苑裡高中 114 上
高一第三次段考
數學試題、答案與詳解

① 由餘式定理，$f(x)$ 除以 $x+1$ 的餘式是 $f(-1)$。

② $(-1{)}^{13}=-1$，$(-1{)}^9=-1$，所以 $f(-1)=2020\times (-1)-1999\times (-1)+4=-2020+1999+4=-17$。

答案 (B)。

① 頂點是 $(2,3)$，設 $f(x)=a(x-2{)}^2+3$。

② 圖形通過 $(3,1)$：$a(3-2{)}^2+3=1$，得 $a=-2$。

③ 所以 $f(x)=-2(x-2{)}^2+3$。

答案 (C)。

① 直線由左上往右下傾斜，斜率 $a<0$；與 $y$ 軸交在原點上方，$b>0$。

② 廣域特徵：$|x|$ 很大時，$y=a{x}^3+bx$ 的圖形像 $y=a{x}^3$；$a<0$，所以圖形左端在上、右端在下。(A)(B)(D) 都是右端朝上，不合。

③ 局部特徵：$y=a{x}^3+bx$ 的對稱中心是 $(0,0)$，在原點附近圖形近似直線 $y=bx$；$b>0$，所以圖形在對稱中心附近是往右上升的。

④ (C) 在中間一段幾乎是平的，對應 $b=0$ 的情形；(E) 是「下降、上升、再下降」，中間那段上升，符合 $b>0$。

答案 (E)。

① $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$，四個一次因式的根由小到大是 $1$、$2$、$\frac{5}{2}$、$\frac{27}{2}$。

② 最高次項係數是 $1\times 2\times 2=4>0$，在數線上由右往左正負交替。

③ 不等式 $\le 0$ 的解：$1\le x\le 2$ 或 $\frac{5}{2}\le x\le \frac{27}{2}$。

④ 整數解：$1$、$2$ 共 $2$ 個；$3$～$13$ 共 $11$ 個；合計 $13$ 個。

答案 (A)。

答案 (A)(C)。

(A) 正確。 $x^2+2x+3=(x+1{)}^2+2\ge 2$，不可能 $\le 0$，無實數解。

(B) 錯誤。 $x^2+3x+3={\left(x+\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$ 對所有實數都成立，每個實數都是解。

(C) 正確。 兩邊同乘 $-1$ 得 $x^2-3x+5<0$；而 $x^2-3x+5={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{11}{4}>0$，無實數解。

(D) 錯誤。 兩邊同乘 $-1$ 得 $x^2+2x-3<0$，即 $(x+3)(x-1)<0$，解為 $-3<x<1$。

(E) 錯誤。 $x^2-4x+4=(x-2{)}^2\le 0$，只有 $x=2$ 成立，有一個實數解。

答案 (A)(C)。

答案 (B)(C)(E)。

① $x$ 每增加 $1$，函數值減少 $2$，所以斜率是 $-2$，設 $f(x)=-2x+k$。

② $f(-3)=6+k=0$，$k=-6$，所以 $f(x)=-2x-6$。

(A) 錯誤。 斜率是 $-2$。

(B) 正確。 斜率為負，直線由左上向右下傾斜。

(C) 正確。 第一象限的點 $x>0$；此時 $f(x)=-2x-6<-6<0$，$y$ 坐標是負的，所以不通過第一象限。

(D) 錯誤。 $y$ 截距是 $f(0)=-6$。

(E) 正確。 $f(-2)=4-6=-2$。

答案 (B)(C)(E)。

答案 (A)(B)(E)。

① 圖形與 $x$ 軸交於 $(-5,0)$、$(1,0)$，可寫成 $f(x)=a(x+5)(x-1)=a\left(x^2+4x-5\right)$，所以 $b=4a$，$c=-5a$；對稱軸是 $x=-2$。

(A) 正確。 開口向下，$a<0$。

(B) 正確。 $b=4a<0$。

(C) 錯誤。 圖形與 $x$ 軸有兩個交點，$b^2-4ac>0$。

(D) 錯誤。 $4a-2b+c=f(-2)$；$-2$ 在 $-5$ 與 $1$ 之間，圖形在 $x$ 軸上方，$f(-2)>0$（實際上 $f(-2)=-9a$，就是頂點的 $y$ 坐標）。

