段考詳解範圍：週期性現象、弧度量、弧度角的三角函數值、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期、指數函數與按比例成長模型

林口高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 25 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

填充題 25 題共 25 格，每格 4 分，共 100 分。原卷卷頭沒印學年與學期，依來源檔名判定為 114 學年度第一學期。答案已與學校公布的答案逐題核對，有 2 題不同：第 4 題與第 24 題學校公布的答案代回題目不成立，答案欄寫本站依題目計算的結果並註明學校印的答案，算法寫在詳解。

填充題：每格 4 分，共 100 分

圖一（下圖）為某個週期函數的圖形，若此函數的週期為

m

，振幅為

n

，則數對

(m, n) =

____。

載入中...

若

f (x) = sin x

，則

y = - 1

和

y = f (x)

在

- π \leq x \leq 5 π

之間有 ____ 個交點。

已知

A = sin 1

、

B = sin 3

、

C = sin 5

，則

A

、

B

、

C

的大小關係為 ____。

已知

A = tan \frac{23 π}{12}

、

B = sin \frac{23 π}{12}

、

C = cos \frac{23 π}{12}

，則

A

、

B

、

C

的大小關係為 ____。

已知

p = (\frac{1}{2})^{2}

，

q = (\frac{1}{2})^{1.8}

，

r = (\frac{1}{2})^{- \frac{5}{2}}

，

s = (\frac{1}{2})^{- \frac{2}{3}}

，則

p

，

q

，

r

，

s

四數的大小關係為 ____。

已知一扇形的圓心角為

9 0^{\circ}

，且其面積為

16 π

平方公分，則此扇形的半徑為 ____ 公分。

cos \frac{4}{3} π - sin \frac{5}{6} π + tan \frac{5 π}{4} =

____。

如圖二（下表），古人使用

12

地支記錄一日的時辰，每一時辰相當於

2

小時。從子時開始，依序為丑時、寅時、……、戌時到亥時，周而復始。其中，子時相當於

23

時到凌晨

1

時，其餘類推。試問：從

12

月

16

日上午

3

時

30

分（位於寅時）開始，

1000

個小時以後的時辰為 ____。

順序 時間 時辰 順序 時間 時辰 1 23 \sim 01 子 7 11 \sim 13 午 2 01 \sim 03 丑 8 13 \sim 15 未 3 03 \sim 05 寅 9 15 \sim 17 申 4 05 \sim 07 卯 10 17 \sim 19 酉 5 07 \sim 09 辰 11 19 \sim 21 戌 6 09 \sim 11 巳 12 21 \sim 23 亥

已知鈷－60 的半衰期約為

5.3

年，也就是每經過

5.3

年後此放射性物質的質量剩下原來的一半。現有鈷－60，其質量為

100

公克，則

53

年前的質量為 ____ 公克。

老李和老鄭各有一塊土地彼此相鄰，如圖三（下圖）。正三角形

A B C

是老李的土地，而扇形

B A D

是老鄭的土地（其中

\overline{A B} = \overline{A D}

）。若兩塊土地周長相等，試求

∠ B A D =

____ 徑（卷面印作「徑」，依題意應為「弳」）。

載入中...

已知扇形的半徑為

10

公分，弧長

5

公分，則扇形的面積為 ____ 平方公分。

有隻螞蟻在紙張上沿著

y = sin x

的圖形等速行走，若牠從

(\frac{π}{3}, sin \frac{π}{3})

走到

(\frac{4 π}{3}, sin \frac{4 π}{3})

共費時

10

分鐘，則牠從

(0, sin 0)

走到

(2 π, sin 2 π)

共費時為 ____ 分鐘。

不等式

3^{x^{2}} \geq 9^{x + 4}

的解為 ____。

已知某種飲料罐為底面半徑為

8

公分的圓柱體，若小華想將

7

罐飲料以如圖四（下圖）方式綁在一起（不計算打結的繩長），試問繩長至少需要 ____ 公分。

載入中...

