frac{1}{10} cos θ) = 210 sin (θ + φ)

，其中

cos φ = \frac{3}{10}

、

sin φ = \frac{1}{10}

。當

θ + φ = 9 0^{\circ}

時最大，周長最大值為

2 + 210

。(2) 此時

sin θ = sin (9 0^{\circ} - φ) = cos φ = \frac{3}{10}

，邊長

= 2 sin θ = \frac{6}{10} = \frac{3 10}{5}

。

確認取得到：

φ \approx 18. 4^{\circ}

，

θ \approx 71. 6^{\circ}

（

tan θ = 3

），在

0^{\circ}

與

9 0^{\circ}

之間。周長裡正方形的邊出現三次（

\overline{B E}

、

\overline{E D}

、

\overline{C D}

），

\overline{B C}

在四邊形內部，不算在周長裡。

看到

a sin x + b cos x

先疊合成單一正弦，再把

x

的範圍換成整個角的範圍，極值與方程式的解都在那個範圍裡找。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 15 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

景美女中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題要畫圖數交點：正弦與直線共有七個交點而不是五個，正切與直線在指定區間內每一段各交一點。第 2 題要分清楚角在第三象限與點在第三象限是兩回事，還要注意其中一個選項的單位是度。第 8 題要看出較陡那條直線與橫軸的夾角是另一條的兩倍，再用正切的二倍角公式。第 14 題疊合後把範圍換成整個角的範圍，會有兩個解，負的那個容易漏掉。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自景美女中 114 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

景美女中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01第 1～3 題：弧度角落在哪個象限、三角函數的週期

02第 4～6 題：由圖形決定函數、方程式的解、疊合後的性質

03第 7～11 題：和角公式、正切二倍角、扇形、三角不等式、等弧與二倍角

04第 12～15 題：差角與半角公式、疊合求極值與解方程式

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高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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