(E) 正確。 $4a+2b+c=f(2)$；$2$ 在 $1$ 的右邊，圖形在 $x$ 軸下方，$f(2)<0$（實際上 $f(2)=7a$）。

答案 (A)(B)(E)。

① 兩邊同乘 $6$：$18-2x>36-3(x-2)$。

② 右邊展開：$18-2x>42-3x$。

③ 移項：$3x-2x>42-18$，得 $x>24$。

答案 $x>24$。

① 令 $f(x)=x^4-12x^3+15x^2-46x+25$，所求就是 $f(11)$，也就是 $f(x)$ 除以 $x-11$ 的餘式。

② 綜合除法：

$$\begin{array}{rrrrrr}& 1& -12& 15& -46& 25\\ 11& & 11& -11& 44& -22\\ & 1& -1& 4& -2& 3\end{array}$$

③ 餘式是 $3$。

答案 $3$。

① 配方：$f(x)=-(x-1{)}^2+4$，開口向下，頂點 $(1,4)$。

② 頂點的 $x=1$ 在 $-2\le x\le 3$ 之內，最大值 $M=4$。

③ 開口向下時離對稱軸越遠越小。$-2$ 離 $1$ 有 $3$，$3$ 離 $1$ 只有 $2$，所以最小值在 $x=-2$：$m=f(-2)=-4-4+3=-5$。

④ $M+m=4+(-5)=-1$。

答案 $-1$。

① $f(1)=f(3)=0$，由因式定理 $x-1$、$x-3$ 都是 $f(x)$ 的因式；領導係數 $1$，設 $f(x)=(x-1)(x-3)(x-k)$。

② $f(2)=(1)(-1)(2-k)=k-2=1$，得 $k=3$。

③ $f(x)=(x-1)(x-3{)}^2$，$f(4)=3\times 1^2=3$。

答案 $3$。

① 除式是二次，餘式最多一次。設 $f(x)=(x+1)(x-3)q(x)+px+s$。

② 由餘式定理：$f(-1)=-p+s=3$，$f(3)=3p+s=7$。

③ 兩式相減：$4p=4$，$p=1$，$s=4$。

答案 $x+4$。

① 有最大值，開口向下，$a<0$。

② 在 $x=1$ 取得最大值，對稱軸是 $x=1$：$-\frac{b}{2a}=1$，所以 $b=-2a$。

③ 最大值 $f(1)=a+b=a-2a=-a$。

④ 題目說最大值是 $-\frac{1}{a}$：$-a=-\frac{1}{a}$，$a^2=1$；配合 $a<0$ 得 $a=-1$，$b=2$。

答案 $(-1,2)$。

① 配方：$y={\left(x+\frac{7}{2}\right)}^2+k-\frac{49}{4}$，對稱軸是 $x=-\frac{7}{2}$。

② 拋物線對稱於對稱軸，與 $x$ 軸的兩交點 $P$、$Q$ 也對稱於對稱軸，所以 $P$、$Q$ 的中點橫坐標是 $-\frac{7}{2}$。

③ $\frac{\alpha +\beta }{2}=-\frac{7}{2}$，所以 $\alpha +\beta =-7$。

答案 $-7$。

① $k=0$ 時不等式是 $-6x+3>0$，$x=1$ 就不成立，所以 $k\ne 0$。

② 二次式恆正：開口向上 $k>0$，且圖形不碰 $x$ 軸，判別式 $(-6{)}^2-4\cdot k\cdot 3<0$。

③ $36-12k<0$，得 $k>3$；與 $k>0$ 合併仍是 $k>3$。

答案 $k>3$。

① 設調整後分數 $y=mx+k$，$x$ 是原始分數。

② $50$ 分變 $100$ 分、$20$ 分變 $60$ 分：斜率 $m=\frac{100-60}{50-20}=\frac{4}{3}$。

③ 所以 $y=60+\frac{4}{3}(x-20)$。

④ $y=80$：$\frac{4}{3}(x-20)=20$，$x-20=15$，$x=35$。

答案 $35$。

① $(x+2{)}^2\ge 0$。$x=-2$ 時左邊等於 $0$，不等式成立，所以 $x=-2$ 是解。

② $x\ne -2$ 時 $(x+2{)}^2>0$，可以拿掉；$(x-4{)}^3$ 與 $x-4$ 同號，不等式等同於 $(x-4)(x-5)\le 0$。