一時鐘的分針長

10

公分，時針長

5

公分，現在的時間為

10 : 00

，經過

20

分鐘後，則此時分針與時針之間，較小的夾角為

A

弳，且這

20

分鐘內，分針與時針各別經過的區域面積相差

B

平方公分，則

(A, B) =

____。

如圖五（下圖），公園中有一設計成新月形之區域（即

Γ_{1}

與

Γ_{2}

所圍成之區域），其中

Γ_{1}

是以

\overline{A B}

為直徑之半圓弧，

Γ_{2}

是以

C

為圓心，且圓心角為

\frac{π}{2}

之圓弧。已知

\overline{A B}

為

20

公尺，試求此新月形區域的面積為 ____ 平方公尺。

載入中...

設

0 \leq x \leq 2 π

，若

\frac{1}{2} < sin x < \frac{2}{2}

，試求

x

的範圍為 ____。

心理學家常用數學模式

L (t) = a (1 - 1 0^{- b t})

來描述學生經過

t

星期後所得到的學習量，其中

a

與

b

跟學生及學習的科目相關。若一位同學一星期可以背熟

50

個英文單字，兩星期可以背熟

90

個英文單字，則這位同學三星期可以背熟 ____ 個英文單字。

一直圓錐的底面半徑為

3

，高為

4

，如圖六（下圖）。若將此直圓錐的側面沿一斜高剪開成一扇形，試求扇形圓心角

θ

為 ____ 度。

載入中...

已知標準位置角

θ

滿足

\frac{50 π}{11} < θ < \frac{54 π}{11}

，則

θ

角位於第 ____ 象限。

設

0 \leq x \leq 2 π

，若

sin (x - \frac{π}{2}) \geq - \frac{3}{2}

，試求

x

的範圍為 ____。

如圖七（下圖），兩個半徑為

1

的圓，已知兩圓心距離為

1

，試問重疊部分的面積為 ____。

載入中...

由標準音高 A4 往上

k

個半音的聲波函數為

f (x) = sin (880 π \times 2^{\frac{k}{12}} x)

。已知有一個音的頻率為

4402

赫茲，則這個音為 A4 往上 ____ 個半音。

已知

sin \frac{7 π}{6} = A

，

tan \frac{11 π}{3} = B

，則

(A, B) =

____。

已知函數

f (x) = a sin (b x + c) + d

的週期為

4 π

，振幅為

10

，最大值為

12

且圖形通過

(\frac{π}{12}, 12)

。若

a > 0

，

b > 0

，

0 \leq c < 2 π

，則序組

(a, b, c, d) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

(4, \frac{7}{2})

第 2 題

3

第 3 題

A > B > C

第 4 題

C > B > A

（學校公布的答案印

C > A > B

，代回題目不成立，見詳解）

第 5 題

r > s > q > p

第 6 題

8

第 7 題

0

第 8 題戌時

第 9 題

102400

第 10 題

1

第 11 題

25

第 12 題

20

第 13 題

x \geq 4

或

x \leq - 2

第 14 題

96 + 16 π

第 15 題

(\frac{17}{18} π, \frac{1175}{36} π)

第 16 題

100

第 17 題

\frac{π}{6} < x < \frac{π}{4}

或

\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{6}

第 18 題

122

第 19 題

216

第 20 題二

第 21 題

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{11 π}{6}

第 22 題

\frac{2 π}{3} - \frac{3}{2}

第 23 題

6

第 24 題

(- \frac{1}{2}, - 3)

（學校公布的答案印

(- \frac{1}{2}, \frac{1}{3})

，代回題目不成立，見詳解）

第 25 題

(10, \frac{1}{2}, \frac{11}{24} π, 2)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～5 題：週期與振幅、交點個數、比大小

第 1 題先看高低：最高是

6

、最低是

- 1

，振幅是兩者差的一半，

n = \frac{6 - ( - 1 )}{2} = \frac{7}{2}

；正中間的高度是

\frac{6 + ( - 1 )}{2} = 2.5

。再看左右：

(- 2, 2.5)

與

(8, 2.5)

都在正中間的高度上，圖形在

x = - 2

是往下走、在

x = 8

是往上走。從

x = - 2

出發，圖形依序經過「谷、峰、谷、峰、谷」才到

x = 8

，也就是走了兩個完整的週期再加半個週期，所以

2.5 m = 8 - (- 2) = 10

，

m = 4

。答

(m, n) = (4, \frac{7}{2})

。

振幅不是最高值

6

，是最高與最低相差的一半。數週期時要注意兩個點一個在下坡、一個在上坡，中間差的是

2.5

個週期，不是整數個。

第 2 題

sin x = - 1

發生在每個週期的最低點，也就是

x = \frac{3 π}{2}

以及和它相差

2 π

整數倍的地方：

\dots, - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{2}, \frac{11 π}{2}, \dots

。落在

- π \leq x \leq 5 π

裡的有

- \frac{π}{2}

、

\frac{3 π}{2}

、

\frac{7 π}{2}

，共

3

個交點。

下一個

\frac{11 π}{2} = 5.5 π

已經超過

5 π

。水平線

y = - 1

只碰到圖形的最低點，每個週期只有一個交點。

第 3 題這裡的

1

、

3

、

5

是弧度。

1

弳約

57. 3^{\circ}

，所以

3

弳約

171. 9^{\circ}

，

5

弳約

286. 5^{\circ}

。

A = sin 1

：第一象限，約

sin 57. 3^{\circ}

，是比較大的正數。

B = sin 3

：第二象限，等於

sin (18 0^{\circ} - 171. 9^{\circ}) = sin 8. 1^{\circ}

，是很小的正數。

C = sin 5

：第四象限，是負數。所以

A > B > C

。

數值約為

A \approx 0.84

、

B \approx 0.14

、

C \approx - 0.96

。沒有寫度的記號就是弧度，不要當成

1^{\circ}

、

3^{\circ}

、

5^{\circ}

。

第 4 題

\frac{23 π}{12} = 2 π - \frac{π}{12}

，是第四象限角，參考角是

\frac{π}{12}

（

1 5^{\circ}

）。第四象限裡餘弦為正、正弦與正切為負，所以

C

最大，剩下比較

A

與

B

這兩個負數。由

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}

得

A = \frac{B}{C}

。因為

0 < C < 1

，負數

B

除以一個介於

0

與

1

之間的數，絕對值會變大，也就是變得更小，所以

A < B

。依題目計算的結果是

C > B > A

。學校公布的答案寫

C > A > B

，

A

與

B

的順序和上面相反。用數值檢查：

A = - tan 1 5^{\circ} \approx - 0.268

，

B = - sin 1 5^{\circ} \approx - 0.259

，

C = cos 1 5^{\circ} \approx 0.966

，確實是

B

比

A

大。答案欄寫的是依題目計算的結果，核對成績時請以學校的說明為準。

銳角的正切值一定比正弦值大（

tan 1 5^{\circ} > sin 1 5^{\circ}

），加上負號之後大小順序要反過來。

第 5 題四個數的底數都是

\frac{1}{2}

，介於

0

與

1

之間，所以指數愈大、數值愈小。四個指數由小到大是

- \frac{5}{2} < - \frac{2}{3} < 1.8 < 2

，分別對應

r

、

s

、

q

、

p

，數值的大小順序剛好相反：

r > s > q > p

。

也可以全部改成底數

2

：

p = 2^{- 2}

、

q = 2^{- 1.8}

、

r = 2^{\frac{5}{2}}

、

s = 2^{\frac{2}{3}}

，底數大於

1

時指數愈大數值愈大，結論相同。

比三角函數值的大小，先判斷象限定正負，同號的再用參考角或彼此的關係比；比指數的大小，先化成同底數，再看底數大於

1

還是小於

1

。

02第 6～11 題：扇形、特殊角、時辰與半衰期

第 6 題圓心角

9 0^{\circ} = \frac{π}{2}

弳。設半徑為

r

公分，扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π r ^{2}}{4} = 16 π

，得

r^{2} = 64

，

r = 8

。

9 0^{\circ}

的扇形就是四分之一個圓，整個圓的面積是

64 π

，也可以直接看出

r = 8

。

第 7 題

\frac{4}{3} π

在第三象限，參考角

\frac{π}{3}

，餘弦為負：

cos \frac{4}{3} π = - \frac{1}{2}

。

\frac{5}{6} π

在第二象限，參考角

\frac{π}{6}

，正弦為正：

sin \frac{5}{6} π = \frac{1}{2}

。

\frac{5 π}{4}

在第三象限，參考角

\frac{π}{4}

，正切為正：

tan \frac{5 π}{4} = 1

。原式

= - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = 0

。

第 8 題時辰每

24

小時循環一次。

1000 = 24 \times 41 + 16

，所以

1000

個小時以後的時刻，和

16

個小時以後的時刻相同。上午

3

時

30

分再過

16

小時是

19

時

30

分，查表落在

19 \sim 21

時，是戌時。

只問時辰、不問日期，所以整數天的部分（

41

天）可以直接丟掉，只看餘數

16

。

第 9 題

53 \div 5.3 = 10

，

53

年剛好是

10

個半衰期。往後每過一個半衰期質量乘以

\frac{1}{2}

，往前推就是每個半衰期乘以

2

。設

53

年前的質量是

M

公克，則

M \times (\frac{1}{2})^{10} = 100

，

M = 100 \times 2^{10} = 100 \times 1024 = 102400

。

題目問的是「

53

年前」，是往回推，質量比現在多；若問「

53

年後」才是

100 \times (\frac{1}{2})^{10}

。

第 10 題設正三角形的邊長為

s

，則三角形的周長是

3 s

。扇形

B A D

的圓心是

A

，半徑

\overline{A B} = \overline{A D} = s

。設

∠ B A D = θ

弳，弧長是

s θ

，扇形的周長是兩條半徑加一段弧：

2 s + s θ

。兩個周長相等：

2 s + s θ = 3 s

，

θ = 1

弳。

弧長剛好等於半徑時，圓心角就是

1

弳，這正是弧度的定義。圖上的角是示意，沒有照實際大小畫。

第 11 題扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25

平方公分。

也可以先求圓心角

θ = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}

弳，再用

\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 100 \times \frac{1}{2} = 25