③ 解得 $4\le x\le 5$。

④ 合起來：$4\le x\le 5$ 或 $x=-2$。

答案 $4\le x\le 5$ 或 $x=-2$。

① $a{x}^2+bx+c>0$ 的解是 $-2<x<5$，表示開口向下 $a<0$，且 $a{x}^2+bx+c=a(x+2)(x-5)=a{x}^2-3ax-10a$。

② 比較係數：$b=-3a$，$c=-10a$。

③ 代入：$a{x}^2+3bx-2c=a{x}^2-9ax+20a=a(x-4)(x-5)$。

④ $a(x-4)(x-5)<0$，兩邊除以負數 $a$，不等號反向：$(x-4)(x-5)>0$。

⑤ 解得 $x<4$ 或 $x>5$。

答案 $x<4$ 或 $x>5$。

① $y=a(x-2{)}^3+p(x-2)+5$ 的圖形對稱中心是 $(2,5)$。

② 三次函數的圖形對稱於對稱中心：把整條曲線繞 $(2,5)$ 轉半圈，會和自己重合。

③ 點 $(-4,3)$ 對 $(2,5)$ 的對稱點是 $(2\times 2-(-4),2\times 5-3)=(8,7)$，也在軌跡上。

④ 從 $(-4,3)$ 到 $(2,5)$ 的那段曲線，轉半圈後剛好是從 $(2,5)$ 到 $(8,7)$ 的那段，兩段一樣長；速率不變，走這段也是 $10$ 分鐘。

答案 $(8,7)$。

(1) 令 $t=x-1$，則 $x=t+1$：

$$f=(t+1{)}^3+6(t+1)+7=t^3+3t^2+3t+1+6t+6+7=t^3+3t^2+9t+14$$

所以 $(a,b,c,d)=(1,3,9,14)$。

(2) $x$ 接近 $1$ 時，$(x-1{)}^3$、$(x-1{)}^2$ 比 $x-1$ 小得多，所以 $f(x)\approx 9(x-1)+14$。

在 $x=1$ 附近，$y=f(x)$ 的圖形近似直線 $y=9(x-1)+14$，即 $y=9x+5$。

答案 (1) $(1,3,9,14)$　(2) 在 $x=1$ 附近近似直線 $y=9(x-1)+14$，即 $y=9x+5$。

① 除式 $x^2+2$ 不能分解。設 $f(x)=\left(x^2+2\right)q(x)+px+s$。

② 乘上 $x$：$xf(x)=\left(x^2+2\right)xq(x)+p{x}^2+sx$。

③ $p{x}^2+sx=p\left(x^2+2\right)+sx-2p$，所以 $xf(x)$ 除以 $x^2+2$ 的餘式是 $sx-2p$。

④ 與 $x-2$ 比較係數：$s=1$，$-2p=-2$，$p=1$。

答案 $x+1$。

(1) 黑板上留下 $x^3+3x^2$，設 $f(x)=x^3+3x^2+px+q$。

① 被 $x-2$ 整除：$f(2)=8+12+2p+q=0$，即 $2p+q=-20$。

② 被 $x-1$ 除餘 $-12$：$f(1)=1+3+p+q=-12$，即 $p+q=-16$。

③ 兩式相減：$p=-4$，$q=-12$。所求為 $x^3+3x^2-4x-12$。

(2) 令 $x=t-1$（即 $t=x+1$）：

$$f=(t-1{)}^3+3(t-1{)}^2-4(t-1)-12=t^3-7t-6$$

所以 $f(x)=(x+1{)}^3-7(x+1)-6$，對稱中心為 $(-1,-6)$。

(3) 因式分解：$f(x)=x^2(x+3)-4(x+3)=(x+3)(x+2)(x-2)$。

圖形與 $x$ 軸交於 $-3$、$-2$、$2$，與 $y$ 軸交於 $(0,-12)$。

領導係數為正，左端在下、右端在上；在對稱中心 $(-1,-6)$ 附近近似斜率 $-7$ 的直線，往右下降。圖形如附圖，對稱中心標在 $(-1,-6)$。

答案 (1) $x^3+3x^2-4x-12$　(2) $(-1,-6)$。