。

扇形的公式都要用弧度：弧長

s = r θ

，面積

\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} r s

；扇形的周長記得加上兩條半徑。

03第 12～16 題：圖形的對稱、指數不等式、繩長、時鐘與新月形

第 12 題等速行走，時間和走過的曲線長度成正比，所以只要比較兩段曲線的長度。

y = sin x

的圖形滿足

sin (x + π) = - sin x

：把

0 \leq x \leq π

那一段往右平移

π

再上下翻轉，就是

π \leq x \leq 2 π

那一段，兩段全等。所以從

0

到

2 π

的長度是從

0

到

π

的

2

倍。同樣的道理，

π \leq x \leq \frac{4 π}{3}

那一小段和

0 \leq x \leq \frac{π}{3}

那一小段全等。於是從

\frac{π}{3}

到

\frac{4 π}{3}

的長度（

\frac{π}{3}

到

π

，加上

π

到

\frac{4 π}{3}

），等於

\frac{π}{3}

到

π

加上

0

到

\frac{π}{3}

，也就是從

0

到

π

的長度。所以螞蟻走

0

到

π

那一段要

10

分鐘，走

0

到

2 π

要

20

分鐘。

不需要真的算出曲線有多長。只要橫向寬度是

π

，不論從哪裡開始，

y = sin x

圖形上那一段的長度都一樣。

第 13 題右邊化成底數

3

：

9^{x + 4} = (3^{2})^{x + 4} = 3^{2 x + 8}

。不等式變成

3^{x^{2}} \geq 3^{2 x + 8}

。底數

3

大於

1

，指數愈大數值愈大，所以

x^{2} \geq 2 x + 8

，也就是

x^{2} - 2 x - 8 \geq 0

，

(x - 4) (x + 2) \geq 0

。解為

x \geq 4

或

x \leq - 2

。

左邊的指數是

x^{2}

，

3^{x^{2}}

不等於

(3^{x})^{2} = 3^{2 x}

。

第 14 題繩子繞外圍

6

個罐子一圈，由

6

段直線和

6

段圓弧組成。直線部分：每一段的長度等於相鄰兩個外圍罐子的圓心距離，也就是

2 \times 8 = 16

公分，

6

段共

96

公分。圓弧部分：繩子繞一圈方向總共轉了

36 0^{\circ}

，

6

個轉角一樣大，每個轉

6 0^{\circ}

；

6

段圓弧合起來剛好是一個完整的圓周，長

2 π \times 8 = 16 π

公分。繩長至少

96 + 16 π

公分。

外圍

6

個圓心連成邊長

16

的正六邊形，繩子的直線部分就是把這六個邊各往外平移

8

公分。

第 15 題先求夾角。從

12

的位置順時針量：分針每分鐘走

6^{\circ}

，

10 : 20

時在

12 0^{\circ}

；時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

10 : 20

時在

30 0^{\circ} + 1 0^{\circ} = 31 0^{\circ}

。兩針相差

19 0^{\circ}

，較小的夾角是

36 0^{\circ} - 19 0^{\circ} = 17 0^{\circ} = \frac{17}{18} π

弳，所以

A = \frac{17}{18} π

。再求面積。

20

分鐘內分針轉了

12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

弳，掃過的扇形面積是

\frac{1}{2} \times 1 0^{2} \times \frac{2 π}{3} = \frac{100}{3} π

時針轉了

1 0^{\circ} = \frac{π}{18}

弳，掃過的扇形面積是

\frac{1}{2} \times 5^{2} \times \frac{π}{18} = \frac{25}{36} π

兩者相差

\frac{1200}{36} π - \frac{25}{36} π = \frac{1175}{36} π

，所以

B = \frac{1175}{36} π

。

時針在這

20

分鐘裡也在走，不會停在

10

的位置。扇形面積公式的角要用弧度。

第 16 題新月形

=

半圓（

Γ_{1}

與

\overline{A B}

圍成）

-

弓形（

Γ_{2}

與

\overline{A B}

圍成）。半圓：半徑

10

，面積

\frac{1}{2} π \times 1 0^{2} = 50 π

。弓形：

\overline{C A} = \overline{C B}

且

∠ A C B = \frac{π}{2}

，三角形

C A B

是等腰直角三角形，斜邊

\overline{A B} = 20

，所以

\overline{C A} = 102

。扇形

C A B

的面積是

\frac{1}{2} \times (102)^{2} \times \frac{π}{2} = 50 π

，三角形

C A B

的面積是

\frac{1}{2} \times 102 \times 102 = 100

，弓形面積是

50 π - 100

。新月形面積

= 50 π - (50 π - 100) = 100

平方公尺。

答案裡的

π

剛好消掉，新月形的面積等於三角形

C A B

的面積。

不規則的區域拆成扇形、三角形、半圓去加減；弓形面積等於扇形減三角形。

04第 17～21 題：正弦不等式、學習曲線、圓錐展開與象限

第 17 題在

0 \leq x \leq 2 π

裡，

sin x

是正數的只有

0 < x < π

，在這一段圖形先上升到

x = \frac{π}{2}

再下降。上升的那一半：

sin x = \frac{1}{2}

在

x = \frac{π}{6}

，

sin x = \frac{2}{2}

在

x = \frac{π}{4}

，所以

\frac{π}{6} < x < \frac{π}{4}

。下降的那一半：

sin x = \frac{2}{2}

在

x = \frac{3 π}{4}

，

sin x = \frac{1}{2}

在

x = \frac{5 π}{6}

，所以

\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{6}

。答

\frac{π}{6} < x < \frac{π}{4}

或

\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{6}

。

圖形對稱於直線

x = \frac{π}{2}

，右邊那一段是左邊那一段的對稱，不要漏掉。兩端都是

<

，不含等號。

第 18 題令

u = 1 0^{- b}

，則

1 0^{- 2 b} = u^{2}

，

1 0^{- 3 b} = u^{3}

。題目的條件是

a (1 - u) = 50, a (1 - u^{2}) = 90

兩式相除：

\frac{1 - u ^{2}}{1 - u} = 1 + u = \frac{90}{50} = \frac{9}{5}

，得

u = \frac{4}{5}

。代回第一式：

a \times \frac{1}{5} = 50

，

a = 250

。三星期：

L (3) = a (1 - u^{3}) = 250 \times (1 - \frac{64}{125}) = 250 \times \frac{61}{125} = 122

個。

不需要求出

b

，只要知道

1 0^{- b} = \frac{4}{5}

就夠了。每多一星期新增的量是

50

、

40

、

32

，每次乘以

\frac{4}{5}

。

第 19 題圓錐的斜高是

3^{2} + 4^{2} = 5

，剪開後就是扇形的半徑。扇形的弧長等於底圓的周長

2 π \times 3 = 6 π

。由弧長

=

半徑

\times

圓心角：

6 π = 5 θ

，

θ = \frac{6 π}{5}

弳，換成度是

\frac{6}{5} \times 18 0^{\circ} = 21 6^{\circ}

。

扇形的半徑是斜高

5

，不是高

4

。題目要的單位是度。圖上的

θ

是示意，沒有照實際大小畫。

第 20 題

\frac{50 π}{11} = 4 π + \frac{6 π}{11}

，

\frac{54 π}{11} = 4 π + \frac{10 π}{11}

。減去

4 π

（兩圈）之後，

θ

的同界角介於

\frac{6 π}{11}

與

\frac{10 π}{11}

之間。因為

\frac{π}{2} = \frac{5.5 π}{11} < \frac{6 π}{11}

，而且

\frac{10 π}{11} < π

，這個範圍完全落在

\frac{π}{2}

與

π

之間，所以

θ

位於第二象限。

第 21 題令

t = x - \frac{π}{2}

。因為

0 \leq x \leq 2 π

，所以

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{3 π}{2}

，要解的是

sin t \geq - \frac{3}{2}

。在這個範圍裡，

sin t = - \frac{3}{2}

的地方有

t = - \frac{π}{3}

與

t = \frac{4 π}{3}

。看

y = sin t

的圖形：從

t = - \frac{π}{3}

到

t = \frac{4 π}{3}

之間圖形都在直線

y = - \frac{3}{2}

的上方或線上，兩端以外（靠近

- \frac{π}{2}

與

\frac{3 π}{2}

的地方）圖形掉到線的下方。所以

- \frac{π}{3} \leq t \leq \frac{4 π}{3}

。換回

x = t + \frac{π}{2}

：

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{11 π}{6}

。

先換範圍再解：

t

的範圍是從

- \frac{π}{2}

到

\frac{3 π}{2}

，不是從

0

到

2 π

。有等號，兩個端點都要包含。

解正弦不等式，先找出等號成立的角，再看圖形在哪一段位於水平線的上方或下方。

05第 22～25 題：兩圓重疊、聲波頻率、特殊角與正弦函數的係數

第 22 題設兩圓心為

O_{1}

、

O_{2}

，兩圓交於

P

、

Q

。

\overline{O_{1} O_{2}} = \overline{O_{1} P} = \overline{O_{2} P} = 1

，三角形

O_{1} O_{2} P

是正三角形，

∠ P O_{1} O_{2} = \frac{π}{3}

；同理

∠ Q O_{1} O_{2} = \frac{π}{3}

，所以

∠ P O_{1} Q = \frac{2 π}{3}

。重疊部分被

\overline{P Q}

分成兩個全等的弓形。其中一個弓形

=

扇形

O_{1} P Q -

三角形

O_{1} P Q

。扇形

O_{1} P Q

的面積是

\frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{2 π}{3} = \frac{π}{3}

。三角形

O_{1} P Q

：

\overline{P Q}

是兩個邊長

1

的正三角形的高相加，長

3

；

O_{1}

到

\overline{P Q}

的距離是

\frac{1}{2}

，面積是

\frac{1}{2} \times 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}

。重疊面積

= 2 (\frac{π}{3} - \frac{3}{4}) = \frac{2 π}{3} - \frac{3}{2}

。

數值約

1.23

，比一個圓的面積

π \approx 3.14

的一半小一些，和圖的樣子相符。

第 23 題

sin (ω x)

的週期是

\frac{2 π}{ω}

，頻率是週期的倒數

\frac{ω}{2 π}

。這裡

ω = 880 π \times 2^{\frac{k}{12}}

，所以頻率是

\frac{880 π \times 2 ^{\frac{k}{12}}}{2 π} = 440 \times 2^{\frac{k}{12}}

題目說頻率是

4402 = 440 \times 2^{\frac{1}{2}}

，所以

\frac{k}{12} = \frac{1}{2}

，

k = 6

。

k = 0

時頻率是

440

赫茲，就是標準音 A4；往上

12

個半音頻率變成

2

倍。

第 24 題

\frac{7 π}{6}

在第三象限，參考角

\frac{π}{6}

，正弦為負：

A = sin \frac{7 π}{6} = - \frac{1}{2}

。

\frac{11 π}{3} = 4 π - \frac{π}{3}

，和

- \frac{π}{3}

是同界角，在第四象限，參考角

\frac{π}{3}

，正切為負：

B = tan \frac{11 π}{3} = - tan \frac{π}{3} = - 3

。依題目計算的結果是

(A, B) = (- \frac{1}{2}, - 3)

。學校公布的答案寫

(- \frac{1}{2}, \frac{1}{3})

，

A

相同、

B

不同。

\frac{1}{3}

是參考角

\frac{π}{6}

的正切值（例如

tan \frac{7 π}{6}

），而卷面印的角是

\frac{11 π}{3}

，它的正切值約為

- 1.732

，不是

0.577

。答案欄寫的是依題目計算的結果，核對成績時請以學校的說明為準。

化成最簡分數後，分母是

3

的角，參考角是

\frac{π}{3}

；分母是

6

的角，參考角才是

\frac{π}{6}

。

第 25 題振幅：

a > 0

，振幅就是

a

，所以

a = 10

。週期：

b > 0

，週期是

\frac{2 π}{b} = 4 π

，所以

b = \frac{1}{2}

。最大值：

sin

的最大值是

1

，

f (x)

的最大值是

a + d = 12

，所以

d = 2

。通過

(\frac{π}{12}, 12)

：這一點的高度就是最大值，所以

sin (\frac{1}{2} \times \frac{π}{12} + c) = 1

，也就是

\frac{π}{24} + c = \frac{π}{2}

加上

2 π

的整數倍。在

0 \leq c < 2 π

裡只有

c = \frac{π}{2} - \frac{π}{24} = \frac{11}{24} π

。答

(a, b, c, d) = (10, \frac{1}{2}, \frac{11}{24} π, 2)

。

代點時要先乘上

b

：括號裡是

\frac{1}{2} \times \frac{π}{12} + c

，不是

\frac{π}{12} + c

。

函數

a sin (b x + c) + d

裡，

a

管振幅、

b

管週期、

d

管中間的高度，

c

最後用一個已知點去定。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

林口高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 25 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

林口高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題兩個已知點一個在下坡、一個在上坡，中間是二點五個週期（兩個完整的週期再加半個），不是整數個週期；第 12 題不必算曲線長，要用正弦函數圖形每隔半個週期上下翻轉後全等的性質；第 15 題時針在二十分鐘內也走了十度，夾角與掃過的面積都要把它算進去；第 21 題要先把括號裡整個角的範圍換好再看圖形解不等式。另外第 4 題與第 24 題學校公布的答案和依題目計算的結果不同，詳解有說明。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自林口高中 114 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

林口高中 114 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 25 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01第 1～5 題：週期與振幅、交點個數、比大小

02第 6～11 題：扇形、特殊角、時辰與半衰期

03第 12～16 題：圖形的對稱、指數不等式、繩長、時鐘與新月形

04第 17～21 題：正弦不等式、學習曲線、圓錐展開與象限

05第 22～25 題：兩圓重疊、聲波頻率、特殊角與正弦函數的係數

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

林口高中 114 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

林口高中 114 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

林口高中 114 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

林口高中 114 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

林口高中 114 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？